i

DIKTAT I

MATEMATIKA EKONOMI(Peranan Matematika Ekonomi, Himpunan Dan Sistem Bilangan)

OLEH:GEDE MEKSE KORRI ARISENA

PROGRAM STUDI AGRIBISNISFAKULTAS PERTANIANUNIVERSITAS UDAYANA

2017

i

DIKTAT I

MATEMATIKA EKONOMI(Peranan Matematika Ekonomi, Himpunan Dan Sistem Bilangan)

OLEH:GEDE MEKSE KORRI ARISENA

PROGRAM STUDI AGRIBISNISFAKULTAS PERTANIANUNIVERSITAS UDAYANA

2017

i

DIKTAT I

MATEMATIKA EKONOMI(Peranan Matematika Ekonomi, Himpunan Dan Sistem Bilangan)

OLEH:GEDE MEKSE KORRI ARISENA

PROGRAM STUDI AGRIBISNISFAKULTAS PERTANIANUNIVERSITAS UDAYANA

2017

ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Ida Sang Hayang Widhi Wasa karena

dengan rahmat dan karunia, penulis dapat menyelesaikan Diktat Mata Kuliah

Matematika Ekonomi, meskipun banyak kekurangan didalamnya. Dan juga kami

berterima kasih pada semua penulis yang tulisannya menjadi bahan acuan kami untuk

memperkaya khasanah ilimu di dalam penulisan Diktat ini.

Diktat ini dibuat tidak untuk di perjual belikan, tetapi diharapkan mampu

menambah pengetanuan tentang ilmu Matematika Ekonomi di lingkungan Fakultas

Pertanian Universitas Udayana. Kami sangat berharap Diktat ini dapat berguna dalam

rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita mengenai ilmu Matematika

Ekonomi.

Penulis juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam Diktat ini terdapat

kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, penulis berharap adanya

kritik, saran dan usulan demi perbaikan Diktat yang telah kami buat di masa yang

akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang

membangun.

Semoga Diktat sederhana ini dapat berguna bagi penulis sendiri maupun orang

yang membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-

kata yang kurang berkenan dan kami memohon kritik dan saran yang membangun

dari pembaca demi perbaikan makalah ini di waktu yang akan datang.

Penyusun

Gede Mekse Korri Arisena

iii

CURRICULUM VITAE

Dr.Gede Mekse Korri Arisena,SP.,M.Agb, lahir di Denpasar pada tanggal 11 Maret

1985, anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan suami istri Drs. Gede Suarjana

M.si dan Ir. Made Susiawati.

Pada tahun 1996 menamatkan pendidikan di Sekolah Dasar Negeri 6 Ubung dan

SLTPN 10 Denpasar pada tahun 1999. Pada tahun 2002 lulus dari SMUN 1 Kuta dan

melanjutkan studi di Jurusan Sosial Ekonomi Pertanian Fakultas Pertanian Universitas

Udayana dan berhasil meraih gelar Sarjana tahun 2006. Berhasil meraih gelar Magister

Agribisnis pada tahun 2009 dan di tahun yang sama melanjutkan pendidikan pada

Program Doktor Ekonomi Pertanian Universitas Brawijaya.

Tahun 2014 diterima sebagai CPNS dosen di Jurusan Agribisnis Fakultas Pertanian

Universitas Udayana dan di tahun yang sama menikah dengan Putu Eka Pujawati

SE,MM dan dikaruniai seorang anak pada maret 2015 yang bernama Putu Hira Adara

Korri.

iv

DAFTAR ISI

Halaman

JUDUL ................................................................................................ i

KATA PENGANTAR ........................................................................ ii

CURRICULUM VITAE.................................................................... iii

DAFTAR ISI........................................................................................ iv

BAB I. MATEMATIKA EKONOMI ................................................. 1

BAB II. HIMPUNAN ......................................................................... 28

BAB III. SISTEM BILANGAN.......................................................... 44

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ 48

LAMPIRAN......................................................................................... 49

1

MATEMATIKA EKONOMI

MATEMATIKA

Ilmu matematika adalah salah satu cabang dari ilmu-ilmu logika. Ilmu

matematika menyediakan kepada kta kerangka kerja sistematis untuk mempelajari

segala hubungan kejadian yang bersifat kuantitatif.

Dalam perkembangannya lebih lanjut ilmu matematika banyak dipergunakan

pada berbagai bidang disiplin ilmu pengetahuan. Ilmu matematika dipelajari di

fakultas Teknik, Pertanian, Kedokteran, Ekonomi dan lain-lainnya yang masing-

masing memiliki warna penyampaian tersendiri dengan tidak pernah meninggalkan

konsep-konsep dasar yang melekat pada ilmu matematika itu sendiri. Dengan begitu

didalam pemakaian sehari-hari ilmu matematika tidak lagi sekedar diajarkan hanya

menggunakan konsep-konsep konkrit disesuaikan dengan bidang-bidang kajian

terapannya sendiri.

Ilmu matematika dibedakan antara ilmu matematika murni ( a pure

mathematics) dan ilmu matematika terapan (an applied mathematics). Pada ilmu

matematika murni segala definisi atau aksioma dan asumsi dinyatakan secara tepat

dengan menggunakan simbol-simbol, dan untuk memperoleh konklusi dideduksi

melalui proses analisis berdasarkan kepada definisi dan asumsi-asumsi yang sudah

dibuat sebelumnya. Simbol-simbol pada ilmu matematika murni adalah

menggambarkan konsep-konsep abstrak yang sifat-sifatnya ditentukan melaui

definisi-definisi yang telah ditentukan sebelumnya. Sebaliknya pada ilmu matematika

2

terapan segala simbol yang digunakan menggambarkan keadaan variabel-variabel

yang diamati pada kegiatan sehari-hari. Sifat-sifat yang melekat pada variabel-

variabel yang didefinisikan adalah ditentukan melalui observasi yang dilakukan. Pada

ilmu matematika terapan segala konklusi yang diperoleh adalah melalui deduksi yang

dilakukan didasarkan kepada definisi-definisi dan asumsi-asumsi hasil pengamatan

empiris. Dengan demikian, ketepatan konklusi yang diperoleh tergantung kepada

ketepatan empiris dari proses deduksi yang dikerjakan itu sendiri. Selanjutnya, pada

ilmu ekonomi segala konsep dinyatakan dengan menggunakan simbol-simbol.

Sebagai contoh harga barang dinyatakan dengan simbol P, kuantitas barang

dinyatakan dengan simbol Q, biaya produksi dinyatakan dengan simbol TC,

pendapatan dinyatakan dengan simbol Y, upah dinyatakan dengan simbol W, suku

bunga dinyatakan dengan simbol I, dan seterusnya. Bila variabel-variabel dinyatakan

dengan simbol-simbol dan angka-angka, maka ilmu matematika menyediakan teknik-

teknik bagi kita untuk melakukan analisis antar simbol-simbol dan angka tersebut

dari variabel-variabel ekonomi yang sedang diamati.

Simbol-simbol yang digunakan dalam ilmu matematika pada dasarnya tidaklah

bersifat mengikat. Ada simbo-simbol yang bersifat umum (common symbols), dan

ada pula simbol-simbol yang bersifat tidak umum (uncommon symbols). Simbol-

simbol yang bersifat umum adalah segala jenis simbol yang pada umumnya terdapat

dan digunakan pada teori-teori yang berlaku. Sebaliknya, simbol-simbol tak umum

adalah segala jenis simbol yang digunakan disesuaikan dengan kepentingan penulisan

simbol-simbol itu sendiri. Perbedaan penulisan simbol-simbol tersebut hanyalah

untuk memudahkan komunikasi dan pemahaman saja. Bila simbol-simbol yang

3

digunakan bersifat umum, tentunya proses komunikasi menjadi lebih dipermudah

karena maknanya sudah diketahui, sebaliknya bila simbol-simbol yang digunakan

bersifat tidak umum, maka diperlukan pendefinisian terlebih dahulu agar setiap orang

yang mempelajari pengetahuan-pengetahuan yang disampaikan dapat mengerti

maksud dari simbol-simbol yang digunakan.

Pada ilmu ekonomi segala konklusi dideduksi melalui proses analisis

matematika, ditafsirkan, dan dievaluasi melalui pengamatan empiris. Selanjutnya,

bila ternyata konklusi yang deduksi mengikuti definisi-definisi dan asumsi-asumsi

yang sudah di tentukan sebelumnya adalah tidak benar dengan bukti empiris yang

terjadi, maka ilmu matematika tidak bertanggung jawab atas kejadian-kejadian

tersebut, dan segala kesulitan yang terjadi adalah berasal dari definisi-definisi dan

asumsi-asumsi yang sudah dibuat oleh para pengguna alat itu sendiri. Ilmu

matematika tidak bisa mencegah terjadinya kelalaian-kelalaian, atau adanya ketidak

tepatan empiris dari definisi-definis variabel-variabel yang berhubungan, ataupun

adanya ketidaklengkapan dari pernyataan asumsi-asumsi yang sudah di buat. Ilmu

matematika memperlakukan segala hal tersebut sebagai sesuatu yang bersifat apa

adanya (given), dann segala keputusan yang muncul adalah mengikuti logika-logika

dari setiap definisi-definisi dan asumsi yang sudah ditentukan sebelumnya. Dengan

demikian, analisis mateematika hanya bertanggung jawab untuk segala keputusan,

atau konklusi yang hanya berhubungan dengan validitas dari definisi dan asumsi yang

sudah dibuat atau ditentukan sebelumnya.

4

MATEMATIKA DAN NONMATEMATIKA EKONOMI

Sejak matematika ekonomi hanya merupakan pendekatan dalam analisis

ekoonmi maka matematika ekonomi tidak berbeda daripada pendekatan

nonmatematis di dalam analisa ekonomi di dalam hal apapun. Tanpa melihat

pendekatannya kegunaan suatu analisa teoritis adalah menghasilkan berbagai

kesimpulan atau teori dari sekumpulan asumsi atau menerimanya sebagai dalil

melalui berbagai proses pembahasan. Perbedaan yang utama antara “matematika

ekonomi” dan kata ekonomi adalah bahwa yang pertama mempergunakan symbol

(tanda) matematis daridasa perkataan-perkataan, dan juga memakai persamaan

daripada kalimat; bahkan lebih sering dipergunakan teori matematik untuk

menghindari beban yang berat dalam suatu proses pembahasan. Sebenarnya symbol

(tanda) adalah sama saja, hanya tergantung kepada si pemakai apa yang akan

dipergunakan. Tetapi tak perlu diperbincangkan bahwa symbol (tanda) lebih mudah

dipergunakan dalam analisa deduktip dan tentu saja lebih baik dan ringkas hingga

pernyataan menjadi lebih tepat.

Pilihan antara logika sastera dan logika matematik tidak menjadi persoalan,

hanya matematika mempunyai keuntungan memaksa penganalisa menyatakan

asumsinya secara eksplisit pada tiap tingkat berfikir. Hal ini disebabkan teori

matematik biasanya dinyatakan dalam bentuk “jika-kemudian”, lalu dalam urutan

mendapatakan “kemudian” (hasil) bagi keuntungan teorinya, penganalisa harus yakin

bahwa bagian “jika” harus menunjang secara eksplisit asusmsi yang diambilnya.

