1

Determinantes

1. Introdución

2. Determinantes de orde dúas

3. Determinantes de orde tres

3.1 Menor complementario dun elemento

3.2 Adxunto dun elemento

3.3 Determinantes de orde tres

4. Propiedades dos determinantes de orde tres

5. Rango dunha matriz

5.1 Cálculo do rango polo método de Gauss

5.2 Cálculo do rango por determinantes

6. Matriz inversa por determinantes

6.1 Matriz adxunta

6.2 Propiedades da matriz trasposta da adxunta

6.3 Cálculo da inversa

1. Introdución

Para resolver problemas relacionados coas matrices e preciso calcular matrices inversas. Nesta unidade estudaremos a importancia dos determinantes, número asociado a unha matriz cadrada, que nos indicará a existencia ou non da matriz inversa. Tamén estudaremos o rango dunha matriz, isto é, o número de filas ou columnas linealmente independentes.

2. Determinantes de orde dúas

A cada matriz cadrada de orde dúas A =

2221

1211

aa

aa asóciaselle un número real,

chamado determinante de orde dúas, da forma seguinte:

𝑎11 ∙ 𝑎22 − 𝑎12 ∙ 𝑎21

O determinante dunha matriz cadrada de orde dúas é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, menos o produto dos elementos da diagonal secundaria.

Ao determinante da matriz A simbolizarase por det(A) = A = 2221

1211

aa

aa

Nota: Obsérvase que o número de sumandos dun determinante de orde dúas é dous, coincide co valor de 2! = 1·2

2

3. Determinantes de orde tres

3.1 Menor complementario dun elemento Dada unha matriz cadrada de orde tres A, chámase menor complementario do elemento aij, simbolizado por Mij, ao determinante da matriz cadrada de orde dúas, que resulta de suprimir en A a fila i e a columna j, ás que pertence o elemento aij.

Dada a matriz A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

os menores dos elementos a21 e a31, M21 e M31,

serán:

M21 = 3332

1312

aa

aa, determinante que se conseguiu ao suprimir a segunda fila e a

primeira columna na matriz A.

M31 = 2322

1312

aa

aa, determinante que se conseguiu ao suprimir a terceira fila e a primeira

columna na matriz A.

Exemplo

Calcula o determinante da matriz A =

41

32

det(A)= A = 41

32

= 2·4 – (–1)·3 = 8 + 3 = 11

Exemplo

Dada a matriz A =

531

241

132

, calcula os menores e os adxuntos de a13 e a23.

M13 = 31

41

= 1·3 – (–1)·(–4) = 3 – 4 = –1

M23 = 31

32

= (–2)·3 – (–1)·3 = –6 + 3 = –3

3

3.2 Adxunto dun elemento Chámase adxunto do elemento aij, e represéntase por Aij, ao menor complementario de aij precedido do signo + ou –, segundo que a suma dos subíndices i + j sexa par ou impar, respectivamente. Pódese expresar da seguinte forma:

Aij = (–1)i+j·Mij

Por exemplo, os adxuntos A21 e A31 dos elementos a21 e a31 serán:

A21 = (–1)2+1·M21 = (–1)2+1

3332

1312

aa

aa = –

3332

1312

aa

aa

A31 = (–1)3+1·M31 = (–1)3+1

2322

1312

aa

aa =

2322

1312

aa

aa

3.3 Determinantes de orde tres A cada matriz cadrada A de orde tres asociáselle un número, chamado determinante de orde tres, da seguinte forma:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a11A11 + a12A12 + a13A13

O determinante dunha matriz cadrada de orde tres é igual á suma dos elementos dunha fila ou columna multiplicados polos adxuntos correspondentes.

Na fórmula anterior, o determinante expresouse como produto da primeira fila polos seus adxuntos; pódese comprobar que o valor do determinante é independente da fila ou columna que se elixa para o seu cálculo.

Si se opera sobre a definición anterior, aparece a expresión desenvolvida do determinante de orde tres:

Exemplo

Dada a matriz A =

531

241

132

, e calcular o valor dos adxuntos de a13 e a23

A13 = (–1)1+3

31

41

= (–1)4(–1) = –1

A23 = (–1)2+3

31

32

= (–1)5(–3) = 3

4

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a11A11 + a12A12 + a13A13 =

= a11

3332

2322

aa

aa – a12

3331

2321

aa

aa + a13

3231

2221

aa

aa =

= a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 – a22a31) =

= a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31

Ordénanse as sumas e diferenzas:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31

Nota: Os seis produtos anteriores coinciden co número 3! = 1·2·3 = 6 e obtéñense con sinxeleza mediante a chamada Regra de Sarrus:

Produtos con signo + Produtos con signo –

Os produtos con signo (+) fórmanos os elementos da diagonal principal e os outros dous os paralelos a ela polos dos vértices opostos.

