Upload
faris-muhtadi
View
237
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/22/2019 Diktat 20 Kalkulus UI
1/33
UJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUI
Mata Kuliah : KalkulusHari/ Tanggal : Kamis/ 20 Oktober 2005Waktu : 110 menitDosen : Siti Nurrohmah
Sifat Ujian : Tutup Buku
1. (10) Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a.5
2 1x
+ b. 5 2 1x x+ <
2. (25) Diberikan fungsi:
0, -4 x -1
1, 0< x-1 2
( ) 1
0, x = 3
1, 3 < x 4
f x x
7/22/2019 Diktat 20 Kalkulus UI
2/33
a.2(ln )
dx
x x b.
cos
1 sin
xdx
x c. 21
x
x
edx
e
d.2
2 4
6 5
xdx
x x
+
+ e. cos(ln3 )x dx f.
3
2 ( 2)
dz
z z z+ g. 2 cos
dx
x+
7/22/2019 Diktat 20 Kalkulus UI
3/33
5 2 1
5 1 2
5 1 2 2 2
6 2 2
9 2
11
x x
x x
x x x
x
x
x
+
5 0
5
x
x
+
2 0
2
x
x
0, 4 1
1,0 1 2
( ) 1
0, 3
1,3 4
x
xf x x
x
x
<
< >
1 2
2 1 3
1 3
x
x
x
=
> = =
= =
b. di x = -1
1
1 1
1
lim 0 0
lim ( ) lim ( )1 1lim
1 2
x
x x
x
f x f x
x
+
+
=
=
f(x) di x = -1 diskontinu dan jenisnya diskontinu melompat yang tidak bisadihapuskan karena
1 1lim ( ) lim ( )
x xf x f x
+
.
di x = 1
1
1
1lim
1
1lim
1
x
x
x
x
+
=
=
Karena1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x +
maka di x = 1, fungsi diskontinu dan tidak dapat
dihapuskan.
di x = 3
3
3
1 1lim
1 2
lim 1 1
x
x
x
+
=
=
Karena3 3
lim ( ) lim ( )x x
f x f x +
, f(x) di = 3 diskontinu dan jenisnya diskontinu
melompat yang tidak dapat dihapuskan.
3a.
3b.
7/22/2019 Diktat 20 Kalkulus UI
5/33
( )
( )
( )
22
22
22
2lim
3
2 1lim 1
4 332
lim 03
x
x
x
x
x
x
xx
x
+
> = =
> =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
11 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
ln
1 1 1' . . 2 2 '
21
' 1.2 '
2
'
' '
' '
'
yarctg x y
x
y x y x x y x yy
y x yx
y yx x yy
x x x y
y yx x yy
x x
xy y x yy
xy yy x y
x y
y x y
= +
+ = + +
+ +
= +
+
= +
= +
= +
+=
3 2
2 3 2
1
2 0
3 ' 2 ' 0
gradien garis singgung = f'(1)
3 ' 2 ' 0
2 ' 5
5'2
persamaan garis singgung:
(1) '(1)( )
51 ( 1)
2
5 7
2 2
x y x y
x y x y xy x y
y y
y
y m
y f f x x
y x
y x
+ =
+ + + =
+ + + =
=
=
=
=
= +
3c.
Karena2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x +
, maka limit di atas tidak mempunyai nilai.
4a.
4c.
7/22/2019 Diktat 20 Kalkulus UI
6/33
( )
( )
2
1
2
1 11 1 1 1
1 1 1 1
1 2 1 1
2 2 1
1(1 ') 2. 1 .
2
'.1
'.1
11 11 1
'1
1'
x xy
xx x
x y x x
x y x x
x y x x x
xx y x y x
x
xx y x x y
x
xx x y y
xx x
x y y x
x
ee ee
ee e
e e e e
e e eturunan I
e y e e e
ee y e e
e
ey e e e
e
ee e e e ee e
ye e e e
ey
+
+
+ +
+ +
+ + + = =
+ + +
= + + +
= + +
+ = +
+ =
+
=
+
++ += =
+
+=
( )
( )
. 1 1 1
1 1
1 1 1'
1
1 1'
y x x
y x x
x y x x
y x
x y x y x
y y x
e e e
e e e
e e e ey
e e
e e e ey
e e e
+
+ +
+ +
+ + +=
+
+ +=
+
2 2
2
2
3
3
( )1
( 1) 1. '( )
( 1) ( 1)
'( ) 0 1 0
( ) tidak memiliki nilai max. atau min.
