Dinamica de Sistemas_Unidad1

Instituto Tecnológico de TepicD t t d I i í M t ó iDepartamento de Ingeniería Mecatrónica

Asignatura:g“Dinámica de SistemasDinámica de Sistemas”

Periodo Periodo AgostoAgosto--Diciembre Diciembre del del gg20132013

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Ph. D. Pedro Esquivel Prado, Agosto-Diciembre del 2013: Dinámica de SistemasDinámica de Sistemas


Unidad I: elementos, sistemas y leyes físicas paramodelarmodelar.

1.1. Definición de conceptos de sistemas dinámicos. p1.1.1. Modelo matemático, identificación, validación, ciclo de modelado 1.1.2. Variables generalizadas: esfuerzo y flujo. 1 1 3 Energía coenergía y potencia1.1.3. Energía, coenergía y potencia 1.1.4. Tipos de elementos (almacenadores de esfuerzos, de flujo, disipadores y transformadores) 1 1 5 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo1.1.5. Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo 1.2. Proceso de modelado y simulación.

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Unidad I: elementos, sistemas y leyes físicas paramodelarmodelar.1.3 Elementos básicos del modelado 1.3.1 Con variables generalizadas 1.3.2 Sistemas eléctricos y electrónicos.1.3.3 Sistemas mecánicos (Translacionales y rotacionales). 1.3.4 Sistemas fluídicos ó hidráulicos. 1.3.5 Sistemas térmicos. 1.3.6 Sistemas de ingeniería de procesos. .3.6 S ste as de ge e a de p ocesos.1.3.7 Sistemas híbridos 1.4 Analogías entre los componentes de diferentes sistemas.

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1.1. Definición de conceptos de sistemas dinámicos.

Sistema: arreglo, conjunto o colección de componentesrelacionados de manera que constituyan un todo.q y

Entrada: estímulo o excitación que se aplica a un sistemadesde una fuente de energía externa con el fin de producirdesde una fuente de energía externa con el fin de produciruna respuesta especifica por parte del sistema.

Salida: respuesta obtenida del sistema dinámicoSalida: respuesta obtenida del sistema dinámico.

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Un sistema se dice monovariable o escalar si tiene una solaentrada y una sola salida.

Si el sistema tiene más de una entrada o más de una salida sellamará multivariable.

Un sistema se dice causal o no anticipatorio si la salida delsistema al tiempo t1 no depende del valor de la entrada aplicadadespués del tiempo t1.

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Un sistema dinámico es aquel cuya salida presente depende deentradas pasadas y presentes.

Si el valor de la salida al tiempo t1 depende solamente de laentrada aplicada en t1 el sistema se conoce como estático o sistemasin memoria.

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Un sistema se dice que es invariante en el tiempo, fijo oestacionario, si sus propiedades son invariables con traslacionesen el tiempo. En caso contrario, el sistema es variante en eltiempo.

Un sistema dinámico se dice relajado al tiempo t0, inicialmenterelajado o en reposo, si la salida y[t0,∞] depende exclusivamented l t d [t ]de la entrada u[t0,∞] .

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Un sistema se dice lineal si cumple con el principio deUn sistema se dice lineal si cumple con el principio desuperposición, es decir, si la salida producida por la suma de 2entradas es igual a la suma del efecto producido por cada entradaaplicada individualmente.

Si la relación anterior no se cumple, entonces el sistema es nop ,lineal.

*Estudiaremos en este curso sistemas dinámicos, lineales,Estudiaremos en este curso sistemas dinámicos, lineales,escalares e invariantes en el tiempo.

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1.1. 1. Modelo matemático, identificación, validación, ciclo de modelado.

Modelo: formulismo matemático que representan proposicionessustantivas de hechos para estudiar comportamientos de sistemassustantivas de hechos para estudiar comportamientos de sistemascomplejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.

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¿Por qué modelar?

Es una abstracción del sistema real.Permite predecir comportamientos sin necesidad de hacerevolucionar el sistema.Permite determinar cómo modificar al sistemaPermite determinar cómo modificar al sistema.El modelo no es único, depende lo que que se quiera resaltar delsistema se tendrá un modelo u otro.Los diferentes modelos son “congruencias dinámicas” entre sí.El modelo más simple que captura lo que se requiere estudiar es el

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mejor.


