CUPRI\SLL

*ji: 'lL iEiE Inj-!. )-ra:iL

-

*,i *ei a!-qituIt; 116>*-_4 rL4_: Ed'r.-"Bi

:EiI: l@,,r_;_ :F-;Fiji r1{4 r#,-r.: !i

$ : jdli i:rdiiid{IL steiiB i!l-i-: tri.EG*-4.; l6,ic t

.

!::, i!*irrrr qdd,ffar&

l|Ltr TdE3d lrdlcj

{|.bd,JrL-i'q ]] il'mr4 c;EIt: tu*tlirtu

idrrBie*iiI {I i ll,rEi! lrdE

'1.:.::]l'qrrFdI i {i,Ni4rfL aeinFrretni!lr(.fi,In brif. IirtljiiA Ed.a4Jii/- ed*s. {,!q,!r {{Efr rri

'uai&-6-d1{& r4l d

1lt3

19

t919

7.2. Elemerte ile .inematict lichi&lor

7.2.2 Ecuatia coniinuitilii, a. t

".tt,," *it"e'ii rn-i""" ale lichidelor re'l

:. *-,",. .,.. B dou, . F,,ru -".*r "

..;:,;l,j".',,: I lt ;:"j.;, ;;j;.....' ;;'l: i;d rui B'r;uLri entu mi::are'l I

;.;.;. ;;l;-;,;"""""i Pentin mitcarea Pdmarentr a richideror idre, . ,::,;;, ,n ,,, , r ''-

-a " 5 -*. -:", llill 1 '1 ,

::j i:::"i;'r:,,lli"[ ,,,-;; ]i"-' "i,i' ,a ', ' 'I-' J'I' rma'- .,';ii",l.'l ;' i:l ;.::rl'-1".: ::*;i.,:: ;'; ;' ; ' ;1;';

;;;i ;

202l23242525

29i233l435l5

.3639.{013t54541

: 5.{

,trt:rffiiF:!(]4; A d@.@F{'5.,&d.{rIridl!l!,n--ff,.!5: &fr-r

trd; kcFt -il!id..r rrF*t; !

!i/.:: F-* d-ri&ErE-i

?,?- Dlorhri udlarc 1ubll3rte7.8 Nonunt dc lPtriL 'LlDrlor

7.8 I Consid'r'tii se'rrn '?8.2. Mod.lrl .13 ral d$

r:, E!-di:ffi! Finj,!.-1f.!r-t,6 I*.:_: :E'qa .dc*:-! itu lbt

'!'.f tutidhdaa Fd'I|lFE@i][ii

ACI ar'- #r !t I fcai4ii!a: t*ia i!.1i.:. idEa= n

8.1 C.ns,/reLat'r 8.Rral . 'E i. i"i'.i-.i ,rit'ir" srnLprc r'"amo'tL-rt' Pe

s-.t i. o{,lafi.le krn'reFrlcapt lnrittital -... - ' 56

l0s58939

8.2.2.Oscilafirlelotrgitrdital "3 2.3 oscilatjil. ?crb'dtc

8,:1. Studiul os'il.t'ilor $mple amor '7rF P^R j L. o5.'lr!iilr

1l1.1

t0

lll

J3{5

s9

, Itczist.nh la inaintarc

8.3.2, Oscilatiilc longitrdnElc,..,,. -,....s r.r o" r'.!I c .' ^Jt. .. ....!.{. Stndini oscjlnlilloi traN /ersal-yrticale pe valrlfr ,....,. -...... -........,8.,1.1. Os.ilafiilc tmns?crsal-Terticale p. 'r3h.i nr inua simglilicati ......8.1,2. CoeJici.ntli do.or.ctif ai t.4ci ti nonenhlu! pcrtrr5it.. perth os.i.latiil. lrans,',8s"-1 L.*jcale !r! ialnri . . . -

9.4.2. lldn-rminlrqa .czistcnl.i Ia iMintare lrnrcirate prLn nrtoda exi{i-mentdrii pe odBl in lazjrelc lridrodimmnre

9.1.J. D.ternrnErea rezjstentei la inanna.e prin.ipalc lrrin ,retod. fo;nrltct.r.fnr'

'li.r , d,i.m o ....FlrJ"',u td ,'"'r, "n i.t ', nrd.l 4 r,/ i .. ...,

9.7. Parlicula.ilili PiTind rzistcrla la inaintarc a rn^rlor p. .Ii ra/ig.bilc tiQ.' l. i o r.id rdr'i e^r".: -o.- i. El,.

' .' dd.' rr'' t'o|' ,r- .. . . . , , ,

o 7.1. I-t .r rt d. ' o. ,J .........4,8. PJi,LrLlrirlti I r/rnd r^7isrr'n r rmio.:'.

' -o-t^r it,' din

9.9. Particnlditafi privtul rezistenla la inaidare a nr/elo. citanaran . ,, ,, . . .9.10. Iniluert dimensiunilor Fincipate ii tornelor .rrcni a$pro reristent.i t.

9.10 t (onsLderatii 6.reralc9.10,2. rnihnla didcnsiuril.! Drnrcipale nle naTei asuFa .crlstenf.i la

9i

I0.1

1i13.4.i. Osciiariile tranty.rsal 7e.tic.l. pc Lahfi id l..nra corllteriiS.{.1. Indicalii tri/ind cfectuar:a carcutetor in studiul .scilariilo.

sal'rriicale 1J. 7.1 ........,..,.,......-...,,,, ................. l7.l4.5. Sludinr osrir.tiiio. ldlrjil (litrrl

"erti.al. p.. y3lnri ................ .. 212\

er e.J*i i'lirLs.lr,ri6dfuJ

.*'reiomii rJ,.pu Itidimrsii;Er*a

' Dii-r!-ls;.flEiiinu.. rd xfi ,!r{FlrEf':,!radtlrndad.d ir, |sdb,r$$ .$rtur,frr .,:.n"i iet]$iiF a$x ,isdidir

,btqt&rin ,i* ur,di{ xliilr

,dr,r&ff .fri'i !ht6-.r Jirrrl5 6q!ris. q

fl&rld.riinin-ni[|3'' dilildsir ni*!,mtfl$rifl fr;G .cdida.tu $isi ddn lfi!-" rt'iddis C'b 'n"dF'rq. reJ..scwr

-tsnaitu i. rAirr rs*ffd1tr riEdi:rq !i& tu ;liit trn&isihrri f

-

-i\!.m:.F --

rir is,.r ;r rl|!,!erq;s G; El5''i t ;Niri

-d!d rI dd.. !dl&&-trr&!-,r-r*rii .E*nr6.!. rrt$il; isi;sei' {d}|r*i.Pr iddir .Lr*J:r darseid. .i:rir; t i.rid dd

.. -._._-_.....,... {06_., __,_._,.-... .,.

.10(i.

--

,--,.-......,... {01

: -l:: .\Perimc!

i

-:E:-- lute ti mu'

''''' 115

-:-]]1 ::.prr or+

.t2l

,1:l.l

-ill

t,,i

.

l-uz',' .,,p'A.r tt d., w-t,l L,'qpyl i ,,t1,ti I,oc,, ..on!;t,,, a" r,,t,,t,-,r,.:/anr,n. a dprtq tn (hp" a.t at" ccl aai .1,(i.nt nilot .tt tntr,Dott.'

, Plof,n'. | ,.' I id al :titrtc. in/ gtr'at in ,ttiqrt? ./e, i; , n r?yi's:iJon_

,arate. cot. .t . hka\. t :t n"as!,; p4ioadi a ,1atu!1( \p,aa_eulo.rs/.. , ,,,(a,tt(rpa\ttialiJ^daaLraldLri?pd?dindeas"his,,tb.t.t,ettno,.otat..o",t,,.,.:: . tuc'til"^sd atieup !nt\trytoti'.! catitdlilar tn,tt:c .. \po,i,:" .li t.t1t.ictonaqL r ra f,oihtd'ca.,an\t,., lir \i p\btod!a,..t ,trJ.to, ,;od.r,t ,, tnh.tio.ialititi a,!llirl y ppryatnaa! d.aani.I ti.t;a!. e hto} D.i.t,rti nojr'., t'1i t, :,.1 tii oryoria. tt ry.' 4c t.oycti.. rt t.:n latct. )t.,;-.\!o1,,ti datdc st.ttistict.

B.neficiind d! .ondilii naturaL ud.ecrdte, tftnsbottulite .l1)nle /antdnestitt',.i,o/ a,.pr.luvi dat.a i dt" dnt..Lit ,t nr .r,l.r.t... ,t,t. on,tnt t

o oenanate lara pre(cdctlr,Sat i"il. / a\:. Ptez'nt. ', :a p^p^!:ud ate itkt,attic: tnaiff ]1aD,tt,?tt\ttn aitBu,n,'a t'rp' ba " de docunphlap Lh,.i n D.nttu.b(ialirtii -,t/. ^idtsld:oatn n.tru'tat,,a i ,1 p.t aowpniup"tiniaf,,oi.!j,,i,,oa:bu.li;>;

"r;to;_ta'tl dtJentetat tlptt de rc1r. frc,t,n ii:r i.tuitd, irt. .\cff,itatpa ycati:hi."o.nsh thlta,. aanle )odd psti Ia. ilcltl c"lot qti bt 1. l.{amdtft at( dom..nnu\t D. fta" nohntdt:t.atlrt't. dr !(tJc.!rchaa b,ollsionati.aatinnd inb t,o t(r':'1..,1

^\Bnlivc ! orctid ,i 1.1 rticd a'rtxro, sp,.iatinilu ra, bn,!t,ibnt? ".n.ele,.a, 'au tv lia si btoiectat.a kouplo,Ltu)aFa ..Vfl:rai.a ii "aastrudia 4avi ." i4.,,ie b? liaia cfo/tx tntf,i'nl.:,1 ,lt:'aa xnn. d? cdty. spe,ialir!:i.,tt. Iu.rca:a th done,,itt axa!

feat't, si'tpn'ati.aFo. "onpl.tafta si a,tuali?at"a I;!etntu,ii t?hrn. tu sb,.;atitotr ;r linba -ndud. li.adtyl d ty(i lrat nc trotpnJ t :tai,ti'ii,"'i

ralu nxl 2 Dian'rica na*i. wlunut J -

t^aa,t) u, !;r,aup. ) auto, ut tto ti-,ieu\ tnod de ttatfl/t,la hiwlhl actuol, a prcLlenpro! d( brza nte tuiti, c;t I,it ;l.t .0k.t, \tt.t a1ct. s!tadtttrdu r" bc (it pa\tLtt ,d l. ?/e:intt ..t,,_a )rnri.tnntr&fa y concrsa.

Affst al dailea uolun. pinde dem.rk rpont,.a-dltLati.. hti" i,l t;,,tivi_tat.a.de ptoittat. rcastMtp,i etbloatate. p4!t! \tabloed u,to, \otuliiob!inc.Pnuhd

..0n pat tatpa. r ot plttui ra1"i. p( tinpul hiq, \i .lottlliei in,oidilitcatltu|tl tllet4ttor Ja.tort extelnt.Pt'>tatatpa tpoy?lrrti. nenih \n ntiewa ;rl4(p.t"fl >i i4!?tbrctat/a coledt)

n t(no,,te.t"lot dpas"bn d.,onfl"t. alp d:atnicii iaki. $t. in\alitti dp norJet"...'\pnpt d.tat ut dal, . tPt,in.,:tol" : s'ati ti . re,".t ;r nctiritatca brc.ti n.

' lta

.1.12

a .,,.-d_l:: :l: noIr-1

11

b*'

d"

t'

q,

a-d

r\Tir

-;-;F/

..: :t .n,nflelot ne ealcul,t:. n'nb; euitdli ',n utitrzatu:n.r. an rlu. i ,allr. tlnel. rezultat. ori!.ittttlt,

at;.dti ttiitLlific., si 'ie..a:,. cinhnc 1n rltitltii d1li-.rn &lc1i ;i co):sttitclla.tn de f rclit aL.tl,,,)ii|la.rt ltr accslt sp.c1't tt :. n.

