ÇözümlüDiferansiyelDenklemlerEd�tör: Prof. Dr. Adnan BAKİ

Editör: Prof. Dr. Adnan BAKİ

ÇÖZÜMLÜ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

ISBN 978-605-318-881-0DOI 10.14527/9786053188810

Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© 2017, PEGEM AKADEMİ

Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye ait-tir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elekt-ronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan ki-taplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca ta-nınan yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevri-miçi kamu erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye’de kurulan Turcademy.com ve Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda farklı yazar-lara ait 1000’in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir.

1. Baskı: Ağustos 2017, Ankara

Yayın-Proje: Özlem SağlamDizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Yıldırım

Kapak Tasarım: Pegem Akademi

Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

Prof. Dr. Adnan Baki1960 yılında Trabson'un Tonya ilçesinde doğdu. 1978 yılında KTÜ Fatih Eğitim

Fakültesi matematik eğitimi bölümünden 1982 yılında mezun oldu. 1985 yılında araş-tırma görevlisi olarak KTÜ Fen Fakültesi matematik bölümünde göreve başladı. 1990 yılında Kanada'nın New Brunswick Üniversitesi'nde yüksek lisansını tamamladı. 1990 yılında University of London, Institute of Education'da doktorasını (PhD) tamamladı. 1996 yılında Türkiye'nin ilk matematik eğitimi doçenti oldu. 2004 yılında profesör oldu. 1995 yılından itibaren öğretim üyesi olarak çalıştığı KTÜ Fatih Eğitim Fakülte-sinde birçok idari görevlerde bulundu. 2010-2013 yılları arasında Fatih Eğitim Fakül-kesi dekanlığı yaptı. Öğretim üyesi olarak çalıştığı bu kurumda yönetiminde 41'i dok-tora olmak üzere 82 lisansüstü tez çalışması tamamladı. Ulusal ve uluslararası indeksli hakemli dergilerde yayınlanmış birçok makalesi yanında matematik eğitimi alanında 4 kitabı bulunmaktadır. Ayrıca birçok ulusal ve uluslararası indekslerde taranan Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi dergisinin editörlüğünü yapmaktadır. Halen Fatih Eğitim Fakültesinde matematik eğitimi anabilim dalı başkanı olarak çalışmaktadır. Evli ve üç çocuk babasıdır.

Prof. Dr. İhsan Ünver1950 yılında Karabük Davutlar Köyü'nde doğdu. İlköğretimini Karabük'te, lise

öğrenimini Bolu Öğretmen Okulu ve İzmir Bornova Hazırlıt Lisesi'nde tamamladı. 1968 yılında girdiği İstanbul Üniversitesi Matematik Bölümünden 1972 yılında me-zun oldu. Aynı dönemde Yüksek Öğretmen Okulundan matekatik öğretmeni olarak mezun oldu. 1972-1974 yılları arasında Edirne Erkek Öğretmen Okulu'nda matema-tik öğretmenliği yaptı. 1974 yılında KTÜ Fen Fakültesi Matematik Bölümüne asis-tan olarak girdi. Aynı üniversitede yüksek lisans çalışamasını 1982 yılında ve doktora çalışmasını da 1985 yılında tamamladı. Başta matematik bölümü olmak üzere diğer bölümlerde Genel Matematik, Diferansiyel Denklemler, İstatistik ve Olasılık derslerini okuttu. 1996 yılında doçent oldu. 2003 yılında profesör oldu. 2017 yılında emekli olan Prof. Dr. İhsan Ünver evli ve iki çocuk babasıdır.

Öğr. Gör. Cemal Yazıcı1950 yılında Ardahan Sulakyurt Köyü'nde doğdu. İlkokulu aynı köyde, ortao-

