Diagrama de Fases en un potencialYukawa

John Vo Medina

Juan Ramon Diego Cagigas

Miguel Martınez Albaladejo

U.C.M Junio 2012

Resumen

Se ha representado un diagrama de fases para unsistema solido sometido a un potencial tipo Yuka-wa por principio variacional. Se determino de formanumerica la curva de coexistencia de fases cristalinasBCC y FCC. Se encontro una zona inequıvocamentesolida en el diagrama de fases a traves del coeficientede Lindemann. Se comparo con el diagrama obtenidopor S. A. Khrapak [3].

Indice

1. Introduccion 21.1. Teorıa variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Potencial Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Cociente de Lindemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Procedimiento 42.1. Consideraciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Como proceder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Ejemplo de busqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Inconvenientes y complicaciones del metodo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5. Como buscamos la fase lıquida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6. Otros metodos alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Resultados 8

4. Conclusiones 9

1

1. Introduccion

Tanto desde el punto de vista de Fısica Estadıstica como de Termodinamica, el uso de funciones de estadoes muy ultil debido al hecho de que su valor no depende del proceso sufrido, sino tan solo del los estados inicial yfinal del sistema. Particularmente util en el estudio de transiciones de fases resulta la energıa libre de HelmholtzF (T, V ), por ser la temperatura y volumen (o densidad) las magnitudes representativas en este tipo de procesos.

Un diagrama de fases es una representacion de los diferentes estados de la materia en funcion de una variableextensiva y otra intensiva (en nuestro caso la temperatura y la densidad local).

Debido al segundo Principio de la Termodinamica todo sistema en equilibrio debe tener una energıa libremınima. En nuestro caso el objetivo es comparar la energıa libre de dos fases cristalinas, bcc y fcc, paradeterminar cual de las dos es estable. La fase estable se correspondera con un mınimo mas profundo.

1.1. Teorıa variacional

El potencial de interaccion en los sistemas reales puede ser tremendamente complejo y normalmente nose conoce de forma exacta. Lo habitual para describir este tipo de sistemas de forma teorica es introducir unsistema de referencia con un potencial tratable de forma analıtica y que a su vez reproduzca la informacionesencial del sistema.

Para poder encontrar una energıa libre es posible hacer uso la teorıa variacional. Para ello nos valemos dela teorıa termodinamica de perturbaciones. La desigualdad de Gibbs-Bogoliubov nos da una cota superior conla que podremos minimizar la energıa libre

F ≤ F 0+ < H −H0 >0 (1)

en donde los terminos con ındice 0 se refieren al sistema de referencia utilizado. Con esta inecuacion podemosrelacionar la diferencia de energıa libre frente a la diferencia de energıa promediada en la colectividad canonica,siempre frente a nuestro sistema de referencia.

Sea un solido de hamiltoniano

H =

N∑j=1

~p2j2m

+1

2

N∑i=1

N∑i 6=j=1

V (|~ri − ~rj |) (2)

escogeremos un solido de Einstein como sistema de referencia, de manera que tendremos el siguiente hamilto-niano.

H0 =

N∑j=1

[~p2j2m

+1

2mω2(~rj − ~Rj)

2

](3)

El potencial de interaccion en este caso es de tipo armonico. Esto modeliza el solido como partıculas queinteraccionan como osciladores clasicos de frecuancia caracterıastica ω.

Paralelamente podemos definir la funcion de particion para nuestro solido de referencia

Z0 =1

Λ3N(πα

)3N/2 (4)

De la Fısica Estadıstica sabemos entonces cual serıa la energıa libre para el solido de Einstein

F 0 =3

2NkBT ln

(αΛ2

π

)(5)

en donde se han definido la variable α = 12βmω

2 depende de la temperatura y las constantes de interaccion del

solido de Einstein y Λ =√

h2

2πmkT es la longitud de onda termica de de Broglie.

2

Aplicando el Teorema de equiparticion tendremos⟨N∑j=1

1

2mω2(~r −Rj)2

⟩0

=3

2NkBT (6)

tendremos que la diferencia de energıas respecto al solido de Einstein promediada es

< H −H0 >0=

⟨1

2

N∑i=1

N∑i 6=j=1

V (|~ri − ~rj |)

⟩0

− 3

2NkBT =

=1

2

∫d~r

∫d~r′ρ02(~r, ~r′)V (|~r − ~r′|)− 3

2NkBT (7)

con ρ02(~r, ~r′) funcion de distribucion de dos partıculas.