"';;;;;;;;i; i;;,1

;i rnt\ultiti absen el;il(,inn ,,ltirced eel Rittll!'aatl! slriiirlit tn ittc -

:-ri!ti si tc d larilin hrctttii.

a;

TNDEXLIL NOTATIILOR UTILIZATE

.oefi.irnli.1. rezistcnfi ai ratci elicei:J 1 ."p', n, i '..

-pra "

; "

i-

aria sulrattlci discntui elicej l-

aria suprafetei r.oioctate a elicei:-.i:",..,.- .. Ld i .tp IuB"., I.t 1.. r ti.,r.ra dr rro\im- r

".,,1 t1r r_troLilrl trlri lJ 'ara 'j

-d r' s. l,un:: rt,r rd/j8J.rtla'h .,liu ;i nf r''lrn"^ \r'r-.,. ., , tutL.., ii Lroiq,,, s,r.r-,-r r,,i. 1" /l. lut t.tu: n...r,fin nrnraietrr in.lrL!iarr a !arei .ticer

-

a.ia sup.afet.i proiectate a patei eli.il-

ratorrnt d!: dis. at clic.t:-

c.ellcicrtrl dc lntere al cli.eij'inra J ,rdout ,t^a.,-.itf,

Pror , 1 litrr tJ 'a7-r

r ,

-

l61nn.1 tcofeli..i a catamararultri;-

lirim.. nraf,iDi . catama.aruhrii,. .ut

'i ,oetr i,nlcliorsnl .eta1i/ at cal@dranutrltjrteza alarcnla! a yalllnlj

.- .oelicientll rczisirrei de tre.are at laveii

''o l: -'.i.r fpl. I.n ru. tr,tula n,."J:, ,!oJrnrrrur_ir' grcn!rc at pnrEi .tnpi.,1 "1"" "'."idr'- r-rrilo, ptt". \ ndoi.,, "d..-ma in,,,,..

-

alrnF. rr^r. a lrl^i -ln. i:-.oettcEntol rezistcnl.i dc lresinne a rr/ct, @elicientlr to4ei portarte a

:l_:ll.: li, , I , |... ./s - a .,..-i .o.11i.lrur ,o d--

od,.-a pro-i nlur:. prt,r..,-i tc rila ,rnr,i Larr at DroDulsorutnr

-

cocficid,tul rozistt rlci d. vdr i "a"ei, .o.tcieatur de tirele al srrrrat.tej

-

oti ic.rul .Ii,. , 1p", I-rds.dt.,r,,(,-,i,' r j" ildin , ,, d"r. ,a.d r"rut- .-

coeli.iertLlL aditi.nat dc btocai al traziftnuil

-

co.ficiertul aditiorat .lc rugozitatoi-.@ficicrtnl rczisr.rtei de jrecare a pg.ii drepte neted. chiratlfel-

co.Iicienhrl .czistentei de lresirne datorat ,iscozititiij-.oeticientul rc3istcntei ta nraintarc generari de valurile mirit I-

coelici.rt al rczistentei la inai.rare dato.at aerhi, ta dii.area naTei in

DEE{7

F",

$a

iAv\b"I

J

r,- _=

.lemntulni d. a.jPt;

n

14

& fr a--:: --:1:orma;

'tuiEf--i=. :\.niiatc nsol]rr

!E -r:1 :-alafiilo. ro.gi

flt: =: :-a2 narei ;

cE t+i-Ctf,.a ?aldui ;

!E @r tll .1 eliccri.tr t'--=-rr: al neunilornitilii3]lft:xi aep nn?ingc'!' t'r: rnnecrtla iftlusE in F;

:r ,-

ar-r ?'.e de axa c)r :t:. {dfale, lunsitudr

'D rd

_sI

.jftnale in migcarc, 1dt'L (te; i*iri;

:i:::61r)

a, Q1ae,at avAr,At^Ar'apt, Qrn,

l?

ss

s,

T

i,,

16

fa 'oru- J. F opo'r'onc i r n nFrr''lI l'l"lo

r"/"it u r"''- ',"a-;

,;-d;,;;. t,,,ror,.n'"', ar..r'"3,' arr:1. I' mrsdr'.-

nasul seoLretttc Jl 'li!ei-

..ii.i* r'ji.a,".'- ' Pr'n'4r"'r trr'i!r'f, h'd Jin-n i p "'oI :i,r,'r. . '". " m^ i r' Pirr'iPa-e

r'i ii li lrtd-

lote.ea de;uterpa rnd(atl a rnns'nii r'rin!ilrlE:Pu' r. t. av't P'

" ""

:

-

p'"':u' "a

i.+e!or d relGt.ntr, ct rn.rf,ale naYei .Jl.te in mi9.a.ci

e -.ale pcnlru osciatiilc w.rtr-

r: -:i ?crt!rbato..e r.ale !cLlrrr

r:: cr adr'.cim. linilataj

:l:: :.igitndinal rerticalc alc

:r'E:_irDari l. djstanta f, In!;

i ::-..le nearorltalf alt

7zL Ttu t.t -

periaada .scjlaliilo. vcrti.ate, t.Dsilrdinale ii lransr.rsalc amortizate .:e

ea trid..din.mi.e !e lelil;

: :rrr !! li.hid li.n i: forecrttc, fllnru .s.ilalnlc rt'.!, It'c, ll'l,i- nodulcle do rezistenti ale se.tiunii riatei .ticei, fald de aaete de inertid

:

z,t_'

7.Z

3rosin,. nd\'ml r D dll! r ". ..i I i .a.a rtimpiDgercn clicei nr|r-ln ticbid ideat j

-

Titeza lichidulni in general, wjtza ctrrent'utui ltn'nrtnij-

,e-J :xiaLx 'dr.t dF . 1 .:

-

riteza indusr, vileza indnse rezulratrtd a Eticcij-

dte?a tansenEaln indusi

- IOTIrII

ILltEii= ,iir*mrELpiE.r'qmirA(firS, --J- I0Fqrir-- aT I[i: *ti4rn:lB4d

= o

Ptsr':-r sr::r:r LrI :rrr::r:lri.iIf!rt:! E =:nrl

- : : (lEGlla:::ci:Fi:

r::d r=-:::: = 1i :"E fF -z:tr-:4

FFttaar'ct ..:-rdr r ;.,ffia rd,rmie=l{,:E:E:stu]:=nidm or

'::rcnPs-oil_::'':i:!.tl ' '.. }iir:- :.r-:=

-L:

= na5d.a la osdiL;'illl;

=+ a dis.{e, 13 oscilaliileiji:sSlt, de inertie ;+$ 7e.licale ale m?-"i j:.

-;,e;ul fix de ar. de

: d. ;otalie ri redu.erc a

osPrnzitoare oscih-

l|:gj, ai tir.fei lelturbrtoarei}:$j, ?n m@entrnni !-!r_

Ed .i aitilcinca limitdia:irr=itudinnle 9i trans?ersate

rdde;enei in ca4l mii.ai.iiij.@EiPunznto,re oscilr:

Partea a ltreia .

orNAMrcn x,n

.l7. NOTTUNT DE

7,1,1.

t9

Obseflalia 7.7. Senmri minus din relalia (7.1) arati ci unei crelieri arr s,,rnii. jr 'a'r.spund. o micioralc r tolumul,rirD,[inilrt /; lnvrsul modulu]ui ,ie,ompr.sibilirdr" r- uoles/; .r :fi cste denumit modui de elasticitater

\1.?)

(;. )/v unde &1 este masa, respecti.!: p densitatea lichidu-

"l- -^---.

rFs: ci unei creiieri aie se noteaza! crr .

(i.2)

(7.3)densit:rtea lichidu-

lu-rd, de

fdi:0,

=in ;i nu dcpind

(7..1)

(7.i)ale rnodriului

module, pentrl9 620 kN/m!.

7.1 rezliti concluzia 7.1mici ti elasticitatc {oarte

aceasi:r supra{ata corPu-

2*l

- Wdee 7.2. Ad-ziun.a unLi lichid l:r o Fruratdtj :olida .!re

-.5:iyl Flerdclunii fortFlor ,1, drrdctic rje parri Lrlelur ve,inc. xlaF.r'rele de adeziunp d"pind d, : r. rnperarur;,

_Er8ra saFaJelei. nalura =olidului ri - li.l,idutui.

---+--

Ei+-imental se dovedegtc ce, in jDrul cc,l"uilprsdt! a{ate in contact cu un lichid, oiist:r un stratri:at de liclid a clrui grosime este dc ordinuiEer sEtimi de miljmetru (fig. 7_2). Particulete din*aiel aderent la suprafata sotid: Du particip:b mi:carea eenerali ; Dciiclutui. r:tg. 7 z

t. r_3. vIscozrTATEA

Fie un lolum / de li.hid. .flar in misrare si o suDratd!r .rbiirdri. Larc;l '

p:rri in dou; nerti. Arun,i i:r ra.riLrniie, dinrre farri"utcte sjruareJ. ^parlc si d. rlra.a 5_utr"1.t"; _

se rnrn le5r.t nu n'rm"i prin Fforrufl uniraIlrom-1.. ,r rr prrn .tor1ufl unr{arF tdnR,.nliale,.are cJUra s:i impiecit^ micarea- Accste eforturi unitare definesc forlele analoage ceior cle {rccarc, intij-Li,e i,, nit':rpa relariv: a doui.up11,cl. sotidc afli'- in .onrr.r.l.aP,i?lat o 7J. \is.ozirnrea c.'e proDrieratea Iichid"tor dc r oouLLcrezi:1onl:, dFfLrs;rii rnlative 3 p6 iLul;lof'lor rIis,ozit-ro" po.''a f: puia in cridpnla .xp.rin enrat. penlru oced.rr.:e , ll:.dFr5 duu^ pii!i Pr_ii P. d,

^.- A, paralet".r aflar- lJ di.1anr, A,r

r"." tulj ji rl,.r /fiS J). ln,reirli,iseg;seSteunti;hidcJle conlorm prn-pri.,;rii 7.2. adcr; id rupratuta lor. pta.i j.j cstc {ir.i, de.i ,, _ 0. jdr /,?

FiS. 1. r

..'^ iL mi. .rF. in pl..nul ^i .u \ilcz; ';: sub c.tiunr., to4ni F.

parri"ulel .d. Lr' LrLl. .r.. Lder; IJ suprxfer-le pl:cilor. vor avFa virFzet. rcpsrora, peI,riDrr r. p.rr.nrntJtut se constaii .;:

\ir ul_t;,, r..qr

,T

relEis'@i!qtus.ell.L@d

r!!ff!f: r ear [;r :E -+iT-:s{-lmr,!a iin

ur{le{ib -E--tEri:i I&rc@*:lO..

, ,.r .j,:,. ..r r , (7.10)

.Tntu _-i fildr ridt*! 2li I

-:: lalgLtrla L;*--:-ia.

a: samra fluidului,l;""t"i.o, o"ina

""i

strntLiui +ioarn a

rii, se manifesll Pe suPraavind o vitezi rnal mare

DDde I ste dat in 'C., I ste dat in "C.

Viscozitatea diiers dc la un lichid la,altul. ln tabeiele 7.2, 1.3 sint date\alorile ris,ozi'itii cinem-arieevp"nrrlr:rpa dulc",u- 9.St t,\ mJ ti afa.Ce mar cr y -

10,055 kN/m,. :t.