Bagaimanakah mengenai metode ilmu ukur sebagai alat analisa? Ilmu ukur

adalah memang suatu cabang matematik sendiri, dan jika ia dipergunakan, secara

5

kategoris kita telah meninggalkan bahasa ekonomi. Satu keuntungan dari analisa ilmu

ukur adalah sifat penggambarannya, hingga secara relative lebih mudah ditangkap.

Dalam keuntungan ini terdapat suatu keterbatasan, mengimbangi keadaan

keterbatasan di dalam dimensi. Pembaca dapat mengingat kembali bahwa dalam

pembahasan grafis mengenai kurva indifference, misalnya, asumsi baku adalah hanya

ada dua barang untuk konsumen. Asumsi yang disederhanakan demikian sukar

diterima, tapi dipaksakan kepada kita, karena menggambar grafik yang tiga dimensi

adalah sangat sulit, dan menggambar grafik secara 4 dimensi merupakan hal yang

sama sekali tak mungkin. Jika mendapat kasus yang menangani 3,4 atau n barang,

kita toh harus kembali kepada persamaan yang begitu fleksibel. Sebab-sebab inilah

yang menyatakan lebih baik untuk mempergunakan metode matematik dibandingkan

dengan ilmu ukur.

Secara singkat, pendekatan matematika mempunyai beberapa keuntungan yang

ditemui dalam matematika. Secara jujur, kita perlu juga meneliti keburukan dari

pendekatan matematis. Keburukan yang dasar dari pendekatan matematis adalah:

Pertama bahasa matematik tidak selalu merupakan bahasa yang mudah untuk ahli

ekonomi, hingga mengakibatkan suatu kesukaran dalam menghubungkan ahli

matematik dengan nonmatematik, ini berarti, di satu pihak ahli nonmatematik tidak

dapat menemukan keuntungan dari ahli ekonomi matematik. Yang lebih penting, di

pihak lain ahli ekonomi matematik tidak dapat mencari keuntungan dari reaksi kritis

ahli ekonomi nonmatematik. Berbicara secara tepat dan sempit, sebenarnya hal di atas

bukan merupakan kekurangan dari pendekatan matematis tetapi persoalan yang

dihadapi oleh kedua ahli ekonomi ini. Sama saja, bahwa seorang teori ekonomi

6

mempergunakan pendekatan matematis menghadapi kenyataan bahwa tidak banyak

yang dapat memahami hasil penelitian yang diadakannya.

Kedua, seorang ahli ekonomi yang mempunyai dasar matematis mempunyai

kecenderungan untuk (1) membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan

dengan secara matematis dan (2) mengambil beberapa asumsi yang kurang tepat demi

memudahkan pendekatan matematis. Walaupun dia itu berhati-hati dalam hal ini, ia

jadi mempergunakan teknik matematika adalah lebih banyak daripada prinsip

ekonomi. Dengan perkataan lain, matematik adalah lebih unggul daripada ekonomi.

Hal ini tidak mengakibatkan sebenarnya kegagalan dari kedua ahli ekonomi ini.

Pembaca dapat memperhatikan bahwa tidak ada sebuah daftar kritik terhadap

pendekatan matematis: hanya teori yang disajikan secara matematis adalah tidak

realistic. Alasan mengapa kita tidak mencantumkan hal ini adalah karena kritik ini

adalah tidak valid. Sebanarnya kata tambahan “tidak realistic” tidak dapat

dipergunakan oleh ahli ekonomi di dalam teori secara umum, apakah pendekatannya

matematis atau tidak. Teori adalah suatu abstraksi dari dunia nyata. Teori adalah

wasiat untuk memisahkan beberapa factor penting dan melihat hubungannya, hingga

kita dapat mempelajari isi dari suatu masalah – bebas dari segala persoalan yang ada

di dunia yang begitu menyulitkan. Jadi, pernyataan “teori adalah kurang realistic”

adalah hal yang benar yang tidak dapat diakui sebagai kritik yang valid. Kemudian

jika secara logis tidaklah ada artinya mempersoalkan pendapat bahwa teori adalah

tidak realistis. Misalnya, teori perusahaan yang mempunyai bentuk saingan sempurna

adalah tidak realistic, karena perusahaan itu dalam keadaan persaingan imperfek, dan

7

kemudianapakah hal in dibahas secara matematis atau tidak, adalah tidak relevan dan

immaterial.

Dalam keseluruhan dapat dikatakan bahwa pendekatan matematis adalah

“metode of transportation” yang dapat membawa pemikiran dari beberapa pokok

kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat. Tidaklah mengherankan jika

seseorang akan menempuh jarak 2 mil dia akan naik mobil daripada jalan kaki,

kecuali jika waktunya banyak terluang atau melakukan olah raga. Seorang ahli

matematik akan mengadakan pemikiran secara cepat, bahwa orang tersebut harus

belajar dulu menyupir, sedangkan waktu untuk itu tidak mencukupi, dan unutk

mendapat pengendara mobil yang baik dia perlu pengetahuan matematik. Social

Research Council menyarankan agar harus mengerti matematik dalam bidang: teori

himpunan, fungsi, himpunan, kalkulus, probabilitas, teori matriks, persamaan

differensial, partial differentiation dan integrasi multiple. Dengan sendirinya tidak

mungkin untuk membahas topic ini satu persatu secara mendetail dalam buku ini,

tetapi pembaca dapat menemuinya dalam bentuk sederhana di halaman-halaman

berikutnya.

MATEMATIKA EKONOMI

Matematika ekonomi sebagai cabang ilmu ekonomi membahas masalah-

masalah ekonomi dengan menggunakan pendekatan dan lambang- lambang ekonomi.

Pembahasan pada matamatika ekonomi memanfaatkan konsep dan tehnik

perhitungan yang relevan untuk memecahkan masalah- masalah ekonomi. Dalam

mempelajari matematika ekonomi topic-topik matematika murni yang di gunakan,

8

misalnya fungsi, kalkulus, himpunan, deret dan matriks. Topik- topic ini lah yang di

pakai dalam penerapan ekonomi.

Berbeda halnya dengan matematika murni , yang menggunakan simbil-simbol

yang umum di gunakan , yaitu x, y, z, symbol- symbol dalam matematika ekonomi

sesuai dengan variable ekonominya, misalnya harga (P=price), kualitas (Q=quqntiti),

biaya (C=consumption), dan lain- lainnya. Pada matematika ekonomi nilai- nilai

variable harus bernilai positif. Matematika ekonomi tidak mengenal variable yang

nilainya negative. Dengan demikian secara grafis nilai- nilai variable ekonomi hanya

berlaku pada kwadran pertama.

Model ekonomi adalah abstraksi tentang hubungan ekonomi untuk

menyederhanakan penanganan masalah- masalah ekonomi yang kompleks. Model

ekonomi di bentuk untuk untuk mempelajari tingkah laku yunit-yunit ekonomi dalam

hubungannya dengan kegiatan- kegiatan ekonomi , misalnya kegiatan produksi ,

konsumsi, dan distribusi barang dan jasa. Bentuk model ekonomi antara lain:Fungsi

umum kualitatif, yaitu suatu model ekonomi atau persamaan yang menunjukkan

perubahan perilaku sebagai akibat perubahan lain yang ada hubungannya. Misalnya

perubahan perilaku konsumsi sebagai akibat dari pendapatan nasional, atau

perubahan permintaan barang sebagai akibat perubahan harga barang lain.

Model table atau grafik, yaitu untuk melengkapi bentuk fungsi umum yang

bersifat kualitatif seringkali di anggap tidak cukup. Ekonomi akan melengkapinya

dengan ilustrasi angka- angka dan di nyatakan dalam bentuk table yang kemudian di

gambarkan dalam grafik.Fungsi aljabar atau matematis , dalam membuat model-

model aljabar atau matematis yang penting di perlukan adalah bentuk persamaan

9

(equantion) dengan unsur- unsur utamanya : variable , konstanta, koefisien, dan

parameter. Variabel adalah suatu yang nilainya dapat berubah- ubah dalam suatu

masalah tertentu. Konstanta adalah sesuatu yang nilainya tetap atau tidak berubah.

Jika konstanta dengan variable digabungkan menjadi satu, maka angka konstanta

yang ada di depan variable di sebut koevisien dari variable tersebut.

Matematika ekonomi adalah cabang ilmu ekonomi yang tidak berbeda dengan

keuangan Negara atau perdagangan internasional. Matematika ekonomi dapat

digunakan dalam berbagai ilmu lain seperti ekonomi makro maupun ekonomi

mikro, keuangan Negara, ekonomi perkotaan, metode kuantitatif dan

sebagainya yang membutuhkan alat analisa dalam pendekatannya.

Matematika ekonomi adalah aplikasi matematika metode , untuk mewakili

teori ekonomi dan menganalisis masalah yang diajukan dalam ekenomi.

Matematika ekonomi sebenarnya mencakup pengertian-pengertian, berisi

dalil-dalil, dan rumus-rumus serta teknik-teknik penggunaan matematika

dalam pembahasan persoalan ekonomi.

Dari pengertian di atas dapat disimpulkan bahwa matematika ekonomi adalah

suatu pendekatan yang digunakan dalam ekonomi untuk menganalisis masalah

ekonomi dengan menggunakan simbol-simbol matematis yang disyaratkan dalam

suatu permasalahan ekonomi. Fungsi matematika dalam ekonomi adalah mewakili

teori ekonomi dan menganalisis masalah yang diajukan dalam ekonomi.

Sebelum matematika ekonomi diadopsi secara luas, teori ekonomi masih

mengandalkan analisis grafik, namun analisis ini terkendala oleh visualisasi yang

10

hanya terbatas pada dua dimensi karena visualisasi lebih dari dua dimensi tidak

mudah dipahami. Baru setelah tahun 1950, perkembangan matematika ekonomi

semakin pesat seiring berpindahnya para ahli matematika menjadi akademisi ekonomi

seperti Kenneth Arrow, Gerard Debrau, Frank Hahn dan Hidenbrandt. Dengan bahasa

matematika penggunaan ekspresi verbal digantikan dengan simbol-simbol

matematika sehingga penyampaian ide bisa lebih efisien, lebih akurat, dan lebih

sitematis.

Sifat-sifat matematika ekonomi

Bahasa yang dipergunakan ringkas dan tepat

Kaya akan dalil-dalil matematis sehingga mempermudah pemakaiannya

Mendorong mendorong kita untuk menyatakan asumsi-asumsi secara jelas

sebagai prasyarat mempergunakan dalil matematis

Memungkinkan untuk mempergunakan sebanyak n vaeiabel

Kegunaan matematika dalam ekonomi

Menyediakan dalil-dalil matematis sehingga mempermudah ekonomi dalam

menuangkan kenyataan dalam symbol-simbol.

Banyak menggunakan variable dalam menuangkan keadaan model

matematika.

Untuk menguji kebenaran teori ekonomi.

Meramalkan gerak perkembangan nilai variable ekonomi.

Membantu menghasilkan model ekonomi.

11

Merumuskan hubungan variabel ekonomi dalam bentuk matematis.

Penyajian masalah ekonomi dengan lebih sempurna.

Alat bantu untuk memprediksi fenomena ekonomi.