Os produtos con signo (–) fórmanos os elementos da diagonal secundaria e os outros dous os paralelos a ela polos dos vértices opostos.

Exemplo

Calcular o determinante da matriz A =

621

504

312

mediante o desenvolvemento

polos elementos dunha liña e aplicando a Regra de Sarrus.

a) Desenvólvese pola segunda fila:

A =

621

504

312

= 4·(–1)2+1

62

31 + 0·(–1)2+2

61

32 + 5·(–1)2+3

21

12 =

= –4(6 – 6) + 0(12 – 3) – 5(4 – 1) = –4·0 + 0·9 – 5·3 = –15

.

5

4. Propiedades dos determinantes de orde tres

Neste apartado desenvólvense algunhas propiedades para os determinantes de orde tres, que son válidas para os determinantes de calquera orde. Ditas propiedades serven para facilitar o cálculo de determinantes.

1. O valor do determinante dunha matriz cadrada é igual ao do seu trasposta:

det(A) = det(At)

Esta propiedade permite facer extensiva as propiedades das filas ás columnas.

2. Se nunha matriz cadrada se permutan entre si dúas filas, o seu determinante cambia de signo.

b) Pola Regra de Sarrus:

Produtos con signo máis: 2·0·6 + 1·5·1 + 4·2·3

Produtos con signo menos: –1·0·3 – 2·5·2 – 4·1·6

A = 0 + 5 + 24 – 0 – 20 – 24 = –15

Exemplo

Sexa A= (1 −1 10 3 50 2 4

) calcula o seu determinante e o da súa trasposta.

A =

420

530

111

= 2 tA =

451

231

001

= 2

Exemplo

Sexa a matriz A=(2 1 03 0 02 −1 5

) permuta a fila primeira coa segunda e calcula o

determinante.

|𝐴| =

512

003

012

=15 e

512

012

003

= –15

6

3. Se unha matriz cadrada ten dúas filas iguais, o determinante asociado é cero.

Pódese razoar, se se cambiasen entre si as dúas filas iguais, resultaría o mesmo determinante e, pola propiedade anterior, o valor do determinante sería un número que debe coincidir co seu oposto e este é o cero.

4. Se unha matriz ten nulos os elementos dunha fila ou columna o seu determinante é cero.

5. Se os elementos dunha fila ou columna multiplícanse por un número, o determinante queda multiplicado polo devandito número.

ihkg

fekd

cbka

= k

ihg

fed

cba

A igualdade compróbase ao desenvolver os dous membros da igualdade. 6. Se unha matriz ten dúas filas proporcionais, o determinante asociado é cero.

fed

cba

cba

333 = 3·

fed

cba

cba

= 3·0 = 0

Aplicáronse as propiedades 5 e 3.

Exemplo

Sexa a matriz A=(1 2 −30 2 11 2 −3

) calcula o seu determinante.

|𝐴| =

321

120

321

= 0

Exemplo

Dada a matriz A= (0 4 70 5 30 4 −6

)calculemos o seu determinante.

|𝐴| =

640

350

740

= 0

7

7. Se todos os elementos dunha fila dunha matriz poden descompoñerse en suma de dous sumandos, o seu determinante pode descompoñerse na suma de dous determinantes do modo seguinte:

ihg

fed

ccbbaa 212121

=

ihg

fed

cba 111

+

ihg

fed

cba 222

A igualdade compróbase ao desenvolver os dous membros da igualdade.

8. Se unha fila dunha matriz é suma doutras dúas multiplicadas por números distintos de cero, o determinante asociado é cero. Tendo en conta as propiedades 7, 5 e 3.

ihg

fed

ifhegd

=

ihg

fed

fed

+

ihg

fed

ihg

9. Se a unha fila dunha matriz súmaselle outra fila multiplicada por calquera número distinto de cero, o determinante da matriz resultante non varía. Isto é:

ihg

fed

cba

=

ihg

mcfmbemad

cba

Aplicar ao segundo membro as propiedades 8 e 6. Esta propiedade aplicarase para anular todos os elementos dunha fila menos un, e deste xeito facilitar o cálculo do determinante mediante o desenvolvemento polos elementos desa fila.