ρ2(~r, ~r′) =

⟨N∑j=1

N∑j 6=i=1

δ(~r − ~rj)δ(~r′ − ~ri)

⟩= ρ1(~r)ρ1(~r′)g(~r, ~r′) (8)

Por simplicidad tomaremos en todo momento sistemas sin correlacion entre partıculas, esto es, sistemas idealesen los que la funcion de distribucion queda simplificada a ρ0r(~r, ~r

′) = ρ01(~r)ρ01(~r′).

Una vez tenemos la funcion de distribucion podemos integrar la expresion de H0 para obtener la densidadlocal de partıculas.

ρ01(~r) =(απ

)3/2 N∑j=1

e−α(~r−~Rj)

2

(9)

Como vemos, esta densidad local se corresponde a una suma de gaussianas normalizadas a nuestra variableα. A la vista de esta ecuacion es concluye que a mayor frecuencia para la interaccion armonica mayor es ladensidad local. Dado que α y T son inversamente proporcionales esto significa que para una menor temperaturalas partıculas estaran efectivamente mas localizadas, tal y como es deseable.

Con las ecs (1), (2) y (6) podemos escribir la desigualdad de Gibbs-Bogoliubov como sigue:

F (α) ≤ 3

2NkBT

[ln

(αΛ2

π

)− 1

]+

1

2

∫d~r

∫d~r′ρ01(~r)ρ01(~r′)V (|~r − ~r′|) =

=3

2NkBT

[ln

(αΛ2

π

)− 1

]+

1

2(2π)3

∫d~k|ρ01(~k)|2V (k) (10)

donde ρ01(~k) y V (k) son las transformadas de Fourier de la densidad local y del potencial de interaccion depar.

ρ01(~k) =

∫d~re−i

~k~rρ01(~r) = e−−k24α

N∑j=1

e−i~k ~Rj (11)

V (k) =

∫d~re−

~k~rV (r) (12)

Para sustituir en la ec.(7) necesitamos hacer el cuadrado de esta cantidad, por lo que nos quedara un doblesumatorio. Sin embargo, hemos considerado un cristal perfecto, por lo que la suma doble puede reemplazarse poruna suma simple sobre las posiciones de equilibrio, multiplicada por N , cuando uno de los atomos esta situadoen el orıgen. ∣∣∣ρ01(~k)

∣∣∣2 = Ne−k2

2α

∑Nj=1e

−i~k~Rj(13)

Finalmente obtenemos

F (α) ≤ 3

2NkBT

[ln

(αΛ2

π

)− 1

]+N

1

2(2π)3

N∑j=1

∫d~ke

−k22α e−i

~k ~Rj V (k). (14)

Con esta expresion podremos calcular la energıa libre de Helmholz introduciendo el potencial deseado,siempre y cuando dicho pontencial tenga transformada de Fourier bien definida.

3

1.2. Potencial Yukawa

El potencial de Yukawa de fue introducido por el fısico japones Hideki Yukawa para aproximar la interaccionentre protones y neutrones en el nucleo atomico. Es un potencial muy utilizado en numerosos sistemas fısicos,como los coloides, interacciones intramoleculares o cualquier otro sistema que se pueda describir mediante unpotencial de Coulomb apantallado.

La forma de este potencial dados una amplitud y alcance de interaccion ε y q−1 viene dada por la expresion

V (r) = εe−qr

qr(15)

Este potencial puede ser entendido facilmente como un potencial que se comporta como uno de esferasduras a distancias cortas, mientras que a distancias largas el efecto de la exponencial se hace despreciable y esaproximadamente un potencial de Coulomb.

Una vez tenemos este potencial, obtenemos analıticamente la energıa libre por partıcula para un sistema conpotencial de interaccion Yukawa. Expresado en variables reducidas queda lo siguiente

βf(α∗) ≤ 3

2

[ln

(αΛ2

π

)− 1

]+

1

4te1/2α

∗ ∑j

1

xje−xjerfc

(1− α∗xj√

2α∗

)−

− 1

4te1/2α

∗ ∑j

1

xje−xjerfc

(1 + α∗xj√

2α∗

)(16)

en donde α∗ = α/q2, t = kBT/ε, xj = qRj =Rja

(a3

ρ/q3 ρ)1/3

=Rja

(ρa3

ρ∗

)1/3(ρ∗ ρq3 ).

