DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA ...daniele.andreucci/pdf/2017_2018...DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA A.A. 2017/2018 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA

DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DIFISICA MATEMATICA A.A. 2017/2018

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA

DANIELE ANDREUCCI, EMILIO CIRILLODIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA

UNIVERSITÀ LA SAPIENZAVIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY

• I richiami ai testi sono identificati così:A: Versione preliminare degli Appunti del corso, pubblicata sulsito del corso prima dell’inizio del corso;R: Sheldon M. Ross, Introduction to Probability Models, 9th edi-tion, Academic Press;G: Geoffrey Grimmet and David Stirzaker, Probability and Ran-dom Processes, Third Edition, Oxford University Press;L: Gregory F. Lawler, Random Walk and The Heat Equation,American Mathematical Society, Providence, Rhode Island.• La numerazione n/m relativa agli esercizi si riferisce all’esercizion del gruppo m, nella raccolta pubblicata sul sito del corso primadell’inizio del corso.

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1. Lunedì 25/09/2017(Cirillo) (Aula 20)

Presentazione del corso.Discussione del comportamento della soluzione dell’equazione di diffu-sione in dimensione spaziale 1: larghezza della distribuzione in funzionedel tempo.Introduzione euristica al modello di Random Walk (passeggiata aleato-ria) su Z. Calcolo del valor medio della posizione della particella dopon passi e del valor medio del quadrato della posizione della particelladopo n passi definito come la media su tutte le possibili realizzazionedella traiettoria della particella in n passi.Introduzione al calcolo delle probabilità [R, Paragrafi 1.1 e 1.2], [G,Paragrafi 1.1 e 1.2]. Definizione di spazio campionario, definizione dialgebra degli eventi.

Esempio 1.1. Lancio della moneta, lancio del dado, lancio di duemonete.

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2. Mercoledì 27/09/2017(Andreucci) (Aula 20)

Richiami sulle derivate parziali.Equazioni alle derivate parziali del primo ordine riducibili a equazionialle derivate ordinarie.

Esempio 2.1.uy = u+ xy , x, y ∈ R .

Assegnazione di un dato su y = 0. Perché non si può assegnare il datosu x = 0.

L’equazione del trasportout + cux = 0 ,

con c > 0. Integrale generale nella formau(x, t) = f(x+ ct) .

Derivazione dalla dinamica dell’equazione delle onde in una dimensionespaziale

utt − c2uxx = 0come modello di una corda vibrante.Derivazione dell’equazione del calore dalla legge di Fourier.Soluzioni X(x)T (t) per separazione delle variabili dell’equazione delcalore in dimensione 1:

X ′′

X= T ′

DT= λ .

Soluzioni a variabili separabili che si annullano in due punti: caso diseni e coseni (λ < 0).

Per casa 2.2. Soluzioni a variabili separabili che si annullano in duepunti: caso di esponenziali (λ > 0 e caso lineare λ = 0).

Paragrafi di riferimento sul testo: A: 1.1, 1.4, 5.1.

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Introduzione al calcolo delle probabilità [R, Paragrafi 1.2 e 1.3], [G,Paragrafi 1.2 e 1.3]. Proprietà delle σ–algebre, definizione di misura diprobabilità, proprietà delle misure di probabilità, definizione di insiemelimite e sua probabilità, esempi.

Esempio 3.1. σ–algebra minimale, insieme delle parti.

Teorema 3.2. Se F è una σ–algebra su S, allora i) S ∈ F , ii) ladifferenza e la differenza simmetrica di due insiemi misurabili è misu-rabile, iii) un’intersezione finita o numerabile di insiemi misurabili èmisurabile, iv) l’intersezione di due σ–algebre è una σ–algebra.

Teorema 3.3. i) P(Ec) = 1 − P(E), ii) F ⊃ E ⇒ P(F ) = P(E) +P(F \ E) ≥ P(E), iii) P(E ∪ F ) = P(E) + P(F ) − P(E ∩ F ), iv)P(E ∩ F ) ≤ P(E), v) P(E \ F ) ≤ P(E).

