Mühendisler İçin Diferansiyel Denklemler

Mhendislerin DFERANSYELDENKLEMLER

Do.Dr.TahsinEnginProf.Dr.YunusA.engel

Sakaryaniversitesi MakinaMhendisliiBlm

Eyll2008 SAKARYA

-1Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Engin/engel

NDEKLERBLM1BRNCMERTEBEDENDFERANSYELDENKLEMLER

1.1.GR 1.2.BAZITEMELTANIMLAMALAR 1.3.DFERANSYELDENKLEMLERNZMLER 1.4.DFERANSYELDENKLEMLERNDORUDANNTEGRALYOLUYLAZMLER 1.5.PROBLEMLER BLM2BRNCMERTEBEDENLNEERDFERANSYELDENKLEMLER 2.1.GR 2.2.BRNCMERTEBEDFERANSYELDENKLEMLEREGENELBAKI 2.3.BRNCMERTEBELNEERDFERANSYELDENKLEMLER 2.4LNEEROLMAYANBRNCMERTEBEDENDFERANSYELDENKLEMLER 2.4.1.DeikenlerineAyrlabilirTipteBirinciMertebedenDenklemler 2.4.2.HomojenTipteBirinciMertebedenDenklemler 2.4.3.TamDiferansiyelDenklemler 2.4.4.BazzelTipDiferansiyelDenklemler 2.5.BRNCMERTEBEDENDENKLEMLERNSSTEMATKYAKLAIM 2.6.MHENDSLKUYGULAMALARI 2.7.PROBLEMLER BLM3KNCveYKSEKMERTEBEDENLNEERDFERANSYELDENKLEMLER 3.1GR 3.2.LNEERBAIMSIZLIKVEWRONSKIANFONKSYONLARI 3.3.HOMOJENDENKLEMLERTEORS 3.4.SABTKATAYILIHOMOJENDENKLEMLER 3.5.HOMOJENOLMAYANDENKLEMLERTEORS 3.6.HOMOJENOLMAYANDENKLEMLER;BELRSZKATSAYILARYNTEM 3.7.HOMOJENOLMAYANDENKLEMLER:SABTNDEMMETODU 3.8EULERDENKLEMLER 3.9.MHENDSLKUYGULAMALARI 3.10.PROBLEMLER BLM4LNEERDFERANSYELDENKLEMSSTEMLERNNZM 5.1.GR 5.2. LNEER DFERANSYEL DENKLEM SSTEMLERNN ELMNASYON YNTEM LE ZM 5.3.ZDEERYNTEMLEZM 5.4.MATRSYNTEMLEZM 5.5.MHENDSLKUYGULAMALARI


BLM5LAPLACEDNM 6.1.LAPLACEDNM 6.2.LAPLACEDNMNNTEMELZELLKLER 6.3.TREVNVEDFERANSYELDENKLEMLERNLAPLACEDNMLER 6.4.TERSLAPLACEDNM 6.5.DFERANSYELDENKLEMLERNLAPLACEDNMLEZM 6.6.KONVOLSYONTEOREM 6.7.PROBLEMLER BLM6DFERANSYELDENKLEMLERNSAYISALZM 7.1.GR 7.2.SAYISALNTEGRALALMA 7.3.EULERYNTEM 7.4.TAYLORSERSYNTEM 7.5.RUNGEKUTTAYNTEM


1. BLM BRNCMERTEBEDENDFERANSYELDENKLEMLER 1.1.GR Diferansiyel denklemler uzun yllardr, dnyada ou fiziksel bilimler ve mhendislik dallarnda nemli bir yer tutmaktadr. Bilim adamlar ve mhendisler genellikle deiime urayan sistemleri incelerler ve diferansiyel denklemler mhendislere bir sistemdeki anahtar deikenlerin deiimini inceleme ve fiziksel olay daha iyi anlama olana getirir. Bilim ve matematik rencilerine ynelik matematik retimi uzun sredir bilim ve mhendislik faklteleri arasnda bir anlamazlk konusu olmutur. Bilim ve mhendislik faklteleri rencilerin teorik matematikle aralarnn ok da iyi olmad konusunda hemfikirlerdir. Zira bu tarz retim rencilerin problem zme becerilerini gelitirebilmelerine yardmc olamamaktadr. Bu uygulama ou niversitede bu dersten baarszlk orann % 50lere kadar karmtr. Bu ise doa bilimleri ve mhendislik blmleriiinnemlibirkayptr.Butartmaveanlamazlkgenelliklematematikrenimi gren rencilerle doa bilimleri ve mhendislik renimi gren rencilere farkl ierikli derslerin olumasyla sonulanmtr. Bylece doa bilimleri ve mhendislik faklteleri rencilerine kendi disiplinleri ierisinde karlatklar problemleri zebilmeleri iin matematikderslerinikendilerivermeyolunubenimsemilerdir. Diferansiyel denklemleri cebirsel denklemlerden ayran en nemli zellik fonksiyon trevleri iermeleridir. Diferansiyel denklemlerin incelenmesi iyi bir matematik altyaps gerektirir ve dolaysyla rencilerin bu derse balamadan nce baml ve bamsz deiken,sreklivesreksizfonksiyon,adiveksmitrevler,farklarveartrmlarileintegral gibitemelkonulargzdengeirmelerikesinliklenerilir. 1.2.BAZITEMELTANIMLAMALAR Bir ya da daha fazla fonksiyonun trevlerini ieren denklemlere diferansiyel denklem diyoruz.Dierbirifadeylediferansiyeldenklembirtakmfonksiyonlarilebunlarntrevleri arasndakiilikiyitemsileder.Bukavramilkolarak1676ylndaLeibniztarafndankullanld ve diferansiyel denklemler uzun zamandr ok eitli pratik problemin modellenmesi ve zlmesi iin bilim adamlar ve mhendisler tarafndan kullanlmaktadr. ou bilimsel problemlerin tarif edilmesi baz anahtar deikenlerin dier deikenlere gre olan deiimlerini ierir. Genellikle bu deikenlerdeki ok kk deiimlerin dikkate alnmas daha genel ve hassas bir tanmlama salar. Deikenlerin sonsuz kk veya diferansiyel deiimlerinin dikkate alnmas durumunda, deiim hzlarn trevlerle ifade etmek suretiyle, fiziksel prensip ve kanunlar iin kesin matematiksel formlasyonlar salayan diferansiyeldenklemlereldeedilir.Buyzdendiferansiyeldenklemleruzunzamandrdoa bilimleri ve mhendislikte karlalan ok farkl problemlere baaryla uygulanmaktadr. Aratrmalar, diferansiyel denklemlerin yeni uygulamalarn kefetmeye sadece fiziksel bilimlerde deil ayn zamanda biyoloji, tp, istatistik, sosyoloji, psikoloji ve ekonomi gibi alanlarda da devam etmektedirler. Hem teorik hem de uygulamal diferansiyel denklem aratrmalargnmzdeokaktifaratrmakonulararasndabulunmaktadr. Fiziksel kanun ve prensiplerin, gz nne alnan deikenlerdeki sonsuz kk deiimleri dikkate almak suretiyle, bir probleme uygulanmasyla diferansiyel denklemler elde-4Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Engin/engel