kulu Şavşat'ta okudu. Artvin Öğretmen Okulu'nda iki yıl okuduktan sonra İstanbul Yüksek Öğretmen Okuluna seçildi. 1971 yılında İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik ve Astronomi Bölümü'nde mezun oldu. Mezun olduktan sonra matematik öğretmeni olarak Diyarbakır Lisesi'nde görev yaptı. 1974 yılında Trabzon Fatih Eğitim Enstitüsünde göreve başladı. Fatih Eğitim Enstitüsünde görev yaptığı yıllarda Analiz I, Analiz II, Temel Matematik, Geometri ve Astronomi derslerini okuttu. YÖK Kanunu ile birlikte KTÜ'ye bağlanarak Fatih Eğitim Fakültesi olan aynı kurumda öğretim gö-revlisi olarak çalışmaya devam etti. 1981-2015 yılları arasında çalıştığı Eğitim Fakül-tesi İlköğretim Bölümü Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Başkanlığında Analiz I ve Analiz II dersleri başta olmak üzere Diferansiyel Denklemler, Toploloji, Geometri ve Kompleks Analiz derslerini okuttu. 2015 yılında emekli olan Öğr. Gör. Cemal Yazıcı evli ve üç çocuk babasıdır.

ÖN SÖZ

ÇÖZÜMLÜ DİFERANSİYEL DENKLEMLER kitabı Fen, Eğitim ve Mühen-dislik Fakültelerinin lisans programlarında okutulan Diferansiyel Denklemler dersinin içeriklerine uygun olarak hazırlanan bir kaynak kitap niteliğindedir. Bu çalışma lisans programlarında diferansiyel denklemler dersini okutan Prof. Dr. İh-san Ünver ve Öğr. Gör. Cemal Yazıcı’nın 30 yılı aşkın deneyimlerinin bir ürünü olarak ortaya çıkmıştır. Dolayısıyla bu kitap çok sayıda çözüm örnekleri içermesi bakımında hem Diferansiyel Denklemler dersini okutan öğretim elemanları için hem de bu dersi alan öğrenciler için kapsamlı bir cevap anahtarı özelliği taşımak-tadır.

ÇÖZÜMLÜ DİFERANSİYEL DENKLEMLER kitabı sekiz bölüm olarak dü-zenlenmiştir.

Birinci bölümde diferansiyel denklemler hakkında kısa bilgiler verilerek; di-feransiyel denklemlerin elde edilişi örneklerle gösterilmiştir.

İkinci bölümde birinci mertebeden birinci dereceden tüm diferansiyel denk-lemlerin pratik çözüm yolları verilmiş ve bu denklemlere ait yüz elli üç örneğin çözümü yapılmıştır.

Üçüncü bölümde birinci mertebeden yüksek dereceden tüm diferansiyel denklemler pratik çözümleri ile incelenmiş, bu denklemlere ait yetmiş örnek çö-zülmüştür. Ayrıca bu bölümde birinci mertebeden denklemlerin uygulaması ola-rak yörüngeler incelenmiş, geometrik yorumlar yapılmış ve fizikteki uygulamala-rına ilişkin örnekler verilmiştir.

Dördüncü bölümde yüksek mertebeden sabit katsayılı lineer homojen ve li-neer diferansiyel denklemlerin çözümleri örneklerle incelenmiş, özel çözüm bul-ma yöntemleri verilerek; bu denklemlere ait kırk tane diferansiyel denklemin çö-zümü yapılmıştır.

Beşinci bölümde yüksek mertebeden değişken katsayılı tüm denklem türle-ri sırasıyla örneklerle incelenerek, bu denklemlere ait özel dönüşüm yöntemleri gösterilmiştir. Bu tür denklemlere ait altmış diferansiyel denklemin çözümü ya-pılmıştır.

Altıncı bölümde lineer diferansiyel denklem sistemlerinin çözümleri çok sa-yıda örneklerle incelenmiştir.

Yedinci bölümde Laplace ve ters Laplace dönüşümleri temel özellikleri ile in-celenmiş, çok sayıda örnekler verilmiş ve alıştırmalar çözülmüştür. Ayrıca Laplace dönüşümleri kullanılarak diferansiyel denklemlerin çözümü yapılmıştır.

vi Çözümlü Diferansiyel Denklemler

Sekizinci bölümde kuvvet serileri kısaca tanıtılarak, adi ve düzgün tekil nokta komşuluğunda diferansiyel denklemlerin seri ile çözümü gösterilmiş, yirmi adet diferansiyel denklemin seri çözümü yapılmıştır. Ayrıca, Bessel, Legendre Gaus di-feransiyel denklemlerinin seri ile çözümleri gösterilmiştir.