Teorema 3.4. Se A1 ⊂ A2 ⊂ · · · e B1 ⊃ B2 ⊃ · · · , allora P(limn→∞An) =limn→∞ P(An) e P(limn→∞Bn) = limn→∞ P(Bn).

Esempio 3.5. Costruzione dello spazio di probabilità per il lancio diuna moneta, per il lancio di un dado, per il lancio di due monete e peril lancio di due dadi.

Esempio 3.6. Problema del Cavaliere di Meré: calcolare la probabilitàdi almeno un sei se un dado non truccato viene lanciato quattro volte;calcolare la probabilità del doppio sei se due dadi non truccati vengonolanciati ventiquattro volte.

Esempio 3.7. Calcolare la probabilità che in un insieme di n personescelte a caso ve ne siano almeno due che festeggiano il compleanno lostesso giorno.

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Derivazione dell’equazione della diffusione secondo Einstein.Soluzione fondamentale e sua interpretazione; cammino quadratico me-dio.Problemi di Dirichlet e di Neumann.Separazione delle variabili per l’equazione del calore e l’equazione delleonde in dimensione spaziale maggiore di 1.Autofunzioni del problema di Dirichlet e del problema di Neumann.

Teorema 4.1. Gli autovalori del problema di Dirichlet sono stretta-mente positivi.Gli autovalori del problema di Neumann sono non negativi, e 0 è au-tovalore con autofunzione costante.

Esercizio 4.2. Ricerca delle autofunzioni del problema di Dirichlet nelquadrato (0, π)× (0, π). Autovalori.

Per casa 4.3. Ricerca delle autofunzioni del problema di Neumannnell’intervallo (0, π).Ricerca delle autofunzioni del problema di Neumann nel quadrato (0, π)×(0, π). Autovalori.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.2, 2.3, 5.1, 5.2.


Introduzione al calcolo delle probabilità [R, Paragrafi 1.4], [G, Para-grafi 1.4]. Probabilità condizionali. Esempi e esercizi tratti dai testi[R] e [G] nei paragrafi citati.

Teorema 5.1. i) P = P(E|F )P(F )+P(E|F c)P(F c), ii) P(E) = ∑ni=1 P(E|Fi)P(Fi),

iii) formula di Bayes.

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6. Mercoledì 11/10/2017(Cirillo) (Aula 20)

Introduzione al calcolo delle probabilità [G, Paragrafi 1.5, 2.1, 2.3, 2.4],[R, Paragrafi 1.5, 1.6, 2.1, 2.2, 2.3]. Eventi indipendenti, famiglie dieventi indipendenti, famiglie di eventi indipendenti a coppie.

Esempio 6.1. [G, example 1.5.2], [G, example 1.5.3], [G, exercise1.5.3], [R, exercise 1.3]

Variabili aleatorie: introduzione e definizione. Definizione di funzionedi distribuzione.

Esempio 6.2. [G, example 2.1.1], [R, example 2.3]

Teorema 6.3. i) limx→−∞ F (x) = 0, limx→∞ F (x) = 1; ii) x < y ⇒F (x) ≤ F (y); iii) limh→0+ F (x+ h) = F (x).

Teorema 6.4. i) P(X > x) = 1 − F (x); ii) P(x < X ≤ y) = F (y) −F (x); iii) P(X = x) = F (x)− limy→x− F (y).

Definizione di variabile aleatoria discreta e continua.

Esempio 6.5. Variabile aleatoria uniforme [R, 2.3.1], variabile aleato-ria esponenziale [R, 2.3.2], variabile aleatoria Gamma [R, 2.3.3], varia-bile aleatoria gaussiana [R, 2.3.4].

Per casa 6.6. Dimostrazione della seconda parte del punto i) del teo-rema 6.3.Dimostrazione del teorema 6.4.Determinare la funzione di distribuzione di una variabile aleatoria uni-forme.Dimostrare che Γ(n) = (n− 1)!.Dimostrare che la variabile aleatoria gaussiana è ben normalizzata.

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Variabile aleatorie discrete [G, Paragrafi 3.1,3.2], [R, Paragrafi 2.1, 2.2,2.3]. Variabile Bernoulli, normalizzazione. Variabile Binomiale, nor-malizzazione, interpretazione in termini di numero di testa in lanci dimonete indipendenti. Variabile geometrica, normalizzazione, connes-sione con la lunghezza della stringa in lanci di monete ripetuti fino allaprima testa. Variabile di Poisson, normalizzazione.

