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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO
Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Engenharia de Minas
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – PPGEM
DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE CÂMARAS E PILARES EM
CAMADAS INCLINADAS
Mestrando: Alcides Eloy Cano Nunez
Orientador: Prof. Dr. Ivo Eyer Cabral
Ouro Preto – MG
Dezembro, 2016
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DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE CÂMARAS E PILARES EM
CAMADAS INCLINADAS
Mestrando: Alcides Eloy Cano Nunez
Orientador: Prof. Dr. Ivo Eyer Cabral
Co-orientador: Prof. Dr. Rodrigo Pelucci
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação do Departamento de
Engenharia de Minas da Escola de Minas
da Universidade Federal de Ouro Preto,
como parte integrante dos requisitos para
obtenção do título de Mestre em
Engenharia Mineral.
Área de concentração: Lavra de Minas.
Ouro Preto – MG
Dezembro, 2016
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO
Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Engenharia de Minas
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – PPGEM
3
4
5
Nenhum homem realmente produtivo pensa como
se estivesse escrevendo uma dissertação - “Albert
Einstein”.
“Albert Einstein”
6
DEDICATÓRIA
Dedico o presente trabalho de dissertação à minha mãe,
que com seus conselhos, apoio e exemplo de vida me
soube guiar para aprender a lutar.
A meus irmãos, pelo apoio e paciência.
A meus professores da UFOP, deles aprendi e recebi
seus conhecimentos.
Aos meus amigos, pelo apoio incondicional que me
deram nos momentos mais difíceis.
7
AGRADECIMENTOS
A Deus, meu eterno mestre
À Universidade Federal de Ouro Preto e seus profissionais, pela formação acadêmica
que me faz credor.
Ao Prof. Rodrigo Peluci de Figueiredo, pelo encaminhamento e direcionamento da
presente dissertação; assim como, também, pelo apoio, compreensão, ensino e
conselhos.
Aos professores Ivo Eyer Cabral e Adilson Curi pela ajuda e amizade.
A meu grande amigo Carlos Arroyo, por sua amizade incondicional.
A Bruno e Vladimir; meus bons colegas e amigos. Com eles aprendi e compartilhei
ensinamentos.
Ao Programa CAPES/DS, pelo suporte financeiro.
8
RESUMO
Um dos problemas mais importantes na mineração por “câmaras e pilares” em camadas
inclinadas, é tornar máxima a sua recuperação, isto é, obter o maior aproveitamento da
jazida. A recuperação é uma função não-linear das dimensões dos pilares e dos vãos das
câmaras. Por outro lado, tanto os pilares quanto os vãos têm suas dimensões restringidas
por questões geomecânicas, pois devem satisfazer a certos limites de resistência. A
maximização da recuperação sujeita às restrições de resistência, caracteriza um
problema de programação matemática não-linear. Neste trabalho, propõe-se tratar o
dimensionamento das câmaras e pilares em camadas inclinadas via técnicas de
programação não-linear, tendo como objetivo maximizar a recuperação.
Por outro lado, os pilares em camadas inclinadas estão sujeitos a momentos, forças
normais e forças cisalhantes antisimétricas. Para contemplar tais carregamentos, será
utilizada a mecânica dos meios contínuos generalizados de Cosserat. Objetiva-se
também avaliar a estabilidade de pilares com planos de descontinuidade por essa mesma
formulação da mecânica do contínuo.
Palavras Chave: meios contínuos generalizados de Cosserat, otimização de recuperação,
programação não linear, área tributária.
9
ABSTRACT
One of the most important problems in mining by "room and pillars" in inclined seams,
is to maximize the recovery, that is, gets the most use of the deposit. Recovery is a
nonlinear function of the pillar dimensions and spans of the rooms. On the other hand,
the dimensions of pillars and spans of rooms are constrained by geomechanical issues:
the limits of strength must be satisfied. Recovery maximization, subject to the
constraints of strength, is a problem of nonlinear mathematical programming. This work
proposes to address the room and pillars design in inclined beds by means of nonlinear
optimization techniques, aiming at to maximize the recovery. On the other hand, the
pillars on inclined seams are subject to moments, normal and anti-symmetric shear
forces. To address such loads will be used the Cosserat generalized continuum
mechanics. We also intend to evaluate the stability of pillars with discontinuities
according to this same formulation of continuum mechanics.
Key words: Cosserat generalized continua, recovery optimization, nonlinear
programming, tributary area.
10
SUMARIO
1 CAPÍTULO I 19
1.1 INTRODUÇÃO. 19
1.2 JUSTIFICATIVA. 20
1.3 PERGUNTAS DA PESQUISA. 21
1.4 OBJETIVO DO ESTUDO. 21
1.5 METODOLOGIA DO ESTUDO. 22
2 CAPÍTULO II 23
2.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 23
2.2 CONSIDERAÇÕES PARA O DIMENSIONAMENTO DE UM PILAR. 24
2.2.1 ESTADO DE TENSÕES IN SITU. 24
2.2.2 ÁREA TRIBUTÁRIA. 25
2.2.2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O MÉTODO DA ÁREA TRIBUTÁRIA. 25
2.2.3 EFEITO DA FORMA DO PILAR. 28
2.2.4 ANÁLISE BIDIMENSIONAL DO ESTADO DE TENSÕES E TENSÕES-
MOMENTO PARA MEIOS CONTÍNUOS GENERALIZADOS DE COSSERAT. 31
2.2.5 CÍRCULO DE MOHR CLÁSSICO PARA UM ESTADO DE TENSÕES 2D. 33
2.2.5.1 APRESENTAÇÃO NÃO-CLÁSSICA DO ESTADO DE TENSÕES DUM
PILAR NO ESPAÇO DE MOHR
34
2.2.6 OUTRAS PARTICULARIDADES EM UMA AVALIAÇÃO DE PILARES. 38
2.2.6.1 PILARES ALINHADOS COM A FORÇA RESULTANTE. 38
2.2.6.2 PILARES NORMAIS À CAMADA E COM PLANOS DE FRAQUEZA. 42
2.2.7 RESTRIÇÕES NO DIMENSIONAMENTO DE CÂMARAS E PILARES 44
2.2.7.1 FLEXÃO PURA EM VIGAS E LAJES. 44
2.2.7.2 TENSÕES DEVIDO AO PESO PRÓPRIO DA LAJE. 45
2.2.8 CAPACIDADE DE CARGA DAS FUNDAÇÕES DOS PILARES 46
3 CAPÍTULO III 48
3.1 DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE PILARES DE SEÇÃO QUADRADA. 48
3.1.1 ÁREA TRIBUTÁRIA PARA UM PILAR EM CAMADA INCLINADA. 49
3.1.1.1 ESFORÇOS E TENSÕES IN SITU. 49
3.1.1.2 TENSÕES QUE ATUAM NO PILAR. 49
3.1.1.3 TENSÕES SOLICITADAS AO PILAR. 51
3.1.2 EFEITO DA FORMA NO DESENHO DO PILAR. 52
3.1.2.1 FATOR SE SEGURANÇA – ESFORÇO APLICADO E ESFORÇO
ADMISSÍVEL. 53
3.1.2.1.1 RELAÇÃO ENTRE O ESFORÇO DE RESISTÊNCIA DO PILAR E O
ESFORÇO APLICADO
54
3.1.2.1.2 TENSÃO CISALHANTE NO PILAR. 54
3.1.3 ANÁLISES DE MOMENTOS. 55
3.1.3.1 TENSÃO MOMENTO ASSOCIADO À GRADIENTE DE TENSÕES. 55
3.1.3.1.1 CALCULO DO MOMENTO TENSOR GERADO PELA GRADIENTE DO
ESFORÇO VERTICAL. 57
3.1.3.1.2 CALCULO DO MOMENTO TENSOR GERADO PELA GRADIENTE DO
ESFORÇO HORIZONTAL. 58
3.1.3.2 CALCULO DA TENSÃO CISALHANTE ANTISSIMÉTRICA
RESPONSÁVEL POR GERAR TENSÃO MOMENTO. 58
3.1.3.3 TENSÃO MOMENTO ATUANTE NO TOPO DO PILAR. 60
3.1.3.4 MOMENTO CRIADO PELO SISTEMA NO PILAR. 61
11
3.1.3.4.1 MOMENTO NO CONTATO TETO E TOPO DO PILAR. 62
3.1.3.4.2 MOMENTO RESULTANTE NA METADE DA ALTURA DO PILAR. 62
3.1.4 TENSÕES INDUZIDAS DEVIDO AO MOMENTO RESULTANTE NA METADE
DO PILAR. 63
3.1.4.1 ESFORÇOS DE COMPRESSÃO MÁXIMO E MÍNIMO NA SEÇÃO DE
SUPORTE DO PILAR.
64
3.1.5 RESTRIÇÕES NO DIMENSIONAMENTO DE CÂMARAS E PILARES. 65
3.1.5.1 RESTRIÇÃO POR FLEXÃO DE UMA LAJE SIMPLES. 65
3.1.5.1.1 TENSÕES DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO DEVIDO AO MOMENTO
GERADO PELO PESO DA LAJE. 66
3.1.5.1.2 TENSÕES DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO DEVIDO A PESO DE UMA
LAJE. 67
3.1.5.1.3 TENSÕES DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO DEVIDO AO PESO DE UM
CONJUNTO DE LAJES.
68
3.2 PILARES DE SEÇÃO RETANGULAR. 71
3.2.1 RELAÇÃO ENTRE FATOR DE SEGURANÇA, ESFORÇO DE RESISTÊNCIA E
TENSÃO NORMAL SOLICITADA AO PILAR. 73
3.3 PILARES NÃO PERPENDICULARES À CAMADA MINERAL. 73
3.3.1 MOMENTO ANTISSIMÉTRICO NUM PILAR INCLINADO COM RELAÇÃO À
CAMADA. 74
4 CAPÍTULO 4 75
4.1 AVALIAÇÃO VIA ALGORITMOS DE PROGRAMAÇÃO. 75
4.2 DADOS GERAIS DA ZONA DE ESTUDO. 75
4.2.1 DADOS GERAIS. 75
4.2.2 TEORIAS A SEREM ANALISADAS. 76
4.2.2.1 TEORIA DOS MEIOS CONTÍNUOS COMPARADA COM A MECÂNICA
CLÁSSICA. 77
4.2.3 PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO. 78
4.2.3.1 ANÁLISE MECÂNICA DE COSSERAT E MECÂNICA CLÁSSICA. 78
4.2.3.2 RESPOSTAS DE OTIMIZAÇÃO E ALGORITMOS. 79
5 CAPÍTULO 5 80
5.1 CONCLUSÕES E RESPOSTAS ÀS PERGUNTAS DA PESQUISA 80
12
LISTA DE FIGURAS. FIGURA 1. TENSÕES PRINCIPAIS IN SITU (AUTOR). ....................................................... 24
FIGURA 2. ARRANJO SISTEMÁTICO DE CÂMARAS E PILARES DE SEÇÃO
QUADRADA: (A) ADAPTADA DE HOEK & BROWN (1980); (B) CASO DE UMA
ÁREA DE LAVRA LIMITADA. ....................................................................................... 27
FIGURA 3. PILAR NUMA CAMADA INCLINADA SUJEITO A TENSÕES CISALHANTES
ANTISSIMÉTRICAS E TENSÕES-MOMENTO. ............................................................ 28
FIGURA 4. CURVAS TENSÃO X DEFORMAÇÃO: ANALOGIA ENTRE OS
COMPORTAMENTOS DE CORPO DE PROVA EM COMPRESSÃO UNIAXIAL E
PILARES DE MINA (ADAPTADA DE HUDSON & HARRISON, 1997). ..................... 30
FIGURA 5. ANÁLISE DE UM PONTO SUBMETIDO A TENSÕES MOMENTO, NORMAIS
E CISALHANTES (MODIFICADA DE FIGUEIREDO, 1999, 2011). ............................. 32
FIGURA 6. EFEITO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NÃO SIMÉTRICAS DE
COSSERAT: ΤS PRODUZ DISTORÇÕES ANGULARES E ΤA PRODUZ ROTAÇÃO
(ADAPTADA DE MINDLIN, 1963).................................................................................. 33
FIGURA 7. CÍRCULO DE MOHR CLÁSSICO (FIGUEIREDO, 2014). ................................. 34
FIGURA 8. PILAR NUMA CAMADA INCLINADA SUBMETIDA A TENSÕES DE
COMPRESSÃO E DE CISALHAMENTO NÃO CONJUGADAS. .................................. 36
FIGURA 9. APRESENTAÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR NÃO-CLÁSSICO PARA
PILARES EM CAMADAS INCLINADAS (MODIFICADO DE PARISEAU, 2007). .... 37
FIGURA 10. PILAR INCLINADO EM RELAÇÃO AO EIXO PERPENDICULAR À
CAMADA. .......................................................................................................................... 39
FIGURA 11. FORÇA RESULTANTE FR E SUAS COMPONENTES ORTOGONAIS FH E
FV (AUTOR). ..................................................................................................................... 40
FIGURA 12. FORÇA RESULTANTE FR E SUAS COMPONENTES ORTOGONAIS
SEGUNDO H’-V’ (AUTOR). ............................................................................................ 41
FIGURA 13. TENSÕES NO PLANO H’-V’ PARA UM PILAR ALINHADO COM A FORÇA
RESULTANTE (AUTOR E FIGUEIREDO). .................................................................... 42
FIGURA 14. PILAR COM PLANO DE FRAQUEZA (AUTOR). ............................................ 42
FIGURA 15. ESTADO DE ANÁLISES DE FLEXÃO PURA (AUTOR). ............................... 44
FIGURA 16. ESFORÇOS DEVIDO AO SEU PRÓPRIO PESO (ADAPTADA DE COATES).
............................................................................................................................................. 45
FIGURA 17. MECANISMO DE COLAPSO DA FUNDAÇÃO DE UM PILAR (BRADY &
BROWN, 2004). ................................................................................................................. 46
FIGURA 18. TENSÕES IN SITU EM EIXOS HV E TENSÕES IN SITU EM UM PLANO
H’V’ (AUTOR). .................................................................................................................. 49
FIGURA 19. SITUAÇÃO DO PILAR SUBMETIDO A ESFORÇOS NUM PLANO HV E
H’V’ (AUTOR E FIGUEIREDO). ..................................................................................... 50
FIGURA 20. CARREGAMENTO SOLICITADO AO PILAR (AUTOR). ............................... 51
FIGURA 21. PILAR SUBMETIDO A UMA TENSÃO MÉDIA E UMA GRADIENTE DE
ESFORÇOS (AUTOR). ...................................................................................................... 56
FIGURA 22. TENSÃO MOMENTO DEVIDO À TENSÃO GRADIENTE VERTICAL “MVZ”
E HORIZONTAL “MHZ” (AUTOR E FIGUEIREDO). ..................................................... 56
FIGURA 23. ESFORÇOS SIMÉTRICOS E ANTISSIMÉTRICOS (AUTOR). ........................ 59
13
FIGURA 24. ESFORÇOS DE MOMENTO EM RELAÇÃO AO CENTRO O’ (AUTOR). ..... 61
FIGURA 25. ESTADO DOS MOMENTOS QUE AGEM NO PILAR (AUTOR). ................... 63
FIGURA 26. CAMADAS INCLINADAS SUJEITAS À DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO
PURA (AUTOR). ................................................................................................................ 66
FIGURA 27. ZONA DA LAJE SUJEITA A ESFORÇOS DE COMPRESSÃO – TRAÇÃO. .. 67
FIGURA 28. GRUPO DE LAJES SEPARADAS DE UM CONJUNTO DE LAJES. ............... 69
FIGURA 29. SEÇÃO DE PLANTA NUM PLANO XY’- CÂMARAS E PILARES. .............. 71
FIGURA 30. PERFIL BB’ E SEÇÃO DE UM PILAR RETANGULAR NO PLANO XY’. .... 72
FIGURA 31. ESTADO DE TENSÕES CISALHANTES E MOMENTOS NUM PILAR COM
INCLINAÇÃO À CAMADA. ............................................................................................ 74
FIGURA 32. APRESENTAÇÃO 3D DE CÂMARAS E PILARES EM CAMADAS
INCLINADAS. ................................................................................................................... 76
FIGURA 33. DISPOSIÇÃO DE PILARES COM RELAÇÃO À CAMADA A SEREM
ANALISADOS. .................................................................................................................. 77
FIGURA 34. CÍRCULO DE MOHR NÃO CONVENCIONAL. ............................................... 88
FIGURA 35. TENSÃO CISALHANTE, SIMÉTRICA E ANTISSIMÉTRICA, QUE ATUAM
EM UM PILAR. .................................................................................................................. 89
FIGURA 36. MOMENTO E ESFORÇOS CISALHANTES QUE ATUAM GERANDO
MOMENTO NUM PILAR. ................................................................................................ 90
FIGURA 37. APRESENTAÇÃO EM 3D DE UM SISTEMA DE CÂMARAS E PILARES
(AUTOR). ........................................................................................................................... 91
FIGURA 38. VIGA EM BALANÇO (ADAPTADA DE BEER ET AL.,2007). ....................... 91
FIGURA 39. FLEXÃO E RAIO DE CURVATURA DE UMA VIGA. .................................... 92
FIGURA 40. FLEXÃO E ÂNGULO DE CURVATURA DE UMA VIGA. ............................. 92
FIGURA 41. ESTADO DE TENSÕES EM UMA VIGA SUBMETIDA À TRAÇÃO E
COMPRESSÃO INDUZIDA PELA FLEXÃO. ................................................................. 93
FIGURA 42. LAJES FLEXIONADAS PELA AÇÃO DO SEU PRÓPRIO PESO (AUTOR). . 97
FIGURA 43. SISTEMA DE UM DIFERENCIAL DE LAJE (AUTOR). .................................. 97
FIGURA 44: SITUAÇÃO DE UMA LAJE COMO APOIOS SIMPLES (AUTOR). ............. 102
FIGURA 45 PILARES DE LARGURA INFINITA. ................................................................ 106
FIGURA 46. ESQUEMA DE UM PILAR RETANGULAR E A CARGA DISTRIBUÍDA... 110
FIGURA 47. VISTA EM PLANO DAS DISTRIBUIÇÕES DE CARGA EM UM PILAR COM
SEÇÃO RETANGULAR.................................................................................................. 110
FIGURA 48. DIFERENCIAÇÃO DE ÁREA E ANÁLISE INTEGRAL DE FORÇAS
(AUTOR). ......................................................................................................................... 114
14
LISTA DE QUADROS. QUADRO 1. FÓRMULAS PARA O DIMENSIONAMENTO DE CÂMARAS E PILARES
PELO MÉTODO DA ÁREA TRIBUTÁRIA. .................................................................... 26
QUADRO 2. FÓRMULAS PARA SE DETERMINAR A RESISTÊNCIA DO PILAR,
CONFORME O EFEITO DE FORMA. ............................................................................. 31
QUADRO 3. FÓRMULAS PARA SE DETERMINAR AS TENSÕES E TENSÕES-
MOMENTO NUM DADO PLANO (ADAPTADA DE FIGUEIREDO, 2011) -
EQUAÇÕES DE TRANSFORMAÇÃO. OBS.: VER FIG. 5 PARA SIGNIFICADO DOS
SÍMBOLOS. ....................................................................................................................... 33
15
LISTA DE TABELAS. TABELA 1. LITOLOGIA E PROPRIEDADES DO MATERIAL ROCHOSO. ....................... 75
TABELA 2. INFORMAÇÃO GERAL PARA OS PILARES E AS CAMADAS. .................... 77
TABELA 3. RESUMO DE DADOS OTIMIZADOS VIA ALGORITMOS COM
APLICAÇÕES DA TEORIA DE COSSERAT E MECÂNICA CLÁSSICA. ................... 78
16
LISTA DE ANEXOS
ANEXO A: DEDUÇÃO DAS FÓRMULAS APRESENTADAS NO QUADRO N° 3 .............................................. 85
ANEXO B: ANÁLISE DE TENSÕES E MOMENTOS EM UM PILAR .................................................................. 89
ANEXO C: ANÁLISE DE ESTABILIDADE DAS LAJES. ....................................................................................... 91
ANEXO D: ALGORITMO PARA AVALIAR UM SISTEMA DE LAJES INSTÁVEIS. ....................................... 103
ANEXO E: DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE RESISTÊNCIA DE UM PILAR COM SEÇÃO RETANGULAR,
APARTIR DA EQUAÇÃO DE BENIAWSKI. ............................................................................................... 106
ANEXO F: DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE RESISTÊNCIA DE UM PILAR COM SEÇÃO RETANGULAR,
APARTIR DA EQUAÇÃO DE SALOMON E MUNRO. ............................................................................... 113
ANEXO G: DADOS DE ROCK LAB E ALGORITMOS DE SOLUÇÃO (PARTE 1 E PARTE 2)........................ 118
17
LISTA DE SIMBOLOS. σV = Esforço vertical. σ1 = Esforço principal maior. σH = Esforço horizontal. σ3 = Esforço principal menor. K = Constante de proporção entre os esforços horizontal e vertical. Z = Profundidade. WP = Comprimento do pilar. WO = Comprimento dos vãos ou distancia entre as laterais de um pilar a outro numa câmara. LO = Largura do vão. LP = Largura do pilar. HP = Altura do pilar. σV’ = Esforço que atua no sentido do eixo V’. σH’ = Esforço que atua no sentido do eixo H’. τH’V’ = Esforço cisalhante no pano H’V’. τV’H’ = Esforço cisalhante no pano V’H’. M = Momento. τa = Esforço antissimétrico. τs = Esforço simétrico. γ = Peso específico. At = Área total correspondente à zona de influência definida pela região de suporte do pilar. AP = Área do pilar. σadm = Esforço admissível ou esforço de resistência máxima. σaplic = Esforço a que é submetido o pilar. Fs = Fator de segurança. R = Fator de recuperação de minério num método de lavra de câmaras e pilares. σr = Esforço de resistência admissível para o pilar em função da forma. = Esforço de resistência à compressão de um bloco de dimensões unitárias. σxx = Esforços atuantes no plano X; e variantes para eixos relativos. σyy = Esforços atuantes no plano Y; e variantes para eixos relativos. τxy = Esforço cisalhante no pano X; e variantes para eixos relativos. τyx = Esforço cisalhante no pano Y; e variantes para eixos relativos. σx’ = Esforços atuantes no plano X’; e variantes para eixos relativos. σy’ = Esforços atuantes no plano Y’; e variantes para eixos relativos. τx’y’ = Esforço cisalhante no pano X’ com sentido a Y’; e variantes para eixos relativos. τy’x’ = Esforço cisalhante no pano Y’ com sentido a X’; e variantes para eixos relativos. σp = Esforço normal atuante na seção de contato do pilar com rocha sobrejacente. τp = Esforço cisalhante na seção de contato do pilar com rocha sobrejacente. A = Denominação do comprimento nas análises de esforços, e ponto em algumas imagens. MX’Z = Momento no eixo X’. MXZ = Momento no eixo X. MYZ = Momento no eixo Y. MVZ = Momento no eixo X. MHZ = Momento no eixo Y. C = Coesão. Φ = Ângulo de atrito. αj = Ângulo que forma o plano a camada inclinada com a descontinuidade do pilar. E = Módulo de Young. ICG = Momento de inércia com relação ao centro da seção. ∆z = Diferença de altura entre dois pontos. ∆σV = Acréscimo de esforço vertical. ∆σH = Acréscimo de esforço horizontal. MO = Momento em relação ao centro de um determinado elemento.