Prof. Dr. Adnan Baki

Editör

İÇİNDEKİLER

Ön Söz ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������v

1. BÖLÜM

TEMEL BİLGİLER

1�1� Genel Bilgiler �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������11�2� Diferansiyel Denklemlerin Elde Edilmesi �������������������������������������������������������������������3

2. BÖLÜM

BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER

2�1 Değişkenlerine Ayrılabilir Diferansiyel Denklemler ���������������������������������������������������92�2� Homojen Diferansiyel Denklemler ����������������������������������������������������������������������������252�3� Tam Diferansiyel Denklemler �������������������������������������������������������������������������������������412�4� İntegrasyon Çarpanı ����������������������������������������������������������������������������������������������������512�5� Lineer (Doğrusal) Diferansiyel Denklemler ��������������������������������������������������������������662�6� Bernulli Diferansiyel Denklemi ����������������������������������������������������������������������������������762�7� Riccati Diferansiyel Denklemi ������������������������������������������������������������������������������������872�8� İkinci Bölümle İlgili Örnek Çözümler �������������������������������������������������������������������� 103

3. BÖLÜM

BİRİNCİ MERTEBEDEN YÜKSEK DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER

3�1� y’ye Göre Polinom Şeklindeki Diferansiyel Denklemler �������������������������������������� 1233�2� Clairaut Diferansiyel Denklemi ������������������������������������������������������������������������������� 1303�3� Lagrange Diferansiyel Denklemi ����������������������������������������������������������������������������� 1373�4� F(x,p)=0,G(y,p)=0 Tipindeki Denklemler ��������������������������������������������������������������� 1443�5� y=f(x,p),x=g(y,p) Tipindeki Denklemler ���������������������������������������������������������������� 1463�6� Uygulamalar ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 156

a) Yörüngeler ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 156b) Geometrik Yorum��������������������������������������������������������������������������������������������������� 159c) Fizik Uygulamaları ������������������������������������������������������������������������������������������������� 171

viii Çözümlü Diferansiyel Denklemler

4. BÖLÜM

YÜKSEK MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER

4.1. n. Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Homojen Diferansiyel Denklemler ......... 1794.2. n. Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemler ........................... 185

5. BÖLÜM

YÜKSEK MERTEBEDEN DEĞİŞKEN KATSAYILI DİFERENSİYEL DENKLEMLER

5.1. Sabit Katsayılı Denkleme Dönüşebilen Denklemler ............................................. 217a) Cauchy-Euler Diferansiyel Denklemi .................................................................. 217b) Legendire Diferansiyel Denklemi ......................................................................... 218c) Özel Bir Dönüşümle Çözülebilen Diferansiyel Denklemler ............................. 219

5.2. Değişken Katsayılı Lineer Homojen Diferansiyel Denklemler ............................ 233Homojen Lineer Denklemin Mertebesinin Düşürülmesi ..................................... 234

5.3. Değişken Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemler .............................................. 2355.4. İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler.............................................. 237

İrdeleme ........................................................................................................................ 2465.5. Bağımsız Değişkenin Değiştirilmesi ........................................................................ 2475.6. Bağlı Değişkeni (y’yi) Bulundurmayan Diferansiyel Denklemler ....................... 2485.7. Bağımsız Değişkeni (x’i) Bulundurmayan Diferansiyel Denklemler .................. 2495.8. Tam Diferansiyel Denklemler (Sarrus Metodu) .................................................... 262

6. BÖLÜM

YÜKSEK MERTEBEDEN DEĞİŞKEN KATSAYILI DİFERENSİYEL DENKLEMLER

6.1. Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri ................................................................. 273

ixİçindekiler

LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ İLE DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ

7.1. Laplace Dönüşümleri ................................................................................................. 2877.2. Laplace Dönüşümünün Temel Özellikleri .............................................................. 2917.3. Gamma Fonksiyonu ................................................................................................... 2937.4. Ters Laplace Dönüşümü ve Temel Özellikleri ........................................................ 2947.5. Laplace Dönüşümlerinin Diferansiyel Denklemlerinin Çözümünde Kullanılması ....................................................................................................................... 301

