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DIE CROSS-METHODEUND IHRE PRAKTISCHE ANWENDUNG
VON
DR. ING. HABIL. RICHARD GULDANO. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE HANNOVER
MIT 800 TEXTABBILDUNGEN, 75 TAFELN
UND 46 ZAHLENBEISPIELEN
WIENSPRINGER -VERLAG
1955
ISBN-13: 978-3-7091-8020-4 e-ISBN-13: 978-3-7091-8019-8 001: 10.1007/978-3-7091-8019-8
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER "OBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
OHNE AUSDR"OCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES 1ST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS
AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN
COPYRIGHT 1955 BY SPRINGER-VERLAG IN VIENNA
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1955
Vorwort.Es unterliegt wohl keinem Zweifel, daB fUr die Berechnung von Rahmentrag
werken gegenwartig neben dem "Drehwinkelverfahren" die CRoss-Methode in derPraxis die weiteste Verbreitung gefunden hat. Eine Fiille von Aufsatzen und Abhandlungen in verschiedenen Fachzeitschriften des In- und Auslandes und auchviele Spezialbiicher der Baustatik befassen sich mit diesem Berechnungsverfahren.Dennoch fehlte es aber bisher an einem umfassenden Werk, das neben griindlichenDarlegungen der maBgebenden statischen Zusammenhange und der Besonderheitendieser Methode auch alle fiir eine rationelle praktische Anwendung erforderlichenHilfsmittel in Form von bequem benutzbaren, systematisch angelegten Zahlenund Kurventafeln aufweist und gleichzeitig eine moglichst groBe Anzahl sorgfaltigausgewahlter und vollstandig durchgerechneter Musterbeispiele der verschiedenstenTragwerksarten enthalt. Diese berechtigten Wiinsche der an der CRoss-Methodeund den verwandten Momentenverteilungsverfahren besonders interessierten Fachkreise soll nun das vorliegende Buch erfUllen.
Fiir den Gesamtaufbau und die Gliederung des neuen Werkes waren die gleichenPrinzipien maBgebend, die sich bereits bei dem bisher in fUnf Auflagen erschienenenBuch "Rahmentragwerke und Durchlauftrager"l bestens bewahrt haben. Die engeVerwandtschaft des darin erschopfend behandelten Drehwinkelverfahrens mit densog. Momentenverteilungsverfahren und damit vor allem mit der CRoss-Methode,gestattet die unmittelbare·Verwendung fast des gesamten Tafelmaterials aus demBuch "Rahmentragwerke". Es konnten daher die meisten Zahlen- und Kurventafelnvon dort auch in das neue Buch vollig unverandert iibernommen werden. Sie ermoglichen mit den neu hinzugetretenen Hilfstafeln weitgehende Vereinfachungenbei der zahlenmaBigen Berechnung von Rahmentragwerken sowohl nach der CROSSMethode als auch nach den verschiedenen Momenten- und Drehwinkelausgleichsverfahren, die im Laufe der letzten Jahre bekannt geworden sind. Das gesamte Werkist wiederum in drei Teile gegliedert, urn eine gute Vbersicht zu gewahrleisten undseinen praktischen Gebrauch zu erleichtern.
1m Ersten Teil des Buches ist in fUnf Abschnitten alles enthalten, was fUr das Verstandnis der CRoss-Methode und ihre erfolgreiche Anwendung in der Praxis erforderlich ist. Bereits im ersten Abschnitt werden die allgemeinen Rechnungsgrundlagen ausfiihrlich dargelegt und die wichtigsten Grundbegriffe der Rahmenstatikin einpragsamer und anschaulicher Weise vermittelt. 1m AnschluB daran wird dasWesen der unverschieblichen und verscbieblichen Tragwerke eingehend erlautertund an Hand zahlreicher Beispiele eine systematische Gliederung und Gruppierungder im Hochbau und Briickenbau vorkommenden geradstabigen Rahmensystemevorgenommen. Damit kann sich auch der Anfanger, dem erfahrungsgemaB alle mitder Verschieblichkeit von Rahmentragwerken zusammenhangenden Fragen meisterhebliche Schwierigkeiten bereiten, rasch einen Vberblick iiber die Verformungs-
1 Guldan, R., "Rahmentragwerke und Durchlauftrager", 5. Aufl., Wien: SpringerVerlag, 1952.
IV Yorwort.
eigenschaften del' mannigfaltigsten Tragwerkstypen verschaffen, soweit sie fUr dierechnerische Behandlung von Wichtigkeit sind. Del' zweite Abschnitt, del' den"Tragwerken ohne Vouten" gewidmet ist, befal3t sich in ausfUhrlichen Darlegungenmit den Prinzipien del' CRoss-Methode und ihrer praktischen Anwendung auf dieeinzelnen Typen del' unverschieblichen und verschicblichen Tragwerke. Die stetsim AnschluB an die theoretischen Erorterungen in einer kurzen Zusammenfassunggegebene Beschreibung des gesamten Rechnungsganges mit Hinweisen auf die dabeizu benutzenden Formeln und Hilfstafeln sowie die in allen Einzelheiten vollstandigdurchgerechneten EinfUhrungsbeispiele dienen als sichere Wegweiser fiir die zweckmaBigste Durchfiihrung del' einzelnen Rechnungsoperationen. Nach den gleichenGesichtspunkten werden im dritten Abschnitt "Tragwerke mit Vouten" behandelt.Hier gewinnt die zahlenmal3ige Ermittlung del' verschiedenen Stabfestwerte undVolleinspannmomente mit Hilfe del' im Dritten Teil des Buches zusammengestelltenHilfstafeln besondere Bedeutung. 1m vierten Abschnitt wird die Ermittlung del'EinfluBlinien bei Rahmentragwerken und Durchlauftragern nach zwei verschiedenenBerechnungsverfahren gezeigt, die unter gleichzeitiger Verwendung del' beigegebenenHilfstafeln auch fUr die CRoss-Methode besonders gut geeignet sind. 1m funftenAbschnitt des Ersten Teiles werden die Wirkung von Temperaturanderungen sowieverschiedene Nebeneinfliisse wie Schwinden, Auflagerverschiebungen und Formanderungen durch die Stablangskrafte behandelt und ihre rechnungsmal3ige Beriicksichtigung unter den iiblichen vereinfachenden Voraussetzungen erlautert.
