Diagramas de Nichols e de Nyquist Critério de estabilidade

PowerPoint PresentationControlo de Sistemas Diagramas de Nichols e de Nyquist Critério de estabilidade de Nyquist
Alexandra Moutinho
• Margens de estabilidade de sistemas com atraso
• Resposta em frequência
– Diagrama log-magnitude fase / Nichols
• Análise de estabilidade: – Margens de estabilidade em diagramas polares e de
Nichols
• Critério de estabilidade de Nyquist
Controlo de Sistemas
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5
6
• Diagrama polar do termo de atraso: = −
= 1
• Módulo unitário
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= 1
+ 1 + arg − = −arctan −
8
: arg[()] = −180°, : = 1
MG dB = −20 log10 , MF = 180° + arg[()]

9
• : = 1
• : arg[()] = −180°
= 20 log10 1

MG = 1
=
11
() Im[ ]
Diagrama log-magnitude fase
Diagrama de Bode Diagrama polar Diagrama log-magnitude fase ou de Nichols
Vantagens:
• Integração num único gráfico da evolução do módulo em dB e da fase de ()
• Uma alteração do ganho apenas movimenta a curva para cima, ou para baixo, não alterando a sua forma
• Útil na determinação da estabilidade relativa do anel fechado via diagrama de Nichols
Controlo de Sistemas 14
Exemplos de diagramas log-magnitude fase de funções de transferência simples
Útil para analisar a estabilidade relativa (via margens de ganho e de fase) do sistema em anel fechado com realimentação unitária
Composto pela sobreposição de 2 gráficos:
1. Diagrama log-magnitude fase da função de transferência do anel aberto, ()
2. Diagrama (grid) com as curvas de magnitude em dB e da fase
constantes da função de transferência do anel fechado, ()
1+()
Diagrama de Nichols
• É fácil obter graficamente a margem de ganho, de fase, pico de ressonância, frequência de ressonância, e largura de banda do anel fechado, através da sobreposição do gráfico log- magnitude fase da função de transferência do anel aberto
• Determine as margens de ganho MG e de fase MF, e respetivas frequências de cruzamento de fase e de ganho ,
para o sistema seguinte, considerando = 10 e = 100
>> num=1;
>> G=tf(num,den)
>> figure,margin(10*G)
>> figure,margin(100*G)
= 10 = 100
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• A análise de estabilidade, utilizando as margens de estabilidade e o diagrama de Bode, pode ser inconclusiva
• Como complemento, podemos utilizar o LGR
• Como alternativa, poderemos utilizar o critério de Nyquist
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• Método global para determinação da estabilidade do sistema em anel fechado a partir da resposta em frequência do sistema em anel aberto (representação polar) e dos polos do anel aberto
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1 + ()
• De modo ao sistema em anel fechado ser estável, todas as raízes da equação caraterística
= 1 + = 0
devem estar no semiplano complexo esquerdo
• Considere o sistema em anel fechado
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= 1 +
• A um dado contorno no plano , que não passe por pontos singulares (polos), corresponde uma curva fechada no plano
• O número e direção dos envolvimentos da origem do plano pela curva fechada estão correlacionados com a estabilidade do anel fechado (critério de Nyquist)
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−1
• Eq. caraterística:
− 1 = + 1
Exemplo
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− 1 = + 1
− 1
• e suas derivadas são definidas em todo o plano exceto nos pontos singulares de ()
• Se = 2 + 1, então 2 + 1 = 2+1+1
2+1−1 = 2 − 1
• O ponto = 2 + 1 no plano é mapeado no ponto 2 − 1 no plano ()
• Deste modo, a um dado contorno no plano , que não passe por pontos singulares (polos), corresponde uma curva fechada no plano
− 1 = + 1
Exemplo
• Para um contorno fechado no plano no sentido horário: – Se o contorno no plano envolve o polo de (), então haverá
um envolvimento da origem do plano () pela curva fechada de () com sentido anti-horário
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= 1 + 2
−1 =
+1
−1
Exemplo
• Para um contorno fechado no plano no sentido horário: – Se o contorno no plano envolve o zero de (), então haverá
um envolvimento da origem do plano () pela curva fechada de () com sentido horário
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= 1 + 2
−1 =
+1
−1
Exemplo
• Para um contorno fechado no plano no sentido horário: – Se o contorno no plano envolve o zero e o polo de (), ou
não envolve nem o zero nem o polo, então não haverá envolvimento da origem do plano () pela curva fechada de ()
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= 1 + 2
−1 =
+1
−1
Exemplo
• Para um contorno fechado no plano no sentido horário: – Se o contorno no plano envolve o zero e o polo de (), ou
não envolve nem o zero nem o polo, então não haverá envolvimento da origem do plano () pela curva fechada de ()
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= 1 + 2
−1 =
+1
−1
• A direção do envolvimento da origem do plano () pela curva fechada de () depende se o contorno do plano envolve um polo ou um zero
• A localização de um polo ou um zero (semiplano complexo esquerdo ou direito) é irrelevante para o envolvimento da origem