edilmektedir.Dolaysyladiferansiyeldenklemineldeedilmesiproblemhakkndayeterlibilgi sahibiolmay,problemedahilolandeikenleribelirleyebilmeyi,uygunbasitletirmelerve varsaymlaryapabilmeyi,kullanlacakfizikselprensipvekanunlarbilmeyivededikkatlibir analizyapabilmeyigerektirir.Aadabazrneklerverilmitir. rnek11Newtonunhareketyasas Newtonun ikinci kanununu kullanarak dz bir izgi boyunca F kuvvetinin etkisi altnda hareket eden m ktleli bir cismin konumunu s tanmlayan diferansiyel denklemi elde ediniz. zm Dinamikderslerimizdenhzveivmetanmlarnn ds V= dt dV d ds d 2 s a= = = dt dt dt dt 2 olarak verildiini biliyoruz. Newtonun ikinci kanunu Kuvvet = Ktle vme eklinde ifade edildiinden d 2s F ( t ) = m a( t ) = m 2 dt yazlabilir.Dzenlemeyaplrsa d 2 s F( t ) = diferansiyeldenklemieldeedilir. m dt 2 rnek12Newtonunsoumakanunu Balangta belirliscaklasahipkreselmetalbir cisimscakl T0olanscak suierisine braklyor. Cismin balang scakl su scaklndan dk ise, cisme s transferi balayaca bilinmektedir. Buna gre cismin herhangi bir t annda scakln T(t) veren diferansiyeldenklemibelirleyiniz. zm Suyun bulunduu kab mkemmel ekilde yaltlm dnelim (evreye s kayb yok) ve bunagreenerjininkorunumuprensibiniuygulayalm.Cisimscaksuyabrakldktantsre sonracisminenerjisindekiart,cisminyzeyindencismetanmla(konveksiyon)geens enerjisikadarolacaktr.Bunagre mcT = hA(T ( t ) T0 )t eldeederiz.Herikitaraftyeblersek T hA (T ( t ) T0 ) = t mc Zamandiliminisonsuzkkaldmzda(limitdurumunda,yanit0) dT ( t ) hA (T ( t ) T0 ) = dt mc diferansiyeldenklemieldeedilir.Budenklemkreselcisminscaklnzamannfonksiyonu olarak ifade etmektedir. Diferansiyel denklemler fiziksel olay, bamsz deiken(ler)in belirli bir aralktaki deerleri iin tanmlayabilir. rnein bu denklem kresel cismin merkezinden yzeyine kadar olan scaklk deiimini tanmlar, bu snrlarn dnda geersizdir. Ayrca denklem, cismin scak suya daldrld andan itibaren (t=0) scakln verirvedolaysylaeldeedilecekzm0taralndageerliolacaktr.


Bir ya da daha fazla baml deikenin tek bir deikene gre adi trevlerini ieren diferansiyel denklemlere Adi Diferansiyel Denklem (ADD) denir. Bunun yannda ierisinde biryadadahafazlabamldeikenin,biryadadahaokbamszdeikenegretrevleri bulunan denkleme ise Ksmi Diferansiyel Denklem (KDD) diyeceiz. Bu derste ADD konusu zerindedurulacakolupKDDkonusudahaoklisansstdzeylerdeelealnmaktadr.Adi birdiferansiyeldenklemernekolarak y + 3 x 2 y 4 y = xe x + 2Cotx verilebilir. Bir diferansiyel denklemde en yksek mertebeli trevin mertebesi diferansiyel denklemin mertebesini verir. rnein stteki denklem 3. mertebedendir denir. Bunun yannda, mertebeyleskakartrlanbirkavramolandereceyededeinmekgerekir.Birdiferansiyel denklemdebulunanenyksekmertebelitrevinssne,budiferansiyeldenkleminderecesi denecektir. Bir diferansiyel denklemdeki baml deiken ve tm trevleri birinci dereceden ise, diferansiyel denkleme lineer diferansiyel denklem denir. Dolaysyla ierisinde y 3 ,( y )2 , yy , y y , sin y , e y gibi terimler bulunan denklemler lineer deildir. Bunun yanndadenklem x 2 , xy , sin x , e sin x , ln x trndenifadelerierebilir. Dahagenelbirifadeyleeerbirdiferansiyeldenklem y ( n ) + f 1 ( x ) y ( n 1 ) + f 2 ( x ) y ( n 2 ) + ... + f n ( x ) y = R( x ) 3

formunda ifade edilebiliyorsa denkleme lineerdir diyeceiz, aksi halde lineer olmayan bir diferansiyel denklem sz konusudur. Bu denklemde eer R( x ) = 0 ise lineer diferansiyel denklemhomojendir.Aksidurumdadenklemhomojenolmayandiferansiyeldenklemadn alr. rnek13Diferansiyeldenklemlerinsnflandrlmas Aadakidiferansiyeldenklemlerisnflandrnz. zm (1) y + 3 y = 0 (2.mertebelineerhomojen) (2) (2.mertebelineerhomojendeil) y + 3 y = 2 x + sin x (3) (2.mertebelineerdeil) y + 3 yy = 0 (4) (3.mertebelineerdeilhomojendeil) y + sin x y + cos y = e 2 x Diferansiyel denklemler baml deiken ve trevlerinin katsaylarnn durumuna gre de snflandrlmaktadr. Eer bu katsaylar birer sabitse denklem sabit katsayl diferansiyel denklem, eer bamsz deikene bal fonksiyonlar ise deiken katsayl diferansiyel denklem adn alr. rnein y + 2 y = sin x denklemi sabit katsayl, cosh x z + x 2 z = x ise deikenkatsaylbirdiferansiyeldenklemdir. 1.3.DFERANSYELDENKLEMLERNZMLER


