Differential Geometry.pdf

, gro.imgid//:ptth

02 5102

5102 .

.

1

I 6

1 7

1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 nR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 9

1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01

2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 51

1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3 , tenerF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 02

6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 52

1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4 3R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03

3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03

5 73

1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 04

8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 04

2

6 24

1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7 64

1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.7 )noitulover fo ecafruS( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05

6.7 netragnieW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.7 ssuaG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8 )evitavired tnairavoC( 55

1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.8 )dleiF rotceV( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.8 eiL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.8 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.5.8 leffotsirhC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 06

6.8 \ )tropsnarT lellaraP( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9 ativiC-iveL 17

1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.9 ativiC-iveL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

01 771.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

11 ), scisedoeG( 29

1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1.5.11 tuarialC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 001

3

21 301

1.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

1.2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

2.2.21 nR U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5013.2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

3.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

4.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

5.21 tennoB-ssuaG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

1.5.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901

2.5.21 tennoB ssuaG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

3.5.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

31 311

II 411

41 4102.01.72 nR 511

1.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

2.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

3.41 onaeP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

51 4102.11.01 811

1.51 tenerF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

2.51 tenerF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

3.51 k , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

61 4102.11.71 , nR 221

1.61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

2.61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

1.2.61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

3.61 nR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

71 4102.11.42 521

1.71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

2.71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

3.71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

1.3.71 II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

4.71 netragnieW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821

81 4102.21.10 031

1.81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 031

1.1.81 eiL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 031

2.81 )noitcennoC( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1.2.81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

2.2.81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

4

91 4102.21.80 431

1.91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

2.91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

02 4102.21.51 ativiC-iveL 041

1.02 ativiC-iveL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 041

1.1.02 ativiC-iveL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 041

2.1.02 j,ik CL g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0412.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

1.2.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

12 4102.21.22 441

1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

22 4102.21.92 941

1.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941

32 5102.10.50 351

1.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

1.1.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

1.2.32 tuarialC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

42 5102.10.21 851

1.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851

2.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851

3.42 suppaP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951

5

1

4102/01/62

1.1

)nx , . . . ,1x( = x ,nR R ix. : nR y ,x :

= )y ,x(

n1=i

iyix

:

= |x|= )x ,x(

i2x

:

|y x| = )y ,x( tsid

, ?

, . 1.

:

1.1.1 )y ,x( . x y 1.

: ?

: .

: )t( ]L ,0[ B,A : t = ))t( ,A(

P 2.1.1 : |2t 1t| = ))2t( , )1t( ( ) (.

3.1.1 : . . ?

: ?

: )erutavruc(.

7

R 1. 2.1. n

R2.1 n

1.2.1 : nR nR : f :

)y ,x( tsid = ))y( f , )x( f( tsid nR y ,x

2.2.1 : )n( O A ) ( xA = )x( f :

)y ,x( tsid = )yA,xA( tsid )y ,x( = )yA,xA(

3.2.1 : :nR b, b +x = )x( f.

: )nR( mosI nR.

4.2.1 : )n( O A nR b : b +xA = )x( f = b,Af .

5.2.1

R b,Af. n

: : 0 = )0( f. )n( O A xA = )x( f ) (.

1 = ) ,( : nR ,2

(2|| + 2|| + 2| |

)=

1

2

(2) ,0( tsid + 2) ,0( tsid + 2) ,( tsid

)

:

) ,( = ))( f , )( f( nR ,

R : )ne( f , . . . , )1e( f . ne , . . . ,1e n

nR :

= i

ie )ie ,(

) (.

= :i

iei

= )( fi

)ie( f

f .

: b = )0( f. b x = xT. 0 = )0( )f T( )f T( . ,xA = )x( )f T( )n( O A : b +xA = )x( f.

8

2

1.2

1.1.2 : C:

nR I :

]b ,a[ = I )b ,a( R.

))t( n , . . . , )t( 1( = )t( . nR, t )t( .

:

))t( n , . . . , )t( 1( = )t(

) tdfd = f(.

)t( .

)t(

2.2

nR ]b ,a[ : :

= )( htgnel

b

a

= td |)t( |b

a

)t( 1

2)t( n +. . . +

2td

9

2. 2.2.

1.2.2 : nR:

p

q

:

nR ]1 ,0[ :

q p = )t( )q p( t +p = )t(

:

q = )1( ,p = )0(

:

= )( htgnel

1

0

= td |)t( |1

0

|p q| = td |p q|

2.2.2 : 2R:

R

t

2x

1x

2R ]2 ,0[ : :

)t nis R ,t soc R( = )t(

:

R = |)t( | )t soc R ,t nis R( = )t(

:

= )( htgnel

2

0

R2 = tdR

1.2.2

01

2. 3.2.

b

b

b

b

b

b

)0t(b

)1+it( )1it( )1t(

)it()1Nt(

)Nt(

. . . . . .Nt it 1t 0t

Nt. :

= NL1N0=i

))1+it( , )it( ( tsid

:

= NL1N1=i

|)it( )1+it( |1N0=i

= |)it 1+it( )it( |1N0=i

n it|)it( |b

a

td|)t( |

2.2.2

3.2.2

nR ]b ,a[ : nR nR : f . ))t( ( f = )t( :

)( htgnel = )( htgnel

: b +xA = )x( f )n( O A nR b. :

b + )t( A = )t(

)t( A = )t(

= |)t( A| = |)t( |)n(OA

|)t( |

:

= )( htgnel

b

a

= td |)t( |b

a

)( htgnel = td |)t( |

3.2

]d ,c[ ]b ,a[ : 0 > tdd t : d = )b( ,c = )a( .

1.3.2 nR ]b ,a[ : nR ]d ,c[ : : ))t( ( = )t( .

11

2. 3.2.

]d ,c[ ]b ,a[

Rn

: .

P 2.3.2 :

1. .2. )( htgnel = )( htgnel.

P 3.3.2 : nR ]b ,a[ : . nR ]b ,a[ : : )t a +b( = )t( . :

)( htgnel = )( htgnel

4.3.2 .4102/01/72

5.3.2

qp. nR ]b ,a[ : p = )a( q = )b( :

|q p| = )q ,p( tsid )( htgnel

: 0 = p )0 , . . . ,0 ,c( = q ]1 ,0[ = ]b ,a[. p 0 q 1x , .

:

))t( n , . . . , )t( 1( = )t(

= )( htgnel

1

0

)t( 1

2 td)t( n +. . . +

1

0

= td)t( 1

1

0

|)t( 1|

1

0

)t( 1

c = |)0( 1 )1( 1| =

t( 1 reziminim. : : 0 = n = . . . = 2 0 1. t 0 = )

, )q p( t +p.) (.

6.3.2 : nR ]b ,a[ : 0 =6 )t( t.

21

2. 3.2.

= )t( .(3t ,2t

) 7.3.2 : 2R ) ,( :

1x

12/3x = 2x 0 t 2x

12/3x = 2x 0 t

8.3.2 : )t( 1 = |)t( | t. 9.3.2

nR ]b ,a[ : . :1. )s( .

2. nR ]1d ,1c[ : 1 nR ]2d ,2c[ : 2 , R u :u + 1c = 2c

u + 1d = 2d

)u +t( 2 = )t( 1

:

1. )( htgnel = L ) (. : nR ]d ,c[ : 1 = ||.

= )( htgnel = )( htgnel = L

d

c

= td |)t( |d

c

L +c = d c d = td1

: ))t( ( = )t( , :

)t( ))t( ( = )t(

)t( = )t( |))t( ( | = |)t( | c = )a( :

+ )a( = )t(

t

a

)]b,a[| ( htgnel +c = d |)( | :

+c = )t(

t

a

d |)( |

:

=: )s( ()s( 1

) .

31

2. 3.2.

2. )s( 2 , )s( 1 . : 1 2 2 1. )s( )s( 1 : ))s( ( 2 = )s( 1

1

u +s = )s( 1 = )s( )s( |))s( ( 2| =

01.3.2 2 1 1 2 .4102/11/20

41

3

1.3

R n

1.1.3 : nR .

, , .

P 2.1.3 :

1. .

2. 2 .

? , . ,

. , . :

3.1.3 : nR ) (.

4.1.3 : nR :

)ne , . . . ,1e( : )0 , . . . ,1 , . . . ,0( = ie )1 i (.

5.1.3 ! .

6.1.3 : nR .

, )nv , . . . ,1v( :

ted

nv . . . 1v| | | |

0 >

2.3 , tenerF

2R ]b ,a[ : . . :

)s( = )s( v

1 |)s( v|

51

3. 2.3. , tenerF

1.2.3 : :

1. 1 = |)s( n|2. )s( n)s( v

3. ))s( n , )s( v( .

)s(v

)s(n

2.2.3 )s( n

:

))s( 2v , )s( 1v( = )s( v

:

))s( 1v , )s( 2v( = )s( n

:

1.

1 = 2|v| = 12v + 22v = 2|n|

2.

vn 0 = 1v2v + 2v1v = )n ,v(

3.

ted = )n ,v( ted

(2v 1v1v 2v

)v + 12v =

20 > 1 = 2

3.2.3

s:

)s( v)s( v

: :

1 ))s( v , )s( v(

61

3. 2.3. , tenerF

) (:

0 = ))s( v , )s( v( 2

:

)s( v)s( v

4.2.3

)s( k :

s )s( n)s( k = )s( v

5.2.3 , v . )s( n ) ( )s( k .

6.2.3 : )s( k S.

7.2.3 k.

8.2.3

))s( v , )s( v( ted = )s( k

:

))s( n , )s( v( ted )s( k = ))s( n)s( k , )s( v( ted = ))s( v , )s( v( ted1=

)s( k =

9.2.3

)s( v )s( k = )s( n

: :

1 = |)s( n| :

)s( n)s( n 1 ))s( n , )s( n(

)s( :

)s( v )s( = )s( n

:

0 ))s( n , )s( v(

. :

)n ,n( k = )v( v + )n ,nk( = ))s( n , )s( v( + ))s( n , )s( v( = 01

)v ,v( +1

k =

71

3. 3.3.

{ : :)s( n)n( k = )s( v

)s( v )s( k = )s( n

tenerF.

01.2.3 ) (, )t( k .

11.2.3 : :

bs +a = )s(

2R b ,a : 1 = |b|. , . :

b = v

:

0 = )s( k 0 = v

21.2.3 : R:

2R ]R2 ,0[ :

= )s( (soc R

s (R

)nis R ,

s (R

))

R, R1 = )s( k. :

= )s( = )s( v(nis

s (R

)soc ,

s (R

))= )s( n

(soc

s (R

)nis ,

s (R

))= )s( v

(1 Rsocs (R

)1 ,

Rniss (R

))=

1

R)S( n

:

1 )s( kR

31.2.3 , ) (.