Menyederhanakan, menyajikan data yang komplek dalam bentuk yang

sederhana.

Menggambar konsep dengan lugas.

Matematika ekonomi bukanlah merupaan cabang ilmu ekonomi yang lain,

seperti ilmu keuangan negara atau ekonomi internasional. Juga merupakan

pendekatan untuk analisa ekonomi, di mana ahli mempergunakan simbol (tanda)

matematis dalam ungkapan yang hendak diberikan dan memberikan gamabaran

matematis dalam ungkapan yang hendak diberikan dan memberikan gambaran

matemtis dalam pembahasannya. Dalam hal ini matematika ekonomi dapat

dipergunakan dalam teori ekonomi makro dan mikro atau ilmu keuangan negara, atau

dalam pembangunan dan lain-lain.

Dalam arti yang luas matematika ekonomi hampir dipergunakan dalam semua

textbox ekonomi sejauh mungkin seperti penggunaan metode ilmu ukur untuk

mendapatkan hasil teoritis. Kegunaan seperti tersebut di atas ini terlalu umum.

Lazimnya, matematika ekonomi dipersiapkan untuk menjelaskan kasus-kasus yang

memakai teknik ekonomi selain geometri sederhana, seperti matriks diferensial dan

integral, persamaan diferensial, dan teori himpunan. Tujuan dari buku ini adalah

memperkenalkan pembaca kepada dasar-dasar metode matematika apa yang

dipergunakan sehari-hari dalam buku-buku ekonomi.

12

Seperti kita ketahui bahwa timbulnya ilmu ekonomi terutama karena adanya

masalah keterbatasan atau kelangkaan (scarcity). Ilmu ekonomi bertujuan untuk dapat

membantu pemecahan masalah yang timbul dalam usaha-usaha pengoptimalisasian

kemanfaatan atau kegunaan (utility) yang dilakukan dalam keterbatasan atau

kelangkaan. Masalah-masalah ini tentunya tidak dapat terlepas dari hubungan antara

satu variable ekonomi dengan variable ekonomi lain yang mempengaruhinya.

Pembahasan dalam ilmu ekonomi sering dilakukan dengan menggunakan dasar

anggapan atau asumsi bahwa keadaan atau variable ekonomi lainnya tetap (ceteris

paribus). Dengan demikian, dalam pembahasan tersebut selalu menekankan perhatian

pada hubungan satu variable dengan variable lain yang mempengaruhinya atau

hubungan antara variabel-variabel yang saling mempengaruhi (hubungan kausal). Hal

itu melalui pembatasan anggapan atau asumsi bahwa variabel-variabel yang tidak di

bahas atau diperhatikan adalah tetap/tidak berubah.

Dilihat dari pendekatan (approach) yang dilakukan dalam pembahasan masalah

ekonomi, masalah itu terutama berintikan hubungan suatu variabel dengan variabel

lain yang mempengaruhinya, atau hubungan antara variabel-variabel yang saling

mempengaruhi. Maka,pendekatan tersebut dapat dikelompokan ke dalam dua macam

pendekatan. Pendekatan-pendekatan tersebut dapat dinyatakan sebagai pendekatan

yang bersifat kualitatif dan pendekatan yang bersifat kuantitatif/matematis.

Untuk dapat lebih menghayati usaha pendekatan yang dapat dilakukan dalam

pembahasan persoalan-persoalan masalah-masalah ekonomi. Maka, tulisan ini

sekedar membantu dengan memberikan peralatan yang dibutuhkan dan dapat

digunakan. Peralatan-peralatan tersebut dikenal dengan istilah “Matematika

13

Ekonomi”. Matematika ekonomi sebenarnya mencakup pengertian-pengertian ,dalil-

dalil dan rumus-rumus, serta teknik-teknik penggunaan matematika dalam

pembahasan persoalan-persoalan/masalah-masalah ekonomi.

Dalam tulisan Matematika Ekonomi ini akan diuraikan mengenai beberapa

peralatan matematika yang penting berserta aplikasinya dalam ekonomi, yaitu;

1. himpunan/kumpulan (set);

2. permutasi dan kombinasi;

3. fungsi dan aplikasinya dalam ekonom;

4. diferensial dan integral serta aplikasinya dalam ekonomi;

Sudah tentu bahwa peralatan matematika yang dapat digunakan dalam

pembahsan ilmu ekonomi tidak hanya apa yang dapat diuraikan dalam tulisan ini.

Tulisan ini hanya sekedar permulaan untuk dapat dilanjutkan dengan penguasaan

peralatan-peralatan matematika lainnya yang lebih rumit seperti aljabar linear, linear

programming dan ekonometer. Setiap pengetahuan pada dasarnya memiliki

kegunaan tersendiri. Begitu juga halnya dengan ilmu matematika ekonomi, ilmu ini

pun memiliki beberapa kelebihan. Melalui teknik-teknik matematika yang disediakan

memungkinkan para pengguna peralatan dapat :

a. Mendefinisikan variabel-variabel yang relevan secara lebih tepat.

b. Menyatakan asumsi-asumsi yang dibuat secara lebih jelas.

c. Menjadi lebih logis di dalam mengembangkan analisis

d. Menampung sejumlah besar variabel pengamatan daripada dinyatakan secara

kualitatif.

14

e. Lebih efisien dan efektif di dalam penyampaiannya.

Setiap simbol yang digunakan di dalam matematika hanyalah mewaili

penjelasan untuk satu variabel yang diamati saja sehingga dengan demikian hal ini

tidaklah memungkinkan akan terjadinya pengertian bersfat ganda. Sekali satu simbol

tersebut digunakan untuk menyatakan variabel yang diamati, maka untuk selanjutnya

simbol tersebut tetap memiliki pengertian yang sama pada jalur pengamatan yang

sama. Misalnya, biaya rata-rata (AC) didefinisikan sebagai perbandingan antara biaya

total (TC) dengan banyaknya output yang dihasilkan (Q). Secara aljabar definisi

biaya rata-rata rata dapat dinyatakan sebagai, AC = TC/Q. Begitupun halnya

keuntungan (P) yang didefinisika sebagai selisih antara penjualan (TR) dan total

biaya produksi untuk menghasilkan barang yang bersangkutan (TC), maka secara

aljabar definisi keuntungan dapat ditulis sebagai, P =TR-TC. Simbol-simbol tersebut

akan selalumemiliki arti yang sama selama proses analisis kejadian-kejadian tersebut

berlangsung.

Begitu juga halnya di dalam menyatakan asumsi-asumsi yang ditentukan, maka

segala pernyataan yang disampaikan dengan ilmu matematika akan semakin jelas.

Sebagai contoh, harga jual (P) adalah berhubungan positif dengan banyaknya barang

yang dipasok ke dalam pasar (Qs), secara matematikaasumsi ini dapat ditulis, Qs =

bP. Contoh lainnya, pengeluaran impor bergabung kepada pendapatan nasional (Y)

dan impor tidak terjadi bila tidak ada pendapatan, secara matematika asumsi ini

ditulis sebagai, M = mY. Atau variasi lainnya, pengeluaran konsumsi rumah tangga

(C) sebanyak-banyaknya sama dengan pendapatan rumah tangga setelah pengeluaran

pajak (Yd), secara matematika asumsi ini dapat ditulis sebagai, C ≤ Yd.

15

Hal yang sama bila kita ingin mengembangkan analisis tehadap persoalan-

persoalan ekonomi yang diamati, maka dengan menggunakan ilmu matematika, kita

akan memperoleh hasil yang lebih logis. Ilmu matematika seperti diketahui ia

menggunakan ukuran-ukuran yang bersifat kuantitatif, dengan demikian kebenaran-

kebenaran ilmiahyang disampaikan pada analisis ekonomi yang sudah dikerjakan

menggunakan pendekatan matematika adalah benar menurut logika-logika kuantitatif

dari metode-metode yang digunakan. Segala teknik analisis yang disajikan pada ilmu

matematika telah dibangun sedemikian rupa dengan menggunakan sejumlah defenisi

dan asumsi mengikuti logika-logika yang ditentukan sebelumnya.Berbagai persamaan

dan pertidaksamaan yang telah disusun tersebut mereka hanya tunduk kepada aturan-

aturan atas logika-logika ilmiah yang telah dikembangkan sebelumnya, dan logika-

logika tersebut tiaklah bermakna ganda.Dengan demikian, melalui cara-cara tersebut

sudah barang tentu adalah tidak mungkin satu persamaan ataupun pertidaksamaan

yang sudah dikembangkan sebelumnyaakan memiliki tafsiran-tafsiran yang

meragukan.Karena itu setiap analisis yang dikerjakan dengan ilmu matematika

menjadi masuk akal daripada analisis yang dikembangkan dengan menggunakan

pendekatan teknik kualintatif yang tidak menggunakan ukuran kuantitatif.

Kelebihan lainnya adalah metode matematika dapat menampung sejumlah besar

variabel yang diamati untuk dianalisis, dan dituliskan pada satu persamaan ataupun

pertidaksamaan yang ditentukan. Ilmu matematika menggunakan asumsi-asumsi di

dalam menyatakan hubungan-hubungan variabel yang diamati, dan menyederhanakan

proses analisis yang dikerjakan. Dengan demikian, tanpa ilmu matematika proses

analisis yang sudah dikerjakan sebelumnya kelihatan menjadi panjang lebar,

16

selanjutunya dengan menggunakan teknik-teknik matematika yang dikerjakan

sedemikian rupa memungkinkan penyampaian analisis persoalan menjadi lebih

sederhana. Data hasil-hasil pengamatan yang sebelumnya jumlahnya relative banyak,

berserakan, dan terlihat bertele-tele, kemudian setelah diproses dengan menggunakan

teknik matematika yang berlaku maka penampilannya menjadi sederhana dan tidak

perlu menggunakan ruang pembahasan yang lebih luas dan besar.

Terakhir, karena ilmu matematika dapat menghemat ruang untuk penyajiannya

maka deksripsi-deksripsiilmiah yang disampaikan dengan menggunakan pendekatan

ilmu matematika menjadi lebih efisien. Begitu pula halnya dengan logika-logika yang

dibangun dan dikembangkan pada analisis matematika, segala ukuran-ukuran yang

dimilikinya adalah bersifat pasti, dengan demikian segala kesimpulan, atau keputusan

yang dideduksi melalui asumsi dan definisi yang telah ditentukan sebelumnya

menjadi lebih masuk akal dan tepat.

Sejak matematika ekonomi hanya merupakan pendekatan dalam analisa

ekonomi maka matematika ekonomi tidak hanya berbeda daripada pendekatan

nonnmatematis di dalam analisa ekonomi di dalam hal apapun. Tanpa melihat

pendekatannya kegunaan suatu analisa teoritis adalah menghasilkan berbagai

kesimpulan atau teori dari sekumpulanasumsi atau menerimanya sebagai dalil melalui

berbagai proses pembahasan. Perbedaan yang utama antara “matematika ekonomi”

dan kata ekonomi adalah bahwa yang pertama menggunakan simbol (tanda)

matematis daripada perkataan-perkataan, dan juga memakai persamaan daripada

kalimat ; bahkan lebih sering dipergunakan teori matematika untuk menghindari

17

beban yang berat dalam suatu proses pembahasan. Sebenarya simbol (tanda) maupun

kata-kata adalah sama saja, hanyatergantung kepada si pemakai apa yang

dipergunakan. Tetapi tak perlu diperbincangkan bahwa simbol (tanda) lebih mudah

dipergunakan dalam analisa deduktip dan tentu saja lebih baik dan ringkas hingga

pernyataan menjadi lebih tepat.

