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Einfuhrung Definition Eigenschaften
Digitale Signalverarbeitung,Vorlesung 10 - Diskrete Fouriertransformation
Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung
23. Januar 2017
Siehe Skript “Digitale Signalverarbeitung”, Abschnitte 10.1 und 11,Kammeyer & Kroschel (7.1-7.3)
Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung
Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 10 - Diskrete Fouriertransformation
Einfuhrung Definition Eigenschaften
Neues Thema in der DSV
Signalverarbeitung im Frequenzbereich.
Neue Moglichkeiten:
Schnelle, adaptive Algorithmen
Effiziente Implementierung auf DSPs und PCs
Methoden basieren auf diskreter Fouriertransformation (DFT).
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Einfuhrung Definition Eigenschaften
Anwendungen der diskreten Fouriertransformation
Test von analogen und Implementierung von digitalenKommunikationssystemen (z.B. OFDM - u.a. in DAB/DVBT)
Analyse von MRT-, MEG- und EEG-Signalen
Komprimierung von Audio- und Musiksignalen (z.B. mp3) undVerarbeitung (z.B. Equalizer)
Entwurf von modellbasierten Regelungen
Maschinelle Mustererkennung
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Einfuhrung Definition Eigenschaften
Verhaltnis zu anderen Fourier-Transformationen
Figure : Vier Klassen der Fourier-Transformation [3]Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung
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Einfuhrung Definition Eigenschaften
Grunde fur diskrete Fouriertransformation
Diskret im Zeit- und Frequenzbereich →Endliche Datenmenge durch Diskretisierung
Effiziente Algorithmen zur Berechnung und Invertierung
Geeignet fur Kurzzeitanalyse (Berechnung von“Spektrogrammen”)
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Einfuhrung Definition Eigenschaften
DFT als abgetastetes Spektrum
Die Signalfolge besteht aus N Werten n ∈ 0, 1, . . . ,N − 1.Das Linienspektrum soll jetzt auch genau an N aquidistantenStutzstellen berechnet werden, die dann die Abstande
∆f =fAN
=1
NT(1)
besitzen. Dann ergeben sich folgende Frequenzstutzstellen:
Ωn = 2πn∆f
fA= 2π
n
N, n = 0, 1, . . . ,N − 1. (2)
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DFT als abgetastetes Spektrum
Ωn = 2πn
N, n = 0, 1, . . . ,N − 1. (3)
Einsetzen in
V(e jΩ)
= DTFT v(k) =∞∑k=0
v(k)e−jkΩ (4)
ergibt zusammen mit der endlichen Signallange N:
V (e jΩn) := V (n) =N−1∑k=0
v(k)e−jk2πnN . (5)
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Einfuhrung Definition Eigenschaften
DFT als abgetastetes Spektrum
V (n) =N−1∑k=0
v(k)e−jk2πnN (6)
kann mit der Abkurzung WN = e−j2πN geschrieben werden. Das
ergibt das DFT-Transformationspaar:
Definition DFT
V (n) = DFT v(k) =N−1∑k=0
v(k)W knN , (7)
v(k) = IDFT V (n) =1
N
N−1∑n=0
V (n)W−knN . (8)
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DFT als abgetastetes Spektrum
Zum Beweis der Beziehung fur die IDFT wird (7) in (8) eingesetzt:
v(k) =1
N
N−1∑n=0
[N−1∑l=0
v(l)W lnN
]W−kn
N =N−1∑l=0
v(l)1
N
N−1∑n=0
Wn(l−k)N = v(k).
Hierfur wurde die Summenorthogonalitat der komplexenDrehoperatoren WN benutzt:
1
N
N−1∑n=0
Wn(l−k)N =
1
N
N−1∑n=0
e−j2πNn(l−k) = δ(l − k).
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Matrixdarstellung der DFT
Matrixdarstellung der DFTAus den drei Definitionen
Spalten-Vektor der DFT-Spektralwerte
V = [V (0), . . . ,V (n), . . . ,V (N − 1)]T
Spalten-Vektor der Signalfolge
v = [v(0), . . . , v(k), . . . , v(N − 1)]T
N × N DFT-Matrix [WN ]:
[WN ]lm = W lmN ; l ,m = 0, 1, 2, . . . ,N − 1.
(l ist die Zeilennummer, m die Spaltennummer) folgt:
V = WNv (9)
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Matrixdarstellung der DFT
DFT-Spektralanalyse: Vorgehensweise
Figure : Prinzip der Spektralanalyse: Vorgehensweise (a) undInterpretation (b)
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Matrixdarstellung der DFT
Matrixdarstellung der DFT
Definitionsgemaß ([WN ]lm = W lmN ) ist WN symmetrisch, so dass
fur die transjugierte1 DFT-Matrix gilt:
W†N = W∗TN = W∗N . (10)
1konjugiert komplexe, transponierteArbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung
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Matrixdarstellung der DFT
Matrixdarstellung der DFT
Fur die DFT-Matrix gilt:
W†NWN = NIN (11)
mit IN als NxN Einheitsmatrix.