• Se o contorno no plano envolve igual número de polos e zeros, então a correspondente curva fechada no plano () não envolve a origem do plano ()
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• Seja () a razão de 2 polinómios em • Seja o número de polos e o número de zeros de (), incluindo polos e zeros com multiplicidade superior a 1, dentro de um dado contorno fechado no plano que não passe por quaisquer polos ou zeros de ()
• Este contorno fechado no plano é mapeado no plano () por uma curva fechada
• O número total de envolvimentos no sentido horário da origem do plano () por esta curva fechada é igual a −
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()
– Raízes de = 0: zeros da FT anel aberto
– Raízes de = 0: polos da FT anel aberto
Aplicação à análise de estabilidade de sistemas em anel fechado
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• Eq. caraterística anel fechado: 1 + = 0
1 + = 1 + ()
() = + ()
()
– Raízes de + = 0: () polos da FT anel fechado
– Raízes de = 0: () polos da FT anel aberto
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1. Mapear a eq. caraterística do anel fechado, +()
() , no contorno de
()
2. O número () e sentido dos envolvimentos em torno da origem do contorno resultante são o resultado de
= −
onde
• = número de envolvimentos em torno da origem com sentido horário resultantes das raízes instáveis de + = 0 (polos do anel fechado)
• = número de envolvimentos em torno da origem com sentido anti-horário resultantes das raízes instáveis de = 0 (polos do anel aberto)
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3. A estabilidade do anel fechado é garantida caso = 0 = −
onde
• = número de envolvimentos em torno da origem do diagrama de
Nyquist da função de transferência +()
()
• = número de polos instáveis da função de transferência do anel aberto
• É possível facilitar este procedimento, mapeando, ao invés da eq.
caraterística 1 + = +()
() , a FT do anel aberto
= ()
() , e verificar os envolvimentos em torno de −1
(ponto crítico de estabilidade), ao invés da origem
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Ponto crítico de estabilidade
1 + = 0 = −1
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• O contorno fechado no plano engloba todo o semiplano complexo direito, envolvendo todos os zeros e polos de ()() com parte real positiva
• Este contorno denomina-se contorno de Nyquist
• Se ()() tiver polos ou zeros no eixo imaginário, o contorno de Nyquist contorná-los-á pela direita
×
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1. Desenhar o diagrama de Nyquist da função de transferência do anel aberto, ()(), com = , e considerando −∞ ≤ ≤ +∞
2. Contar o número de envolvimentos do diagrama de Nyquist em torno do ponto crítico de estabilidade, −1, e designar esse valor por, . Se os envolvimentos de −1 forem no sentido anti-horário, é negativo
3. Contar o número de polos instáveis da função de transferência do anel aberto, ()(), e designar esse valor por
4. Determinar o número de polos instáveis da função de transferência do anel fechado, designando esse valor por , através da seguinte expressão:
= + 5. A estabilidade do anel fechado só estará garantida se = 0, o que só
poderá acontecer numa das seguintes situações: • = 0 e = 0 • = −, para ≠ 0 ou ≠ 0
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• Diagrama polar — mapeamento da função de transferência na parte positiva do eixo imaginário, quando = e = 0+ → +∞
• Diagrama de Nyquist — mapeamento da função de transferência ao longo de todo o eixo imaginário, quando = e = −∞ → +∞, e ao longo do contorno no infinito
• Diagrama de Nyquist = Diagrama polar ( = 0+ → +∞)
+
+
Mapeamento no infinito ( = +∞ → −∞): necessário se o sistema for de tipo superior a 0 (com polos na origem)
Diagrama de Nyquist
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Desenhe o diagrama polar da FT anel aberto = 10
(+1)(+2)
2. Ponto final → +∞
Exemplo
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• Analise a estabilidade do sistema em anel fechado seguinte utilizando o critério de Nyquist
• Desenhar o diagrama de Nyquist da FT anel aberto:
= 10
( + 1)( + 2) =
lim →+∞
Diagrama polar ( = 0+ → +∞) Zoom do diagrama polar ( = 0+ → +∞)
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Diagrama polar ( = 0+ → +∞ e = −∞ → 0−)
• O diagrama de Nyquist encontra-se aberto mapeando = 0+ → +∞ e = −∞ → 0− quando o sistema é de tipo superior a 0 (tem polos na origem)
• Deve-se, a nestes casos, o contorno de Nyquist contornar o(s) polo(s) pela direita
• Como obter um diagrama de Nyquist fechado, i.e., como ligar = 0− com = 0+? A curva de fecha por +∞ ou −∞?
50
10
51
Análise de estabilidade do anel fechado: • Número de envolvimentos do
diagrama de Nyquist em torno do ponto crítico de estabilidade, − 1:
= 2 • Número de polos instáveis da
função de transferência do anel aberto:
= 0 • Número de polos instáveis da
função de transferência do anel fechado: = + = 2 + 0 = 2
= + = 2 + 0 = 2
• O sistema em anel fechado é instável, com 2 polos no SPCD
• Confirmação da resposta ao
degrau unitário () = 1