3.3

)s( . )s( = )s( v. , )s( )s( v 1x) x yx(.

1.3.3

)s( k = )s(

81

3. 4.3.

natcra = ) , 0 = 1v , (2v1v

): )2v ,1v( = v :

1x , , (.

:

= )s( 1

+ 1(2v1v

22v + 12v)v ,v( ted = 12v1v2v 1v2v 2)1=

)s( k =

P 2.3.3 : : 2R ]L ,0[ : . : 2R ]L ,0[ : , )t L( = )t( . ?

) (.

4.3

2R ]L ,0[ : . 2R 2R : f, b + xA = )x( f, )n( O A.

b + )s( A = ))s( ( f = )s(

k k?

, :

)s( vA = )s( A = )s( = )s( v

1.4.3

)s( nA)Ated( = )s( n

: : )s( nA)Ated( = )s( N. :

1 = |)s( n| = |)s( N|) A , 1(.

:

)Ated( = ))s( vA , )s( nA( )Ated( = ))s( v , )s( N(

00 = ))s( v , )s( n(

))s( nA , )s( vA( ted )Ated( = ))s( N , )s( v( ted

:

)Ated( =20 > ))s( n , )s( v( ted

:

)s( n])s( k Ated[ = ))s( n)s( k( A = )s( vA = )s( v

91

3. 5.3.

P 2.4.3 : nR nu , . . . ,1u P n n :

)nu , . . . ,1u( ted Pted = )nuP , . . . ,1uP( ted

3.4.3

)s( k )Ated( = )s( k

5.3

1.5.3

2R ]b ,a[ : c . )t( k c t :

= )t( kc )t( 1c

[)t( 1c )t( 2c )t( 2

)t( 1c)t( 2c + 2

23|c|)c ,c( ted = 2/3]

: )s( c, : ))t( s( = )t( c )t( s .

= )t( s

t

0

tsnoc +td |)t( c|

:

sd

td|)t( c| =

, :

)))t( s( , ))t( s( ( ted = )t( k

))t( s( = )t( c :

))t( s( = )t( csd

td|)t( c| ))t( s( =

:

)( ))t( s( + 2|)t( c| ))t( s( = )t( c

:

ted = )c ,c( ted()( + 2|c| , |c|

))( |c| + ) ,( ted 3|c| =

0)t( k 3|c| = ) ,( ted

, .

02

3. 5.3.

2.5.3 : :

2x

1x

b

b

b

a

{12x2a

+22x2b

1 =

}

:

2R ]2 ,0[ : f)t nis b ,t soc a( = )t( f

:

)t soc b ,t nis a( = )t( f)t nis b,t soc a( = )t( f

:

f1 fba = t 2soc ba +t 2nis ba = 1 f2 f 2

:

= | f|t 2soc 2b +t 2nis 2a

:

= )t( k[ba

t 2soc 2b +t 2nis 2a2/3]

12

3. 6.3.

3.5.3 : : ))t( f ,t( = )t( c. 0 = )0( f, 0. :

))t( f ,1( = )t( c

))t( f ,0( = )t( c

)t( f = )c ,c( ted

= |)t( c|2)t( f + 1

:

= )0( k)0( f0 + 1

)0( f =

:

)0( f = )0( k

, f 0 > k.f 0 < k.

0 = k.

4.5.3 , , 4x = )x( f . 0 .

5.5.3 , )( .

6.3

1.6.3 , . : gnitalucsOelcric.

2.6.3 : )t( , : 0 =6 )0( k. ) 0 = t( : )0( n)0(k1 +)0( = Q= R.

: )0(k1

b

Q

nR

: .

22

3. 6.3.

3.6.3 : )1x( f = 2x : ))t( f ,t( = )t( c 0 = )0( f : 0 > )0( f = )0( k :

= R1

)0( k=

1

)0( f

:

2R = 2)R 2x( + 12x

, )0 ,0( :

R = )1x( g = 2x12x 2R

4102/11/30

32

3. 6.3.

4.6.3 : f.

b

Q

nR

)1x(f = 2x

v

))t( f ,t( = )t(

0 = )0( f 0 = )0( f

0 > )0( k = )0( f

:

= R1

)0( k)R ,0( = Q

0 Q . ) 0( : ))t( g ,t( = )t( c :

0 = )0( g

0 = )0( g

= )0( ck = )0( g1

R

:)0( f = )0( g

)0( f = )0( g)0( f = )0( g

:

)3t( O = )t( g )t( f

:

)t( g )t( f2t

0t

0

) o O, (., 0.

O .(3t) t

42

4

1.4

, , .

1.1.4 : 2R R : 0 > T, : )t( = ) T +t( .

0 > T 2R ] T ,0[ :] T,0[| . ?

P 2.1.4 : , .

, , , .

3.1.4 : )t( ] T ,0[:

4.1.4 : ) T,0[| .) ) T( = )0( (.

2R ]L ,0[ : ) )( htgnel = L(. 5.1.4

)s( )s( = )s( v 1x., R ]L ,0[ : s:

))s( nis , )s( soc( = )s( v

6.1.4 , .

:

Z m ,m2 = )0( )L(

52

4. 1.4.

: )L( v = )0( v.

7.1.4 :

R

2x

1x

)Rs nis R , Rs soc R( = )s( ]R2 ,0[ s. := )s( v

(s nis

Rsoc ,

s

R

)=(soc(2+

s

R

)nis ,

(2+

s

R

))

:

= )s(

2+

s

R

:

2 = )0( )R2(

8.1.4 :

2 = )0(

=

23 =

2 =

9.1.4 fpoH

: 2 = )0( )L( .

62

4. 1.4.

01.1.4 :

:

R4 = )0( )L(

: , .

2R ]L ,0[ : : ]1 ,0[ : = 0 ) (.

11.1.4 )s( 7 )s ,( .

, :

)( m2 = )0( )L(

Z )( m . )( m 7 , . : )0( 1 )L( 1 = )0( 0 )L( 0., .

) (: 1 . :

R2 = )0( 1 )L( 1 = )0( 0 )L( 0

21.1.4 )nadroJ(

( 1U ,0U

0U = \2R ) . : )( egamI = . : 1U

. 0U 1U .

0U .

) ,

(.

31.1.4 2R U U B,A :

U ]B,A[ = }]1 ,0[ : B) 1( +A{

72

4. 1.4.

41.1.4 : :

:

51.1.4

2R U ) U (. 0 =6 )s( k s U .

: 0 > )s( k s ) 0 < )s( k, , , k 0 ( . )s( . 0 = )0( . :0 > )s( k = )s(

. fpoH:

2+ = )0( )L(

: ]2 ,0[ ]L : 0[ : , . U :

b

b

AB

B,A : 4 | | ) (.

82

R 4. 2.4. 3

:

}0 = c + yb +xa = )y ,x({ =

:

c + )s( 2b + )s( 1a = )s( f

f )( 4 ]L ,0[ f )( 3 ]L ,0[ ) 1(. :

0 = )s( 2b + )s( 1a = )s( f

0 = ))s( , )b ,a(( =

, 3 )s( . 2 3 )2s( = )1s( .

P 61.1.4 : 2R ]L ,0[ : : 0 > c = )s( k. c1 = R.

: . :

+ )s( = )s( Q1

)s( k+ )s( = )s( n

1

c)s( n

:

+ )s( v = )s( Q1

c0 = ])s( v c[

: 2R Q )s( Q , . :

1 = Q)s( c)s( nR = )s( n

R = |Q)s( |

: R Q.

R2.4 3

: 3R 3R 3R : ]y ,x[ 7 y ,x ) )y x((.

1.2.4 : yx 0 = ]y ,x[. : 3R ]y ,x[ :

y ,x ]y ,x[nis |y| |x| = |]y ,x[|

] ,0[ .: )]y ,x[ ,y ,x( 3R.

2.2.4 : ]y ,x[ 3R :

)z , ]y ,x[( = )z ,y ,x( ted 3R z

92

4. 3.4.

3.2.4 ]y ,x[ )meroeht noitatneserper zseiR( , 3R : )z ,y ,x( ted 7 z.

4.2.4 : )3e ,2e ,1e( 3R :

= ]y ,x[

3e 2e 1e3x 2x 1x3y 2y 1y

1e = 3y 2y3x 1x

2e 3y 1y3x 1x

3e +2y 1y2x 1x

5.2.4 , 3e ,2e ,1e , .

P 6.2.4 : .

: 2 3 , ]y ,x[ :

3e )3e , ]y ,x[( + 2e )2e , ]y ,x[( + 1e )1e , ]y ,x[( = ]y ,x[

2:

= )1e ,y ,x( ted = )1e , ]y ,x[(

3y 2y3x 2x

.

1.2.4

1. ]y ,x[ y ,x.

2. ]x ,y[ = ]y ,x[

P 7.2.4 : )tcudorp elpirt(:

)x , ]z ,y[( = )y , ]x ,z[( = )z , ]y ,x[(

:

P 8.2.4 : ) (

] ,[:

ted = )]d ,c[ , ]b ,a[(

()c ,b( )c ,a()d ,b( )d ,a(

)

4102/11/90

3.4

2R .

3R ]L ,0[ : f . )s( f = )s( v. s 1 = ))s( v , )s( v(. s :

0 = ))s( v , )s( v( 2

)s( v)s( v

03

4. 3.4.

1.3.4 |)s( v| = )s( k ) ( f s.

2.3.4 0 > )s( k s. |)s(v|)s(v = )s( n, f.

3R , )s( n , )s( v.

, )s( b 1 = |b| : nb ,vb :

ted

b n v| | | | | |

0 >

:

]n ,v[ = n v = b

) . , , , (.

3.3.4 tenreF

0 > )s( k. )s( ) noisrot( :nk = v

b vk = nn = b

4.3.4 ) (.

:

5.3.4

)s( A . :

)s( 1A)s( A =: )s( B

): B = TB(.

: : )s( A : dI = )s( TA)s( A s. :

0 = TAA+ TAA

:

TAA = 1AA =: B

:

0 = TB+ B 0 = TAA+ TAA

.

13

4. 3.4.

: : :

= )s( A

)s( n )s( v )s( b

)s( A ) (.

:

)s( 1A)s( A =: )s( B

:

)s( A)s( B = )s( A

, B . 3 3 :

= )s( B

)s( 0 )s( )s( )s( 0 0 )s( )s(

: )s( n )s( v )s( b

=

)s( 0 )s( )s( )s( 0 0 )s( )s(

)s( n )s( v )s( b

:b +n = v

b + v = nn v = b

nk = b +n ) n(, : 0 = ,k = :nk = v

b + vk = nn = b

)s( = )s( .