Tahql -7.2. vdr6i,\e \i$caittlii v iq luqali d. teopgraiqi,

adr.n, /.J. valoril. viscozitilii ! ln fhcti. d tempralui, la piesiunea atmoslericA no.rald.pcnlru ape d m.e cu y = 10,055 kN/ms

-l'.1;i

g.

i,i

.j strrturile 7 ti I \etirrtP1 $i Pr l! Jig 7l) Eror

'.ii: orientrt tle 1r \tinsa*o".i"rti

" sirnului / Pe

I -avind o vitczi mar nlK'''i = - oricntil de la dreaFtalr"';".ii ^ \trstlrlrri 2 lc

rJabititatea obserlatiei i'2'

Iii::*'t*'

ir e-.ie caracterizaii Priu inter

i a unui lithid eite de{init;r dei=.it"t.. p it ace

ln inr"riorul ULhid"tor aliar- in mi;c"r" turLrrlenr; aprr $i.

!B--::. apar 9i efortutile.:!rf datorate viscozititii

:..:i=ti, Pe cale eriPert-Pe lincl fenomencle n]ecanice, care sint predoninante, in cadrul implo-

riei mai aiar fenomene termice, datorate mai ates comp mirii aerului din.-a'iilti si-chimice, datorate {ormidi unor substatie corozive.iri domeniut mccanicii navei, {cnomenul de cavitatie estc iniilnii h.:1u{lnn eiicei.

].2. ELETIE\TI' I]E CINEIIATIC,\ I-ICHIDF:LOR

7.2.1. DEtr\rlII

DEfiritid 7.7. Cilemati.a este parte conponent:L a lidromccanicij !isu'lid/; mif,rrra h.hidl.r. lir: ';n.r4"r-r'' 'x1,,'lor 'ar o !odrr, r

rtrulr.riFI" .inen'arL:i . nt !"l,Lil". d1i' in carut ri.l id-lor rd)Jlp, , dreerrclud actiunea eforturilor tnitare tangenlial., cit ti in iiazul lichidelor realc

in .rudiul mi-..;rii unur lii lriii 6r]^a rr i,,r' r' ,z- \it,r,l -: or siu-nil. in dircrir"l' pu-.r" 'l:n md.r '.'trrr..rri ;l.n"liil ,i/j.11. /; \''rn{lPi estc \.eciord de pozilie al unui p nci cLlrent, iar 1, timpul.

I)dp: citeriul variatiei h iimP x celor doi Paramctri, migcirilc licltidelor pot {i: n..Pethr&nent., sen'ilttmdnentc \.i fetmq'rnle.

. DtJinilia 7.8. Misrarea nepennancnti a unui lichid cste area mi$arlr,caracterizati prin yariatia in ti P a vectoruiui vitezi $i presiunii E

D,.linilia 7.9. Nisearea semipermanerti a ului lichid este a.,fd migcare,caracte zatl prin pistrarea diiecli.i vectoiL,lui vitezai 9i *r,ri:rlia i11 ljmpnurlrir r mirimii r' stsn.ul ri

".i tui' ID,h t,a ,.tn. \1i-.rreJ p rr'. n nri ,'rr-i lilrro ' r- J 'J ,r:, Jr.Jra. r';izrr: rrr.n ,nr .rirn1 , ir. rin.1 a r"' Lorutui rlr.' r t iu-.' c

Un caz particulxr a1 mit.:rrii P.rmanentc '.ste niyatta lltrilbtnnnefi.Iilia 7.1 1. I1;carea tniformi csti' ni;carea pern1:,reni;I, caracici.i-

zat:] prin Yitczc dc aceea5i mn . in toatc puictclc lichidului rin conti rare, sint prez-'ntate principahle clfnt'Jnte ti lroiiuDl, c:rrt:nt,rrir rn

"tu.liul nr'lr.,ii li hici lnr.D:jrtitia 7.12.-fraiectoria unci particlc de lichici cstc locri Seo citi.al punitelor prin care tre.e centrul de J

:r!!r5fi.!:rra-Fd*'.

5 a:Lri:_ri _?(

:vcos(!,,^:ii. Pr\n S trece, in intervalul de timp dl;:i'dlirritul dI (110 !. |::::l! l:"'',-11) + At,dr r. dl)n : 0.

e tsbirr de tirredt, a (

qd,t -

t!'.i! +:A. (:t.ti):.,.rri:: ,ri:.r,, r:

'l: :::: .'

'.J,

riniire de ir:reht se sctririitlsai :coincid cu rtraiebtiriile

definiti de liniile de cu-

Considerind

mcdie, a lichidului ce ireceli r,) . :.:t , ,

(r.23)

'27

Rezulti:

Q. -daoi .\ -r"d.4 \ rtid,l ,{N ' t7.251-l.r J.,

und^: | -.r. rr IrtaL^a :p"citi.e a lithidulL,i in kN m'Dace lichidul estc omogen, deci 1: constant, se considri rii'' ti se

tir, "ont d. (-.221. alun,i,'.25r d.'ine8":',?' lkN^l. (r.26)

-. .,2, ECUATTA ( ONTINUTTTTII

c. .onsidF : rolumul de lichio I (1). dn inleriorul unui lub dF-' rrcnt,

hmiraL dp sp., iunilp s, de inrrare. dc arie,4' ti S" dc iF$ire de i ie'4, {Iis 7 r)'Ld un rnom"nr /. in inrFriorul rubu'ui d.,uIcni se 8;'e:lP o m"sa d. lr' hr(l.rt

- \_. F d |. D!(i .c pl suPun' .i. in jrrFrvalul d' rimp dr' o^n"it"t"r lichi'

rlului,'intr ,rn punct oarecare, crette cu ,p d'/'1, atunci masa lichidului crettecu:

dtJ:\:id/dv.)v at \1.21)\'arjdii.r {1.11, dara de (- 2-J s. oalorFdzF itrfrului

"

in sccldri in ervdld" timp oi, prin Sr pirrunde o ma.i dF li.lid n'ai nrsre d rlprin S', deci:

(7.28)

!ig. ?,7

se ob!ine ,(ualid (onlinuil;tii p'ntru milI

f.r*ir i:l Trd, i? @4. n$" {GEH&EhI(l:

=rs-:e c'=e

II_

=;- -iil;eirr

i.. ":ElE .r , -r. !=

6: ::1.:a::: r-i c:r

-j E{f-{Trrr-E>. .onsid::A La ,

nr:i:: S, de an: ,l-!Ez:: ioltele: iEasic:e:eF. 14 con:b.J

J..t;tilia 7.21. Fa:trc-i (sraritafional,m:,-iqlui de lici:id,

i..jpra unui \ olxa-rr : (i,,a';", ae, - l,,',*,uo") u,

tur,- d,4r - 5r"

@.: Ir esie for.ta ui:tgrind ir.j2),

Dtln ('7.21j, \7 .28), \1.23),carea ncpemanenta:

\,k,*:\", Pzu\,d.4,: Qn - Q ",,. 172q)

i.:iiniliai.22. F.E--:::- asupra lichidri. ::-re Iichidul ditr

.l.f.lpra unli sup:

r& ; este versorulrE dinrnici dati

:3

Dir f?.?9) rezultn can.l\lzid '1.2

{i{ LkNFr, (7.25)

(7.28)

Codt zia 7:2. Varialia in unitata de tidp, a masei .le lichid intr un-

ce curent, este date de drJ.r'enla dintr" d"bitulmasic intr:rr ;i debitul-d. iesit din tubul de curent rIn ir\carea permanenfi, aplrt : 0 ti (7.29) devine:

\^.e,'",a'e,:\"",,"is dr, : ?v . (7.10)in cazul lichidelor omogene p1 : p"

-

p -

constant ii din (7.3o), (.1.24).F22) se obline:( ,,.., or, -( t,,,da, -e,..A.,.,,. .-.3rrJ:' ),'

Couluzia 7.J. ln mi+crrer permruFrr; "

unui li,hi,1. d"Li,rl roluniccste (onsrant prin orirp

"ncritn r lubului d( , uren r

7.3. ECUATIILE MI$CiRII LAMINARE ALE LICI'IDELOR RE.{IE

Se consided un domeniu lichid r, dc votun r, limitat prin suprafalaiFh,.;.5, de

"'".1 l*l]" dom"niui,ii J" li.hid. afla, in mi:.ar". a.tro-na"; IorrFl": masic; FM, dF pre.iun" dinan-i, ' F,,..lc in"rt: F, :, d

'i.cozitateF,. In contimrare sint date deiiniliile ti relaliile d calcul aie acestorIorte.

Delidlia 7.2t. Foria md.i.; Fo. ".r. g"np111; d" , impurr d" Iortc q.rrrioarF (Bravirdlional. I-1a8neti,. Flecrfl.

"t..) fi .s " pr.l^rtionrli , r mr-adomeniului de lichid, asupra ceruia se exerciti rAsupra unui volum elementar de lichid dI/ e I', aclioneazl fo4a nusicnl

dF-:j",dt'r: pf" dv , \1.32)unde: l. este forla masicl unita i ti are lorma unei acceleraiii.

Integrind (7.32), pe volumul I/ al dolreniului considerat, se obtine:FM:

t vPtM dv. (7.33)

D'linilia7.22. Forla d" nrr.iun- dinamici F,a. .sre toria cdr. s.exerciri asupra lichidulni din inreriorul domeniulrri ijmi'rt de supralala Sde cirre lichidul din exterior I

,{$lpra un:i suprafete cLm.qtare dSeS, de arie d,4, actioa.azi! {ortad3 pr.siune:

d.FN: -paii da, (7.34)

unde 'i este rersorul normalei exterioarc la :up!"fr1r Fl"lnentari, :dL pd nresiuoe" dinamid dati de relalid:

f":!+P'. (i.35)

N,,n"., se consideri t,,. li se

\1.26).

I unui tub de curent,de iesire, de arie ,4! (fig 7.7),se ernsette o masn de lichidde timp dl. densitatea lichi-

atunci masa lichidului crelte

17.21)

Ctului ci in acelali intervalroai mat decit

d.r,) &.

.:a*,-0*. (7.2e)

29

opeiattirril hii

: 'nr;* *! rd:riE!I;fl:::-i-...-:.:a. tEf!:e.rCj-: eiE rc :=? =---1r:eq::: ..:I-i:: dr

:": - ilr-

-

, .=-'-ra c: .re::.I-, :-:: d- : ai

Ie.:- r-,1ll, sc

'.--...:..-' ':2

i"!-= r-::=a =-.

, ;,\,, &, tsr?:-:--f -

- :-:

-i-::r.Y: j

Y Pd dv, (r.36)

(r.37)

!r

D,ltaitia;.2,!. l-orld de \i-ozirrr" lc-. e"r" lor!:8Frr'rdr' de eforLuril'"",'$:;l:J'.",1'#,';;J",'J;,;ii:.:';"ii , Aii"ii'"'""'il.I;:i:l',"'.*,,0*.il'j;j f.D it*, 5:lll!:i:" lHi* g'r;*; ;?J I 1l;:e

'1.fr;? ::

30

(7.36)

hii Hhnllltotrl'..' :.a care se I oPune m$ciriiin timp. I

i barticulelor iare trec'priniiezei particulei, prin inter-:t la altul.. af,tioneard foi$d de inerlie :

(7.37)

d'i lir,hiq, selgbti::,: i ,

:ilate in mi$care Ii de ,viscioaiiite; se consideri,r!' iif,lensdl: axei O&' cu:Ili;ti in fig. 7.8. Fie dY :

.I Relalia

2i_ - di'j'dratn

=fiat:. ta.ss)de ,1'lscozitatd id-F; are componenti

(7.4s)

31

Prinohtine:

intcgrarea relaliei (7.45) pe volumul l/, al domeniului lichid, se

(1.46t,

Condilia de echiiibru a domeniului de liclid aiiat in mitcare este:F*+F""+F'+ F,-0. \7.47l,

ru 7.\1/. \-.1b,, r-.38r, rr.46r ti r; l2', r'lttir l-4-l lF\in"

$ [,,;,- rr, , '^tldr 6 g,ldl,l,t t I JYdtde unde lezulti I

f^, 1 v1,, -7,ta "- aalatp

11.481

\c.Lo ul tir'z; ql"o lu.1, li J':D"lln ii ii|p a'li;-'r'- \':i)J"idr' o1 ?ii t 'rf .ii. irr rC"ti, r- 4q) s' podl' s'r'^ sub lorrrn:

7, -

Lrn + 'La : uil2t + 6v) 1i. (74e)p

(1.a9) este ecualia lectoriali, de m$carc lalrinarn a liclidelor reale(Nayier-stoks), in carc:l',, I97",

'Ln:i,, adiaL (dV)i sint respectiv {or-?tele uniiar: masici, de presiune, de viscozitate, tocali dc inertie;i corvec-ti\': de inettie.