1
C
18
MP = Momento que atua no topo do pilar. σt = Esforço de resistência à tração. σc = Esforço de resistência à compressão. RB/A = Reação do corpo A em B. RA/B = Reação do corpo B em A.
19
1 CAPÍTULO I
1.1 INTRODUÇÃO.
O esgotamento dos recursos naturais nas últimas décadas vem sendo um problema para
as sociedades no mundo inteiro; a demanda de minério é cada vez maior e está ligada ao
aumento do consumo. Em decorrência, as empresas dedicadas á indústria mineral
precisam fornecer volumes crescentes destes recursos.
Percebe-se que, nos últimos anos, as jazidas a céu aberto disponíveis, cada vez mais,
foram diminuindo em volume e quantidade. No passado elas forneceram, com relativa
facilidade e rapidez, os recursos minerais necessários, além de um maior retorno
econômico às empresas. Devido à escassez de minério próximo à superfície, os estudos
de pesquisa mineral direcionaram-se para a mineração subterrânea, a qual foi se
tornando de maior relevância. Os estudos de geotecnia, no entanto, não acompanharam
totalmente as necessidades dos projetos de mineração subterrânea. Ainda assim, isto não
foi um entrave à implantação de vários projetos de mineração subterrânea até a
atualidade, não obstante, muitas vezes com baixas recuperações.
Os tipos de corpos de minério, suas formas e distribuição na natureza dependem de
fatores como: solução mineralizante, a disponibilidade da rocha para receber soluções
magmáticas, descontinuidades que facilitem a intrusão etc. Cada rocha é particular e
diferente, mesmo em se tratando de um mesmo litotipo; suas características são
determinadas pela textura, mineralogia, arranjo dos minerais constituintes;
características essas que irão depender muito do posicionamento espacial da rocha. Este
estudo abordará corpos de minério horizontais ou sub-horizontais, cujo método de lavra
é por Câmaras e Pilares.
A finalidade deste estudo é determinar as dimensões ótimas da seção de um pilar, com
base em estudos de Mecânica das Rochas como ferramenta principal de projeto. Isto é
20
possível, estabelecendo-se funções de recuperação do jazimento, cujas variáveis são
geométricas: dimensões de pilares e câmaras. Tais variáveis, por sua vez, são sujeitas a
restrições geomecânicas (limites de resistência das rochas), as quais devem ser
respeitadas para garantir a estabilidade do arranjo de lavra. A combinação dessas
funções de recuperação e das restrições goemecânicas apropriadas pode ser codificada
em algoritmos de programação matemática1 não linear, cujo objetivo é achar as
respostas ótimas (no caso, o máximo da recuperação).
Atualmente, na mineração subterrânea aplicam-se principalmente técnicas de avaliação
e estimativas determinísticas; conseqüentemente, as análises computacionais utilizadas
costumam se basear em premissas (dados e teorias) tidas como conservadoras. Em
decorrência, os resultados são muitas vezes ruins, levando a problemas geomecânicos
e/ou a ganhos baixos. Estudos estocásticos podem melhorar a situação no que diz
respeito aos dados determinísticos conservadores. Porém, com relação às teorias
conservadoras há que se refiná-las, tornando-as mais realistas, para que se possa obter
uma solução otimizada.
1.2 JUSTIFICATIVA.
É relevante para a indústria dimensionar pilares com seção mínima, maximizando,
assim, a recuperação dos jazimentos. Particularmente, para pilares em camadas
inclinadas, pretende-se demonstrar nesta dissertação que, devido aos esforços
cisalhantes anti-simétricos e aos momentos neles atuantes, a aplicação da teoria dos
meios contínuos generalizados de Cosserat (Cosserat & Cosserat, 1896, 1909 - apud
Figueiredo, 1999), cuja formulação teórica incorpora tais grandezas estáticas, aplica-se
com propriedade ao seu dimensionamento ótimo. Para tanto, serão criados modelos de
programação matemática não-linear, em que o objetivo de maximizar a recuperação
ficará expresso por uma função dependente das variáveis geométricas do arranjo de
1 Far-se-á uso, nesta dissertação, do software MathCad na busca de soluções via programação
matemática não linear.
21
lavra, sujeito a restrições de resistência de pilares e vãos das câmaras, que dependem
das tensões cisalhantes anti-simétricas e dos momentos incidentes nos pilares.
1.3 PERGUNTAS DA PESQUISA.
Algumas perguntas específicas são focadas nesta pesquisa, a saber:
- É determinante uma análise que considere corretamente todos os esforços atuantes em
pilares de camadas inclinadas (cisalhamento anti-simétrico e momentos)?
- Existe diferença para a recuperação final entre orientar os pilares perpendicularmente à
camada ou alinhá-los com a direção dos esforços in situ?
- Quais são as particularidades do dimensionamento de pilares em camadas inclinadas?
1.4 OBJETIVO DO ESTUDO.
O objetivo principal desta dissertação é dimensionar de maneira ótima pilares e vãos em
camadas inclinadas, maximizando a recuperação resultante, ao mesmo tempo em que
são respeitadas as restrições geotécnicas impostas pela resistência dos pilares e dos
estratos sobrejacentes. Para tanto, será considerada a mecânica do contínuo generalizada
de Cosserat (Cosserat & Cosserat, 1896, 1909 - apud Figueiredo, 1999), com a
existência de carregamentos por cisalhamento anti-simétrico e momentos.
O dimensionamento será colocado na forma de um problema padrão de programação
matemática não linear, no qual a função objetivo é a recuperação e as restrições são
desigualdades nas quais os esforços atuantes devem ser inferiores (menores ou iguais)
às respectivas resistências, afetadas por certa margem de segurança (divididas por um
fator de segurança). Os valores das dimensões ótimas para a seção do pilar e os vãos
fornecem o arranjo de lavra que permitirá extrair a maior quantidade de minério
possível, tornando máxima sua recuperação e, conseqüentemente, obtendo-se o melhor
aproveitamento da jazida.
22
1.5 METODOLOGIA DO ESTUDO.
Para o desenvolvimento do presente estudo, far-se-á, primeiramente, uma revisão
bibliográfica das teorias associadas ao dimensionamento de pilares. Em seguida, um
estudo dos conceitos de mecânica generalizada de Cosserat (Cosserat & Cosserat, 1896,
1909 - apud Figueiredo, 1999) para aplicá-la na determinação dos esforços que agem no
pilar numa determinada situação. E também, para criar modelos, baseados em conceitos
de mecânica das rochas, que resultem em equações envolvendo a resistência do maciço
rochoso. Finalmente, serão criados, com base nos conceitos acima, modelos de
programação não linear, compreendendo uma função objetivo (recuperação), com as
variáveis geométricas do arranjo de lavra (dimensões de vãos e pilares), e restrições que
dependam das características de resistência da rocha, de maneira a determinar uma
seção ótima para os pilares.
23
2 CAPÍTULO II
2.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O dimensionamento de pilares e vãos numa lavra pelo método de câmara e pilares é um
problema que concerne à mecânica das rochas aplicada. Existem alguns métodos
consagrados, com embasamento racional e/ou empírico, que foram formulados
originalmente para camadas sub-horizontais. A aplicação desses métodos ao projeto de
pilares em camadas inclinadas fornece, entretanto, soluções inadequadas, já que a
hipótese adotada para as cargas atuantes não tem abrangência suficiente para o
problema de um pilar numa camada inclinada, na medida em que contemplam apenas a
força axial (ou normal ao plano da camada). Nesse sentido, acredita-se que sejam
requeridas teorias mais apropriadas, nas quais fiquem definidos não só a força axial,
mas todos os esforços, tensões cisalhantes e momentos atuantes.
Como já mencionado no Cap. 1, nesta dissertação o dimensionamento será colocado na
forma de um problema padrão de programação matemática não linear, com vistas a
otimizar a recuperação, respeitando-se, no entanto, as restrições impostas às dimensões
de vãos e pilares pelas resistências dos maciços rochosos envolvidos. Já existem
disponíveis, ferramentas computacionais que permitem colocar (escrever) o problema
diretamente na forma padrão, qual seja: com uma função objetivo a ser maximizada (a
recuperação) e suas restrições, que geralmente são funções limitadas por meio de
inequações. Essas ferramentas computacionais, com seus algoritmos próprios para
solução de problemas de programação matemática não linear, permitem uma interação
de todas as funções participantes no problema conduzindo a uma resposta compatível
com o objetivo de maximizar a recuperação. É importante salientar que essa solução
pode não ser única e por vezes até mesmo inexiste, principalmente, se o problema não
for bem colocado (isto é, se não tiver suas restrições adequadamente formuladas). Neste
capítulo serão apresentados os métodos e/ou teorias a serem utilizados para formular as
funções que entrarão no problema de dimensionamento suprareferido. Serão discutidos
os métodos clássicos de dimensionamento de pilares, bem como, a aplicação da teoria
24
dos meios contínuos generalizados de Cosserat ao caso de camadas inclinadas, que é o
tema central desta dissertação.
2.2 CONSIDERAÇÕES PARA O DIMENSIONAMENTO DE UM PILAR.
2.2.1 ESTADO DE TENSÕES IN SITU.
As tensões in situ são a causa primária das tensões atuantes em um pilar. A escavação
do arranjo de lavra irá apenas concentrar tais tensões. Para estimá-las, faremos uso da
hipótese básica de estimação, qual seja (Brady & Brown, 2004): a tensão vertical, σV, e
a tensão horizontal, σH, são componentes principais; essa hipótese é válida para
topografia plana e/ou profundidades elevadas. Abaixo se definem o valor dessas
componentes principais (ver Fig. 1):
zV (1)
VH KzK (2)
onde é o peso específico médio das rochas sobrejacentes ao ponto considerado (Fig.
1); z a sua profundidade (Fig. 1) e K o valor da razão VH / (se K > 1, H é a tensão
principal maior ( 1 ) e V é a tensão principal menor ( 3 ); se K < 1, V é a tensão
principal maior ( 1 ) e H é a tensão principal menor ( 3 ))
Figura 1. Tensões principais in situ (Autor).
Superfície
z
z
K z
V
HA
25
z
1
1000
1725.0
O valor de K deve ser estimado ou medido. Por exemplo, de acordo com a teoria de
Sheorey (1994), pode-se estimá-lo como segue:
(3)
onde,
E é o Módulo de Young médio das rochas sobrejacentes em GPa e
z é a profundidade dada em metros.
2.2.2 ÁREA TRIBUTÁRIA.
A teoria da área tributária (Brady & Brown, 2004; Pariseau, 2007 etc.) é um método
simples, que permite determinar as tensões médias atuantes nos pilares com base em
simples considerações de equilíbrio de forças na direção vertical (Brady & Brown,
2004). Para tanto, iguala-se o peso da coluna de rocha sobrejacente à reação vertical
exercida sobre a área de influência (ou "tributária") do pilar (que abrange o próprio pilar
e suas cercanias indo até a metade dos vãos adjacentes). A tensão média assim
determinada é comparada com a resistência do pilar majorada por um fator de
segurança, devendo ser inferior ou igual a essa última. Nos itens seguintes, será
apresentado tal método e as respectivas fórmulas de cálculo que permitem dimensionar
os pilares, sendo ainda tecidas algumas considerações sobre o comportamento dos
mesmos e sobre o fator de segurança a ser adotado.
2.2.2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O MÉTODO DA ÁREA TRIBUTÁRIA.
Como mencionado acima, essa metodologia permite estimar uma tensão média à qual o
pilar ficará submetido. Tal tensão é admitida uniforme, isto é, com o mesmo valor em
todos os pontos do pilar. As principais premissas assumidas são as seguintes (Jaeger &
Cook, 1979): a área de lavra é extensa em relação à profundidade; inexiste
redistribuição de carga para os limites da área de lavra (pois, hipoteticamente, tal área é
infinitamente extensa e, portanto, ilimitada) e todos os pilares são igualmente
26
TENSÕES ATUANTES RECUPERAÇÃO FATOR DE SEGURANÇA
p vAt
Ap
v Z
RAt
At
Ap
R 1L pWp
Wo
RFs
p
p : Tensão média no pilar
v : Tensão vertical in situ
At : Área total (área de influência)
Ap : Área do pilar
R : Recuperação R : Resistência do Pilar
Wp : Largura do pilarL p : Comprimento do pilar
Wo : Largura do vãoLo : Comprimento do vão
: Peso específico
Z : Profundidade da escavação
Wp Lo Lp
carregados (também em decorrência da hipótese de extensão infinita da área de lavra).
Além disso, costuma-se assumir um valor de peso específico médio para as rochas
sobrejacentes e uma profundidade uniforme para a camada lavrada.
O método da área tributária fornece uma tensão média no pilar ( P ) que é função da
tensão vertical in situ ( V , Eq. (1)) e da razão ( pt AA / ) da área de influência (ou
tributária, tA ) pela área da seção resistente do pilar ( pA ), a qual vem a ser a área de
contato com o teto, a saber: ptVP AA / . A expressão resultante considera que o
peso do prisma de rocha sobrejacente à área tributária (= tV A ) é equilibrado pela
reação vertical gerada na seção resistente do pilar (= pP A ). Naturalmente, a
resistência do pilar deverá ser igual ou maior que P (para efeito de projeto, considera-
se, ainda, uma majoração da mesma pelos fatores de segurança). Para um maior
entendimento da questão apresentamos a Fig. 2.
No Quadro 1 apresentam-se as fórmulas de cálculo próprias do método da área
tributária.
Quadro 1. Fórmulas para o dimensionamento de câmaras e pilares pelo método da área tributária.
Editado por: Rodrigo Peluci e Autor
27
ptlavrada AAA
t
pt
t
lavrada
A
AA
A
A
t
p
t
lavrada
A
AR
A
A 1
Wp
Lp
Wo
Lo
Area Lavrada
Area total
Lo/2
Wo
/2
Area do Pilar
Limite de lavra
Limite
WoWp
Wp
( Wo W )pÁrea do pilar
Área de influência
(tributária)
Wo+
Wp
Wp
Wo+Wp
Wp
Figura 2. Arranjo sistemático de câmaras e pilares de seção quadrada: (a) adaptada de Hoek &
Brown (1980); (b) caso de uma área de lavra limitada.
Da Fig. 2 pode-se concluir o seguinte:
(a)
(b)
(a)
(b)
28
))((1
PCPO
PP
LWWW
LWR
p
t
P
PO
A
A
RW
WW
1
12
Z
Wo/2
Wp
Wo/2
Wo/2: Metade do vãoWp : Comprimento do pilarHp : Altura do pilar
Hp
Superfície
W
PilarPonto A
Z : Altura da superfície até o ponto A
(4)
onde,
R = recuperação do minério.
Quando WP = LP e WO = LO:
(5)
e
Daí vem que: )1/( RVp (Brady & Brown, 2004; Pariseau, 2007).
No que foi apresentado acima, considerou-se o caso básico da teoria da área tributária,
para camada sub-horizontal, em que apenas atua uma tensão normal à seção resistente
do pilar. Na Fig. 3 pode-se visualizar o caso de uma camada inclinada, em que atuam no
pilar também uma tensão cisalhante anti-simétrica ( 2/''''a HVVH , com 0'' VH )
e um momento (M) por unidade de área (tensão-momento), Cosserat & Cosserat (1896 -
apud Figueiredo, 1999). O efeito do carregamento por essas novas tensões constitui
ponto central do tema desta tese e será abordado mais adiante.
Figura 3. Pilar numa camada inclinada sujeito a tensões cisalhantes antissimétricas e tensões-
momento.
2
2
)(1
PO
P
WW
WR
Ponto A
MRegião de
compressão
Região de
tração
a
p
V'
p
Momento gerado por;
-Esforços anti-simétricos
-Diferenças de altura
H'V'
M :
Pilar
H'
29
P
PCR
H
W22.078.01
2.2.3 EFEITO DA FORMA DO PILAR.
Para entender o efeito da forma (esbelteza) do pilar sobre a sua resistência é interessante
fazer uma analogia com um corpo de prova de laboratório. Um pilar de mina carregado
pelo peso da rocha sobrejacente, embora de seção resistente quadrada, é submetido a
condições semelhantes àquelas verificadas no carregamento axial aplicado por uma
prensa ao corpo de prova. E se sabe experimentalmente, que a resistência à compressão
uniaxial de um corpo de prova depende da sua razão altura/diâmetro ou esbelteza (Obert
& Duvall, 1967).
Nos contatos pilar-teto e pilar-base existem zonas nas quais ocorre uma restrição à livre
deformação transversal, devido à resistência ao cisalhamento ali disponível; exatamente
como ocorre entre topo e base do corpo de prova e os pratos da prensa. O resultado
dessa restrição é o aparecimento de tensões confinantes nas proximidades dos contatos
pilar-teto e pilar-base, que serão tão mais abrangentes quanto maior for a razão
largura/altura do pilar (= WP/HP) ou, o que dá no mesmo, quanto menos esbelto for o
pilar (Fig. 4). Em decorrência da influência desse confinamento gerado pela resistência
ao cisalhamento, quanto menor for a esbeltez WP/HP, maior será a resistência do pilar
(Fig. 4).
A Eq. (6), abaixo, estabelecida empiricamente por Obert & Duvall (1967), permite
relacionar a resistência de um corpo de prova à sua esbeltez e, em função da analogia
suprareferida, pode ser também aplicada a pilares. A equação de Obert & Duvall que
governa o efeito da forma é:
(6)
onde,
WP é a largura do pilar;
HP é a altura do pilar;
30
1
C é a resistência à compressão uniaxial para uma razão WP/HP = 1 (ou seja, para um
cubo do maciço rochoso que constitui o pilar) e
é a resistência de um pilar com esbeltez igual a WP/HP.
É oportuno observar que a Eq. (6) tem um embasamento racional, como mostrou
Pariseau (2007), pags. 281 a 284. Esse autor admitiu que a resistência ao cisalhamento
no teto e base do pilar seja governada pelo critério de Mohr-Coulomb. Assumindo, por
outro lado, que a ruptura se dê por um mecanismo de clivagem axial e igualando a
tensão necessária para produzi-la à tensão gerada pela resistência ao cisalhamento no
teto e base, chega-se exatamente a uma expressão com o formato da Eq. (6) de Obert &
Duvall.
A Fig. 4, a seguir, apresenta como o aspecto das curvas tensão x deformação e a
resistência variam com a esbeltez do pilar, analogamente ao que ocorre com corpos de
prova em ensaios de compressão uniaxial. Deduz-se que há uma ruptura frágil com
baixa resistência quando Wp/Hp é menor que 1. Se a relação Wp/Hp for maior que 1, a
resistência aumenta e a ruptura tende a ser dúctil, refletindo uma maior influência do
confinamento nas extremidades.
Wp/Hp
Região de
confinamento
Wp/Hp<1
Wp/Hp>1
Wp/Hp>>1
Figura 4. Curvas tensão x deformação: analogia entre os comportamentos de corpo de prova em
compressão uniaxial e pilares de mina (adaptada de Hudson & Harrison, 1997).
Existem ainda outros tipos de fórmulas para contemplar o efeito da forma do pilar sobre
a sua resistência (ver, p. ex., Figueiredo & Curi, 2004; Brady & Brown, 2004 etc.). A
seguir, um quadro resumo traz exemplos de fórmulas dos dois tipos principais.
R
31
AUTOR EQUAÇÃO
Obert & Duvall
1967
r 0.778 0.222Wp
Hpc1
TIPO DE PESQUISA
Laboratórioc1
: Resistência à compressão quandoWp:Hp é 1
Salomon & Munro
1967
r : Resistência máxima do pilar
cWp
Hp
0.46
0.66r
r : Resistência máxima do pilar
In situ
Quadro 2. Fórmulas para se determinar a resistência do pilar, conforme o efeito de forma.
2.2.4 ANÁLISE BIDIMENSIONAL DO ESTADO DE TENSÕES E TENSÕES-
MOMENTO PARA MEIOS CONTÍNUOS GENERALIZADOS DE COSSERAT.
Na mecânica clássica, em qualquer plano, atuam tensões normais e cisalhantes (Fig.
5(a)), as quais podem ser determinadas a partir de um tensor de tensões simétrico
(Jaeger & Cook, 1979). Porém, se as tensões cisalhantes não forem conjugadas, isto é,
se não forem iguais em planos perpendiculares entre si (Fig. 5(b)), além do tensor de
tensões simétrico, existirá uma parcela antissimétrica (associada justamente à diferença
entre as tensões cisalhantes) que gera momentos desequilibrados. Tal desequilíbrio é
contrabalançado pelo aparecimento de novas grandezas denominadas tensões-momento
(momentos por área), Fig. 5(b). Isso é justamente o que sucede na mecânica dos meios
contínuos generalizados de Cosserat (Cosserat & Cosserat, 1896 apud Figueiredo,
1999).
Nossa análise irá focalizar um corpo onde atuam tensões normais, tensões cisalhantes e
tensões-momento uniformes (podendo, portanto, ser analisado da mesma maneira que
um único ponto). Para melhor ilustrar essa situação, tem-se as figuras 5 e 6. Na Fig.
5(c)-(d) segue-se a convenção de sinais da mecânica das rochas, que estabelece tensões
normais de compressão como positivas. Por coerência, tensões-momento em sentido
32
Y
X
yx
xy
yx xy
y
x
(a)
Z
Y
X
yx
xy
yx xy
y
x
(b)
MYZ
MXZ
X
yy
xxx'y'
x'y'xy
yx
Y
X'
Y'
Myz
MxzMx'z
Acos
Asen
A
Ponto O
O'
OO' : Asen cos
X
yy
xx
x'y'
yx
Y
X'
Myz
Mx'z
A
Ponto O
O'
Acos
2
Asen2
Mxz
OO' : Asen cos
Y'
(c) (d)
horário são positivas (Figueiredo, 2011). A análise bidimensional do estado de tensões
permite determinar as tensões num plano qualquer, cujo eixo normal (x') faça um ângulo
α medido em sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. Para tanto, basta aplicar ao
ponto as condições de equilíbrio de forças e de momentos (Figueiredo, 1999, 2011).