6.3.4 b ,n ,v:

n v = bb n = vv b = n

bk + v =: .v = nk = ]v ,b[ k = ]v ,[

n = vk b = ]n ,b[ k + ]n ,v[ = ]n ,[b = n = ]b ,v[ = ]b ,bk + v[ = ]b ,[

23

4. 3.4.

:]v ,[ = nk = v

]n ,[ = b + vk = n]b ,[ = n = b

xuobraD. yticoleV ralugnA .

7.3.4 )s( k )s( 3R .{ :

C 7 x)3(OS

+x

)3( OS C : 1 = Cted.

P 8.3.4 : k ?{ :

+xC 7 x

: 1 = Cted.

P 9.3.4 : k f?

3R )1 ,1( : f)s( f = )s( f

: : k ) (.

3R ]L ,0[ : f 0 =6 )s( v, f : )s( k :)s( .

?

01.3.4

)s( 0 > )s( k . ) ( 3R ]L ,0[ : f k f f.

) (:

11.3.4

)n n( taM ]L ,0[ : B . :

)s( A)s( B = )s( A

0A = )0( A.

: : :

= )s( B

)s( 0 )s( k0 )s( k 0

0 )s( 0

33

4. 3.4.

AB = A dI = )0( A. , :

= )s( A

)s( n )s( v )s( b

b ,n ,v . : )3( OS )s( A s.d

sd

(ATA

)A TA+ATA =

)AB( =TABTA+A

TB TA =B

ABTA+A

0 =

B = TB B . :

dI = )0( ATA = )s( ATA

ATA . )3(O A. )s( Ated 7 s, 1, . dI = )0( A : 1 = )s( Ated

s.

)s( f :

1. 0 = )0( f.

= )0( v.

010

2.

= )0( n.

100

3.

= )0( b.

001

4.

3R ]L ,0[ : f :

= )s( f

s

0

zd)z( v

:

)s( v = )s( f

)s( A , : 1 = |)s( v| )s( f .{ )s( k )s( f. AB = A :

n)s( k = v

b )s( + v )s( k = n

)b ,n ,v( 1 = )s( Ated. 1 = |n| : |v| = )s( k. n ,k ,b ,.

43

4. 3.4.

P 21.3.4 : .

? ?

31.3.4 )s( f 3R, 0 > k. 0 = )s( s f :

)0(b

)0(f

)0( b + )0( f

: 0 = )s( s :

0 = )s( n)s( = )s( b

:

s )0( b = )s( b

:

d

sd

)s(u,)0( f )s( f

)0(b=)s( b

=

)s( f

)s(v

)0( b ,

0 =

{ :d0 = )s( usd

0 = )0( u0 u

:

s )0( b)0( f )s( f

)t( f )0 =6 )t( f(. :

= )t( s

t

0

d |)( f|

f g, )s( g :

)t( f = ))t( s( g

53

4. 3.4.

:

))t( s( k = )t( K

:

))t( s( = )t( T

:

41.3.4

= )t( K|] f , f[|3| f|

= )t( T)] f , f[ , f(

2|] f , f[|

) tdd = f s, ] ,[ (.4102/11/01

63

5

1.5

mR nR. 2M 2R 3R.

, .

.

, ,

.

2.5

1.2.5 )mq , . . . ,1q( mR U .

UqT U q

. UqT mR q.

2.2.5 . , , + , . R c c .

mR = UqT. , 0. U )b ,a( : : U)t(T )t( . , :

RqT = UqT.n

3.5

1.3.5 mR U nR U : f, : ))mq , . . . ,1q( nf , . . . , )mq , . . . ,1q( 1f( 7 )mq , . . . ,1q() m n(.

f i C if. :

nR)q(fT uqT : fqD

:

7 (ifjq

)q(

)

73

5. 4.5.

1.3.5

mR U nR U : f. U )b ,a( : . nR )b ,a( : ))t( ( f =: )t( .

)b ,a(

nR U

f

2.3.5

= )t( .(f)t(D

))t(

3.3.5

= f)t(Difjq

))t( (

: :

))t( m , . . . , )t( 1( if = )t( i

:

= )t( iif

jq= )t( j ))t( (

(f

q))t( (

)

.

4.5

1.4.5 mR U : nR U : f . f )noisremmi( : U q

nR)q(fT UqT : fqD

) 0 = rek(.

:

2.4.5 : 2R 1R : f )3t 31 ,2t 21 ( 7 t. := ftD

(t

2t

)

0 = f0D f 0 = t.

3.4.5 : 1+nR nR : f :

))nq , . . . ,1q( ,nq , . . . ,1q( 7 )nq , . . . ,1q(

)nR( C . : )nq , . . . ,1q( = 1+nq, .P 4.4.5 : f .

83

5. 5.5.

5.5

1.5.5 mR V ,U . V U : f :1. f .

2. f .

3. 1f .

P 2.5.5 : ) (

RlR g nR f m

f g = h. mR q :

RqTnR)q(fT fqD m

lR))q(f(gT g)q(fD

: )f g( qD.1. :

fqD g)q(fD = )f g( qD

2. V U : f fqD q.

3.5.5

) (

V U : f . U q, v)q(fT UqT : fqD , U q V )q( f : V U : f.

4.5.5 Y X : f , 1f .

5.5.5 f , , ! 3x = )x( f. f , . )

0(.

4102/11/61

6.5

1.6.5 )noitaziretemarap htiw ecafruS ralugeR(: m nR:

1. )mq , . . . ,1q( mR U.2. nR U : f )nR)q(fT UqT : fqD ,U q (.

3. nR )U( f U : f ) , 1f (. f .

2.6.5 : 2 = m 3R .

93

5. 7.5.

3.6.5 : 2R R , . x x (.

( 4.6.5 : : 1nR }1 < 1n2q +. . . + 12q{ = U :nR U : f : 7 q,1nq , . . . ,1q

1n2q . . . 12q 1

)P 5.6.5 : f .

7.5

1.7.5 :

fqDmI =: MAT

nRAT )UqT( fqD =

2.7.5 m = MATmid fqD m = Mmid.

P 3.7.5 :

= jv

1fjq

)q(

...nfjq

)q(

nR

m, . . . ,1 = j. :

)mv , . . . ,1v( naps = MAT

) mv , . . . ,1v MAT(.

8.5

, , . ,

.

nR U : F nR V : G mR U mR V. 1.8.5 , G F V U : : G = F.

V U

Rn

GF

: 0 > )q( q ted

2.8.5 , , U ,V .

R : A . mv , . . . ,1v . mvA , . . . ,1vA 3.8.5 mR m

0 > Ated.

P 4.8.5 : .

04

5. 8.5.

5.8.5 : /} { .

P 6.8.5 : !!!

MAT .

14

6

1.6

.

, z ,y ,x : )y ,x( F = z. A B.

, . U, : ))y ,x( F ,y ,x( 7 )y ,x(. , y ,x. A B , . 7 t :

)))t( y , )t( x( F , )t( y , )t( x( A B. , :

= )t(

(, )t( y , )t( x

F

x+ )t( x ))t( y , )t( x(

F

y)t( y ))t( y , )t( x(

)

:

+ )t( 2y + )t( 2x = |)t( |(F

x

2)2 + 2x

F

x

F

y+ yx

(F

y

2)2y

)t( 2x =

(+ 1

(F

x

)2)2 +

F

x

F

y+ yx

(+ 1

(F

y

)2)2y

:

= )( htgnel

b

a

)t( 2x(+ 1

(F

x

)2)2 +

F

x

F

y+ yx

(+ 1

(F

y

)2)td2y

:

= )( htgnel

b

a

td2y + 2x

(xy

) ,

. .

1.1.6 U: mR U mq , . . . ,1q mR. U ) U q( : R UqT UqT : qg.

24

6. 1.6.

:

= ) ,( qg

jij,ig

)j,ig( . j,ig q.

. )q( j,ig .

, .

qg ) , ( :

= 2sd

jqdiqd )q( jig

2.1.6 : : mR :

= 2sd

m1=j

j2qd

= ))q( j,ig(.

. . .0 11 0

= j,i = )q( j,ig : 1 =

{j = i 1

: j =6 i 0

: : g) ,( = ) ,( g UqT , :

= g||= g) ,(

j,i

ji )q( j,ig

, UqT . 3.1.6 )g ,U( . ) U g (.

U ]b ,a[ : . :

= )( ghtgnel

b

a

= td g|)t( |b

a

td)t( j )t( i ))t( ( j,ig

:

+ 1 = x,xg

(F

x)y ,x(

2)

+ 1 = y,yg

(F

y)y ,x(

2)= y,xg

F

xF )y ,x(

y)y ,x(

, 3R 2R.

4.1.6 : )g ,U( )h ,V( mR U nR V :V U : f .

f UqT UqT ) f )fqD( )fqD( ( :

g) ,( = h)fqD,fqD(

U q UqT ,.

34

6. 2.6.

g h f.

5.1.6 V U : f , f .

P 6.1.6 : )g ,U( )h ,V( f : )h ,V( f )g ,U( U ]b ,a[ : f = .

:

)( hhtgnel = )( ghtgnel

2.6

)mq , . . . ,1q( mR U, : nR U : f . h nR:

xd +. . . + 12xd = 2sd2n

g) ,( = h)fqD,fqD( g U.

44

6. 2.6.

P 1.2.6 : g , )q( j,ig.

sd, f: ))q( nf , . . . , )q( 1f( = f. :xd +. . . + 12xd = 2

2: h n

)1fd( = 2sd2)nfd( +. . . +

2

=

m 1=j

1fjq

jqd

+. . . + 2

m 1=j

nfjq

jqd

2

: ) (

= )q( fqD =: )q( A

(ifjq

)q(

)

g?

= g) ,(

ji )q( j,ig

UqT . :

= lcuE) )q( A , )q( A( = g) ,(

n1=i

) )q( A(2i

:

= i) )q( A(m1=j

ifjq

j )q(

:

= g) ,(

n1=i

m 1=j

ifjq

j

2

sd j jqd :sd g) ,( 2

2

= 2sdn1=i

m 1=j

ifjq

jqd

2

.

4102/11/71

54

7

1.7

1.1.7 1+nR M n )ecafrusrepyh(.

M, 1+nR U : f nR U . 2.1.7 U q, M)q(fT uqT : fqD .

, : ne , . . . ,1e : iqf = )ie( fqD n i 1 M)q(fT.

2.7

1.2.7 M A M A 1+nRAT A : 1 = |A|.

MATa.

ted.(f1q

A , kqf , . . . ,

) 0 >

P 2.2.7 : A f.

3.2.7 : 3R 2M.

= A

[f1q

)q( 2qf , )q(]

])q( 2qf , )q( 1qf [ )q( f = A.

3.7

M MAT.

