Upload
donhu
View
249
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
DETERMINAN MATRIKS
1
Nurdinintya Athari(NDT)
Determinan Matriks
Sub Pokok Bahasan• Pendahuluan determinan matriks• Determinan dengan OBE• Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Beberapa Aplikasi Determinan Solusi SPL Optimasi Model Ekonomi dan lain-lain.
pendahuluanMisalkan A adalah matriks persegi n x n,Determinan A dapat diperoleh melalui:• OBE• Perluasan kofaktor
Notasi determinan dari matriks A :Det(A) or |A|
Det(A) ≠ 0 jika dan hanya jika matriks A memiliki invers.
Contoh : Tentukan Determinan matriks
Jawab :Det(A3x3) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
– a11 a23 a32 – a12 a21 a33
atau
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
2331
2221
1211
333231
232221
131211
aaaaaa
aaaaaaaaa
A
Contoh :Tentukan determinan matriks
Jawab :
122011123
B
122011123
det
B
)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(
202203
1
221123
Menghitung Determinan dengan OBEPerhatikan :a.
b.
c.
33021
det
45987054001
det
24600540321
Dengan mudah…Karena hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol
Det(A) =Hasil kali unsur diagonal?
Hitung Det.Matriks Bukan
Segitiga???
Perlu OBE untuk menentukan determinansuatu matriks yang bukan segitiga.
Caranya : Matriks persegi ~ matriks segitiga
Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatumatriks, yaitu :1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali
pertukaran baris, maka Det (B) = – Det (A)Contoh :
sehinggaA3
1112
A 3A
1211
B
1211
B
2. Jika matriks B berasal dari matriks A denganperkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k, maka Det (B) = k Det (A)Contoh :
dan
maka
621112
2
A
1112
A 3A
2212
B
22
12B
OBE yang dilakukan pada matrikstersebut adalah 2b2
3. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkaliansebuah baris dengan konstanta tak nol k laludijumlahkan pada baris lain, maka Det (B) = Det (A)Contoh 3 :
Perhatikan
62
31A 12A
62
3112031
12- OBE yang dilakukan pada matrikstersebut adalah –2b1 + b2
Contoh 3 :Tentukan determinan matriks
Jawab :
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A
1 2 1 2 1 0 0 1 2
b1 ↔ b2
= 4 (hasil perkalian semua unsur diagonalnya)
1 2 1 0 -3 -2 0 1 2
A
1 2 1 0 1 2 0 -3 -2
1 2 1 0 1 2 0 0 4
-2b1 + b2
b2 ↔ b3
3b2 + b3
Determinan dengan ekspansi kofaktorMisalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A.Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
...:::
......
21
22221
11211
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A 131 2
maka 10 1
M
Matriks Cij dinamakan kofaktor - ij, yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 .2 = – 2
2 1 0 1
1 1221
C
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A
Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjangbaris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjangkolom ke-j
det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj
Contoh 6 :Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
Jawab :Misalkan, kita akan menghitung det (A) denganekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= 0 – 2 + 6= 4
3
133)det(
jjjcaA
23)1(10 1 1 0 2 33)1(2
2 1 1 2
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjangkolom ke-3
= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33
= 0 – 2 + 6= 4
3
133)det(
iii caA
32)1(10 1 0 1 2 33)1(2
2 1 1 2
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka
dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,notasi adj(A).
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
C
22
12221
11211
TCAadj )(
T
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
21
12212
12111
Misalkan A adalah matriks persegi, beberapa sifatdeterminan matriks adalah :1. Jika A memiliki invers, maka
2. A memiliki invers jika dan hanya jika det (A) 0. 3. det (A) = det (At)4. det (A) det (B) = det (AB)5. Jika A memiliki invers, maka
)()det(
11 AadjA
A
)det(1)det( 1
AA
Contoh :Diketahui
Tentukan matriks adjoin A dan A-1
Jawab :Perhatikan bahwa
1 2 0 0 1- 1 1 0 1
A
11201
)1( 1111
c 1
1001
)1( 2112 c 2
2011
)1( 3113
c
.1dan,1,1,2,1,2 333231232221 cccccc
Matriks kofaktor dari A :
Matriks Adjoin dari A :
1- 1 1 2- 1 2 2 1- 1-
C
1- 2- 2 1 1 1- 1 2 1-
)( TCAadj
1-1 2 1 -1 2 1
1 1( ) -1 1 1 -1 1 1det( ) 1
2 -2 -1 2 -2 -1A Adj A
A
det( ) (1 1) (0 1) (1 2) 1 ( )A first row
Latihan Bab 21. Tentukan determinan matriks dengan OBE dan
ekspansi kofaktor
2. Diketahui :
dan
Tunjukkan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)
211121112
P
144010023
Q
200043012
A
105217311
B
3 3 0 52 2 0 2
4 1 3 02 10 3 2
R
3. Diketahui :
Tentukan k jika det (D) = 29
4. Diketahui matriks
Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai
43101
51
k
kD
543012001
A
BA
BAx tdet
5det2det 2