Para ilustrar o efeito das tensões de cisalhamento não conjugadas na deformação do
ponto citamos a Fig, 6, que mostra a parcela simétrica das tensões cisalhantes
( 2/)( yxxyS ) produzindo as distorções angulares clássicas, enquanto a parcela
antissimétrica ( 2/)(a yxxy ) gera uma rotação. O efeito final é dado pela
superposição de ambas as parcelas.
Figura 5. Análise de um ponto submetido a tensões momento, normais e cisalhantes (modificada de
Figueiredo, 1999, 2011).
33
TIPO EQUAÇÕES
Tensões 2D
Tensões
Momento 2D
x' xcos2
y sen2
xy senyx cos
y' xsen2
ycos2
xy senyx cos
x'y' cos2
sen2
sen cosxy yx x y
M x'z M xzcos M yzsen Ay sen
2
2
xcos2
2sena cos
Teorí
a d
os m
eio
s c
ontínuos
genera
lizad
os d
e C
ossera
t
O Quadro 3 apresenta um resumo das equações que podem ser deduzidas por equilíbrio
de forças e momentos a partir da Fig. 5(a)-(b). Tais equações são explicadas no
ANEXO A.
XY
YX
Y
X
Y
X
s
Deformação
+
Rotação
Estado inicial Estado final
Z
Y
X
Y
X
MECÂNICA CLÁSSICA TEORÍA DOS MEIOS CONTÍNUOS GENERALIZADOS DE COSSERAT
YX
(a) (b) (c) (d)
YX XY
a
s
a
XY
MYZ
MXZ
Figura 6. Efeito das tensões de cisalhamento não simétricas de Cosserat: τS produz distorções
angulares e τa produz rotação (adaptada de Mindlin, 1963).
Quadro 3. Fórmulas para se determinar as tensões e tensões-momento num dado plano (adaptada
de Figueiredo, 2011) - Equações de Transformação. Obs.: ver Fig. 5 para significado dos símbolos.
2.2.5 CÍRCULO DE MOHR CLÁSSICO PARA UM ESTADO DE TENSÕES 2D.
Como dito acima, na mecânica clássica as tensões num plano qualquer podem ser
determinadas a partir de um tensor de tensões no qual as tensões cisalhantes são
conjugadas. A representação gráfica desse tensor no espaço das tensões de Mohr (,τ)
34
t
n
nt
3
n1
1
vem a ser um círculo cujo centro fica sobre o eixo das abscissas (). As tensões em
planos perpendiculares entre si ficam representadas pelas coordenadas de pontos
diametralmente opostos do círculo, que têm ordenadas (τ) de mesmo valor. A Fig. 7
ilustra tal círculo, conhecido por Círculo de Mohr (Jaeger & Cook, 1979; Goodman,
1989; Brady & Brown, 2004 etc.), considerando a convenção de sinais da mecânica das
rochas (compressão positiva).
Figura 7. Círculo de Mohr clássico (Figueiredo, 2014).
2.2.5.1 APRESENTAÇÃO NÃO-CLÁSSICA DO ESTADO DE TENSÕES DUM PILAR NO
ESPAÇO DE MOHR
Das equações apresentadas no Quadro 3 para um meio com tensões de cisalhamento não
conjugadas pode-se deduzir a equação de um círculo no espaço de Mohr, análoga
àquela apresentada no item precedente. Para um plano genérico, como X' da Fig. 3(c),
em que, por conveniência, optou-se por denominar as tensões atuantes de α e τα, tem-
se:
2222
2222
XYYXXYYXXYXY
2cos22
3131
n
2sen
2
13 nt
2312231 )2
()2
(
C 1 ( )
n
( )n,N ntnt
0( )3, 3
( ), ntt T
+ 1 3
2
1
3
2AH
H
O2
,01
35
2a
P
2
PS
2222
2
0
2
0
2
0
2
0
PPPP
2222
2222
PPPP
Pode-se igualmente aplicar a equação acima para um sistema de eixos ortogonais H’V’
associado ao pilar duma camada inclinada, como aquele apresentado nas figuras 3 e 8.
Nesse caso, os valores de σY’ e τY’X’ corresponderiam, respectivamente, a V' e τV'H'.
Essas são as componentes que "carregam" o topo do pilar e, por isso, aqui vamos
denominá-las de “σP” e “τP” uma vez afetadas pela razão “AT/AP” (ver Fig. 8). Já os
valores de σX’ e τX’Y’ correspondem, respectivamente, a H' e τH'V'. O plano H' da face do
pilar, por ser uma superfície livre onde não existe sólido, tem tensões nulas. Assim
sendo, pode-se finalmente reescrever a equação precedente como:
ou
(7)
A Eq. (7) representa uma circunferência no espaço de Mohr, com centro de coordenadas
(σP/2; -τP/2) - ver Fig. 9 -, fora, portanto, do eixo dos , como no caso do círculo
clássico da Fig. 7. Tal círculo ilustra o estado de tensões dum pilar numa camada
inclinada como o da Fig. 8. Tendo em vista as definições para as parcelas simétrica (τS)
e antissimétrica (τa) das tensões cisalhantes (dadas no subitem 2.2.4), tem-se que:
; parcela que provoca distorções angulares.
; parcela que provoca rotações.
O raio do círculo, por sua vez, vale: .
22
22
PP
36
Figura 8. Pilar numa camada inclinada submetida a tensões de compressão e de cisalhamento não
conjugadas.
Segundo a convenção de sinais da mecânica de rochas, o momento produzido por τa é
positivo quando produz uma rotação no sentido horário. Observamos na Fig. 8 que o
valor da tensão de cisalhamento antissimétrica gerada pelo carregamento do pilar é
negativo, indicando que o pilar gira em sentido anti-horário. Pariseau (1982) (apud
Pariseau, 2007) mostrou que, pela teoria da área tributária (item 2.2.2), duma maneira
análoga ao que acontece com P (Fig. 8), o valor de τP equivaleria a τV’H’(AT/AP).
Pelo acima exposto, fica perceptível que o estado de tensões em pilares de camadas
inclinadas pode ser descrito pela mecânica generalizada de Cosserat (item 2.2.4), uma
vez que neles atuam tensões de cisalhamento não conjugadas.
Na seqüência apresenta-se o respectivo círculo de Mohr não-clássico (dado pela Eq.
(7)), válido para o pilar da Fig. 8, no qual atua a tensão de cisalhamento antissimétrica
(τa) devida a uma τP não conjugada.
V'H'y'x'
y' V' p
p
A t : área tributária
A p : área transversal do pilar
p
x'p
x'y'
V ' = Y'
H ' = X'
H=X
V=Y
A p
A t
Ap
A t
Ap
A t
Ap
A t
ONDE:
V'H'y'x'
y' V' p
p
A t : área tributária
A p : área transversal do pilar
p
x'p
x'y'
V ' = Y'
H ' = X'
H=X
V=Y
A p
A t
Ap
A t
Ap
A t
Ap
A t
ONDE:
37
( y' y'x')
(x' x'y')
p
p
Ccos
C
R' R'sen
AH
HR'=Rc=raio do círculo grande
Figura 9. Apresentação do Círculo de Mohr não-clássico para pilares em camadas inclinadas
(modificado de Pariseau, 2007).
O círculo da Fig. 9 foi apresentado por Pariseau (2007), embora tal autor não faça
nenhuma referência aos conceitos da mecânica de Cosserat (talvez por desconhecimento
- suas análises não incluem as tensões-momento necessárias para equilibrar o
cisalhamento antissimétrico). Na Fig. 9, está incluída uma envoltória linear definida
pelo critério de resistência de Mohr-Coulomb, cuja equação e parâmetros são (Jaeger &
Cook, 1979): tan c , com c sendo a coesão e o ângulo de atrito da rocha.
Nota-se que com a existência das tensões antissimétricas, o círculo fica centrado fora do
eixo dos e surge uma "nova possibilidade" de que se atinja a condição de ruptura, ou
seja, de que o círculo tangencie a envoltória de resistência. No caso clássico, mantida
fixa a abscissa do centro, apenas um aumento do diâmetro do círculo (equivalendo ao
aumento das tensões de cisalhamento simétricas clássicas) levará o mesmo a tangenciar
a envoltória. Por outro lado, com o círculo não-clássico da Fig. 9 há também a
possibilidade de que apenas a ordenada do centro ( 2/Pa ) se amplie (sem
aumento do diâmetro), e ainda assim o círculo seja levado a tangenciar a envoltória.
Dito de outro modo, apenas é requerido um aumento das tensões antissimétricas. Na
38
'
''
'
''arctanarctanarctan
V
HV
y
xy
p
p
Fig. 9 está ilustrado um círculo de ruptura, em linha tracejada, para o qual houve tanto
um aumento do diâmetro quanto da ordenada do centro.
Pariseau (2007) realizou a análise dessa possível condição de ruptura, que o levou a
formular uma equação para o Fator de Segurança do pilar, senão vejamos (Fig. 9):
- , raio do círculo pequeno, em linha cheia, que representa
o estado de tensão atuante no pilar;
- , raio do círculo grande, em linha tracejada, que representa o
círculo na condição de ruptura, ou seja, aquele cujo estado de tensão equivale à
resistência;
- o Fs (Fator de Segurança) é então dado pela razão resistência/(tensão atuante), ou seja,
. (8)
Na Eq. (8) corresponde ao ângulo de inclinação da linha onde se situam os centros dos
círculos não-clássicos ilustrados na Fig. 9 e é dado por:
2.2.6 OUTRAS PARTICULARIDADES EM UMA AVALIAÇÃO DE PILARES.
2.2.6.1 PILARES ALINHADOS COM A FORÇA RESULTANTE.
Num pilar inclinado submetido a tensões σV e σH atua uma força resultante cuja direção
não é, em geral, perpendicular ao eixo H’, ou seja, ao topo do pilar. Considerando-se a
Fig. 10, no ponto A, atuam as forças concorrentes FV e FH que estão associadas às
tensões σV e σH, respectivamente. A direção da força resultante “FR” faz um ângulo “β”
com o eixo normal à camada (topo do pilar). Troumbatchev & Mel'nikov (1964),
22
22
pppequenocírculoRaio
sen1
coscRaio grandecírculo
22
22
sen1
cos
pppequenocírculo
grandecírculo
c
Raio
RaioFs
39
mostraram por meio de modelos fotoelásticos, que, em se alinhando a direção das
paredes do pilar com a direção de FR, são reduzidas as concentrações de tensões e as
mesmas se tornam mais uniformes. Dessa forma, consegue-se aproveitar ao máximo a
capacidade resistente da seção pilar. Para que o pilar fique alinhado com o modulo
dessa força resultante, suas paredes devem ser inclinadas de “β” no sentido horário,
tomando-se como referência o eixo V’ (ver Fig. 10).
FR
FH
FV
Pilar alinhado com a
força resultante
M
D'
A'
B'
D
E
B
C
Pilar normal à camadaWp
Wo
(Wo+Wp)cos
(Wo
+W
p)s
en
A
V
H
H
V
m
n
MB : Hp
MA' : Hp
cosA : Ponto meio de A'B'
MD : Wp
H'
V'
MD' : Wp
cos
FR : Força resultante
Figura 10. Pilar inclinado em relação ao eixo perpendicular à camada.
Uma análise da geometria contemplada na Fig. 10 permite deduzir que a orientação
ótima é dada pela Eq. (9) abaixo:
tan
cos
sen
cos
sentan
POV
POV
POV
POH
V
H
WW
WW
WW
WW
F
F
tantan 1
tantan 1 (8)
40
A
V
H'
FV
FH
V'
F cosV
F senV H
F cosH F sen
H
FR
Plano da camada
2222222coscos senWWsenWWWWFFF POPOVPOVHVR
sen
sen
cos
cos
onde é o mergulho; K é a razão (tensão horizontal)/(tensão vertical) in situ definida no
item 2.2.1; senPO WW e cosPO WW são as projeções vertical e horizontal,
respectivamente, da área tributária do pilar.
Quando a diferença “-β” for positiva, o valor do ângulo “β” deverá ser medida
segundo o sentido horário a partir do eixo V’; o contrário sucede se “-β” for negativa.
Figura 11. Força resultante FR e suas componentes ortogonais FH e FV (Autor).
Das figs. 10 e 11 têm-se ainda que (Oyangüren et al., 1984):
(9)
onde:
tantan
cos
sen
cos
sen
costancos
cos
sensen
22 costancos POR WWF
cos
costan1costan1cos 222 PO
POPOR
WWWWWWF
(10)
41
H=x
m
Plano da camada
Ponto A
R
R
RF
F sen
F cos
A'
B'
Pilar inclinado em um ângulo
V' = y'
H' = x'
no sentido horário do eixo V' =y'
A''
Por conseguinte a força resultante pode ser escrita como (Troumbatchev & Mel'nikov,
1964):
Daí, considerando-se a área do pilar e as componentes de FR segundo as direções
normal e paralela ao topo (Fig. 12), pode-se obter, respectivamente, as tensões médias,
normal (P) e cisalhante (τP), que ficam dadas por (note-se que se está considerando
pilares 2D, ou seja, bastante alongados perpendicularmente ao plano de análise):
(11)
(12)
Figura 12. Força resultante FR e suas componentes ortogonais segundo H’-V’ (Autor).
É interessante observar que, diferentemente do que sucedia com os pilares
perpendiculares à camada, discutidos no item 2.2.5 (ver figs. 8 e 9), em pilares
alinhados com a força resultante, as tensões no plano H'V' não são nulas (Fig. 13). Isso,
naturalmente, vai se refletir no círculo de Mohr não-clássico correspondente ao estado
de tensões no pilar (como aquele da Fig. 9), alterando seu raio e a posição do centro.
Conseqüentemente, o seu fator de segurança tenderá a ser mais favorável que aquele
dado pela Eq. (10).
sen
senPOR
WWF
sen
sen
sen
P
POP
W
WW
cos
sen
sen
P
POP
W
WW
42
m
n
j
ângulo de
atrito: j
Pilar
m
n
X'
Y'
Teto
Chão
p
p
Pilar submetido às tensões médias devidas
ao carregamento da rocha sobrejacente
Tensões no plano de fraqueza ("m")
A'
A''
H'V'V'
A' - A'' H'
H
H'
Pilar inclinado
Mergulho da camada
H'V' Cisalhante no plano H'V' - (diferente de zero)
Seção
K'
K
Figura 13. Tensões no plano H’-V’ para um pilar alinhado com a força resultante (Autor e
Figueiredo).
2.2.6.2 PILARES NORMAIS À CAMADA E COM PLANOS DE FRAQUEZA.
Numa situação real, podem existir planos de fraqueza (descontinuidades) atravessando o pilar.
Em tais condições, deve-se considerar a possibilidade de deslizamento sobre tais planos para
avaliar, de maneira mais realista, a respectiva resistência. Independentemente do sentido de
mergulho do plano de fraqueza, seja no mesmo sentido do mergulho da camada ou inverso, há
uma faixa de valores de mergulho em que poderá ocorrer deslizamento sobre o plano. Nas
nossas análises vamos considerar o critério de resistência de Mohr-Coulomb para o plano. Seja
cj a coesão do plano e j seu ângulo de atrito.
Figura 14. Pilar com plano de fraqueza (Autor).
43
Segundo as equações de transformação para um meio de Cosserat (Quadro 3), as tensões no
plano de fraqueza são:
(13)
(14)
onde αj é a inclinação do plano em relação ao mergulho α da camada (ver Fig. 14).
Substituindo as componentes acima na expressão do critério de Mohr-Coulomb, a
resistência ao escorregamento no plano “m” pode ser escrita em função das
componentes σp e τp, senão vejamos:
(15)
Se o valor de τnm for maior ou igual a τresistência o pilar rompe por escorregamento no
plano e vice-versa. Isso permite encontrar a faixa de ângulos do plano que instabilizam
o pilar, senão vejamos:
j
jjP
j
jP
j
j
jj
j
jjP
j
jP
j
jjP
jPjjP
jP
c
c
cos
sen
2
)2(sen
cos
sen
2
)2cos(
2
1
cos
cos
cos
cos
2
)2(sen
cos
cos
2
)2cos(
2
1
tan2
)2(sencos
2
)2(sencos 22
Rearranjando a expressão vem que:
jjjPjPjjPjjP c cos2cossen)2cos()2(sen (16)
Conhecidos os valores de τp, σp, cj, αj e j, existe uma faixa de valores de “2αj j”, que
é solução da desigualdade; essa faixa corresponde àqueles ângulos do plano em que
ocorrerá escorregamentos; quando houver igualdade ter-se-á um escorregamento
iminente (equilíbrio-limite). É oportuno observar que a Eq. (16) generaliza os conceitos
apresentados por Pariseau (2007) - pag. 311 (Eq. (6.45)) - que não considerou o efeito
de τP no estado de tensões que induz escorregamento sobre os planos.
2
)2(sencos2 jP
jPn
)2
)2(sencos( 2 jP
jPnm
jjP
jPjaresistênci c
tan2
)2(sencos2
44
A B
P
d
d
P2
1
Y
X
x dx
ydy
ds
R
2.2.7 RESTRIÇÕES NO DIMENSIONAMENTO DE CÂMARAS E PILARES
No dimensionamento ótimo de câmaras e pilares via técnicas de programação
matemática, como proposto por Figueiredo & Curi (2003, 2204), faz-se necessário
estabelecer o limite máximo dos vãos, bem como, a capacidade de carga das fundações
dos pilares. Essas duas questões limitam a recuperação do jazimento e, portanto, devem
ser consideradas como restrições na formulação do problema de programação
matemática em causa. A colocação dessas questões limitantes na forma de restrições
matemáticas (desigualdades) pode ser feita recorrendo-se a diferentes formulações
analíticas/empíricas para a mecânica dos processos envolvidos. Na seqüência serão
abordadas brevemente as formulações adotadas nesta dissertação.
2.2.7.1 FLEXÃO PURA EM VIGAS E LAJES.
Para limitar os vãos máximos estáveis das câmaras pode-se considerar que os estratos
sobrejacentes à camada lavrada se comportem como lajes ou vigas elásticas sujeitas à
ação do peso próprio (p.ex., ver Obert & Duval, 1967; Jaeger & Cook, 1979; Pariseau,
2007 etc.). Para explicar a flexão que acontece em uma laje, vamos supor um
comportamento de uma viga. Existem equações que governam o estado de equilíbrio de
vigas submetidas a cargas por flexão pura e devido a seu próprio peso. Em uma mina,
existem situações semelhantes, em que, podem ser assumidas as lajes como um arranjo
de vigas; ver a figura 15.
Figura 15. Estado de análises de flexão pura (Autor).
45
CG
M
R
1
Mdx
yd
2
2
dy
dl
P
y
dyWo
Corpo rochoso de
largura unitária
t
Espessura
Wo-y
(17)
onde:
R : raio de curvatura;
M : momento máximo;
E : módulo de Young;
ICG: momento de inércia com relação ao centro de gravidade da seção.
Assim também a relação de raio de curvatura é equivalente a uma função de momento
que é fornecida pela seguinte equação.
(18)
As equações 17 e 18 são explicadas no ANEXO B.
2.2.7.2 TENSÕES DEVIDO AO PESO PRÓPRIO DA LAJE.
Uma coluna de rocha com seção transversal quadrada está submetida a esforços de
compressão axial devido ao seu próprio peso e, tem uma variação na sua dimensão
inicial (WO) (Coates, 1973). Considerando uma altura dy de magnitudes infinitesimais, a
qual possui uma deformação diferencial dl. Então, a deformação unitária
correspondente é dl/dy. Na figura 16, pode-se perceber que o valor P é o esforço
associado a essa deformação, cujo valor fica definido por γ(WO-y).
Figura 16. Esforços devido ao seu próprio peso (Adaptada de Coates).
46
yWdy
dlo
dyyWdl o
0
0
W
o dyyWdl
2
2oWl
Pilar
Zona de possível
plastificaçãoWp
Pela lei de Hooke:
. (19)
onde:
l: deformação total no corpo rochoso de altura WO e comprimento t.
2.2.8 CAPACIDADE DE CARGA DAS FUNDAÇÕES DOS PILARES
A capacidade de carga das fundações dos pilares (ou seja, a resistência do piso),
principalmente daqueles pouco esbeltos e, portanto, de alta resistência é um fator
importante na sua estabilidade (Figueiredo & Curi, 2004). Independentemente da
resistência do pilar, a pressão transmitida à sua fundação deverá ser menor que a
respectiva capacidade de carga, evitando, assim, o seu colapso por "puncionamento" do
piso (Fig. 17).
Figura 17. Mecanismo de colapso da fundação de um pilar (Brady & Brown, 2004).
47
cot124
tantan124
tan2
3
2
1 2tan2tan
ecSSeWQ qPb
Num dimensionamento ótimo, deverá, portanto, ser sempre respeitada a restrição de que
a tensão média atuante no pilar seja menor que a capacidade de carga (Figueiredo &
Curi, 2004). Para cálculo da capacidade de carga da fundação, Brady & Brown (2004)
recomendam utilizar a expressão clássica aplicável a fundações rasas proposta por
Terzaghi, qual seja:
(20)
onde,
Qb é a capacidade de carga da fundação em unidades de força/área;
é o ângulo de atrito da rocha da fundação;
c é a coesão da rocha da fundação;
γ é o peso específico da rocha da fundação;
WP é a largura do pilar;
Sγ = 1.0 0.4(WP/LP) e Sq = 1.0 + sen(WP/LP), com LP sendo o comprimento do pilar;
A restrição fica escrita finalmente como: P < Qb.
48
3 CAPÍTULO III
3.1 DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE PILARES DE SEÇÃO QUADRADA.
No dimensionamento ótimo de pilares deve-se determinar a seção resistente que permite
maximizar a função recuperação para o jazigo (Eq. 5). A resistência do pilar (Eq. 6)
depende da relação de sua esbelteza enquanto a tensão resultante aplicada ao pilar
depende de várias tensões associadas que atuam conjuntamente, as quais são
expressadas por equações em função de variáveis e parâmetros geomecânicos. Neste
estudo foram desenvolvidos algoritmos que permitem avaliar as equações matemáticas
que representam o estado das tensões que atuam no pilar, lajes e fundações, sendo que;
o objetivo é maximizar a recuperação do jazigo, como já supracitado. Para um
dimensionamento ótimo é necessário aplicar teorias apropriadas, no qual estejam
consideradas todas variáveis que definem o modelo que melhor se ajuste ao problema
real; um pilar disposto de maneira perpendicular à camada inclinada tem a
particularidade de estar submetido a tensões normais, cisalhantes e tensões momento
(Figueiredo, 2011), sendo que, o aparecimento das tensões momento são resposta à
tensão anti-simétrica (τa) que produz rotação no pilar e sua parcela tensão simétrica (τS)
responsável pela deformação conforme definido no item 2.2.4; esta nova condição de
desequilíbrio não poderia ser resolvida pela mecânica clássica, entanto, a tensão-
momento (momento de reação do pilar para equilibrar o sistema) está bem definida na
mecânica de Cosserat e, por tanto, sua aplicação se adapta ao tipo de estudo proposto
nesta dissertação. A seguir, apresentam-se as análises a serem desenvolvidos no pilar.