Tipos de modelos abordados:

Variables de estado: es una representación del sistema donde seresalta el comportamiento interno del mismo. La representacióncomún en sistemas lineales (SL) es:

A b•

+x Ax buy Cx= +=

En el modelo de estado, X es un vector de n entradas, A es unamatriz de nxn, B es una matriz de nxq y C es una matriz de pxn.

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Tipos de modelos abordados:Tipos de modelos abordados:Función de transferencia: es la relación salida/entradaen el dominio de Laplace que presenta el sistema,suponiendo que las condiciones iniciales son iguales acerocero ( ) ( )

( )y s FT s= ( )( )u s

FT(s)u(s) y(s)

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.FT(s)


Función de transferenciaFunción de transferenciaE l l ió( )V s K Es la relación queexiste entre la señalde salida a la señal

0 ( )( )in

V s KV s s a

=+

de salida a la señalde entrada tomadaen Laplace, cuandoplas condicionesiniciales del sistema

d á lson cero y además elsistema es lineal.

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Álgebra de bloques:

Los bloques sirven para representar relaciones entradaLos bloques sirven para representar relaciones entrada-salida de partes de un sistema, y mediante reglassistemáticas construir una función de transferenciaglobal del sistema.

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Reglas básicas para

componer bloquescomponer bloques

y simplificar.

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Ejemplo: reducción de bloquesEjemplo: reducción de bloques

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Ejemplo: reducción de bloquesde bloques

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Tipos de modelos abordados:Tipos de modelos abordados:

Sistemas EléctricosSistemas EléctricosElemento Voltaje v(t) Corriente i(t) Voltaje V(s) Corriente I(s)j ( ) ( ) j ( ) ( )

Resistencia v(t)=Ri(t) i(t)=v(t)/R V(s)=RI(s) I(s)=V(s)/R

Capacitancia V(s)=I(s)/sC I(s)=sCV(s)1( ) ( )v t i t dt= ∫

( )( ) dv ti t C=Capacitancia V(s)=I(s)/sC I(s)=sCV(s)( ) ( )v t i t dtC ∫

( )( ) di tt L

( ) Cdt

Inductancia V(s)=sLI(s) I(s)=V(s)/sL( )( )v t L

dt= 1( ) ( )i t v t dt

L= ∫

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Tipos de modelos abordados:Tipos de modelos abordados:

Sistemas EléctricosSistemas EléctricosElemento Voltaje v(t) Corriente i(t) Voltaje V(s) Corriente I(s)j ( ) ( ) j ( ) ( )

Resistencia v(t)=Ri(t) i(t)=v(t)/R V(s)=RI(s) I(s)=V(s)/R

Capacitancia V(s)=I(s)/sC I(s)=sCV(s)1( ) ( )v t i t dt= ∫

( )( ) dv ti t C=Capacitancia V(s)=I(s)/sC I(s)=sCV(s)( ) ( )v t i t dtC ∫

( )( ) di tt L

( ) Cdt

Inductancia V(s)=sLI(s) I(s)=V(s)/sL( )( )v t L

dt= 1( ) ( )i t v t dt

L= ∫

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Sistemas Eléctricos:Sistemas Eléctricos:

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Sistemas Eléctricos: ejemploSistemas Eléctricos: ejemplo

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Sistemas Eléctricos: ejemplo

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Ejemplo:

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Ejemplo:Ejemplo:

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Ejemplo:Ejemplo:

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Tipos de modelos abordados:Tipos de modelos abordados:Sistemas Mecánicos de TraslaciónSistemas Mecánicos de Traslación

Elemento Fuerza f(t) Velocidad v(t) Fuerza F(s) Velocidad V(s)( ) ( ) ( ) ( )

Coef. Fricción f(t)=Bv(t) v(t)=f(t)/B F(s)=BV(s) V(s)=F(s)/B

Resorte F(s)=KV(s)/s I(s)=sF(s)/K1 ( )df tResorte F(s)=KV(s)/s I(s)=sF(s)/K( ) ( )f t K v t dt= ∫

1 ( )( ) df tv tk dt

=

Masa F(s)=sMV (s) V (s)=F(s)/sM( )( ) dv tf t Mdt

= 1( ) ( )v t f t dtM

= ∫

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*En palancas los momentos se deben conservar.