En esta expresion, las sumas se hacen sobre capas de la red, teniendo en cuenta los parametros de la tabla1.

1.3. Cociente de Lindemann

Puesto que en queremos comparar las energıas libres de Helmholtz para dos fases solidas, cabe preguntarsedonde estarıa la fase lıquida en nuestro diagrama.

Para el solido de Einstein se puede calcular la fluctuacion cuadratica de las posiciones de las partıculasreferidas a las posiciones de la red, promediadas en la colectividad canonica.⟨

(~rj − ~Rj)2⟩

=3

2α(17)

Esta fluctuacion suele referirse a la distancia entre proximos vecinos rmm de la red, a traves del coeficiente deLindemann como sigue

L =

√3

2αr2nn(18)

Empirıcamente se conoce que un cristal funde para coeficiente de Lindemann L ≥ 0,15. Esto nos define unacota inferior con la que determinar en que zona de nuestro diagrama tendremos un solido de forma inequıvoca.

2. Procedimiento

2.1. Consideraciones previas

Como bien sabemos, debido a que nuestro metodo va a basarse en una calculo numerico/simbolico, en primerlugar necesitamos tener algun programa que nos ayude a hacer este tipo de tarea; y en segundo lugar necesita-mos tener conocimientos de programacion a nivel basico, como mınimo.

4

En nuestro caso nos hemos ayudado del programa de calculo simbolico-numerico Maple, ya que considera-mos que era el mas eficiente para abordar la naturaleza de nuestra simulacion; aunque con Mathematica oMatlab tambien hubieramos podido hacerlo; y de hecho, este ultimo hubiera sido mejor a la hora de realizarlos calculos puramente numericos, ya que es mas rapido que el resto para ese tipo de cosas.

Como ultima consideracion antes de empezar a programar, cabe advertir al lector que; en general, el proce-dimiento que hemos utilizado para calcular el diagrama de fases es bastante farragoso en tanto en cuanto noes ni todo lo eficaz ni todo lo rapido que en un principio esperabamos, aunque es bastante eficiente si se sabeusar con algo de astucia. Armarse de paciencia antes de empezar a trabajar es algo indispensable si se quiereseguir el metodo que vamos a describir; y nada recomendable para programadores que gusten de perfeccionar elprograma hasta lımites insospechados con tal de pulsar un boton y dedicarse a esperar hasta que el ordenadorllegue a la solucion.

2.2. Como proceder

Antes de empezar a programar debemos tener muy claro cual es la estrategia a seguir para encontrar nuestrodiagramas de fases. Para ello, vamos a introducir que metodo vamos a seguir:

En primer lugar, debemos elegir el punto en el que queremos evaluar nuestro sistema. Para ello, seleccio-namos una densidad y una temperatura; (ρ, T ). Esto, que en un principio puede parecer una trivialidad, siuno lo analiza con mas detalle resulta no serlo; ya que uno necesita documentarse bien y mirar referenciasde eleccion en rangos de temperatura y densidad con tal de no caer en el error de elegirlos arbitrariamen-teI, ya que aparentemente no hay restriccion alguna que lo impida. Una vez hayamos elegido el rango detemperaturas y densidad, se trata de ir barriendo con algo de astucia; y a medida que se van obteniendoresultados la eleccion de los siguientes puntos va siendo mas facil.

Seguidamente, debemos calcular el mınimo de la funcion de Helmholtz en dicho punto para todas y cadauna de las fases posibles en dicho puntoII; con lo cual el tiempo de computacion veremos que crece con elnumero de fases posibles en dicho punto. Puesto que nos vamos a basar en la cota que nos proporciona ladesigualdad de Gibbs-Bogoliubov y obtenemos la energıa libre de Helmholtz por partıcula enfuncion del parametro α∗ = α/q2, el proceso de minimizacion es con respecto a ese parametro. Para ello,no basta unicamente con haber calculado previamente las sumas por capas a vecinos proximos paralas fases FCC y BCC; si no que debido a que Maple, en ausencia de rango explıcito de busqueda, encuentraunicamente un puntoIII que cumpla que la primera derivada se anula; ese punto tambien podrıa ser unmaximo, o un mınimo relativo; cosa que no nos interesa, pues lo que queremos es el mınimo absoluto. Poresto, se hace imprescindible elegir un rango adecuadoIV donde buscar el mınimo.