8. BÖLÜM

SERİ YÖNTEMİ İLE DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ

8.1. Kuvvet Serileri ............................................................................................................ 3158.2. Diferansiyel Denklemlerin Kuvvet Serileri ile Çözümü ....................................... 3178.3. Adi Nokta Etrafında Çözüm ve Örnekler ............................................................... 3198.4. Tekil Nokta Etrafında Çözüm – Frobenius Yöntemi ve Örnekler ....................... 3288.5. Bessel Diferansiyel Denklemler ................................................................................ 3388.6. Legendre Diferansiyel Denklemi ve Legendre Polinomları.................................. 3398.7. Gaus Diferansiyel Denkleminin Seri Çözümü ve Örnekler ................................. 341

Kaynaklar ............................................................................................................................ 343

xiTemel İntegral Formülleri

1. rx

x dx c r1

1r

r1

!=++ -

+

^ h# 2. lnx

dxx c= +#

3. sin cosxdx x c=- +# 4. cos sinxdx x c= +#

5. sec tanxdx x c2= +# 6. cosec cotxdx x c2

=- +#

7. .sec tan secx xdx x c= +# 8. .cosec cot cosecx xdx x c= +#

9. tan ln cosxdx x c=- +# 10. cot ln sinxdx x c= +#

11. sec ln sec tanxdx x x c= + +# 12. cosec ln cosec cotxdx x x c= - +#

13. e dx e cx x= +# 14.