Esempio 7.1. [R, example 2.6], [R, example 2.7], [R, example 2.8],

Teorema 7.2 (di Poisson). Se p = λ/n con λ > 0 fissato, allora fissatok, la probabilità che una variabile binomiale di parametri n e p assumavalore k, nel limite n → ∞ tende alla probabilità che una variabile diPoisson di parametro λ assuma valore k.

Esempio 7.3. La probabilità di centrare un bersaglio è p = 10−3. Sieffettuano n = 5000 tiri. Calcolare la probabilità di fare almeno duecentri usando la distribuzione binomiale e la sua approssimazione diPoisson.

Variabili aleatori discrete indipendenti e famiglie di variabili aleatoriindipendenti.

Esempio 7.4. Nel lancio di una moneta le variabili aleatori numero diteste e numero di croci non sono indipendenti.

Il lancio di una moneta viene ripetuto un numero di volte aleatorio scel-to in accordo con la distribuzione di poisson. Allora le variabili aleatorinumero di teste e numero di croci sono indipendenti (poissonizzazione).

Per casa 7.5. Dimostrare che in un lancio di n monete indipenden-ti le variabili aleatorie numero di test e numero di croci non sonoindipendenti.Completare i calcoli relativi alla dimostrazione delle poissonizzazionedelle variabili aleatorie numero di teste e numero di croci in un lancioripetuto di un numero aleatorio di monete indipendenti.Discutere l’esempio [R, example 2.9].

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Teorema 8.1. Se (ϕ1, λ1), (ϕ2, λ2) sono coppie a./a. per lo stessoproblema, e λ1 6= λ2, allora∫

Ω

ϕ1(x)ϕ2(x) dx = 0 .

Osservazioni sulle analogie con le matrici simmetriche.Esempio 8.2. Esempio di un problema di Dirichlet con soluzione avariabili separate in (0, π)× (0, π).

Metodo degli sviluppi in serie di autofunzioni del laplaciano per le solu-zioni dell’equazione del calore non omogenea. Necessità dello sviluppoin serie infinita. Equazione differenziale per i coefficienti dipendenti daltempo. Normalizzazione delle autofunzioni.Esempio 8.3. Normalizzazione nel caso di sin(nx) in (0, π). Verificadell’ortogonalità.

Per casa 8.4. Normalizzare il sistema 1, cos(nx) n ≥ 1 in (0, π).Verificare l’ortonormalità.

Il sistema di Fourier 1, cos(nx), sin(nx) in (−π, π) come sistema diautofunzioni per il problema periodico.Per casa 8.5. Trovare i problemi di cui sono autofunzioni rispettiva-mente le sin(2n+ 1)x e le cos(2n+ 1)x, n ≥ 0 in (0, π/2).

Teorema 8.6. (Stima dell’energia) Se u è regolare e risolveut −D∆u = 0 , in Ω × (0, T ),

conu∂u

∂ν= 0 su ∂Ω × (0, T ),

allora per 0 < t < T

12

∫Ω

u(x, t)2 dx+t∫

0

∫Ω

D|∇u|2 dx dτ = 12

∫Ω

|∇u(x, 0)|2 dx .

Corollario 8.7. Due soluzioni regolari diut −D∆u = F (x, t) , in Ω × (0, T );

u(x, t) = g(x, t) , su ∂Ω × (0, T );u(x, 0) = u0(x) , in Ω;

coincidono.8

Introduzione dello spazio L2(I); identificazione di funzioni tali che∫I

|f(x)− g(x)|2 dx = 0 .

Prodotto scalare di funzioni, norma, distanza tra funzioni. Commentisul significato della norma in L2(I). Proprietà del prodotto scalare;simmetria, linearità, positività. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.Disuguaglianza triangolare. Disuguaglianza tra norme:

|‖f‖ − ‖g‖| ≤ ‖f − g‖ .Definizione di convergenza di successioni e serie in L2(I). Definizionedi funzioni ortogonali.