Para ello, una vez elegido el punto a analizar, debemos representar graficamente la funcion de energıalibre de Helmholtz por partıcula para dicho punto. Acto seguido, debemos analizar donde se encuentrael mınimo absoluto mediante la representacion grafica de la energıa libre por partıcula, y elegir un rangoque acote ese punto. Imponemos que Maple busque la solucion, en ese rango, de que la primera derivadase anuleV. Debemos hacer esto con todas las fases posibles que puedan ocurrir en nuestro sistema; que ennuestro caso son FCC y BCC

Una vez hemos obtenido el parametro α∗ que nos minimiza la energıa libre, tanto para FCC y BCC,debemos evaluar la energıa libre para cada una de las fases en los parametros α∗ encontrados.

Comparamos ambos resultados y elegimos como fase estable en dicho punto (ρ, T ) la que haya arrojadoun valor menor de la energıa libre por partıcula.

Bien, ya hemos descrito el metodo para determinar la fase estable en cada punto del diagrama. Ahora,solo nos hace falta armarnos de paciencia y hacerlo para el numero de puntos que queramos; y de esta forma

IYa que podrıamos estar calculando cosas que no acaban de tener sentido fısico realIIque en nuestro caso van a ser las fases solidas en red cristalina de tipo FCC (cubica centrada en las caras) y BCC(cubica

centrada en el cuerpo).IIInormalmente el primero empezando desde 0IVPor adecuado nos referimos al rango donde sepamos que esta el mınimo absolutoVNo necesitamos comprobar que efectivamente es un mınimo, porque ya habıamos visto que era ası en la representacion grafica.

5

iremos obteniendo una especie de mapa donde a cada punto del espacio delimitado por las variables densidad ytemperatura se le asigna una fase posible. Esto ultimo que hemos descrito es justo el diagrama de fases queestamos buscando.

Claro esta que es imposible mapear el diagrama entero, con lo cual hay que elegir un rango de temperaturasy densidad en los cuales vamos a analizar puntos, e ir dividiendo dicho rango en lonchas en las que ir buscandola fase mas estable. En particular nosotros hemos seguido la tactica de una vez elegido un punto en concreto yanalizado, el siguiente punto a analizar era uno con la misma temperatura pero habiendo variado la densidad.Claro esta que nos ıbamos basando en las refencias en papers de otros autores, ya que si no resultaba imposible.

Una vez obtienes el primer punto donde para una misma temperatura el hecho de haber variado la densidadhaya hecho que la fase haya cambiado; la eleccion de los siguientes puntos a analizar es casi automatica ypodrıamos hasta decir que sale por intuicion.

Los puntos de coexistencia de fases son teoricamente donde ambas funciones arrojarıan exactamenteel mismo valor en el mınimo; cosa que anticipamos imposible de encontrar numericamente, con lo cual nosimpusimos el criterio de proclamar como puntos de existencia aquellos donde el error relativo fuera menor queun 0.00001 %; es decir:

|fminFCC − fminBCC |Min[fminFCC , f

minBCC ]

≤ 0,0000001

lo cual nos llevaba a veces a estar tiempo acotando bien los puntos de coexistencia.

2.3. Ejemplo de busqueda

Para ilustrar bien al lector el proceso en sı, es mejor que veamos un ejemplo de aplicacion de todo lo anterior:

1. Elegimos el punto (ρ = 0,5, T = 100) VI

2. El programa nos exige un rango de α∗ para el que nos va a pintar las funciones de energıa libre para FCCy BCC. Elegimos α∗ ∈ [1, 10], y el programa nos devuelve las siguiente graficas:

donde se puede ver que no estamos en el rango acertado, ya que no hay ningun mınimo para ninguna delas dos fases.

3. Cambiamos el rango de α∗ a α∗ ∈ [0,0001; 0,01] y obtenemos

VIPese a que aquı estemos trabajando con variable T absoluta, luego pasaremos a la variable reducida t, que es como se presentaen los resultados finales.