- Área tributária (fig. 2);
- Efeito da forma (fig. 4);
- Análise das tensões e tensões-momento (fig. 5(c) e 5(d));
- Análises de tensões efetivas (fig. 3 e 8);
- Análise da resistência das fundações;
- Análise da resistência das lajes que conformam o teto.
49
W
S
Camada de minério
Futuro pilar
S'
TENSÕES A SEREM ENCONTRADAS
H'
V'A
Superfície
H
V'
V'H'H'
S'
TENSÕES IN SITU
H'
V' A
Superfície
HH
V
W
S
Camada de minério
Futuro pilar
(b) (a)
3.1.1 ÁREA TRIBUTÁRIA PARA UM PILAR EM CAMADA INCLINADA.
3.1.1.1 ESFORÇOS E TENSÕES IN SITU.
Conforme já supracitado no item 2.2.1, as tensões in situ “σV” ( x ) e “σH” ( y )
(considerando os eixos H e V como eixos globais X e Y respectivamente) atuam em
planos perpendiculares conforme a Fig. 1 e Fig. 18 (a); por outro lado, a fim de
simplificar o problema pressupõe-se que σV e σH são tensões principais, então,
utilizando-se as equações de transformação (quadro 3) se obtém as tensões “σV’” e “σH’”
(Fig 18 (b)), cujos valores são funções do peso específico médio da rocha sobrejacente
m e da profundidade Z . Na camada inclinada haverá futuramente um pilar disposto
de maneira perpendicular em relação a mesma, necessitando, por isso, determinar os
valores das tensões que atuarão no topo deste pilar.
Figura 18. Tensões in situ em eixos HV e tensões in situ em um plano H’V’ (Autor).
3.1.1.2 TENSÕES QUE ATUAM NO PILAR.
Na figura 19 apresentam-se estágios que correspondem a um pilar durante um processo
de lavra. Em um primeiro estagio, considerando-se um meio sem escavação alguma
50
22
12
2'' sensenVH
HV
22cos2cos
22' senHVHV
V
(a) (b)
pV'H' p
W
S
S'
Depois da lavra do minério
H'
V'
A
Superfície
H
ESTADO FINAL
MV'Z
M VZ
MHZ
ESTADO INICIAL
H
Superfície
A
V'
H'
S'
S
W
V'
Sem excavação
conforme a Fig. 19 (a), a tensão normal (σV’) e a tensão cisalhante (τV’H’) atuam no topo
do “pre-pilar” (ponto A), estas tensões são apenas magnitudes que são estimadas com as
equações de transformação apresentadas no quadro 3; após escavação (Fig. 19 (b)) , o
pilar ficara carregado num fator “At/Ap” conforme discutido no item 2.2.2.1 . As
figuras 19 (c) e 19 (d) detalham o estado de tensões in situ e tensões que agem na
interface entre a rocha sobrejacente e o topo do futuro pilar respectivamente.
Figura 19. Situação do pilar submetido a esforços num plano HV e H’V’ (Autor e Figueiredo).
Conhecidos σV e σH e considerando-os como tensões principais, pode se encontrar os
valores de σV’ e σH’ da seguinte maneira:
(21)
(22)
V
HA
VH
HV
V
H
HV VH
V'
H'
A
V'H'
H'V'
V'
H'
V
H
H'V' H'V'
Esforços para um estado
in situ
Esforços para um estado
segundo o mergulho da camadaSISTEMA DE EIXOS GLOBAIS
(c) SISTEMA DE EIXOS ROTACIONADOS
(d)
V
HA
VH
HV
V
H
HV VH
V'
H'
A
V'H'
H'V'
V'
H'
V
H
H'V' H'V'
Esforços para um estado
in situ
Esforços para um estado
segundo o mergulho da camadaSISTEMA DE EIXOS GLOBAIS
(c) SISTEMA DE EIXOS ROTACIONADOS
(d)
51
A T
AP
A T
AP
y'
y'x'
x'
Pilar
Pilar
Ponto A
Wp
Wo/2
Pilar submetido a
tensões devido à pressão
da rocha sobrejacente
Situação do pilar à
solicitação de esforços
X
Z Altura média com
relação a superfície
Y
X
Ação da rocha sobrejacente no pilarReação do pilar ao sistema
Hp
3.1.1.3 TENSÕES SOLICITADAS AO PILAR.
Estas tensões atuam na interface entre a seção do suporte do pilar e a rocha
sobrejacente; nesta interface atuam tensões normais efetivas ( PPTYAA '
) e
cisalhantes efetivas ( PPTYXAA ''
), cujas magnitudes dependem da grandeza da razão
entre a área tributária ( TA ) pela área da seção transversal do pilar ( PA ), Fig. 2(a), além
do fato destas magnitudes serem influenciadas pelo ângulo de mergulho da camada
inclinada.
Figura 20. Carregamento solicitado ao pilar (Autor).
Então, um pilar disposto em uma camada inclinada está submetido a tensões normais e
cisalhantes efetivas (PPilar e
PPilar , tensão normal e tensão cisalhante
respectivamente) como já supracitadas e se assume que estas tensões são valores
médios, isto é: considera-se que as tensões atuantes são uniformes e possuem igual
magnitude em toda a seção de suporte do pilar (Fig 20). Portanto, as tensões efetivas σP
e τP estão determinadas pelas equações 23, 24, 25 e 26.
Da figura 20, pode-se deduzir o seguinte:
52
Avaliando a tensão normal (σP):
SFV’=0
POPOVV LLWWsenAreaF 22
' cos'
(23)
Quando o valor WP=LP e WO=LO
(24)
Onde:
WP e WO; é comprimento do pilar e do vão, respectivamente.
LP e WC; valores correspondentes às larguras do pilar e do vão, respectivamente.
Avaliando a tensão cisalhante (τP):
SFH’=0
Calculando o esforço cisalhante que atua no pilar:
(25)
Quando o valor WP=LP e WO=LO
(26)
3.1.2 EFEITO DA FORMA NO DESENHO DO PILAR.
A equação empírica estabelecida por Beniawski (1992) condiciona a resistência de um
pilar à relação de esbelteza “largura/altura” (=WP/HP); enquanto essa relação for maior,
PP
POPO
Pilar
V
Pilar
Aplicada
PPLW
LLWWsen
A
F
A
F
22
' cos
22
1''' senLLWWAF POPOTOTALHVH
2
1
1
22
2
1' senR
senLW
LLWW
A
F
PP
POPO
Pilar
HPPILAR
R
sen
W
WWsen
P
POP
1
coscos
222
22
21
1
22
2
12
' senR
senW
WW
A
F
P
PO
Pilar
HPPILAR
53
1
c
o pilar torna-se mais resistente, e, se a relação de esbelteza for menor, a resistência
diminui. Embora a equação proposta por Beniawski tenha uma concepção empírica, esta
foi demonstrada analiticamente por William Pariseau no seu livro Design Analysis in
Rock Mechanics. A equação proposta por Beniawski (1992) é a seguinte:
Onde:
: resistência de uma mostra de pilar com dimensões unitárias (um cubo de rocha com
arestas de iguais dimensões).
3.1.2.1 FATOR SE SEGURANÇA – ESFORÇO APLICADO E ESFORÇO ADMISSÍVEL.
O pilar de mina é uma estrutura rochosa semelhante a um prisma, a qual possui a
mesma petrografia e composição mineralógica que o minério lavrado; esta massa
rochosa atua como suporte natural e deve garantir a estabilidade com o propósito de
permitir a lavra do bem mineral; no entanto, o pilar não deve ficar submetido a toda sua
capacidade de resistência. Ao se avaliar as dimensões da seção de um pilar, são
considerados fatores de segurança a fim de não produzir fatiga com a carga aplicada. O
fator de segurança (FS) tem como finalidade de garantir que a estrutura esteja sempre
submetida a uma carga menor que a capacidade de máxima resistência (Beer et al.,
2006); por outro lado quanto maior o fator de segurança ( 1Fs ), maior será a
estabilidade do pilar e, em contrapartida, menor será o fator de recuperação de minério
(Eq. (4)); entanto, ao se adotar baixos valores para o fator de segurança ( 1Fs ), há
grande risco de ocorrer um colapso do pilar e, se isso acontecer, a carga do pilar
colapsado será redistribuída nos pilares vizinhos, produzindo assim uma sobrecarga e
ruptura progressiva dos pilares circundantes; o que inevitavelmente produziria um efeito
dominó. Com tudo isso, ao se adotar um fator de segurança deve se considerar um bom
conhecimento do maciço rochoso e possuir experiência que permita analisar
informações geotécnicas para que o julgamento seja certo. A relação de fator de
segurança pode ser escrita da seguinte maneira, Beer et al. (2006):
P
Pcc
H
Wba1
36.0:
64.0:
b
a
54
P
R
Aplicado
AdmissívelSF
Onde:
R é o esforço de resistência do pilar em MPa e
P é a tensão média total aplicada no pilar dada em MPa (além dos esforços normais
que atuam no topo do pilar, deve ser incluída os esforços devido a tensão momento,
esforços induzidos pela tensão cisalhante, entre outros).
3.1.2.1.1 RELAÇÃO ENTRE O ESFORÇO DE RESISTÊNCIA DO PILAR E O ESFORÇO APLICADO
Como já definido no item 3.1.2.1, o fator de segurança é a razão do esforço admissível
ou esforço de resistência pelo esforço aplicado PR . Por coerência, o valor do
esforço de resistência do pilar (σR) deve ser maior que a tensão aplicada (σP), para
garantir a estabilidade do pilar; a seguir, a equação que expressa a relação do fator de
segurança:
(27)
Para um valor de WO=WC e WP=LP;
(28)
3.1.2.1.2 TENSÃO CISALHANTE NO PILAR.
Um pilar de mina disposto de maneira perpendicular à camada conforme a Fig. 20, além
da tensão perpendicular á seção de suporte, também existe uma tensão cisalhante e atua
tangencialmente à área de contato pilar–rocha sobrejacente; a grandeza de esta tensão
S
C
PP
OPPO
FLW
LLWWsen
22cos
S
C
P
PO
FW
WWsen
2
22cos
PP
OPPO
C
P
CS
LW
LLWWsen
F22cos
55
cisalhante está associada com o ângulo de mergulho da camada inclinada e das tensões
in situ.
Na mecânica clássica, as tensões cisalhantes que atuam em planos perpendiculares entre
si, são simétricas (Jaeger & Cook, 1979); porém, quando se trata de um pilar de mina,
as tensões cisalhantes que atuam nas paredes do pilar são minimizadas como
decorrência da lavra do minério, gerando, consequentemente, uma nova condição de
equilíbrio que é equilibrada por forças que atuam em resposta a esta nova situação.
3.1.3 ANÁLISES DE MOMENTOS.
Após exaurir o minério sumirão as tensões normais e cisalhantes que atuam nas paredes
do pilar (Fig. 19 (b)) e, perante esta nova condição vai existir forças que instabilizam o
sistema. Tais condições de novo equilíbrio estão explicadas na formulação teórica da
mecânica dos meios contínuos generalizados de Cosserat (Cosserat & Cosserat, 1896
apud Figueiredo, 1999), em cujo postulado se define a existência de uma tensão
cisalhante antissimétrica (item 2.2.4), responsável por criar uma rotação no sistema, o
qual é equilibrado pelo aparecimento de um momento por unidade de área conhecida
como momento tensor. É necessário destacar que, a tensão cisalhante antissimétrica é a
diferencia entre as tensões cisalhantes que atuam em planos perpendiculares.
Por outro lado, devido à disposição inclinada do pilar, existe um gradiente de tensões
responsável por gerar um momento e, por sua vez, vai gerar esforços induzidos cujo
resultado é um alivio de tensões e uma compressão na seção de suporte do pilar.
3.1.3.1 TENSÃO MOMENTO ASSOCIADO À GRADIENTE DE TENSÕES.
Um pilar de mina em uma camada inclinada tem sua seção de suporte submetida a um
gradiente de tensões (Pariseau, 2007); No que refere ao comprimento do vão Fig. 21,
nota-se que os extremos correspondentes aos limites da área tributária encontram-se a
diferentes profundidades com relação à superfície, o extremo esquerdo está em uma
profundidade de “Z+DZ” e que o extremo direito está em uma profundidade de “Z-DZ”.
56
Z : Altura da superfície até o ponto A
A
Altura média com
1
R
S
Z
RR': (Wo + Wp)cos
1
A'
Z
Z:Wo + Wp
2sen RS
Q
2
MHZM VZ
MV'Z
M
N
M'
N'
Ponto O
S'R'
H'
H
2
relação à superfície
MVZ
MHZ
: Momento tensor no eixo VZ
: Momento tensor no eixo HZ
MV'Z : Momento tensor no eixo V'Z
Figura 21. Pilar submetido a uma tensão média e uma gradiente de esforços (Autor).
Essa diferença de altura ( senWW po ) gera uma gradiente de esforços verticais
(V ) e outro gradiente de esforços horizontais (
H ); os quais produzem um
momento tensor vertical (VZM ) e um momento tensor horizontal (
HZM ), conforme a
Fig. 22.
Figura 22. Tensão momento devido à tensão gradiente vertical “MVZ” e horizontal “MHZ” (Autor).
W
Z : Altura média da superfície até o ponto A
Wo/2
Wp
Wo/2Z
V
MA
MA=Momento gerado pela gradiente de tensões (diferença da
altura)
S
R
Z : Diferença da altura em relação ao ponto A
S'
Superfície
Nivel de isopressão Nivel de isopressão
Nivel de pressão
média no pilar
M'
N'O
Z
A
H
R'
(Wo+Wp)cos
(Wo+Wp)sen
57
senWW PO
V
2
3
3
cos12
cos2
2PO
POV
PO
WW
WWM
senWW
cos12cos
cos12
22
3
)( senWW
WW
senWW
M PO
PO
PO
VZTENSOR
senWW
Z PO
2
3.1.3.1.1 CALCULO DO MOMENTO TENSOR GERADO PELA GRADIENTE DO ESFORÇO VERTICAL.
Da Fig. 22, deduz-se:
(29)
A Eq. (30) relaciona a tensão, o momento devido à flexão, o momento de inércia e a
distância mais afastada do eixo neutro até as paredes laterais do pilar.
(30)
Onde:
MO: momento máximo submetido por uma força
d: distância do eixo neutro até as paredes laterais do pilar.
ICG: Momento de inércia em relação ao centro de gravidade. Assumindo um
comprimento de uma unidade, correspondente à base.
Quando σMAX =σV
Para avaliar o tensor momento, deve-se dividi-lo pelo comprimento R’S’; assim, tem-se:
(31)
3
3
3
33
. cos12
cos12
112
cos2
POPOGC
PO
WWWWbh
WWd
2
3
cos12
senWW
M PO
VZ
GC
OdM
.
max
58
GC
OdM
.
max
3.1.3.1.2 CALCULO DO MOMENTO TENSOR GERADO PELA GRADIENTE DO ESFORÇO HORIZONTAL.
Sabendo-se que o valor do esforço horizontal pode ser escrito como função de K e do
esforço vertical, então:
Quando σMAX =σH;
Dividindo a equação anterior pelo comprimento R’S, tem-se o tensor momento no eixo
H.
(32)
3.1.3.2 CALCULO DA TENSÃO CISALHANTE ANTISSIMÉTRICA RESPONSÁVEL POR GERAR
TENSÃO MOMENTO.
A tensão antissimétrica (τa) e a parcela simétrica (τs) são duas componentes de tensão
cisalhante e cuja existência vai produzir rotação e deformação angular respectivamente
(Mindlin, 1963). A tensão momento surge para equilibrar o momento gerado pela
diferença das tensões cisalhantes não conjugadas Fig 6 (a).
senWW PO
VH
2
3
3
12
2
2sen
WW
senWW
M
senWW
PO
PO
HZ
PO
senWW
d PO
2
3
3
12sen
WWM PO
HZ
2
23
3
)(12
12 senWW
senWW
senWW
M PO
PO
PO
HZTENSOR
3
3
3
3
.1212
1 senWW
senWW
I POPOGC
59
V'
Pilar
Pilar
H
Estado
Inicial
Estado
Final
Futuro Pilar
Minério
Lim
ite
da
re
giã
o d
e in
flu
ência
VV'
H'
Vão
Pilar
ZAltura média com
relação à superfície
A
M
H'V'
H'
H'V'
V'H'
H'
V'H'
a
Figura 23. Esforços simétricos e antissimétricos (Autor).
Na Fig. 23, para um estado inicial em que não existe escavação alguma, pressupõe-se
que o sistema está em equilíbrio. Após um processo de lavra ficarão o pilar e os vãos
(estado final). Como decorrência da escavação surge uma tensão antissimétrica (τa =
(τH’V’-τP)/2), cujo aparecimento está associado à diferença das magnitudes entre as
tensões cisalhantes que atuam no topo e nas paredes do pilar.
A tensão normal σPillar e tensão cisalhante τPillar possuem magnitudes diferentes de zero,
as quais serão apresentadas como “σP” e “τP”. Em suas magnitudes estão consideradas a
razão Atotal2/Apilar
3, por outro lado, em um estado final, a tensão normal (σH’) e a tensão
cisalhante (τH’V’) que atuam nas paredes do pilar são zeradas e consequentemente há um
desequilíbrio de forças, perante isso aparecerá outra grandeza conhecida como tensão
momento (Mτa, momento por unidade área, Fig. 23) que equilibrará o sistema. Os
cálculos e equações para estimar a tensão cisalhante antissimétrica estão detalhados a
seguir:
Pelas equações no quadro 3, tem-se:
2 Área total, correspondente à área tributária, pode-se remitir à Fig. 2.
3 Área do pilar, correspondente à seção de suporte do pilar, pode-se remitir à Fig. 2.
60
O valor do esforço normal e cisalhante na seção do pilar (esforços concentrados,
segundo o principio da área tributária) fica definido pela relação:
Quando:
WO=LO
WP=LP
Por enquanto, o valor da tensão antissimétrica para pilares perpendiculares à camada,
fica expresso da seguinte maneira:
(33)
3.1.3.3 TENSÃO MOMENTO ATUANTE NO TOPO DO PILAR.
O valor da tensão momento (=MV’Z) é um valor médio, cujo aparecimento se deve ao
gradiente de esforços e à parcela antissimétrica. Por sua vez, a tensão momento (=MV’Z)
atua no eixo V’ ou seja, alinhado com a altura do pilar (Fig. 22). Pelas equações
fornecidas no quadro 3 e considerando o valor do ângulo paras os eixos H’ e V’, pode
ser estimadas as equações de tensão momento, Eq. (34) e (35).
2
2
1'' sen
LW
LLWW
A
AV
PP
POPO
Pillar
TotalHVP
V
PP
POPO
Pillar
TotalVP sen
LW
LLWW
A
A 22
' cos
VV sen 22
' cos
22
1cos1'' sensen VVHV
22
12
'' senW
WW
A
AV
P
PO
Pillar
TotalHVP
V
P
PO
Pillar
TotalVP sen
W
WW
A
A 22
2
' cos
0'' VH
cos2
21
2
cos1
2
22
1
2
2'''' sen
WWK
senKsen PO
V
V
HVVHa
61
H'V'
H'V' = 0
MP
Zona de tração
Zona de compressão
O'
Altura médiaZ
Coluna de rocha
Hp
Hp : Altura do pilar
pp
aA
AO' : Hp/2
H'
com relação à superfície
H
MP
: Momento no pilar
(34)
-Avaliando a tensão momento atuante no plano H’Z
(35)
O valor de MH’Z torna-se zero depois de lavrar o minério.
3.1.3.4 MOMENTO CRIADO PELO SISTEMA NO PILAR.
A tensão normal (σp), tensão cisalhante (τp), as tensões momento devido à tensão
antissimétrica (Mτa) e a tensão momento devido a uma gradiente de esforços associada
ao mergulho da camada se unirão para gerar outra nova magnitude de tensão momento
ou “tensão momento resultante” e produzirá uma flexão no pilar (Fig. 24).
Figura 24. Esforços de momento em relação ao centro O’ (Autor).
)90cos()90(
2
)90(cos
2
)90()90()90cos(
22
'
sensen
AsenMMM aHV
VZHZZV
cos
22
cos)(cos)(
22
' sensen
AMsenMM aHV
VZHZZV
cos
2
cos
2cos
22
' sensen
AsenMMM aHV
VZHZZH
sensensenWW
M POZV
2222
2
' cos)1(34cos412
62
0' O
OM
3.1.3.4.1 MOMENTO NO CONTATO TETO E TOPO DO PILAR.
Após se encontrar o momento tensor MV’Z’, pode-se estimar o valor do momento efetivo
“Mp” que atua no ponto médio da área de contato pilar-rocha sobrejacente (ponto A)
(Figueiredo, 2011).
- Calculando o momento concentrado de MP:
. (36)
Quando WP=LP e WO=LO:
(37)
3.1.3.4.2 MOMENTO RESULTANTE NA METADE DA ALTURA DO PILAR.
Entende-se que um pilar de mina é minério deixado para atuar como um suporte natural
em meio de rochas encaixantes, as quais são estéreis – materiais diferentes que estão
solidarizados ao pilar por meio do atrito tanto no topo como na base. Dadas as
condições do pilar, o momento resultante no ponto O’ (metade da altura do pilar) é um
valor máximo por ser o ponto mais afastado do topo e da base; por outro lado, o
momento resultante é a somatória do momento gerado pela tensão cisalhante τp e o
momento tensor MP. Ver o ANEXO B.
(38)
quando WP=LP:
ZV
PP
POPO
PILAR
TOTALZVPILAROCONCENTRADCP M
LW
LLWW
A
AMMM ''
sensensenWW
M POP
2222
4
cos)1(34cos412
sensensenLW
LLWWM
PP
POPOCP
2222
3
cos)1(34cos412
sensensenLLWW
AMM POPOPilarCPP
2222
3
cos)1(34cos412
PP
PPP
O
O
HLW
2
'
63
(39)
Onde:
APILAR: seção de suporte do pilar;
ATOTAL: área total (área tributária);
τH’V’: esforço cisalhante que atua nas paredes do pilar, cujo valor é zero;
: momento resultante na metade da altura do pilar.