Paragrafi di riferimento sul testo: 5.3, 6.2, 7.1, 7.2.

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Variabili aleatorie discrete [G, Paragrafi 3.3, 3.4, 3.5], [R, Paragrafi 2.4].Attesa, momenti della distribuzione di una variabile aleatoria, momenticentrati, varianza, deviazione standard.

Esempio 9.1. [G, example 3.3.2], attesa del numero di teste su duelanci di monete non truccate.

Teorema 9.2. Attesa della funzione di una variabile aleatoriea, E[g(X)] =∑x∈ΩX

g(x) p(x).

Esempio 9.3. [G, example 3.3.4], X = −2,−1, 1, 3 con probabilitàdate da 1/4, 1/8, 1/4, 3/8. Calcolare l’attesa diX2 usando la definizionee il teorema precedente.

Esempio 9.4. Calcolo dell’attesa, del secondo momento e della va-rianza della variabile di Bernoulli e di quella di Poisson.

Per casa 9.5. Calcolo dell’attesa, del secondo momento e della va-rianza della variabile geometrica e di quella binomiale.

Teorema 9.6. i) se X ≥ 0 allora E[X] ≥ 0; ii) E[aX+bY ] = aE[X]+bE[Y ];

Teorema 9.7. Se X e Y sono indipendenti, allora E[XY ] = E[X]E[Y ].

Definizione di variabili non correlate e osservazione che indipendentiimplica non correlate.

Per casa 9.8 (G, problem 3.11.16). Siano X e Y Bernoulli indipen-denti di parametro 1/2. Verificare che X + Y e |X − Y | sono noncorrelate, ma non sono indipendenti.

Teorema 9.9. i) Var[aX] = a2Var[X]; ii) Var[X + Y ] = Var[X] +Var[Y ] + 2[E[XY ]− E[X]E[Y ]].

Esempio 9.10. Calcolo dell’attesa della somma dell’esito del lancio ditre dadi non truccati usando la linearità dell’attesa e usando la defi-nizione di attesa sullo spazio campionario che descrive il lancio di tredadi con 63 eventi elementari.

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Teorema 10.1. Se u soddisfautt − c2uxx = 0 , in (a, b)× (α, β),

valeu(x, t) = f(x− ct) + g(x+ ct) ,

per f e g funzioni opportune.

Teorema 10.2. Il problema di Cauchy per l’equazione delle onde indimensione N = 1 ha unica soluzione data dalla formula di D’Alembert

u(x, t) = 12[u0(x− ct) + u0(x+ ct)] + 1

2c

x+ct∫x−ct

u1(s) ds .

Definizione di soluzione debole del problema di Cauchy per l’equazionedelle onde.Analisi della struttura della soluzione del problema di Cauchy nei duecasi: 1) u0(x) = χ(x), u1(x) = 0 per ogni x ∈ R; 2) u0(x) = 0,u1(x) = χ(x) per ogni x ∈ R. Qui χ(x) = 1 se x ∈ (a, b), χ(x) = 0 sex 6∈ (a, b).

Esercizio 10.3. 1, 8/300.

Per casa 10.4. 2, 4/300; 2, 8/310.

Teorema 10.5. Se fn → f allora (fn, g) → (f, g).Se ∑∞

n=1 Fn = F allora ∑∞n=1 (Fn, g) = (F, g).

Definizione di funzioni ortogonali.

Proposizione 10.6. Funzioni diverse da zero e ortogonali due a duesono linearmente indipendenti.

Corollario 10.7. L2(I) ha dimensione infinita come spazio vettoriale.

Definizione di sistema ortonormale.Approssimazione di funzioni con sistemi ortonormali; il metodo deiminimi quadrati.

Paragrafi di riferimento sul testo: 3.3, 7.1, 7.2, 7.3, 10.1.

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Variabili aleatorie discrete [G, Paragrafi 3.6, 3.8], [R, Paragrafi 2.5].Funzione di distribuzione congiunta e funzione di probabilità congiunta.