Bir problem iin diferansiyel denklemin elde edilmesi genellikle kolaydr. Dier yandan bu denkleminzmnnbulunmasisegenelliklezordur.Birdiferansiyeldenkleminzm bazen bir ya da birka defa integral alma ileminden ibaret olabilse de bu tr durumlar genellikle istisnadr. Tm diferansiyel denklem tiplerine uygulanabilen genel bir zm yntemi ne yazk ki mevcut deildir. eitli snflara ayrlan diferansiyel denklemler iin bunlarazgzmmetotlargelitirilmitir.Bazenbirdiferansiyeldenklemizmekbirden fazlatekniinberaberkullanlmasnnyansrabutekniklerdekiyeterlibiruzmanlkdzeyi ve hner gerektirir. Baz diferansiyel denklemler sadece ustaca yaplm bir takm maniplasyonlarlazlebilirkenbazlarnnanalitikzmleriimkanszolabilir.Dolaysyla birdiferansiyeldenklemizmekbilimdenziyadebirsanatdalgibidir. Cebirsel denklemlerin zmnde genellikle x 2 7 x 10 = 0 trnden bir denklemi salayan ayrk deerlerin (kklerin) bulunmas hedeflenir. te yandan bir diferansiyel denklemi zerken, belirli bir aralkta denklemi salayan fonksiyonlar aranr. Yukardaki cebirsel denklemi salayan deerler 2 ve 5 tir. Oysa y 7 y = 0 diferansiyel denklemini herhangi bir x deeri iin e7x salamaktadr. Diferansiyel denklemi salayan herhangi bir fonksiyon, diferansiyel denklemin bir zmdr. Benzer ekilde diferansiyel denklemi salayan ve ierisinde bir ya da daha fazla keyfi sabit bulunduran ve bu nedenle bir eri ailesinioluturanzmegenelzmdenir.Eerdiferansiyeldenkleminherzmgenel zmdeki keyfi sabitlere deerler atanarak elde edilebiliyorsa bu genel zm ayn zamanda tam zm adn alr. Genel zmden elde edilen her bir zm ise zel veya zglzmadnalr.Eerdiferansiyeldenkleminherhangibirzm,genelzmdeki sabitleredeerleratanarakeldeedilemiyorsabuzmtekilzmadnalr.Tpkcebirsel denklemlerin zmnde olduu gibi, diferansiyel denklemlerde de, hangi isim altnda olursaolsun,birzmdiferansiyeldenklemimutlakasalar.Eersalamyorsa,eldeedilen zmhataldrdemektir. rnek14Birdiferansiyeldenkleminzm y = e 2 x ifadesinin (,+ ) aralnda y 2 y = 0 diferansiyel denkleminin bir zm olduunugsteriniz. zm Verilenzmdiferansiyeldenklemisalamaldr. y = e2 x 2x 2x alnarak diferansiyel denklemde yazlrsa 2e 2e = 0 olur ve denklem 2x y = 2e salanr. rnek15Birdiferansiyeldenkleminzmy = 1 x 2 ifadesinin yy + x = 0 diferansiyel denkleminin bir zm olduunu gsteriniz.Verilenzmnherxdeeriiingeerliolupolmadnirdeleyiniz. zm 2x Verilen zm diferansiyel denklemde yazlrsa 1 x 2 + x = 0 elde edilir, 2 1 x2

dolaysyla verilen zm denklemi salamaktadr. zmn tanm aral iin 1 x 2 0 olmas gerektii aktr. Buradan (1 x)(1 + x) 0 1 x ve 1 x yazlarak 1 x 1 elde edilir. -7Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Engin/engel

rnek16Birdiferansiyeldenklemingenelzm y = Cxe 2 x + 2 x 3 ifadesinin y 4 y + 4 y = 8 x 20 diferansiyeldenkleminin,Csabitinin herhangibirdeeriiin,zmolduunugsteriniz. zm y = Cxe 2 x + 2 x 3 , y = C( e 2 x + 2 xe 2 x ) + 2 = Ce 2 x + 2Cxe 2 x + 2 vey = 2Ce 2 x + 2C ( e 2 x + 2 xe 2 x ) = 4Ce 2 x + 4Cxe 2 x bulunupdenklemdeyerineyazarsak, y 4 y + 4 y = ( 4Ce 2 x + 4Cxe 2 x ) 4( Ce 2 x + 2Cxe 2 x + 2 ) + 4( Cxe 2 x + 2 x 3 ) = 8 x 20 eldeedilir.Dolaysylaverilenzmgenelzmdr. imditekrarbirsubanyosunadaldrlankreselcisimrneimizednelim(rnek12).Elde edilendiferansiyeldenkleminzmndencisminscaklnnzamanladeiimi,