Daci sa pmiecteazi (1.'19), pe axeie de coordonatc O', Ol', ot, se obfie:

, |

.bf -.,1a'r'- ,'1 "-+'',,..\::,..- ,.iu' ,,,,:', 1 ,,-:";p ? (6'' bJ'z a'z) ?r -iL ':J ?2

,"';.",'i'(',",i*;,, *+)-,,',' ",:-""'i,',,11'

, | .

l:- ..(?\t, ).zv- *;,!,\=du.. .,.lL ,,,,,.!'- ,.-,, .p . \t," b), ,', 1 bt - tt t.' ,n.ro,

].{. RELATIA IUI BDRNOULII IENTRU MI$CARD,{PERMANENTA A LICHIDELOR

D lili!'a 7.2;. R"ialia Irri Berroulli r.P "/:n i :n "5^rli l"8F 'ons"r-vArii i tra-d-ormarii 'ner8iFi in '//ul '1ii'-.rI l'n raal l hd^rorredr'I rt a 1.f rcl6..r^ I32

:rLjr ft dFL LE!llErrli'5a :ssrr*: ::rn

nJfl,, b =s: rr .E idGDd iE-.a hedtmld dar:::::r r ij

_,:t

It :a:, -:.:

-; a

,&rder: A:, s:,* :L=C,Eg* 1.:E :g:, :i i: :=

s1. :i : l:!:;^ _,:

L! rfeE: a:rr :s:: c;.'-

lni} --

=:: l--.-.l -,qrsn .. i: :.--: cr:'.?:s*::r d::ie ;,l.:=ir

:l

lln-,r, r -r. --

;.r: tj

', al domeniuiui lichid, se

P:46'l

allat in mi$are este:0. (7.47)Iia. \'7.41)

t *u,,itdr. (7.18)iimp, adice t(r,l, z, l), decirte s.de sub torma:

(,'.4e)

larninarl a licbidelor realeZrilr,, (iv)i sirt resPectlr tot-

, tocali de inerlie ti convec-

-.ff. ,,!..ff,-,"*+.*+.2ar a)' Az'',G*+,*n'.*'

' (1.s0)

-{1. I9!l_{l!-lq! aERNourLr pf\rRu rtr$c^nEAPERrlANENTA A LICEIDELOR RLALE

-'i."',;:i:':?/ft"iJ'.'fl .;',i::# $;:t!l;: tt*xil# lT',iX$ ::"1:ffi1r'*"ff;l'"'i''fxl"lt""' :l'.';i"#li't ;P"6J::"r" (? Ai,''; i;;

7,,dr. ' vl",rr .=,a; .{at ;a;.n caJe: 7,:,at si i

-

diid1.In continuar.e, se calculeaze produsele scahrc din (7_5j).

i,,a; : (t","i + t*j 4 y*,i1 . laxi a ar-i 1,t,i1 :_ f\t,d' + fM' d,.r + lM'dz : dLn, _ _ dE,,

(7.s1)

17.s2)=dF: dZM '"J" lu rul q"rrnir plem"nrar. prodnq d, forta ,r.,.:,, r,.1;Ldnl,"'""5'"

"6al si d^ spcrr.,o;rrr.rr'.u energid porp-liali ai,, p.,r,-1"t.vnat (l; 'i +i r!:".E).,d,i d),i d?i,.

:pa,1lay..?*_ur,,dx .J - ir;n carei dy'd estc dilerenliala totald a presiunii dinamice.

icid: @,7 + u] a ",11

. @u,i + au"V + au,i) -

: Au. + 1.!!du, + ud,u.: d,(urlz).7.a,:u,: al\"7,a,1,L." l

(7.53)

(7.s4)

ande dll este luclul mecanic elmentar, dat de forla unitari de ftecare,etal gi de senrn contmr cu enrgia de trecare notaia a f(" 7,a;1, i", ,, 9i ,":;'rl distantelc masur"l. dn.a lunsll tinhi a".,*"t. af iL punltut d...r"-fln'; 0, apa(irind 3, "sreia. pinii la originFa si re.p^, riv rirfirl vccroruluidi.

a,r r s2,. .7 51, {7 54,, \?.55t, r, talir (7.5tt d"vinn:-a(r, 1 61 e 4 u"121 \" i o;):.

Integrind {7.s6), se obl;ne:

(7.56)

\7.s7}E, + ?,I p +,clz+ \",7, ai : c,.

Variatia cncrSiei potenliale, a particulei lichide de loium unitar, corcs-pLU,. itodf- d-ph.iri:-lFmFn d: .rP:

d-EJ, : g d: (7.5s)

(r.5e)Irtcsrird (7.s8), se obline:

E,: gz + Cr.

4tt ttne 'b cu.e;\

\rre

eFtg J.'

DacA se i,ltroduce (1.59) ill (7.51) ti se inmullegte cr p, rzultl relaiialui tscrnoulli pentru mi;carea permannt: a lichidelor reale:f,2

-pll"iz r l"-l pez+p\,i/"dt:C, (r.60). i's

-" ._.in . are p,; 2. /d. p8 ri p\, /,disinr r"'p".'i\ "ncrsi I"unittlF:.iueti,-.,otentiali dc presiune, lotdlialn dc pozilie ;i de frccare, iar C : p(CL C').este o conslanti-

Inrerpr'rr"a (reiip,i.J d rclatiilui B.mo'rlli (l;3 -a) sF ta,c -riind7.00 i, p..n.r.l" P, ii P-, rpaLlrnind lini^i JF rurPnI:

puilz + 1,, + pszt: p 3lz + be + ps:, + tL,l z: c (7.61)unde:

(1.62)r',, "

: r(,\^ i "

ar - l; 7".,

reprezint! pierderile de energie prin {recare intre cele doui puncte.

7.1.2. IIELATTA LUI BERNOULLI PEr_TRU MI$CAREA PERMA:{ENTiA LICIIIDELOR IDEALE

In cazul lichidetor jdeale l" : 0 ;i l': 0, deci din (7.3s) re:.1lltiL fa: !-1, inind cont dc aceste condilii, (751) cievme:

JMdi-, vpdi -inn. (7.61)

34

tu[if&E-r'frFffi

TJ-rir

I

[r, tmr:n:=r -

:

fi a, r-::-: :* r:tir.r'r r:ft1i - i-=r. n

:j. Frfrr cET{]t|-J.r rErdr{frMitriE -.- -:n{r Er

tu&r rhtlrdt e.!i:!E'i8,'fu t'dE td - rlrefiEr raEd*6 &'ry..*

i.iE*- ++&r&lm*r.

N{gea$$ ,--$ :ritelfdl

'rn ar4E3a --tr

lithide de volum unitar, corcs-

(r.53)

(7.se)

-*",'g}1:lli'J,:Tif,'Jiti',;1,':,;:,:r""ii,iroduse,e/nrli.i,r,icuva-(1.64\}

::ndteite cll p, rezLdtn rehiia,nhidelor reale:

:=, di -

c, (7.60)

tsergiile unitare: cinetice, po-

FiA. 7.10

.ln,orr i|rar" "- I,ro,pdeaz;,.ta S -.4.tri . obtn^r-ldrial.ri ts,.mo Jtipu,iz + ? + ?cr

-

C'. (7.6si:i :r e-s-r,zr in,rl,erarer { r,Fr.!, :.. r r,lrli-r lLi B rnoutLi rtis.-.10)r: l"r" ..riind l-.6.j ir'nou.. purnre-p,;i r.,,p;,1;i"a it", i .i" 1.,",,r,

ttli 2.- p. st-, . ptl2 f" p1.z, | '. .'orl

7.5. TE^OREMA C.AMITATII DE MISCARE $I TEORE]ITAMOMENTULUI CIN'ETIC

7.5.I, CONSIDERA?II GENERALE

R zolrrr-, uror p"obl"m" {rc ojnon,i.. n"r". inrpun" qlrned1.r.". 1..-orL11ui fo4elor exrcitate de un tichid in migcare, asupra corpudtor solialc.n care acesta vine in coDtact. In astlel de silualii, se recom;d,: folosirearoremei cantit5lii de migcare, respectiv a momcntului cinetic. In conti_iuare, se definesc citeya Doliuni utitizate in enunlul;i denonstrarea celor

Definilia 1.26. Sisicmul lichid ste o cantitaie de lichi.l {onnata tottimpLl !lrn ...FJPa:i farri, ut- r

{i. frecare, iar C : plcr -- Ct)aol]lli (fig. 1.9) se {ace sc ind

- ?g:,+ hr-z: C (7.61)

\1.62)doui punctc.

i;'a1: rEe cele

PER}IANENT-I

,I a

thJtnli0 7.27. C.nrirdr"r d m't re ,li prnrru un eLen.Fnr il6 md(:dM ti volum dtrl al sistemului lichid, care se rnitci cu viteza i, este definitlde p'ollu.ur dMi

-

pi dv dDeJ|4ilir 7.28. Moment l cineiic dfio, in raport cll originea axelor dc

coordonate, pentru un element de mas:t,U si volum dI/, care se mitci cu!il",,J i. e.re delinit dc p'odu"ul 7, dH . j,d,tli -i-pidVr

ranr'rar"a dc mjs(arp Si nromertul . in.ri. la lln momp'r' 1 drr 1 nl'lmi-.. rii ,:1u: si"tem lichid. silll dJle dp relaliile:

Se'cipii:

r/ -\ pridt : K6 \ ; pr'dv, '-.o ).vlt\ .vttl

f(r) este volumul sisternului lichid la momentul , considcrat.stie ci{, in mecanica fluidelor {unclioneaz:{ urmetoarele doui prin-

P|btcilirl 7.1 . Detivala,unoi sistem lichid este egahsistemului,

in rrpo-i , r L:rpul. x r"Rt:til:i q, 'n

i,-'- 'cu sJma lorlelor F\r_f,oarc e\6r'llrtc .supl ,

*:*\,',,nu": "4.,'

(7.68)

rzport cu timp.l, a nromentului .in.r" "l

mimentul rezultant al fortelor exterio..re. Priflcifiul 7.2. Derivaia, in

a1nui sisteo lichirl este egaii cuxercitaie xslpra sistemului,

* = $i",,, n, ro u v : tv ",,>

aatru un element de masiiici cu viteza ;, este definit;:?''ort cu orieinea axelor dei r;rum dll, dre se migci cu_.-d1i?-:iePidv.r b un mohent i, dirl timl,

(1.61)

ItrS- 7.ll). Fip I-,11, l(t I 44, votum.i" ocup-te de lirt,id ta nlomenrctc r.ll+echv 1 -

A/. Jn {i8ur, pori!:r .iqiemutui de lichid lJ momenlul 1 c"t;rqrezFntat: prin linie ,onrinu:, iar la i Al prin linie inrleruDr;. penrruFaitia jniliala. S 5..ompunp din S, suprata{a de tnrra,. a"