6

donde sı vemos que hay un mınimo, tras varias pruebas de rangos distintos de α∗.

4. Imponemos a Maple que busque el mınimo en dicho rango, donde sabemos del seguro que esta el mınimoy obtenemos:

α∗BCC = 0,0015

α∗FCC = 0,0017

5. Ahora el programa tambien nos calcula la energıa libre por partıcula en dicho punto, que da:

f(α∗BCC) = 235,56

f(α∗FCC) = 240,67

6. para finalizar, basta ver que en este caso la fase BCC es la estable, puesto que su energıa libre por partıculaes menor que la de FCC.

2.4. Inconvenientes y complicaciones del metodo computacional

Como ya hemos ido contando, nuestro metodo tiene algunos inconvenientes que podrıan mejorarse y/o evitarsi uno hace un trabajo como programador mucho mas exhaustivo. En general los problemas con los que noshemos encontrado son:

Imposibilidad, en la practica, de mapear todo el espacio. Obviamente es imposible que mapeemos todo elespacio, ya que serıan infinitos puntos. Por ello, se hace imprescindible elegir un rango de temperatura yde densidades razonable; ya sea basandose en resultados experimentales y/o en resultados de otros autoresque hayan hecho estso calculos anteriormente.

El tiempo de computacion es directamente proporcional al numero de fases posibles en cada punto elegido.Recordemos que el programa ha de calcular el mınimo de la funcion energia libre por partıcula para cadauna de las fases posible, con lo cual el tiempo va a ir duplicado en nuestro caso, ya que tenemos que calcularpara las fases FCC y BCC.

En general, es un metodo muy farragoso; ya que tenemos que ir mirando cual es el rango de α∗ para elcual la funcion tiene mınimo, e imponer ese rango en la busqueda de la anulacion de la primera derivada.Todo esto tiene que hacerse a mano, con lo cual no es un metodo demasiado comodo; ya que de no darleel rango adecuado de busqueda, Maple no encuentra mınimo y el programa colapsa sin previo aviso.

2.5. Como buscamos la fase lıquida

En general, no hemos encontrado ningun resultado teorico que dictamine alguna ecuacion o condicion parabuscar la fase lıquida; aunque sı hemos encontrado un resultado de naturaleza empırica que nos ha ayudado.Nos basamos en el criterio de Lindemann que dictamina que empıricamente, para la fase lıquida, dichocoeficiente es mayor o igual que 0.15

7

El metodo de calculo es completamente analogo a la busqueda de fase estable para BCC y FCC; con launica salvedad de que hemos buscado como lınea de fusion aquella conformada por puntos donde el coeficientede Lindemann se aproxima a 0.15 con un error relativo del 0.00001 %.

2.6. Otros metodos alternativos

Pese a que nosotros hemos utilizado este metodo, otros autores especialistas en este tipo de sistemas con estetipo de potencial, utilizando otros que; en general, son o mas complicados conceptualmente, o mas complicadosde implementar.

Hay dos tecnicas generales que se usan tambien para estudiar este tipo de sistemas; y son

La dinamica molecular

Las simulaciones de Monte Carlo

Por otra parte, los autores tambien suelen utilizar metodos muy retocados y refinados basados en otros masantiguos, o menos eficientes, inventados por otros. Algunos ejemplos son:

Metodo de la funcion de distribucion de energıas (H. R. Glyde and G. H. Keech)

Metodo de la aproximacion cuasiarmonica (R. Wentzcovitch)

Metodo de integracion de Gibbs-Duhem (Kofke)

3. Resultados

Una vez establecidos el marco teorico y el procedimiento seguido para calcular los puntos de coexistenciaentre nuestras dos fases cristalinas FCC y BCC, vayamos a ensenar los resultados obtenidos.

Como producto central, la primera grafica (Figura 1 ; construida a partir de los datos del Cuadro I) refleja eldiagrama de fases en variables reducidas t y ρ∗ a fin de tener una representacion universal e independiente de losposibles valores de la amplitud y alcance de nuestro potencial. Notese la doble escala logarıtmica y los ordenesde magnitud manejados: ρ∗ ∈ [10−4, 10−1] y t ∈ [10−6, 10−4], lo que indica que hemos tenido que trabajarcon bastante precision en el proceso de busqueda de ceros para las funciones derivadas de las energıas libresy a la hora de mapear el plano termodinamico. De hecho, nuestros puntos que maximizan la temperatura decoexistencia se aproximan a: ρ∗ ≈ 4, 0 · 10−2; t ≈ 4, 3 · 10−5.