• Como analisar a estabilidade do sistema para um ganho ∈ −∞,+∞ desconhecido?
Exemplo
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• Analise a estabilidade do sistema em anel fechado seguinte utilizando o critério de Nyquist, para ∈ −∞,+∞
• Eq. caraterística anel fechado:
() = 0
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Ponto crítico de estabilidade
= −1/
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()
2. Contabilizar o número e o sentido dos envolvimentos em torno do ponto −1/. O ponto −/ passa a ser o ponto crítico de estabilidade
3. A estabilidade do anel fechado é garantida caso = + = 0:
• = número de envolvimentos em torno de −1/ do diagrama
de Nyquist da FT do anel aberto, ()
()
• = número de polos instáveis da FT do anel aberto
• Z= número de polos instáveis da FT do anel fechado
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• Analise a estabilidade do sistema em anel fechado seguinte utilizando o critério de Nyquist, para ∈ −∞,+∞
• Desenhar o diagrama de Nyquist da FT anel aberto, para = 1:
= 1
lim →+∞
Diagrama polar ( = 0+ → +∞) Zoom do diagrama polar ( = 0+ → +∞)
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Exemplo
Diagrama polar ( = 0+ → +∞ e = −∞ → 0−) • Para obter um diagrama
de Nyquist fechado, i.e., para ligar = 0− com = 0+, calcular 0+ = lim
→0+
1
2. Determinar
= 0
= 0
anel fechado estável
fechado no limite de estabilidade
• Para −0.5 < Τ−1 < 0− ( > 2):
= 2
• Para 0+ < Τ−1 < +∞ ( < 0):
= 1
Exemplo
• O sistema em anel fechado só é estável para valores do ganho 0 < < 2 • = 2, sistema de controlo no limite de estabilidade, polos em: −2, e ± • > 2, sistema de controlo com 2 polos (complexos conjugados) no SPCD • < 0, sistema de controlo com 1 polo (real) no SPCD
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• Exemplos de aplicação do critério de Nyquist e comparação com LGR
– Modern Control Engineering, K. Ogata, PrenticeHall International (4ª edição), 2002
– Control Systems Engineering, Norman Nise, John Wiley & Sons (6ª edição), 2011
– Controlo de Sistemas, Miguel Ayala Botto, AEIST Press, 2008
– Feedback Control of Dynamic Systems, Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas EmamiNaeini, Pearson (6ª edição), 2010

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