Teorema 11.1. Per X e Y variabili aleatorie discrete valgono le se-guenti affermazioni:

– pX(x) = ∑y∈ΩY

pX,Y (x, y) e pY (y) = ∑x∈ΩX

pX,Y (x, y) (margina-li);

– X e Y indipendenti se e soltanto se pX,Y (x, y) = pX(x)pY (y) perogni x e y;

– se X e Y sono indipendenti allora FX,Y (x, y) = FX(x)FY (y) perogni x e y.

Esempio 11.2. Calcolo della marginale usando la conoscenza dellafunzione di probabilità congiunta per le variabili aleatorie X = numerodi teste e Y = numero di croci in un solo lancio e in un lancio diN monete non truccate ove N è una variabile aleatoria di Poisson diparametro λ.

Teorema 11.3. Siano X e Y variabili aleatorie discrete e g : R2 → R,allora E[g(X, Y )] = ∑

x∈ΩX , y∈ΩYg(x, y)pX,Y (x, y).

Il teorema precedente può essere usato per dimostrare in modo sempliceche E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ]. Il teorema precedente può essereusato per dimostrare in modo semplice che se X e Y sono indipendenti,allora E[XY ] = E[X]E[Y ].Definizione di covarianza cov(X, Y ) e di correlazione ρ(X, Y ) (o coef-ficiente di correlazione). Proprietà elementari cov(X,X) = Var[X] ecov(X, Y + Z) = cov(X, Y ) + cov(X,Z).

Teorema 11.4. Siano X e Y due variabili aleatorie discrete:– E[XY ]2 ≤ E[X2]E[Y 2] (disuguaglianza di Cauchy–Schwarz);– |ρ(x, y)| ≤ 1.

Teorema 11.5. Siano X e Y due variabili aleatorie discrete: P(X +Y = z) = ∑

x∈ΩXpX,Y (x, z − x) e, se X e Y sono indipendenti, P(X +

Y = z) = ∑x∈ΩX

pX(x)pY (z − x) ≡ pX ? pY (convoluzione).

Esempio 11.6. La somma di due variabili aleatorie di Poisson diparametri λ1 e λ2 è una variabile di Poisson di parametro λ1 + λ2.

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Esempio 12.1. Discussione con gli studenti dell’esercizio [R, exercise1.13].

Esempio 12.2. La variabile binomiale di parametri p e n è la sommadi n variabili di Bernoulli di parametro p. Applicazione al calcolo dellamedia e della varianza.

Introduzione al Random Walk [L, capitolo 1]. Definizione di randomwalk 1D semplice e simmetrico, analogia con la somma di variabili diBernoulli, calcolo della media e della varianza, comportamento diffu-sivo. Calcolo della probabilità che all’istante n la particella occupi laposizione j.


Disuguaglianza di BesselDefinizione di sistemi ortonormali completi.Identità di Parseval.

Corollario 13.1. Il sistema ortonormale ϕn è completo se e solo seper ogni f , g ∈ L2(I) vale

+∞∑n=1

(f, ϕn)(g, ϕn) = (f, g) .

Esempi di sistemi ortonormali completi: F , C, S, C, S, per le variecondizioni al bordo.Passaggio ad altri intervalli.Applicazione del metodo di Fourier a problemi al contorno per l’equa-zione delle onde e del calore. Esempi.

Esercizio 13.2. 3/310.

Uso della formula di D’Alembert per la soluzioni di problemi in inter-valli limitati e semirette.

Per casa 13.3. 9, 10/610; 14, 20, 26/620.

Paragrafi di riferimento sul testo: 7.3, 7.4, 8.1, 8.2, 8.3, 10.6.

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Random Walk [L, capitolo 1]. Comportamento della probabilità cheall’istante n la particella occupi la posizione j.Discussione e dimostrazione di alcune disuguaglianze notevoli e appli-cazione al Random Walk.

Teorema 14.1. Siano X una variabile aleatoria discreta, sia h : R→[0,∞] una funzione non negativa e a > 0, allora: i) P(h(X) ≥ a) ≤E[h(X)]/a (disuguaglianza di Markov [R, proposition .2.6], [G, theo-rem 7.3.1]); ii) P(|X| ≥ a) ≤ E[X2]/a2 (disuguaglianza di Chebyshev[G, example 7.3.3]); iii) P(|X−E[X]| ≥ a) ≤ Var[X]/a2 (disuguaglian-za di Chebyshev [R, proposition 2.7]).