lna dx

aa

cxx

= +#

15. sinh coshxdx x c= +# 16. cosh sinhxdx x c= +#

17. sec tanhh xdx x c2= +# 18. cosec coth cosechx xdx hx c=- +#

19. sec tanh sechx xdx hx c=+ +# 20. cosec coth cosechx xdx hx c=- +#

21. arctanx a

dxa a

xc

12 2+

= +# 22. lnx a

dxa x a

x ac

21

2 2-

=+

-+#

23. lnx a

dxb a x b

x ax b

c1

+=- +

+

++^ ^h h# 24. arcsin

a x

dxdx

ax

c2 2-

= +#

25. lnx a

dxx x a c

2 22 2

!!= + +#

26. arcsina x dxx

a xa

ax

c2 2

2 2 2 22

- = - + +#

27. lnx a dxx

x aa

x x a c2 2

2 2 2 22

2 2! ! ! != + +#

28. , , , ...x a

dx

na x a

x

na

n

x a

dxn

2

1

2

2 11 2

n n2 2 2 2 2 2 2 21+

=+

+-

+

=+^ ^ ^

^h h h

h##

xii Çözümlü Diferansiyel Denklemler

29. sin sinxdx x x c21

41

22= - +# 30. cos sinxdx x x c

21

41

22= + +#

31. tan tanxdx x x c2= - +# 32. cot cotxdx x x c2

=- - +#

33. sin sin cosxdx x x c31

23 2=- + +^ h#

34. cos cos sinxdx x x c31

23 2= + +^ h#

35. tan tan ln cosxdx x x c213 2

= + +#

36. cot cot ln sinxdx x x c213 2

=- + +#

37. sec sec tan ln sec tanxdx x x x x c21

213

= + + +#

38. .cosec cosec cot ln cosec cotxdx x x x x c21

213

=- + - +#

39. sin sinsin sin

ax bxdxa ba b

a ba b

cx x

2 2=

-

--

+

++^

^^^

hh

hh#

40. cos cossin cos

ax bxdxa ba b

a ba b

cx x

2 2=

-

--

+

++^

^^^

hh

hh#

41. sin coscos cos

ax bxdxa ba b

a ba b

cx x

2 2=-

-

--

+

++^

^^^

hh

hh#

42. sin sin cos sinxdxn

x xn

nxdx

1 1n n n1 2=- +

-- -##

43. cos cos sin cosxdxn

x xn

nxdx

1 1n n n1 2= +

-- -##

44. tan tan tanxdxn

x xdx1

1n n n1 2=-

-- -##

45. cot cot cotxdxn

x xdx1

1n n n1 2=-

--

- -##

xiiiTemel İntegral Formülleri

46. sec sec tan secxdxn

x xnn

xdx1

112n n n2 2

=-

+-

-- -##

47. cosec cosec cot cosecxdxn

x xnn

xdx1

112n n n2 2

=--

+-

-- -##

48. sin cossin cos

sin cosx xm n

x xm nn

x xdx1m n

m nm n

1 12

=+

++

-+ -

-##

49. sin sin cosx xdx x x x c= - +#

50. .cos cos sinx xdx x x x c= + +#

51. sin cos cosx xdx x x n x xdxn n n 1=- +

-##

52. cos sin sinx xdx x x n x xdxn n n 1=- -

-##

53. arcsin arcsinxdx x x x c1 2= + - +#

54. arccos arccosxdx x x x c1 2= - - +#

55. arctan arctan lnxdx x x x c21

12= - + +^ h#

56. cot cot lnarc xdx xarc x x c21

12= + + +^ h#

57. sec sec lnarc xdx xarc x x x c12= - + - +#

58. arccos arccos lnecxdx x ecx x x c12= + + - +#

59. arcsin arcsinx xdx x xx

x c41

2 14

12 2= - + - +^ h#

60. arctan arctanx xdx x xx

c21

12

2= + - +^ h#

61. ln lnxdx x x x c= - +# 62. ln lnx xdxnx

xn

c1 1

1nn 1

=+

-+

++

c m#

xiv Çözümlü Diferansiyel Denklemler

63. ln

ln lnx x

dxx c= +# 64. ln ln lnx dx x x n x dxn n n 1= - -^ ^ ^h h h# #

65. xe dx x e c1x x= - +^ h# 66. x e dx x e n x e dxn x n x n x1

= --##

67. coscos sin

e bxdx ea b

a bx b bxax ax2 2

=+

+#

68. sinsin cos

e bxdx ea b

a bx b bxcax ax

2 2=

+

-+#

69. tanh ln coshxdx x c= +^ h# 70. coth ln sinhxdx x c= +#

71. sec arctanhxdx e c2 x= +^ h# 72. cosec ln tanhhxdx

xc

2= +#

73. sinh sinhxdx xx

c41

22

2= - +# 74. cosh sinhxdx x

xc

41

22

2= + +#

75. tanh tanhxdx x x c2= - +# 76. coth cothxdx x x c2

= - +#

77. coshcosh sinh

e bxdx ea b

a bx b bxcax ax

2 2=

-

-+#

78. sinhsinh cosh

e bxdx ea b

a bx b bxcax ax

2 2=

-

-+#

79. arcsinx a b dxx

x a a ba

ax

c8

28

2 2 2 2 2 2 24

+ - = - - + +^ h#

80. lnx x a dxx

x a x aa

x x a c8

28

2 2 2 2 2 2 24

2 2! ! ! != + + +^ h#

81. lnx

a xdx a x ca

xa a x2 2

2 22 2

!!

"= +-

+#

82. secx

x adx x a

ax

aarc c2 2

2 2-= - - +#

xvTemel İntegral Formülleri

83. arcsinx

a xdx

xa x

ax

c1

2

2 22 2-

=- - - +#

84. lnx

x adx

xx a x x a c

12

2 22 2 2 2!! !=- + + +#

85. arcsina x

xdx a x

aax

c41

22 2

22 2

2

-=- - + +#

86. lnx a

xdx

xx a

ax x a c

2 22 2

22 2

42 2

!! " != + +#

87. lnx a x

dxa x

a a xc

12 2

2 2

!

!=-

++#

88. secx x a

dxa

arcax

c1

2 2-

= +#

89. x a x

dx

a xa x c

12 2 2 2

2 2"

-= - + - +#

90. x x a

dx

a xx a c

12 2 2 2

2 2

!" != +#

91. a x

dx

a a x

xc

/2 2 2 2 23 2-

=-

+^ h#

92. x a

dx

a x a

xc

/2 2 2 2 23 2!

!!

= +^ h#

93. arcsina x dxx

a x a xa

ax

c8

5 28

32 2 23

2 2 2 24

- = - - + +^ ^h h#

94. lnx a cdxx

x a x aa

x a8

2 58

32 2 23

2 2 2 24

2 2! ! ! ! += +^ ^h h#

xvi Çözümlü Diferansiyel Denklemler

95. 3 ! , , , ...x e dx n n 0 1 2n x0

= =- ^ h#

96. 3e dxn

2x

0

2=

-#

97. /2r... , , , ...