10. O determinante do produto de dous matrices cadradas é igual ao produto dos determinantes dos matrices factores.

𝑑𝑒𝑡(𝐴 · 𝐵) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴) · 𝑑𝑒𝑡(𝐵)

Exemplo

Sexan as matrices 𝐴 = (2 0 −13 1 −10 4 −3

) 𝑒 𝐵 = (3 1 00 2 1

−1 2 4) comproba a propiedade

anterior.

|𝐴| ∙ |𝐵| =

340

113

102

·

421

120

013

= -10∙ 17 = −170 = |𝐴 ∙ 𝐵|

823

3310

407

= –170

8

5. Rango dunha matriz

Nun sistema de ecuacións lineais con solución, os termos independentes obtéñense mediante combinación lineal dos coeficientes das incógnitas; por exemplo, o sistema:

1373

952

yx

yx

pódese escribir en forma vectorial así:

3

2x +

7

5y =

13

9

A súa solución x = 2 e y = 1 permite obter os termos independentes como combinación lineal dos coeficientes das incógnitas.

Se se forma a matriz dos coeficientes do sistema M =

73

52 e a súa ampliada cos

termos independentes A =

1373

952, dise que a columna dos termos

independentes é combinación lineal das columnas que forman os coeficientes.

Neste apartado profundarase na dependencia e independencia lineal dos vectores filas e columnas que forman as matrices; conceptos necesarios para determinar o rango das matrices, que á súa vez será a idea fundamental para o estudo dos sistemas lineais que é o obxectivo fundamental do Álxebra Lineal.

Vectores fila e vectores columna dunha matriz

Unha fila (columna) L dunha matriz é combinación lineal ou linealmente dependente das súas paralelas L1, L2, ... , Ln, se existen α1, α2, ..., αn números reais, cos que se obtén a igualdade:

L = α1L1 + α2L2 + ...+ αnLn

As filas (columnas) non dependentes dinse linealmente independentes.

No exemplo anterior o número de filas e

Exemplo

Dada a matriz A =

0716

8642

4321

Estuda a dependencia ou independencia das

Estudo das súas filas:

𝑓2 = 2𝑓1 ⇒dise que f1 e f2 son linealmente dependentes.

𝑓 1 𝑒 𝑓3 ⇒ son linealmente independentes.

Estudo das súas columnas:

A terceira columna é suma é unha combinación de, c3 = c1 + c2⇒linelamnete

depende.

A cuarta columna pódese comprobar que é unha combinación lineal da 1 e 2

columna, c4 = αc1 + 𝛽𝑐2 ⇒ linealmante dependente.

Polo tanto o número de filas e columnas linealmente independentes da matriz coinciden; é dous.

9

Teorema: En toda matriz o número de filas e de columnas linealmente independentes coincide.

Estase en condicións de definir o rango dunha matriz, como o número das súas filas ou das súas columnas linealmente independentes. Se a matriz é A de orde n e o seu rango é h, escríbese rango(A) = h

A determinación do rango dunha matriz é complicado se se fai a partir da definición de dependencia; por este motivo estudaranse dous métodos que facilitan o seu cálculo e que combinados resultan sumamente eficaces.

5.1 Cálculo do rango polo método de Gauss

Consiste en aplicar á matriz unha serie de transformacións elementais, que deixan invariante o rango, ata conseguir unha matriz reducida ou graduada na cal o rango se determina de inmediato. Transformacións que deixan invariante o rango:

Intercambiar as posicións das filas entre si. Multiplicar unha fila por un número distinto de cero. Sumar a unha fila outra multiplicada por un número distinto de cero. O rango dunha matriz polo método de Gauss é o número de filas da súa matriz reducida ou graduada non nulas.

5.2 Cálculo do rango por determinantes

Para definir e determinar o rango por determinantes é necesario dar algúns conceptos novos.

Menores dunha matriz

Chámase menor de orde h da matriz A de orde m x n ao determinante dunha matriz cadrada de orde h formada polos elementos de h filas e h columnas da matriz A. Os menores de orde h fórmanse ao suprimir de todas as formas posibles m – h filas e n – h columnas na matriz A.

Rango dunha matriz por determinantes é a orde do maior menor non nulo.