T (t ) = T0 (T0 C )e olarak elde edilir. Bu ifadede C bir keyfi sabittir. Kolaylkla gsterilebilir ki bu zm Cnin ald deerden bamsz olarak diferansiyel denklemi salar. Dolaysyla Cnin alabilecei sonsuz sayda deere karlk sonsuz sayda zel zm elde etme imkan vardr. Genel zm ierisinde cismin balang scakl (t=0 annda) olan Ti bulunmadndan bu sonu srpriz deildir. Dolaysyla balang scakl belirtildiinde, verilen diferansiyel denkleme olan zm de zel bir zm kimlii kazanr. Bizim ilgilendiimiz zm de, T eksenini Ti scaklnda kesen zel zm olacaktr. Buradan u nemli sonu kmaktadr: Belirli bir problemin tek bir zm olsa da, bu problemi temsil eden diferansiyel denklemlerin sonsuz sayda zme sahip olmalar mmkndr. Bunun nedeni, diferansiyel denklemin, baml deikenlerle bamsz deikenlerdeki deiimler arasndaki bir iliki olmasndan baka bir ey olmamasdr. Diferansiyel denklem, bir fonksiyon veya trevlerinin belirli bamsz deiken deerlerine karlk gelen bamsz deiken deerleri konusunda bilgi iermez. Sonu olarak ayn fiziksel olayla ilgili pek ok farkl problem ayn diferansiyel denklemle ifade edilir. Farkllk ise elde edilen genel zmden bizim ilgilendiimiz problemin zel zmne geebilmemizi salayan zel artlarn tanmlanmasdr. Eer bu artlar bamsz deikenin ayn deeri iin verilmise bu artlara balang artlar, bamszdeikeninbirdenfazladeeriiinbelirlenmisebuartlarasnrartlardiyeceiz. y 3 y + y = 2 xe 4 x balangdeerproblemi y ( 2) = 5, y (2) = 3 y 3 y + y = 2 xe 4 x snrdeerproblemi y ( 2) = 5, y (8) = 2 rnek17Serbestdmehareketi Hava srtnmeleri ihmal edildiinde, bir cismin serbest dme hareketi yerekimi kanunu ile gerekleir. z=h yksekliinden ilk hzsz olarak aaya doru braklan bir cisim dnelim. Bu hareket ile ilgili matematiksel ilikileri yaznz, problemin trn (balang veyasnrdeer)belirtiniz. zm Newtonunikincikanununagre(yukarynpozitifseilirse),cisminhareketi

hA t mc


= g dt 2 diferansiyeldenklemiylebelirlidir.Cisimilkhzszolarakbrakldndan dz V (t = 0) = 0 = yazlabilir. Bir dier art ise cismin balangta h yksekliinde dt t =0 bulunmasartdr.Dierbirifadeyle, z (t = 0 ) = h Herikiartdabamszdeikenin(t)ayndeerindeverildiiiinbuproblembirbalang deerproblemiolmaktadr. Birdiferansiyeldenklemizmede,denklemisalayany=y(x)fonksiyonununbulunmasarzu edilir. Ancak ou zaman bu mmkn olmaz ve yaklak zm teknikleri zm iin tek alternatifkalr.Saysalyntemlerbunedenleortayakmyaklakzmyollardr.Kapal zmlerin elde edildii analitik yntemlerle bamsz deikenin sonsuz deerine karlk sonsuz sayda baml deiken deeri hesaplamak mmkndr. Yani analitik z fonksiyonu, verilen zm aralnda, srekli bir fonksiyondur. Dier taraftan saysal yntemler,ancakbamszdeikenindahancedentanmlanmdeerlerinekarlkgelen bamldeikendeerleriniyaklakolarakvermektedir. 1.4.DFERANSYELDENKLEMLERNDORUDANNTEGRALYOLUYLAZMLER Baz diferansiyel denklemler lineerdir ve trevleri ieren tek bir terime sahip olup, bilinmeyen(aranan)fonksiyonunbirarpanolduuterimleriiermezler.Eerintegralilemi yaplabiliyorsa, diferansiyel denklem de dorudan integralleme tekniiyle zlebilir demektir. Bunun yannda dier baz diferansiyel denklem trleri lineer olmayan terimlere sahiptirvebuyollazlmelerimmkndeildir. y x 2 e 6 x = 0 dorudanintegralyoluylazlebilir.y + 3 xy x 2 e 6 x = 0 dorudan integral yoluyla zlemez, nk bilinmeyen fonksiyonunbirarpandurumundanolduu3xyterimidorudanintegrallenemez. Birdiferansiyeldenklemdorudanintegralyoluylazlrkenterimterimintegreedilirve birintegralsabitieklenir.Herintegrasyonadmndatrevlerinmertebeleribirdrlrve buna karlk bir baka integral sabiti eklenir. Dolaysyla bir diferansiyel denklemin genel zmnde,diferansiyeldenklemdebulunanenyksekmertebelitrevinmertebesikadar keyfisabiteldeedilir. rnek18Dorudanintegrasyonilezm Aadakidiferansiyeldenklemlerindorudanintegralyoluylazlpzlemeyeceklerini belirtinizvezlebilirolanlarznz. (1) y 5 y + 3 = 0

d 2z

(2) y 6 x 2 = 0 (3) 2 yy 4 = 0


zm (1) Bu denklem, ikinci teriminin bilinmeyen fonksiyonu (yani baml deikeni) iermesindendolayzlemez. (2) Bu denklem lineerdir ve trevli tek terimi bulunmakta ve dier terimlerde bilinmeyen fonksiyon y bir arpan veya faktr durumunda deildir. Bu nedenle denklem zlebilir.Denklem2.mertebedenolduundanartarda2kezintegralalnpherseferinde birsabitineklenmesigerekir. d 2 y d dy y = 2 = yazlabilir. dx dx dx Denklemdeyerinekonursaveherikitarafdxilearplrsa dy dy 2 x 3 = C1 eldeederiz.Birkez d ( ) 6 x 2 dx = 0 denklemibulunur.ntegralalrsak dx dx 1 dahaintegralalmaksuretiyle dy 2 x 2 dx = C1dx veya y x 4 = C1 x + C2 yazlarak 2 1 y = x 4 + C1 x + C2 arananzmbulunmuolur. 2 (3) Budenklemlineerdeildirvedorudanintegralyoluylazlemezgibigrnyor. Ancak dikkatli bir kontrol ile 2 yy teriminin y 2 nin trevinden baka bir ey olmadakagrlmektedir.Ohaldedenklemuekildedzenlenebilir. d ( y 2 ) 4 = 0 .Denkleminherikitarafdxilearplarak d ( y 2 ) 4 dx =0 yazlpintegral dx alnrsa y 2 4 x = C1 veya y = 4 x + C1 genelzmeldeedilir. rnek19Serbestdmehareketi 100myksekliktenbraklanbircismin3saniyesonrakiyerdenyksekliinivehzn belirleyiniz. zm Zemini z=0 kabul edelim ve cismin brakld ykseklii de z=100 m alalm. Hava direnci ihmal edildiinde cismin bu serbest dme hareketinin z = g diferansiyel denklemiyle tanml olduunu biliyoruz. Art arda iki kez integral alarak z = V ( t ) = gt + C1 ve 1 z( t ) = gt 2 + C1t + C2 eldeederiz.Buzmlerserbestdmehareketiyapanhercisim 2 iinayndr.Dikkatedilirsebirdiferansiyeldenklemingenelzm,bilinmeyenfonksiyon ile bamsz deiken arasnda bir ilikidir ve kesinlikle bir baml deikene ait bir trev terimiiermez. Genelzmn2adetkeyfisabitibulunmaktadrvebunlarbilmeksizincismin3ssonraki konumu iin bir hesaplama yaplamaz. Bu srpriz bir durum deildir nk bu konum cismin atld ykseklie ve cismin ilk hzna bal olarak deiebilir. Oysa genel zm bunlarkonusundahibirbilgivermez.Dahancedebelirtildiigibibirdiferansiyeldenklem bamlvebamszdeikenlerdekideiimlerarasndakiilikiyitanmlarveproblemezg verilen bamsz deiken deerine karlk gelen baml deiken deerlerinden etkilenmez.rnein100myerine250mdnlseydi,eldeedeceimizgenelzmyine ayn kalacakt. Ancak doal olarak cismin 3 s sonraki konumu bu durumda farkl bir yerde olacakt. Genel zm denklemini bizim problemimize uygun hale getirebilmek iin ierisindekisabitlerinproblemdeverilenkoullaragrebelirlenmesigerekir.Bukoullar