... , , , ...sin cosxdx xdx

nn

n

nn

n

21

43 1

2 4

32

54 1

3 5/n n

0 02= =

-=

-=

r

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

# #

98. ,

... , , , ...x

dxn

nn

n1

21

21

43

2 22 3

22 3

n0 2

r

r+

=

=

-

-=

3

^ h

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

#

1.1. Genel Bilgiler

Tanım 1. 1: x bağımsız değişkeni ile bu değişkene bağlı fonksiyonu ve bu fonk-siyonun çeşitli mertebeden türevlerini içeren denkleme diferansiyel denklem denir.

Bu tanıma göre; x bağımsız değişken, y, x’e bağlı fonksiyon, y’nin türevleri; , , , ...,y y y y nnl m ^ holmak üzere , , , , ...,F x y y y y 0n

=l m` ^ jh denklemi n. mertebeden bir

diferansiyel denklemdir.

, ,F x y y 0=l` j birinci mertebeden diferansiyel denklemdir.

, , ,F x y y y 0=ml` j ikinci mertebeden diferansiyel denklemdir.

……………..

, , , ...,F x y y y 0n=

l` ^ jh n. mertebeden diferansiyel denklemdir.

Bir diferansiyel denklemin en yüksek mertebeli türevi denklemin mertebe-sidir. En yüksek mertebeli türevin derecesi de diferansiyel denklemin derecesidir.

, , ,xy y y xy dy x y dx xy x y 4 01 0 0 2 2 3 2- =+ + = + = = + +

l l l_ i denklem-leri 1. mertebeden diferansiyel denklemlerdir.

y y x 12+ = +n m denklemi 3. mertebeden,

dx

d ux

dxdu

x u 032

22=+ - denklemi 2. mertebeden,

1. BÖLÜM

TEMEL BİLGİLER

dtdv

dt

d vv 53

3

3

$ =+ denklemi 3. mertebeden diferansiyel denklemlerdir.

( ) siny y xx 02=- -

l l denklemi 1. mertebeden 2. dereceden;

( )x y y y y 0+ + + =m m l denklemi 2. mertebeden 3. dereceden bir diferansiyel

denklemdir.

tan sinxy y x2=+m l denklemi 2. mertebeden diferansiyel denklemdir.

y y xy y y 05n n 1=+ + + +

n l-^ ^h h denklemi n ci mertebeden 1. dereceden bir diferansiyel denklemdir.

Tanım 1. 2: , , , ...,F x y y y 0n=

l` ^ jh bir diferansiyel denklem olsun. Bu diferansi-yel denklemi sağlayan y f x= ^ h ifadesine söz konusu diferansiyel denklemin bir çözümü veya integrali denir.

Örnek 1. 1: sin cosy y x x 1 0+ - - + =l denklemi verilsin.

siny x 1= - bu denklemin bir çözümüdür. Gerçekten; cosy x=l olduğundan

cos sin sin cosx x x x1 1 0+ - - - + = olur.

Örnek 1. 2: y x 0- =l denklemi verilsin. c keyfi sabit olmak üzere

y x c21 2

= + ifadesi denklemin genel çözümüdür. Gerçekten; y x y x0 "- = =l l

dir. İntegral alınırsa y x c21 2

= + olur.

Tanım 1. 3: Bir diferansiyel denklemin genel çözümü veya genel integrali bir eğri ailesidir.

, ,F x y y 0=l` j denkleminin genel çözümü (Genel integrali) , ,G x y c 0=^ h şeklinde bir eğri ailesidir. Burada c keyfi sabittir. (c, parametre)

, , ...,,F x y y y nl` ^ jh diferansiyel denkleminin genel çözümü G(x, y, c1, c2, ..., cn) = 0 şeklinde bir eğri ailesidir. c1, c2, ..., cn keyfi sabitlerdir.

Örnek 1. 3: y 1=n ise

, ,y x c y x c x c y x c x c x c21

61

21

12

1 23

12

2 3= + = + + = + + +m l (Genel çözüm)

Bir diferansiyel denklemin genel çözümünden özel bir çözümü bulunabilir. Bunun için keyfi sabitlerin sayısı kadar şart verilmelidir (Başlangıç değer problemi).

2 Çözümlü Diferansiyel Denklemler

Örnek 1. 4: y y 0+ =m denkleminin genel çözümü cos sinc cy x x1 2= + dir.