Cabe mencionar que, en un paso previo, se grafico el actual diagrama con barras de error en funcion de comoera el error relativo o tolerancia entre las funciones libres de las dos fases. Estos, al ser ınfimos (por debajo del0,01 %) no se reflejaban en tales barras.

Si queremos conocer la posicion relativa al fluido incluimos los calculos comentados sobre la regla semiempıri-ca de Lindemann (ec.(18)) para nuestro mismo sistema. En la fig. 2 tratamos mediante cırculos estos nuevospuntos (no son mas que puntos con L = 0,15) anadidos a los ya existentes (cuadrados). Recordemos que dichalınea no es la curva de fusionVII, si no solo un resultado cualitativo de la region a partir de la cual tenemos, enla practica, fase fluida.

Ahora llega el turno de contrastar lo obtenido con otros papers (figura 3). Nos ha resultado de interes lapublicacion [3] de la bibliografıa. En ella apreciamos un comportamiento de la curva de coexistencia (fıjese enlos puntos solidos con lıneas contınuas) analogo al mostrado por nuestro metodo variacional, con unos rangosde las variables reducidas semejantes; lo que hace que estemos satisfechos con nuestros resultados. En estetrabajo complejo (trata efectos de canibalismo o reduccion efectiva de la carga de partıculas inmersas en unplasma) tambien se detalla la curva de transicion fase fluida-solida (calculada por la tecnica de integracion deGibbs-Duhem-Kofke), para distintas compresiones isotermas.

Adjuntamos tambien con los resultados anteriores una representacion de la curva de coexistencia de fasesen escala lineal y una ilustracion de temperaturas de coexistencia fusion-cristalizacion en las que nos movemos

VIIeste trabajo se escapaba a los objetivos del artıculo

8

ρ∗ t(10−5)

0,18 0,1350,16 0,520,13 1,20,11 1,90,091 2,40,080 2,90,070 3,40,060 4,00,050 4,20,040 4,30,026 4,30,020 4,20,013 3,90,010 3,50,0070 3,00,0050 2,40,0040 1,70,0030 1,20,0018 0,580,0014 0,300,0010 0,14

Cuadro 1: puntos de coexistencia de fases BCC-FCC

Figura 1: Diagrama de Fases de un sistema solido bajo interacion Yukawa mediante teorıa variacional.

para una amplitud Yukawa lo suficientemente elevada e igual a 1 keV (figura 5). Notese que estas temperaturasapenas superan los 500 K (ası pues, en rigor, trataremos temperaturas de coexistencia bajas).

4. Conclusiones

Nos hemos centrado en la construccion de un diagrama de fases para un sistema bajo potencial Yukawa yen la posterior determinacion de la coexistencia de fases por metodo variacional. Es solo una de las posiblestecnicas para estimar energıas libres dentro de una amplia gama, nombradas anteriormente en la seccion otros

9

Figura 2: Diagrama de Fases de un sistema solido bajo interacion Yukawa con la posicion relativa respecto fase fluida

metodos alternativos. A partir de aquı se establece la competencia de las fases (la fase de equilibrio es la quetiene menor energıa libre en tanto que las otras son metaestables).

Es de interes el metodo variacional al implementarse en sistemas coloidales, en donde es famoso el potencialque rige la interaccion entre esferas cargadas en suspension en agua. En primera aproximacion, el potencialconocido como DLVO (las siglas de los cientıficos involucrados Derjaguin-Landau-Verwey-Oberbeek) y que ge-neraliza nuestro Yukawa simple, toma la forma:

V (r) = V0

(eqDa

1 + qDa

)2e−qDr

qDr, (19)

donde qD es el vector de onda de Debye, a es el radio de las esferas y V0 es la amplitud del potencial. Enesta ultima formula, qD y V0 son funciones de la temperatura y de la densidad de las esferas coloidales, por loque el potencial DLVO es, en este sentido, un potencial efectivo (no mecanico). Cuando a = 0 y qD y V0 sesustituyen respectivamente por q y E, se obtiene el potencial Yukawa de antes.