1.3.7 : , : R MAT MAT : B :

MAT , M )t( A = )0( = )0( , A = )0( .M)t(T )t( )( : = )0( . :

B( ,)=

(d

tdA , )t( 0=t|

)

64

7. 3.7.

2.3.7 )t( , 1+nR , 1+nR.

3.3.7

B )t( , )t( .( ,)

1.

2. B .

: )t( )t( . M, )0( f = A. 1+nR U : f. )( f0D = : ))t( ( f = , : ))t( ( f)t(D = .

= )t( . :

= : je )t( j

: iei

=

if

iq)0(

= )t(

)t( jf

jq))t( (

= )0( =

)0( jf

jq)0(

d

td= )t(

[)t( j

2f jqiq

)t( i ))t( (

]+

)t( j

jq))t( (

: i = )0( i :

d

td= )t( 0=t|

j,i

f2

jqiq+ ji )0(

j

)0( jf

jq)0(

B( ,)

=

(d

tdA , )t( 0=t|

)

=j,i

(f2

jqiqA , )0(

)+ ji

j

f (0

jqA , )0(

))0( j

MAT )0( jqf MATA. i,jb = j,ib :

= j,ib

(f2

jqiqA , )0(

) :

B( ,)=j,i

jij,ib

, , .

: )) ,( ,E( ) ( R E E : B , E E : W ! , W = W :

E v ,u )v ,uW( = )v ,u( B

74

7. 4.7.

M , MAT . B : 1+nR n

, MAT MAT : W= W :

MAT , ) ,w( = ) ,( B

4102/11/32 W netragnieW.

M. A , A A. 4.3.7 1+nR n

A, MAT. , . A = )0( = )0( . , : = )0( : M)t(T )t( .

: R MAT MAT : B.

B( ,)=

(d

tdA , )t( 0=t|

)

B.( ,)B =

( ,)

5.3.7 , :

B ,( ,)

6.3.7 )t( .

.

? f nR U )nq , . . . ,1q( . M U : f. q, A = )q( f, :

= fqD

= fqD

:

B( ,)=

ji )q( j,ib

:

= )q( j,ib

(f2

jqiqA , )q(

)

: i,jb = j,ib .

4.7

MAT ) ,(. B . MAT MAT : W : W= W :

B( ,)=( ,W

)) W (.

UqT B q) ,( ) (. UqT UqT : W netragnieW.

84

7. 4.7.

1.4.7 )A( Wted = )A( K )ssuaG(.)A( Wrt = )A( H )erutavruc naem(.

=: H Mmid = n, n1 .1 2.4.7 Wrt n

3.4.7 )A( K )A( H, , .

4.4.7 muigergE ,ssuaG

3R 2U : f . ssuaG q U.

))q( j,ig( 2R U q )q( K.

U : f . )q( j,ig , )q( j,ib nR

M 1+nR

P 5.4.7 :

. :

))q( j,ig( = W1

))q( j,ib(

6.4.7 : 3R 2M. 3R U : f : ))2q ,1q( ,2q ,1q( 7 )2q ,1q( R U : .

.

: 0 = )0 ,0( 2q . .1q

0 = )0 ,0( : 0 = )0 ,0(

= .

001

M0T= 2q ,1q 2q ,1q.

= j,ib

f2 jqiq

, )0(

001

2 =

jqiq)0(

= j,i = )0( j,ig

{j = i 1

j =6 i 0

:

= ))0( j,ib( =: W

(212q

22q1q

22q1q

222q

)

= )0( K2

12q )0(

2

22q)0(

(2

2q1q)0(

2)= )0( H

2

12q+ )0(

2

22q)0( = )0(

)j,ig( = )j,iw((.1

) : )j,ib(

94

(Surface of revolution) .7.5 .7

: , (q1, q2) = 1q21 + 2q

22 : 7.4.7

W =

(21 00 22

)

.K = 412 : 1 < 0 , .K > 0 1, 2 < 0 .K > 0 : 1, 2 > 0 :

.K < 0 ( ) 2 > 0

(Surface of revolution) 7.5

: v . u .f > 0 .(x, z) , = (f (u) , g (u)) : R3

a (u, v) 7 (f (u) cos v, f (u) sin (v) , g (u))

:

ds2 = (d (f (u) cos v))2+ (d (f (u) sin v))

2+ (d (g (u)))

2

= (f (u) cos vdu f (u) sin vdv)2 + (f (u) sin vdu+ f (u) cos vdv)2 + (g (u) du)2

=(f (u)2 cos2 v + f (u)2 sin2 v + g (u)2

)du2 +

(2f f cos v sin v + 2f f sin v cos v)dudv+(f2 (u) sin2 v + f2 (u) cos2 v

)dv2

=(f (u)2 + g (v)2

)du2 + f (u)

2dv2

:

=au a au a

a

u= (f (u) cos v, f (u) sin v, g (u))

a

v= (f (u) sin v, f (u) cos v, 0)

:

a

u av

=

i j k

f (u) cos v f (u) sin v g (u)f (u) sin v f (u) cos v 0

= i (g (u) f (u) cos (v)) j (g (u) f (u) sin v) + k (f (u) f (u) cos2 (v) + f (u) f (u) sin2 (v))= (g (u) f (u) cos v,g (u) f (u) sin (v) , f (u) f (u))= f (u) (g (u) cos v,g (u) sin v, f (u))

:

=1

(f )2 + (g)2(g cos v,g sin v, f )

:

50

7. 5.7. )noitulover fo ecafruS(

a2

2u))u( g ,v nis )u( f ,v soc )u( f( =

= 1,1b

(a2

2u ,

)=

fg + g f2)g( + 2) f(

a2

vu)0 ,v soc )u( f ,v nis )u( f( =

= 2,1b

(a2

vu ,

)0 =

a2

2)0 ,v nis )u( f,v soc )u( f( =

= 2,2bgf

2)g( + 2) f(

:

= G

(0 2)g( + 2) f(

2f 0

)

:

= B

0 2)g(+2) f(g f fg

gf 0

2)g(+2) f(

:

= B1G = W

g f fg

)2)g(+2) f((2/3

0

0f/g

2)g(+2) f(

1,1w !

1.5.7 : usoc R = f unis R = g. )R( 2S ) R(.

= W

(10 RR1 0

)

:

= Wted = K1

2R

tsnoc = K 0 > K.

1 K : )1( 2S. 0 K . 1 K? .

15

7. 6.7. netragnieW

2.5.7 : imartleB:

u = )u( f

= )u( g1 + 2u 1

2gol

+ 12u 1

2u 11

= )u( g.2u1P 3.5.7 : u

? :

= K(g

2)g( + 1(u/g 2/3)

2)g( + 1(u/)gg( = 2/1)

2)g( + 12)

2)g( = : P

= gg1

2 P

= Ku2/ P

) P + 1(2

1 = K :

= P2u 12u

=1

2u1

:

)1 + P(23u2 = P ,4u =

= K)u2(/3u2

4u1 =

4102/11/42

6.7 netragnieW

1.6.7

mR kM nR l N, N M : F. F. . kR U M U : f, lR V l N V : g.

: V U : F, : fF1g = F.

1.6.7 F V U : F .

P 2.6.7 : F .

25

7. 6.7. netragnieW

)gpD( =: FAD(FqD

)1)fqD(

P 3.6.7 : M) ,( : A = )0( := F. :

)0( = ))0( ( ) FAD(

4.6.7

FAD .

2.6.7 ssuaG

M . , A, A. 1+nR n

1+nR nS. ssuaG. M A nS A. :

nS M : ssuaG

P 5.6.7 : ssuaG .

nS)A(T MAT : ssuaGAD

SAT.SAT , : MAT = n

AMAT : xnSxT : An , :

MAT MAT : ssuaGAD

6.6.7

AW = ssuaGAD

: MAT )t( M = )0( . A :

= )( ssuaGADd

td))t( ( ssuaG 0=t|

=d

tdnS)A(T ))t( ( 0=t|

MAT , )t( M)t(T = )0( . :

0 = ))t( , ))t( ( (

35

7. 6.7. netragnieW

0 = t :d td)0( , ))t( ( 0=t|

+

))0( (

A

,d

td)t( 0=t|

0 =

, ) ,( B! ) , )( ssuaGAD(. :

AW = ssuaGAD ) ,AW( = ) ,( B = ) , )( ssuaGAD(

S . : Rx = )x( . : 7.6.7 : 3R )R( 2

x 7 x : ssuaGR

= ssuaGXD.1P 8.6.7 : 1R

:

= W

0 R1 (R1 0

)

2R1 = K.

2R ) ,(. 2R 2R : P, Pted? . 3R 2M ) 2 = n( : ssuaGDted = Wted = K .

A, . , , ) ,

(.

9.6.7

2R U 3R 2M:

qdC + 2qd1qdB2 + 12qdA = 2sd22

2q ,1q|C,B,A :

= K

(,C,B,A

A

1q. . . ,

)

4102/11/03

45

8

)evitavired tnairavoC(

1.8

1.1.8 nR U. R U : f . f : R UqT : fqd)R = R)q(fT UqT : fqD( :

= )( fdf

jqj )q(

)t( q = )0( = )0( :

= )( fqdd

td))t( ( f 0=t|

=d

td))t( n , . . . , )t( 1( f 0=t|

=f

iq)0( )q(

=f

jqj )q(

2.1.8 )( fqd f )t( .

2.8 )dleiF rotceV(

:

= UTq

nR U = }UqT ,U q | ) ,q({ = UqT

: UT U : ))q( v ,q( 7 q. :

= )q( v

ie )q( iv

R U : iv .= ie.

iq

nR U nq , . . . ,1q UqT :

1.2.8 ?

, .

55

8. )evitavired tnairavoC( 3.8. eiL

2.2.8 : nR U : f :

)fqd(

(= ie

f

iq)q(

)

: )U( tceV U. )U( tceV w ,v R b ,a :)U( tceV w b + v a.

R U : . )U( tceV v, :

)q( v )q( = )q( )v (

3.8 eiL

1.3.8 V U, R U : f . :

))q( V( fqd = )q( )f VL(

2.3.8 q f )q( v.

:)U( C )U( C : VL : f VL 7 f.

P 3.3.8 : zinbieL:

f VLg + g VLf = )g f( VL

4.8

1.4.8 ) R( UqT )U( tceV UqT :

Yx 7 ) Y ,x(

zinbieL

Yx + Y )x( )d( = ) Y ( x

)U( C .

? nq , . . . ,1q nR iq = ie. U q: jeie ) ie je (.

:

= jeien

1=k

ke )q( j,ik

. )q( j,ik , leffotsirhC(k )q( j,i

65

8. )evitavired tnairavoC(4.8.