- 10 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Engin/engel

dz =0 dt t = 0 z( 0 ) = 100 olarak verilmitir. Birinci koulumuzu hz denkleminde yazalm: V ( 0 ) = 0 = g 0 + C1 , kinci koulu da konum denkleminde yerine koyalm: C1 = 0. 1 z( 0 ) = 100 = g 0 + C1 0 + C2 , C 2 = 100 . Dolaysyla aranan zel zm ifadesi 2 1 2 z = z( t ) = gt + 100 olacaktr. Hz ifadesi ise C1=0 olduundan V ( t ) = gt olur. t=3 2 saniyesonrakideerlerhesaplanrsa, 1 z( 3 s ) = ( 9.81 )( 3 )2 + 100 = 55.85 m ve V ( 3 s ) = ( 9.81 )( 3 ) = 29.43 m/s (aa 2 ynl). V(0 ) =


Blm1ileilgiliproblemler Fizikselproblemlerimodellemedecebirseldenklemlernedenyetersizkalr,diferansiyel denklemlerenedenihtiyaduyulmutur. Sabit hzla (V0) dmekte olan bir paratn hareketini tanmlayan diferansiyel denkleminiNewtonunikincikanununu( F = m a )kullanarakeldeediniz. Ktlesi m olan bir ta yerden yukarya doru V0 dey hzyla atlmaktadr. Newtonun hareketkanununagrecisminyerdenyksekliinivehznzamannfonksiyonuolarakelde edebileceinizdiferansiyeldenklemiyaznz. Yaylar genellikle deformasyon miktarlaryla orantl ve yn srekli olarak denge konumuna doru olan bir kuvvet olutururlar. rnein x kadar gerilmi bir yayn oluturaca kuvvetF=kxileverilirveburadakyaykatsaysadnalr.Yaykatsayskolan byle bir yay ucuna, yay denge konumundayken (x=0) m ktleli bir cisim balanmakta ve ktle yayn ucuna bal olarak yerekimi ve yay kuvvetinin btnleik etkisiyle salnm yapmaya terk edilmektedir. Newtonun hareket kanununa gre ktlenin konumunu, balang konumuna gre (x=0), zamann fonksiyonu olarak veren diferansiyel denklemi yaznz. Pltonyum, Radyum ve C14 gibi Karbon izotoplarnn, baka bir element veya ayn elementin baka bir izotopunu oluturmak zere tabii olarak bozunduu bilinmektedir. Bozunma hz henz bozunmam miktar ile doru orantl olarak deimektedir. Bir radyoaktif malzemenin herhangi bir t anndaki miktarn M(t) alarak, bu ktlenin zamanla deiiminiverendiferansiyeldenklemieldeediniz.Not:Birdeikenin(rneinA)bakabir deikenle(rnein B) doru orantl olmas matematiksel olarak A=kB olarak ifade edilir. Buradakorantkatsaysadnalr. 2.1. Baml ve bamsz deiken nedir, bir fonksiyonda bunlar birbirinden nasl ayrt edersiniz. 2.2.Trevingeometrikanlamnaklaynz. 2.3.Adiveksmidiferansiyeldenklemlerarasndanefarkvardr. 2.4.x=5noktasndakiteetixeksenineparalelolanbirf(x)fonksiyonununbunoktadaki birincitrevikonusundanesyleyebilirsiniz. 2.5. Bir diferansiyel denklemin mertebesi ile derecesini belirtiniz. 3. mertebeden , 2. derecedenbirdiferansiyeldenklemrneiveriniz. 2.6.Aadakifonksiyonlarntanmaralklarnbelirleyiniz. e2 x (a) x + 2 (b) ( x 1 ) ln x (c) 1 / x (d) cos x / x 2 (e) x( x 1 ) 2.7.Aadakitrevlerieldeediniz(xvetbamszdeikendir). f f (a) f 1 = 7 x 4 sin 3 x 3 + 2e 2 x , 1 = ? ;(b) f 2 = 7 x 4 sin 3 x 3 t + t 2 e 2 x , 2 = ? x x 2 df f f3 ; (d) f 4 = ( x 1 )e 3 x sin x , 4 = ? (c) f 3 = ln( x 2 t 2 ) , 3 = ?, dx x t 2 (e) f 5 =

e x tx tan x 1 x3

,

df f 5 2 f5 = ?, = ? ;(f) f 6 = sin 2 x x , 6 = ? 2 dx x t

df7 x cos 2t f 8 = ? ;(h) f 8 = =? , dx t ln t 2 2.8. Aadakiintegralilemleriniyapnz.(g) f7 = ( x 3 1 )2 e ln x , (a)

(x

2

+ e 3 x + sin 5 x dx

)

(b)

2

ln 3 x + x dx

5

5

(c)

(x

2t

+ sin 2t + 3t 2 x dx

)


(d) (g)

(y( x ) + 3edx

2tx

+ cos xt dx (e)2t

)