"rie,l, .i S-.radeiFsifcdF"r:^,4,. Din,i6.7.II.eobs.rricj: yt[)

_ /r t.3$j tit l-

L momentul , considerat.e"za urmatoarele doui Prin-

a cantitllii de mi;care aerterioare exercitate asupta

:F.,,r (7.68)

inpul, a momentliui cinetic alr:i,rltant aI fo4elor exterioare

suprafali de control I

\IOUENTOLUI cll\EIIC IN

:i.,,xF".'. (7.6e)

--.. o forte exterjoar; ce a':!iG

, de poziEie aI Punctului stu de

:rie l, care mirgltl.ette n vo-

@ntitatea de mitcare ce trcer tilap este egalS cu sun1a lor-

a il onrginqte,(r.70)

Fjs. 7.11

+ L!),- V" /-...C-L Lrlind Lleri\"ta .antira!ii de mil.Jre, ppnlru sistFmultonsrdefat, se obtrnc:

Af =1( "oor:rim^i. .. t,r- ^1) rt,r,di -dlJ,,r'""' -oj'ti r - i,T.-- --Ar

::,1* *fi",,.^,,'o o' -\,,,,,nu4'

Integralele:din (7.71) se mai scriu ;i sub forma:

1".^"'a u' - \'"'aar + 1"" ed ar;'

!, ea aru : i,, e; ar, + \ , ea arl.Jinlnd cont de (7.12), (1.13), relatia (?.71) devinei

f l* i,(i",'u"'' - i",'; onJ'

(7.7 r)

\'/.121

(1.'t3)l,

ln continua.", "P rran.[oIm: int.Sralcle din ('.74) in jnteeralc de 5u-Falrli. Fi" dSFS,. o sutrafdl: elemen{rra, prin care lichiLlul ie mt,i,uyi1eza,.{.ia1g.nt:h Iinja d"curmr (v.Jig..7.ll). ProiF.tjr vecrorutui vilczi

rr, pe orfcclrJ nonnsrpr cxterroare ,t ra cl), e,te t^ _,r,o

Utilizindu-se (7.75), se Poate sc e:

( ,,; n''-- rt[ ,;';;,a.t.

Jt"

- -u cos adALt : -Ai aAN ,deci:

( p;i ar,' : Ar\ e;;(ii)a-r.J/' JrlIntroducind (1.16), (1.18) in (r'?4), calculind limiia ;i

?rincipiul 7.1, rezulti:d4=( o;r ,,, J.l ( r,i',;tr dr ' i ,,,,;;, o r rr r- -odr .1,,, Jr

1rnde ,4 :,11 + i, cste aria supra{!i de coDirolTearema 7.2. ln miqcarea permanent:r' momeniul cineiic care irete

prinh o supra{a,tl de control in unitatea de timP este e8al cu suma momen-telor fo4elor exter'ioare, care aclioneaz: asuPra lichidului, calculate h ra-port c acela;i punct,

Dace dSSl (v. fig. :11), prinir-un ratioiament sinilar se obtnle:dI/: d0'll: r, d.4^l: ,r cos (n

-

d)d'{Al:\'7 .ii )

(7.i6)

tinind cont dr

I i x pi\riri1 dA : \i,",x]'1",,tPentru demonstralic, se 4oteaz[:

V xii :6 (1.8 i)1i (7.69) devine:

01.'= 1.\ o"ar' '2i.,, i..,. (-.'2OI oI .itrr

ln continuare, se procedeazi ca gi la teorema 71, iar in linal se obline::n To^o

=\ pi(rr)il.' .:,,.,, i:,.,. (-.s.{rot ,!Dacn, in (7.83), se inlocuiette d cu valoarca dati dc (7si), sc ajuryc

la (7.80).38

(7.80)

n-l:L -{PI-ICALEA IqYOHENTULUI (PRI\-[R Ull Ttt

FE u tub d curerda:

-

spraJala transr-

sdFafala tran$.-

$prafala laterat

i ^F,

Prin S, nu sc prodr:nteriorul ti exteriol

-

F,,, F,", F",.Teorema 7.1, aplica

i ,a1;,;1 a.a: ( ,;ru JA1Prodr:sul scalar di

pentru integalapentru integrala

Cu acestea, (7.8a) ,

\ ea*a-t

Diftcliile normaleloa cele ale vectorilor \.i

i{ din tubui de cure

r-id4.

\'7.16)

(?.ri)

(7.7s)

t similar se

limita ti iinind cont de

=ol.='dentul cinetic care trecr

est e8al culirhidului, calculatc ir ra-

F-,t (7.80)

"'l:"llli1+:i$"Ti:fifiTiftiDEpM'c4lENs.EoREi\rEr

*JlJl *t de curent (Iit 7 12), a cnrui supraraln'dc conrror, .s, se com

::i:,i i: iJ"T,'#="t i". ,:;;.;T,':",;:':1,",,,;" '-

suprafala tatenln a tubuiui Si, a" "ri"-.1,1-

-.,,

Fic. 7.1?

..

Prin S/ nu sn produ.e nici un tct d,din inreriorul gi e*'re.iorui ,ror,"' '"':l'iml' rJ" larri"ul", inir" lirhidu!Dlrectiile normalelor e)iterjoare,, r

cu r"re are vecroriro*i,*r -*.o"",r;l-,"..

rcspecriv Io Sr ri s:, ,oin,id.r, ia ain

_r "r,", a. ., ;; -"; ; ;^J"ll'i::i:,:' j" ff." :i'jT, li:$",' jne ,b pr. Fp2. F,rTeorema 7.1, aplicati pentru sistemul lichid ctin tubut de cureni, di:f"

\,euruntaa - )^,e,i,a'i,at .\,"ei,;,;, ,te . . t " F,,. F,", F,,.Proddsul scalar ii se expdmi astfet: Q.s4h

ppnlru irr"gr"la pe A,: ii _ , ..os 180... ,;^

pnrrlr rnle8rata p. ,4,: tii - x.,o\0 -. .,.

t u r.p\iqa, ('.84) devine.Io,,or- | oa,a"e - a F..J', " tF' Ll:- i" {-'sI

\ ;tLrin a-1 : )r, t. \' t')

7,1, iar in

(7.81)

(r.82)

final se obline:

F,n_ (7.83)

cat: de (7.31), sc ajungc

30

Dd.a jn (7.85), se consider; p -

consranr si \iteretF mFdii ,i.",. /;_,.{orc:punziroara spctiunjlor 5r, S!, .rrunci r"zulfa :punzAzitu'

-

gu,,,A,n^,: F, a F,, + r'," + F,,. (7.86).

Tinind ront de 11.22\, 17.24t. (r.1ll. in t7.86/. qF oL!ine ieoremr ,"rFri1;lii dF miicJfe, apli.afe mitcarii pcrmrnenic ., lichidului in rubllI d- .u.por:

Qutj." .i^) -

F" -F",- i,,a i",-2i,,, l7.81jUn ralionament similar conduce 1a teorema momentului cinetic. aDli-{ate migcdrii permanente a lichidului in tubul de curent:

Qftli,xi^\ -

ila-,) : i,xF,+ i,xF^+ i,xF," ++ v,,xn,,

-

ti,,,xF",i, (7.s8)in 6are: 71, V,,io,io1sirt vectorii de pozitie, corespunzitori punctelor deaplicatie ale vectorilor i?,, A", F",, F,1, F", F,, 1''. tig. t.tz;.

7.6. CRITERIILE DD SI ILITUD]NE ATE I DRODINAMICII

Dd'orird .ompl \ir;!i; f"nomenpior q: di.i,ulritilor," ap,r la r,rut.v-rpd Lcualiilor d. nit.ar in hidrodina.l1i,J .F toto"pq", in niod r". renr'rretode exp"rirrprLrlc d..-r,-rir". E{peri-nt-1. por i: "t".ru.,e,lirecr D-proiolip sau pe rnodeh. Din morive..;ran,.". eip.rim.nririt- p" moC.t"u , ip;,rt o r-spirdir" mai I rer.

Pintru .a re2r.rlr 'r"1" er,p"rri .. r,tui oe mod.l s, IiF .ir mai apropidle d? , "Ie 1l ,.zulr' r-il. traLru:.i r-rp^ rdrF unclc condiL,i. d"numire

criterii de sinilitudine.Deftnilis 7.30. Criteriile de similiiudine slnt niste numere. exorimatepin rapoarte adimcnsionale inire mirimilc fizice cire intervin in'descri-

Frea fanom"n,rlui .ru,liir ICaracteristic criteiiilor de similitudine este Iaptul ci, in cazul fenome-

nelor asemenea, cle au aceleagi valori numerice, atit pe model, cit ti pe prc-roup,

Criraiilc J".irn:lirrd:ne po' fi srdbil:rF prin difPrite mprod". t n3 dinlre_cie con"r'r in spli.drea e.urriei LJe mis"rrn a lirhidului r^"1. dco:rer-,;"snii.:-nr d. !.ne.Jli li la .rabi ir.a ei ""iri)- mirimilor fizice nu au a,.utnici un Jel de iniuentn..

Definitili 7.J/. Raporiul dintre mirimea |i,zicl real6 li cea coresprn-/:1oare pe Inod(l 'e Dunesie s,3-; tIn continu.r^, sF \or srabili. p in m.rod1 l]minti:; m"i tnainr". crireriile

de similitudine utilizate in studiul dinamicii navei. ln aces scop, se definescdrmitoareJe sciri:

sclrJ lortelor na"i, "

hv- lv, lv"-

scar.r den\itililor t,: p^i?^:-t0

-.

*rittzele medii i,1, A-r,-

srcara presiunilor k, . f"th_ l"Jp"":

-

scala vtscozttildor .in"matic- i, _ !, v.j..- scara vltezelor hs: knlud;-

scara timpului t! -

ri/t,;.- scara Llngimilor ,6/: l"/i..Pentru stabilirea criteriilor de similitudine, este suficient str se cxemi_Ge ona dintre proiectiile ecualiei a" n:tsc-" rz.roj. a.iiiiiri"i# ,"-"i.iTi"@st: ?roieclie, dupn axa Or;lf !!

^ -+ tli,,(k * u,ut *,,#): +, ,j4+,,* +",*'o\ d.y az

(7.89)Daci Iiecirui temen din (7.89). i sedtine:

h"h,-+ L d!^ +!&,(!!:+a'zh, +a'zu,l-kgt p a.y Ai \ ay, Ay" a," ):!" . a2* ti 1,,.au '. au" rx.\I, bt ' h,\'' ai- 'q ay F r' :) (7 eo)

.Penlru ca ncu-tiite i7.c9J ,i {7.90).*t*, i:i;, u *r*l_il :,j:l#' : .'l:l':",: ff ll,''un;: o'{*:f;

ka : holheh._ \h"lhi : h"lh. _ hil (7.e1)hi*3ufr"Slil. u"

".ritdti (7.e1), se vor stabili patru criterii de similitudine

1) Criteliul de simititudine Reyoolds, ,.