, :

= V

je )q( jv

:

= Viej

)je )q( jv( ie

=j

jeiejv + je )ie( jvd

=k

kviq

+ kej

jvk

kej,ik

, j k. :

=k

ke

+ iqkv

j

jvj,ik

Vie =

= x :

x : ieix

= Vx

Vieix

=i,k

ix

+ iqkv

j

jvj,ik

ke

, x , leffotsirhC.

1.4.8

: U ) ,( : q = )0( : UqT X = )0( . U)t(T )t( Y )t( ) (. YX, Y

)t( Y q.

2.4.8 Yx = Yx. 3.4.8

= Yxk

+ kY

j,i

jYiXj,ik

ke

), Y(.

: :

))t( n , . . . , )t( 1( kY = )t( kY

:

= )0( kYkY

iqiX)q(

75


= X :

ieiX

= Y Xi

iXk

kYiq

+j,i

jY j,ik

ke

=k

ke

i

kYiq

+ iXj,i

jYiXj,ik

q

ikYiq

q, : kY = iX

jY = jY. , :

=

ke

+ kY

j,i

jYiXj,ik

2.4.8

4.4.8 : nR U .

= yxn1=i

ixiyiq

= yiex

iq

0 = jeie

:

0 = j,ik

, , .

5.4.8 : 1+nR nM, nM U : f nR U.

, .

.

.

:

mil0

)0( Y )( Y

M)t(T )t( Y. ,

.

? .

) 3R( .

U M U : f UqT )fqD(. )U( tceV X )X( )fD( M. D : ))q( X( )fqD( = ))q( f( X.

R U : : : R M : 1f . U, Yx : ) Y( )fD( )x()fD(.

85

8. )evitavired tnairavoC( 5.8. ?

6.4.8

MxT 1+nRxT : p , MxT X )M( tceV Y :

p = Yx(Yx

)

.

: zinbieL. :

p = ) Y( x() Y( x

)p =

() Y( x + Y )x( d

) ) Y( p )X( d =

Y

p +() Y( x

)

YxYx + Y)x( d =

: MxT Y Y = ) Y( p. , .

:

p = Yx(Yx

)

: :

=: )y ,x( B( ,yx

)

:

p = yx(yx

)

yx

+( ,yx

)

)y,x(B

:

)y ,x( B Yx = yx

4102/21/10

7.4.8 x . , , .

5.8 ?

= 2e.2q

= 1e :1q

M U : a 2R U 2q ,1q. U q leffotsirhC :

= jeie

ke )q( j,ik

95


1e , :

= 1ea

1q

= 2ea

2q

, g. :

qd11g = 2sd2qd2,2g + 2qd1qd2,1g2 + 1

22

:

= )je ,ie( = j,ig

(a

iq,a

jq

)

:

qd1,1b = B2qd2,2b + 2qd1qd2,1b2 + 1

22

:

= j,ib

(a2

jq1q ,

)

, :

)je ,ie( B+ jeie = jeie

:

= jeiejeiq

:

j,ib + 2ej,i2 + 1ej,i1 = )je ,ie( B+ jeie

1.5.8 leffotsirhC

, j ,i .

1 = j ,1 = i:

)1(1e1q

+ 1e1,11 =21,1b + 2e1,1

2 = j ,2 = i:

)2(2e2q

+ 1e2,21 =22,2b + 2e2,2

06

8. )evitavired tnairavoC(5.8. ?

2 = j ,1 = i:

)3(2e1q

+ 1e2,11 =22,1b + 2e2,1

1 = j ,2 = i:

)4(1e2q

+ 1e1,21 =21,2b + 2e1,2

, B : 1,2b = 2,1b :

2e1q

=a2

2q1q=

a2

1q2q=

1e2q

, :

= 2,1111,2

= 2,1221,2

q : 0 = )q( 2,1g. j,ik. )1( :

)1e , )1((

(1e1q

1e ,

) )1e ,1e( 1,12 =

1,1g

( :1e1q

1e ,

)=

1

2

1q )1e ,1e(1,1g

=1

2

q,qg1q

1.5.8 :

d

sd2 = ))s( v , )s( v(

(vd

sdv ,

)

, :

1

2

1,1g1q

= 1,11 1,1g1,11 =1

1,1g21,1g 1q

:

= 2,221

2,2g2

2,2g2q

)3( :

)2e , )3((

(2e1q

2e ,

) = )2e ,2e( 2,12 =

22,2g2,1

16


( , :2e1q

2e ,

)=

1

2

2,2g1q

, :

= 2,121

2,2g2

2,2g1q

= j,ik.k i,j

2 = 1,2

2 leffotsirhC 2,1

, , :

= 2,111= 1,2

1

1,1g2

1,1g2q

2,21. :2 : 1,1

)2e , )1((

(1e1q

2e ,

) = )2e ,2e( 1,12 =

22,2g1,1

, . , :

)1e , )3((

(2e1q

1e ,

) = )1e ,1e( 2,11 =

11,1g2,1

( , :1e1q

2e ,

)+

(2e1q

1e ,

)

1q

=)2e,1e(1q

0=2,1g

+ 2,2g1,12 =11,1g2,1

0 = 2,1g. :

1,1g2,11 = 1,12

2,11 :

= 1,121

1,1g2

1,1g 2q

g1,1g1 = 2,2

1

2,2g2

1,1g2q

:

= 2,211

1,1g2

2,2g1q

2.5.8 leffotsirhC .

26

8. )evitavired tnairavoC(5.8. ?

:

= 1,111

1,1g21,1g 1q

= 2,211

1,1g2

2,2g1q

= 1,121

2,2g2

1,1g2q

= 2,221

2,2g22,2g 2q

= 2,111= 1,2

1

1,1g2

1,1g2q

= 2,122= 1,2

1

2,2g2

2,2g1q

3.5.8 : ))u( h , )u( f(, ,

: 1 = 2)u( g + 2)u( f. :

))u( h ,v nis )u( f ,v soc )u( f( = )v ,u( a

, :

2vd 2)u( f + 2ud = 2sd

)u( f = 2,2g ) 2,2g2 leffotsirhC u = 1q v = 2q. : 1 = 1,1g 0 = 2,1g

u, 1q(.. :

2,2g1q

, : 1q2,2g : ff2 =

= 2,122= 1,2

1

2,2g22,2g 1q

=1

2f2f = ff2

f

:

= 2,211

1,1g2

2,2g1q

1 =2 ff = ff2

:

0 = j,ik

, , )u( soc = )u( f )u( nis = )u( h :

= 2,122 = 1,2

unis

usoc

:

usoc unis = 2,21

4.5.8 :

, . .

0 = XtD.4102/21/70

36

8. )evitavired tnairavoC(6.8. \ )tropsnarT lellaraP(

6.8 \ )tropsnarT lellaraP(

RpT ) nR(.RqT n

nR )(, n

M, MpT =6 MqT. mR U , U. )t( . )t( Y . t,

U)t(T )t( Y.

1.6.8 : )t( Y 0 = YtD ]1 ,0[ y.

, ]1 ,0[ t }n , . . . ,1{ k:

+ )t( kY

0 = )t( jY)t( j ))t( ( j,ik

:

0 = Y)t( A+ Y

:

2.6.8

U)0(T 0Y 0 = Y)t( A+ Y )t( Y 0Y = )0( Y.

, 0Y = )0( Y, )t( Y .

, )1( Y 7 0Y, U)1(T U)0(T, , .

]b ,a[ t, )t( . ]b ,a[ 2t ,1t : U)2t(T U)1t(T : 1t2t P : = )1t( Y: )2t( Y = 1t2t P.

3.6.8 P?

)t( , )t( X . :

=0t=t| XtDd

td)t( X t0t P 0t=t|

:

mil0

)0t( X) + 0t( X

U)+0t(T ) + 0T( X : )0t(T )0t( X, . , )t( X t0TP . )0t( X )0t(T ) + 0t( X+0t0t P :

d

tdmil = )t( X t0t P 0t=t|

0)0t( X) + 0t( X+0t0t P

. : U)0t(T nE , . . . ,1E. :P = )t( iE

tiE0t

)t( nE , . . . , )t( 1E U)t(T . :

= )t( X

)t( iE)t( ia

46

8. )evitavired tnairavoC( 6.8. \ )tropsnarT lellaraP(

R zinbieL :

= )t( XtD(

)t( ia0

a + )t( iEtD)t( iE)t( i

)

4.6.8 0 = )t( iEtD iE .

:

= )t( XtD

)t( iE)t( ia

:

=0t=t| )t( XtD

iE)0t( ia

:

= )t( X t0t P

P)t( ia0t) T( iE t

=

iE)t( ia

:

d

td= )t( X t0t P 0t=t|

0t=t| )t( XtD = iE)0t( ia

1.6.8

2S. :

))u( nis , )v( nis )u( soc , )v( soc )u( soc( 7 )v ,u(

: }0u = u{. :

)0unis ,v nis )0u( soc , )v( soc )0u( soc( = )v(

)v ,u(:

))0u( nis ,0 , )0u( soc( = )0 ,0u( = A

)0 ,0usoc ,0( = )0( = 0Y

P 5.6.8 : 0Y ) 2S(.

56

8. )evitavired tnairavoC( 6.8. \ )tropsnarT lellaraP(

1q = u 2q = v )v( Y. , )v ,0u( = : )1 ,0( = .

+ kY

21=j,i

0 = jYj j,ik

2 ,1 = k. : 0 = 1 2 = i : 1 = 2.

{ : + 1Y

10 = 2Y2,2

+ 2Y2 + 1Y1,2

20 = 2Y2,2

:

= 1,222 = 2,1

unis

usoc

:

usoc unis = 2,21

{ . :0 = 2Y0usoc 0unis + 1Y

0 = 1Y0y soc0y nis 2Y

: g))t( Y , )t( Y( tdd . : 2vdu 2soc + 2ud = 2sd ) v ,u (:

soc + 12 Y = ))t( Y , )t( Y(Y0u 2

22

:

d

td2 = ))t( Y , )t( Y(

(Y , Y

)soc 2 + 1Y1Y2 =

2Y2Y0u 2

2 =

[0unis 0u 2soc + 1Y2Y0usoc 0unis

0usoc2Y1Y

]0 =

:

soc = ))0( Y , )0( Y( = tsnoc = g))t( Y , )t( Y(0u 2

:

t 0usoc = |)t( Y|

66


{ :0 = 2Y0usoc 0unis + 1Y

0 = 1Y0y soc0y nis 2Y{ :

nis + 1Y 0 = 1Y 0usoc0u nis 0usoc 0unis + 1Y 0 = 2Y0usoc 0unis + 1Y0 = 1Y0u 2

+ 2Y 0 = 1Y 0usoc0u nis 2Y0unis0usoc

0 = 2Y0u 2nis + 2Y 0 = 2Y0usoc 0unis

{ :nis + 1Y

0 = 1Y0u 2

nis + 2Y0 = 2Y0u 2

: tsoc B + tnis A = )t( z. :

{tnis

tsoc : 0 = z2 + z :

= )0( Y.

