DID-355 Raisonnements math©matiques Automne 2013

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DID-355 Raisonnements mathématiques Automne 2013. Hassane Squalli Baccalauréat en enseignement au secondaire Profil mathématique Université de Sherbrooke 26 août 2013. Plan. 1) Présentation du plan de cours Pause 2) Atelier: l’analyse conceptuelle 3) la visualisation mathématique. - PowerPoint PPT Presentation

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  • DID-355 Raisonnements mathmatiquesAutomne 2013Hassane SqualliBaccalaurat en enseignement au secondaireProfil mathmatiqueUniversit de Sherbrooke26 aot 2013

  • Plan1) Prsentation du plan de coursPause 2) Atelier: lanalyse conceptuelle3) la visualisation mathmatique

  • -1-prsentation du plan de cours

  • -2-Quest-ce quune enseignante ou un enseignant doit savoir pour bien enseigner un contenu mathmatique, par exemple la notion daire, une classe dlves de lcole secondaire ?

  • Vers une analyse conceptuelle de la notion daireUn exemple

  • Principale question qui oriente le cadre de cette analyseQuelles connaissances doit avoir lenseignant pour bien enseigner la notion daire?

  • Des connaissances sur divers aspects de la notion daire de son enseignement et son apprentissage

  • Aspect mathmatique

  • Aspect pistmologique

  • Aspect de llve

  • Aspect enseignement

  • Aspect curriculaire

  • Aspect mathmatiqueconcepts lis et dfinitionsConcepts lie: surface, mesure, unit, En gomtrie laire est une mesure de surface. La surface peut tre plane ou dans lespace.Une surface est un objet qui a deux dimensions. Cest pourquoi laire dune surface est une mesure bidimensionnelle; elle se prsente souvent comme le produit de deux facteurs.Laire est une mesure, elle doit sexprimer par rapport une unit de mesure. Cette unit est la mesure dune surface talon. La surface talon peut tre nimporte quoi. On choisi conventionnellement un carr unit. Si lunit de longueur est le mtre, alors lunit daire sera exprime en mtre carr (m2). Le calcul d'aire est un large domaine des mathmatiques allant de laire de surfaces usuelles jusqu'au calcul intgral.

  • Aspect mathmatiqueconcepts lis et dfinitions (suite)La valeur exacte de laire dune surface du plan ne peut pas tre toujours possible. Par exemple, dans le cas de laire dune surface dlimite par une courbe de forme non triviale, on ne peut que faire une approximation de laire, en faisant une approximation de la courbe par un polygone.Le calcul de laire dun polygone peut tre obtenu en dcomposant le polygones en formes polygonales plus simples (triangles, carres, rectangles, etc..).Lorsque la courbe peut sexprimer par une fonction, il suffit de calculer lintgrale de cette fonction

  • Aspect mathmatiqueFormules daires de figures gomtriquesFormules avec une varit de preuves

  • Aspect de llveErreurs-difficultsDifficult dans le passage des mesures unidimensionnelles aux mesures multidimensionnelles. Peut engendrer des erreurs dans la comparaison de mesures de surfaces (exemple: si le primtre dun carr double, laire double aussi); dans les units de mesure utiliser (non plus des units de longueurs mais des units de surface) ainsi que dans la conversion dune unit de mesure daire une autre. La mesure de longueurs peut tre obtenue par mesurage (application dun instrument de mesure); la mesure de surface ncessite des habilets intellectuelles. (Contrairement la mesure des longueurs, il nexiste aucun instrument de mesure directe des aires. Mme dans le cas o lon utilise un instrument pour mesurer la masse, dune surface matrielle uniforme, un raisonnement proportionnel est ncessaire pour passer au calcul daires.)