Pilihan antara logika sastera dan logika matematik tidak menjadi persoalan,

hanya matematika mempunyai kauntungan memasa penganalisa menyataan

asumsinya secara ekspplisit pada tiap tingkat berfikir. Hal ini disebabkan teori

matematik biasanya dinyatakan dengan bentuk “jika-kemudian”, lalu dalam urutan

mendapatkan “kemudian” (hasil) bagi keuntungan teorinya, penganalisa harus yakin

bahwa bagian :jika: harus menunjang secara eksplisit asumsu yang diambilnya

Bagaimanakah mengenai metode ilmu ukur sebagai alat analisa? Ilmu Ukur

adalah memang suatu cabang matematik sendiri, dan jika ia dipergunakan, secara

kategori kita telah meninggalkan bahasa ekonomi. Satu keuntungan dari analisa ilmu

ukur adalah sifat penggambarannya, hingga secara relatif lebih mudah ditangkap.

Dalam keuntungan ini terdapat suatu keterbatasan, mengimbangi keadaan

keterbatasan di dalam dimensi. Pembaca dapat mengingat kembali bahwa dalam

pembahasan grafis mengenai kurva indifference, misalnya, asumsi bakku adalah

hanya ada dua barang untuk konsumen. Asumsi yang disederhanakan demikian sukar

diterima, tap dipaksakan kepada kita, karena menggambar grafis yang tiga dimensi

adalah sangat sulit, dan menggambar grafik secara 4 dimensi merupakan hal yang

sama sekali tak mungkin. Jika mendapat kasus menangani 3, 4 atau n barang, kita toh

harus kembali kepada persamaan yang begitu fleksible. Sebab-sebab inilah yang

18

menyatakan lebih baik untuk mempergunakan metode matematik dibandingkan

dengan ilmu ukur.

Secara singkat, pendekatan matematika mempunyai beberapa keuntungan :

1. Bahasa yang dipergunakan lebih ringkas dan tepat

2. Dalam teori matematika begitu kaya dalam pemakaiannya

3. Secara eksplisit semua asumsi dapat dibuat, menghindari asumsi implisit yang

sukar difahami

4. Dapat memamaki sebanyak n variabel secara umum.

Dari hal diatas ini tampak sebuah daftra dari keuntungan yang ditemui dalam

matematika. Secara jujur, kita perlu juga meneliti keburukan dari pendekatan

matematis. Keburukan yang dasar dari pendekatan matematis adalah : Pertama bahasa

matematika tidak selalu merupakan bahasa yang mudah untuk ahli ekonomi, hingga

mengakibatkan suatu kesukaran dalam menghubungkan ahli matematik dengan

nonmatematik. Ini berarti, di satu pihak ahli nonmatematik tidak dapat menemukan

keuntungan dari ahli ekonomi matematik. Yang lebih penting, di pihak lain ahli

ekonomi matematik tidak dapat menarik keuntungan dari reaksi kriti ahli ekonoi

nonmatematik. Berbicara secara tepat dan sempit tetapi persoalan yang dihadapi oleh

kedua ahli ekonomi ini. Sama saja, bahwa seorang teori ekonomi memeprgunakan

pendekatan matematis menghadapi kenyataan bahwa tidak banyak yang dapat

memahami hasil penelitian yang diadakannya.

Kedua, seorang ahli ekonommi yang mempunyai dasar matematis mempunyai

kecenderungan untuk

1. Membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis

19

2. Mengambil beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan

pendekatan matematis.Walaupun dia itu berhati-hati dalam pemecahan hal

ini, ia jadi mempergunakan teknik matematika lebih banyak dariada

prinsip ekonomi. Dengan perkataan lain, matematik adalah lebih unggul

dari pada ekonomi. Hal ini tidak mengakibatkan sebenarnya kegagalan dai

kedua ahli ekonomi ini.

Pemabaca dapat memperhatikan bahwa tidak ada sebuah daftar kritik terhadap

pendekatan matematis : hanya teori yang disajikan secara matematis adalah tidak

realistik. Alssan mengapa kita tidak mencantumkan hal ini karena kritik ini adalah

tidak valid. Sebenarnya kata tambahan “tidak realistik” tidak dapat dipergunaka oleh

ahli ekonomi di dalam teori secara umum, apakah pendekatanya matematis atau tidak.

Teori adalah suatu abstraksi dari duni nyata . Teori adalah wasiat untuk memisahkan

beberapa faktor penting dan melihat hubungannya, hingga kita dapat mempelajari isi

dari suatu masalah-bebasa dari segala persoalan yang ada di dunia yang begitu

menyulitkan. Jadi pernyataan “teori adalah kurang realistik” adalah hal yang bear

yang tidak dapat diakui sebagai kritik yang valid. Kemudian jika secara logis tidaklah

ada artinya mempersoalkan pendapat bahwa teori adalah tidak realistis. Misalnya,

teori perusahaan yang mempunyai bentuk saingan sempurna adalah tidak realistik,

karena perusahaan itu dalam keadan persaigan imperfek, dan kemudin apakah hal ini

dibahsa secara mateatis atau tidak, adalah tidak relevan dan immaterial.

Dari keseluruhan dapat dikatakan bahwa pendekatan matematis adalah “mode

of transporation” yang dapat membawa pemikiran dari beberapa pokok kepada

kesimpulan dalam waktu yang singkat. Tidaklah mengherankan jika seseorang akan

20

menempuh jarak dua mil dia akan naik mobil daripada jalan kaki, kecuali jika

waktunya anyak terulang atau melakukan olah raga. Seorang ahli maematik akan

mengadakan pemikiran secara cepat, bahwa orang tersebut harus belajar dahulu

menyupir, sedangkan waktu untuk itu tidak mencukupi, dan unutk mendaoat

pegendara mobil yang baik dia perlu pengetahuan matematik. Social Sciences

Research Council)menyarankan agar harus mengerti matematik dalam bidang : teori

himpunan,fungsi,hubungan, kalkulus, probabilitas, teori matriks, persamaan

diffrence, persanaan differensial, partil differentiation dan intergrasi multiple. Dengan

sendirinya tidak mungkin untuk membahas topik ini satu persatu secara mendetail

dalam buku ini, tetapi pembaca dapat menemuinya dalam bentuk sederhaan di

halaman-halaman berikutnya.

MATEMATIKA EKONOMI DAN EKONOMETRIK

Banyak sekali perkataan dalam ekonomi dipergunakan dalam pengertian lain

oleh penulis yang berbeda, dan pada waktu dan tempat yang berlainan. Demikian

halnya dengan ekonoetrika adalah hal yang perlu dibicarakan. Menurut defenisi

ekonometrika adalah type istimewa dalam ekonomi analsisa yang dengan pendekatan

teoritis umum mempunyai ukuran empiris dalam phenomena ekonomi. Dalam hal ini,

ekonometrika adalah istilah umum memakai keduanya teoritika dan aspek statistika

dalam anlasisa ekonomi.

Sekarang keuangan bahkan kata ini memberikan pengertian yang lebih sempit,

dan dewasa ini dipakai untuk studi data empiris dalam metode statistik dalam

penaksiran dan pengujan hipotesa. Penerapan matematis dari aspke teortitis murni

21

dalam analisa ekonomi dapat dipandang sebgai matematika ekonomi. Akibatnta

ekonometrika dan matematika di dalam persoalan ekonomi.

Di dalam buku ini, kita akan membatasi diri sampai matematika ekonomi.

Berarti kita akan pusatkan pikiran pada peneterpan mataeatik dalam pembahsan

deduktip dari pda pengajaran bahwa empiria. Hal ini hanya menjadukan tujuan dari

buku ini demikian, dan sama sekali tidak mengnggap bahwa ekonometrika adalah

tidak penting.

Memang, pembahasan empiris dan analia teoritis seiring bersifat komplementer

dan saling menegisi. Di lain pihak, teori harus diuji terhadap data empiris untuk

memperoleh dan validitas sebelum dapat diterapkan dengan yakin. Di samping itu

pekerjaan statistik membetuhkan teori ekonomi sebagai pegangan, untuk mendapat

pekerjan staistik membutuhkan teori ekonomi sebagai pegngan. Di samping itu

pekerjaan statistik membutuhkan teori ekonomi sebaga pegangan, untuk mendapkan

hsil maksimal dar penelitian. Suatu gambaran yang baik adalah mengenai fungsi

konsumsi agregate yang mempunyai sifat komplementer anatara teori dan pembahsan

epiri. Teori Keynes mengenai konsumsi fungsi akan mengdakan penaksiraan kepada

propentisty to cunsume, tetapi hasil statistik menurut Kuzbets dan Goldsmith lebih

memteningakan tocunsume dalam log-run secara konstan (hal tersebut bertentangan

dengan pendapat Keynes), tetapi lemudian menyempurnkan teori konsumsi agreget

dari Duesenberry, Friedman, dan ahli ekonomi lain.

Dalam suatu hal, matematik ekonomi dapat dianggap lebih menjadi dara

daripada ekonometrika : karena untuk mendapatkan pengertian statistik dan

ekonometrik penelaahan suatu kerangka pikiran teoritis perlu dimiliki yang dalam hal

22

ini lebih diinginkan perumusan matematis. Walaupun demikian buku ini tidak saja

mencari latar belakang matematis, tetapi permasalahan ekonometri tak dapat

dilepaskan.

PERANAN MATEMATIKA DALAM PERKEMBANGAN ILMU EKONOMI

DAN BISNIS

Selama bertahun-tahun, peran matematika dan statistik telah menjadi semakin

penting dalam ilmu pengetahuan sosial, khususnya ilmu ekonomi. Penggunaan

matematika dalam ilmu ekonomi sebenarnya sudah lama dirintis, bahkan sebelum

publikasi buku Adam Smith yang terkenal pada tahun 1776, An Inquiry into the

Nature and Causes of the Wealth of Nations. Di antaranya nama yang bias dicatat

adalah Daniel Bernoulli yang memformulasikan hipotesis diminishing utility of

wealth pada tahun 1738 (Beaud & Dostaler, 1997).

Hingga awal abad ke 20, kebanyakan teori dalam ilmu pengetahuan social

diformulasikan dalam bentuk kualitatif. Pada saat itu, metode kuantitatif dianggap

kurang tepat dalam memahami masalah sosial. Matematika dianggap menjadi metode

ilmu pengetahuan alam, yang terpisah dari ilmu pegetahuan sosial.

Pada awal 1930-an, tahun ekonomi makro mulai berkembang, masih sedikit

artikel ilmiah bidang ekonomi yang dipublikasikan pada jurnal ekonomi ternama

yang menggunakan matematika. Namun, sejak 1970-an hingga sekarang justru jarang

ditemui artikel ilmiah bidang ekonomi yang tidak menggunakan matematika.