Teorema 14.2 (Formula di Stirling). Vale n! =√

2πnn+1/2e−n(1 +ϕ(n)) con ϕ(n)→ 0 per n→∞.

Lemma 14.3. Presa bn successione di numeri positivi, posto δj =bj/bj−1 − 1, se ∑

j≥2 δj converge allora esiste finito il limite della suc-cessione bn.

Lemma 14.4. Esiste finito il limite della successione n!/(xn+1/2e−n).


Enunciato, dimostrazione e discussione del teorema limite centrale peril random walk simmetrico [L].

Teorema 15.1 (Limite centrale per il random walk simmetrico). Pera < b si ha limn→∞ P(a

√2n ≤ S2n ≤ b

√2n) = (1/

√2π)

∫ ba exp−x2/2 dx.

Enunciato e discussione del teorema limite centrale (De Moivre–Laplace)per la somma di variabili aleatorie identicamente distribuite.

Teorema 15.2 (De Moivre–Laplace). Siano X1, X2, . . . variabili alea-torie (discrete) indipendenti e identicamente distribuite. Sia E[X1] =µ ∈ R e Var[X1] = σ2 ∈ R. Allora, posto Sn = X1 + · · ·+Xn, per ogniy ∈ R si ha limn→∞ P((Sn−µn)/(σ

√n) ≤ y) = (1/

√2π)

∫ y−∞ exp−x2/2 dx.

Esempio 15.3. Un giocatore punta alla roulette un euro sul rosso ri-petutamente. La roulette ha 16 numeri rossi, 16 neri e 2 verdi. Stimarela probabilità che il giocatore sia in attivo dopo 100 giocate.

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Teorema 16.1. (s.d.) Sia il problema di Dirichlet che il problema diNeumann per il laplaciano hanno una successione infinita di coppieautofunzione/autovalore (ϕn, λn). Inoltre

limn→∞

λn = +∞ .

Infine ϕn è un sistema ortonormale completo.

Il caso N = 1 (intervalli di R) si è considerato direttamente.Il caso N = 2 con Ω rettangolo segue dal

Teorema 16.2. (s.d.) Sia ϕn, rispettivamente ψm, un sistema or-tonormale completo in L2(I), rispettivamente in L2(J). Allora ϕnψmè un sistema ortonormale completo in L2(I × J).

Teorema 16.3. Se f ∈ C1([−π, π]) e f(π) = f(−π) allora la serie diFourier di f converge uniformemente.

Il fenomeno di Gibbs.Principio del massimo debole per l’equazione di Poisson:

Teorema 16.4. Sia u ∈ C(Ω) ∩ C2(Ω). Allora se ∆u ≥ 0 in Ω valemaxΩ

u = max∂Ω

u .

Teorema 16.5. Sia u ∈ C(Ω) ∩ C2(Ω). Allora se ∆u ≤ 0 in Ω valeminΩ

u = min∂Ω

u .

Teorema 16.6. Sia u ∈ C(Ω) ∩ C2(Ω). Allora se ∆u = 0 in Ω valemin∂Ω

u ≤ u(x) ≤ max∂Ω

u , x ∈ Ω .

Frontiera parabolica; sua rilevanza modellistica.Principio del massimo debole per l’equazione del calore.

Esercizio 16.7. 1, 4/430; 20/620.

Per casa 16.8. 18/620; 17/610; 23, 25/430; 18/420.


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Proprietà di ricorrenza del random walk [L].

Teorema 17.1. La probabilità che il random walk semplice e simme-trico in dimensione uno torni nell’origine è uno.

Argomenti euristici per stimare la probabilità che il random walk indimensione d ≥ 1 arbitraria sia nell’origine all’istante 2n.

Teorema 17.2. La probabilità che il random walk semplice e simme-trico in dimensione due torni nell’origine è uno.

Definizione di limite superiore e limite inferiore di una sequenza dieventi. Interpretazione dei due eventi.