Dplitlilia 7.J2. CrirFriul d" similirudine ReynolLt. .e norcaz: Re si este]l]fll,9e-lronon ronatrtatca d'nlrF lortete de viscozirare si a (elor de inerlieconvecllve I

Pri|l urmar.. e8dj italea:n,*"1i,i ; aX1*, sa.a n,i,1*" : i', p.sz1

concluce Ia delerminarer num;rL ui Re.Dace h (7.92) se inlocuiesc sc6rile, rezultl:

{1.e3]'

(1.e4),

(7.86)lq, s obtine teorema can-EditElui in tubul de curent:F,,:tF,., (7.87)

cinetic, apli-momentuluide curent:

:'ti+ /r

conduce la determinarea numirului Fr.La scderea relaliei (7.95), s-au avut in vedre primrl Si ultimul raportdin (7.91) $i s.a substituit h* at ho- g,lg^.Dace in (7.95) se inlocuisc scirile, rezultii

Prin urmar n, eBalitar"a:hc: hllht s^\t hiiacht:- 1,

k,lktkt: hllht sau f,/lel; : I,

Rt": u.Xle"I": 4!s^t^: Ft^,mai general:

Fr -

rr,,/gl : constant sau Fr : 4Jg7: constant.3) Criteriul de similitudine EulerD(.finqitz 7.34. Criteriul de similiiudinc Euler se Doteaz:

definit de proporlionalitatca dintre forlele de presiune ti cclcP.in urmare, egalitatea:

:.7, EFORTURI

Uigcarea turbulenlidonrl statisticii m;rriabilelor aleatoare .iEielor vectorulai ritLdeta, sirlt date de

1 lt 17'n-: \ ri-r&le T estc tinpul

Daci se noteazi clesiderai, atunci Yal,

|t.: nCa urmare a p;Is:(d. intre straturile a

aestec genereazi eJor2re, se va stabili fo

Eie u,, ii t1,2. u,1l* fi invecinate / Si lsise realizeazi o interDSe considern punctul itiat prin viteza med{rsponentei 14, prini=p dJ, asa eiemenmai Seneral

mai general :

(7.s6)

(7.e7)

Eu ti cstcde tucrlic

(7.98)

(r.ee)

(7.100)

Sh ti estede inertie

(7.es)

(7.10r)

(7.102)

(r.1oi)

conduce la determinarea numdrului Eu.Inlocuind in (?.98) sc:rile, rezulu:

e14'zlz,4) Cdteriul de similitudine StrouhalDefinilia 7.35. Criteriul de similitudine Strouhal se notazi

definit de proporJionalitatea dintrc fo4ele de inerfie local ti celeconvective I

Prin urmare. e{

. (7.e5)

Fimul ii ultimul raport

7.7. EFORTURI UNITARE TURBULEME

--.-o_i:.T.:..ll.Fr*ri. corecpu'1d. dFrrnrrei -.6 ii poare fi srudiai! cuffifl*'::'ii::*'la'Jx'i::;.ll'lfil$'r''i'-'::l *'ie *torii' mea;i ii*t n,lf:f l[;;,, ;.";,'; i;i J;ii;i:, :i f;:l:"ili:""]t"l,S,jliJ,"""lff -

nesiue ;i L*le de in.rtic

i':T\, u"dt: a,: |1,.' ,.a,. (i.to4)

dtr : Pdt 4t dt. (7.106)

.

rig. 7.lj

:11l1j'-'_-d: mirare. eerp.pua2al6are masci dy,componpnrFr ,: a virezpi dF puLarip c:re:dII": dtlu:: pla,,)uil dA dJ, \j.llj)

a. - V-\, u, ,1t :

: constant. 11.91)

se roteazi Eu $i este

{i.e8)

(7.e6)

., (7.q9)

: constant. (7.100)

rotle f esrr rinrput de mediere.-"",:*",,'"^1i"i:?'"'""#.f; llli:{i:,*'1tr1',i5,1ilix1#*i*:i tlxlj*,,

a.: 11. -l u:: u,=u!+u,!: u":i,+ :. (7.105)-" !i,ilii;:,:,i:'':;ltl;l,l.l"'.'1""; ::'l* un t'himb nFin rprupr dc pa'i*;;::iu:i,;iii:*ft ;rxnr'l:*ir::'ffJ,i,li:'i*'i; Ar,i:

i:l$!t,ii:fi ;d, ir*,'.,., ii i#'sii mxtit:x,,*#i]"in:.'#: I il"r.,,?ii,,:"lti".f s,,"1:' ir, l;:ii*i* j*idh"#ffiiilj]:T:.i'

"H'St::lla''!a ds= P d" ari" d 1'-";'r"'l"i",i"r,T i"

(7. r 01)

se noteazd Sh gi estelocale gi cele dc inertie

(7:102)

(7.103)

Proiecfia pe O* adeterminati dd acf iunea

de unde, conform principiului 7.1, rezult!+; i jdI,,: dg.ldt :1.pu:i,!;t M. (7.106I

ln (7.108J, s-a noiat cu dF,' merjmer forlci FtFmenrare,l^ vjsrozitarc,ce se manifesti pe dS ti aie direclia lui rri. Considerind valorile medii in timpale pulsaliiJor ai, r,l 9i impirlind (7.108) prin d,4, se obline efonul uniraltangpniial suplimentar, .arF ia Daltera din (auza amestecului rurbulenl:

\_ _ Pt'iui, lNl'l]l, 17.r09,

parti.ul3 i;i p:slreaze componenra dupi rxr

unde ,rbil este yaloalea medie in timp a produsului componertelor vitezei-Obsemalia 7.5. Semrul minus din (7.109) ara$ ci, la o dilatare a stratuluiin selrs longitudinal, ,ri > 0, corespuDde o contractarc ln sens tnnsversAl,{4 < 0, deoarece masa totali a liehidului nu variazi I

- Din punct de vedere practic, este impoltanti expdmarca eiortului lnitartangenlial

",,

in lunctie de valo le medii a1e elemmtelor care caracterizeazinmitcarea li de anumite constante. Existi mai multe metode, care permitdererminarea valorii rjr,j din (7.109). DinlrF a(estca se va prezmrr ill ccnri.ruare, teoria lungimii de amestec el-borall de L frandtl .are, pe iinR; fdptDlc:L esle sjmpli,.oDduce la rezuhare apropiale d. cel. reale in loari. mulr,cazuri. Pentru aceasta, se presupune ce o p"r1i,uli .lin lichidul aflal in nr--.are turbulen{e unidimerisionale,.[t,

-

d;l))t i,- t 0-, proveni(: dinstratul yr I, ae vireza r,(yr

-

l) 9i se depla"eazi pe )ungirnei I in orr.ctran"versale (fig. 7.14). Lungimea / este mirimea .rre caracterizeazi' miicd'stratul yr I, ae vireza r,(yr

-

l) 9i se depla"eazi pe lungilnei I in orrFct'erran"versale (fis. 7.14). Luneimea / este mirimea .rre caracterizeaza miicdrea

trurgime de anela.

ransveFara (r, /.1{). LunErEca, esrc maumea care caracterrzeaza mricale&lurbuln1e a lichidului real si rcprezinta distanla parcusi de parri.uiii luLinfluenla litezei de putsatie. Ace;std marjme d losr denumiti de I'fundrttrunsime de anelec. Deoarece particula lsi Distreazi comDonenta duDi axaO, a cantitetii de migcare, ea va avea iir st.atul J.,r o viGzx mai miin dcritparticulele inconjuletoare. DiiereDla de viteze este:

Lu?r:8,(y) a,(!L- t\ : Ildii,ld,t)n, Q.rn}unde d"fu"'t

-

l), s-a dezvoltat in se e Taylor tieu lost re!inuli Dumai prinii doi l"rmeni {luntimea de amestec fiind-considerati mici).

Ana&g, o partidrli care viae in stratul 1,din yr + r, are d vjteze mai mare si rczulti:Lu.,: E"(h + l.j

-

a"(trll:.4d\.ldy),,.(?.1i 1)

In primul caz ,rj > 0, iar in a1 doilca caz'ui, < 0.

Dilerenlele de vilez:. daioral" mit.irii i13rsversalF. poL 1i inrFlprpl.treDrin fluL'urtiilc vitezei lonRitudi"ale d'n .trarul y'. Prin urmrre. n".liai'rlorii absolute a {luclualiei de virezE longitrrdirali esLe:

.a:l --1 t tu,, - ,L,t,,) -t.tJa,ldltntl. 11.1tzl

44

Fig. t.1,{

Se hte ipoteza c

rd. -*i R-In expresia eforl

-cste Bativ, deo

G* 4 mai micn Sir@l1cu'l

iil {r. r08}Se face ipoteza ci 14 este Fopo4ionali cu ri,., deci:

dl : h, ,N.l : hLtl(da,ldy)u,t,Gd ,q c R.

u-"u; -. -h.nl t4t,in care Az eR.

.

Dace in (7.114), se tine conr de (7.112), (7.113),"'l"ti - - hl'(dn'ld!)1r'

..: ,l '' -

. | -.: !.4!,ldr + ?tr(d|,td,!1,,

/ 8. NOTIUNI DE TEORIA VALURTLOR

din i .:? Lezultj ;i srmnul lui :,.1Efortul uniiar suplimeniar trrrbuler

a_,riur1r.ra^oforrur uni{:r..rar a" tp"",},'r.fi"t,"d,i,JJ''l:l;:]i l;,',lli:iJ:LfiiiJl'";ffi'; :'.;;1-ar"1 'L'burP-nra phna. dup! a;'".';' a"'i o"-.rJiL,l

i dtumtare de \iscoitaie-Ltud la.lorile medii in tirnpd.i, se obtbe efortut unitd;

amestecului hlrbuleilt:{7.109)

com?oncrtelor vitezei

d, la o dilatare a stratului

Tn. eypresia elortului unitar tanSenliat (?.109). intervine predusul ilide.este negdtiv. deoaree particuJele ci vir io ir*i,rt y,-"" i,; i"o,'J,i".-riijJiEedie_ ,r; mai rnid 9i provoaci deci, o fluctuali"

"1 o.-",iua,1",

""fl "" uin ii5ti?hrl yr cu ui

1|:t;i,,111;;;;1 *'olttle vulcanice gi deplasarea p n apr a unor corpuri i,,'crse

"",'J'i"Ti1;:d'X;:;'Hlil",',,?:t in mod deosebit varurile de vint' hula ti

| ,Dpli]titia 7. i7. Valurile de vinL sjnr misciri os, ila{orii generdre de to., .l .ce rr"car..d in i rc .aerut aflat in mi5lare $i p.rri,ulFle a. li .rpi.frl,

"p"ii! arunle dp r rnl :a propa8S dLpe dire!!id Je deplrssr. a aerului..

D'J ilio 7..1d. Hula .sre generatA de l]lir(arit; o..ilrrorii, r;mase duDi;? liili,'::lii;l'':.'.',';,: 1"'**' ;n"rri"i ni"eror ;; "pr p'"" i" ''ri,'.i"'

Hula reprezinte cazul tipic de valu rcgulate.

",", ?":j'-ll"f.,?ji,.xiiilli*:,x"?J,'fi:1,1*xilfl.'::Il,fil,rl:*:,1"ValurilF din apropiFrea malurjlo, sir ,.ri...rilJl. L,rinrr o in:ttare c;._

i"iii!fii'i"r,"i.!? iffl,.i:i:'k :: li::';l::,;l;;, ::,;,;i,rl;:,lll,ll:idFasupra suprateiei apei I'nistir".,

Pentru d.finiea "tFmpnrFlor 6pom, rr', F .i rnirinrilor I'zir, rt. r..Iutui

sF lolosPfte prore(trd 3_!-Ju,J pn un plan l."nsrersal. Ax" ralului coincjde.u&il]'iliir"o*''"' ,rherc a r"hidului neprrru '.a r^ pr2nul ,rdnsv"r.Jr

D."litai!ia 7.10 .r-dclr d. \"1 .qre lo"ul B"onr.,ji,

-t a @ corpuri imc.scr.at[ile de vjnt, hula

,i Hffi !i.{:ft*$ji'f *,$#**fu ni,"g.i*;l#itii:nilT;fii:* i' ":::i{ti&! f,,!,c :"[?il'.?i :31,'fl'i.'i'ii":ii:ti:".X*,il1i"J'""':i_- P:!!"i!:, .7.t,1. Inattinea valutui. D. esrp di"ranla 6o.u,o1;.;n ln",,,*'il'.,;il;

"""'i:,"'iJ;;iii,.'!5"1:f ;i:1.$::i:i.;:T* " .