Matematika dalam bidang ilmu ekonomi digunakan melalui dua cara. Pertama,

sebagai alat riset teoritis. Kedua, sebagai alat riset empiris. Kebanyakan matematika

yang digunakan adalah geometri , aljabar, dan kalkulus (Backhouse, 2002).

23

Penerapan matematika dalam ilmu ekonomi merupakan penerapan matematika

dalam ilmu sosial yang paling awal. Namun, penggunaan metode matematika dalam

ilmu ekonomi mulai menonjol pada pertengahan abad ke 20. Peran matematika

menjadi sangat penting dalam perkembangan ilmu ekonomi. Ilmu ekonomi

kontemporer didominasi oleh pendekatan matematika. Backhouse (1998), yang

membandingkan jurnal ekonomi akademik dalam 50 tahun menyatakan bahwa

penggunaan aljabar telah meningkat dari 10% pada tahun 1940 menjadi 80% pada

1990.

PENTINGNYA PENGETAHUAN FUNGSI MATEMATIKA EKONOMI

Kejadian-kejadian ekonomi saling berhubungan satu sama lain dan dengan

demikian saling mempengaruhi. Ini berarti kalau suatu kejadian tertentu terjadi, maka

kejadian lainnya akan terjadi juga atau akan dipengaruhi. Sebagai contoh kalau

pendapatan seseorang berubah (mengalami kenaikan),maka pengeluaran untuk

konsumsi juga akan berubah (mengalami kenaikan); kalau harga suatu jenis barang

naik dan pendapatan masyarakat tetap tak berubah, maka permintaan terhadap barang

tersebut akan menurun; kalau investasi nasional dinaikkan, maka pendapatan nasional

juga akan meningkat.

Kejadian-kejadian ekonomi tersebut dapat dinyatakan dengan perubahan nilai

variabel. Variabel ialah sesuatu yang nilainya berubah-ubah, misalnya produksi,

harga, pendapatan, penjualan, biaya, investasi. Suatu variabel biasanya diberi simbol

X, Y atau Z atau huruf latin lainnya. Variabel X yang mempengaruhi disebut variabel

bebas (independent variable) sedangkan variabel Y yang dipengaruhi disebut variabel

24

tak bebas (dependent variable). Dalam contoh diatas misalnya, X = pendapatan; Y =

konsumsi; X = harga; Y = barang yang diminta; X = investasi nasional; Y =

pendapatan nasional. Hubungan variabel X dan Y mengikuti bentuk fungsi tertentu,

biasanya dirulis y = f(x), dibaca y fungsi dari x, artinya kalau x berubah nilainya, y

juga akan berubah. Besarnya nilai y akan tergantung pada bentuk fungsinya.

Misalnya (1) y = 2 + 0,5 x

(2) y = 2 + 0,5 x

Kemudian diketahui x = 10, kalau fungsinya seperrti (1) y = 2 + 0,5 (10) = 2 +

5 = 7, sedangkan kalau fungsinya seperti (2) y = 2 + 0,5(10) = 2 + 0,5 (100) = 52.

Jadi suatu fungai berguna untuk mengetahui nilai y, kalau nilai x sudah di ketahui

terlebih dahulu. Nilai y tersebut di namakan nilai perkiraan atau ramalan, yang amat

berguna untuk dasar perencanaan. Di dalam perusahaan, ramalan penjualan berguna

untuk dasar pernecanaan produksi,tenaga kerja, bahan mentah dan keuangan.

Di samping untuk mengetahui nilai Y, fungsi juga berguna untuk mengukur

pengaruh dari perubahan X terhadap Y, kalau X naik 1 unit. Misalnya berapa

besarnya pengaruh biaya promosi (= X) terhadap hasil penjualan suatu perusahaan (=

Y) ; berapa besarnya pengaruh kenaikan invetasi nasional (=X), terhadap pendapatan

nasional. Dengan mengetahui besarnya pengaruh X terhadap Y kita dapat mengetahui

efektif tidaknya suatu kegiatan ekonomi (kenaikan biaya promosi, kenaikan investasi

nasional berdasarkan hasil penjualan dan pendapatan nasional). Tanpa mengetahui

matematika sebagai alat analisa, seorang ahli sebagai konsultan mungkin hanya

memberikan saran-saran atau nasihat yang sifatnya kualitatif, misalnya: jangan

25

naikan harga, nanti penjualan akan menurun atau naikan investasi nasional agar

pendapatan nasional meningkat! Saran dan nasihat tersebut memang baik, tetapi

kurang konkret, maksudnya berapa persen penjualan akan turun kalau seandainya

harga dinaikkan 10%. Berapa persen pendapatan nasional akan meningkat kalau

investasi dinaikkan 15% misalnya. Dengan menggunakan matematika sebagai alat

analisa dapat diperoleh hasil analisa yang konkret, mudah untuk dipergunakan

sebagai dasar perencanaan, alat kontrol dan dasar evaluasi.

1. Penggunaan dalam statistik matematika

a. Memahami rumus-rumus statistik, seperti rumus untuk menghitung

jumlah, rata-rata, persentase, angka indeks dan berbagai nilai koefisien

seperti koefisien variasi, koefisien regresi dan koefisien korelasi.

b. Memahami metode prakiraan, dalam hal ini diperlukan pengetahuan

mengenai “differential” yang berguna untuk membuat suatu fungsi

maksimum atau minimum.

c. Memahami teori pengujian hipotesis, dimana diperlukan pengetahuan

berbagai fungsi matematika untuk digunakan sebagai kriteria uji seperti F

test.

d. Memahami konsep nilai harapan (expected value) yang memerlukan

pengetahuan mengenai “integral” dalam rangka menghitung rata-rata

kerugian yang mungkin di derita atau rata-rata keuntungan.

e. Memahami analisa regresi, khususnya untuk menghitung besarnya

pengaruh secara kuantitatif dari perubahan suatu kejadian (=X) terhadap

26

kejadian lainnya (=Y), kemudian untuk meramalkan Y kalau nilai X sudah

diketahui.

2. Penggunaan dalam linear programming

Di dalam linear programming, matematika sangat berguna untuk memahami

teori simpleks untuk mencari pemecahan yang optimal (maksimal atau

minimum), seperti keuntungan maksimum dengan harga minimum. Dalam hal

ini diperlukan pengetahuan tentang matriks dan determinan dan paling tidak

pengetahuan tentang pembuatan grafik guna memahami metode grafik.

3. Penggunaan dalam riset operasi

Di riset operasi matematika sangat berguna untuk mempelajari network

planning, quening theory dan inventory control khususnya pengetahuan

tentang diferensial untuk membuat suatu fungsi maksimum atau minimum.

4. Penggunaan dalam analisa input-output

Di dalam analisa input-output yang mempelajari hubungan antara sektor

ekonomi diperlukan pengetahuan matriks khususnya determinan dan inverse

matriks yang sangat diperlukan untuk membuat ramalan output untuk seluruh

sektor setelah permintaan terakhir diketahui. Hasil ramalan ini berguna untuk

dasar perencanaan produksi untuk berbagai sektor ekonomi.

5. Penggunaan dalam teori keputusan

Teori keputusan, khususnya yang mengandung unsur ketidakpastian seperti

teori permaian, teori keputusan statistik. Dalam hal ini diperlukan

pengetahuan tentang integral, diferensial dan matriks untuk menghitung nilai

27

permainan, atau fungsinya termasuk fungsi kontinyu dan pengetahuan grafik

kalau pemecahannya dipergunakan metode grafik.

6. Penggunaan dalam ekonomaterika

Ekonomaterika merupakan gabungan dari tiga disiplin yaitu ekonomi,

matematika dan statistika, berguna untuk menganalisa data ekonomi secara

kuantitatif.

Berbagai fungsi matematika diperlukan untuk mengidentifikasi fungsi

konsumsi, fungsi permintaan, fungsi penawaran, selain itu juga diperlukan

pengetahuan tentang diferensial, integral, matriks khususnya determinan dan inverse

untuk mengetahui apakah suatu model berupa persamaan simultan bisa dipecahkan

atau tidak.

28

HIMPUNAN

Kita telah mempergunakan kata “himpunan” beberapa kali. Karena konsep

himpunan mendasari setiap cabang matematika modren, maka amatlah peerlu untuk

membiasakan diri, paling tidak dengan aspek-aspek yang paling dasar dari suaatu

himpunan.

Suatu himpunan diartikan sebagai kumpulan atau kelompok suatu objek atau

unsur yang dirumuskan secara tegas dan dapat dibeda-bedakan. Objek himpunan

tersebut disebut elemen atau unsur. Notasi atau tanda dari suatu himpunan adalah

kurung kurawal. Elemen-elemen himpunan berada dalam kurung kurawal. Contoh :

suatu himpunan tiga kota besar di Jawa yaitu, Jakarta, Bandung, dan Surabaya. Jadi K

={Jakarta, Bandung, Surabaya}.

Teori himpunan merupakan teori yang paling dasar bagi cabang ilmu

matematika. Oleh karena itu, di bagian awal buku ini, teori mengenai himpunan

kembali dipelajari untuk menyegarkan pengetahuan dan ingatan kita tentang

himpunan yang telah dipelajari di SMU maupun di SMP dan bahkan di SD. Disadari

atau tidak, Dalam kehidupan sehari-hari, sesungguhnya kita telah menegtahui dan

banyak menerapkan konsep himpunan. Di masyarakat kita,para dokter menghimpun

dirinya dalam sebuah wadah yang dinamakan IDI. Para sarjana ekonomi

menghimpun dirinya dalam sebuah wadah yang dinamakan ISEI. Para penggemar

motor besar menghimpun dirinya dalam sebuah wadah yang dinamakan IMBI. Para

ibu rumah tangga telah mengatur dan meletakkan alat-alat dapur dalam satu

wadah/tempat tertentu, demikian juga para siswa telah mengatur dan meletakkan alat

29

tulis-menulis dalam wadah tertentu.Bahkan seorang pedagang ayam yang buta huruf

pun telah mengelompokkan ayam dagangannya atas ayam betina dan ayam

jantan.Itulah beberapa contoh mengenai himpunan dan bagaimana konsep hmpunan

telah dilaksanakan tanpa disadari.

Dalam analisa matematika, teori himpunan sering digunakan, seperti himpunan

data observasi di lapangan, himpunan penyelesaian dari suatu model.Untuk

membentuk suatu model ekonomi dan bisnis diperlukan data observasi di

lapangan.Himpunan adalah sekumpulan obyek, yang diberikan batasan serta

dirumuskan secara tegas dan dapat dibedakan satu dengan yang lainnya.Tiap obyek,

benda atau simbol yang secara kolektif membentuk suatu himpunan disebut

elemen/unsur atau anggota dari himpunan tersebut.

Suatu himpunan dengan tidak ada unsur/elemen di dalamnya disebut himpunan

kosong. Notasi dari himpunan kosong adalah Ø. Contoh : suatu kelompok terdiri dari

3 mahasiswa merokok. Maka, kita memiliki suatu himpunan yang terdiri dari 3

elemen. Jika kita ambil hanya satu mahasiswa yang merokok, maka terdapat satu

himpunandengan satu elemen. Sedangkan jika kita ambil 1 orang yang tidak

merokok, maka kita memperoleh satu himpunan kosong (Ø).

Himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang berbeda.Obyek ini mungkin

merupaka suatu kelompok bilangan berbeda atau suatu lainnya(Chiang, 1994).

Contoh, mahasiswa pertanian yang berasal dari program studi agribisnis. Terdapat

dua cara untuk menyatakan bentuk himpunan. Pertama dengan menyebut satu persatu

anggota himpunan. Contoh S = {2, 3, 4, 5}. Kedua dengan gambaran.Hal ini

30

dilakukan karena anggota yang disebutkan terlalu banyak atau sulit disebut secara

satu persatu. Contoh, N = {x | 3 < x < 50, x bilangan prima}.

Anggota dalam suatu himpunan dinyatakan dengan simbol „∈‟ yang dibaca:

„suatu elemen dari‟. Jadi pada contoh kedua himpunan di atas, apabila termasuk

anggota dari himpunan S maupun N, maka untuk menyatakannya menggunakan

lambang ∈. Contoh, 4 ∈ S, 7 ∈ N dan sebagainya. Akan tetapi bila tidak termasuk

anggota maka notasi untuk menyatakan menggunakan lambang „∉‟

Suatu himpunan mungkin merupakan bagian dari suatu himpunan bagian dari

suatu himpunan lainnya. Sebagai contoh terdapat dua himpunan,

R = {2, 3, 4, 5} dan S = {2, 3}.

S dapat dikatakan sebagai himpunan bagian dari R karena setiap anggota

(elemen) S terdapat pada R (termasuk elemen R).Secara notasi dapat ditulis S ⊂ R.

Jika diperhatikan bahwa elemen yang terdapat pada himpunan S merupakan

himpunan bagian dari R.Ini berarti. Pada himpunan R terdiri dari beberapa elemen

yang dapat menjadi himpunan bagian seperti contoh berikut

R = {{2}, {3}, {4}, {5}, {2,3}, …{2,3,4}, …{2,3,4,5}}

Dari contoh di atas, himpunan R dengan keempat elemennya dapat dianggap

sebagai himpunan bagian dari himpunan R. Jadi himpunan R tersebut memenuhi

definisi dari suatu himpunan bagian.Pada ekstrem lainnya, himpunan bagian R yang

terkecil yaitu himpunan kososng „{ }‟.Secara umum, jika suatu himpunan memiliki n

elemen, dapat dibentuk himpunan bagian sebesar 2n dari elemen tersebut.

31

PENULISAN HIMPUNAN

Secara sederhana suatu himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang berbeda.

Obyek ini mungkin merupakan suatu kelompok bilangan-bilangan (berbeda), atau

suatu lainnya. Contoh, sseluruh mahasiswa yang mengikuti pelajaran ekonomi

tertentu dapat dianggap sebagai suatu himpunan, seperti lainya bilangan bulat 2, 3,

dan 4, yang dapat membentuk suatu himpunan. Obyek-obyek dalam suatu himpunan

disebut elemen-elemen himpunan.

Ada dua alternatif cara untuk menulis himpunan: dengan menyebut satu

persatu dan dengan gambaran. Kalau kita misalkan S mewakili himpunan dari tiga

bilangan 2, 3, dan 4, kita dapat menulis dengan menyebut satu persatu dari himpunan

setiap elemen.

S= {2,3,4}

Tetapi bila kita misalkan I merupakan himpuanan untuk seluruh bilangan positif,

menyebut satu persatu jadi sulit, dan kita boleh menjelaskan elemen-elemen secara

sederhana dan menulis,

I= {x | x bilangan bulat positif }

Yang dibaca sebagai berikut : “ I adalah himpnan selutuh(bilanga-bilangan) x,

sedemikan rupa hingga x merupakan bilangan bulat positif .” Perhatikan, tanda

kurung digunakan untuk menutup himpunan kedua kasus tersebut. Pada pendekatan

deskriptif, garis vertikal ( atau dua titik ) selalu disisipkan untuk memisahkan simbol

unsur dari elemen-elemen dari gambaran elemen-elemen. Contoh lain, himpunan

seluruh bilangan nyata yang lebih dari 2 tetapi lebih kecil dari 5 (namakanlah J )

dapat dinyatakan dengan simbul berikut ini.

32

J = {x | 2 < x < 5 }

Di sini, pernyataan deskriptif ditunjukan dengan simbol. Suatu himpuan dengan

elemen-elemen bilanagan terbatas, ditunjukan oleh himpunan S diatas, disebut suatu

himpunan terbatas ( finite set ). Di lain pihak himpunan I dan himpunan J, masing-

masing dengan elemen-elemen bilangan tak terbatas, merupakan contoh untuk

ihimpunan tak terbatas ( infinite set ). Himpunan-himpunan terbatas umumnya dapat

dihitung, jadi elemen-elemennya dapat dihitung satu per satu dalam urutan 1, 2,

3,......... Tetapi, himpunan-himpunan tak terbatas ,mungkin dapat dihitung ( himpunan

I diatas ), atau tak dapat dihitung ( himpunan J diatas ). Pada kasus terakhir, tidak

ada cara menghubungkan elemen-elemen himpunan dengan bilangan-bilangan

penghitung 1, 2, 3,...., jadi himpunan adalah tidak dapat dihitung.

Anggota dalam suatu himmpunan dinyatakan dalam simbul ∈ ( berasal dari

huruf junanai‟ epsilon ∈ untuk “elemen” ), yang dibaca: “suatu elemen dari”. Jadi

untuk kedua himpunan S dan I diatas, bisa ditulis,

2 ∈ S 3 ∈ S 8 ∈ I 9 ∈ I (dst)

Tetapi jelas 8∉ S ( di baca “8 bukan elemen dari himpunan S” ). Kalau

digunakan simbul R untuk menunjukan himpnan dari seluruh bilangan nyata, maka

pernyataan “ x adalah suatu bilangan nyata “ dapat disederhanakan menjadi

x ∈ R

33

HUBUNGAN DI ANTARA HIMPUNAN

Bila dua himpunan dibandingkan satu dengan lainnya, beberapa macam

kemungkinan hubungan dapat diselediki. Bila himpunan S1dan S2berisi elemen-

elemen yang sama.

S1= { 2, 7, a, f } dan S𝟐= { 2, a, 7, f }

Maka S1 dan S2 dikatan sama ( S1 = S2 ). Catatan: Orede yang terlihat pada

elemn-elemen himpunan tidak penting. Tetapi, meskipun hanya satu elemen yang

berbeda, dua himpunan menjadi tidak sama.

Himpunan jenis adalah bahwa satu himpunan mungkin merupakan himpunan

bagian dari himpunan lainnya. Kalu kita mempunya dua himpunan,

S = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan T = {3, 7}

Maka T adalah himpunan bagia dari S , karena setiap elemen T adalah juga

elemen S. Pernyataan yang lebih pasti mengenai hal ini adalah: T adalah himpunan

bagian dari S jika dan hanya jika “ x ∈ T “ memenuhi “ x ∈ S . dengan menggunakan

simbul himpunan ⊂ ( berada dalam ) dan ⊃ ( termasuk ), kita bisa menulis

T ⊂ S atau S ⊃ T

Mungkin terjadi bahwa dua himpunan tertentu merupakan himpunan dari

masing-masing himpunan. Bila hal ini terjadi, pasti bahwa kedua himpunan ini sama.

Jelasnya, kita memiliki S1 ⊂ S2dan S1 ⊃ S2jika dan ahnya jika S1 = S2.

Perhatikan bahwa simbol ∈ menghubungkan suatu elemen individu dengan

suatu himpuna ( set ), sedangkan simbol ⊂ menghubungkan suatu himpunan bagian

34

(subset) dengan suatu himpunan. Sebagai contoh penggunaan ide ini, kita bisa

menyatakan berdasarkan gambar 2.1, bahwa himpunan semua bilangan bulat adalah

himpunan dari bagian himpunan semua bilangan rasional. Demikian pula, himpunan

semua bilangan rasional adalah suatu himpunan bagian dari himpunan semua

bilangan nyata.

Berapa bnayak himpunan bagian dapat dibentuk dari lima elemen dalam

himpunan S= {1, 3, 5, 7, 9}? Pertama-tama, setiap elemen “individual” S dapat

merupakan suatu himpunan S yang tersendiri seperti {1}, {3} dan sebagainya.

Demikian pula untuk elemen berpasangan, bertiga, berempat, seperti {1, 3}, {1,

5},.....,{3, 7, 9}, dan sebagainya. Karena itu, himpunan S itu sendiri dengan kelima

elemennya, dapat dianggap himpunan bagian dari himpunan S – setiap elemen S

adalah elemen dari S itu sendiri, jadi himpunan S itu sendiri memenuhi definisi dari

suatu himpunan bagian. Tentusaja ini merupakan kasus yang sempit, karena dari

himpunan S dapat diperoleh himpunan bagaian S yang terbesar, yang juga disebut S.

Pada ekstrem lainnya, himpunan bagian S yang terkecil adalah suatu himpunan

yang tidak berisi elemen sama sekali. Himpunan seperti itu disebut himpunan nol

atau himpunan kosong, ditunjukan oleh simbol ∅ atau { }.alasan mengapa himpunan

nol dianggap himpunan dari S adalah sungguh menarik: jika himpunan nol bukan

suatu hipunan bagian S (∅ ⊄ S ), maka ∅harus berisi paling sedikit satu elemen x

sehingga x ∉ S . Tetapi karena menurut difinisi himpunan nol tidak mempunyai

elemen apapun, kita tidak dapat mengatakan bahwa ∅ ⊄ S; karena itu himpunan nol

adalah himpunan bagian S.

35

Dengan mengitung semua himpuanan bagian S, termasuk kedua S dan ∅, kita

temukan banyak 25 = 32 himpunan bagian. Secara umum, jika suatu himpunan

mempunyai n elemen, dapat dibentuk bagian sebesar 2n dua elemen dari bagian

tersebut*.

Sangat penting untuk mebedakan secara jelas ∅ atau { } dengan {0}; yang

pertama tanpa elemen, sedangkan yang terakhir berisi elemen nol. Himpunan nol

adalah istimewa, diseluruh dunia hanya ada satu himpunan seperti itu dan dianggap

sebagai suatu himpunan bagian dari setiap himpunan yang mungkin.

Hubungan tipe ketiga yang mungkin adalah dua himpunan yang elemennya

berbeda sama sekali. Dalam kasus ini, kedua himpunan tersebut dikatakan menjadi

terputus (disjoint). Sebagai contoh, himpunan seluruh bilangan bulat positif dan

himpuna seluruh bilangan bulat negatif adalah himpunan yang terputus. Hubungan

tipe keempat timbul bila dua himpunan mempunyai beberapa elemen yang tetapi

beberapa elemen masing-masing “peculiar”. Dalam peristiwa itu, kedua himpunan

tidak sama maupun terputus (disjoin), tetapi juga bukan bagian himpunan satu dengan

lainnya.

JENIS HIMPUNAN DAN DIAGRAM VENN

Himpunan berhingga dan tak berhingga

Himpunan berhingga ialah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat

dihitung.Sedangkan himpunan yang jumlah anggotanya tidak dapat

dihitung disebut himpunan tak berhingga.