0usoc 0unis (0

)= )0( Y,

(01

) :

0usoc )v 0unis( nis = )v( 1Y)v 0unis( soc = )v( 2Y

:

g = )v(

(, )v( y

(01

))

)v( Y 2S.

:

= )v( soc

(,Y

(01

))g

g| Y|(01

)g

=

scirtam nainameR eht morF

1 2Y 0u 2soc

0usoc 0usoc)v 0unis( soc =

, )v( : v 0unis = )v( , 0unis. v , )v( ! ,

.

7.8

1.7.8 nR U , g U U. )sevreserP( g :

xL

(g)z ,y(

)g)zx,y( + g)z ,yx( =

z ,y x ) , (.

76

8. )evitavired tnairavoC( 7.8.

2.7.8 zinbieL.

3.7.8

g , U)2t(T U)1t(T : 1t2t P . :

= g) ,((P , )( 1t2t P

2t 1t)g

U)1t(T ,

4102/21/80

, :

tD

(g)z ,y(

)g)ztD,y( + g)z ,ytD( =

4.7.8 : 1+nR .g .

R 1+nq , . . . ,1q : Y,X 1+n

= x1+n1=i

iXY

iq

: 0 = j,ik. :

) YtD(k+ kY =

j,i

Y = YtD jYi j,ik

zinbieL:

d

td= ))t( Z , )t( Y(

(d

td)t( Z , )t( Y

)+

(, )t( Y

d

td)t( Z

)

tD . .(g)z ,y(

) g)ztD,y( + g)z ,ytD( =

5.7.8 : 1+nR nM . g . . :

= )z ,y( xLd

td)z ,y(

=(z ,yx

)+(zx ,y

)))y ,x( B+ zx,y( + )z , )y ,x( B+ yx( =)zx,y( + )z ,yx( =

)y ,x( B 0 = )y ,( = )z ,(., , g.

6.7.8

g .

(, : U)2t(T U)1t(T : 1t2t P. U)1t(T , :P , 1t2t P

2t 1t)gg) ,( =

: g. zinbieL :d

td

(P ,v0tt P

tw0t)=

(

0PtD

tP ,v0t

tw0t

)+

(,v0tt P

0PtD

tw0t

)0 =

86


(:P ,v0tt P

tw0t)= tsnoc =

(P ,v 0t0t P

0tw 0t

))w ,v( =

.

1t2t P :

= ))t( z , )t( y((P , )t( y t0t P

0t)t( z t

)

:

d

td= ))t( z , )t( y( 0t=t|

d

td0t=t|

(P , )t( y t0t P

0t))t( z( t

)g

=

(d

td)t( z t0t P , )t( y t0t P 0t=t|

)+

(, )t( y t0t P

d

td)t( z t0t P 0t=t|

)

:

d

td0t=t| YtD = )t( Y t0t P 0t=t|

:

d

td)z ,tD,y( + )z ,ytD( = ))t( z , )t( y( 0t=t|

, zinbieL . g .

= )z ,y( xLd

td)z ,y(

)z ,y( .

7.7.8 E ) ,(, )t( w , )t( v . :d

td= ))t( w , )t( v(

(d

tdw ,v

)+

(,v

d

tdw

)

8.7.8 nR U , g . )U( C )U( tceV)U( tceV)U( tceV : Q :

)Zx,Y( )Z ,Yx( )Z ,Y( xL = )Z ,Y,X( Q

9.7.8 g 0 Q.

01.7.8 Q R, , . , .

96


11.7.8

Q )U( C. : )U( C , , :

)Z ,Y,X( Q = )Z ,Y,X( Q

21.7.8

)Z ,Y,X( Q q )q( Z , )q( Y , )q( X.

: ) (

= Z. )U( C Q :

= Y : ie )q( iz

= X : ie )q( iy

: ie )q( ix

= )q( )z ,y ,x( Q

)ke , je ,ie( Q)q( kz )q( jy )q( ix

= ie(.iq

)ke ,je ,ie( Q z ,y ,x, g )

: : )Z ,Y,X( Q . :

)Zx,Y( )Z , ) Y( x( )Z,Y( xL = )Z ,Y,X( Q)Zx,Y( )Z ,Yx( )Z ,Y xL( )Z ,Y( xL + )Z ,Y( xL = =

)Z ,Y( xL + )Z ,Y( xL

)Zx,Y( )Z ,Yx( )Z ,Y( xL))Zx,Y( )Z ,Yx( )Z ,Y( xL( =)Z ,Y,X( Q =

X Z.4102/21/41

07

9

ativiC-iveL

1.9

)rotatommoC( . .

nR U, )U( tceV X : )U( C )U( C : xL = )x( fd 7 f) (.

n)q( iX1=i

fiq

)q(

, )U( tceV Y,X : )fyL( xL = )f( yLxL ) )f( xLyL .

1.1.9

)U( tceV Y,X )U( tceV z : zL = xLyL yLxL.

2.1.9 , ] Y,X[ = Z, Y,X.

3.1.9 B,A n n , : AB BA = ]B,A[.

: : :

= f YL

jYf

jq

= fyLxL

iX

iq

(jY

f

jq

)

=

jYiXf2

jqiq+

iXjYiq

f

jq

fxLyL:

= fxLyL

jXiYf2

jqiq+

jYjXiq

f

jq

. :

jXiYf2

jqiq=

jYiXf2

jqiq :

f2jqiq

=f2

iqjq

= f )xLyL yLxL(n1=j

(n1=i

(iX

jYiq

jX iY iq

))

jZ

f

jq

17

9. ativiC-iveL 2.9.

:

= jZ

n1=i

iXjXiq

jX iY iq

:

= f )xLyL yLxL(n1=j

jZf

jqfzL =

: )U( tceV )nz , . . . ,1z( = z.

= ie. : 0 = ]je ,ie[.iq

=

0...1...0

4.1.9 : U nq , . . . ,1q : i

, :

= j)] Y,X[(

n1=i

iXjYiq

jX iY iq

P 5.1.9 :

1. )U( tceV )U( tceV)U( tceV : ] ,[ R.2. ] X,Y[ = ] Y,X[.

3. : )U( tceV Z ,Y,X :

0 = ]] Y,X[ ,Z[ + ]] X,Z[ ,Y[ + ]]Z ,Y[ ,X[

2.9

1.2.9 : nR U nq , . . . ,1q. : .:

XY YX = ] Y,X[

:

= XY YX

iXY

iqX iY

jq

) : iqX = Xie(.

2.2.9 )U( tceV Y,X ] Y,X[ = XY YX. 3.2.9

= j,ik.k i,j

27

9. ativiC-iveL 2.9.

4.2.9 = 0 )eerf-noisrot(.: :

0 = ] je ,ie[ = ie je jeie

:

ie je = jeie

= kej,ik

kei,jk

= j,ik .k i,j

= j,ik :k , l ,j ,i i,j

ie je = jeie .

{ : ] Y,X[ = XY YX Y,X. := X

ieiX

= Y

jejY

:

= YX

ieiX(

jejY

)=

iX

iYiq

+ je

jeiejYiX

:

= XY

YjXiq

+ je

ie jejXiY

:= jeiejYiX

ie jejXiY

) ( :

= XY YXn1=j

(i

(iX

jYiq

jX iY iq

))] Y,X[ = je

.

P 5.2.9 : )U( tceV Y,X . :

] Y,X[ XY YX = ) Y,X( T

: )q( ) Y,X( T Y,X q.

: ) Y,X( T = ) Y,X( T )U( C ,. 6.2.9 T : rosnet noisroT.

37

9. ativiC-iveL3.9. ativiC-iveL

7.2.9

1+nR nM . . .

: :

) Y,X( B YX = YX

:

)X,Y( B XY = XY

B : )X,Y( B = ) Y,X( B :

] Y,X[ = XY YX = XY YX

.

3.9 ativiC-iveL

1.3.9 ativiC-iveL

nR U , g . , U :1. g.

2. .

: :

= ie

iq))q( j,ig( = g

= 1g(jig)

)je ,ie( = g)je ,ie( = j,ig

: i,jk = j,ik. g :

)je ,ie( keL j,ig

j,igkq

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ei,k

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ej,k

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j,igkq

=

i,k

j,g+)je ,e(

j,k

i,g)ie ,e(

:

j,igkq

=

+ j,gi,kk ,j ,i i,gj,k

47


=: i,k,j. : k,i,j = i,k,j. :j,g

: i,k

j,igkq

j,k,i + i,k,j =

, :

i,kgjq

i,j,k + k,j,i =

k,jgiq

k,i,j + j,i,k =

, :

j,igkq

+i.kgjq

k,jg iq

=+ k,j,i + j,k,i + i,k,j

k,i,j j,i,k i,j,k

. :

j,igkq

+i.kgjq

k,jg iq

k,j,i2 =

:

= k,j,i1

2

(j,igkq

+i.kgjq

k,jg iq

)

= k,j,i. :

i,g, leffotsirhC . : k,j

i

= k,j,ii,pg

i,gi,pgp,a

= k,jpk,j

:

= k,jp1

2

i

i,pg(j,igkq

+i,kgjq

k,jg iq

)

leffotsirhC, g. g leffotsirhC .

57


2.3.9 : :

)u( f + 2ud = 2sd22vd

f = 2,2g ,0 = 2,1g ,1 = 1,1g : 1q = u 2q = v, : 2

= g

(0 12f 0

)= 1g ,

(0 12f1 0

)

:

= 2,2g ,0 = 2,1g ,1 = 11g1

2f

0 : 1q2,2g = ff2 ) f j,igkq

k,jp. , u (.

= k,jp. i = p. :12

g i

i,p(j,igkq

+i,kgjq

iqk,jg )

0 = 2,1g :

1. 1 = k ,2 = j ,2 = i = p :

= 1,221

2

(2,2g 2,2g

1q

)=

1

2

1

2f= ) ff2(

f

f

:

= 2,12 f

f

2. , 2,21.

67

01

1.01

1.1.01 )U( tceV Z ,Y,X, :

Z] Y,X[ ZXY Z YX =: Z) Y,X( R

:

)U( tceV )U( tceV)U( tceV)U( tceV

2.1.01

)q( )Z) Y,X( R( Z ,Y,X q.

)y ,x( R : UqT UqT : )y ,x( R : z )y ,x( R 7 : z.)y ,x( R :

)UqT( dnE UqT UqT

) )UqT( dnE (. : .

77

01. 1.01.

P 3.1.01 : .

