Introducción

Muchos autores establecen las terminologías de educación matemática y didáctica

de la matemática como sinónimas, sin embargo, resulta más acertado definirlas

por separado. La educación matemática es un término con mayor amplitud, la cual

puede expresarse como todo el sistema de conocimiento, planes de curso,

instituciones de educación, que enmarcan una serie de actividades educativas

relacionadas a la enseñanza aprendizaje de la matemática.

De hecho el término enseñanza engloba al de didáctica de la matemática, siendo

esta última una disciplina destinada a abordar los problemas que surgen de la

educación, para proponer soluciones o incluso transformaciones. El objetivo del

presente trabajo es ubicar el concepto de didáctica de la matemática como

elemento en la enseñanza del cálculo y situarla como herramienta de propagación

del conocimiento matemático e incluso de transformación del sistema educativo.

1. CARACTERIZACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE LA DIDÁCTICA EN LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO

Posiblemente de los aspectos que se relacionan con la enseñanza del cálculo,

aquellos relacionados con el ámbito universitario son los que más preocupan a los

investigadores. En lo particular, pienso como estudiante que en Venezuela más

allá de preocuparnos del ambiente del aprendizaje superior, en lo que a

matemática se refiere, es de gran importancia revisar, detectar y corregir las

terribles fallas que del sistema educativo en secundaria se derivan, principalmente,

las asociadas a la mediocre preparación en matemática que se recibe en

bachillerato.

El fracaso que generalmente suelen experimentar los estudiantes de disciplinas

como ingeniería o ciencias básicas, en los primeros semestres, suele estar

relacionado con una mala base de secundaria, a causa de pobres metodologías

aplicadas en la enseñanza de la matemática, en la que se prefiere mostrar de

manera mecánica los cómputos y algoritmos relacionados con los teoremas

básicos, más allá de presentar la verdadera y poderosa utilidad de la matemática

en la vida cotidiana, como medio de plantear y resolver problemas de la sociedad

y así despertar el interés del joven estudiante.

Lo anterior me recuerda mis primeros semestres en mi curso de ingeniería

metalúrgica, en los cuales mi fracaso en los primeros exámenes de cálculo me

llevaron a tomar los viejos libros de matemática del liceo y comenzar nuevamente

un acelerado aprendizaje, para poder estar al día y relacionar razonablemente los

nuevos conceptos y teoremas que se me presentaban, con los conocimientos

básicos que debía haber adquirido en secundaria. Me di cuenta que de los cinco

de estudios en el liceo, el aprendizaje era escaso, a diferencia de algunos de mis

compañeros de aula que venían de estudiar secundaria en algunas instituciones

del extranjero; eran relativamente exitosos en los exámenes y no venían de

colegios de alto reconocimiento internacional, aún así sabían lo que necesitaban

saber para absorber de manera adecuada los conocimientos en el área de

matemáticas.

Manteniendo al margen los evidentes problemas del sistema educativo en

bachillerato, este ensayo se enfoca en la enseñanza de la matemática a nivel

superior. Resulta curiosa la siguiente situación: en conversaciones con muchos

colegas ingenieros, aún muchos se preguntan sobre la utilidad de haber "visto

tanta matemática". Y es que una simple inspección al contenido matemático de las

principales universidades del país e incluso, tomando en consideración los

estudios matemáticos de la Universidad Abierta, se puede observar que estos

suelen ser rigurosos y complejos, no acordes en muchos casos con la

metodología empleada por muchos profesores en este campo, algo que suele

tomar cierta responsabilidad en el fracaso de los alumnos y los masivos retiros de

materia a mitad de semestre.

Vuelvo entonces a llevar a contexto que muchos profesores no muestran el

verdadero papel de la matemática en la evolución humana, la manera en que se

enseña el cálculo se vuelve entonces un problema, no se despierta el interés del

alumno en esta disciplina, el profesor no transmite por ejemplo que a través de

una ecuación polinómica se puede diseñar un bombillo, que su integral nos

proporciona el área de su contorno y por ende, cuanto vidrio se requiere para su

elaboración, que el teorema de Bolzano nos puede proporcionar los límites de

dicha integración, por citar algunos ejemplos.

1.1 La didáctica

Esta palabra implícito otro concepto: estrategia. En efecto, la didáctica en la

enseñanza implica que el profesor diseñe una estrategia adecuada que permita al

estudiante fijar el conocimiento; sin duda la necesidad de una estrategia

instruccional es realmente evidente en la enseñanza del cálculo.

La investigación en el campo de la didáctica no es novedosa, tiene más de 20

años, tiempo en el cual se ha tratado de mejorar la comprensión en las dificultades

del aprendizaje en el estudiante, la disfunción del sistema educativo y la búsqueda

de soluciones a estos problemas.

Todo aquel que ha experimentado la angustia de estar hasta 4 horas en un salón,

escuchando al profesor hablar de teoremas y demostraciones que parecen ser

dictados en otro idioma, sabe que aprender cálculo es problemático; supongo que

igualmente problemático es enseñar los principios del cálculo, sobre todo cuando

se observa la cara de desconcierto del alumno, el cual pone todo su empeño en

tratar de entender algo de lo que el profesor escribe en la pizarra.