Del' Zweite Teil des Buches ist ausschliel3lich del' praktischen Anwendullg del'CRoss-Methode vorbehaltell. Es wird dort an weiteren 34 aus den Gebieten desallgemeinen Hochbaues, des Hallen- und Briickenbaues sorgfaltig ausgewahltenZahlenbeispielen gezeigt, wie die Berechnung mit allen Einzelheiten systematischund iibersichtlich unter Anwendung weitgehender Mechanisierung in leicht priifbarer Form vorgenommen werden kann. Es kommen dabei die verschiedenstenTragwerksformen symmetrischer und unsymmetrischer Ausbildung zur Behandlung, u. zw. teils mit unverschieblichen, teils mit verschieblichen Knotenpunkten.Die meisten diesel' Tragwerke werden sowohl ohne alsauch mit Voutell durchgerechnet; auf diese Weise ergeben sich nicht nur eine grol3e Anzahl anschaulicherMusterbeispiele fUr diese beiden Tragwerkstypen, sondern auch wertvolle Vergleichsmoglichkeiten fUr den Einflul3 und die giinstige Wirkung del' Vouten bei Rahmentragwerken und Durchlauftragern.
Del' Dritte Teil des Buches enthalt insgesamt 75 Hilfstafeln, u. zw. teils Zahlenund teils Kurventafeln. Anordnung und Ausstattung del' einzelnen Tafeln sind sogetroffen, daB ein GroBtmaB an Ubersicht und eine moglichst bequeme Benutzbarkeit erreicht wird. Die statische Bedeutung del' zu entnehmenden Werte ist stetsaus den schematischen Abbildungen in den Tabellenkopfen mit einem Blick erfaBbar, so daB Verwechslungen und andere Fehlerquellen weitgehend ausgeschaltetsind.
So moge denn auch das neue Werk, das wiederum in gleicher Weise fUr eineinfUhrendes, griindliches Studium und fUr die vielseitigen Erfordernisse del' Praxisbestimmt ist, eine freundliche Aufnahme in del' Fachwelt finden und dazu beitragen,die Berechnung von Rahmentragwerken und Durchlauftragern weiter zu vereinfachen und zu erleichtern.
Mein Dank gilt allen, die durch ihre wertvolle Hilfe die Vollendung des umfangreichen Werkes unterstiitzten, insbesondere meinen Assistenten und Mitarbeitern.Herr Dipl.-lng. RIEMANN iibernahm das Durchrechnen del' Zahlenbeispiele, Herrcando arch. WADEWITZ fUhrte gewissenhaft die ihm anvertrauten Arbeiten zurAufstellung verschiedener neuer Hilfstafeln durch und Herr cando arch. GROSSE-
Vorwort. v
BOES beteiligte sich beim Ausarbeiten del' Abbildungen; Herr Dipl.-Ing. BUDDENHAGEN unterstiitzte mich durch Kontrollrechnungen und Herr cando arch. GOPFERTdurch die vorziigliche AusfUhrung del' zahlreichen Textzeichnungen. BesonderenDank schulde ich Herrn Dipl.-Ing. REIMANN fUr seine langjahrige und vielfaltigeMitarbeit; durch unermiidliche Hingabe und gro13te Zuverlassigkeit hat er sich beimLesen del' Korrekturen und allen damit verbundenen Kontrollrechnungen immerwieder bewahrt.
Hohe Anerkennung gebiihrt dem Verlag, del' mil' auch bei del' Herausgabedieses Werkes in gro13ziigiger 'Veise entgegenkam und viele Sonderwiinsche erfiillthat.
Hannover, im Juni 1955. R. GULDAN.
Inhaltsverzeichnis. Seite
Zusammenstellung der wichtigsten Bezeichnungen mit Hinweisen auf jeneGleichungen, Abbildungen und Tafeln, die naheren Aufschlu13 tiber die statischeBedeutung und Berechnung der einzelnen Gro13en geben XVII
Erster Teil.Erster Abschnitt.