( y( x ) + t ln 2 x )dx (f) (x 2 )( x 3 1 ) dx3

x

2 x 2 (h) x 2 + 1dx (i) ln xdx (j) x sin xdx

(k) tan x sec xdx (l) x 2 ln x 3 dx (m)

( x 1 )( x 2 )( x 2 + 2 ) (n) x ln xdx

xdx

2.9. Aadakikavramlar,herbirinerneklervererek,aklaynz. (a) Adidiferansiyeldenklem,(b)Ksmidiferansiyeldenklem,(c)derece,mertebe (d) Homojendiferansiyeldenklem,(e)Sabitkatsayldiferansiyeldenklem (f) Balangdeerproblemi,(g)Snrdeerproblemi,(h)Snrartlar (i)Lineerdiferansiyeldenklem,(j)Lineerolmayandiferansiyeldenklem,(k)Genel zm (l)zelzm,(m)Tekilzm 2.10.Aadaki diferansiyel denklemlerin mertebelerini, lineer olup olmadklarn ve sabit/deikenkatsaylolduklarnbelirtiniz. (a) y + 3 y = 8 x , y + 3 xy y = 0 , y + 2e x y = 0 , xy + 2 xy + 5 xy = x 3 (b) y + 2 y = sin x + 1, y + e 2 x y = 0 , y + 2 y = e x cot x , yy + 2 xe x yy 5 y = 0 (c) z + xz sin x sin z = x ln x 1 3 Verilen fonksiyonlarn yanndaki diferansiyel denklemin bir zm olduunu gsteriniz. (a) y = 0 , y1 = 5 x ve y 2 = 2 x + 1 (b) y 4 y = 0 , y1 = e 2 x ve y 2 = 3e 2 x (c) x 2 y 2 xy 4 y = 0 , y1 = e ln x ve y 2 = x 4 (d) y y = 0 , y1 = e x , y 2 = e x ve y3 = cosh x (f) y 4 y + 4 y = 0 , y1 = e 4.1.Netrdiferansiyeldenklemlerdorudanintegralyoluylazmeelverilidir. 4.2. nc mertebeden lineer ve homojen bir diferansiyel denklem yaznz. Bu denklemin zmnden ka tane keyfi sabit elde edilir. Bu keyfi sabitleri belirli bir problemiinbulmakisterseniz,kaadetkoulbelirtmelisiniz. 4.3. Aadaki diferansiyel denklemlerin dorudan integral yoluyla zlp zlemeyecekleriniinceleyiniz.zlebilecekdurumdaolanlarznz. (a) y = 0 , y + y = 0 , 2 yy + sin 3 x = 0 , e x y + xe 3 x = 0 (b) y 4 xe 4 x = 0 , 4 y y 8 x 3 = 0 , y xy = 0 (c) y 5 y = 0 , y y = 0 , y e y cos x = 0 , xy y 8 x 4 = 0 4.3. R=0.2 m apnda kresel ekle sahip radyoaktif bir madde ierisinde g0=4107 W/m3 s retmektedir. retilen s kararl bir rejimle kresel yzeyden ortama salnmakta, bylece yzeydeki scakln Ty=80 oCde sabit kalmas salanmaktadr. Cismin s iletim katsays k=15 W/moC olarak verilmektedir. Kresel cismin scakl yalnzca yarap dorultusunda deimektedir (T=T(r)). Kresel cisim ierisindeki scaklkdalm- 13 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Engin/engel2x

(e) y 2 y + 3 y = 0 , y1 = e x sin 2 x ve y 2 = 3e x sin 2 x + cos 2 x , y 2 = xe2x

(

)

ve y3 = 5 xe

ln x 2 x

e

1 d 2 dT g 0 =0 r + r 2 dr dr k diferansiyeldenklemiyletanmlanr.Budenkleminlineerolupolmadn,sabitkatsayl m veya deiken katsayl olduunu, mertebe ve derecesini, homojen olup olmadn belirleyiniz.Denklemzmndengelecekkaadetsabitmevcuttur,bunlarbulabilmek iin hangi koullar nerirsiniz. Bu denklemi zerek kresel cisim ierisindeki scaklk dalmyarapnfonksiyonuolarak(T(r))eldeediniz.Eldeettiininifadeyibirscaklk yarap(Tr)erisindegsteriniz. 4.4. Kalnl L=0.5 olan geni bir duvar gz nne alalm. Duvarn sol yz (x=0) mkemmel ekilde yaltlm olup dier yz (x=L) niform olarak 30 oC scaklktadr.Duvar ierisinde g ( x ) = g 0 e0.02 x ifadesine gre s retilmektedir. Duvar iersinde

g( x ) =0 k dx diferansiyel denklemi uyarnca olduu bilindiine gre, k=15 W/mK, g0=1500 W/m3 alarak duvardaki scaklk dalmn, yani T=T(x) fonksiyonunu ve yaltlm yzeydeki scaklhesaplaynz.(Not:YaltlmyzeydedT/dx=0alnr.).scaklnsadecexdorultusundadeitiini(T=T(x))vebudeiimin2

d 2T

+


2. BLM BRNCMERTEBEDENLNEERDFERANSYELDENKLEMLER 2.1.GR Pekokuygulamadabirbyklndeiimhz(birincitrev),bubyklnkendisineve bamsz deikene baldr. Bu tr problemler genelde y = f ( x , y ) formunda ifade edilirler.Bubasitgrnm,butrdenklemlerinzmnndebasitolacaeklindeyanl bir anlamaya neden olabilir. Baz istisna durumlar dnda bu tr denklemleri zmede karlalan zorluklarla daha yksek mertebeli denklemleri zmede karlalan zorluklar ayn dzeyde olabilir. Birinci mertebeden diferansiyel denklemleri zmede ne yazk ki genelbiryokyoktur.Bunedenlebirincimertebedenklemlerdekendiaralarndaaltsnflara ayrlmveherbirsnfiinfarklyntemlergelitirilmitir.Bublmdebirincimertebeden denklemlerinnaslsnflandrldanlatlacak,ardndansistematikbiryaklamlaherzaman zm mmkn olan birinci mertebeden lineer denklemler ve uygulamalar ilenecektir. Ardndanlineerolmayantrleriinverilenbirzmaralndazmnvarolupolmad tartlacaktr. Bu snfa giren deikenlerine ayrlabilir tip, homojen ve tam diferansiyel tiptekidenklemzmlerizerindedurulacaktr. 2.2.BRNCMERTEBEDFERANSYELDENKLEMLEREGENELBAKI Tanmndananlalacazerebirincimertebedendiferansiyeldenklemlerdesadecebirinci trev yer alr. y baml, x de bamsz deikeni gstermek zere byle bir denklem f ( x , y , y ) = 0 formunda verilir. Bu blmde sadece birinci trevin dorudan baml ve bamsz deiken cinsinden yazlabildii y = f ( x , y ) trnden denklemler zerinde duracaz.Bylecezm

