MDOF

Dinámica Estructural AplicadaII C 2012 ‐ UCA

Desde el punto de vista dinámico, interesan los grados de libertad en los que se generan fuerzas generalizadas de inercia significativas; es decir, fuerzas iguales a masa por aceleración o momento de inercia por aceleración angular. Sin embargo, si las fuerzas de inercia importantes son solamente las que generan las masas M1 y M2 al moverse lateralmente y las deformaciones de los pisos en sus planos son despreciables, tenemos un sistema de dos grados de libertad dinámicos, que son precisamente los desplazamientos laterales 1 y 2 de la figura.Esto no implica que los restantes giros y desplazamientos se anulan, sino que aunque suman valores distintos de cero, no generan fuerzas de inercia de consideración, además se desprecian las fuerzas verticales, porque el edificio es fuerte en el sentido vertical y se debe despreciar la rotación. Se debe considerar sólo el desplazamiento horizontal, porque la longitud de onda es grande con respecto a la base del edificio, por lo cual la estructura se mueve mayormente en el sentido horizontal.∗

• Cuando el terreno experimenta un desplazamiento horizontal “S”, en la ecuación de equilibrio dinámico aparece la fuerza de inercia, igual a la masa por su aceleración absoluta X, la fuerza de rigidez y la de amortiguamiento. 

• En el caso más sencillo, las fuerzas de rigidez y de amortiguamiento son respectivamente proporcionales al desplazamiento U y la velocidad Ú de la masa con respecto a su base. 

• Sean K y C las correspondientes constantes de proporcionalidad que se supone no cambian con el tiempo; K es lo mismo que la matriz de rigidez lateral, en este caso de 1 fila por 1 columna, y C se llama coeficiente o relación de amortiguamiento. 

• El conjunto de M, C, y K constituye un sistema lineal de un grado de libertad, con amortiguamiento viscoso o lineal, usando el Principio de D´Alembert, la ecuación diferencial de equilibrio dinámico o de movimiento es: 

• MÜ + C Ú + KU = 0 

• El punto sobre una cantidad significa derivación con respecto al tiempo. Considerando que x = S0 + U, la ecuación anterior se escribe: 

• M Ü + C Ú + K U = ‐M S0 Ec.2.25 • Dividiendo esta ecuación entre M y definiendo W = √K/M, Ccr=√KM 

y δ = C/ Ccr, se llega a: • Ü + 2 δ W Ú + W2 U = ‐ S Ec.2.26 • W se denomina frecuencia natural circular del sistema, Ccr se 

conoce como amortiguamiento crítico y δ es la fracción de amortiguamiento crítico, que usualmente se expresa en porcentaje. De las definiciones de W y de Ccr deducimos que Ccr = 2MW, lo cual muestra que el amortiguamiento crítico está relacionado con la frecuencia fundamental de vibración. El período de vibración natural del sistema se calcula, 2Π/w. Ref. # 3. 

Espectro de Respuesta Elástico• Recuérdese que las propiedades del sistema que 

determinan tal respuesta son el período (o la frecuencia) de vibración T, y la fracción de amortiguamiento crítico δ. 

• Para entender mejor el espectro de un acelerograma en diferentes estructuras conviene mantener fija la fracción de amortiguamiento crítico e ir calculando alguna respuesta máxima, usualmente la aceleración, para distintos valores de T; los resultados se grafican con T como abscisa y se obtiene así el espectro de respuesta del acelerograma. Nótese que la fuerza máxima que debe resistir el elemento elástico, como consecuencia del temblor en cuestión es: 

• F = K D = (K/M) M D = M W2 D = M A 

• Se nota que a mayor amortiguamiento menor respuesta, para cualquier período, y que para un amortiguamiento dado, existen períodos (alrededor de dos segundos en este caso), para los que la respuesta es sensiblemente mayor que para los demás (Fig. 2.6). Una característica adicional de estos espectros es que cuando T = 0, la seudo aceleración es igual a la aceleración máxima del terreno, es decir, al valor máximo de S (t). 

• Los espectros de temblores reales tienen forma irregular, y presentan variaciones bruscas en la respuesta máxima en función del período natural. Por tanto, es posible que dos estructuras que tengan casi las mismas características dinámicas, respondan de manera bastante distinta a un sismo dado. En la práctica este hecho tiene menos importancia, gracias a la influencia del amortiguamiento, que hace menos bruscas las variaciones de los espectros, ya que no se conoce con certeza el período natural, por las incertidumbres que existen en el cálculo de masas y rigideces, así como la interacción suelo‐estructura que modifican el período fundamental de vibración. 