Allgemeine statische Rechnungsgrundlagen.I. Einleitung 1
II. Rechnungsgrundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Beziehungen zwischen Stabendmomenten und Stabenddrehwinkeln .. . . . . 12. Sonderfalle......................................................... 33. Zusammenhange zwischen den "absoluten" und den "relativen" Steifigkeits-
zahlen k 44. Grundaufgabe des Momentenverteilungsverfahrens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. Beriicksichtigung gelenkiger Stabanschliisse............................ 7
A. Momentenverteilung in Rahmenknoten mit Gelenkanschliissen 7B. Momentenverteilung in Rahmenknoten mit gegeniiberliegenden Gelenken 7
III. Vorzeichenregeln fiir Knotenmomente, Stabendmomente und Stabenddreh-winkel............ 8
IV. Beziehungen zwischen Belastung, Querkraft und Biegungsmoment. . . . . . . . . 111. Zusammenhange zwischen Querkraft und Biegungsmoment . . . . . . . . . . . .. 112. Vorzeichenregel fiir die Querkraft aus der Momentenlinie. . . . . . . . . . . . . .. 123. Zusammenhange zwischen Querkraft und auLlerer Belastung . . . . . . . . . . .. 134. SchluLlbemerkungen 14
V. Das Wesen unverschieblicher und verschieblicher Tragwerke 141. Symmetrische Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
A. Bei jeder Belastung unverschieblich 18B. Nur bei symmetrischer Belastung unverschieblich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21C. Bei symmetrischer Belastung nur lotrecht, bei unsymmetrischer Be
lastung auch waagrecht verschieblich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24D. Bei symmetrischer und unsymmetrischer Belastung nur waagrecht ver-
schieblich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25E. Bei symmetrischer und unsymmetrischer Belastung lotrecht und waag-
recht verschieblich 262. Unsymmetrische Tragwerke (17) 27
A. Bei jeder Belastung unverschieblich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27B. Bei jeder Belastung nur waagrecht verschieblich. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28C. Bei jeder Belastung nur lotrecht verschieblich 29D. Bei jeder Belastung waagrecht und lotrecht verschieblich 30
Zweiter Abschnitt.
Tragwerke ohne Vouten.I. Vorbemerkung 31
II. Unverschiebliche Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 311. Das Prinzip der Cross-Methode...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31
VIn Inhaltsverzeichnis.
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A. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31B. ~~omentenverteilungszahlenII " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32C. Uberleitungszahlen y 35D. Volleinspannmomente 931 36E. Beschreibung des Rechnungsganges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37F. Einfiihrungsbeispiel 1: Zweifeldiger Rahmenteil 38G. Einfiihrungsbeispiel 2: DreifeJd iger RahmenteiJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41
2. Symmetrische Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47A. Die Symmetrale trifft Knotenpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47B. Die Symmetrale schneidet Stabe 48C. Einfiihrungsbeispiel 3: Rahmentragwerk mit schragen Riegeln 50D. Einfi.ihrungsbeispiel 4: Fi.infschiffiger Hallenrahmen mit Kragarmen und
Fu13gelenken 53E. Antimetrische Belastung 57
a) Tragwerke mit Knoten-Symmetralen. . . . . . . . . . . . . . .. .. 57b) Tragwerke mit Stab-Symmetralen ,. 57
3. Durchlauftrager ohne Vouten . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 59A. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59B. Berechnung unsymmetrischer Durchlauftrager . . . . . . . .. 60C. Einfi.ihrungsbeispiel 5: Durchlauftrager tiber zwei ungleichen Feldern 61D. Symmetrische Durchlauftrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
a) Die Symmetrale trifft ein Auflager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63b) Einfiihrungsbeispiel 6: Durchlauftrager tiber vier Feldern mit Krag-
armen 64c) Die Symmetrale schneidet ein Feld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66d) Einfiihrungsbeispiel 7: Durchlauftrager i.iber fi.inf Feldern mit ein-
gespannten Enden 66
III. Verschiebliche Tragwerke 69
1. Vorbemerkung 692. Grundaufgaben bei del' Berechnung von Verschiebungsmomenten. . . . . . .. 70
A. Allgemeine Formeln fiir Stabendmomente und Vorzeichenregeln ..... 70B. SonderfaIle...................................................... 72C. Ermittlung del' Festhaltekrafte F in unverschieblich festgehaltenen
Knotenpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i 3a) Bei Stockwerksrahmen....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73b) Bei l-stockigen Rahmen. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 76c) Bei lotrecht verschieblichen Tragwerken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
D. Ermittlung des Stockwerkschubes S bei unverdrehbar festgehaltenenKnotenpunkten , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . .. 79
E. Ermittlung del' Volleinspannmomente iii £iiI' Ll = 1 bei unverdrehbarenStabenden , 80
F. Ermittlung del' Volleinspannmomente iii fur Ll = 1 bei Staben mit ein-seitig gelenkigem Anschlu13 81
G. Ermittlung del' durch den Stockwerkschub S hervorgerufenen Vollein-spannmomente iiio und MU 81a) Stockwerke mit gleich langen Stielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. I'll
a) Stiele oben und unten unverdrehbar I'llP) Stiele oben gelenkig, unten unverdrehbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. H3y) Stiele unten gelenkig, oben unverdrehbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 830) Stiele gelenkig odeI' unverdrehbar in beliebiger Anordnung . . . .. 84
b) Stockwerke mit ungleich langen Stielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85a) Stiele oben und unten unverdrehbar 85(3) Stiele oben gelenkig, unten unverdrehbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86y) Stiele unten gelenkig, oben unverdrehbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 870) Stiele gelenkig odeI' unverdrehbar in beliebiger Anordnung 87
3. Anwendung del' Cross-Methode auf waagrecht verschiebliche Tragwerkeohne Vouten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
A. Verfahren I (mit. Verschiebungsgleichungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90
Inhaltsverzeichnis. IX
Seitea) Anwendung auf l-stockige Rahmen 90b) Beschreibung des Rechnungsganges fliT l-stockige Rahmen 93c) EinfUhrungsbeispiel 8: Unsymmetrisches Tragwerk mit Kragarm... 93d) Anwendung auf Stockwerkrahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97e) Beschreibung des Rechnungsganges fUr mehrstockige Rahmen .... 101f) EinfUhrungsbeispiel 9: Unsymmetrischer zweistockiger, dreistieliger
Rahmen 102B. Verfahren II (ohne Verschiebungsgleichungen) 108
a) Allgemeines 108b) Beschreibung des Rechnungsganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111c) Sonderverfahren mit "fingierten" Knotenlasten 112
IX) Allgemeine Erlauterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112fJ) Anhaltspunkte fiir die Wahl der "fingierten" Knotenlasten 113
IY. Lotrecht verschiebliche Tragwerke 1151. Yorbemerkung 1152. Beschreibung des Rechnungsganges bei Verwendung von Verfahren I (mit
Verschiebungsgleichungen) ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115
V. Das B.U.-Verfahren bei symmetrischen Tragwerken 119
1. Tragwerke mit "Knoten-Symmetralen" 1202. Tragwerke mit "Stab-Symmetralen" 121
Dritter Abschnitt.