Contoh :

36

Himpunan berhingga,

B = { x | x Jurusan di FEB Unud}

B = {EP, Manajemen, Akuntansi}

Himpunan tak berhingga,

P = {x | x Bilangan Asli}

P = {1,2,3,4 ...}

Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidakmemiliki anggota.

Notasinya 𝜙 atau { }

Contoh:

A = {x | x Mahasiswa FEB Unud yang berumur 6 tahun}

B = {y | y Manusia yang berkepala tiga}

Himpunan Semesta dan Himpunan Bagian

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua obyek atau

elemen yang menjadi perhatian kita.

Notasinya : U atau S

Himpunan bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B jika dipenuhi dua syarat

yaitu:

1. Setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B

2. Paling tidak ada sebuah anggota himpunan B yang bukan merupa-kan

anggota himpunan A

37

Notasi :

Contoh :

S = {x | x mahasiswa Unud}

A = {x | x mahasiswa FEB Unud}

B = {x | x mahasiswa jurusan akuntansi FEB Unud}

Himpunan S merupakan himpunan semesta, sedangkan himpunan A dan

himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan S.Demikian juga

himpunan A merupakan himpunan semesta bagi himpunan B.Yang dapat

dinyatakan dengan :

A S B A

B S B A S

Komplemen Suatu Himpunan

Jika S himpunan semesta dan A suatu himpunan yang terkandung dalam S,

maka yang dimaksud dengan komplemen A adalah anggota himpunan S

yang bukan anggota himpunan A.

Notasi komplemen A adalah AC

atau A‟.

Contoh :

A = {1, 2, 3}

S = {1, 2, 3, 4,5, 6,7,8, 9, 10}

Maka, AC = {4, ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10}

Himpunan Yang Sama

38

Dua himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah juga

anggota B dan sebaliknya setiap anggota B juga merupakan anggota dari

A.

Notasinya A = B

Contoh :

A = {1, 2, 3,} dan B = {4, 3, 2, 1}

Maka, A = B

Himpunan Ekivalen ( Setara )

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B, jika jumlah anggota

himpunan A sama dengan jumlah anggota himpunan B.

Notasi : A ~ B , jika n(A) = n(B)

Contoh :

A = {a, b, c}

B = {kol, buncis, terung}

C = {1, 3, 5}

maka

n(A) = 3

n(B) = 3 Jadi A ~ B ~ C

n(C) = 3

Jumlah Himpunan Bagian Suatu Himpunan

Jika himpunan A memiliki anggota sebanyak n atau n(A) = n, maka

banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2n.

39

Contoh :

Perhatikan himpunan A = {a, b, c} n = 3, maka humpunan A akan

memiliki himpunan bagian sebanyak 23 = 8, yang dapat dirinci sebagai

berikut :

(1) 𝜙 𝜖 A (3) {b} 𝜖 A (5) {a, b} 𝜖 A (7) {b, c} 𝜖 A

(2) {a} 𝜖 A (4) {c} 𝜖 A (6) {a, c} 𝜖 A (8) {a, b, c} 𝜖 A

Diagram Venn

Diagram Venn adalah diagram yang menunjukkan gambaran suatu

himpunan atau gambaran himpunan dalam hubungannya dengan himpunan

yang lain.

A. Operasi Himpunan

Operasi Gabungan (Union)

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang

anggota-anggotanya merupakan anggota A atau B.

Notasinya : A B = { x | x 𝜖 A atau x 𝜖 B}

Contoh 1 :

A = {3, 4, 6, 7}

B = {4, 6, 8, 9}

maka A B = {3, 4, 6, 7, 8, 9}

Diagram Venn-nya, dapat dinyatakan sebagai berikut :

40

Contoh 2 :

C = { a,b,c }

D = { 1,2,3 }

Maka C D = { 1,2,3,a,b,c }

Dengan diagram Venn-nya sebagai berikut :

Contoh 3 :

C = { 1,2,3,4,5,6 }

D = { 1,2,3 }

Maka A B = { 1,2,3,4,5,6 }

Diagram Venn-nya sebagai berikut :

41

Operasi irisan (Interaksi)

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya

merupakan anggota A dan sekaligus juga anggota B.

Notasinya A B = { x|x A dan x B }. Jika A B = ɸ, dikatakan A dan

B saling lepas.

Contoh 1 :

A = { a,b,c }

B = { a,b,d }

Maka A B = { a,b }

Diagram Venn-nya sebnagai berikut :

Contoh 2 :

P = { 1,2,3 }

Q = { 1,2,3,4,5 }

Maka P Q = { 1,2,3 }

Diagram Venn-nya sebagai berikut :

42

43

SISTEM BILANGAN

Variabel-variabel dan persamaan-persamaan merupakan bahan-bahan penting

untuk model matematika. Tetapi karena nilai-nilai variabel yang akan di gunakan

merukan angka, perlu kita bahas sedikit mengenai sistem bilangan. Di sini kita hanya

berhubungan dengan “bilangan nyata.”

Seluruh bagian seperti 1, 2, 3..... di sebut bilangan bulat positif; ini adalah

bilangan yang paling sring di gunakan dalam menghitung. Lawannya bilangan negatif

- 1, - 2, - 3,..... di sebut bilangan bulat negatif; ini dapat dipergunakan misalnya untuk

menunjukan temperatur di bawah nol (dalam derajat). Di lain pihak, bilangan 0 (nol)

bukan positih dan bukan negatif serta mempunyai arti sendiri (unik). Kita gabungkan

seluruh bilangan bulat positif, negatif dan nol kedalam satu golongan yaitu himpunan

seluruh bilangan bulat (set off all integers).

Tentu saja, bilangan bulat tidak menampung semua kemungkinan bilangan,

misalnya untuk pecahan seperti 2

3,

5

4, dan

7

3 yang apabila di letakan pada penggaris,

akan terletak pada bilangan bulat. Kita juga memiliki bilangan-bilangan pecahan

negatif seperti −1

2dan −

2

3. Bilangan ini bersama- sama di kelompokan menjadi

himpunan seluruh bilangan pecahan (set off all integers).

Semua bilangan pecahan ditunjuk sebagai perbandiangan antara dua bilangan

irrasional, yakni bilamngan-bilangan yang ditunjuk sebagai perbandingan dua

bilangan bulat; jadi pecahan memenuhi untuk penandaan bilangan rasional. Tetapi

bilngan bulat, adalah juga bilngan rasional, karena setiap bilangan bulat n dapat

44

ditunjukan sebagai perbandingan n 1 . Himpunan seluruh bilangan bulat dan seluruh

himpunan bilngan pecahan, bersama-sama membentuk seluruh bilangan rasional (

“rasional” di sini berarti ratio-nal ).

Sekali konsep bilangan rasional digunakan, jelas akan timbul bilangan

irrasional, yakni bilangan-bilangan yang digunakan sebagai perbandingan dua

bilangan bulat. Satu contoh, misalnya 2 = 1,4142........ adalah bilangan desimal yang

tidak berulang dan tidak berakhir. Lainya adalah konstanta istimewa 𝜋 = 3,1415..... (

menunjukan perbandingan keliling setiap lingkaran terhadap diameternya ), yang juga

desimal tidak berulang dan tidak berakhir, sebagai ciri seluruh bilangan irrasional.

Seperti halnya angka pecahan mengisi kekosongan di antara bilangan-bilangan

bulat pada penggaris, bilangan-bilangan irrasional dan mengisi kekosongan diantara

bilangan-bilangan rasional, sehingga bila bilangan irrasional di letakan pada

penggaris, akan terletak pada dua bilangan rasional. Hasil dari proses pengisiian ini

adalah suatu kesatuan rangkaian bilangan-bilangan, yang seluruhnya disebut

bilangan-bilangan nyata. Rangkaian kesatuan ini merukana himpunan seluruh

bilangan nyata yang biasanya ditunjukan tanda R. Bila himpunan R digambarkan

pada satu garis lurus, kita sebut garis ini sebagai garis nyata.

Pada gambar 2.1 ditunjukan seluruh himpunan bilngan yang disusun dalam

hubungan satu dan lainnya.Bila kita membaca ini dari bawah keatas, kita menemukan

suatu skema kasifikasi di mana himpunan bilangan-bilangan nyata di pecah ke dalam

kompenen dan sub-kompenen himpunan-himpunan bilangan.Jadi gambar ini merukan

ringkasan dari struktur sistem bilangan nyata.

45

GAMBAR 2.1

System bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran

dari suatu item fisik. Sistem bilanan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah

system biilangan desimal, yaitu sisitem bilangan yang menggunakan 10 macam

symbol untuk mewakili suatu besaran.Sistem ini banyak digunakan karena manusia

mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan

komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off

(tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan

binary yang mempunyai dua macam nilai untuk mewakili suatu besaran nilai.

Dahulu perhitungan dengan bilangan dimulai dengan perbandingan, misalnya

"milik si ini lebih sedikit dari milik si itu" atau "milik si itu lebih banyak dari milik si

ini" kemudian seiring waktu cara perhitungan bilangan berkembang lagi, manusia

tidak lagi menggunakan cara perbandingan untuk menentukan jumlah sesuatu, tetapi

mereka menggunakan kerikil, simpul pada tali, jari-jemari atau menggunakan ranting

untuk menentukan jumlah sesuatu dengan tepat, misalnya jumlah ternak atau jumlah

Bilangan

Bulat

Bilangan

Pecahan

Bilangan

Rasional

Bilangan

Irrasional

Bilangan

Nyata

46

anggota keluarga yang tinggal bersamanya. Inilah dasar pemahaman tentang konsep

bilangan dan ketika seseorang berpikir tentang bilangan dua maka dalam benaknya

sudah tertanam pengertian terdapat benda sebanyak dua buah. Misalnya "dua buah

kelapa" atau "dua ekor sapi".

BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks muncul pertama kali dalam mencoba untuk upaya

memahami pengertian formula CARDAN-TARTAGLIA untuk memecahkan

masalah isi (volume) dalam kubik. Sebagai contoh, CARDAN (1501-1576) untuk

mengetahui (untuk alasan lain) bahwa hanya satu jawaban positif untuk persamaan x3

= 15 x + 4 dan bahwa 4 ini dikerjakan dengan secara langsung mensubsitusikan [64 =

64 atau 43 = 15.(4) + 4]. Bagaimanapun, formula itu dikerjakan dengan baik untuk

mendapatkan banyak persamaan, didapatkan x = sebagai satu jawaban positif.

Sejarahnya, Greeks kuno memberikan ingkarannya (menyangkal = negasi) dari

bilangan negatif (negative number) secara eksistensi. Oleh Cardan‟s pada waktu itu,

bilangan negatif itu tidak cukup kuat alasannya, lebih masuk akal dibuat lebih dahulu

dengan garis bilangan. Cardan‟s menggunakan bilangan negatif yang dinyatakan oleh

mereka dengan “numeri ficti = bilangan khayal/imaginer)”. Akar dari bilangan

negatif merupakan satuan imaginer atau “unimaginable”. Beberapa tahun

kemudian, ahli aljabar dari Italia yaitu RAFAEL BOMBELLI (1526 – 1573)

menyebutnya “wild idea = idea yang gila” dan menuliskan jawaban adalah , dan

kemudian dia dapat memperlihatkan bahwa 2 + √–1 + 2 – √–1 = 4. Bagaimanapun,

√–1 merupakan bentuk anggapan sebagai imaginer untuk dua abad selanjutnya. Pada

tahun 1797, CASPAR WESSEL (1745 – 1818) menciptakan / menemukan

47

rancangan bidang kompleks (Complex plane). Ini berjalan tanpa notasi sampai 30

tahun terakhir di mana penggunaan secara ekstensif dengan CARL FRIEDRICH

GAUSS (1777 – 1855). Dalam interprestasi geometri memberikan rancangan tentang

akar dari suatu bilangan negatif, tapi digunakan kata yang cocok adalah “Imaginary

= Imaginer”.