Figura 25. Estado dos momentos que agem no pilar (Autor).
3.1.4 TENSÕES INDUZIDAS DEVIDO AO MOMENTO RESULTANTE NA METADE
DO PILAR.
A magnitude do momento resultante no ponto O’ do pilar ( 'O
OM ) é um valor máximo
e a flexão é produzida pelos momentos que atuam no pilar (Fig. 25). Existem duas
regiões no pilar que estão submetidas a diferentes tensões: a primeira região ou zona de
compressão cuja curvatura interior tende a comprimir com possível esmigalhamento da
rocha e, a segunda região que corresponde à zona com distensão e ruptura por tração
(curvatura máxima) (Beer et al., 2006 apud Figueiredo, 2011).
cM
CG
O
Oaplicado
'
PPPP
PPPPO
O MHWMHW
M 2
2
'
22
'O
OM
zona de
traçãozona de
compressão
O'
Hp
p
p A
tc
EIX
O
X'
Y'
X
p
MpMo
pMo : Momento devido à tensão cisalhante pTensor MpMo : Momento gerado pelo momento tensor
64
Onde:
: momento resultante no centro do pilar
c: valor correspondente a WP/2
ICG: momento da inércia em relação ao eixo Z’.
(40)
Quando LP=WP:
(41)
A Eq. 40 corresponde a uma tensão de tração-compressão induzida devido à flexão no
pilar produzida pelos momentos atuantes nele, como já visto anteriormente.
3.1.4.1 ESFORÇOS DE COMPRESSÃO MÁXIMO E MÍNIMO QUE ATUAM NA SEÇÃO DE
SUPORTE DO PILAR.
Conforme já supracitado, as tensões de tração-compressão são magnitudes que devem
ser diminuídos ou acrescentados da tensão normal ( p ). A Eq. (41) mensura as
magnitudes de estas tensões (tração e compressão), as quais têm igual módulo; por
outro lado, o máximo valor de tração-compressão ocorre nas proximidades das paredes
do pilar, ver a Fig. 25.
Por outro lado é necessário enfatizar que, a seção esquerda do pilar está submetida a
maior tensão que a seção do lado direito, tal afirmação se justifica devido ao fato da
seção transversal esquerda do pilar está submetida à compressão pura, enquanto, a seção
do lado direito, a tensão normal (σp) é aliviada pelo esforço de tração induzida. A
continuação apresentam-se as equações deduzidas que mensuram o estado das tensões
no pilar. Da Fig. 25, obtém-se:
2
'
3
'' 6
12
2
PP
O
O
PP
PO
O
CG
O
OCompressaoTracao
WL
M
WL
WM
cM
3
'
2
'
3
'' 66
12
2
P
O
O
PP
O
O
PP
PO
O
CG
O
OCompressãoTração
W
M
WL
M
WL
WM
cM
CompressãoTraçãoPmínimaCompressãoimoCompressão /max
'O
OM
65
(42)
Quando Lp=Wp e Wo=Lo:
(43)
Onde:
σCompressão-máxima: tensão normal de máxima compressão no pilar.
σCompressão-mínima: tensão normal de mínima compressão no pilar.
Segundo os conceitos da mecânica para corpos submetidos à flexão e à validez da teoria
da viga elástica, no eixo longitudinal ou linha neutra do pilar, não existem tração, nem
compressão devido ao momento.
3.1.5 RESTRIÇÕES NO DIMENSIONAMENTO DE CÂMARAS E PILARES.
3.1.5.1 RESTRIÇÃO POR FLEXÃO DE UMA LAJE SIMPLES.
Uma das restrições a serem consideradas no dimensionamento de câmaras e pilares é
garantir a estabilidade das aberturas ou vãos, sendo que o teto pode estar conformado
por estratos de rocha sobrejacentes (lajes) que funcionam como vigas bi engastadas
(Goodman, 1989). Nesta teoria, são adotadas as seguintes premissas (Oyangüren et
al.,1984):
- os esforços de compressão e tração, são equivalentes;
- as lajes têm o mesmo comprimento;
- não existe atrito na união das lajes;
- no eixo da viga não fica submetido a esforços por ser zona de simetria;
- material elástico isotrópico;
- cada seção na viga é perpendicular ao eixo de simetria ainda depois da flexão.
2
22
/max
'
6cosPP
O
O
PP
POPOmínimaCompressãoimoCompressao
WL
M
LW
LLWWsen
3
2
22
/max
'
6cosP
O
O
P
POmínimaCompressãoimoCompressao
W
M
W
WWsen
66
W
EIX
O C
EN
TR
AL
Wo/2
M1
R1
M2
R2
A
B
E t1 1 1
E t2 2 2
H'
V'
Pilar inferior
Pilar superior
WV'
WH'
A
Pilar
Laje
ESTADO DE TENSÕES NA LAJE
ZONA PILAR INFERIOR
Laje
M1
t
c
H-1
Laje
Pilar
ESTADO DE TENSÕES NA LAJE
ZONA PILAR SUPERIOR
Laje
B
M2
c
t
H-2
3.1.5.1.1 TENSÕES DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO DEVIDO AO MOMENTO GERADO PELO PESO DA
LAJE.
O aparecimento de estas tensões de tração e compressão ocorre no contato topo do pilar
e laje; por outro lado, é importante encontrar a magnitude de esta carga, já que, quanto
maior for o dimensionamento do vão maior será as cargas que instabilizam a laje e a dos
estratos sobrejacentes. A laje em questão é flexionada pela ação da carga do seu próprio
peso, por conseguinte, as máximas tensões de tração-compressão induzida dar-se-á na
zona dos engastes como decorrência da flexão à qual fica submetida (Pariseau, 2007). A
Fig. 27 apresenta um conjunto de lajes que conforma o teto; assim também, são
expressos os momentos atuantes nos engastes (MA e MB, pontos A e B respectivamente)
e o momento na metade do comprimento da laje (M(h=Wo/2), eixo central). Considerando
que a laje tem uma espessura de “t1” e um comprimento de “Wo” (correspondente à
dimensão do vão).
Figura 26. Camadas inclinadas sujeitas à deformação por flexão pura (Autor).
Ei
: módulo de Young
i: peso específico
ti
: espessura
i : 1,2,3.... ....n
67
Estado de tensões no ponto H-1
Ponto H-1
cc
Estado de tensões no ponto H-2
Ponto H-2
t t
(44)
(45)
Por outro lado, o momento atuante na laje bi-engastada produz uma deflexão cujo
máximo valor é “ν´” e esta magnitude ocorre na metade do comprimento e fica definida
pela seguinte equação (Pariseau, 2007):
(46)
Trações e compressões máximas acontecem na zona dos engastes. A partir de um
arranjo da formula da flexão e Euler-Bernoulli (Eq. 18) e considerando a camada
inclinada obtém-se a seguinte equação (Parisseau, 2007); A dedução das equações (44)
e (45) está no ANEXO C.
(47)
3.1.5.1.2 TENSÕES DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO DEVIDO A PESO DE UMA LAJE.
Figura 27. Zona da laje sujeita a esforços de compressão – tração.
BOV
A MWW
M 12
2
'
24
2
'
)2
(
OVW
h
WWM
O
Et
W
Et
Wt
EI
WWv OOOV
2
1
24
1
3
1
24
11
24
'
32
cos)1(
12384
cos)1(1
384'
2
1
111
3
1
2
11
2
cos
2
12
112
cos11
t
Wtt
t
Wt OOct
dh'
Wo
Wp
h'
Wo-h'
Laje
Pilar
W
W
W
V'
H'
m
m'Ponto H-1
Ponto H-2
Compressão
Tração
t
H'
V'
1
68
'dh
dl
)( '
1'hWsen
dh
dlO
Uma laje conforme se detalha na Fig.27 possui um determinado peso (=W ) e cujo
modulo pode ser expresso em seus vetores retangulares (WH’ e WV’, peso no sentido do
eixo H’ e V’ respectivamente); o aparecimento de uma tensão de compressão na região
do engaste inferior (Ponto H-1) e tração no extremo do engaste superior (Ponto H-2)
estão estreitamente ligados à ação do peso da própria laje no eixo do mergulho da
camada (H’). A laje é um corpo rochoso e, quando disposto de maneira inclinada, irão
surgir tensões devido ao seu próprio peso (Fig. 16), consequentemente, existe uma
pressão que produz uma deformação unitária ( LL ), a qual está associada ao
próprio peso da coluna de rocha (Coates, 1973). A lei de Hooke relaciona a carga que
produz deformação e a deformação unitária conforme já supracitado no item 2.2.7.2,
então, as lajes que conformam o teto cujo comprimento é “Wo”, espessura t1 e largura
unitária são similares a um corpo de rocha de forma de um paralelepípedo e, por
conseguinte são analisadas as tensões e deformações produzidas pelo próprio peso. A
partir da lei de Hooke é deduzida a tensão que produz a tração e compressão devido ao
seu próprio peso.
(48)
3.1.5.1.3 TENSÕES DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO DEVIDO AO PESO DE UM CONJUNTO DE LAJES.
Na Fig. 28 se apresenta um conjunto de lajes que conformam o teto (as lajes estão
dispostas acima da camada mineral), cada uma com diferentes propriedades e
Wo
O dhhWsen
dl0
''1 )(
22
11
2
senW
EW
senW
W
l O
O
O
O
2
1
senWOct
21
0
2''1
22O
Wo
O Wsenh
hWsen
l
69
Laje
s isola
das
(a)
W
EIX
O C
EN
TR
AL
Wo/2
A
B
H'
V'
Pilar
inferior
Pilar
superior
WV'
WH'
(separa
das
do c
onju
nto
)
W
Wsen
Wcos
E
t
11
1E
t
22
2
Laje 1:Laje 2:
E
t
33
3
Laje 3:
A
B
C
E
t
nn
n
Laje n:
(b)
parâmetros geotécnicos (Goodman, 1989; Pariseau, 2007): módulo de elasticidade “E”,
coeficiente de Poisson “n”, resistência à tração, compressão e peso específico “γ”.
Inicialmente, quando não há escavação nenhuma, as lajes estão solidarizadas, porém,
após lavra do minério existe a probabilidade de se desprender uma quantidade de lajes e
por tanto, forma assim um grupo de lajes a maneira de uma viga que vão flexionar; o
número de lajes desprendidas depende da rigidez, espessura, bem como a interação
entre elas (Pariseau, 2007-pag. 247).
Figura 28. Grupo de lajes separadas de um conjunto de lajes.
A
WA
R B/A
B
WB RB/A
Diagrama do
corpo livre para o
Bloco A
Diagrama do
corpo livre para o
Bloco B
(c) (d)
70
Pariseau (2007)-pag. 249 (Eq.(5.48)) estabelece a análise para determinar a quantidade
de estratos estáveis; para isso, começa analisando a resistência da primeira laje (laje 1)
que conforma o teto e, sucessivamente, acrescenta as lajes superiores (laje 2, laje
3,...laje n). Esta análise pressupõe que, quando não exista força entre camadas, ela é um
indicador que não existe tensão de tração que permite a solidarização da laje (ou lajes)
inferior com a superior e consequentemente ocorre a flexão e dependendo da grandeza
do momento flexor seguidamente acontece a ruptura. Nesta tese, só será avaliada a
resistência inter-lajes; não se considerará a pressão de ar que possa existir entre as lajes.
Avaliando a pressão sobre a laje A– Fig. 28 (c):
Para um sistema conformado pelas lajes A e B:
(49)
Portanto; para “n” lajes:
(50)
Quando σsistema (Eq. (50)) for menor que σlaje-1 (Eq. (49)), há uma diminuição do
esforço; isto indica que a laje superior absorve parte do peso da laje inferior; porém,
quando σsistema for maior, a laje inferior ficará carregando a superior. Pariseau (2007),
Conclui que quando o σsistema for zero ou próximo, então ele indica que não existe tensão
que interatua entre o conjunto (σsistema) e camada imediata superior. Isto faz deduzir que
as lajes que ficam por baixo flexionarão formando um conjunto isolado das que ficam
acima. Este procedimento deve ser realizado com as camadas superiores até encontrar
um valor de tensão zero entre as camadas, com o fim de estabelecer quais as lajes que
flexionarão. O valor do peso especifico para um sistema de lajes que tem a mesma
deflexão é definido pela equação seguinte:
(51)
111 tlaje
3
22
3
11
22113
11tEtE
tttEsistema
33
22
3
11
22112
11
nn
nneequivalent
tEtEtE
ttttE
33
22
3
11
22113
11
nn
nn
sistematEtEtE
ttttE
71
Limite de Lavra
Área lavrada
X
Y'
Área do PilarÁrea Total
Wo
Lo
Wp
Lp
A A'
BB
'
No ANEXO D está formulada o algoritmo em Math Cad, que avalia o numero de lajes
que vão se desprender de todo um sistema de lajes que conforma o teto; o algoritmo
considera os parâmetros getécnicos já supracitados e o mergulho da camada entre
outros.
3.2 PILARES DE SEÇÃO RETANGULAR.
Uma característica principal destes pilares é que um dos lados da seção transversal
possui maior dimensão; um pilar disposto de maneira perpendicular à camada inclinada
possui uma seção retangular conforme se detalha na Fig. 29. Mark, (1999) fez um
arranjo na equação de Beniawski (1992) para estimar a resistência de um pilar com
seção retangular, no ANEXO E está desenvolvida a equação de Mark; assim também,
no ANEXO F se apresenta um arranjo na equação de Salomon e Munro para estimar a
resistência de pilares com seção retangular (Cano, 2014). Nesta dissertação, irá ser
utilizada a equação proposta por Mark (1999). Na Fig. 29 mostra as dimensões de
comprimento no eixo X e largura no Y’; é dizer que a largura “LP” do pilar fica segundo
o mergulho do plano inclinado. Da mesma maneira, a altura HP no eixo Z’; e é normal
ao plano XY’. Estas especificações ficarão esclarecidas nas figuras a seguir:
Figura 29. Seção de planta num plano XY’- Câmaras e Pilares.
72
Perfil NN'
Lp
Wp
Y'
X
Z'
Lo/2
Lp
Lo/2A
Altura média com
relação à superfície
PQ
R
S
Z
Perfil BB'
N
N'
Y'
Z'
Y
Figura 30. Perfil BB’ e seção de um pilar retangular no plano XY’.
A Eq. (52) é um arranjo deduzido da equação de Beniawski (1992); a equação deduzida
é função da geometria do pilar e do esforço de resistência ( 1
c ).
(52)
onde:
x: comprimento de pilar, cujo variável é “WP”
y: largura do pilar, definido por “LP”
z: altura do pilar, com variável “HP”.
1
c : esforço de resistência de uma mostra de pilar (cubo) com dimensão das arestas
igual à unidade.
Para uma disposição de pilares em perpendiculares à camada inclinada, as variáveis de
y e z correspondem às dimensões de largura e altura do pilar em um plano Y’ e Z’. Por
enquanto o eixo X fica invariável com relação ao mergulho da camada.
12
18.054.064.0 Cryz
x
z
x
73
3.2.1 RELAÇÃO ENTRE FATOR DE SEGURANÇA, ESFORÇO DE RESISTÊNCIA E
TENSÃO NORMAL SOLICITADA AO PILAR.
Conhecidas as equações que representa as tensões efetivas solicitadas ao pilar, a
resistência de um espécime cubico de rocha (de dimensões unitárias) correspondente às
características litológicas do pilar e o fator de segurança, são possíveis escrever uma
equação que relacione estas informações para o desenho do pilar ou estrutura de
suporte:
3.3 PILARES NÃO PERPENDICULARES À CAMADA MINERAL.
Conforme a teoria supracitada no item 2.2.6.1, um pilar alinhado com a magnitude da
força resultante consegue aproveitar melhor sua capacidade de resistência. Então, para
pilares inclinados um ângulo “β” com relação ao plano da camada (Fig. 31), as tensões
cisalhantes (τH’V’ e τV’H’) que atuam em planos perpendiculares possuem magnitudes
diferentes de zero.
Por conseguinte, em pilares inclinados com relação ao mergulho da camada mineral, o
valor da tensão cisalhante antissimétrica (τa) tem uma magnitude diferente à do modulo
da tensão cisalhante antissimétrica para um pilar perpendicular ao plano da camada
inclinada. Este valor fica definido pela seguinte expressão:
O valor de τP é maior que τH’V’; isso faz deduzir que o momento resultante associado a
esses esforços será no sentido anti-horário (por ser negativo). Ver Fig. 32.
PP
P
P
PCS
PP
POPO
HL
W
H
WF
LW
LLWWsen2
122
18.054.064.0cos
2
'''' HVVHa
74
A'
A''
H
H'
V'
m
A' A'' OA''
Plano da camada
H'V'
P
Pilar
M
M : Momento gerado por
PM
MH'V'
P P
M : Momento gerado por H'V'H'V'
M: Momento resultante devido aos esforços antissimétricos
Hp
O
OA' A' A'' cos
O'
A'O' Wp cos
Hp cos
n
Figura 31. Estado de tensões cisalhantes e momentos num pilar com inclinação à camada.
3.3.1 MOMENTO ANTISSIMÉTRICO NUM PILAR INCLINADO COM RELAÇÃO À
CAMADA.
Segundo as avaliações, o valor do momento devido ao esforço antissimétrico fica
definido pela equação seguinte:
(53)
quando: WP=LP e WO=WC
(54)
PPPPVH
PO LWH
22
''
'
2'''
22P
PPVHPO W
H
75
Disposição Condição Resistência Resistência GSI m E Coesão ∅ Observaç.
Material à Compressão à Tração
MPa MPa MPa MPa
Rocha intacta 65 6,5 65 10 30000 4,179 34,89
Maciço 9,228 0,464 2,865 18951
Rocha intacta 201 10,05 65 20 84760 15,271 40,99
Maciço 67,004 0,718 5,73 53544
Laje 1
Teto
MinérioQuartzo
Xisto
4 CAPÍTULO 4
4.1 AVALIAÇÃO VIA ALGORITMOS DE PROGRAMAÇÃO.
Nesta avaliação são considerados dados reais de um processo de lavra pelo método de
câmaras e pilares em camadas inclinadas, aplicadas por uma mineradora. Os dados
fornecidos proveem da caracterização ao maciço, bem como de resultados do tratamento
de dados via software (Rock Lab). Assim também, foram criados algoritmos com as
equações expressas em livros, teses e outras que foram deduzidas no presente estudo,
tais informações estão inseridas em modelos matemáticos no software Math Cad e são
apresentados nos anexos D e G.
4.2 DADOS GERAIS DA ZONA DE ESTUDO.
4.2.1 DADOS GERAIS.
Basicamente, a ocorrência mineral dá-se em camadas de 2m de espessura com um
mergulho de 20 graus para numa profundidade de 300 – 350 metros. A rocha encaixante
é um xisto cujo peso específico médio é 0.027MN/m3. Deseja-se encontrar as
dimensões ótimas de um pilar cuja seção inicial é de 3x3m2, com câmaras de 7x7m
2,
tendo como finalidade estimar se os pilares deverão ter seção quadrada ou retangular,
para, assim, obter-se a seção mínima que permita uma maior recuperação. Na tabela 1,
estão definidas as características do maciço rochoso e as propriedades para rocha
intacta. Estes dados foram estimados com Rock Lab.
Tabela 1. Litologia e propriedades do material rochoso.
76
Wo
Lo
Lo Wo
Lp
Wp
X
Y
Z
Ângulo de 90°
A
B
C
DABCD : Plano da camada de minério
Figura 32. Apresentação 3D de câmaras e pilares em camadas inclinadas.
4.2.2 TEORIAS A SEREM ANALISADAS.
Na presente dissertação é estudada duas teorias a fim de utilizá-las para dimensionar
pilares com seção ótima, com o objetivo de encontrar uma seção de suporte adequada
que permita obter maior recuperação de minério, tanto pela posição do pilar em relação
à camada quanto ao tipo da seção do pilar, e para tais fins é aplicada a teoria dos meios
contínuos generalizados e a teoria clássica; uma comparação entre esses métodos
permite encontrar a diferença que existe entre um e outro, independentemente de quem
ofereça maior recuperação.
A importância da teoria dos meios contínuos deve–se ao fato que é um estudo na qual é
considerada a tensão momento, e precisamente um pilar em uma camada inclinada há
um aparecimento de novas tensões como decorrência da sua disposição e cuja
particularidade está definida na mecânica dos meios contínuos; por outro lado, a
mecânica clássica oferece limitações em sua aplicabilidade ao problema em questão. A
seguir, a Tabela 2 com informações gerais de um maciço rochoso de uma mina em
Brasil.
77
(a) (b)
Pilar perpendicular à camadaPilar não perpendicular à camada
inclinada
90
Tabela 2. Informação geral para os pilares e as camadas.
Para maior referência, ver o ANEXO G – Parte 1
4.2.2.1 TEORIA DOS MEIOS CONTÍNUOS COMPARADA COM A MECÂNICA CLÁSSICA.
A aplicação desta teoria será realizada para pilares que sejam perpendiculares e não
perpendiculares à camada mineral e será comparada com a mecânica clássica.
Figura 33. Disposição de pilares com relação à camada a serem analisados.