Tragwerke mit Vouten.
I. Allgemeines 122
II. Die Rechnungsgrundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123
1. Beziehungen zwischen Stabendmomenten und Stabenddrehwinkeln 1232. Formeln fiir die Stabendmomente 1263. Statische Deutung der Stabfestwerte a, b, c 1284. Zusammenhange zwischen den "absoluten" und "relativen" Stabfest-
werten a, b, c 1295. Zahlenmal3ige Ermittlung der Stabfestwerte a, b, c 129
A. Bei Staben mit beliebig veranderlichen Querschnitten 129B. Bei Staben mit geraden oder parabolischen Vouten 129C. Bei Staben mit ungleichen Vouten 131
6. Stabfestwerte in Sonderfallen 132A. Stabfestwerte aO von Staben mit einseitigem Gelenkanschlul3 132B. Stabfestwerte a' von "Symmetriestaben" bei symmetrischer Belastung 134C. Stabfestwerte aU von "Symmetriestaben" bei antimetrischer Belastung 134
i. Volleinspannmomente m bei Rahmenstaben _. . . . . . . . . . . . .. 135A. Bei Stiiben mit beliebig veriinderlichen Querschnitten und beliebiger Be-
lastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 135B. Bei Stiiben mit geraden oder parabolischen Vouten 136C. Bei Staben mit ungleichen Vouten 137D. Volleinspannmomente mo bei Stiiben mit einseitigem Gelenkanschlul3. 138
8. Momentenverteilungszahlen fl 139A. Fiir beidseitig fest angeschlossene Stabe , 139B. Fiir einseitig gelenkig angeschlossene Stfibe . . . . . . . . . . . . . .. 140
9. Uberleitungszahlen y 141
III. Unverschiebliche Tragwerke mit Youten 142
1. Vorbemerkung 1422. Beschreibung des Rechnungsganges 1423. Einfiihrungsbeispiel 10: Unsymmetrischer dreistieliger, zweigeschossiger
Rahmenteil mit Kragarm 1444. Der Durchlauftrager mit Vouten ,. 147
x Inhaltsverzeichnis.
Seite
A. Vorbemerkung 147B. Beschreibung des Rechnungsganges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 148C. EinfUhrungsbeispiel 11: Durchlauftrager iiber 4 Feldern mit Vouten 149
IV. Waagrecht verschiebliche Tragwerke mit Vouten 152
I. Grundaufgaben bei der Berechnung von Verschiebungsmomenten. . . . . . .. 152A. Allgemeine Formeln fiir die Stabendmomente . . . . . . . . . .. 152B. Sonderfalle...................................................... 154C. Ermittlung der Verschiebungsmomente ]if fiir L1 = I bei unverdrehbaren
Stabenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155D. Ermittlung der Verschiebungsmomente j;j fiir Ll = I bei Staben mit
einseitigem GelenkanschluJ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155Eo Ermittlung der durch den Stockwerkschub S hervorgerufenen Vollein·
spannmomente j;jo und M U....••..•....•.•.••....••..•.••......• 156
a) Stockwerke mit gleich langen Stielen 156«) Stiele oben und unten unverdrehbar 156fJ) Stiele oben gelenkig, unten unverdrehbar 157y) Stiele unten gelenkig, oben unverdrehbar 1580) Stiele gelenkig oder unverdrehbar in beliebiger Anordnung . . . .. 158
b) Stockwerke mit ungleich langen Stielen 159«) Samtliche Stiele oben und unten unverdrehbar. . . . . . . . . . . . . . .. 160fJ) Samtliche Stiele oben gelenkig, unten unverdrehbar . . . . . . . . . .. 160y) Samtliche Stiele unten gelenkig, oben unverdrehbar . . . . . . . . . .. 160(5) Stiele gelenkig oder unverdrehbar in beliebiger Anordnung . . . .. 161
2. Anwendung del' Cross·Methode auf waagrecht vcrschiebliche Tragwerkemit Vouten 162A. Verfahren I (mit Verschiebungsgleichungen) 162
a) Beschreibung des Rechnungsganges fUr 1-st6ckige Rahmen mitVouten 162
b) Beschreibung des Rechnungsganges fiir mehrstockige Rahmen mitVouten 162
B. Verfahren II (ohne Verschiebungsgleichungen) 164a) Vorbemerkung 164b) Beschreibung des Rechnungsganges fUr Tragwerke mit Vouten 164
V. Lotrecht verschiebliche Tragwerke mit Vouten 165
I. Beschreibung des Rechnungsganges bei Verwendung von Verfahren I (mitVerschiebungsgleichungen) It);)
Viertel' Abschnitt.
EinfluBlinien fUr statisch unbestimmte Tra~werke.
1. Ermittlung del' M-EinfiuBIinien nach Verfahren A ("Gelenkmethode") 167
1. Rechnungsgrundlagen 1672. Ermittlung del' Biegelinie aus del' Momentenlinie 1683. Ermittlung des Verdrehungswinkels y del' Gelenkquerschnitte 1694. Ermittlung del' 111-EinfluJ31inienordinaten 11M 1715. Bemerkungen tiber die praktische Durchfiihrung del' Rechnung 1726. Beschreibung des Rechnungsganges bei Verwendung von Verfahren A 173
II. Ermittlung del' M·EinfluJ31inien nach Verfahren B (mit "ideeller" Belastung) 173
1. Bel'echnungsgrundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1732. Bemerkungen iiber die praktische Durchfiihrung del' Rechnung . . . . . . . .. 1763. Beschreibung des Rechnungsganges hei Verwendung d('s Verfahrens B .. 178
III. M-EinfiuJ3linien fiir Feldquel'schnitte 179
IV. EinfluJ31inien fiil' Querkrafte......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 180
Inhaltsvel'zeichnis. XI
Fiinfter Abschnitt.
18518;)186
186189189190
191
191191193
193193193194
Tragwerken und andereSette182
183183183184184
Temperaturwirkung bei statisch unbestimmtenNebeneinfliisse.
I. Allgemeines .
II. Rechnungsgl'undlagen .I. Tragwel'ke mit geometrisch bestimmbal'en LJ·Werten .
A. Symmetrische "unvel'schiebliche" Tl'agwel'ke .B. Unsymmetrische "unvel'schiebliche" Tragwel'ke .
2. Tl'agwel'ke mit geometl'isch nicht bestimmbaren 11·vVel'ten .
III. Pl'aktische Durchfiihrung del' Bel'echnung .I. Bei "unverschieblichen" Tl'agwel'ken .
A. Beschreibung des Rechnungsganges .B. Einfiihrungsbeispiel 12: ErmittIung del' Temperatul'momente fUr einen
symmetrischen 2·Feldrahmen aus Stahlbeton .2. Berechnung "verschieblicher" Tragwel'ke bei Temperaturwirkung .
A. Vorbemerkung .B. Beschreibung des Rechnungsganges .
IV. Berlicksichtigung ungleichmiil3iger Tempel'aturanderungen .
1. Allgemeines .2. Rechnungsgl'undlagen .3. Beschl'eibung des Rechnungsganges .
V. Sehwindeinftul3, Formanderungen dureh Langskrafte und Auflagervel'sehiebun.gen .I. Sehwindeinftul3 bei Stahlbetontragwerken .2. 'Virkung del' dnrch Langskl'afte hervorgerufenen Formanderungen .3. Einftul3 del' Auflagerverschiebungen .
Zweiter Teil.Zahlenbeispiele.
Vorbemerkung 195
Erster Abschnitt.
Rahmentragwerke ohne Vouten.I. Unverschiebliche Tragwerke 196
Einfiihrende Bemerkungen und Hinweise 196
Zahlenbeispiel 1: Einstieliger Rahmen mit Kl'agarm r 197
Zahlenbeispiel 2: Unsymmetrischer dl'eistieliger, zwei· H-+geschossiger Rahmenteil mit Krag. 199arm........................... "
Zahlenbeispiel 3: Symmetl'ischer Rahmen mit schra· ~ 201gen Aul3enstielen .,£',J, ! ok },.
Zahlenbeispiel 4: Unsymmetrischer dreistieligel', zwei· FA 205geschossigel' Rahmen . . .
XII
Zahlenbeispiel
Zahlenbeispiel
Inhaltsverzeichnis.
5: Symmetrischer sechsschiffiger Hallenrahmen mit Pendelstiitzen
6: Symmetrischer zweistieiiger, zweigeschossiger Rahmen mit Kragar-men . -A-
Seite
208
209
Zahlenbeispiel 7: Symmetrischer dreistieliger Rah-menbinder mit Kragarmen . -1 I 1- 211
Zahlenbeispiel
Zahlenbeispiel
8: Symmetrischer zweigeschossigerRahmenbinder mit schragen Daeh-riegeln .
9: Symmetrischer Mansardendachbin-del' .
213
215
Zahlenbeispiel 10: Symmetrischer siebenschiffiger Hallenbindel' mit schl'agen Riegeln ...
Zahlenbeispiel 11: Symmetrischel' siebenschiffiger,zweigeschossiger Hallenbinder .....
Zahlenbeispiel 12: Unsymmetrischer dreifeldiger, drei-geschossiger Rahmenteil .
Zahlenbeispiel 13: Symmetrischer zweigeschossigerHallenrahmen .
Zahlenbeispiel 14: Symmetl'ischer dreifeldiger, zweigeschossiger Rahmenbinder mit ans-kragenden Riegeln .
Zahlenbeispiel 15: Symmetrischer zweifeldiger, dreigeschossiger Rahmenbinder mit schrii-gen Dachriegeln .
Zahlenbeispiel 16: Symmetrischer dreifeldiger, dreige-schossigel' Rahmenbinder .
M=F1I I 1
217
219
222
225
228
230
232
II. Verschiebliche Tragwerke 235
Zahlenbeispiel 17: Unsymmetrischer Zweifeldrahmen.
Zahlenbeispiel 18: Symmetrischer zweistieliger, zwei·sWckiger Rahmen . R
235
242
Inhaltsverzeichnis.
.Zahlenbeispiel 19: Symmetrischer dreigeschossiger, im ~untersten Stockwerk fiinfstieliger~Rahmenbinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
:Zahlenbeispiel 20: Unsymmetrischer dreischiffiger Hal- ~lenbinder mit schragen Riegeln. . . . r1 l!
'Zahlenbeispiel 21: Zweischiffiger Shedrahmen mit· ~Kranbahnkonsolen I I 1
XIIISeite
250
261
270
Zahlenbeispiel 22: Unsymmetrisches Vierendeel·Rah·mentragwerk . 9--L-..l....-l 280
Zweiter Abschnitt.
Rahmentra~werkemit Vouten.Vorbemerkung 289
I. Unverschiebliche Tragwerke 289
Zahlenbeispiel 23: Unsymmetrischer dreistieliger, zwei-geschossiger Rahmen .
Zahlenbeispiel 24: Symmetrischer sechsschiffiger Hal-lenrahmen mit Pendelstiitzen .
Zahlenbeispiel 25: Symmetrischer dreistieliger Rah·menbinder mit Kragarmen .
Zahlenbeispiel 26: Symmetrischer zweigeschossigerRahmenbinder mit schragen Dach·riegeln .
Zahlenbeispiel 27: Symmetrischer dreifeldiger, zwei·geschossiger Rahmenbinder mit ans-kragenden Riegeln .
Zahlenbeispiel 28: Symmetrischer zweifeldiger, drei·geschossiger Rahmenbinder mitschragen Dachriegeln .
Zahlenbeispiel 29: Symmetrischer dreifeldiger, dreige.schossiger Rahmenbinder .
-[1 1hfTI
289
293
296
298
302
305
308
XIV Inhaltsverzeichnis.
312
SeiteII. Verschiebliche Tragwerke 312
Zahlenbeispiel 30: Symmetrischer dreigeschossiger, im ~
:et~~~~d~~oc~~~r.~~~~~s~~e.I~~e.r.~~~.. rr--tT-l
Dritter Abschnitt.
Tragwerke mit EinfluBlinien und bei Temperaturwirkung.
Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 325
1. Tragwerke mit EinfluJ31inien 325
Zahlenbeispiel 31: Unsymmetrischer zweifeldiger Brtik·kenrahmen mit Vouten .
Zahlenbeispiel 32: Symmetrischer Durchlauftragertiber drei Feldern mit Vouten .....
....
..
r
r""f" ..
325
330
Zahlenbeispiel 33: Verschieblicher unsymmetrischerdreifeldiger Briickenrahmen mitVouten .......................•
336
II. Tl'agwerke bei Tempel'aturwil'kung 34(j
Zahlenbeispiel 34: Unsymmetrischer Zweifeldrahmen inStahlbeton .
Dritter Teil.
34H
2 356
3 357-3594 360-361
Zahlen- und Kurventafeln.
Vol'bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 352
1. Tragheitsmomente von Rechtecksquel'schnitten Tafel 1 354- 355
II. Stabe ohne Vouten:
1. Volleinspannmomente \1)/1. \1)/2' Endtangentenwinkel aOt • aO"Kreuzlinienabschnitte KO t • K02 •
A. Fiir gleichmaJ3ig verteilte Streckenlasten .B. Fill' Dl'eiecklasten, Momentenangl'iff und Temperatul'wir.
kung .C. Fill' Einzellasten .
2. Volleinspannmomente W(°1 fill' "Gelenkstabe·'.A. Fill' gleichmiWig verteilte Streckenlasten und EinzellastenB. Ftir Dreiecklasten, Momentenangriff und Temperaturwir.
kung .
III. Stabe mit Vouten:
1. Stabfestwerte at, a" b ftir beidseitig fest angeschlossene Stabe.A. Einseitig gerade Vouten ZahlentafelB. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. "pal'ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "E. Einseitig gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KurventafelF. "parab. . .G. Beidseitig gel'ade .H. pal'ab. . .
5 362-363
6 364-365
7 366-3678 368-3699 370
10 3717a 372-- 3748a 375-3779a 378-379
lOa 380- 381
Inhaltsverzeichnis.
2. Stabfestwerte a Ol flir "Gelenksti.i.be".
A. Einseitig gerade Vouten .B. parab. . .C. gerade .D. parab. . .
3. Stabfestwerte a' ftir "Syrnmetriesti.i.be" bei symmetrischer Belastung.
A. Beidseitig gerade Youten .B. parab. . .C. gerade .D. parab. . .
4. Volleinspannmomente ill1 l , 911. ftir beidseitig volleingespannte Sti.i.be bei durchgehender Gleichlast.
A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. " parab. " .E. Einseitig gerade Vouten .F. "parab. . .G. Beidseitig gerade .H. parab. . .
5. Volleinspannmomente 911°1 fUr "Gelenkstabe" beidurchgehender Gleichlast.
A. Einseitig gerade Vouten .B. parab. . .C. gerade .D. parab. . .
6. Einflul3linien ftir die Volleinspannmomente !ml, ill1•.
A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. "parab. . .E. Einseitig gerade .F. "parab. . .G. Beidseitig gerade .H. parab. . .
7. Einflul3linien ftir die Volleinspannmomente !mol bei"Gelenksti.i.ben".
A. Einseitig gerade Vouten .B. parab. . .C. gerade .D. parab. . .
8. Endtangentenwinkel at, a., fJ ftir M = + 1 am freiaufliegenden Trager.
A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. "parab. . .E. Einseitig gerade .F. "parab. . .G. Beidseitig gerade .H. parab. . .
9. Uberleitungszahlen y bei Voutensti.i.ben.
A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. parab. . .
XV
Seite
Zahlentafel 11 382" 12 383
Kurventafel lla 38412a 385
Zahlentafel 13 386
"14 387
Kurventafel 13a 38814a 389
Zahlentafel 15 39016 39117 392
"18 393
Kurventafel 15a 39416a 39517a 39618a 397
Zahlentafel 19 398
"20 399
Kurventafel 19a 40020a 401
Zahlentafel 21 402-40422 405-40723 408-409
"24 410-411
Kurventafel 21a 412-41422a 415-41723a 418-41924a 420-421
Zahlentafel 25 422-423
" 26 424-425Kurventafel 25a 426-428
26a 429-431
Zahlentafel 27 432-43328 434-43529 436
" 30 437Kurventafel 27a 438
28a 43929a 44030a 441
Zahlentafel 31 44232 44333 44434 445
XVI Inhaltsverzeichnis.
460-462463-465466-467468-469
Seite31a 44632a 44733a 44834a 449
"
Zahlcntafel 35 450- 45136 452-4.5337 45438 45535a 45636a 45737a 45838a 459
Zahlentafel 39404142
Eo Einseitig gerade Vouten KurventafelF. "parab. . .G. Beidseitig gerade .H. parab. . .
10. Endtangentenwinkel a U1 • a U
2 am !'rei aufliegendenTrager bei durchgehender Gleichlast.
A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. "parab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "E. Einseitig gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KUl'\'entafelF. "parab. . .G. Beidseitig gerade .H. parab. . .
11. Einflu13linien fUr die Endtangentenwinkel aU" aU2
am frei aufliegenden Trager.
A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. parab. . .
IV. Relative Verschiebungsgro13en Ll und Ll(E) infolge waagrechterKnotenlasten P bei Rahmen mit verschiedenen Steifigkeitsver-haltnissen zwischen Riegeln und Stielen Tafel 43 470
Literaturverzeichnis .........................................•. 471
Zusammenstellung der wichtigsten Bezeichnungenmit Hinweisen auf jene Gleichungen, Abbildungen und Tafeln, die naheren AufschluJ3
tiber die statische Bedeutung und Berechnung der einzelnen GroJ3en geben.
1. Momente.
M'n,i
NI" .',n
k
k O = 0,75 kk' = 0,5 k
k" = 1,5 k
a O
"Volleinspannmomente" beidseitig voll eingcspannter Stabe: G1. (7),(35), (197) bis (203); Abb. 3,110" b, 120" b, 3160" 4470" 449; Tafel 2 bis4, 15 bis 18, 21 bis 24. •"Volleinspannmoment" von "Gelenkstaben", d. s. einseitig voll eingespannte, auf der anderen Seite gelenkig angeschlossene Stabe: G1. (36),(207); Abb.316b, 449; Tafel 5, 6, 19, 20, 25, 26."Knotenrestmoment" im unverdrehbar festgehaltenenKnoten n: G1. (22),(220,), (209); Abb. 310 bis 312, 450a-c."Verteilungsmomente" oder "Momentenanteile" am freigelassenenKnoten n, d. s. jene Momente, die durch Verteilung des Knotenrestmomentes M n in den fest angeschlossenen Staben n,i entstehen: G1. (31),(212); Abb. 312, 450a-c.,;Ubergangsmomente" oder ,;iibergeleitete Momente", d. s. die durchWeiterleitung der M'n,i-Momente an den gegeniiberliegenden voll eingespannt gedachten Stabenden i auftretenden Momente: G1. (340,),(217); Abb. 314, 315, 4520" b; Tafel 31 bis 34."Volleinspannmomente", die an den voll eingespannt gedachten Stabenden durch eine Verschiebung Ll bzw. durch einen "Stockwerkschub" Shervorgerufen werden: G1. (58), (87), (226), (230), (231) bzw. (96),(121), (238), (254); Abb. 364, 373, 4660,,4670, bzw. 374, 378, 468, 472."Stabendmomente" im unverschieblich festgehaltenen Tragwerk:
Abb. 3820" b.Die durch Ausgleich der Volleinspannmomente 1\1(1), 1\1(2), .•• bei Verfahren I erhaltenen Verschiebungsmomente: G1. (145); Abb.397b,399b.
. . . Die durch Ausgleich der Volleinspannmomente 1\1(1), M(2), • .. bei Verfahren II erhaltenen M-Werte: Gl. (146), (1460,); Abb.4IOb, 412b.
2. "Festwerte" von Stiiben mit konstanten Querschnitten."Steifigkeitszahl" beidseitig fest angeschlossener Stabe: G1. (5), (13),(25); Abb.7a."Steifigkeitszahl" von "Gelenkstaben": G1. (19); Abb. 9."Steifigkeitszahl" von "Symmetrie-Staben" bei symmetrischer Tragwerksbelastung: G1. (41); Abb.330."Steifigkeitszahl" von "Symmetrie-Staben" bei antimetrischer Tragwerksbelastung: G1. (46); Abb.341a.
3. "Festwerte" von Stiiben mit veriinderlichen Querschnitten(Voutenstiibe).
"Steifigkeitszahlen" von beidseitig fest angeschlossenen Staben:G1. (160), (170), (1790,), (1800,); Abb.434, 435; Tafel 7 bis 10."Steifigkeitszahl" eines "Gelenkstabes": G1. (1900" b); Abb. 4410" b;Tafel 11, 12.
XVIII
a'
n"
01' a., b
0 0
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I'm.n
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'Pn
VJ
('(1' CY2 , f3
aOt , a02
it., "'., 7f
-. "0f< " 1'1 •
F
Zusammenstellung der wichtigsten Bezeichnungen.
"Steifigkeitszahl" eines "Symmetrie·Stabes" bei symmetrischer Trag.werksbelastung: Gl. (193a, b); Abb. 442; Tafel 13, 14."Steifigkeitszahl" eines "Symmetrie.Stabes" bei antimetrischer Trag.werksbelastung: Gl. (195a); Abb.443.
_1_.fache Steifigkeitszahlen von beidseitig fest angeschlossenen StabenEJcmit der Lange l = 1: Gl. (179a), (180a), (187); Tafel 7 bis 10.