Sistemas Mecánicos de TraslaciónSistemas Mecánicos de TraslaciónSe utilizan diagramas de cuerpo libre para hacer el análisis

Se establecen las ecuaciones paraSe supone la masa puntual

Se establecen las ecuaciones paracada nodo (lugar donde se conectandos o más elementos)

E h d dEn este caso hay un punto, donde seconecta la masa, la fricción y elresorte.

Se establecen mallas en los nodos(fuerza de entrada = fuerzaconsumida)

F( ) MV( )+BV( )+KV( )/ V( ) /(M 2+B +K)F( )F(s)=sMV(s)+BV(s)+KV(s)/s V(s)=s/(Ms2+Bs+K)F(s)

F(s) V(s) F(s) V(s) X(s)

integrador posició

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s/(Ms2+Bs+K)F(s) ( )

s/(Ms2+Bs+K)F(s) ( )

1/sX(s)


Sistemas Mecánicos de TraslaciónM1 se mueve a velocidad V1 y se desplaza unadistancia X1; M2 se mueve a velocidad V2 y sedesplaza una distancia Xdesplaza una distancia X2

Punto de M2

F(s)=sM V (s)+B V (s)+k (V (s)-V (s))/sF(s) sM2V2(s)+B2V2(s)+k2(V2(s)-V1(s))/s

-Note que la velocidad neta de k2 es una diferencia develocidades, ya que cada extremo el resorte lleva una

l id d difvelocidad diferente-

Punto de M1

k (V ( ) V ( ))/ M V ( )+B V ( )+k V ( )/k2(V2(s)-V1(s))/s=sM1V1(s)+B1V1(s)+k1V1(s)/s

Las ecuaciones de los dos puntos se multiplican por s y se obtiene:

F( ) 2M V ( )+ B V ( )+k (V ( ) V ( ))35


sF(s)=s2M2V2(s)+sB2V2(s)+k2(V2(s)-V1(s))

k2(V2(s)-V1(s))=s2M1V1(s)+sB1V1(s)+k1V1(s)


Sistemas Mecánicos de TraslaciónsF(s)=s2M2V2(s)+sB2V2(s)+k2(V2(s)-V1(s))

k2(V2(s)-V1(s))=s2M1V1(s)+sB1V1(s)+k1V1(s)k2(V2(s) V1(s)) s M1V1(s) sB1V1(s) k1V1(s)

Llevando el orden de aparción de las variables, de la primera ecuación se despeja la señal V2y de la segunda la señal V1 (note que F(s) es señal, pero es la entrada y no se despeja)

sF(s)+k2V1(s) =s2M2V2(s)+sB2V2(s)+k2V2(s)

V2(s)=[sF(s)+k2V1(s)]/[s2M2+sB2+k2]

k2V2(s)=s2M1V1(s)+sB1V1(s)+k1V1(s)+ k2V1(s)

V1(s)=[k2V2(s)]/[s2M1+sB1+k1+ k2]

Ah h d i l lid d l i E á V ( ) 36


Ahora hay que determinar la salida del sistema. En nuestro caso será V1(s)


Sistemas Mecánicos de TraslaciónV2(s)=[sF(s)+k2V1(s)]/[s2M2+sB2+k2]

V1(s)=[k2V2(s)]/[s2M1+sB1+k1+ k2]

k2/[s2M1+sB1+k1+ k2]1/[s2M2+sB2+k2]V1(s)+F(s)

k2/[s M1+sB1+k1+ k2]1/[s M2 sB2 k2]s

+

k2

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Sistemas Mecánicos de TraslaciónBloques en cascada

V ( )k2/[s2M1+sB1+k1+ k2]1/[s2M2+sB2+k2]s

V1(s)+F(s)

+

k2

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