y = f ( x , y ) dx + C eklindeifadeedilebilecektir.Ancakoukezbuyazmtarz,verilendiferansiyeldenklemin bir integral denkleme dntrlmesinden daha te bir sonu getirmez. Verilen f(x, y) fonksiyonunun sadece xe bal olduu basit durumlar ancak dorudan integral yoluyla zme uygundur. rnein y = 6 x 2 5 diferansiyel denkleminde f(x, y) sadece bamsz deikene baldr ve dorudan integral yoluyla genel zm y = 2 x 3 5 x + C olarak kolayca elde edilir. Burada u hususun altn izmek gerekir. Birinci mertebeden bir diferansiyel denklemi zerken bamsz deiken olarak x ya da y seilebilir. Bu tr bir deiim bazen zm zor olan diferansiyel denklemi, zm daha kolay bir hale getirebilir.rnein

dy e2 y = 2 dx ( y + 1 )x + sin 3 y + 1 diferansiyeldenklemilineerolmamasnaramen,aadakidenklemlineerdirvekesinolan birzmyoluvardr. dx y 2 + 1 sin 3 y + 1 = 2y x + denklemixegrelineerdir. dy e e2 y - 15 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Engin/engel

2.3.BRNCMERTEBELNEERDFERANSYELDENKLEMLER Birincimertebedenlineerbirdiferansiyeldenklem, (2.1) y + P( x ) y = R( x ) formunda verilir. Hatrlatmak gerekir ki x + P( y ) x = R( y ) denklemi de xe gre lineerdir ve burada anlatlacak yntemle zlebilir. Verilen P ve R fonksiyonlar ngrlen zm aralndaxebalsreklifonksiyonlardr.Butrdenbirdenkleminzm,eerdenklemin sol yan tek bir terimin trevi eklinde ifade edilebilirse, sradan bir ileme dnecektir. Bunun iin denklemin sol tarafn bir terimin trevi haline getirebilecek bir arpann aranmasgerekir.Denkleminherikiyann(x)fonksiyonuilearpalm. (2.2) ( x ) y + ( x )P( x ) y = ( x )R( x ) [( x ) y ] = ( x ) y + ( x ) y (2.3) olduundan, (2.2) eitliinin sol tarafnn [( x ) y ] nin alm olabilmesi iin ( x ) = ( x )P( x ) art salanmaldr. Bulmaya altmz arpann sfrdan farkl olduu durumda,budenklemiintegreedersek d ( x ) ln ( x) = P( x) yazlarak ln ( x ) = P( x )dx + C1 elde ederiz. = P( x ) veya dx ( x ) (x)arpanyalnzbraklpve C1sabitidikkatealnmayarak

( x ) = e

P( x )dx

(2.4)

eldeedilir.ntegralsabitininbuaamadadahiledilmesigenelzmzerindebirdeiiklii yol amayacaktr. Ayrca (2.4) denkleminin sa taraf her koulda pozitif olacandan denklem,

( x ) = e (2.5) olarak da ifade edilebilir. (2.5) denklemiyle tanmlanan fonksiyona integral arpan diyeceiz.(2.1)denklemininsoltarafartktekbirterimintrevieklindeifadeedildiinden [( x ) y ] = ( x )R( x ) (2.6)P( x )dx

yazlarak

( x ) y = ( x )R( x )dx + C veyabamldeikeniyalnzbrakarakdiferansiyeldenklemingenelzm, 1 y= ( x )R( x )dx + C ( x )

[

]

(2.7)


olarak elde edilmi olur. Birinci mertebeden lineer bir diferansiyel denklemin (2.7) denklemine gre genel zmnn bulunabilmesi iin, verilen diferansiyel denklemin kesinlikle(2.1)denklemindeverileneklegetirilmesigerekir. rnek21 y 3 y = 9 x, y ( 2) = 13 lineerbalangdeerprobleminiznz. zm y trevininkatsays1veP(x)=3,R(x)=9xolduugrlmektedir.ntegralarpan,

( x ) = e =e = e 3 x eldeedilerek(2.7)denklemindeyerinekonursa, 1 1 y = 3 x e 3 x ( 9 x) dx + C = 3 x 9 xe 3 x dx + C e e 3 x 9 xe dx integralinialmakiinksmiintegrasyonyntemikullanmakzere,P ( x ) dx 3dx

[

]

[

]

x = u, dx = du e 3 x dx = dv deikendnmuygulanr.Bukuralagre u dv = u v v du 1 e3x = v 3 olduundan 1 1 x x 9 xe 3 x dx = 9 e 3 x e 3 x dx = 9 e 3 x e 3 x = e 3 x (3x + 1) 3 9 3 3