Los método tradicionales de enseñanza de la matemática universitaria tienden a

centrarse en una práctica algorítmica y algebraica del cálculo, que acaba siendo

rutinaria. Así mismo, el profesor evalúa en el examen el dominio de esta práctica

a partir de ejercicios similares o iguales a los presentados en clase, los cuales

responden al mismo esquema de pensamientos.

Si bien esta didáctica da resultados útiles para resolver problemas rutinarios, si

una situación se sale del contexto diario y requiere mayor conocimiento

conceptual, resulta más incómodo abordar esta situación, lo cual es la mayor falla

que registran los estudiantes.

1.2 Importancia de la didáctica en la enseñanza del cálculo

Los métodos aplicados para enseñar cálculo tienen influencia en el interés del

estudiante por esta disciplina y a su vez, en parte del éxito que el alumno tendrá

en la materia. Aunque muchos países como Francia, Estados Unidos, Gran

Bretaña, adelantan desde hace algunos años reformas en las técnicas de

enseñanza aprendizaje, aún persiste el modelo tradicional puramente investigativo

y mecánico. Una anécdota interesante que está relacionada con la persistencia de

este modelo, se presenta en Estados Unidos. Por ejemplo, existen posturas

sumamente radicales, que establecen el hecho de una reconstrucción del

currículum partiendo de cero, el cual es propuesto por la universidad de Duke.

Otras posturas se inclinan por una reestructuración de la enseñanza de acuerdo a

las consideraciones epistemológicas, cognitivas y tecnológicas.

Ahora bien, cualquier persona relacionada al ámbito del aprendizaje enseñanza en

el cálculo, sabe que el modelo tradicional produce dificultades, por lo que una

buena consideración es proponer al gobierno y a distintas instituciones un

proyecto que produzca una entrada intuitiva al cálculo, por medio de la resolución

de problemas, es decir presentar la utilidad tecnológica y científica de la

matemática e ir administrando de manera paralela, las distintas herramientas de

cálculo y teoremas que serán útiles para el desarrollo de las soluciones.

El tecnológico de Massachusetts desarrolló a principios de los 90 un programa

bastante atractivo en lo que se refiere a la didáctica de la matemática, que guarda

mucha relación con el planteamiento realizado en el párrafo anterior. Este

proyecto denominado "Proyecto de Cálculo en Contexto" tiene como idea principal

al cálculo como un lenguaje, una red de conceptos y y un conjunto de técnicas

útiles. el objetivo del programa es que los estudiantes edifiquen las matemáticas a

través de sus aplicaciones y comprendan las relaciones entre todos los elementos

que construyen el cálculo.

Como este ejemplo, existen otras situaciones propuestas por numerosos

investigadores, que se han dado a la tarea de hacer evolucionar la didáctica del

cálculo, rompiendo los paradigmas establecidos con modelos que incluso tienen

más de 100 años.

1.3 Didáctica de la matemática y otras disciplina

1.4 Como se constituye la enseñanza del cálculo a partir del conocimiento histórico

La iniciación del estudiante en el ámbito matemático comienza en la niñez, en los

primeros años de la educación primaria, de la mano de la aritmética y el desarrollo

de problemas relacionados con ésta; problemas que si bien son dignos de ser

desarrollados por niños en sus primeras fases de aprendizaje, constituían un

verdadero reto a los primeros pueblos que se encargaron de dichos problemas: los

babilónicos y egipcios.

La siguiente fase que marca la educación matemática del joven, aparece no más

entrar en el primer año de bachillerato. En este periodo el estudiante se encuentra

con un elemento matemático de fundamental importancia, el cual define el

comportamiento de una situación (función matemática); este elemento se refiere

nada más y nada menos que la aparición de la variable, la misma que le permite al

joven plantearse situaciones reales por medio del desarrollo de una ecuación. Si

bien los griegos intuyeron la existencia de la variable, no sino 1000 años más

tarde (aproximadamente) cuando los árabes introdujeron la variable tal y como se

conoce hoy en día, con el desarrollo del álgebra.

Luego la enseñanza de la matemática sigue su curso en el mismo bachillerato,

cuando el joven se adentra en el estudio real de la geometría euclidiana y de otros

conceptos importantes derivados de la geometría griega.

Cuando el alumno llega a la universidad, ya ha tenido sus primeros contactos con

las matemáticas científicas: logaritmos y funciones trigonométricas, herramientas

que serán de vital importancia para seguir estudios a nivel superior. De aquí en

adelante, el estudio de la matemática se basará principalmente en el desarrollo del

cálculo, a partir de las técnicas desarrolladas hace casi 400 años por Newton Y

Leibnitz; así como los matemáticos posteriores como Cauchy, Riemann, etc; que a

su vez basaron su desarrollo en trabajos previos de Fermat y Descartes, los

cuales deben sus trabajos a la investigación realizada por Fibonacci, personaje

que basó su desarrollo en el álgebra de Al-Kwarismi y de esta manera, se puede

establecer con cierto grado de precisión, una cadena de transmisión del

conocimiento matemático hasta llegar a los padres de esta ciencia: los griegos en

incluso más allá.

Sin embargo, en el siglo XXI la didáctica de la matemática debe más que dar un

giro en su contenido, incorporar nuevas técnicas que vayan acorde con los

adelantos tecnológicos propios de este milenio. Uno de los aspectos a los que

debería estar enfocado la didáctica, es a introducir aspectos nuevos de

aprendizaje, como es la modelización y el manejo de software como parte del

proceso de enseñanza.