,y y0 0 0 1= =l^ ^h h için özel çözüm y = sinx dir.

1.2. Diferansiyel Denklemlerin Elde Edilmesi

,y f x c= ^ h bir parametreli eğri ailesi olsun.

,y f x c

y f x

=

=l l

^^ hh4 Denklemleri arasında c yok edilirse , ,F x y y 0=l` j şeklinde 1.

mertebeden diferansiyel denklem elde edilir.

, ,y f x c c1 2= ^ h iki parametreli eğri ailesi olsun.

, ,

, ,

, ,

y f x c c

y f x c c

y f x c c

1 2

1 2

1 2

=

=

=

l l

m m

^^^

hhh

_

`

a

bbbbbbbbbbbbbb

Denklemleri arasında ,c c1 2 sabitleri yok edilirse

, , ,F x y y y 0=l m` j şeklinde 2. Mertebeden diferansiyel denklem elde edilir.

, , , ...,

, , , ...,

, , , ...,

y f x c c c

y f x c c c

y f x c c c

n

nn n

n

1 2

1 2

1 2

=

=

=

l l

^^^^ ^

hhhh h

_

`

a

bbbbbbbbbbbbbb

Denklemleri arasında , , ...,c c cn1 2 keyfi sabitleri

(parametreleri) yok edilirse , , , ...,F x y y y 0n=

l` ^ jh şeklinde n.ci mertebeden dife-ransiyel denklem elde edilir.

Temel Bilgiler 3

ALIŞTIRMALAR

1. Genel çözümü cos ln sin lny c x c x1 2= +^ ^h h olan diferansiyel denklemi elde ediniz.

Çözüm:cos ln sin ln

sin ln cos ln

sin ln

cos ln sin ln sin ln cos ln

cos ln cos ln sin ln

y c x c x

yx

cx

x

cx

yx

cx

c

yx

cc x c x

x x

cx

x

cx

yx

yx

y

xx

x

cx

x

cx

1

1 1

1 2

1 2

1

21

1 22 2

2

12 2

222

"

= +

=- +

=

= + - - +

= -

+ - -

l

m

m

m l

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h7 <A F

x y xy y 02- + =

l diferansiyel denklemi bulunur.

2. y c e c e c ex x x1 2 3

2= + +

- eğri ailesinin sağladığı diferansiyel denklemi bulunuz.

Çözüm:

y y y y2 2 0- - + =n m l

y y 2- =

y c e c e c e

y c e c e c e

y c e c e c e

y c e c e c e

y y c e

y y c e

y y

2

4

8

3

6

x x x

x x x

x x x

x x x

x

x

1 2 32

1 2 32

1 2 32

1 2 32

32

32

= + +

= - +

= - +

= - +

- =

- =

-

l

m

n

m

n l

n l m

-

-

-

-

` j_

`

a

bbbbbbbb

diferansiyel denklemi elde edilir.

4 Çözümlü Diferansiyel Denklemler

3. y x3 52= +m diferansiyel denkleminin ,y y1 7 2 3= =

l^ ^h h şartlarını sağ-layan çözümünü bulunuz.

Çözüm:

y x y x x c y x x c x c3 5 541

252 3

14 2

1 2" "= + = + + = + + +m l

x = 1 için y c c741

25

71 2"= + + + =

x = 2 için y c c3 8 10 3 151 1" "= + + = =-l

c c4

1115 7 7

449

477

2 2"- + = = + =

y x x x f x41

25

15 7474 2

= + - + = ^ h (özel çözüm)

4. Herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi ln

xy yx2

- olan ve (1, 1) nok-

tasından geçen eğriyi bulunuz.

Çözüm:

Herhangi bir (x,y) noktasındaki teğetin eğimi dxdy

dir. ln

dxdy

xy yx2

=-

lndxdy

xy

yx

x2+ = (Bernoulli diferansiyel denklemi)

,ln

y yx

yx

xy z y y z

12 1 1 2" l+ = = =

l l- - - -

ln lnz

xz

xx

zx

zx

x1 1"- + = - =-

l l (Lineer denklem)

z u v u e e ,lnln ln

xdx

x x vxx

xc

x

xdxc

12"$= = =

$- - = =- + =- +# ##

Temel Bilgiler 5