  • Aspect de llveErreurs-difficults (suite)Confusion entre la surface et laire, entrane:Difficult accepter que des surfaces diffrentes peuvent avoir la mme aire. Cette dualit existe et on doit en tenir compte dans notre enseignement.Difficult de distinguer la surface dune figure et son aire. Laire dune figure reprsente la mesure de la surface, donc laire nest pas un objet concret, cest une mesure, un nombre et donc, des figures de formes diffrentes peuvent avoir la mme aire, laire ne dpend aucunement de lapparence de la figure. Lobjet est ici une forme gomtrique quelconque qui occupe un certain espace dans le plan (elles sont habituellement limites par des droites ou des courbes; des figures fermes).

  • Aspect de llveIdes intuitivesIde dtendue: Deux surfaces ont la mme aire si un dcoupage de lune permet de recouvrir exactement lautre (avec retournement ventuel de certaines pices, on parlera de dcoupage-recollement.) Si un dcoupage-recollement permet partir dune surface den obtenir une autre (ou de la recouvrir exactement), les deux surfaces ont mme tendue. Laire dune surface est lensemble des surfaces qui totalisent la mme tendue

  • Aspect enseignementPassages importants prvoir(Rupture) Passage dune mesure unidimensionnelle une mesure bidimensionnelle;Laire est une mesure et non un objet gomtriqueLaire ne dpend pas de la forme de la surface.

  • Aspect enseignementRecommandationsIl faut utiliser une verbalisation en terme de plus grand, plus petit ou pareil pour dmarrer lapprentissage de cette mesure, tout comme toute autre notion de mesure. Il faut donc favoriser des activits concrtes de comparaison de surfaces, afin de pouvoir mieux isoler lattribut qui sera bientt mesur. Ceci aidera surmonter certaines conceptions par rapport lapparence de la figure et la distinction primtre/aire (pour les distinguer, il faut crer la confrontation entre ces deux concepts) et donnera plusieurs images mentales qui seront trs utiles lors de lestimation. Ici, on pourrait penser aussi effectuer des comparaisons en ralisant des transformations sur les figures et en dmontrant que celles-ci conservent la mesure invariante.

  • Aspect enseignementRecommandations (suite)Lintroduction de la formule vient trs souvent court-circuiter le raisonnement en transformant un problme de mesure en un problme arithmtique en ayant recours des automatismes de calcul qui nont aucune signification relle. Il faut donc organiser des activits qui aideront les lves mmoriser ces formules en les associant des objets et leurs caractristiques. Les formules doivent tre considres comme tant une description gnrale permettant de mesurer des objets plus complexes et le symbolisme nest pas ncessaire pour aboutir une formule, celle-ci peut tre prsente dans un langage intermdiaire.

  • Aspect enseignementRecommandations (suite)Une approche de construction des formules daires des polygones usuelles: Rectangleparalllogrammetriangletrapze, losange quadrilatres ou n-gones plus complexes Passage intressants: invariance de laire dun triangle par dplacement du sommet oppos la base paralllement la base.Approximation de laire dune surface par une ligne courbe .Approximation de laire du disque par laire dun n-gones rgulier inscrit dans le cercle (larc est approch par un segment).Aires de solides

  • Aspect enseignementRecommandations (suite)Schmes de comparaison dairesSuperposition de figures :Pliage :. Dcoupage et recomposition : (Activits de P. Clapponi avec le Tangram sont des exemples de ce procd (voir Petit X, no.14-15, p.84, 1987). DessinQuadrillagePavage

  • La visualisation mathmatique

  • *Gnraliser laide dune visualisation1+3+5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + + 99 = ?52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9La sommes des 5 premiers nombres impairs conscutifs vaut 52

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  • *Gnraliser laide de la visualisation1 + 3 x 4 1 + 3n2 x 4 + 4 + 1 2n + n + 14 x 4 (4 1) 4n (n 1)

  • (El-Habib, A., et Squalli, H. (2013) Le dveloppement de la visualisation mathmatique au secondaire. Communication la 40e session de perfectionnement du GRMS. 29, 30 mai ,Longueuil

  • *(Dahan-Dalmedico et Peifer, 1986)

  • Atelier

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