• Para las aplicaciones prácticas, los espectros de diseño se presentan como curvas suavizadas o líneas rectas (ver Fig. 2.7, Ref.#1). El suavizar un espectro se justifica, debido a las dificultades determinando las frecuencias exactas y las formas modales de las estructuras durante los terremotos severos, cuando el comportamiento probablemente sea no lineal. 

Sistemas Lineales de Varios Grados de Libertad sin Torsión. 

• En edificios es usualmente aceptable suponer que las masas están concentradas en los niveles de los pisos y que las fuerzas de inercia importantes son solo las laterales. 

• Las fuerzas en los elementos elásticos se calculan como el producto de la matriz de rigidez lateral K por los desplazamientos laterales, es decir: 

• Fe = KU 

• De análoga manera las fuerzas de amortiguamiento viscoso se pueden expresar como el producto de una matriz de amortiguamiento por las velocidades, o sea como: 

• Fa = C U• Donde el punto denota derivación con respecto al tiempo. En general no es necesario calcular C, el efecto del amortiguamiento se toma en cuenta en los espectros de diseño. 

Matriz de Masa y Rigidez para unaEstructura de n‐pisos

Propiedades de Masa y Rigidez • Para simplificar la solución, usualmente se asume que para edificios de varios niveles, la masa del nivel se ubique en el centro del nivel correspondiente. Estos resultados se ubican en una matriz diagonal. 

• Donde : • Δ = deformación • E = módulo de elasticidad • V = cortante• I = momento de inercia• K = rigidez lateral 

• En lugar de resolver la ecuación (Ec.2.30), se considera primero el caso más simple en el que no existen amortiguadores (sus efectos se incluyen después en forma aproximada), y no existe movimiento del terreno, con lo cual dicha ecuación, se convierte en: 

• M Ü + K U = 0 

• Toda estructura elástica puede vibrar libremente en forma tal que el desplazamiento de cada una de sus masas con respecto a su posición de equilibrio estático es igual al producto de una función de la posición de la masa considerada por una función del tiempo, que es la misma para todas las masas. En otras palabras, los desplazamientos se pueden expresar como: 

• U (t) = Z q (t) 

Frecuencias y Modos de Vibración. • Matemáticamente, la expresión Ec.2.41 constituye un problema de 

valores característicos. Desarrollando el determinante se obtiene una ecuación algebraica de grado “n” cuya incógnita es W2, siendo “n” el número de grados de libertad (tres en el caso de la Fig. 2.8) cuya solución conduce a “n” valores de W2, es decir a “n” frecuencias naturales de vibración W, que corresponde a otros tantos períodos naturales 2π /W. Para estructuras estables los valores de W2 son reales y positivos, y sus raíces cuadradas son las frecuencias naturales. Se acostumbra enumerar a W en orden creciente; así la primera frecuencia W1 (llamada frecuencia fundamental), tiene el menor valor y la última Wn, el mayor. Reemplazando cada valor de la frecuencia Wj en Ec.2.40 podemos obtener vectores Zj diferentes de cero; cada uno de ellos se llama modo de vibración. 

• No resultan soluciones únicas para cada modo, sino solamente valores relativos entre las Zij, es decir que no están definidas las amplitudes de las vibraciones de las masas, sino las relaciones entre todas ellas. 

• Se demuestra que los modos de vibración tienen las siguientes propiedades: 

• a) Ortogonalidad con respecto a la matriz de masas. 

• ZjTM Zr = 0 si j ≠r Ec.2.42 Ref. # 3 • b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigideces. 

• ZjT K Zr = 0 si j≠r Ec.2.43 Ref. # 3 • c) Los modos naturales constituyen un conjunto completo, lo que 

significa que cualquier configuración de desplazamiento U puede expresarse como una combinación lineal de las Zj, es decir: 

• U = Σj aj Zj Ec.2.44 

• Los productos mj* = ZjTM Z j y Kj* = ZjT K Zj son cantidades escalares que se denominan masa y rigidez generalizadas del modo j, respectivamente. Sus valores dependen de la escala de cada modo, aunque el cociente del segundo sobre el primero se mantiene constante y es igual al cuadrado de la frecuencia del modo en cuestión .

Pendientes:

• Revisión de Ejemplos MDOF• Método Iterativo de Stodolla‐Vianello• Método de la Determinante (Folletos en Blog de la UCA / Uso del RNC‐07)