Exemplo

Calcula o rango da seguinte matriz A= (3 7 42 11 −65 −1 24

−1 17−37

)

A= (3 7 42 11 −65 −1 24

−1 17−37

) ⇒𝑓2 + 17𝑓1

𝑓3 − 37𝑓1⇒ (

3 7 453 130 62

−106 −260 −124

−1 0 0

) ⇒ 𝑓3 + 2𝑓2 ⇒

(3 7 4

53 130 620 0 0

−1 0 0

) O rango da matriz é dous ⇒ ran(A)=2

10

6. Matriz inversa por determinantes

Os determinantes serán unha nova ferramenta para calcular a matriz inversa, como se verá a continuación.

6.1 Matriz adxunta

Dada unha matriz cadrada A chámase matriz adxunta de A e represéntase por adx(A), á matriz que resulta de substituír cada elemento aij da matriz A polo seu adxunto correspondente Aij.

Exemplo

Dada a matriz A =

023

321

422

calcular a súa matriz adxunta.

Calcúlanse todos os adxuntos e temos en conta os signos:

A11 = +02

32 = 6, A12 = –

03

31 = –9, A13 = +

23

21 = –4

A21 = –02

42 = 8, A22 = +

03

42 = –12, A23 = –

23

22 = –2

A31 = +32

42

= –2, A32 = –

31

42

= –2, A33 = +

21

22 = –2

Polo tanto, a matriz adxunta de A será:

adx(A) =

333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

=

222

2128

496

Exemplo

Dada a matriz A =

4531

0221

4312

algúns dos seus menores son:

De orde dúas: 21

12

= 5,

21

32

= 7,

01

42

= 4,

31

12 = 5, ... ,

45

02 = 8

Os menores de orden 3 serán:

531

221

312

= 0,

431

021

412

= 0,

453

022

431

= 0 Todos nulos.

O rango desta matriz será dous ⇒ ran(A)=2

11

6.2 Propiedades da matriz trasposta da adxunta O produto dunha matriz A pola trasposta da súa adxunta é unha matriz escalar na que os elementos da diagonal principal coinciden co valor do determinante de A. É dicir, no caso dunha matriz de orde tres:

A·(adx(A))t = (adx(A))t·A =

A

A

A

00

00

00

A demostración desta propiedade faise a partir da definición das matrices adxunta e trasposta e as propiedades dos determinantes.

6.3 Cálculo da inversa

Tendo en conta os resultados obtidos a partir da propiedade da matriz trasposta terase:

A·(adx(A))t =

A

A

A

00

00

00

= A ·

100

010

001

= A ·𝐼

No caso de A ≠ 0, e unicamente nesta situación, pódense dividir os dos membros

por A e queda: 𝐴 ·A

Aadx t))(( = 𝐼

Por último, tendo en conta a definición de matriz inversa 𝐼 , identificando as dúas

igualdades tense a matriz inversa por determinantes, terase:

A–1 = A

Aadx t))((

Exemplo

Comprobar que se cumpre a propiedade anterior para as matrices do exemplo

anterior.

A·(adx(A))t =

023

321

422

·

t

222

2128

496

=

=

023

321

422

·

224

2129

286

=

1000

0100

0010

12

No desenvolvemento do cálculo da matriz inversa obtivéronse os seguintes resultados:

Unicamente teñen inversa aquelas matrices cuxo determinante é distinto de cero, é dicir, as matrices regulares.

A inversa dunha matriz regular A é igual á trasposta da súa adxunta, dividida polo determinante de A.

Propiedades da matriz inversa

a) O produto de dúas matrices invertibles é invertible e a súa inversa é igual ao produto da inversa do segundo factor pola inversa do primeiro factor.

(A·B)–1 = B–1·A–1

b) A inversa da trasposta é igual á trasposta da inversa.

(At)–1 = (A–1)t

Exemplo

Comprobar se a matriz A =

45

23 ten inversa e, en caso afirmativo, calculala.

1º calculamos o determinante: A = 45

23 = 12 – 10 = 2. Como det(A)≠ 0, a matriz

A ten inversa.

2º Calculamos a matriz adxunta:

adx(A) =

2221

1211

AA

AA =

32

54

3º Calculamos a trasposta da adxunta:

(adx(A))t =

35

24

4º dividimos a matriz polo determinante

A–1 = A

Aadx t))(( =

2

1

35

24 =

2

3

2

512