: g , , ativiC-iveL Z ,Y,X :

= Z Y

iYZ

iq(jZ Y

)jZ YL =

(:ZX Y Z YX

)j

jZ)XL YL YLXL( =jZ] Y,X[L =

jZ] Y,X[ =

:

0 = Z] Y,X[ ZX Y Z YX

0 = Z) Y,X( R .4102/21/51

: : :

4.1.01

)U( C , , :

)Z ,Y,X( R = )Z( ) Y,X( R

)q( )Z) Y,X( R( : )q( Z , )q( Y , )q( X. )(.

: : UqT Y,X UqT UqT : ) Y,X( R . :

Z) Y,X( R = )Z( ) Y,X( R

)U( C . :]Z YL + Z Y[ X = )Z( YX

]ZX YL + Z YxL[ + Z YX =I

Z YLXL+

)I( Y,X. :

ZXL YL + I + ZXY = )Z( XY

:

)Z( ] Y,X[)Z( XY)Z( YX = )Z( ) Y,X( R Z XL YL I ZXY Z YLXL+ I + Z YX =

Z] Y,X[ Z ] Y,X[L

=]Z] Y,X[ ZXY Z YX[

)Z) Y,X( R( =

Z XL YL Z YLXL = Z ] Y,X[L.

87

01. 2.01.

P 5.1.01 : . )Z) Y,X( R( = Z) Y ,X( R.

: ] Y ,X[ )U( C Y,X ?

2.01

nR U . v ,u UqT. . u v ) u + q, u v.

v~

u~

, . ? ) (.

= v , 1q = u.2q

nq , . . . ,1q U

0 = nq = . . . = 4q = 3q.2q

1q

t,s

0 > t ,s U0T U0T : t,sP t,s. 1.2.01

)1 t,sP( ts1 0t,smil = )v ,u( R.

:

2.2.01

d

tdP = )t( x ta P

a)t( XtD t

: :

d

tdmil = )t( X ta P

01

[)t( X ta P ) +t( X+ta P

]mil =

0ta P

(1

()t( X) +t( X+tt P

))

mil ta P =0

()t( X) +t( X+tt P

)

XtD

XtD ta P =

97

01. 2.01.

3.2.01 zinbieL-notweN

zinbieL-notweN:

= )a( X))b( X ba P(b

a

d

td ))t( X ta P()X(tD taP

= td

b

a

tdXtD ta P

4.2.01 dramadaH

= )x(

nR 0, 0 = )0( . )x( ng , . . . , )x( 1g : )x( igix= )0( ig.

ix

: )0(

: :

= )0( )x( 1

0

d

td )xt(

d=)nxt,...,1xt(td

ix

ix)xt(

td

=

1

0

ix

ixtd )nxt , . . . ,1xt(

=

ix

1

0

ixtd )xt(

)x(ig

=

)x( igix

:

= )0( ig

1

0

ix= td )0(

ix)0(

5.2.01

)t( )t( X . 0 = )0( X . )t( Y :)t( Yt = )t( X : 0=t| XtD = )0( Y.

= X. :

: nE , . . . ,1E : 0 = iEtD . : )t( iE)t( iX0 = )0( iX dramadaH : )t( iYt = )t( iX, :

tD = 0=t| XtD(

)t( iE)t( iX)0=t|

=

)0( Y = )0( iE)0( i X

4102/21/22

1.2.01. : 2 = n:

w 1q. 2q s = x, 1q .

, )t ,s( Z : w = )0( Z :

0 = )0 ,1q( Z1e0 = )2q ,1q( Z2e

08

01. 2.01.

2q ,1q.

1s2sA:

2q

1q

1s2sA

2s 1s

) 2q, .

2q 1t 2t 1t2tB.

:

A0tB = )t ,s( Zsw0

:

w0sA0tB s0At0B = w wt,sP)t,s(Z

w

At0B =0w )t ,s( Zs

:

)t ,0( Zt0B = )0 ,0( Z = w

:

)t ,0( Zt0B)t ,s( Zs0At0B = w wt,sPt0B =

[)t ,0( Z )t ,s( Zs0A

]

zinbieL-notweN :

= )t ,0( Z )t ,s( Zs0As

0

d )t ,( Z1e0A

0 = )0 ,1q( Z1e dramadaH Y :

)t ,( Y t = )t ,( Z1e

:

)0 ,( Z1e2e = )0 ,( Y

18

01. 3.01.

:

t0B = w wt,sPs

0

d ))t ,( Yt( 0A

t0Bt =

s

0

d )t ,( Y0A

:

1

tst = )w wt,sP(

ts

s

0

At0B0d )t ,( Y

00A = 1 = 00B. 0 t ,s :

0t,s

A00B0mil = )0 ,0( Z1e2e = )0 ,0( Y = )0 ,0( Y0

0t,sw wt,sP

ts

6.2.01 :

1

s

s

0

)0( F = d )( F

F .

= u .

1q1e

= v ,

2q2e

w)v ,u( R

Z w :

Z]2e,1e[0 Z1e2e Z2e01e = w)v ,u( R)0( Z1e2e =mil =

0t,sw wt,sP

ts

.

7.2.01 0 = Z2e , , 0 = Z1e 1q! . 0 = ]2e ,1e[ .

3.01

)UqT( dnE UqT UqT : R

1.3.01 1

28

01. 3.01.

Z)X,Y( R = Z) Y,X( R

R Y,X.

: :

Z] Y,X[ ZXY Z YX = Z) Y,X( R

:

Z]X,Y[ YX ZXY = Z)X,Y( R

, : ] X,Y[ = ] Y,X[ . 2.3.01 3

, )U( qT )U( qT : ) Y,X( R ) Y,X ( . :) Y,X( R.

) Y,X( R =

: :

2q

1q

t

tP t . : t

mil = ) Y,X( R0t

1 tPt

)0( tP =

PtP 1 = 0P. :) 1 = 0P!(. tP )( : 1 = t

PtPPtP + t

0 = t

0 = t :

P = 0P1 = 0

:

P + 0P0 = 0

0P : 0P = 0 P :) Y,X( R

) Y,X( R =

.4102/21/82

38

01. 4.01.

3.3.01 2

, Z ,Y,X :

0 = Y)X,Z( R+ X)Z ,Y( R+ Z) Y,X( R

= X, je = Y, ke = Z 0 = ] je ,ie[. R iq

: : ie =. :

keieje ke jeie = Y)X,Z( R+ X)Z ,Y( R+ Z) Y,X( Rke)je,ie(R

jekeie jeieke+ ie jeke iekeje+

ie =

je+)jeke ke je(00

ke+ )keie ieke(

)ie je jeie(00 =

4.3.01 ke )je ,ie( R? 0 = ]je ,ie[. .

4.01

ativiC-iveL g ) g(. :

R UqT UqT UqT UqT) W,Z)y ,x( R( 7 W Z Y X

:

) W,Z,X,Y( R = ) W,Z ,Y,X( R

:

)Z,W,Y,X( R = ) W,Z ,Y,X( R

1.4.01 4

) Y ,X,W,Z( R = ) W,Z ,Y,X( R

, Y,X W,Z , , . : :

) W,Y)X,Z( R( + ) W,X)Z ,Y( R( + ) W,Z) Y,X( R( = ) W,Z ,Y,X( S

48

.10.4 .10

: ,

S (X,Y, Z,W ) = 0

:

S (X,Y, Z,W ) + S (Y, Z,W,X) S (Z,W,X, Y ) S (W,X, Y, Z) = 0

: ,

S (X,Y, Z,W ) + S (Y, Z,W,X) S (Z,W,X, Y ) S (W,X, Y, Z) =R (X,Y, Z,W ) +R (Y, Z,X,W ) +R (Z,X, Y,W )+

+R (Y, Z,W,X) +R (Z,W, Y,X) +R (W,Y, Z,X)R (Z,W,X, Y )R (W,X,Z, Y )R (X,Z,W, Y )

R (W,X, Y, Z)R (X,Y,W,Z)R (Y,W,X,Z)

S (X,Y, Z,W ) + S (Y, Z,W,X) S (Z,W,X, Y ) S (W,X, Y, Z) =R (X,Y, Z,W ) +R (Y, Z,X,W ) +R (Z,X, Y,W )+

+R (Y, Z,W,X) +R (Z,W, Y,X) +R (W,Y, Z,X)R (Z,W,X, Y )R (W,X,Z, Y )R (X,Z,W, Y )

R (W,X, Y, Z) R (X,Y,W,Z) R (Y,W,X,Z)

:

R (X,Y, Z,W )R (X,Y,W,Z) = 2R (X,Y, Z,W )

:

S (X,Y, Z,W ) + S (Y, Z,W,X) S (Z,W,X, Y ) S (W,X, Y, Z) =R (X,Y, Z,W ) + R (Y, Z,X,W ) +R (Z,X, Y,W )+

+ R (Y, Z,W,X) +R (Z,W, Y,X) +R (W,Y, Z,X)R (Z,W,X, Y )R (W,X,Z, Y )R (X,Z,W, Y )

R (W,X, Y, Z)R (X,Y,W,Z)R (Y,W,X,Z)

.

:

S (X,Y, Z,W ) + S (Y, Z,W,X) S (Z,W,X, Y ) S (W,X, Y, Z) =R (X,Y, Z,W ) +

R (Y, Z,X,W ) + R (Z,X, Y,W ) +

+R (Y, Z,W,X) +R (Z,W, Y,X) +R (W,Y, Z,X)

R (Z,W,X, Y )R (W,X,Z, Y ) R (X,Z,W, Y ) R (W,X, Y, Z)R (X,Y,W,Z)R (Y,W,X,Z)

85

.10.4 .10

: .


R (Y, Z,X,W ) +R (Z,X, Y,W )+

+R (Y, Z,W,X) +R (Z,W, Y,X) + R (W,Y, Z,X)

R (Z,W,X, Y )R (W,X,Z, Y )

R (X,Z,W, Y )R (W,X, Y, Z)R (X,Y,W,Z) R (Y,W,X,Z)

:


R (Y, Z,X,W ) +R (Z,X, Y,W )+

+R (Y, Z,W,X) +R (Z,W, Y,X) +

R (W,Y, Z,X)R (Z,W,X, Y ) R (W,X,Z, Y )

R (X,Z,W, Y )

R (W,X, Y, Z) R (X,Y,W,Z)

R (Y,W,X,Z)

: ,


R (Y, Z,X,W ) +R (Z,X, Y,W )+

+R (Y, Z,W,X) + R (Z,W, Y,X) +

R (W,Y, Z,X)

R (Z,W,X, Y )

R (W,X,Z, Y )

R (X,Z,W, Y )

R (W,X, Y, Z) R (X,Y,W,Z)

R (Y,W,X,Z)

:

0!= S (X,Y, Z,W ) + S (Y, Z,W,X) S (Z,W,X, Y ) S (W,X, Y, Z)= 2R (X,Y, Z,W ) 2R (Z,W,X, Y )

:

R (X,Y, Z,W ) = R (Z,W,X, Y )

.