DADOS INICIAS
INFORMAÇÃO GERAL Nomenclatura Unid Quant Observações
Comprimento inicial do pilar Wp m 3
Largura inicial do pilar Lp m 3
Comprimento inicial do vão Wo m 7
Largura Inicial do vão Lo m 7
Altura do Pilar - espessura da camada mineral Hp m 2
Peso específico do minério γm MN/m3 0,031
Peso específico da rocha sobrejacente γr MN/m3 0,027
Profundidade média (até o topo do pilar) Z m 350
Resistência à compressão do maciço σc MPa 67,004 (Mohr Coulomb)*
Resistência à tração do maciço σt MPa 0,718 (Hoek & Brown)*
Mergulho das camada mineral Graus Sexag. 20
Característica do material Minério - Quartzo
Espessura da laje1 (teto) t m 1 (Xisto grafitoso)
Resistência à compressão - maciço equivalente σc MPa 9,228 (laje 1)
Resistência à tração - maciço equivalente σt MPa 0,464 (laje 1)
Peso específico do material γlaje MN/m3 0,027
Mergulho das lajes Graus Sexag. 20
Característica do material Estéril -
(*) Dados obtidos do Rock Lab
DA
DO
S P
AR
A
A L
AJE
DA
DO
S
PA
RA
AS
CÂ
MA
RA
S E
PIL
AR
ES
78
Tipo de seção : Quadrada Retangular Quadrada Retangular Quadrada Retangular
Nomenclatura Unid
Comprimento ótimo do Pilar Wp m 3,33572 2,93153 3,28452 2,87544 2,99781 2,88572
Largura ótima do Pilar Lp m 3,33572 3,47820 3,28452 3,43930 2,99781 2,90041
Comprimento ótimo do vão Wo m 5,40914 5,40914 5,40914 5,40914 5,40914 5,40914
Largura ótima do vão Lo m 5,23472 5,23472 5,23472 5,23472 5,23472 5,23472
Fator de segurança para o pilar unid. 1,30 1,30 1,30 1,30 1,30 1,30
Fator de segurança para a laje unid. 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25
Fator de segurança para o chão unid. 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00
Mergulho da camada graus sexag. 20 20 20 20 20 20
Recuperação do minério - % 0,85154 0,85969 0,85434 0,86238 0,87015 0,87597
K: 1,25
MECÂNICA DOS MEIOS CONTÍNUOS MECÂNICA CLÁSSICA
NÃO PERPENDICULAR
À CAMADA
PERPENDICULAR NÃO PERPENDICULAR
À CAMADA À CAMADA
4.2.3 PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO.
4.2.3.1 ANÁLISE MECÂNICA DE COSSERAT E MECÂNICA CLÁSSICA.
Com os dados das Tabelas 1 e 2 e usando algoritmos programados em Math Cad (anexos D e G), avaliar-se-á a melhor seção do pilar,
assim também, comparar o desenho de pilares com a teoria dos meios contínuos generalizados e da mecânica clássica. Além de
comparar dimensionamentos de pilares usando as duas teorias, também, far-se-á a avaliação da melhor seção de pilar entre quadrada e
retangular. A seguir, na tabela 3, os dados a serem utilizados nessa avaliação.
Tabela 3. Resumo de dados otimizados via algoritmos com aplicações da teoria de Cosserat e Mecânica Clássica.
79
A Tabela 3 apresenta dados que são solução de otimização; as quatro primeiras filas
correspondem às dimensões ótimas para a seção de pilar e dos vãos. A fila ressaltada
representa a máxima recuperação obtida.
4.2.3.2 RESPOSTAS DE OTIMIZAÇÃO E ALGORITMOS.
A Tabela 3, a partir da quarta coluna; possui dados ótimos correspondentes a larguras e
comprimentos de pilares e vãos, além do item em destaque cujos dados são a máxima
recuperação possível para essas dimensões de seção de pilares. No ANEXO G - Parte 2
apresentam os algoritmos que permitem atingir a soluções ótimas:
a) Algoritmos com embasamento na teoria dos meios contínuos generalizados de
Cosserat para pilares perpendiculares e não perpendiculares à camada:
- Pilares de seção quadrada
- Pilares com seção retangular.
b) Algoritmos com embasamento na mecânica clássica:
- Pilares de seção quadrada.
- Pilares com seção retangular.
Foram estudados pilares perpendiculares e não perpendiculares à camada mineral. É
necessário diferenciar o tipo de pilar a ser construído para estabelecer um modelo físico
matemático, cujas equações fiquem apresentadas em um algoritmo que atinja a uma
solução certa. Assim também; as restrições cujas equações são modelos que
condicionam a solução.
Logo, o algoritmo é uma função que envolve outras, e, restrições a serem satisfeitas,
cuja solução racional depende da coerência dos modelos assumidos para obter uma
resposta desejável.
80
5 CAPÍTULO 5
5.1 CONCLUSÕES E RESPOSTAS ÀS PERGUNTAS DA PESQUISA
O presente capítulo será dedicado à avaliação dos resultados analisados e obtidos a
partir dos algoritmos e comparar respostas via modelos aplicados da teoria dos meios
contínuos em relação à mecânica clássica. Também responder as perguntas da pesquisa
que foram planteadas no CAPÍTULO I.
1. A recuperação de minério em pilares com seção quadrada e perpendicular à camada
mineral, considerando a teoria dos meios contínuos de Cosserat é; menor em relação à
teoria Clássica. Esta diferença deve-se particularmente à quantidade de esforço induzido
que gera os momentos que são considerados na mecânica de Cosserat e que não
considera a mecânica clássica. A quantidade de esforço que está definida pela mecânica
de Cosserat e que não avalia a Clássica pode ser expressa pela seguinte equação:
2. Segundo a teoria dos meios contínuos, os pilares com desenho de seção retangular
oferecem maior resistência específica devido à maior área de suporte que possui para a
distribuição dos esforços, permitindo suportar maiores cargas; o que se traduz com
maior recuperação em relação a seus análogos de seção quadrada. Para conferir os
mencionados, pode-se remitir à tabela 3: os pilares com seção quadrada oferecem menor
recuperação de minério em relação a seus análogos de seção retangular.
3. Aplicando a mecânica dos meios contínuos em um pilar de seção quadrada com eixo
perpendicular à camada, os esforços induzidos devido ao momento ( q ) são
diretamente proporcionais ao mergulho da camada ( ). Com os resultados obtidos na
Wo Wp, Lo, Lp, , , ( ) Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos
180
2
4 K sin180
2
3 0 1 K( )Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp sin
180
2
cos180
2
sin180
Lp
2
WpLp
3
12
:
0 0.5, 25..:
Wo Wp, Lo, Lp, , , ( ) Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos
180
2
4 K sin180
2
3 0 1 K( )Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp sin
180
2
cos180
2
sin180
Lp
2
WpLp
3
12
:
0 0.5, 25..:
......
...... +
81
(Wo,Wp,Lo,Lp, , )q
(Wo,Wp,Lo,Lp, , )r
10 20 30
1
2
3
tabela 3, avalia-se o seguinte gráfico, ficando esclarecido que, quanto maior o ângulo
( ) ter-se-ão maiores esforços de compressão e tração “σq”:
Gráfico 01. Relação de mergulho da camada e esforço induzido no pilar
4. Segundo a mecânica de Cosserat, os pilares com seção retangular ficam submetidos a
maiores esforços induzidos em relação a pilares com seção quadrada; essa diferença está
na faixa de 0.4% - 0.5% maiores para pilares com seção retangular ao considerar a
equação de esforço induzido devido ao momento citado na primeira conclusão e os
valores da Tabela 3 (WO,WP,LO,LP,K,γ). Para ângulos de mergulho que variam de 0 até
25 graus, obtêm-se valores para os esforços de tração (σq) induzidos para seção
quadrada e esforços de tração (σr) induzidos para pilares de seção retangular.
Gráfico 01: Relação mergulho da camada e esforço induzido no pilar com seção quadrada e
retangular
5. Da tabela 3, conclui-se que os pilares não perpendiculares à camada mineral de seção
quadrada ou retangular comparados com seus análogos de eixo perpendicular têm maior
ganho em recuperação mineral; isto está em torno de uma média de 0.32%.
10 20 30
1
2
3
(Wo,Wp,Lo,Lp, , )q
q
0.000
0.035
0.070
0.105
0.140
0.175
0.210
0.000
0.037
0.073
0.110
0.147
0.183
0.220
r
82
adicional
laje Lo sin( )
2=
restriçãoK sin( )
2 cos( )
2 sin( ) tan o( ) cos 2 o( )=
6. Das equações correspondentes às restrições dos vãos, a Eq. (47) representa a
quantidade de um esforço ou tensão a mais (esforço adicional) à que fica submetida
todas as lajes que conformam o teto; o aparecimento de este esforço adicional está
vinculado ao mergulho da camada (ver Fig. 27 e Fig. 32) e; é proporcional à dimensão
do vão (LO), do peso específico (γlaje) e do mergulho da camada (α). Conclui-se que, o
esforço adicional corresponde ao componente do vetor peso da laje (WH’) que atua
seguindo o eixo da inclinação da camada (Fig. 28). A equação que define o esforço
adicional (adicional ) é um arranjo da Eq. (47) e fica expressa pela seguinte relação:
7. Os pilares inclinados em relação à camada (Fig. 33(b)), apresentam uma tensão
cisalhante (τH’V’) que atua na zona da parede e é perpendicular à tensão cisalhante que
atua no topo do pilar (Fig. 31); por conseguinte, a tensão cisalhante (τH’V’) possui um
valor diferente de zero conforme já supracitado no item 2.2.6.1, consequentemente o
valor da parcela antissimétrica ( 2''''a HVVH , com 0'' VH , ver Eq. (33)) é
diferente da parcela antissimétrica quando o pilar é disposto perpendicularmente à
camada inclinada ( 2''''a HVVH , com 0'' VH , ver Eq. (33)). Na situação atual,
iremos denomina-lo de “τrestrição” o qual fica definido pela equação seguinte;
Pode-se concluir que, o valor (τrestrição) é uma tensão que ajuda equilibrar o pilar e fazê-
lo estável em comparação com o pilar que tem eixo perpendicular à camada mineral
(Fig. 33(a)). A equação fornecida é função do ângulo do mergulho da camada mineral
(α) e o ângulo de inclinação do pilar em relação à camada mineral (δo).
8. Segundo a teoria da mecânica clássica, o pilar ótimo é aquele cujo eixo fica alinhado
com a força resultante. Esta teoria despreza os momentos atuantes, como também não
considera o momento devido à parcela antissimétrica e nem o momento gerado pela
tensão cisalhante que atua no topo do pilar (τP). Todos os momentos, ao não serem
considerados ( 0' OM , ver Eq.(53)), pressupõem desprezíveis os esforços induzidos, os
quais são uma resultante da flexão.
Da tabela 3 é deduzido que, os pilares com dimensionamento baseando na mecânica
clássica têm um ganho de 1.36% na recuperação de minério, acima dos pilares
dimensionados pela teoria de Cosserat.
83
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Programa de Pós-graduação em Geotecnica, NUGEO - Escolas de Minas,
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Hudson, J. A. & Harrison, J. P. (1997). Engineering Rock Mechanics - An Introduction
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4éme Conf. Int. Contôle des Terrains et la Mécanique des Roches, NY : Columbia
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OTROS.
Figueiredo(2011): ANÁLISES DE TENSÕES DE COSSERAT, Notas e Manuscritos
de Aula.
http://html.rincondelvago.com/ecuaciones-diferenciales-de-segundo-orden-con-
coeficientes-constantes.html
85
ANEXO A: DEDUÇÃO DAS FÓRMULAS APRESENTADAS NO QUADRO N° 3
TENSÕES NORMAIS E TENSÕES CISALHANTES.
Figura 5(c) – Pagina 15. Tensões normais e cisalhantes atuantes em um corpo.
Tendo um elemento infinitesimal como o apresentado na Figura 5(c) na página 15, irão
se avaliar as tensões que agem para qualquer ponto quando ela faz um ângulo “a” em
sentido anti-horário a partir do eixo horizontal “X”.
Com as tensões (ou esforços)
coscos 22
' sensen YXXYyXX ...........(1.a)
cos)(cos 22
' sensen YXXYyXY ...........(2.a)
cos)(cos 22
'' sensen YXYXXYYX ...........(3.a)
X
yy
xxx'y'
x'y'xy
yx
Y
X'
Y'
Myz
MxzMx'z
Acos
Asen
A
Ponto O
O'
OO' : Asen cos
(c)
86
DEDUÇÃO DA FÓRMULA PARA A TENSÃO MOMENTO.
Considerando a figura 5(c), é possível identificar as tensões que geram momento em
relação ao ponto O. Segundo a convenção da mecânica de rochas, todas as tensões que
provocam rotação no sentido horário são positivas e negativas para a situação anti-
horária (Figueiredo, 2011).
Figura 5(d) – Página 15. Tensão momento e tensões que geram rotação no sistema.
(4.a)
(5.a)
Somando as equações (4.a) e (5.a), tem-se:
(6.a)
2cos
2
coscos
AsenAsenAsenA
AA yaX
cos
2
cos
2cos
22
' sensen
AsenMMM aXY
YZXZZX
cos' AMAsenMAM XZYZZX
X
yy
xx
x'y'
yx
Y
X'
Myz
Mx'z
A
Ponto O
O'
Acos
2
Asen2
Mxz
OO' : Asen cos
Y'
(d)
87
;s
;a
22
2cos2
222
YXXYXYYXXY sen
V
H
s
a
V
H
s
a
Deformação
Rotação
Elemento
Deformado e Rotado
Estado inicial Estado final
Somando as equações (1.a) e (2.a), tem se:
....... (7.a)
Se:
2
XYm
..... (8.a)
Tensão cisalhante “simétrico”, responsável pela deformação.
Tensão cisalhante “antissimétrica”, o qual gera a rotação sem deformação.
Figura 6(d) - Página 16. Tensões cisalhantes, simétrico e antissimétrico, que atuam em um corpo.
2
YXXYs
2
YXXYa
2
2
22
2s
YX
am
22
22
2cos22
senXYYXXYXY
2222
2222
XYYXXYYXXYXY
88
m y x
a
s
x xy
y yx
13
1- xyx
x- 3yx
tan-1
tan-1
12
1 = 2 = + 90°
Figura 34. Círculo de Mohr não convencional.
89
ANEXO B: ANÁLISE DE TENSÕES E MOMENTOS EM UM PILAR
PILAR PERPENDICULAR À CAMADA INCLINADA.
Figura 35. Tensão cisalhante, simétrica e antissimétrica, que atuam em um pilar.
As tensões e os momentos devem ser analisados em relação à metade da altura do pilar
(ponto O’), já que representa a zona crítica e cujo afastamento dos contatos (topo e piso)
é máximo ( 2pH ); por tanto, existem magnitudes como σP, τP e MP (tensão normal,
tensão cisalhante no topo do pilar e tensão momento respectivamente) que vão criar
fadiga; por outro lado, os valores para as tensões que atuam no plano H’ é zero. Em um
pilar com seção transversal (seção de suporte) quadrada igual “WPLP”, a largura do pilar
“LP” tem as mesmas dimensões que o comprimento “WP”. Percebe-se que, quando se
aplica a equação para encontrar a tensão cisalhante no topo do pilar (plano V’-H’), ele é
negativo, deve ser entendido como valor do momento anti-horário. Para nossa análise
do momento atuante resultante no ponto O’ fica expressa assim:
Onde, a equação do momento do pilar “MP” fica expressa assim:
PPPPP
O
HLW
2
PPPPP
O
HLW
2
Mp Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 0 1 K( )[ ] sin( )
2 cos( )
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
sin( )= .......
....... Mp Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 0 1 K( )[ ] sin( )
2 cos( )
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
sin( )=
p
p
p
pHp
Wp
H'
Mp
O'
Mo'
Eixo da Camada
piso
topo
90
p
p
V'
H'
Mp
O'
Mo'
Eixo da Camada
H'V'
Wp/2
Hp/2
PILAR INCLINADO EM RELAÇÃO AO PLANO DA CAMADA INCLINADA.
Para explicar esta nova situação, iremos fazer uso da Fig. 13 – pag. 25; no plano
correspondente ao eixo H’ possui uma tensão cisalhante, situação diferente se o pilar
estivesse disposto perpendicularmente ao plano da camada mineral.
Figura 36. Momento e esforços cisalhantes que atuam gerando momento num pilar.
A diferença da situação do apresentado na Fig. 35, aqui existe uma tensão cisalhante no
plano do eixo H’, mas não se considera o esforço de compressão (tensão normal à seção
de suporte do pilar) atuante no eixo V’, devido a sua resultante que passa pela linha de
ação onde se pretende avaliar o momento.
0'O
PP
PPPO
HLW
2'
PPPPPO HLW '
A equação do momento do pilar “MP” fica expressa assim:
Mp Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 Lo Lp( ) K sin( )
2 cos( )
2 sin( ) tan o( ) cos 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2cos( ) sin 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2 cos( )
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Lp
cos o( )Wp
sin( ) cos( )
sin( )=
Mp Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 Lo Lp( ) K sin( )
2 cos( )
2 sin( ) tan o( ) cos 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2cos( ) sin 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2 cos( )
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Lp
cos o( )Wp
sin( ) cos( )
sin( )= ....
91
F
M N
Pilar
Área de
influ
ência
Análises de
uma viga
Camada
Área do Pila
r
Superfície
Z
ANEXO C: ANÁLISE DE ESTABILIDADE DAS LAJES.
ANÁLISE DA EQUAÇÃO DE EULER.
EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA.
A análise para avaliar a flexão da laje (ou lajes) é realizada seguindo o principio da viga
elástica, a qual considera uma região de laje de toda a laje (ou lajes) inteira; na Fig. 36
há uma região de cor vermelho semelhante à de um paralelepípedo e é considerada
como uma viga (Oyangüren et al., 1984; Pariseau, 2007).
Figura 37. Apresentação em 3D de um sistema de câmaras e pilares (Autor).
1. Considerando uma viga que pertence ao teto que conforma o vão e cuja seção
tem dimensões unitárias (Fig. 37). Então, nesta análise, podemos representar a
viga conforme a Fig. 38.
Figura 38. Viga em balanço (adaptada de Beer et al.,2007).
Viga
Pilar
92
+d
v+dv
dh
v
h
ds
d
P1
P2
R
M N
V
d
v v+dv
h dh
P1
P2
2. Analisando o comportamento de uma viga quando fica submetida a uma força
externa “F” no ponto P1, a qual lhe que produz flexão e uma força “F+dF” no
ponto P2 que está distanciada infinitesimalmente do ponto P1, conforme se
apresenta na Fig. 39.
Figura 39. Flexão e raio de curvatura de uma viga.
3. Como decorrência da flexão, os pontos P1 e P2 estão afastados uma distância
horizontal infinitesimal “dh”, e uma quantidade infinitesimal “dv” na vertical,
cuja distância real entre os dois é o valor do comprimento do arco “ds” ( Rd );
da mesma maneira a força “F” produz um ângulo de flexão “a” no ponto P1 e
“a+da” no ponto P2 (Beer et al., 2006). Então, tem – se:
Figura 40. Flexão e ângulo de curvatura de uma viga.
93
dh
dv
dh
dvdvv
)(tan
dh
dv
ds
dv dhds
O O'
Wo
Viga
Wo: Comprimento da viga (amplitude do vão)
ds
R
E
F
d
EF: Ro
M
V
HJ
HJ
V
Na Fig. 41 apresenta-se uma viga fixada nos seus extremos e submetida à flexão devido
a uma carga uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento “Wo”; a viga em
questão possui uma tração máxima na metade da viga (Ponto E) nas fibras externas
inferiores (região de maior raio de curvatura), enquanto as fibras internas estão
submetidas à compressão (Beer et al., 2006; Pariseau, 2007).
Figura 41. Estado de tensões em uma viga submetida à tração e compressão induzida pela flexão.
Das figuras 39, 40 e 41 tem se:
....... (1.c)
;
Quando o valor de α tende a zero, o valor tana= sena:
;
Sabendo-se que, para ângulos pequenos o valor do sena=a, ter-se-ão:
Rdds
ds
dvsen
dh
dvsen
94
Voltando na equação (1.c) e aplicando as condições:
...... (2.c)
A equação anterior (2.c) é uma expressão do raio de curvatura, qual fica assim:
Da Fig. 41 conclui-se que, um corpo infinitesimal que está por debaixo do eixo neutro
(ponto E) está submetido a esforços de tração. Enquanto, na superfície neutra, não
existe tração, nem compressão; por tanto as deformações são nulas. Por conseguinte, se
a viga estiver flexionada ou não, o comprimento do eixo neutro se mantém constante e
pelas mesmas razões, se considerarmos dois pontos pertencentes ao eixo neutro (Ponto
O e O’) os quais estão afastados por uma distância de “Lo”, após flexão, a distância de
separação vai ser a mesma que se não houver flexão nenhuma; então o supracitado pode
ser expresso pela seguinte equação:
para um corpo infinitesimal posicionado uma distância de RO unidades abaixo da linha
neutra (ponto F) o arco gerado é:
Por simples inspeção, pode ser notado que o valor de LF > LO; foi mencionado que, um
elemento infinitesimal posicionado sobre a linha neutra mantém suas dimensões, mas,
se esse mesmo estiver abaixo do eixo, às dimensões finais diferem das iniciais.
(3.c)
2
21
dh
vd
dh
dh
dvd
dh
d
ds
d
R
2
21
dh
vd
R
RdLO
dRRL OF
O
FOH
L
LL
R
R
Rd
dR
Rd
dRRdRd
Rd
dRRRd OOOOH
)(
95
ER
R HO 21
CG
OMAX
aplicadoI
RMto
Na Fig. 41, avaliando os esforços de flexão pura para uma viga de comprimento “WO”,
e seção unitária, igualmente são validas as suposições de (Pariseau, 2006):
-os esforços que atuam perpendicular ao eixo neutro é o peso e não existe outra força;
-existem restrições na deformação segundo o plano J; por se tratar de um corpo de
dimensões infinitas neste eixo, assumimos uma deformação plana.
Da Lei de Hooke:
onde:
E: módulo de elasticidade para a rocha transversalmente isotrópica.
Aplicando a lei de Hooke:
...... (4.c)
Igualando as equações (3.c) e (4.c).
...... (5.c)
A equação que relaciona o esforço e o momento é a seguinte:
...... (6.c)
HJV
VEE
0 VH
J
JEE
VJ
H
HEE
0 H
J
EE
HJ
0 H
H
HEE
EEE
H
H
H
H
2
2
1
96
onde:
MtoMAX : momento de gerado pela carga aplicada (Wv’)
RO: valor do afastamento do eixo neutro ate um ponto qualquer seguindo o eixo V
ICG: momento de inércia relacionado ao centro de gravidade.
Relacionando e arranjando as equações (3.c) e (4.c) na (6.c):
...... (7.c)
O sinal negativo é entendido como a quantidade deslocada no sentido negativo do eixo
“V”, ou seja, abaixo do eixo horizontal. Para uma análise de vãos iremos considerar
uma laje, como mostra a Fig. 42, para se ter maiores detalhes.
CG
OMAXO
I
RMto
ER
R 21
CG
MAX
I
Mto
Edh
vd
R
2
2
2 1'1
97
M
W
R1
h
H'
V'
MA
(h)
ROCHA
Wv': Distribuição lineal de carga
h: O comprimento vai desde 0 no ponto A (engaste) até Wo
(comprimento do vão)
W
v'
h'
A
W
M1
R1
M 2
R2E
IXO
CE
NT
RA
L
Wo/2
H'
V'
A B
WV'
WH'
Ponto S'
VIGA BI ENGASTADA
Ao considerar uma laje bi engastada.
Figura 42. Lajes flexionadas pela ação do seu próprio peso (Autor).
Analisaremos; a seguir, as forças e momentos que agem na referida laje:
Figura 43. Sistema de um diferencial de laje (Autor).