Nuestros datos (y sus respectivas graficas) confirman que a altas densidades ( o sea, q bajos, o alternati-vamente, alcances del potencial largos, para lo que se dice que el potencial es relativamente debil) el fluidocristaliza en la estructura solida BCC, mientras que a densidades bajas o potenciales relativamente duros, en laFCC.

Contextualizando nuestro sistema con la asignatura de transiciones de fase, no podemos olvidar que mane-jamos en esta region del diagrama de fases transiciones estructurales, esto es, cambios de estabilidad en los queintervienen dos fases que presentan un orden diferente como consecuencia de los distintos elementos de simetrıarotos, hablando de transiciones de fusion-cristalizacion (en donde el fluido actua de fase desordenada y el solidode ordenada-con supuestas roturas de traslacion y rotacion) y de transiciones entres las estructuras cristalinasFCC y BCC: en este ultimo caso el grupo de simetrıa de una fase no es igual a un subgrupo del grupo desimetrıa de la otra fase.Al no haber fase de mayor simetrıa no podemos establece parametro de orden. Ambastransiciones las denominaremos genericamente como discontınuas (o vulgarmente, de primer orden en el sentidode Ehrenfest) al no exponerse la energıa libre como funcion par en dicho parametro.

Por ultimo, resaltar que la comparacion de la coexistencia solida con puntos con L=0.15 simplemente dauna idea cualitativa de la posicion de la fase fluida en nuestro plano.No hay que olvidar que no tratamos unacoexistencia de fase fluida-solida , pudiendo incluso L variar a lo largo de tal lınea de fusion como medida de laraız cuadrada del desplazamiento cuadratico medio de los atomos. Para ello, animamos a los lectores interesados

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Figura 3: Resultado con la publicacion he-cha en ”S.A.Khrapak et al 2010, E.P.L.9125001, Multiple phase transition associa-ted with charge cannibalism efects in com-plex m(dusty)plasmas”[3].

Figura 4: La coexistencia se marca con puntos solidos y lıneascontınuas.Las lıneas de colores tratan las curvas de transicion paradistintas compresiones isotermas y alcances del potencial albergan-do zonas de coexistencia fluido-solido.

a leer parte de los artıculos de la bibliografıa (en especial [6]).

11

Figura 5: Aplicamos una amplitud Yukawa ε =1 keV representando el diagrama de fases contemperaturas absolutas en ordenada.La formade la curva no se ve variada al ser las tempe-raturas proporcionales.

Figura 6: Diagrama en escala lineal.

Referencias

[1] Carlos Fernandez Tejero y Marc Baus: Fısica Estadıstica del Equilibrio - Fases de la materia; Ed. ADI

[2] Mark. O. Robbins, Kurt Kremer and Gary S. Grest: ”Phase diagram and dynamics of Yukawa systems”.American Institute of Physics

[3] S. A. Khrapak et al: ”Multiple phase transitions associated with charge cannibalism efects in complex(dusty) plasmas”. European Physics Letters (2010)

[4] M. H. J. Hagen and D. Frenkel: ”Determination of phase diagrams for the hard core attractive Yukawasystem”. Journal of Chemical Physics. Vol. 101, No.5 ; (September 1994))

[5] Anti-Pekka Hynninen and Marjolein Dijkstra: ”Phase diagrams of hard-core repulsive Yukawa particles”.Physical Review. E 68, 021407 (2003)

[6] Kurt Krerner, Mark O. Robbins and Gary S. Grest: ”Phase Diagram of Yukawa Systems: Model for Charge-Stabilized Colloids”. Physical Review Letters. Vol. 57; No. 21 (November 1986)

[7] Evert Jan Meijer and Daan Frenkel: ”Melting line of Yukawa system by computer simulation”. Journal ofChemical Physics; Vol. 94; No. 3 (February 1991)

[8] Pierre Papon, Jacques Leblond et Paul H. E. Meijer ”The physics of phase transitions: Concepts andApplications”. Ed. Springer

[9] S. Hamaguchi, R. T. Farouki, D. H. E. Dubin. ”Phase diagram of Yukawa systems near the one-component-plasma” Journal of Chemical Physics. Vol. 105, (July 1996)

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