(7.11e),D,l;ailia 7.4.j..U^ghiut de panra. a. al vatulLri. se m;.odra in r.diani,au

-Tj:i"i j* dehnrr dc ian8cnla ri orizonlala duse inrr_un pun,r la profitul,rr^TrOl|o 7.1d, Frontul valutui, t., este lungimea in metri a cresrei aces,

l).tini!ii 7..'J.7..Vire4d ap enr" a rdt|ll-i. ,. ,src diqlant- DJr,urci dc.r.irra sau gorul dc rrt in nllaLFa d- timp .i ." m;soar, in m/srD,tir-i!id 7..48. pujsalia sau virezd unehi;lj;;, .. .-"li"r,i",i. i""r,i,rpar(ur:. rn unrtdrc de iimp d., rrra raza \.ectodra , p.rLiculei de l"ichid

.rrculrri $r J, nS.oarj in rad " I -n.rri!ia 7.19. Perio"J.r vatutui, i. e,te durar, depla.a.ii apar"rre aunui. pun, t. dF pe suprdfa{r

-.e"rui3. pl.o distanti i "au dur"r, par.urg"rii

*i,]., i,,.,L'".*" a parri"ulei aflai. in mis",ri ro,ariondii. " i;;l;;$iConform definiliei 7.-{9, perioada valului este dati de:

T -

z^1.:i1" 7"1. \7.12017.8.2. TTODELUT DE VAL DI]i D'NAMICA NAVEIln studiul calitililor dinamice ale n

.r..aiiiii"ii"i,ri,x' ii'i5;,T:H':"ffi *181, ;i,"i*,j*?.:i*:i..j, j:ffi li:**,"'l'Yil"lJi"r':.11i'ii"X*i;,."dt" se negrijeazi'ada{ia rormet6r rui

^n,"2.) ffilc.r". al"i

"ste re8ulati 9i sta}ilizatd, fiecare vat fiind identic celui

3) f iccare padiculi de apn s mirci dupe o traiectorie circutari, electuinilo rotatie completi intr-un intenal de timp egal cu perioada f, a valutui." ".ll ,l,Intt,"Otn"" ""lului,

q,, este micn in comiaralie cu i""gr-", i'\", ,:l,I::llillls,T:,":JJl;ri." .cnrrer"olraie.roriiror (i-.uhr" pe a, ecati

Fie O;:, un sistem de axe de cooidorsuFarelei ribre a apei rinirtire. ."

"",,,.,111i'rl,'iilffi,'a;i:li1"t Lt*:]

rr| gmerate de fortelc& la suprafa{a apJira aerului.

Gcilatprii, rimase dupi: oe api puse in niqcare

trorrn din valurile deEte printu o in:ltare cxa_i d, adincimea limitatiraia decit in:Itjmca 1or r

Elare pade a traiectoriei

milor lizicc elc latutui,-lxa r-aluluj coincide crrpe planul ,transversalic desc s dc Dart;culeleical; longiludinal 9i auc descris de particuleteid, longitudinat 9i auel

-:; rspectiv Sotului de \.a1,FEa ,rnor puncte,

I

n;surau, in m. etri, pevel

47

. toriilol circulare a1e unei paticule de 1a suprafaJa valului $i respegtiv de laadircimea Z. Pe*r\1 !c: ycz, particulele sint in Iaze, adici ungliurile derothe ale nzelor lor vectoarc lndeplinesc conditia : e".

I.ig, 7.16 Fig. 7,!7

6) Razele traiectoriilor cuculare ale particulelor, descresc cu adincimca(v. fig. 7.16). dupe o lege exponentihli de foma:\'7.t21)'

' Yv -'r'v - ct: Z': G'

Dace in (7.123)se obtiDe ecuatra sude coordonate:

iB care s-a utilizat I

denumitS:pJsatia iln cazul in care

pe aceea$i verticaliatunci 4' : 0 Si (?.

8) !ryhiul de p:in port au ry.

Rezultl:tg

Intrucit, in prJse face aProximarsa

uDde:

este valoarea ma-\ifisin (n:r1y

-

or) : r.Daca originea,O,

vertiaalicuP$s.'r":0 Si (7.128) d

fig) Repartizarea

Obsematia 7.7- 1impingerii Arhime*verticald, ci perpor

vDservalra /./ rente rezultati ditr caasupra particulei ai

71 Erualia suprafetei Iibere a apei, se s{abil\1e a.ceptind ipoleTd.:,prolilul valuiui "sie descris de o (unitie co"inusoidaib.Se considera doua sistem" de are d. coordoBale: Ott tix si O'r', nobil.

.are executi o mi$care de translatie odat: cu ralul lfig. 7.l7). ln rirooentuiinitial, .ele doub sislm. dF axF sinl suprapusn. Sistemul O'iz s^ dnpl.eazl,dupe direclia axei O1, cu vlteza aparenti ci valului, parcurlind in i-niervalulde l jmp 1 spaliul./. Fie P. un puncl dc pe protilul valului. ale cirui coordonsr-ld momcnlul l sinr 7/, r' fali de Ort( Si Zt. yv la.\i de O']2. Din tit.'.t ,se observa ci:

\ t-.1zzl

.

Se pr.supur r. .l"gea de tariaiip a rol^i Zr, in funtlie rl" ordonata Y",de iorme .osinuosidalai

z, :T.a coEz-"Ytii), \1.123)care rFspe(ri cordjliilc la l:rnira: yy - 0, Z,

-T^; Y, -i Z, Z, - - i^|y?-^, zv- hA.48

srhlui Si respectiv de hfirl, adic: unghiurile de

Fig, ?.17

descresc cu adincimeil

\7.tzt)e acceptind ipoteza ca,

* "r?i,,?"illl,l1',1;$",i'1,'*:: j';]",,?*l;r"*.?i.':xTJi,.,.il"g"'?g;

Zo : Vn cos llt1, _ ut) ,itr care s-a utilizat notatia:

K: 2ti Ln-11.

a : a, sirla/ lradl.f:9) kpartizarea presiunii hidrodinamice in val se

?.: fo + '((z -

z) lNln'l.

unde:

este,l aloared,maxjma sau anrpliludinea unghiului de paDre, obtinuft pentrusrt1 (^lr oi): I.

.Da.a originea O, a sislemului tix de axe de coordonare, se alle pe aceeasi;:'i.6',,iir.fdj :ce*eela5eari in pt,n o';zoniii-oa.ix"i,i'"i|,i!. 'ir,liii

\1.12s)

I-t

denomit5:puisalia lormei vatului.

ndr;l.UeA d,i:;,""? efr :'."J",{ii'fi *' ffi J":i":li?1"::' ;:"fl :1Zv: hacos dt lml.

.- _^8)-Unghi,rldepanii al valului se obline prin derivarelrn raport cu Iy.Rezultl:

tg a -

dz,ldry -

_Ei,^ sin (1147 _ or).

"- "-llry-":I .,:l

practic[ vtoare_a.maxime. a ungtiului d nu dep[reite 20o,se race aproxlmarea tgd=o,,i (7.127) devrne:d: dl sin (l{?r,{ ,i4,

\1.1261e*presiei (?.121)

(7.128)

(7.130)Ja.,i lupi relalia:

( t- .1ZZ\{unclie de ordonata Y/,

\7.123)tf :^tz, z': nt.

,^^,?!:::^t::i!:"1: (ondirijte a.iiunii prps;unii ddre de (7 r3r), direcliarmpmgern Arhrmede, exercijarj asupra parriculei de lithid, nu rrai esLeverlicali, .i perpendiculare pe supralala \atutui Iubservalia_7.? esle valabile si p"nLru direc{ia de a, liLrne a Rreultrii dDa_

rent'F rezullal i djn cornpuner-"a forrei gravilaTi*"f".i a" Ir",,i". lri "

," ._.rilasupra particulei aflate in mircare rotationali.{9

l0) lnke dihritele mbrimi g"omFrrice lr ljzie atetoarele relatii de Iegituri:.r : v.trg :s-' ,

valului exista urmi-

(7.133)

(7.134)

2

8

{.1

Oce.n!e: Atiartic, Indiar9i Pacilic de la Ol aDrilieDinn la 30 .ctomlrrie'Ocanele: Atlariic Indianii P&itjc de la 01 noiem-b.i pi^n, la 30 rDartic

10,8

4,2

3i

74

12

5

274

.rl

85

50

T' : 2"1^ : z"1le :l/r;ts: o.s/i rq,

3,,ff jf i,1"li,'';'",1i,'J,i1i:il:i#"J;",-rf "n'Ji'i'ii"fi":i:i:lTinil{imii cplui mai m:r^ val, p1".,, -"r" dq"hr,i, in funrriedet"""irr",l..

'j r prac ,'c' apre( iere" m:ri mii v, ,",

i:::,.;. ii:i:i, lll:l';i:, iili r'Jl:l;i::rn::,'"'1'""ffi L:;,:":i:,:.Ti:l::ill: l;",ili,ii11 j11,T:.';111i:::x'i: ::ill#::,?,:",t'J:'::i;Tabetut 7,4. Vzlorile a\aia: at.

len:nlclor princip e pcntru vatu.jre ilin dif.rite bazi,.

.: iri:ilo,a[i: t.rr[i s.1.1,, 0,17i./o l_1. {7.13s)

{l8,2

8,2

I

t.

I

l

I

Obsenali.a7.8.lgradului dc agitatie r

Dependenta ele!

de gradul de agitalie

t | ,. .n_l_

'j10I

9 tl...rl

r..hlod er.isti urm[- ?a6,lrl 7.J, scara stn.ii m4rii ra hla ln functi. itc forla vtntului

Slfrafata aloi netedi ca ogtinda

Valnri mici fire stlma2..3

(7.132)

(7.133)

(7.134)

(7.135)

i.l

plane d,lltoare,S permite calculul

tuclie de lungimea sa.tucfie de fo4a vintu,

i maritim. PentruE;ti Cu o aproximare

t proiectare navali

7,4

I1,5

10,8

3,0._.5,0

5,0...10,0

***

valuri scurte, creste care se rb,s

\-al!ri lnngi c! brbeci dir Loc in,oc

l olnii dezroltate cu lerbeci a1!i

lnc+"t"! iornilii raluri'or tnari,iar cre*el aibe inldrate o.rpi

Y4hrilc s. ingrrhtuiesc, iar splmade pe cresteestc spullerati de ritt

inallimea si luginea valnhi estcnerita snniitor, iar sprma sprlbc.a1A dc

"iDt lormeaTn litil d.se pe

IaLu.i nralte in lorm6 de nunfi .rcreste lungi care se rutj stum&este spulberati da .int irili9ii descri latej snpralata nlrii' se alLitedc s!nm6 |

_

lnillioca:ahlui est atit de na.e,lnair navelc s pierd ?remelnic dnrYederej 4ara este acopeiil!, deslumA in dircctia Tiatllnij stroliislnlbrtrli din creste d crtre winthictoreazn ?izibilitatea'

I,23

4,2

lr,9 Obseritalia 7.8. Valorile in limilor 7, prezentate'in tabelut 7.4, corespunalgradului de agitalic maximn (v. tabetul ?.5), intitnit in mirite respecrive .

Dcpcn!q612 elpm.ntFtor valului i iiI, p.nrru i, i-J ... 11

, in r'rn,ii.de gradul de agitatic al mnr , este prezentati in di?grama propus:i de L. F.