Teorema 17.3 (Lemma di Borel–Cantelli). Data la sequenza di eventiA1, A2, . . . , se

∑∞i=1 P(Ai) <∞, allora P(lim supn→∞Ai) = 0.

Teorema 17.4. In dimensione d ≥ 3 la probabilità che il random walktorni nell’origine infinite volte è zero.

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Problema di Cauchy per l’equazione del calore. Formula di rappresen-tazione. La soluzione fondamentale dell’equazione del calore. Teoremadi esistenza e unicità per soluzioni limitate.Teorema 18.1. Se il dato iniziale soddisfa m ≤ u0 ≤ M , allora lasoluzione del problema di Cauchy per l’equazione del calore soddisfam ≤ u ≤M .Se il dato iniziale è integrabile in RN allora la soluzione soddisfa

|u(x, t)| ≤ C

tN2, t > 0 .

Proposizione 18.2. Conservazione della massa per dati iniziali inte-grabili e non negativi.Propagazione con velocità infinita.Teorema 18.3. Se u è la soluzione del problema di Cauchy per l’equa-zione del calore, corrispondente al dato iniziale non negativo u0, valeche per ogni ε > 0 esiste Cε > 0 tale che∫

|x|≤Cε

√Dt+L

u(x, t) dx ≥ (1− ε)∫

|x|≤L

u0(x) dx ,

per ogni u0 ≥ 0, L > 0.Ottimalità della stima asintotica

u(x, t) ≤ costantet

N2

per soluzioni non negative del problema di Cauchy per l’equazione dlcalore.Teorema 18.4. (s.d.) Se u è la soluzione del problema di Cauchy perl’equazione del calore, corrispondente al dato iniziale non negativo u0,vale che

u(x, t) ≥ c0

(Dt)N2, |x| ≤ C

√Dt , t ≥ t0 ,

ove c0 > 0 e C > 0 dipendono da u0, L, t0 e D.Effetto regolarizzante dell’equazione del calore.Principio del massimo forte:Teorema 18.5. (s.d.) Sia u ∈ C(Ω) ∩ C2(Ω), Ω connesso. Allora se∆u ≥ 0 in Ω ed esiste x0 ∈ Ω tale che

u(x0) = max∂Ω

u ,

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vale u ≡ costante in Ω.

Principio del massimo forte per l’equazione del calore (s.d.).Condizione della sfera interna. Lemma di Hopf per l’equazione diLaplace e per quella del calore (s.d.).



Il problema della rovina del giocatore [L]. Interpretazione in terminidi Random Walk di una particella soggetta a deriva costante e conposizione iniziale S0 = x ∈ Zd ∩ [0, N ]: Sn = x + X1 + · · · + Xn conP(X1 = +1) = p e P(X1 = −1) = 1 − p, con 0 < p < 1. Calcolo delvalor medio e della varianza della posizione Sn al tempo n. Equazionialle differenze finite omogenee e non omogenee.

Teorema 19.1. Posto T = infn ≥ 0, Sn = 0 o Sn = N, si haP(T =∞|S0 = x) = 0.

Lemma 19.2. Posto F (x) = P(ST = N |S0 = x) si ha i) F (0) = 0, ii)F (N) = 1, iii) F (x) = pF (x+1)+(1−p)F (x−1) per x = 1, . . . , N−1.

Teorema 19.3. Per p = 1/2 si ha F (x) = x/N , Per p 6= 1/2 si haF (x) = [((1− p)/p)x − 1]/[((1− p)/p)N − 1].

Lemma 19.4. Posto e(x) = E(T |S0 = x) = ∑t≥1 tP(T = t|S0 = x) si

ha i) e(0) = 0, ii) e(N) = 0, iii) e(x) = 1 + pe(x+ 1) + (1− p)e(x− 1)per x = 1, . . . , N − 1.

Teorema 19.5. Per p = 1/2 si ha e(x) = x(N −x), Per p 6= 1/2 si hae(x) = x/(1− 2p)− [N/(1− 2p)][((1− p)/p)x − 1]/[((1− p)/p)N − 1].

Osservazioni sul comportamento balistico della particella per p 6= 1/2,e(N/2) ≈ N/[2(1 − 2p)], e sul comportamento diffusivo per p = 1/2,e(x) = (N/2)2.