Fur die Inverse folgt
W−1N =
1
NW†N =
1
NW∗N . (12)
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Einfuhrung Definition Eigenschaften
Matrixdarstellung der DFT
Matrixdarstellung der DFT
Damit ergibt sich die IDFT aus (9):
v = W−1N V =
1
NW∗NV. (13)
Aus dem Vergleich des DFT-Transformationspaares inMatrixdarstellung (9) und (13) wird klar, dass sich Hin- undRucktransformation im Wesentlichen mit demselben Verfahrenberechnen lassen, was nutzlich ist.
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Periodizitat des Zeitsignals
Die DFT
V (n) =N−1∑k=0
v(k)e−j2πNkn (14)
entspricht einer Abtastung der DTFT
V(e jΩ)
=∞∑k=0
v(k)e−jkΩ, (15)
im Frequenzbereich. Aus der Abtastung im Frequenzbereich mitdem Deltakamm δ 2π
Nwird wegen
IDTFT(X (e jΩ) · Y (e jΩ)) = x(k) ∗ y(k) (16)
eine Faltung von v(k) mit dem Deltakamm δN im Zeitbereich.
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Einfuhrung Definition Eigenschaften
Periodizitat des Zeitsignals
Also wird das Signal v(k), k = 0, 1, . . . ,N − 1, zu einer Periode deszeitlich unbegrenzten, nichtkausalen, periodischen Signals
vp (k) = v((k)N), k = . . .− 1, 0, 1, . . . (17)
Diese kurze Schreibweise benutzt die Modulo-Arithmetik:
(k)N = k mod N ∈ 0, 1, . . . ,N − 1 ∀k ∈ Z. (18)
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Periodizitat des Zeitsignals
Die Zusammenhange sind hier fur N = 5 gezeigt [2]:
Figure : Periodizitat von diskretem Signal v(k) und zugehorigemDFT-Spektrum V (n) . Hieraus wird klar, dass das Spektrum einer langenFolge mit M > N nur dann mit der DFT der Lange N korrekt berechnetwird, wenn es N-periodisch ist.
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Faltung
Bisher wurde die lineare (aperiodische) Faltung behandelt:
ylin(k) = v1(k) ∗ v2(k) =N−1∑ν=0
v1(ν)v2(k − ν)zT←→ V 1(z) · V 2(z),
wobei sich die Lange des Faltungsprodukts N = M1 + M2 − 1 ausden Langen Mi der Einzelsignale v i (k) ergibt.
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Faltung
Ahnlich gilt fur die DFT mit der zyklischen bzw. periodischenFaltung (Faltung periodischer Signale gleicher Periode N, wobeidas Ergebnis wieder N-periodisch ist [1]):
Faltungssatz der DFT
y ((k)N) = v1(k) ~ v2(k)
=N−1∑ν=0
v1(ν)v2 ((k − ν)N)DFT←→ V 1(n) · V 2(n) (19)
So wie die lineare Faltung ist die zyklische Faltung eine lineareOperation, sie ist kommutativ und assoziativ.
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Faltung
Zyklische und lineare Faltung sind hier gegenubergestellt. Nur diegrau hinterlegten Werte der beiden Ergebnisse derFaltungsoperationen sind identisch:
Figure : Vergleich von linearer und zyklischer Faltung: M1 = M2 = 4 [2]Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung
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Einfuhrung Definition Eigenschaften
Faltung
(a) linear
(b) zyklisch
Figure : Lineare und zyklische Faltung: M1 = M2 = 4 [2]Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung
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Einfuhrung Definition Eigenschaften
Faltung
Wie kann die zyklische Faltung zur Berechnung der beiLTI-Systemen interessierenden linearen Faltung verwendet werden?
Dazu setzt man zwei Signale (bzw. Signal und Impulsantwort)endlicher Lange M1 und M2 voraus.
Das Ergebnis der linearen Faltung hat die LangeN = M1 + M2 − 1.
Also mussen beide Signale durch Anfugen von Nullen auf diegemeinsame Lange N verlangert werden.
Das Ergebnis der zyklischen Faltung der Lange N mit diesenso modifizierten Signalen ist identisch mit dem der linearenFaltung: Abb. 6.