BILANGAN REAL ATAU RILL

Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan

bilangan irasional. bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa

dituliskan dalam bentuk desimal.

Menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti

2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42

dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan sqrt2. Bilangan rasional

direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional

memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat

direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari

bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan

deret Archimides. Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk

di dalamnya adalah bilangan imajiner.

48

DAFTAR PUSTAKA

Assauri, Sofjan.1989.Matematika Ekonomi.Rajawali.Jakarta Utara

Assauri,Sofjan. 2013. MatematikaEkonomi. Rajawali Pers. Jakarta

Chiang, Alpha C. 1983. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi. Jakarta: Erlangga

Mulyono, Sri. 2017. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Edisi 2. Jakarta: Mitra Wacana

Media

Supranto,J. 1987. Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi. Jakarta: FE UI

Sessu A. 2014. Pengantar Matematika Ekonomi. PT Bumi Aksara. Jakarta

Teguh, Muhamad. 2016. Matematika Ekonomi. Jakarta: PT Raja Grafindo Persada

Tjokroprajitno,vSoeheroe. 1994. Matematika Ekonomi. Fakultas Ekonomi Bisnis

Universitas Indonesia. Jakarta-Indonesia

Wijaya, Andi. 2014. Matematika Ekonomi I.Mitra Wacana Media.Jakarta

Wirawan, Nata.2003. Cara Mudah Memahami Matematika Ekonomi Edisi Keempat.

Denpasar: Keraras Emas

Wirawan, Nata. 2014. Matematika Ekonomi Edisi Kelima. Denpasar: Keraras Emas

Wismantara, Dasi Astawa.2013. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Denpasar:

Universitas Pendidikan Nasional

49

LAMPIRAN

50

Lampiran 1 PPT Matematika Ekonomi

MATEMATIKA

EKONOMI

Dr. Gede Mekse Korri Arisena, SP.,

M.Agb.

Teguh, Muhamad. 2016. Matematika Ekonomi.

Jakarta: PT RajaGrafindo Persada.

Matematika ekonomi adalah cabang dari ilmu matematika terapan

untuk mempemudah kita dalam memecahkan masalah ekonomi dan

membantu kita dalam mempelajari segala hal yang bersifat

kuantitatif secara lebih tepat.

Wijaya, Andi dkk. 2014. Matematika

Ekonomi I. Jakarta: Mitra Wacana Media.

Matematika ekonomi (mathematical economics) merupakan aplikasi

metode matematika yang digunakan untuk mengembangkan teori

ekonomi maupun analisis ekonomi. Dengan demikian, matematika

ekonomi merupakan suatu pendekatan terhadap analisis ekonomi.

Assauri,Sofjan. 2002. Matematika ekonomi.

Jakarta: PT RajaGrafindo Persada

Matematika Ekonomi sebenarnya mencakup pengertian-pengertian,

dalil-dalil, dan rumus-rumus serta teknik-teknik penggunaan

matematika dalam pembahasan persoalan-persoalan ekonomi.

Chiang, A.C.1994. Dasar-Dasar Matematika

Ekonomi Edisi ketiga Jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Matematika ekonomi adalah suatu pendekatan yang digunakan

dalam ekonomi untuk menganalisis masalah ekonomi dengan

menggunakan simbol-simbol matematis yang disyaratkan dalam

suatu permasalahan ekonomi.

Teguh, Muhamad. 2016. Matematika Ekonomi.

Jakarta: PT RajaGrafindo Persada.

Matematika Ekonomi adalah terapan dari matematika murni yang

membahas seputar masalah ekonomi yang dapat mempermudah kita

mempelajari segala hubungan yang bersifat kuantitatif. Pada

matematika ekonomi segala konsepnya digambarkan dengan

menggunakan simbol. Matematika ekonomi dapat mendefinisikan

variabel-variabel yang relevan secara tepat.

Assauri, Sofjan. 2013. Matematika Ekonomi.

Jakarta: PT RajaGrafindo Persada.

Matematika Ekonomi adalah peralatan-peralatan matematika yang

dibutuhkan untuk membantu dalam persoalan-persoalan masalah-

masalah ekonomi.

Lampiran 2 PPT Himpunan & Sistem Bilangan

HIMPUNAN

DAN SISTEM

BILANGAN

Dr. Gede Mekse Korri Arisena

HIMPUNAN ?

Himpunan adalah sekumpulan obyek, yang diberikan batasan serta

dirumuskan secara tegas dan dapat dibedakan satu dengan lainnya. Tiap

obyek, benda atau simbol yang secara kolektif membentuk suatu himpunan

disebut elemen/unsur atau anggota dari himpunan tersebut.

PENULISANNYA

Himpunan dituliskanatau dinyatakan dengan notasi { } dan anggota-

anggotanya ditulis didalam kurung kurawal tersebut. Nama suatu himpunan

ditulis dengan huruf kapital.

Cara untuk menuliskan suatu

himpunan

Pertama : Cara tabulasi (Roster Mathod)

Cara tabulasi adalah suatu caradengan mencantumkan seluruh objekyang menjadi anggota himpunan

Kedua : Cara pencirian (Rule method)

Cara pencirian adalah suatu caradengan menyebutkan karakteristiktertentu dari obyek yang menjadianggota himpunan tersebut.

CONTOH 1-1

A adalah himpunan semua jurusan di FEB UnudHimpunan diatas dapat dinyatakan sebagai berikut :

Kedua : A = {x|x jurusan di FEB Unud}

Pertama:A = {EP,Manajemen,Akuntansi}

Suatu elemen yang merupakan anggota/elemen dari suatu himpunan

dinyatakan dengan notasi (epsilon). Sedangkan untuk menyatakan

bukan anggota dari suatu himpunan dinyatakan dengan notasi .

A = {x|x komoditi non-migas}

Maka,

1 Kopi A 3 Panili A

2 Ikan tuna A 4 Solar A

B = {a, b, c, d}

Maka,

1 a B 3 c B

2 b B 4 f B

Himpunan berhingga dan tak berhinggaHimpunan berhimgga ialah suatu himpunan yang jumlah anggotanyadapat dihitung. Sedangkan himpunan yang jumlah anggotanya tidakdapat dihitung disebut himpunan tak berhingga.

Contoh 1-3Himpunan berhingga,

B = { x|x Jurusan di FEB Unud}B = { Ep, Manajemen, Akuntansi}

Himpunan tak berhinggaP = {x|x Bilangan Asli}P = {1,2,3,4….}

Himpunan ekivalen (Setara)Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B, jika jumlah anggota

himpunan A sama dengan jumlah anggota himpunan B. Notasinya : A ~ B, jika n(A) = n(B).

Contoh 1-9A = {a, b, c}B = {kol, buncis, terung}C = {1, 3, 5}

Maka

n(A) = 3n(B) = 3 Jadi A ~ B ~ Cn(C) = 3

Jumlah himpunan bagian suatu himpunanJika himpunan A memiliki anggota sebanyak n atau n(A) = n, maka

banyakanya himpunan bagian dari A adalah 2n

Contoh

Perhatikan himpunan A = {a, b, c} n = 3, maka himpunan A akan memilikihimpunan bagian sebanyak 23 = 8, yang dapat dirinci sebagai berikut :(1)ᶲ ∈ A (3) {b} ∈ A (5) {a, b} ∈ A (7) {b, c} ∈ A(2){a} ∈ A (4) {c} ∈ A (6) {a, c} ∈ A (8) {a, b, c} ∈ A

Contoh

A = { 5,6,7,8}

B = {1,3,5,7,}

Maka, A – B = {6,8}

Contoh

A = {a,b,c,d,e}

B = {d,e,f,g}

1.6 Hukum-hukum Operasi

Himpunan

1.6 Hukum-hukum Operasi

Himpunan

Pengelompokkan bilangan

Pembagian bilangan atau

hubungan antara macam-macam

bilangan dapat dijelaskan dengan

diagram cabang dan diagramVenn

berikut :

Bil.Komplek

Bil. Real

Bil. Rasional

Bil. Pecahan Bil. Bulat

Bil. Bulat negatif

Bil. cacah

Bil. Asli

Bil. Genap Bil.Ganjil Bil. Prima

Bil. Nol

Bil. Irrasional

Bil. IIrrasional

Pengertian bilangan dan Himpunan bilangan

Dibawah ini akan diberikan pengertian beberapa

bilangan beserta himpunannya.

1. Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah hasil bagi antaradua bilangan yang hasilnya bulattermasuk nol. Jika himpunan bilanganbulat dilambangkan B,maka :

B = {. . . -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . .}

2. Bilangan Asli

Bilangan Asli adalah bilangan-bilanganbulat positif.

Jika himpunan bilangan aslidilambangkan A, maka :

A = { 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

3. Bilangan Cacah

Bilangan Cacah adalah bilangan asli dannol (0)

Jika himpunan bialangan cacahdilambangkan C, maka :

C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

Dibawah ini akan diberikan pengertian

beberapa bilangan beserta himpunannya.

4. Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan asli yang

besarnya tidak sama dengan 1, dan

hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri

dan hanya habis dibagi oleh 1.

Jika himpunan bilangan prima

dilambangkan dengan P, maka :

P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .}

Dibawah ini akan diberikan pengertian

beberapa bilangan beserta himpunannya.

Dr.Gede Mekse Korri Arisena

DEFINISI HIMPUNAN

PENULISAN HIMPUNAN

SISTEM DAN

HIMPUNAN BILANGAN

JENIS HIMPUNAN &

DIAGRAM VENN

HUKUM-HUKUM

OPERASI HIMPUNAN

OPERASI HIMPUNAN

Adalah sekumpulan obyek, yang diberikan batasan serta

dapat dibedakan satu dengan yang lainnya.

CARA TABULASI CARA PENCIRIAN

HIMPUNAN BERHINGGA DAN TAK

BERHINGGA

HIMPUNAN YANG SAMA

HIMPUNAN EKIVALEN

HIMPUNAN SEMESTA DAN HIMPUNAN

BAGIAN

DIAGRAM

YANG

MENUNJUKKAN

GAMBARAN

DAN

HUBUNGAN

SUATU

HIMPUNAN

OPERASI

GABUNGAN

OPERASI

SELISIH

OPERASI

TAMBAH

OPERASI

IRISAN

HUKUM

KOMUTATIF

HUKUM

IDEMPOTEN

HUKUM

DE MORGAN

HUKUM

ASOSIATIF

HUKUM

DISTRIBUTIF

BILANGAN

BULAT

BILANGAN

CACAH

BILANGAN

ASLI

BILANGAN

IRRASIONAL

BILANGAN

RASIONAL

BILANGAN

KOMPLEK

BILANGAN

PRIMA