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Esercizio 20.1. 10, 26/430.

Il metodo di Galerkin.Applicazione del metodo di Galerkin all’equazione del calore con diffu-sività variabile.Confronto tra i metodi di Galerkin e di Fourier.Corda con carico continuo e discontinuo, caso stazionario.Corda con carico concentrato costante, caso stazionario. Condizioni diraccordo. Risoluzione mediante il metodo di Fourier.

Paragrafi di riferimento sul testo: 14.1, 14.2, 14.3.

21. Giovedì 07/12/2017(Andreucci) (Aula 23)

Esercizio 21.1. 5/520.

Corda con carico concentrato costante, caso stazionario. Condizio-ni di raccordo. Risoluzione mediante il metodo di Fourier (approcciorigoroso con le condizioni di raccordo).Corda con carico concentrato dipendente dall’incognita. Condizioni diraccordo. Risoluzione mediante il metodo di Galerkin.In alternativa, risoluzione mediante il metodo di Fourier: ricerca delleautofunzioni. Equazione degli autovalori.

Per casa 21.2. Dimostrare che gli autovalori sono positivi e che au-tofunzioni corrispondenti ad autovalori diversi sono ortogonali.

Il metodo delle soprasoluzioni e sottosoluzioni per l’equazione del calo-re.

Esercizio 21.3. 8/420;Se il dato iniziale del problema di Cauchy per l’equazione del calore èdispari allora la soluzione è dispari.

Paragrafi di riferimento sul testo: 4.4, 14.3.

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Il principio di Duhamel. Applicazione all’equazione differanzialey′ = ay + f(t) ,

con a ∈ R e f ∈ C([0, T )).Applicazione al problema di Cauchy per l’equazione della corda vibran-te non omogenea.

Teorema 22.1. Siano f , fx ∈ C(R× [0, T ]); allora

w(x, t) = 12c

t∫0

x+c(t−τ)∫x−c(t−τ)

f(s, τ) ds dτ ,

soddisfa w ∈ C2(R× [0, T ]) e risolvewtt − c2wxx = f(x, t) , x ∈ R , t > 0 ,

w(x, 0) = 0 , x ∈ R ,wt(x, 0) = 0 , x ∈ R .

Il principio di Dirichlet; equivalenza tra il problema di Dirichlet perl’equazione di Laplace e il problema di minimo per il funzionale dell’e-nergia

J(u) =∫Ω

|∇u(x)|2 dx , u ∈ K = u ∈ C2(Ω) , u = u0 su ∂Ω .

Condizione necessaria per il problema di Neumann per l’equazione∆u = f .Dipendenza continua dai dati: nel caso delle equazioni di Laplace e delcalore attraverso il principio di massimo, nel caso dell’equazione delleonde attraverso la formula di D’Alembert.

Esercizio 22.2. 22/470.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3, 2.6, 4.2, 4.4, 10.4, 12.1, 12.2.

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Problema di Dirichlet e Random Walk simmetrico [L].Richiami sulla definizione di Random Walk su Zd. Proprietà di omo-geneità temporale e simmetria spaziale del Random Walk. Proprietàdi Markov.Punti primi vicini e definizione di frontiera di chiusura in Zd. Insiemiconnessi in Zd. Definizione di proprietà del valor medio e di laplacianoper funzioni definite su Zd.Funzioni armoniche su Zd e loro proprietà: equivalenza con la vali-dità della proprietà del valor medio, principio del massimo, unicitàdell’estensione al dominio interno. Il problema di Dirichlet su Zd.Definizione di stopping time TA per il Random Walk in dimensione dcon punto iniziale nella regione A ⊂ Zd: TA = infn ≥ 0, STA

∈ ∂A.

Teorema 23.1. Sia A ⊂ Zd finito e connesso. Sia f : ∂A→ R. Esisteun’unica estensione armonica f : A → R di f . Tale estensione è datada f(x) = E[f(STA

)|S0 = x] = ∑y∈∂A f(y)P(STA

= y|S0 = x).

FINE DEL CORSO

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DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA ...daniele.andreucci/pdf/2017_2018...DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA A.A. 2017/2018 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA