BLM 9

Kontrol hacmi analizi

Diferansiyel analiz

9.2. Ktlenin Korunumu-Sreklilik DenklemiReynolds transport teoreminin uygulanmas ile

Bir Kontrol hacmi iin ktlenin korunumu:Bu denklem hz vektr mutlak hz olmak kouluylaHem sabit, hem de hareketli kontrol hacimler iinkullanlabilir. (9-1)

Denklem 9-1 tekrar dzenlenirse :Diverjans (Gauss) teoremini kullanarak ktlenin korunumuDenklemini tretme:Diverjans teoremi: herhangi bir Vektr iin:(9-3)Alnabilir. Denklem 9-3, 9-1 de yerine yazlrsa alan integraliHacim integraline dnr:Genel sreklilikdenklemi(9-2)

Sonsuz Kk kontrol hacmi kullanarak ktlenin korunumu Denklemini tretme:Kutunun her bir yzeyi iin P noktas civarndakiTaylor serisi almn yazalm:Herbir yzeyin merkezi ile kutu merkezi(P) arasndaki mesafe dx/2, dy/2, dz/2 dirmerkezdeki younluk ve hz bileenleri u, v, wolsun. Herbir yzey iin younluk ve hz deerleriniyazarsak :

Kontrol hacmi bir noktaya kldnde, denklem9-2 nin sol yanndaki hacim integrali.Denklem 9-2 nin sa tarfna ekil 9-5 deki Yaklam uygulayarak tm yzeylerdenGiren ve kan ktlesel debileri toplayalm:Giren net ktlesel debi:

kan net ktlesel debi:Giren ve kan debiler denklem 9-2 de yerine yazlrsa, kartezyen koordinatlardaSreklilik denklemi elde edilir:Bu denklem diverjans zdelii Kullanlarakta ekildeki gibi elde edilebilir.

Sreklilik denkleminin alternatif formuEitlii n her bir terimini ile blersek:alternatif formu elde ederiz.

MADDESEL TREV, D/Dtolarak tanmlanr ve hem yerel hem de advektif etkiyi dikkate alr.Maddesel ivme ve bileenleri:

Sreklilik denkleminin zel durumlar

zel durum 1: Daimi sktrlabilir akzel durum 2: Daimi sktrlamaz ak

AKIM FONKSYONUKartezyen koordinatlarda Akm Fonksiyonu2-B sktrlamaz bir ak iin:ki baml deiken(u,v) yerine tek bir baml deiken () dnm yapalm.

() akm fonksiyonunu:ve olarak tanmlayalm.Sreklilik denklemini tekrar dzenlersek:Akm izgisi: her yerde anlk hz vektrne teet olan eridir.ekilde grld gibi sonsuz kk uzunluktaki yayn gz nne alalm.yay, yerel hz vektrneparalel olmaldr.

Benzer gen kuralna gre, akm izgisi denklemi:elde edilir.xy-dzlemindeki bir ak iin denklemi integre edersekekilde grld gibi, (x,y) noktasndan (x+dx, y+dy) noktas na gidildiinde deki toplam deiim nin akm boyunca sabit olduu grlr.

Bir akm izgisinden dierine deerleri arasndaki fark, birim genilik bana bu iki akm izgisi arasndan geen hacimsel debiye eittir.(Hibir ak akm izgisini geemez)Kesit deise de debi deimeyecei iin ortalama hz azalacaktr. Bu durum iin ekil 9-19 a baknz. Kesite bal olarak hz vektrlerinin byklklerinin deitii grlmektedir.Matematiksel spat

ekil 9-22 de grld gibi sonsuz kk bir ds uzunluu ve bunaAit birim normal vektr alalm. Yukardaki vektrlerin skaler arpm yaplr ve akm fonksiyonu dnm yaplrsa:SKALER ARPIMNEDR???Denklem 1 akm izgisinden 2 akm izgisine integre edilirse B Kesitinden geen hacimsel debi bulunur.

Silindirik koordinatlarda akm fonksiyonuki boyutlu Dzlemsel akSreklilik denklemi:Dzlemsel akm fonksiyonu:Eksenel simetrik akSreklilik denklemi:Dzlemsel akm fonksiyonu:DKKAT!..RNEK 9-12 NCELENECEK

DORUSAL MOMENTUM KORUNUMU-CAUCHY DENKLEMGerilme tensrBirim zamandaki Momentum deiimikan Momentum Ak hzGiren Momentum Ak hzDorusal Momentum Denklemini TretmeDiverjans Teoremi kullanarak

En genel haldeki momentum denklemini bu dnmlerden sonra tekrar yazarsak, CauchyDenklemini elde ederiz:2. Sonsuz Kk Kontrol Hacmi kullanarakDenklemleri basitletirmek iin x-bileenin alalm:

ekilde grlen kontrol hacminden tm yndeki giren ve kan momentum aklarn karrsakX-ynndeki net momentum akn elde ederiz.

Kontrol hacmimize x-ynnde etkiyen kuvvetler

ekilde grld gibi tek etki eden ktle kuvveti yerekimi kuvvetidir.X- bileeni iin ktle kuvveti: ekildeki tm kuvvetleri toplayarak kontrol elemanna X- ynnde etkieden yzey kuvveti:

NAVIER-STOKES DENKLEMCauchy denklemi ve sreklilik denklemlerini kullanarak herhangi bir akkanlar mekanii problemlerini zemeyiz.nk gerilme tensr ij dokuz ve younlukla beraber on bileen barndrmaktadr (,u ,v, w, xx , xy , xz , yy, yz ve zz). On bilinmeyen ve drt denklem(sreklilik ve 3 ynde cauchy denklemi) var. Bilimeyen says kadar denkleme ihtiyacmz var. Bnye Denklemleri yardmyla gerilme tensr bileenlerini hz alan ve basn alan cinsinden ifade edeceiz.

ij ekil deitirme hz tensr

ij gerilme tensrn cauchy denkleminde X-yn iin yerine yazarsak

X-yn iinY-yn iinZ-yn iinEn genel halde sktrlamaz akkanlar iin Navier-Stokes Denklemi

Kartezyen Koordinatlarda sktrlamaz akkanlar iin Sreklilik ve Navier-Stokes Denklemleri

Sreklilik ve Navier-Stokes Denklemlerinin Tam zmleri

Snr artlar1. Kaymama snr art: kat eper ile temas halinde olan akkann hz eperin hzna eittir. Kaymama Koulu referans koordinat sistemine baldr. rnek olarak piston silindir sistemi verilebilir. Sabit bir referans sistemine gre, silindire bitiik akkan durgun, pistona gre : hzndadr.Eer piston zerinde bir referans seersek, piston yzeyinde hz sfr, silindir yzeyinde ise olurdu.2. Ara yz Snr art: ekilde grld gibi, iki akkan arasndaki Hzlar eit olduu gibi kayma gerilmeleri de eit olmaldr.ekilde grld gibi, sv gaz akkan arasnda ise, hava su ifti iin

Suyun vizkositesi, havn viskozitesinden 50 kat byktr. Kayma gerilmelerinin eit olabilmesi iin nn

dan 50 kat byk olmas gerekir. Buna gre suyun yzeyin etki eden yzey gerilmesi suyun iindeki

herhangi bir yerdeki gerilmeye gre ihmal edilebilir. Bu durumun sz konusu olduu sv-gaz arayz nde

serbest yzey snr art sz konusudur. 3. Serbest Yzey Snr art4. Giri Snr art: Tm zamanlar iin hz ve basn 5. k Snr art : Tm zamanlar iin hz ve basn 6. Simetri Snr art: Bir eksen veya simetri dzlemi boyunca geerlidir

*