Denklemdeyerinekonursa, y = 3 x + 1 + Ce 3 x eldeedilir.Verilenbalangartkullanlarak Csabitibelirlenir: y (2) = 13 olduundan, 13 = 3 2 + 1 + Ce3 2 C = 6e 6 .Bylecearadmzzelzm,

y = 6e 3 x 6 + 3 x + 1

uanakadaryaplanilemlerdeverilenbirzmaralndaP(x)veR(x)ifadelerininsrekli fonksiyonlar olmas gerektii vurgulanmt. Eer bu fonksiyonlardan birinin veya ikisinin sreksizliknoktalarvarsa,zmblgesisrekliliinolduualtblgelereayrlmaldr.Bunu birrneklegreceiz. rnek22 1 y + y = 5 x 2 , y ( 2) = 3 balangdeerprobleminiznz. x +1 zm 1 P( x) = fonksiyonu x=1 noktasnda sreksizdir. O halde zm 0 ). Buna gre sabit bir Qx s transferi iin duvar ierisindeki

scaklkdalmneldeediniz. 3.12. Yatayla 37 0 a yapan bir eik dzlem zerinde bulunan bir cisim, eik dzlem boyunca ve yukar doru V0 = 12 m/slik bir ilk hzla frlatlyor. Cisim ile eik dzlem arasndakisrtnmekatsays = 0.25 tir.Bunagre(a)cisimeikdzlemboyuncahangi uzakla gidebilir ve (b) cisim atld noktaya geri dndnde hz ne olur? Cevap: 9 m, 8.48m/s. 4.Birincimertebedenhomojentiptediferansiyeldenklemler 4.1.Homojendiferansiyeldenklemnedir,naslanlalr. 4.2.Aadakidiferansiyeldenklemlerinhomojenolupolmadklarninceleyiniz. x +1 x 3 2 xy 2 y3 x+ y (b) y = 2 (c) y = (d) y = x 2 (a) y = xy x x y x +y 4.3.Aadakihomojen(veyahomojeneindirgenebilir)diferansiyeldenklemleriznz. x3 4x 2 y x2 6y2 x x + 2y (a) y = (b) y = (c) y = (d) y = 2 xy x+ y x y y3 (e) y = (h) y = (k) y =3x 4 y x + 2y

(f) y = x +

y 1, y (1) = 0 x

y2 x4 y4 x2 + y2 (g) y = y x2 x y x + 2y (i) y = (j) y = , y ( 0) = 0 , y (1) = 0 2x y x+ y

2x x2 + y 2 y x2 y2 (l) y = , y (0) = 2 , y ( 2) = 6 2 xy y 2x + y + 4 x + 2y 3 x + 2y 1 (m) y = (n) y = (o) y = x + 2y 3 x y y- 44 Mhendisler in Diferansiyel Denklemler Engin/engel

(p) y =

x+ y x 2y 2 (r) y = x4 2x 4 y 8 5.Tamdiferansiyeldenklemler

5.1.Tamdiferansiyelnedemektir. u ( x, y ) = 2 xy 2 y x fonksiyonununtamdiferansiyelini alnz. 5.2.Aadakidiferansiyeldenklemlerintamdiferansiyelolupolmadklarninceleyiniz.Tam diferansiyelolanlarznz. (b) (3 y 1) (3 x + 1) y = 0 (a) (3 x + 1) + (3 y 1) y = 0

( (e) (e (g) (x (

(c) y 2 2 x + 2 xy e y y = 0 y2

) ( ) sin x + 2 ) e cos x y = 0 + sin x ) (y cos y )y = 0 y2

(d) y 2 2 xyy = 0 (f) (2 x + y )+ ) + (x 2 y ) y = 0 (h) y =

2 xe y x y 1 (i) y = 2 y x + y +1 x e +1

(k) y =

2 x sin 2 y + xe x x 2 cos 2 y e 2 y

(l) (x + 2 y ) + (x 2 y ) y = 0

(m) x 2 e x + y + 2 xe x + y + 2 x dx + x 2 e x + y + 4 dy = 0 5.3.Aadakizmleresahipolandiferansiyeldenklemlerieldeediniz. (a) f ( x, y ) = x 2 y sin y e x + y = 2.1 (b) f ( x, y ) = 3 tan x + y 3 x 5 y = 4 5.4.Aadakibalangdeerproblemlerininznz (a) 2 x 2 + 1 + 4 y 3 2 y 1 y = 0, y (0) = 1

) (

)

( (b) (3 x

) (

sin y + xe + x cos y y 2 + 1 y = 0, y (1) = 2 (c) (2 x + 3 y 1) + (3 x 2 y + 3) y = 0, y (0) = 0 x

2

) (

)

3

)

(d) 3 x 2 y + e x sin y + x 3 + e x cos y y = 0, y ( / 2) = 0 (e) y =

(

) (

)

x e +1 y e 12 y

2 x

, y (0) = 4

(f) y =

2x 3y 1 , y ( 2) = 3 3x 2 y + 1

6.AadakiBernoullitipidiferansiyeldenklemleriznz. (a) y y = y 4 , y (1) = 0 (d) xy + y = y 2 ln x (b) y + 2 y = 4 y 3 , y (0) = 1 (c) y

y = y 2 , y (1) = 0 x


3. BLM KNCVEDAHAYKSEKMERTEBEDENLNEERDFERANSYEL DENKLEMLER 3.1GR Birincimertebedendiferansiyeldenklemler,birintegralarpankullanlaraksistematikbir yaklamlaherzamanzlebilirler.zlecekdenkleminintegralialnabildiisrece,sabit veya deiken katsayl olmas bu durumu deitirmez. Ancak ikinci veya daha yksek mertebeli denklemler iin ayn eyi syleyemeyiz. nk bu denklemlerin zm, byk oranda, katsaylarn sabit olmasna veya belirli artlar salayan trden deiken olmasna baldr.kincivedahayksekmertebelidiferansiyeldenklemleriingenelbirzmyolu yoktur. ou mhendislik probleminde sabit katsayl ikinci mertebeden diferansiyel denklemleriyle karlalr. Bu nedenle bu tr denklemlerin zm yollarn iyi kavramak gerekir. kincimertebedenlineerbirdiferansiyeldenklemengenelhalde y + P ( x ) y + Q ( x ) y = R ( x ) formunda verilir. Burada P, Q ve R , x bamsz deikenlerine bal fonksiyonlardr. R(x) terimiierisindeyvetrevleribulunmayantmifadeleritemsiledervebuyzdenhomojen olmayan terim adn alr. R(x) =0 ise bu durumda denklem homojendir denir. kinci mertebedendiferansiyeldenklemlerizerkenhomojenksmayrelealmakgenellikledaha uygundur. Bunun iin ilk etapta denklemin sa yan sfrm gibi hareket edilir. Lineer denklemlerayrcasabitvedeikenkatsaylolarakdasnflandrlrlar.

y 2 y + 8 y = x3 + e2 x 1

} sabitkatsayl

y 2 xy + 8 y = x 2

} deikenkatsayl

Teorem31zmVarlveTeknii x1

Documents

Mühendisler İçin Diferansiyel Denklemler