98
A
r
h MhW
hRM 2
2
1)(
0Mo
0'VF
Analisando as forças que atuam nos pontos de contato laje-pilar na Fig. 42, tem-se:
;
Analisando os momentos, a partir da Fig. 43:
;
...... (8.c)
Relacionando as equações (7.c) e (8.c) tem-se:
...... (9.c)
...... (10.c)
As equações (9.c) e (10.c) fornecem o ângulo de deflexão e o valor de deslocamento “v”
para cada ponto afastado “h” unidades da origem (Ponto A).
A
V MhW
hREIdh
vd
2
1'2
'
1
2
2
2
A
V MhW
hRdh
vdEI
2
'
1
2
'
12
2
2
A
V MhW
hRdh
vdEI
2
'
1
2
'12
2
2
1
3
'
2
1
2
'12 622
'
1ChM
hWhRdhM
hWhR
dh
dvEIA
VA
V
21
24
'
3
1
2 2246'
1ChC
hMhWhRv
EI AV
dhChM
hWhRdv
EIA
V
1
3
'
2
1
2 62'
1
hRhW
MM VAh 1
2
')(
2
OV WWRR '21
99
Aplicando as condições de contorno para uma laje conforme a Fig. 43:
a) Primeira Condição:
Quando h=0 não existe deslocamento vertical do eixo neutro da viga, então v=0;
igualmente é a deflexão. Isso porque essa região engastada não gera ângulo de giro.
Trabalhando com a equação do ângulo:
e posteriormente a equação da flecha:
b) Segunda Condição:
Além das condições já citadas anteriormente, nesta segunda condição podem ser
analisadas as variáveis de contorno que não foram analisadas na primeira condição em
que h=WO.
Com a equação do ângulo:
...... (11.c)
Com a equação da flecha.
...... (12.c)
0)0(6
)0()
2
0()0(
11
32
12
CM
WR
EIA
r
01 C
21
243
1
2)0(
2
)0(
24
)0(
6
)0()0(
1CC
MWREI Ar
02 C
OAOVO WM
WWWR
620
3
'
2
1
22460
24
'
3
1 OAOVO WMWWWR
100
Agora multiplicando a Eq. (11.c) pelo valor de “-WO/2” e somando à Eq. (12.c):
Então, a reação do pilar na laje (com engaste) fica assim:
Trocando o valor de R1 na Eq. (12.c), para encontrar o valor de MA:
Para encontrar o momento na metade do vão é preciso que h=WO/2; por tanto o
momento na metade do vão ocorre para o valore de h=WO/2; arranjando a Eq. (8.c) fica
assim:
A flecha máxima ( ' ) acontecerá na metade do vão por ser o ponto de igual afastamento
em relação aos extremos (zonas de engastes). Quando h=WO/2 e trocando o valor de
E/(1+n2) pelo E’:
2620
3
'
2
1 OOA
OVO WWM
WWWR
22460
24
'
3
1 OAOVO WMWWWR
222412640
224
'
4
'
3
1
3
1 OAOAOVOVOO WMWMWWWWWRWR
24120
4
'
3
1 OVO WWWR
2412
4
'
3
1 OVO WWWR
2'
12
RWW
R OV
224120
24
'
4
' OAOVOV WMWWWW
2424122
4
'
4
'
4
'
2
OVOVOVOA WWWWWWWM
BOV
A MWW
M 12
2
'
249638496'
1
4
'
4
'
4
'
4
'
2
OVOVOVOV WWWWWWWWv
EI
2412222
2
'
2
'
2
'
1
'
)2
(
OVOVOVO
OVW
h
WWWWWWW
WWM
O
101
Por enquanto estabelece-se uma equação que apresente o valor de deslocamento
máximo que tem o ponto médio da laje para um vão qualquer, substituindo os valores
de MA e R1, quando C1 e C2 são zeros, na Eq. (10.c):
O valor deduzido das equações da lei de Hooke para a linha elástica irá ficar
denominado como E’ (Pariseau, 2007). Arranjando a equação (10.c), a flecha para um
ponto qualquer ficaria assim:
3'
4
'
24
'
32
1
384'
t
WWWWv OVOV
222
'
22
'
4
'
3
'21
24
'
3
1
22
242424122246'
1OO
VOVVOVAV WhWhhWhWWhWhWW
ChChMhWhR
vEI
22
'222
'
2 242
24'
1O
VOO
V WhhW
WhWhhW
vEI
21 E
22
'22
''
2424' O
VO
V WhhW
WhhW
IvE
2
'
2
'
24' O
V WhIE
hWv
102
Vazio
Laje
Pilar
Detalhe
Detalhe
W
R1R2
Wo/2
V'
A B
WV'
WH'
Ponto S'H'
h
M(h') Laje
VIGA COM APOIOS SIMPLES.
Considerando uma viga simplesmente apoiada, da Fig. 44 tem-se:
Figura 44: Situação de uma laje como apoios simples (Autor).
o momento máximo ocorre no ponto S’:
A flecha máxima da Fig. 44 fica definida pela seguinte equação:
Nos pontos A e B, a viga está livre. Esta condição estabelece que poderá girar sem
problema nenhum. Então, o valor do momento no ponto A (MA) e o momento no ponto
B (MB) são zeros. Estas equações podem ser conferidas no livro de William Pariseau
“Design Analysis in Rock Mechanics” no capitulo 5, assim também, no livro de
Ferdinand P. Beer & Russell Johntons Jr “Resistencia dos Materiais”.
8
2
'
)2
(
OVW
h
WWM
O
3'
4
'
32
5'
t
WWv OV
103
x
"Posicionamento"
"Laje 1"
"Tipo"
"Xisto"
"E(10^6psi)"
5.08
"u"
0.16
"sc(psi)"
1.339 103
"st(psi)"
67.34
"Pe(lb/pê3)"
172
"H(pês)"
3.281
ANEXO D: ALGORITMO PARA AVALIAR UM SISTEMA DE LAJES INSTÁVEIS.
Seja a matriz “x”, onde estão definidas as camadas que conformam um sistema
sedimentar (conjunto de lajes), com a presença de uma camada de minério, cuja
espessura é de 6.7 pés; acima da camada mineral existe uma camada definida
correspondente a xisto grafitoso, a qual possui uma espessura média de 3.28 pés. A
camada mineral possui um mergulho de 25 – 30 graus sexagesimais; o encaixante piso é
também xisto. Na tabela 1, apresenta a disposição das camadas. A zona mineral será
lavrada pelo método de câmaras e pilares. Foi avaliada a estabilidade das lajes mediante
uma sub-rotina em Math Cad, com finalidade dinamizar os cálculos. Usando a equação
50 podem ser analisadas as lajes com instabilidade. As explicações assim como as
definições sobre as condições de lajes instáveis; cujo raciocínio se incluiu para gerar
este algoritmo, estão contidas no livro “Design Analysis in Rock Mechanics” de
William Pariseau, na pagina 249-251.
onde:
E: módulo de elasticidade;
c: esforço à compressão simples;
st : esforço a tração;
Pe: peso específico;
H: espessura da laje.
A matriz “xo” a seguir, apresenta um resumo dos dados a serem utilizados na estimativa
de lajes estáveis.
xo augment x3
x4
, x6
, x7
, x8
, "E(10^6psi)"
5.08
"u"
0.16
"st(psi)"
67.34
"Pe(lb/pê3)"
172
"H(pês)"
3.281
:
A última fila da matriz “xo” corresponde às propriedades da primeira laje que conforma
o teto, por ser uma situação na qual o teto está conformado por uma camada; então, não
existe mais que uma laje. A matriz “solução” contém somente lajes instáveis que foram
parte de um conjunto de lajes que conformam as camas sobrejacentes acima do minério.
Os valores na matriz são funções do módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson,
peso específico e espessura da laje. Uma análise feita à mão levaria um maior tempo de
avaliação; porém uma sub-rotina usando Math Cad permite avaliar todas as camadas
104
solução c rows xo( )
numerador 0
altura 0
numero 0
incremento_n 0
incremento_d 0
numerador numerador xoi 4,
xoi 5,
denominador denominador
xoi 1,
1 xoi 2,
2
xoi 5,
3
incremento_n incremento_n xoi 4, xo
i 5,
incremento_d incremento_d
xoi 1,
1 xoi 2,
2
xoi 5,
3
altura altura xoc 5,
peincremento_n
incremento_d
xorows xo( ) 1,
1 xorows xo( ) 2,
2
xorows xo( ) cols xo( ),
3
loi
xi 2,
bi
pe
Pequii
numerador
denominadorxo
rows xo( ) 1, xo
rows xo( ) cols xo( ), 2
hoi
altura
M augment lo Pequi, b, ho, ( )
i c 2..for
M
j rows M( )
K 0 0 0 0( )
Mo 0 0 0 0( )
data Mj 2,
Mj 4,
Mo stack submatrix M n, n, 1, cols M( ), ( ) Mo, ( )
Mn 3,
data65%if
continue
n j 1..for
Ma stack K Mo, ( )
Ma1 1,
"Material"
Ma1 2,
"Pesp-equiv./lbs-pie3"
Ma1 3,
"Esf-equiv./lbs-pie2"
Ma1 4,
"Alt-equiv./pie"
"Material"
"Clorita Xisto"
"Xisto Grafitoso"
0
"Pesp-equiv./lbs-pie3"
155.362
167.597
0
"Esf-equiv./lbs-pie2"
522.976
564.16
0
"Alt-equiv./pie"
6.56
3.28
0
:
solução
"Material"
"Xisto"
0
"Pesp-equiv./lbs-pie3"
167.597
0
"Esf-equiv./lbs-pie2"
564.304
0
"Alt-equiv./pie"
3.281
0
contidas na matriz “solução”, com maior eficiência. A seguir se apresentaremos uma
matriz constituída pelas lajes que flexionarão numa eventual escavação.
A sub-rotina, que fornece uma matriz com as lajes que irão flexionar fica expressa
assim:
105
solução c rows xo( )
numerador 0
altura 0
numero 0
incremento_n 0
incremento_d 0
numerador numerador xoi 4,
xoi 5,
denominador denominador
xoi 1,
1 xoi 2,
2
xoi 5,
3
incremento_n incremento_n xoi 4, xo
i 5,
incremento_d incremento_d
xoi 1,
1 xoi 2,
2
xoi 5,
3
altura altura xoc 5,
peincremento_n
incremento_d
xorows xo( ) 1,
1 xorows xo( ) 2,
2
xorows xo( ) cols xo( ),
3
loi
xi 2,
bi
pe
Pequii
numerador
denominadorxo
rows xo( ) 1, xo
rows xo( ) cols xo( ), 2
hoi
altura
M augment lo Pequi, b, ho, ( )
i c 2..for
M
j rows M( )
K 0 0 0 0( )
Mo 0 0 0 0( )
data Mj 2,
Mj 4,
Mo stack submatrix M n, n, 1, cols M( ), ( ) Mo, ( )
Mn 3,
data65%if
continue
n j 1..for
Ma stack K Mo, ( )
Ma1 1,
"Material"
Ma1 2,
"Pesp-equiv./lbs-pie3"
Ma1 3,
"Esf-equiv./lbs-pie2"
Ma1 4,
"Alt-equiv./pie"
"Material"
"Clorita Xisto"
"Xisto Grafitoso"
0
"Pesp-equiv./lbs-pie3"
155.362
167.597
0
"Esf-equiv./lbs-pie2"
522.976
564.16
0
"Alt-equiv./pie"
6.56
3.28
0
:
106
ANEXO E: DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE RESISTÊNCIA DE UM PILAR COM SEÇÃO
RETANGULAR, APARTIR DA EQUAÇÃO DE BENIAWSKI.
seção iremos usar a equação de Mark (1999) para deduzir uma nova equação que sirva
para avaliar a resistência de um pilar com seção retangular. Embora a equação de
Beniawski sirva para pilares de secção quadrada, um arranjo dessa equação mediante
uma análise com métodos numéricos fornece uma nova equação que é utilizada para
mensurar a resistência de pilares com secção retangular. A Equação deduzida foi
proposta por Mark (1999) e leva em consideração as características da equação original.
Pela fórmula de Overt & Duvall tem-se:
........ (1.e)
Para essa análise iremos apresentar o seguinte gráfico:
WpWo
Áre
a d
e a
nális
es
Wo/2
Limite de lavra
Limite
X
Y
x
Z
dx
dy
y
1 2
3 4
Y
X
Figura 45 Pilares de largura infinita.
P
PCC
H
W36.064.01
107
Identificando as variáveis na Fig. 45 e trocando-as na Eq. (1.e). por:
WP=x ; para a largura
e
HP=z ; para a altura
então, a Eq. (1.e) fica expressa assim:
Para explicar o comportamento das forças que atuam em um pilar com seção quadrada,
iremos supor situações especiais. Imaginemos um pilar cujas dimensões da seção são
um comprimento de “y” e uma largura “x”.
A força de resistência do pilar em função das variáveis “x” e “y” é:
O intuito é encontrar uma equação que caracterize a resistência de um pilar com seção
que possua predominância nas dimensões de comprimento, por tanto, irá se avaliar a
equação ( xyyxF c 36.064.01 ) que considere variações no sentido do eixo “y”.
Considerando acréscimos “dy” no eixo y e afixando a largura no sentido do eixo “x”;
por conseguinte, vai corresponder um valor de um acréscimo de área no sentido do eixo
y, essa relação não acrescenta a resistência do pilar, porém, distribuiria a carga de
maneira homogênea (Fig. 45). A equação de Força (F) pode ser expressa em função das
variáveis “y” e “z”:
...... (2.e)
z
xCC 36.064.01
)(36.064.0)( 1 xyz
xxy CC
)(36.064.0)( 1 xyz
xFxy CC
21 36.064.0 yz
yF C
z
yyF C
321 36.064.0
108
Ao derivar a Eq. (2.e) em função de “y” tem-se:
...... (3.e)
A Eq. (3.e), apresenta o fator 1.08y2/z, este é análogo a 1.08x
2/z, devido a que o efeito
da resistência do pilar é uma função de WP/HP.( zx , com x=Wp e z=Hp). Fazendo um
novo arranjo na equação, ela fica expressa assim.
........ (4.e)
Para um diferencial de esforço ( dF ), corresponde um diferencial de área
( ))(( dydx ). Deve-se entender que o valor diferencial de força está associada a uma
resultante dF, e atua no centro do pilar. Por tanto para encontrar o valor da força total,
deve-se multiplicar por quatro, já que a análise considera desde o centro da seção.
........ (5.e)
Igualando as duas expressões (dF), (4.e) e (5.e):
dy
dy
z
y
dy
dyy
dy
dFC
21 08.1
28.1
dyz
yydF C
21 08.1
28.1
dyz
xydF C
21 08.1
28.1
dxdydF V4
dyz
xydxdy CV
21 08.1
28.14
4
08.128.1
21 dy
z
xy
dxdy
C
V
dyz
xydxdy CV
21 27.0
32.0
2
0
21
2
0
2
0
27.032.0
Y
C
Y X
V dyz
xydydx
2
0
221
2
0
27.0
2
32.0
2
Y
C
Y
V yz
xydy
x
109
A resistência do pilar está limitada a ser maior com acréscimos de área no sentido do
eixo “y”; por isso iremos integrá-la com relação à variável x.
e trabalhando com a equação ( v ) em função de x e dando formato da equação de
Beniawski:
........ (6.e)
Um pilar retangular é uma particularidade de um pilar quadrado e um pilar de largura
infinita, como se apresenta a seguir na Fig. 46. A combinação dessas particularidades
equivaleria a ter um pilar de seção retangular e finita com um comprimento Lp e, nas
bordas, um pilar de seção quadrada. A resistência última de um pilar fica expressa
como um valor máximo do ápice de um cone. Veja a figura na página seguinte.
2
27.0
22
32.0
2
22
12
0
y
z
xydy
xC
Y
V
y
z
xydy
xC
Y
V
221
2
0
135.004.0
2
y
z
xydx
xC
X
V
221
2
0
135.004.0
2
y
z
xy
xC
X
V
221
2/
0
2 135.004.0
4
y
z
xy
xCV
221
2 135.004.0
16
2
221 16.2
64.0
x
yz
xyC
V
xzx
xz
xx
C
C
V
16.264.0
16.264.0
1
2
221
x
zCV
16.264.01
110
Seção de pilar
correspondente a um pilar
retangular de uma largura
infinita
Comprimento
Lp
vv
v
Lp>>>Wp
Wp Wp
PILAR RETANGULAR PILAR QUADRADO
v
Wp
Região de pilar semelhante
a um pilar de largura infinita
Região de pilar
com seção quadrada
X
Y
carga não uniforme
x/2
distribuição
uniforme
de carga(y-x)
y
P
Q
S
R
área de distribuição uniforme de cargaPQRS :
UV
área de distribuição de carga para um pilar
de seção quadradaQUVR/U'PSV' :
U' V'
x
Figura 46. Esquema de um pilar retangular e a carga distribuída.
Veja um diagrama em planta do valor da distribuição de carga.
Figura 47. Vista em plano das distribuições de carga em um pilar com seção retangular.
Por outro lado, a variação da resistência de um pilar irá ocorrer conforme acrescenta a
dimensão de largura (x). A zona submetida a uma carga uniformemente distribuída
corresponde à seção do pilar cuja área é de (y-x)x, Fig. 47; a resistência do pilar não
muda com um acréscimo de comprimento. Para uma maior resistência de um pilar com
seção retangular, deve-se acrescentar a área de resistência, para o qual é necessário
adicionar acréscimos na dimensão no sentido do eixo x (largura); para tal sentido,
consideramos um comprimento de “(y-x)”, região de resistência constante e variações
111
2
1
22
16.2
264.0)(2
x
z
xxyF C
na largura. Mark (1999) deduziu a equação da resistência de um pilar com seção
retangular. Nosso problema, agora será demonstrar e avaliar acréscimos resistência de
um pilar cujas dimensões de seção possuem um comprimento de “(y-x)” e variações
infinitesimais “dx” na largura. Conhecida a equação que governa a resistência do pilar
devido ao efeito da forma, temos:
Percebemos, então, que a dimensão “(y-x)” pertence ao pilar seguindo o sentido do eixo
y; este valor corresponde a um pilar de seção uniforme e infinita, devido a sua
resistência que não varia. Além disso, deseja-se avaliar uma nova região de resistência
sem considerar os efeitos de um pilar de seção quadrada. Região essa, desde a origem
segundo o eixo x, que corresponde a uma metade da seção geral do pilar (Fig. 46).
2/
0
1 16.264.0)(2
X
C dxxz
xydF
........ (7.e)
Então a Eq. (7.e) é para um pilar com distribuição uniforme de carga, sem considerar o
efeito nas bordas próprio de um pilar de largura infinita.
Agora somando as equações (7.e), e a de resistência derivada da equação de Overt &
Duvall, tem-se:
2
0
21
2
16.264.0)(2
X
C
x
zxxyF
154.064.0)( Cz
xxyxF
121 36.064.054.064.0)( CCTotalz
xx
z
xxyxF
x
zdxxydF C
16.264.0)( 1
EsforcoAreaForca
112
Dividindo a expressão anterior pela área de um pilar retangular (xy), tem-se:
........ (8.e)
1212 36.064.054.064.0)( CCTotalz
xx
z
xxyxF
13
23
22
36.064.054.064.054.064.0 CTotalz
xx
z
xx
z
yxyxF
132
18.054.064.0 CTotalz
x
z
yxyxF
xy
z
x
z
yxyx
xy
FC
Total
132
18.054.064.0
12
18.054.064.0 Cryz
x
z
x
113
ANEXO F: DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE RESISTÊNCIA DE UM PILAR COM SEÇÃO
RETANGULAR, APARTIR DA EQUAÇÃO DE SALOMON E MUNRO.
Segundo o critério exponencial, precisamos fazer o ajuste para pilares de secção
retangular.
H
Wr ........ (1.f)
A equação irá se expressar em função de sistema XYZ, em que X é o comprimento, Y é
largura e Z a altura do pilar. Multiplicando a expressão pelas dimensões da área de um
pilar retangular, tem-se:
)()( xyz
xxyr
A dimensão ótima de um pilar retangular obtém-se quando não existe acréscimo na
dimensão do pilar, no sentido do eixo x. Isto permite uma maior recuperação do
minério, além de manter a resistência do pilar dependendo das dimensões no eixo Y.
Então, fazendo um arranjo da equação anterior, tem-se:
)()( 2yz
yFxyr
........ (2.f)
dyz
ydF
)1()2(
dy
dy
z
y
dy
dF
)1()2(
z
yF
2
dyz
xdF
)1()2(
114
dx
dy
Diferencial de área
WpWo
Áre
a d
e a
nális
es
Limite de lavra
x
y
1 2
3 4
da
X
Y
ZX
Y
da : Diferencial de área
A Eq. (2.f), é expressada em função da variável x (dimensões da sua largura no eixo
“x”) e um diferencial de comprimento em “y”, por se tratar de um pilar de área
retangular.
O acréscimo de resistência do pilar para acréscimos na força que exerce a rocha
sobrejacente fica definido por acréscimos de área no sentido “x” e “y”. Para uma área
acrescentada em “dxdy”, também existe um valor de diferencial de esforço. Veja a
figura baixo.
Figura 48. Diferenciação de área e análise integral de forças (Autor).
115
z
x
z
x
x
x
z
x
y
z
yz
x
yz
dx
yz
dx
dyyz
dxdy
CR
C
C
V
C
V
C
V
C
xx
x
V
C
V
C
V
2
2
2
2
2
2
2
2
22
4
24
24
24
1
1
1
12
0
1
1
dxxyz
xdF c
2
2
2
Da figura anterior, tem-se:
........ (3.f)
Igualando as expressões dF, (2.f) e (3.f):
(4.f)
Um pilar com seção retangular oferece uma melhor resposta à solicitação de esforços, já
que, a carga é uniformemente distribuída na área de suporte, enquanto que nas bordas
do pilar há uma pressão diferente, isto se deve ao fato que já não existe continuidade da
seção, consequentemente a resistência nas bordas é semelhante de um pilar com seção
quadrada (Fig. 48).A figura em questão apresenta um pilar retangular de comprimento
“y” e largura “x”, na área “x(y-x)” a carga fica distribuída de maneira uniforme; essa
região é equivalente a um pilar de comprimento infinito; por outro lado, há uma seção
de pilar equivalente a um pilar de seção quadrada, cujo comprimento é “x/2” e largura
“x” a qual está submetida a uma pressão diferente. A Eq. (5.f) representa a força de
resistência de um pilar no comprimento “y-x”; assim como, a equação
zxF DH
c
)2(1 representa a força de resistência de um pilar com seção quadrada e
que atua nas bordas. A continuação avaliarmos a resistência de um pilar
desconsiderando o efeito das bordas:
dxdydF V4
116
21
1
2
12
2
xyx
zx
zF cc
y
xxx
z
zy
xxx
z
xy
x
xy
yx
zx
xz
xy
xyxz
xy
xz
xy
F
cR
ccR
c
c
R
cc
1
2
1
2
21
22
2
21
22
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
(5.f)
Pode-se dizer o seguinte: a resistência de um pilar retangular é equivalente a somatória
das parcelas de um pilar de comprimento infinito, correspondente à região central e um
pilar de seção quadrada correspondente às bordas. Ao somar estes efeitos, ter-se-á:
(6.f)
A Eq. (6.f) mensura a força admissível que poderia suportar o pilar com seção
retangular; ao dividir a equação anterior pelo valor da área (xy), ter-se-á:
(7.f)
Onde:
sR : esforço de resistência à compressão de um pilar com seção retangular;
xy
FF
xy
F initouralPilarquadradoPilarTotal infarg
xy
FF initouralPilarquadradoPilar
r
infarg
xy
xyxzz
x cc
r
21
2
2
1
2
2
1
21
1
1
2
0
12
2
22
2
xyxz
F
x
zxyF
dxxz
xydF
c
c
xx
x
c
117
sC: esforço de resistência à compressão de um bloco unitário (1m3, com aresta de 1m
para cada);
x,y: largura e comprimento do pilar, respectivamente;
a,b: constantes adimensionais.