10.4.2

: . x, y TqU

K () := K (x, y) :=R (x, y, y, x)

|x|2 |y|2 (x, y)2

86

01. 4.01.

)y ,x( K : )y ,x( Rnaps = ) UqT 2 = mid(.

3.4.01 )( K )erutavruc lanoitces(.

:

4.4.01

)w ,z ,y ,x( )w ,z ,x ,y( = )w ,z ,y ,x( , : )z ,w ,y ,x( = )w ,z ,y ,x( ) y ,x w ,z (.

: )x ,y ,y ,x( = )y ,x( , )y ,x( naps = , : A .:

)Ated( = )yA,xA( 2)y ,x(

: :

yb +xa = xA

yd +xc = yA

R d ,c ,b ,a. :)yb +xa ,yd +xc ,yd +xc ,yb +xa( = )yd +xc ,yb +xa(

) , ,x ,x( . ) ( :

2d2a )x ,y ,y ,x( bcda )y ,x ,y ,x( adcb )x ,y ,x ,y( 2c2b )y ,x ,x ,y(

, )yb +xa ,yd +xc ,yd +xc ,yb +xa( :

)yb +xa ,yd +xc ,yd +xc ,yb +xa( = )yd +xc ,yb +xa(

=( )2c2b +cbda2 2d2a

2)Ated(=2)cbda(

)x ,y ,y ,x(

)Ated( =2)y ,x(

P 5.4.01 : :

)w ,y( )z ,x( )w,x( )z ,y( = )w ,z ,y ,x( S

S y ,x w ,z.

: : :

)w ,z ,y ,x( R = )w ,z ,y ,x( 1

)x ,y ,y ,x( R = )y ,x( 1

)w ,z ,y ,x( S = )w ,z ,y ,x( 2

)x ,y ,y ,x( S = )y ,x( 2

) S (.

78

01. 4.01.

6.4.01 )y,x(2)y,x(1 = )y ,x( K.

, : A , :

= )yA,xA( K)yA,xA( 1

)yA,xA( 2=

)Ated(

2)y ,x( 1

)Ated(2)y ,x( 2

)y ,x( K =

. , )y ,x( K .

7.4.01 2)y ,x( 2|y| 2|x| = )y ,x( 2 : y ,x :

x

y

. ? : |y||x|)y,x( = soc :

)( aerA2 = )( aerA2 =

1

2nis |y| |x|

|y| |x| = 2soc 1

:

)( aerA2

) 2soc 1( 2|y| 2|x| =2)y ,x( 2|y| 2|x| =

: nR U g . ativiC-iveL , , UqT , )( K 2.

1+nR nM :

. ativiC-iveL )(.

B M:

)b ,a( Bba = ba

R \ . 8.4.01

2)y ,x( B )x ,x( B)y ,y( B = )x ,y ,y ,x( R

9.4.01 R : 0 = R.

88

.10.4 .10

: .x, y, z Vect (M) :

xyz = x(yz B (y, z)

)= p

(x(yz B (y, z)

))

= p

xyz

LxB (y, z) B (y, z) x

= p(xyz

)B (y, z) p

(x

)

10.4.10

p (LxB (y, z) ) = 0

.p () = 0

: ,

yxz = p(yxz

)B (x, z) p

(y

)

:

[x,y]z = p([x,y]z

)

:

R (x, y) z = xyz yxz [x,y]z= p

(xyz yxz [x,y]z

)B (y, z) p

(x

)+B (x, z) p

(y

)= p

(

0R (x, y, z)

)B (y, z) p

(x

)+B (x, z) p

(y

)= B (y, z) p

(x

)+B (x, z) p

(y

)

:

R (x, y, z, w) = (R (x, y) z, w)

= B (y, z)(p(x

), w)+B (x, z)

(p(y

), w)

= B (y, z)(x, w

)+B (x, z)

(y, w

)

.(, w) = 0 . p(x

)= x w TAM 10.4.11

: (, w) = 0 Leibniz

0!= Lx (, w) =

(x, w

)+

B(x,w) (, xw

)(x, w

)= B (x,w)

89

01. 5.01.

)w ,z ,y ,x( R :

)w ,y( B)z ,x( B)z ,y( B)w,x( B = )w ,z ,y ,x( R

:

2)y ,x( B)y ,y( B)x ,x( B = )x ,y ,y ,x( R

: 3R 2M.

21.4.01 2R U, 3R 2M :

= nnameiRK

{)UqT( K

)MAT( K

31.4.01 muigergE

ssuaGK = nnameiRK.

: y ,x y ,x ) 1 = |y| = |x| : 0 = )y ,x((. :

)MAT( K = nnameiRK

=)x ,y ,y ,x( R

2)y ,x( 2|y| 2|x|

=2)y ,x( B)y ,y( B)x ,x( B

0 1 1

) (.

, y ,x, ) netragnieW(:

= B

()y ,x( B )x ,x( B)y ,y( B )y ,x( B

)

:

ssuaGKfedB ted =

2)y ,x( B)y ,y( B)x ,x( B =nnameiRK =

.

5.01

1.5.01

2S 2R.

09

01. 5.01.

? U g V h nR V ,U. U A V B. ? A AU B BV .

: BV AU : f., . : V U : f ,

2 = Vmid = Umid. :

g)A( nnameiRK = h))A( f( nnameiRK

, nnamieRK 0 A : nnamieRK 1 1 B. .

4102/21/92

19

11

), scisedoeG(

1.11

? , 3R, B,A A B . , )( htgnel fni

A B M ., 2R U U q ,p, )( ghtgnel fni

p q ) (.

q p. R : L )( ghtgnel 7 : . L?

, .

nR , B,A, , , tsnoc = )t( . , 0 = )t( .

: 0 = , , .

2.11

1.2.11 g ,U . )t( . 0 = ativiC-iveL.

2.2.11 )t( :

=: )t( k)t( )t(

.

, , 0 = k, , .

3.2.11 : 1+nR, .

=: )t( k|| =

) , (.

0 = k )t( .

29

11. ), scisedoeG( 2.11.

4.2.11 : 1+nR nM , M . k ) (. k M.

= 1=|| ,MT ,

) ,( B+

:

= 2k2

2) ,( B+ 2| | =

) ,( B+ 2k =2

:

) ,( B+ 2k = 2k2

0 = k 0 = k.

, 0 = k. :

5.2.11

. 0 > tsnoc = |)t( | 0 = k .

: :c1 = )t(

(t

c

)c

= )t( , : =(tc

) 0 > c = |)t( | t. :

1.

:

0 =

:

c1 = (1

c

)=

1

2c0 =

. , 0 = . :

0 = . )t( : tsnoc = |)t( |. 0 = k, :

0 = 0 = k ? 0 =

. : .

1+nR )t( . t 0 =6 |)t( | = k.

39

11. ), scisedoeG( 2.11.

:

= )t( N)t(

|)t( |

: Nk = .

6.2.11 , 1+nR nM .

)t( 0 =6 k . 7.2.11

) M( = N ) N(.

: 0 = :

= ) ,( B+ 0

:

) ,( B = Nk = =

: N ., N, :

Nk =

p = (

)

0 =

.

8.2.11 : 3R 2M. 3R l . =6 M l Ml .

9.2.11

M l = . 01.2.11 , , (.

. : l, l , l l N. l , N.

, .

11.2.11 : 2S l . 2S l , . 2SATl 2S l = A.

, , 2S .

5102/10/40

49

11. ), scisedoeG( 3.11.

3.11

nR U g . }raluger si | U ]c ,0[ : { = : R : L = )( L.

c

0

)( ghtgnel 7 , sd g||0 L 0 . 0 .

= . . . = )x( 1xF . 0 = Fd.Fnx

1.3.11 R nR : F , x F : 0 =

. . F , : ))t( ( F = )t( ) | F(:

d

td=F

ix)x(

idtd

F 0 =ix

0 = )x(

]c ,0[ : : t A = )t ,0( : t B = )t ,c( :s) ,(

t 2.3.11 0 U

)s( 0 = )0 ,s( s.

3.3.11 .

4.3.11 0 L 0: 0 = )t( L 0=t| tdd :)t ,s( =: )s( t.

5.3.11

0 L 0 ) 0 = (.

: tD )ativiC-iveL( )t ,0s( . sD )ativiC-iveL( )0t ,s( .

6.3.11

sD

ttD =

s

= ie j,ik .iq

: nq . . . ,1q U,

sD

t=k

s

(

t

)+j,i

j,ikis

jt

ke

:

tD

s=k

t

(

s

)+j,i

j,ikit

js

ke

= j,ik k , : i,j

, :

sD

ttD =

s

= )s( v 0. )0 ,s( t

7.3.11 0T v.

59

11. ), scisedoeG( 3.11.

8.3.11

d

tdd = )t( L 0=t|

td)t( ghtgnel 0=t|

=c

0

sd g)0sD,v(

9.3.11

0 0 = 0sD , 0 0 = 0 0, 0 = )t( L 0=t| tdd .

= t. : : : : )t ,s( ts

d

tdd = |t| 0=t|

td0=t|

(

s,

s

)

=

d0=t| td

(, s

s

)2

(, s

s

)

0 = t , :(, s

s

) , : 1 =

d

td= |t| 0=t|

d0=t| td

(, s

s

)2

=2(tD

, s

s

)0=t|

2

=

(tD

s,

s

)0=t|

=

t sD

v

,

s0

0=t|

)0 ,vsD( =

=d

sd)0sD,v( )0 ,v(

, :

d

tdd = )t( L 0=t|

td

c

0

sd |t|

=

c

0

d

tdsd |t| 0=t|

=

c

0

d

sdsd )0 ,v(

c

0

sd )0sD,v(

, :

c

0

d

sd))0( 0 , )0( v( ))c( 0 , )c( v( = sd )0 ,v(

69

11. ), scisedoeG( 3.11.

c 0 = )0( v = )c( v ) t ( :

d

td = )t( L 0=t|

c

0

sd )0sD,v(

. 0 . 0 , 0 =6 0sD. : 0 =6 )0s( 0sD | 0s. 0 L.

. : |)s( 0sD| = )s( a, )+,0[ ]c ,0[ : a, 0 6 a .{ ] ,[ 0 > )s( a ] ,[ s ) )s( 0sD , a (. : R ]c ,0[ : :

) ,( r 0 > )r( ) ,( / r 0 = )r(

P 01.3.11 : .

:

)s( 0sDt )s( + )s( 0 = )t ,s(

. :

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89

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301

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401

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