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Faltung
Figure : Zyklische und lineare Faltung von zwei Folgen der LangeM1 = 33, M2 = 24, v i (k): vi (k) mit Zero-Padding [4]
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Faltung
Zur Herleitung der zyklischen Faltungsbeziehung (19) wird dieIDFT verwendet:
IDFT V 1(n) · V 2(n) =1
N
N−1∑n=0
V 1(n)V 2(n)W−knN
=1
N
N−1∑n=0
N−1∑p=0
v1(p)W pnN
N−1∑q=0
v2(q)W qnN
W−knN
=N−1∑p=0
N−1∑q=0
v1(p)v2(q)1
N
N−1∑n=0
W−(k−p−q)nN .
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Faltung
Weil wegen der Summenorthogonalitat der Drehfaktoren (11) furi ∈ Z
1
N
N−1∑n=0
W−(k−p−q)nN = δ((k−p−q)N) =
1 fur k = iN + p + q,
0 fur k 6= iN + p + q,
gilt, kann in (20) p = (k − q)N oder q = (k − p)N eingesetzt undeine der Summationen eliminiert werden. Daraus folgt:
V 1(n)·V 2(n)DFT←→
N−1∑p=0
v1(p)v2((k−p)N) =N−1∑q=0
v1((k−q)N)v2(q).
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Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 10 - Diskrete Fouriertransformation
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Multiplikation, Linearitat, Verschiebung, Energieerhaltung
MultiplikationssatzDie Herleitung des Multiplikationssatzes entspricht der derzyklischen Faltung, man muss nur Frequenz- und Zeitbereichvertauschen. Ergebnis:
Multiplikationssatz der DFT
v1(k) · v2(k)DFT←→ 1
N
N−1∑p=0
V 1(p)V 2 ((n − p)N)
=1
N
N−1∑q=0
V 1((n − q)N)V 2(q)
=1
NV 1(n) ~ V 2(n)
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Einfuhrung Definition Eigenschaften
Multiplikation, Linearitat, Verschiebung, Energieerhaltung
Eigenschaften
LinearitatEntsprechend der Definition als Matrixmultiplikation ist die DFTlinear.
Zyklische VerschiebungVerschiebt man ein Signal v(k) der Lange N, um lT nach rechts(Verzogerung l < 0) oder nach links (l > 0), dann entspricht dieswegen (17) und (18) einer zyklischen Verschiebung.
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Multiplikation, Linearitat, Verschiebung, Energieerhaltung
Zyklische Verschiebung
Man kann schreiben v ((k + l)N) = vp (k + l) .Weil vp(k + l) eine zweiseitige (nichtkausale) Folge reprasentiert,gilt der Verschiebungssatz der zT fur zweiseitige Signale:Verschiebung um l Samples entspricht Multiplikation mit z l .
Aus z l = e jlΩn = e j2πNnl = W−nl
N folgt
Verschiebungssatz der DFT
DFT v ((k + l)N) = V (n)W−nlN
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Multiplikation, Linearitat, Verschiebung, Energieerhaltung
Parsevalsche Beziehung der DFT
Die Herleitung der Parsevalschen Beziehung geht am einfachstenmit der Matrixdarstellung der DFT. Es gilt mit (9) und (11):
‖V‖22 = V†V = v†W†NWNv = Nv†v = N‖v‖2
2. (20)
Damit ergibt sich die Parsevalsche Beziehung in der ublichen Form:
‖v‖22 =
N−1∑k=0
|v(k)|2 =1
N
N−1∑n=0
|V (n)|2 =1
N‖V‖2
2. (21)
So kann die Energie bzw. Leistung uber die l2-Norm im Zeitbereichoder im Frequenzbereich berechnet werden.
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Multiplikation, Linearitat, Verschiebung, Energieerhaltung
Lernziele
Sie sollten die DFT und die inverse DFT von Signalenbestimmen konnen.
Sie sollten den Multiplikationssatz und den Verschiebungssatzder DFT kennen,
wissen, wie die zyklische Faltung von zwei Signalen berechnetwird,
und wie man durch zero padding aus der zyklischen Faltungeine lineare Faltung machen kann.
Sie sollten aus der Signalenergie im DFT-Bereich dieSignalenergie im Zeitbereich berechnen konnen.
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Einfuhrung Definition Eigenschaften
Multiplikation, Linearitat, Verschiebung, Energieerhaltung
Heinz Gunther Gockler.Signale und Systeme.Skript zur Vorlesung Signale und Systeme, Ruhr-UniversitatBochum, 2006.
Karl Dirk Kammeyer and Kristian Kroschel.Digitale Signalverarbeitung.5. Auflage, Stuttgart: Teubner, 2002.
R. A. Roberts and C. T. Mullis.Digital Signal Processing.Reading/MA: Addison Wesley Publ. Co., 1987.
Hans Wilhelm Schußler.Digitale Signalverarbeitung, volume 1.4. Auflage, Berlin: Springer, 1994.
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