Upload
phamtuyen
View
245
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
Aljabar Linear
Evangs Mailoa
& Matriks
Pert. 6
Minor dan Kofaktor
Matriks A berukuran 3x3,
Maka, Pernyataan (1) merupakan masing-masing determinan dari:
(1)
Definisi
Jika A adalah suatu matriks bujursangkar, maka minor dari entri aij dinyatakan sebagai Mij dan difenisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.
Bilangan (−1)i+j Mij dinyatakan sebagai Cij dan disebut kofaktor dari entri aij.
Misalkan
Contoh 1 Menghitung minor dan kofaktor
Minor dari entri a11 adalah: Minor dari entri a32 adalah:
Kofaktor dari entri a11 adalah: Kofaktor dari entri a32 adalah:
Perhatikan kofaktor dan minor dari suatu elemen aij hanya berbeda dalam tandanya, dimana Cij = ∓Mij.
Cara untuk menentukan apakah tanda − atau + yang digunakan adalah dengan menentukan fakta bahwa tanda yang berkaitan dengan Cij dan Mij berada dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari susunan “papan catur” berikut:
Contoh:
Ekspansi Kofaktor
Menurut pernyataan (1),
Dapat dapat ditulis dalam bentuk minor dan kofaktor sebagai
Metode perhitungan determinan dalam pernyataan (2) disebut ekspansi kofaktor (cofactor expansion) sepanjang baris pertama dari A.
(2)
Hitunglah det(A), dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama!
Penyelesaian
Contoh 2 Ekspansi Kofaktor Baris Pertama
Ekspansi Kofaktor
Determinan dari matriks A, n x n, dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada sembarang baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menjumlahkan hasilkali-hasilkali yang diperoleh; dimana setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n
dan
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)
Hitunglah det(A), dengan menggunakan ekspansi kofaktor kolom pertama!
Penyelesaian
Contoh 3 Ekspansi Kofaktor Kolom Pertama
Hitunglah determinan dari matriks:
Contoh 4 Menghitung Determinan Matriks 2000 x 2000
Penyelesaian:
Penyelesaian:
Penyelesaian:
diekspansikan sepanjang kolom pertama
Adjoin dari matriks
Jika A adalah matriks n x n sembarang dan Cij adalah kofaktor dari aij, maka matriks disebut matriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut sebagai adjoin dari A dan dinyatakan sebagai adj(A).
Misalkan
Kofaktor-kofaktor dari S adalah
Jadi matriks kofaktor adalah
dan Adjoin dari s adalah
Contoh 5 Adjoin dari Matriks 3x3
Invers Matriks menggunakan Adjoinnya
Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik, maka
Contoh 6 Menentukan invers dengan adjoin
Carilah invers dari matriks berikut:
Penyelesaian:
Dapat dihitung bahwa det(S) = 64
Adjoin dari S =
Maka invers dari S adalah
Aturan Cramer
Jika Ax = b adalah suatu sistem dengan n persmaan linier dengan faktor yang tidak diketahui sedemikian rupa sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem ini memiliki solusi yang unik.
Solusinya adalah
di mana Aj adalah matriks yang
diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom ke-j dari A dengan entri-entri pada matriks.
Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan:
Penyelesaian:
Contoh 7 Aturan Cramer
Mau bertanya..?