_1_.fache Steifigkeitszahl eines "Gelenkstabes" mit der Lange l = 1:EJcGl. (190b); Tafel 11, 12.
1EJc·fache Steifigkeitszahl eines "Symmetrie.Stabes" mit der Lange
l = 1 bei symmetrischer Tragwerksbelastung: Gl. (193 b); Tafel 13, 14.
4. "Verteilun~szahlen"und ,;Oberleitun~szahlen".
"VeJ'teilungszahlen" im Knoten n fUr die dort zusammentreffendenfest angeschlossenen Stabe n,i: Gl. (17b), (29), (31), (41a), (212) bis(214); Abb.7b, 313, 315, 450a-c."Uberleitungszahl" bzw. "Ubergangszahl" zur Uberleitung einesMomentes M m.n vom Stabende m zum anderen, unverdrehbar gedach.ten Stabende n: Gl. (32), (33), (217) bis (221); Abb.314, 452a, b;Tafel 31 bis 34.
5. Winkelwerte.
"Endtangentenwinkel", d. i. der Winkel der Tangente an die Biege.linie am Stabende n: Gl. (1), (2), (39), (44), (52), (153); Abb. 1 bis 6,7a, 8, 9, lOb, 362, 363."Knotendrehwinkel", d. i. der Winkel, urn welchen sich ein Rahmen·knoten n infolge der Belastung verdreht: Gl. (16); Abb. 7a, 8, 9, lOb,362, 363."Stabdrehwinkel", d. i. der Winkel, urn welchen die Stabsehne gedrehtwird: Gl. (50), (51); Abb.362, 363."Endtangentenwinkel" eines frei aufliegend gedachten Stabes 1- 2infolge eines Momentes M, = 1 bzw. M. = 1: Gl. (158); Abb. 432b, c;Tafel 27 bis 30."Endtangentenwinkel" eines frei aufliegend gedachten Stabes 1- 2infolge der auJ3eren Belastung: Gl. (35), (158), (197), (204); Abb. 316a, b,432f, 444; Tafel 35 bis 42.EJc·fache Wert des "Endtangentenwinkels" eines frei aufliegend ge·dachten Stabes 1- 2 mit der Lange l = 1 infolge eines Momentes M l = 1bzw. M. = 1: GJ. (186), (187); Abb. 440; Tafel 27 bis 30.EJc·fache Wert des "Endtangentenwinkels" eines frei aufliegend ge·dachten Stabes 1- 2 mit der Lange l = 1 infolge der auJ3eren Belastung:Tafel 35 bis 38.
6. Verschiebun~s~roJ3en.
Die "gegenseitigen" Verschiebungen von Stabenden senkrecht zurStabachse: Gl. (50), (51); Abb.362 bis 365.Die "absolute" Verschiebung eines Stabendes senkrecht zw' Stab·achse: Abb. 362, 363.
7. Kriifte und Belastun~en.
"Festhaltekrafte", d. s. die in den gedachten Festhaltelagern einesverschieblichen Rahmentragwerkes auftretenden AuflagerreaktionenGJ. (65) bis (69) bzw. (66a) bis (68a), (71) bis (75) bzw. (72a) bis (74a),(77) bis (81); Abb.366, 366a, 370a-c, 371, 371a.
Zusammenstellung der wichtigsten Bezeichnungen. XIX
s
p
g
Pq=g+p
Ee
Eg
1:go
1:gu
"Stockwerkschub", d. i. die Summe aller oberhalb des betrachtetenStockwerkes in waagrechter Richtung angreifenden Krafte, einschl.der umgekehrten FesthaltekrafteF: Gl. (82), (82a), (86); Abb. 372a-d."Querkraft" eines Rahmenstabes bzw. Tragerfeldes: Gl. (284); Abb. 494."Querkraft" bezogen auf den frei aufliegenden Trager: Gl. (284)."Auflagerkraft" bzw. "Aktionskraft" eines Rahmenstabes: Gl. (64) bis(65a), (70) bis (71a), (76) bis (77a); Abb. 366a, 367, 368a, b, 37Ia, b."Auflagerkraft" bzw. "Aktionskraft" bezogen auf den frei aufliegendgedachten Stab: Gl. (65a), (66), (7Ia), (77a); Abb.368a."EinzelIast" in kg oder t.Gleichma13ig verteilte standige Belastung in kg/m oder tIm.Gleichma13ig verteilte Nutzlast in kg/m oder tIm.GleichmaBig verteilte Vollbelastung in kg/m oder tIm.
8. Verschiedenes."Querschnitts.Tragheitsmoment" bei Voutenstaben im Bereich konstanter Querschnitte: Gl. (179a), (I80a), (182); Abb.437, 438; (fUrRechtecksquerschnitte Tafel 1)."Querschnitts·Tragheitsmoment" des Auflager. Querschnittes beiVoutenstaben: Gl. (182); Abb. 437, 438; (fUr RechtecksquerschnitteTafel 1)."Vergleichs·Tragheitsmoment" bei Staben mit veranderlichen Quer.schnitten: Gl. (12), (177).Summe tiber aIle beidseitig voll eing/l8pannten Stabe: Gl. (104), (129),(246), (257); Abb.377, 475.Summe tiber aIle einseitig gelenkig angeschlossenen, auf der anderenSeite voll eingespannten Stabe: Gl. (107), (131); Abb.377.Sunune tiber aIle Stabe mit Gelenk oben: Gl. (104), (129), (246), (257);Abb.377, 475. .
Sunune tiber aIle Stabe mit Gelenk unten: Gl. (104), (129), (246), (257);Abb.377, 475.