1 '( ) selalu negatif untuk x R
( 1)
. '( ) ( 1)
2 ''( ) 2( 1)
( 1)
''( ) 0 ti
xf x
x
x xa f x
x x
f x x x
f x
f xx
b f x x
f x xx
f x
=
= =
=
=
=
= =
=
3 3
dak ada nilai yang memenuhi
f(x) tidak mempunyai titik balik
f cekung ke atas f cekung ke bawah
2 2 0 0
(x - 1) (x - 1)
x > 1
> >
x < 1
4b.
5b.
7/22/2019 Diktat 20 Kalkulus UI
7/33
2
1
2 2
1
(ln )misal :
ln
1
1
(ln )
1(ln )
ln
dx
x x
u x
du dxx
dxdu u c
x x u
x c cx
=
=
= = +
= + = +
2
2 4
6 5
2 4
( 5)( 1) ( 5) ( 1)
( 1) ( 5) 2 4
31 4 6
2
7
5 4 14 2
7 3
2 5 2 1
7 ( 5) 3 ( 1)
2 5 2 1
7 3ln 5 ln 1
2 2
x
x x
x A B
x x x x
A x B x x
x B B
x A A
dx dx
x x
d x d x
x x
x x c
+
+
+=
+ = +
= = =
=
=
=
=
=
= +
cos(ln 3 ) cos(ln 3 ) cos(ln 3 )
1cos(ln 3 ) cos(ln 3 ) sin(ln 3 ). .3
3
cos(ln 3 ) cos(ln 3 ) sin(ln 3 ) (ln 3 )
1cos(ln 3 ) cos(ln 3 ) sin(ln 3 ) cos(ln 3 ). .3
3
2 cos(ln 3 ) cos(ln 3 )
x dx x x xd x
x dx x x x x dxx
x dx x x x x xd x
x dx x x x x x x dxx
x dx x x
=
= +
= +
= +
=
[ ]
sin(ln3 )
1cos(ln 3 ) cos(ln 3 ) sin(ln 3 )
2
x x
x dx x x x c
+
= + +
Jadi, f cekung ke atas pada interval x > 1
f cekung ke bawah pada interval x < 1
6a.
6d.
6e.
7/22/2019 Diktat 20 Kalkulus UI
8/33
UJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUI
Mata Kuliah : KalkulusHari/ Tanggal : Senin/ 17 Oktober 2005Waktu : 100 menitDosen : Sarini Abdullah, S.Si, M.StatsSifat Ujian : Tutup Buku
1. (20) Pilih salah satu dari dua soal berikut ini:
a. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan3
4 2 1 .xx
<
b. Tentukan domain dan daerah hasil untuk fungsi 2, 0
( ) , 0 2
3 , 2
x jika xf x x jika x
x jika x
7/22/2019 Diktat 20 Kalkulus UI
9/33
c.2 2 5
dx
x x+ + d.
2
9
xdx
x
1. (20) Dua pojok sebuah persegi panjang berada pada sumbu X dan dua yanglainnya pada parabola y=12 - x2 , 0y . Berapa ukuran persegi panjang
semacam ini agar luasnya maksimum?
7/22/2019 Diktat 20 Kalkulus UI
10/33
( )
( )
( ) ( )
( )( )
22
22
2 2
3
4 2 1
34 4 1
34 2 1 0
3 34 2 1 4 2 1 0
3 32 2 2 6 0
3 32 2 2 6 0
3 2 2 3 2 6 0
xx
xx
xx
x xx x
x x
x x
x x x xx x
x x x x
<
<
7/22/2019 Diktat 20 Kalkulus UI
11/33
] ]
3
1
2 3
1 2
2 32 2
1 2
2 2 2; 2
dan 2; 2
2 2
1 12 2
2 2
1 1(4 1) 2(1) (9 4) 2(1)
2 2
3 52 2
2 2
1
x dx x x x
x x
x dx x dx
x x x x
+