Pode-se concluir que, quando y=x , a Eq. (7.f), é a mesma para um pilar se seção
quadrada (equação proposta por Salomon e Munro).
1
2
2
1
2
0
01
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
D
H
c
c
R
c
R
c
R
c
R
c
R
z
xx
z
xz
xz
xxxz
x
xxx
z
118
ANEXO G: DADOS DE ROCK LAB E ALGORITMOS DE SOLUÇÃO (Parte 1 e Parte 2)
PARTE – 1
Parâmetros geomecânicos para o maciço rochoso; conforme dados obtidos a partir do Rock Lab.
- Material: XISTO - Material: QUARTZO
119
SOLUÇÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
:
175.28 GPa
Esforço de um bloco de volume unitário
Função Objetivo - Pilar com eixo normal à camada
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite de resistência à compressão no pilar - Eixo Y
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 0 1 K( )[ ] sin( )
2 cos( )
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
sin( )1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( ) Wp LpHp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.78 0.22Lp
Hp
Fsp 1
Limite de resistência à compressão no pilar - Eixo X ( Não existe momentos, restrição de coerência. Mto=0)
PARTE - 2
1. Algoritmo para avaliar as dimensões de um pilar de seção quadrada e perpendicular à camada mineral – usando a teoria dos meios
contínuos generalizados de Cosserat.
Peso específico γ : 0,027 MN/m3 Comprimento do pilar Wo : 3 m Tipo de seção : quadrada K: 1,25
Altura do Pilar Hp : 02 m Largura do pilar Lp : 3 m Número de Lajes : 01 unid Kx = Ky
Profundidade z : 300 m Comprimento do vão Wo : 7 m Mec. dos meios contínuos generalizados de Cosserat
Mergulho da camada mineral : 20 graus Largura do vão Lo : 7 m Pilar perpendicular à camada mineral
120
SOLUÇÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
:
175.28 GPa
Esforço de um bloco de volume unitário
Função Objetivo - Pilar com eixo normal à camada
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite de resistência à compressão no pilar - Eixo Y
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 0 1 K( )[ ] sin( )
2 cos( )
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
sin( )1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( ) Wp LpHp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.78 0.22Lp
Hp
Fsp 1
Limite de resistência à compressão no pilar - Eixo X ( Não existe momentos, restrição de coerência. Mto=0)
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 0 1 K( )[ ] sin( )
2 cos( )
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
sin( )1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( ) Wp LpHp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.78 0.22Lp
Hp
Fsp 1
Limite de resistência à compressão no pilar - Eixo X ( Não existem momentos, restrição de coerência. Mto=0)
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.78 0.22Wp
Hp
Fsp 1
Limite da resistência ao cisalhamento no eixo Y ( sentido do plano da camada)
1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( )
Cp zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp K sin( )
2 cos( )
2 tan( )
Fsp
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
1
2 Lp Nr Co Nc
Fsp Limite da resistência da fundação
tatp
Fsp Limite da resistência à tração no pilar
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl at Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo Y
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo YPressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl cop
Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo X
Pressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl at
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo XPressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl cop
Wo 4Limite de comprimento de galería e comprimento do pilar
121
Wo 4Limite de comprimento de galería e comprimento do pilar
Lo 4
Wp 0
Condição de igualdade, largura do pilar igual ao comprimentoLp 0Wp Lp=
Wot Maximize Rec Wo, Lo, Wp, Lp, ( ):
Wot
5.40914
5.23472
3.33572
3.33572
Rec Wot1
Wot2
, Wot3
, Wot4
, 0.851535 Recuperação do Minério
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 0 1 K( )[ ] sin( )
2 cos( )
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
sin( )1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( ) Wp LpHp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.78 0.22Lp
Hp
Fsp 1
Limite de resistência à compressão no pilar - Eixo X ( Não existe momentos, restrição de coerência. Mto=0)
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.78 0.22Wp
Hp
Fsp 1
Limite da resistência ao cisalhamento no eixo Y ( sentido do plano da camada)
1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( )
Cp zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp K sin( )
2 cos( )
2 tan( )
Fsp
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
1
2 Lp Nr Co Nc
Fsp Limite da resistência da fundação
tatp
Fsp Limite da resistência à tração no pilar
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl at Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo Y
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo YPressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl cop
Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo X
Pressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl at
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo XPressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl cop
Wo 4Limite de comprimento de galería e comprimento do pilar
Lo 4
Wp 0
Condição de igualdade, largura do pilar igual ao comprimentoLp 0Wp Lp=
Wot Maximize Rec Wo, Lo, Wp, Lp, ( ):
Wot
5.40914
5.23472
3.33572
3.33572
Rec Wot1
Wot2
, Wot3
, Wot4
, 0.851535 Recuperação do Minério
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 0 1 K( )[ ] sin( )
2 cos( )
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
sin( )1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( ) Wp LpHp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.78 0.22Lp
Hp
Fsp 1
Limite de resistência à compressão no pilar - Eixo X ( Não existe momentos, restrição de coerência. Mto=0)
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.78 0.22Wp
Hp
Fsp 1
Limite da resistência ao cisalhamento no eixo Y ( sentido do plano da camada)
1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( )
Cp zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp K sin( )
2 cos( )
2 tan( )
Fsp
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
1
2 Lp Nr Co Nc
Fsp Limite da resistência da fundação
tatp
Fsp Limite da resistência à tração no pilar
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl at Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo Y
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo YPressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl cop
Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo X
Pressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl at
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo XPressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl cop
Wo 4Limite de comprimento de galería e comprimento do pilar
Lo 4
Wp 0
Condição de igualdade, largura do pilar igual ao comprimentoLp 0Wp Lp=
Wot Maximize Rec Wo, Lo, Wp, Lp, ( ):
Wot
5.40914
5.23472
3.33572
3.33572
Rec Wot1
Wot2
, Wot3
, Wot4
, 0.851535 Recuperação do Minério
122
SOLUCÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
:
175.28 GPa
Esforço de um bloco de volume unitário
Função Objetivo - Pilar com eixo normal à camada
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite da resistência à compressão no pilar - restrição limite de resitência do pilar - no Eixo Y
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 0 1 K( )
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp sin( )
2 cos( )
2
sin( )1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( ) Wp LpHp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.64 0.54Lp
Hp 0.18
Lp2
Wp Hp
Fsp 1
Limite da resistência à compressão no pilar - restrição de coerêcia para o Eixo X
2. Algoritmo para achar as dimensões de um pilar de seção retangular e perpendicular à camada mineral – usando a teoria dos meios
contínuos generalizados de Cosserat.
Peso específico γ : 0,027 MN/m3 Comprimento do pilar Wo : 3 m Tipo de seção : retangular K: 1,25
Altura do Pilar Hp : 02 m Largura do pilar Lp : 3 m Numero de Lajes : 01 unid Kx = KyProfundidade z : 300 m Comprimento do vão Wo : 7 m Mec. dos meios contínuos generalizados de CosseratMergulho da camada mineral : 20 graus Largura do vão Lo : 7 m Pilar perpendicular à camada mineral
SOLUCÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
:
175.28 GPa
Esforço de um bloco de volume unitário
Função Objetivo - Pilar com eixo normal à camada
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite da resistência à compressão no pilar - restrição limite de resitência do pilar - no Eixo Y
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 0 1 K( )
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp sin( )
2 cos( )
2
sin( )1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( ) Wp LpHp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.64 0.54Lp
Hp 0.18
Lp2
Wp Hp
Fsp 1
Limite da resistência à compressão no pilar - restrição de coerêcia para o Eixo X
123
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
Wo Wp( )Lo Lp( )
3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 0 1 K( )
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp sin( )
2 cos( )
2
sin( )1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( ) Wp LpHp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.64 0.54Lp
Hp 0.18
Lp2
Wp Hp
Fsp 1
Limite da resistência à compressão no pilar - restrição de coerêcia para o Eixo X
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.64 0.54Wp
Hp 0.18
Wp2
Lp Hp
Fsp 1
Limite da resistência ao cisalhamento no eixo Y ( sentido do plano da camada)
1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( )
Cp zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp K sin( )
2 cos( )
2 tan( )
Fsp
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
1
2 Wp Nr Co Nc
Fsp Limite da resistência da fundação
tatp
Fsp
Limite da resistência à tração no pilar
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl at Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo Y
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl cop Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo Y
Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo X
Pressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl at
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo XPressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl cop
Wo 4 Limite de comprimento de galería e comprimento do pilar
Lo 4
124
Wp 0
Lp 0Restrições coerência, para largura e comprimento do pilar
Wot Maximize Rec Wo, Lo, Wp, Lp, ( ):
Wot
5.40914
5.23472
2.93153
3.4782
Rec Wot1
Wot2
, Wot3
, Wot4
, 0.85969 Recuperação do Minério
125
Peso específico γ : 0,027 MN/m3 Comprimento do pilar Wo : 3 m Tipo de seção : quadrada K: 1,25
Altura do Pilar Hp : 02 m Largura do pilar Lp : 3 m Numero de Lajes : 01 unid Kx = KyProfundidade z : 300 m Comprimento do vão Wo : 7 m Mec. dos meios contínuos generalizados de CosseratMergulho da camada mineral : 20 graus Largura do vão Lo : 7 m Pilar não perpendicular à camada mineral
SOLUCÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
75.28:Esforço de um bloco de volume unitário
Função Objetivo - Pilar com eixo alinhada à força resultante
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite da resistência à compressão no pilar, restrição de resistência admissível no pilar - no eixo Y
K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( ) Wo Wp( )
Lo Lp( )3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 Lo Lp( ) K sin( )
2 cos( )
2 sin( ) tan o( ) cos 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2cos( ) sin 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2 cos( )
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Lp
cos o( )Wp
sin( ) cos( )
sin( ) K zLo Lp
Lp
Wo Wp
Wp
sin( ) sin o( ) cos o( )
sin o( ) Wp
Lp
cos o( )
Hp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.78 0.22Lp
Hpo
Fsp 1
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.78 0.22Wp
Hpo
Fsp 1
3. Algoritmo para achar as dimensões de um pilar de seção quadrada e não perpendicular à camada mineral – usando a teoria dos meios
contínuos generalizados de Cosserat.
SOLUCÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
75.28:Esforço de um bloco de volume unitário
Função Objetivo - Pilar com eixo alinhada à força resultante
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite da resistência à compressão no pilar, restrição de resistência admissível no pilar - no eixo Y
K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( ) Wo Wp( )
Lo Lp( )3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 Lo Lp( ) K sin( )
2 cos( )
2 sin( ) tan o( ) cos 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2cos( ) sin 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2 cos( )
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Lp
cos o( )Wp
sin( ) cos( )
sin( ) K zLo Lp
Lp
Wo Wp
Wp
sin( ) sin o( ) cos o( )
sin o( ) Wp
Lp
cos o( )
Hp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.78 0.22Lp
Hpo
Fsp 1
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.78 0.22Wp
Hpo
Fsp 1
126
K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( ) Wo Wp( )
Lo Lp( )3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 Lo Lp( ) K sin( )
2 cos( )
2 sin( ) tan o( ) cos 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2cos( ) sin 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2 cos( )
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Lp
cos o( )Wp
sin( ) cos( )
sin( ) K zLo Lp
Lp
Wo Wp
Wp
sin( ) sin o( ) cos o( )
sin o( ) Wp
Lp
cos o( )
Hp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.78 0.22Lp
Hpo
Fsp 1
Limite da resistência à compressão no pilar, r restrição de resistência admissível no pilar - no eixo X (Mto =0)z
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.78 0.22Wp
Hpo
Fsp 1
Limite da resistência ao cisalhamento no eixo Y ( sentido do plano da camada)
1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( )
Cp zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp K sin( )
2 cos( )
2 tan( )
Fsp
p chao Limite da resistência da fundação
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl at Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo Y
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo Y
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl cop
Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo X
Pressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl at
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo X
Pressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl cop
Wo 4Limite de comprimento de galería e comprimento do pilar
Lo 4
Wp Lp=Condição de seção quadrada
Wot Maximize Rec Wo, Lo, Wp, Lp, ( ):
Wot
5.409139
5.234719
3.284521
3.284521
Rec Wot1
Wot2
, Wot3
, Wot4
, 0.85434 Recuperação de Minério
127
SOLUCÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
75.28:Esforço de um bloco de volume unitário
Função Objetivo - Pilar com eixo alinhada à força resultante
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite da resistência à compressão no pilar, restrição de resistência admissível no pilar - no eixo Y
K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( ) Wo Wp( )
Lo Lp( )3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 Lo Lp( ) K sin( )
2 cos( )
2 sin( ) tan o( ) cos 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2cos( ) sin 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2 cos( )
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Lp
cos o( )Wp
sin( ) cos( )
sin( ) K zLo Lp
Lp
Wo Wp
Wp
sin( ) sin o( ) cos o( )
sin o( ) Wp
Lp
cos o( )
Hp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.64 0.54Lp
Hp 0.18
Lp2
Wp Hp
Fsp 1
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.64 0.54Wp
Hp 0.18
Wp2
Lp Hp
Fsp 1
4. Algoritmo para achar as dimensões de um pilar de seção retangular e não perpendicular à camada mineral – usando a teoria dos meios
contínuos generalizados de Cosserat.
Peso específico γ : 0,027 MN/m3 Comprimento do pilar Wo : 3 m Tipo de seção : retangular K: 1,25
Altura do Pilar Hp : 02 m Largura do pilar Lp : 3 m Numero de Lajes : 01 unid Kx = KyProfundidade z : 300 m Comprimento do vão Wo : 7 m Mec. dos meios contínuos generalizados de CosseratMergulho da camada mineral : 20 graus Largura do vão Lo : 7 m Pilar perpendicular à camada mineral
SOLUCÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
75.28:Esforço de um bloco de volume unitário
Função Objetivo - Pilar com eixo alinhada à força resultante
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite da resistência à compressão no pilar, restrição de resistência admissível no pilar - no eixo Y
K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( ) Wo Wp( )
Lo Lp( )3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 Lo Lp( ) K sin( )
2 cos( )
2 sin( ) tan o( ) cos 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2cos( ) sin 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2 cos( )
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Lp
cos o( )Wp
sin( ) cos( )
sin( ) K zLo Lp
Lp
Wo Wp
Wp
sin( ) sin o( ) cos o( )
sin o( ) Wp
Lp
cos o( )
Hp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.64 0.54Lp
Hp 0.18
Lp2
Wp Hp
Fsp 1
zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.64 0.54Wp
Hp 0.18
Wp2
Lp Hp
Fsp 1
128
K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( ) Wo Wp( )
Lo Lp( )3
12 4 cos( )
2 4 K sin( )
2 3 Lo Lp( ) K sin( )
2 cos( )
2 sin( ) tan o( ) cos 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2cos( ) sin 2 o( ) 1 K( ) sin( )
2 cos( )
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Lp
cos o( )Wp
sin( ) cos( )
sin( ) K zLo Lp
Lp
Wo Wp
Wp
sin( ) sin o( ) cos o( )
sin o( ) Wp
Lp
cos o( )
Hp
2
Lp
2
WpLp
3
12
0.64 0.54Lp
Hp 0.18
Lp2
Wp Hp
Fsp 1
Limite da resistência à compressão no pilar, r restrição de resistência admissível no pilar - no eixo X (Mto =0)z
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.64 0.54Wp
Hp 0.18
Wp2
Lp Hp
Fsp 1
Limite da resistência ao cisalhamento no eixo Y ( sentido do plano da camada)
1 K
2
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
z sin 2( )
Cp zWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp K sin( )
2 cos( )
2 tan( )
Fsp
p chao Limite da resistência da fundação
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl at Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo Y
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo Y
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl cop
Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo X
Pressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl at
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo X
Pressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl cop
Wo 4Limite de comprimento de galería e comprimento do pilar
Lo 4
Wot Maximize Rec Wo, Lo, Wp, Lp, ( ):
Wot
5.409139
5.234719
2.875444
3.4393
Rec Wot1
Wot2
, Wot3
, Wot4
, 0.862379 Recuperação de Minério
129
Peso específico γ : 0,027 MN/m3 Comprimento do pilar Wo : 3 m Tipo de seção : quadrado K: 1,25
Altura do Pilar Hp : 02 m Largura do pilar Lp : 3 m Numero de Lajes : 01 unid Kx = KyProfundidade z : 300 m Comprimento do vão Wo : 7 m Mecânica ClássicaMergulho da camada mineral : 20 graus Largura do vão Lo : 7 m Pilar não perpendicular à camada mineral
5. Algoritmo para achar as dimensões de um pilar de seção quadrada e não perpendicular à camada mineral – usando a mecânica clássica.
SOLUCÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
:Esforço de um bloco de volume unitário
175.28 GPa
Função Objetivo - Pilar com eixo normal à camada
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite da resistência à compressão no pilar,
Restrição de coherencia no eixo YK z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( )
0.78 0.22Lp
Hpo
Fsp 1
Limite da resistência à compressão no pilar,
Restrição de coherencia no eixo Xz
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.78 0.22Wp
Hpo
Fsp 1
p chao Limite da resistência da fundação
Limite de esforço à cisalhante máxima para a laje
(contato)Fsp K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) sin o( ) cos o( )
sin o( )
Cp K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( ) tan( )
130
p chao Limite da resistência da fundação
Limite de esforço à cisalhante máxima para a laje
(contato)Fsp K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) sin o( ) cos o( )
sin o( )
Cp K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( ) tan( )
Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo Y
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl at
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo Y
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl cop
Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo X
Pressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl at
Wo 4 Limite de comprimento mínimo para os vãos
Lo 4
Wp 0
Wp Lp= Condição de seção quadrada
Wot Maximize Rec Wo, Lo, Wp, Lp, ( ):
Wot
5.40914
5.23472
2.99781
2.99781
Rec Wot1
Wot2
, Wot3
, Wot4
, 0.870152 Recuperação de Minério
SOLUCÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
:Esforço de um bloco de volume unitário
175.28 GPa
Função Objetivo - Pilar com eixo normal à camada
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite da resistência à compressão no pilar,
Restrição de coherencia no eixo YK z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( )
0.78 0.22Lp
Hpo
Fsp 1
Limite da resistência à compressão no pilar,
Restrição de coherencia no eixo Xz
Wo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.78 0.22Wp
Hpo
Fsp 1
p chao Limite da resistência da fundação
Limite de esforço à cisalhante máxima para a laje
(contato)Fsp K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) sin o( ) cos o( )
sin o( )
Cp K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( ) tan( )
131
Peso específico γ : 0,027 MN/m3 Comprimento do pilar Wo : 3 m Tipo de seção : retangular K: 1,25
Altura do Pilar Hp : 02 m Largura do pilar Lp : 3 m Numero de Lajes : 01 unid Kx = KyProfundidade z : 300 m Comprimento do vão Wo : 7 m Mecânica ClássicaMergulho da camada mineral : 20 graus Largura do vão Lo : 7 m Pilar não perpendicular à camada mineral
6. Algoritmo para achar as dimensões de um pilar de seção retangular e não perpendicular à camada mineral – usando a mecânica clássica.
SOLUCÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
:Esforço de um bloco de volume unitário
175.28 GPa
Função Objetivo - Pilar com eixo normal à camada
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite da resistência à compressão no pilar,
Restrição de coherencia no eixo YK z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( )
0.64 0.54Lp
Hp 0.18
Lp2
Wp Hp
Fsp 1
Limite da resistência à compressão no pilar,
Restrição de coherencia no eixo XzWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.64 0.54Wp
Hp 0.18
Wp2
Lp Hp
Fsp 1
p chao Limite da resistência da fundação
Limite de esforço à cisalhante máxima para a laje
(contato)Fsp K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) sin o( ) cos o( )
sin o( )
Cp K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( ) tan( )
132
Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo Y
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl at
Limite de esforço de compressão máxima para a laje
seguindo o eixo Y
Pressão cos( )
2
Lo
t
2
laje Lo sin( )
2
Fsl cop
Limite de esforço de tração máxima para a laje seguindo
o eixo X
Pressão cos( )
2
Wo
t
2
Fsl at
Wo 4 Limite de comprimento mínimo para os vãos
Lo 4
Wp 0
Wot Maximize Rec Wo, Lo, Wp, Lp, ( ):
Wot
5.40914
5.23472
2.88572
2.90041
Rec Wot1
Wot2
, Wot3
, Wot4
, 0.875966 Recuperação de Minério
SOLUCÃO:
Esforço corregido seguindo o efeito da forma
1
m
0.78 0.221
2
:Esforço de um bloco de volume unitário
175.28 GPa
Função Objetivo - Pilar com eixo normal à camada
Rec Wo Lo, Wp, Lp, ( ) 1Wp
Wo Wp
Lp
Lo Lp
:% de Minério recuperado
Dado
Restrições
Limite da resistência à compressão no pilar,
Restrição de coherencia no eixo YK z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( )
0.64 0.54Lp
Hp 0.18
Lp2
Wp Hp
Fsp 1
Limite da resistência à compressão no pilar,
Restrição de coherencia no eixo XzWo Wp( ) Lo Lp( )
Wp Lp
K sin( )2
cos( )2
0.64 0.54Wp
Hp 0.18
Wp2
Lp Hp
Fsp 1
p chao Limite da resistência da fundação
Limite de esforço à cisalhante máxima para a laje
(contato)Fsp K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) sin o( ) cos o( )
sin o( )
Cp K z
Wo Wp
Wp
Lo Lp
Lp
sin( ) cos o( )2
sin o( ) tan( )