51

,"-r-i#i"*:{t$ftH;-r;[d"{ri,ti"i,^'4tfr ,i,ll"li

x2a

h:0,42^!z* Lml,| - o.tz z. t_ 2,65,/?; tml,in caxe: 2,,, este adincimea nedie a bazinului,

Fig. 7.l3

il*';l,:tlf i""T",.#.:l:: T"#J,,yijilf#:T ;:i,.fui,#H,"tJi;deapt: a zonei djn sectorut punctat.".,"

on;3*tti"'f 1?"ffi"ii?z##*"\*Ji;i, ri vft eza vinrurui',!,* r, "+,S,1T.,11"::"11,r r"...,'*: 7.20 cLrprinJe sricele funclinor (i1,^"' *lfil'il. f;"#fl;ffii#,"1i""1 aPrecierea caracteristicilor valurilor'11,,,"# *j:ffi lJl:,';"tf.-fi ili:"'".i'"".1?[ J,X' #iTJ;, JJ ;ill""f"xll';,,

',"I,:r'l'ff ;,i:;-11:c,T, 1",:1'Jil':1

"?:i;lt """x1Tfi .8",,Tf,',"';16'i:'"'#f

l.l i25 x r!)

lo*

(7.136)(7.t3ij

t a5

f,-iEi=:)iordonati.!I ::_r i 2Lt, 1,115,t&:=: iD zonei!e::l acii,rnii

s

[B& SI: ;:iabilen x;l::r--niru

Fn Za:din:-.136)-.137)

fiA, 7.20

27

25

25

t9t/iJ,5"!l

'J;:, -l'9t

8.1. OSCILATIILE NAVEI

8.1. CONSIDERATII GENBRALE

D(li ilia S.l. OscilaliilF silr mit.iriie pP"ioJi"" D, crre n-vr ,on"id-'rat: ca un corD rieid. l" poat" elp.lua pp apl linirtiri sdu pe talur; I

P" api li;r5ti;. n"va o"ciLe.rzi dair e"r. .rois; din pizilia dc .cl i-libru de citre lo4ele exte oare a clror actiune inteteazi ulterior (forfeledetermirate de ac!tunea vintului sau de deplasarea unor greutili Ia bord,fortle de inertie etc.).

P valuri, nava oscileazd srb acliunea forlelor datorate maseiol deapi aflate in mipcare. \ralurile, care determini miiclrile oscilatorii, pot {iA;ner.l., uneo,i ti prin nali8d\ir in.omun l nrvelor. in tlirer"" torm"rii.. .

Dupj moduL de ele.tuarp ! mi:-irii. (- dpos.bes" Pdlru ripuri d o"^il. Oscilatiile transve$ale sau ile ruli , adicn niidrile periodice de ro-tar. jn iurrl unci

"r" loneirudinaln2. Oacihli'le longituditrile sau de langaj. rdrc: mir.;r e p.rrodice o.rotatie in iurul urei axe transversale.

3. Osdletiile verticale, adici milcirile periodice de translalie dupn odirectie verticall.

,i. Oscilafiite generate, adici rrbcirile peliodice complexe, rezultate din(ombinared primelor tr.i ripuri. Os' ilaliiie generdl. iniilnir. fr'\ventinprdc-ti; sint tt; srpldl-x' ti.;!c. toug;l' t;nal-j)eti.nl",i lrc srercal lott":hd'i't|I-

NiscjriLc oscildrorii sinr ,.ra.retizdlF prin inl"rmediuL a doi por"m.tri:aiorile a,".ror pdra'nel ri. o.cil"liileftm?ttluauten 1t ptltlao1n. rn lunclre oe \

navcl pot 11:-

line, caracterizate prin amplitudine mici ti perioadi mare;-

dure, canctedzate prin amplitudine mare qi perioadi mici.In practicl, se urm:reite obtinerea unor oscilalii clt mai lire. Deci,

oscilatiile navei nu constituia o calitate nautic[. Se va considera drept calitaic nautici, lrcPrietatea alei de d efectue ascild!'ii line.

t4

Oscilafiile detcmdintre care cele Itrai

-

risturnzrea trtimpul ruliului;

-

.tis+r!!ocri dm'oord, ca urmare a al

-

inundarea putflit:ili a nal'ei sub 1

ingreunarea s;din cauza aparitiei l

' r educerca dtr:i inriiut:tirii condili

-

solicitarea laa palelor elicelor ;

,

-

aparliE rau]!Studiul oscilaliilt

nicii navei Si a cirornioare, torrnule emptr

Ii studiul oscilaraic: unul lr 9i cel

Sistcnul fix de :-l1aere a ipei linittite-{xa.oE, are sensul p(

Sistemul mobilSrentate G, al naveispre prova, G1 spre 1

Abaterea naver ,:impul oscilatiilor, co.ie axe de coordonai

Se consider: cio.dlaliile armonice.

Dfitlilia 82- Oabaterea in timp aE:ii prin intemed

r@:!de-&r* ahi-tu rFrt_eteb bord,

& ro-

_

, Oscila{iilc detcrmini o seric de conrdrntrc care cere mai importante n", fi "Tiil1li,li"*",jiH;tuneori.

catastrofale,

ih,p;:*llilii"' navei' ca urmare a pierderii stabilitnlii trans*enale pe

'",0 .l''"1#*"ill STilll;":"i:*i:1".*:f.".,,tJrui ruwi si in'rararijror de ra

,,

',^,' ."::[l',1B1l.tii ru api din rauza inr'lrii unui bord sau urrpi errre-

dt" :"#fl$::i::i:$r':ii#'i#ti"*'"'tr'::i'"c-tionirii instatariilor de la bord,.

-

r'cou.ereJ rlezcr nater, cd unnrre a eresterii rezisienr"i Lr inaLnLareSr )nr.rurdl ll.r.r, ond.rl rrlor de

-lun( tiooar. d propulsoarelor ;(oDcrrar.a lJ oboscate a stnrciurii de rpzjsipnla a.orpului nave; ti. p^le)or cli,

"1or:-

aparitia r;.ului de mare la membrii echipaiului.SrddiLl oqilaliilor tacp pdn" din

"ategoria piobt.m"lor difhite alc m".a_:'l:i""":jl.l^.,^:1,:::orrz,e pra{ 1i!: implicJ uririzar -a uror iDorerc simplirica_emprflce

,cr clate statisti.e.

,","]';lilYl ;:':'fi!i:ii f;,;; iiJ'tli;i"''oui sisteme ae axe de coordo-..,

Si.t n uLlr\ dc arcdn coordonareOy,(, are orisine: in ptanul suDrafereiro.f. d JpFr trnrstrtc rr pc r,.i rri ,.. i.Jti cu c.ntrut de eredtaLe C, ai navi,i.Axa u"r. are s6n\ul pozrtrv spf( prova, OI sprn bordul rribord si O( spre rhiti.Sisiemul. nobil de axe de coordonate C:r1.r, are or.iginea ilr centrul decr(uiateC,dln-\.i si :.milc; clddra.u a.ea

t-Lt_-' .it.

li,-

"9: e,.; Egli!

li

,_

.99 _.6 i

I E i I E'l

_l I',agr- >.9I te.?tl-

I for-ale seraPort

IE-lmetrii'c gen,

ale navei,de re-

longi-

E, Iel;l6

.Eilaea

'rl

i alil;l5EI

l

8.2. 1. OSCMTIIIE TRANSVERSAIE

il.i "iJ'ffi i:.:"#JiJi]iii:l"# J.'""

:;$'i*:Tl,r'ilrl:J:"r"un'",.-+li3l*kjf,u"r# jt"lxi:""'J*i,1"y#;":'X."'"ii?il":-?ffi'FtE'rl1;tffi jtiilifli,:i,fi{aea':-'r ' 'j n are in ., rd u,fin,f;hi:;l;;ix.il""ii;.xl ',llilillll'l'i"ff.',1fl,',lll,#"l,JI.; ,'.llr., r 1/3',iif $/;ffii;:,i,":Tj"'j'.:il,,i'rioncar. asupra navei,rebuie

l*"ffi i "r,'qe-t'#t#fli{r"fr ;f d, }:#r #: il#h'3t:,*'?tr? iTl}{""}'.'J:;ft1':"?i'::'i::6fi1i;;;' ..-'""""'",'-r""rttii1ili".tn"t"'u conduce la excluderea posibilitnlli apariliei osciraliilor

8.2.1.1. Determinarea ecuatiei iliferentiale a miscerii

*. :itiilif'e .ffi #-r*:f,rhri.{k r",.# s. ii:

Fig, S.2noqlenjul perturba.lor crre icoare nava din pozilia iniliata dF .chijibru,proctuctndu-i o inclinare transve$ale. D:i.re derinird a"

"'"sr,iJ ;,-, ii",'J;;riiii:,j" jl T:Ii*:,i; lil$r,t:XTi

inceteaze acfiunasa]e, Intrncit in diFaiala libre a aIramet i q, {, i, cglijind actiunea m(navei se vor repeta

Ecualia di{ererla rnomentul l, adi(

In cazul osclanaver a4roneazi ur

-

momentul stcalculeazi cu forml

unde: A este m:rircentrici trans.!'e6alin radiani;

-

rnomentut -i

raport cu axa de m1

in care: 1", cste moiar ,1t acceleralia un

-

momentul l,miscare odat: c,r natermini cu fo.mula:

in .alc: i'1,, este dfati de ra c.r, iD tn

Toate celc toei ncontrar mitcirii iEi!

Introducind inordodnd termenii, !neamortizate pe aF

in care 1,.i : 1.. +de api antrenate io

! r&driL Derio-e nerhcaa in

a sta-

ch de6!ir6

iihiae itr studiuldi f, < 15.),

inceteazi acliunea fr6, atunci nava in1r;;T.;ill Tl$n:::j'.' j"',,.;i"1'r":* ;j:'.'T1lx"l:lil:l:'.":r:Ter.rii e,,;,, *,

"o,""po,,a *i;ii-;i"-;*i'ili'i:"::?li',ffi ::'Hl $:-gliiind acliunea momentelor forfelor dercpe{r .u aceea$i,.r,n-o,,l'ii'fllj"ji.d" fr+drF oi;ra!i;h

,, *"1,.1Ji,:]r:T;:',r; a rnr.c;r;i se ob1in" punrrrr condiri: d" ecrriribru:fi_ rr.

In cazul oscilaliilor transversale neamortizatena\ ei a.tionedz: urmirodrele momenre:

.",J.TTI :*:t"*lt.:ff "*,""J:*;iii,,,",",lji".lipotezei81,sei7,: tdl1,ei ikN--1, (8.3)

.rl": sr,.,ii Br-t, {8.5)i:,;"j:,,:1,:;.:.:TT_tur de inerfie ar masei de api antrenate in mircar{r,tatn de ana c', in tm,.

ulle: -A

este mirimea Jorlei de deplasament i" kN, cE, inillimea n1eta_;:j:'j,Xj',-***'o inifiaril in m' iar e urghiul de inciinarc ;;";ii- -

- momenrd t,,,. at_ Iort"tor d^ inerrie ate mas-i nav.i lt"ular inraport cu axa de rotatie G.r ,i care se determine cu Iormrll

,7,- -

r",i.i tr.N'n], (.4)i:l?:;J;.:.1',1ffi:1,':l,$;',T:l/:iei. iari de a.a ci, in hnc,*, .--'":..1"',1 V,,, al.forlelor d" jnFrri" alF rrx",i dp dp.r dr,,endri inilXiii ::"['jil:i*, carc'iat in rapolr co rxa a" -o1i" i" .i;,.. .J#

\8.2)pe api linigtiti, asupra

raEei trebuie

'rl.G6te ne,iEclatidor

& grnete G,#qit r_I,yE- Fr rl-,,

le atrilibru,cH niScaream$iErari ,i,

*", I,1",.'_[ii':,i'!t,I;i:"i;; il:1"J T,] "#:l,i,l' t; ; "

; "'', *"

",' " ^ ', "

:f*;[jilT: ;i];fi""::lll nT:l"."H,'"i"i"',ii;i:,'i,i;.i';l,t1.-1i + Ac..tl"e: o, (s.6)

l,X :ff k;,'J i J"|k';':"ilff i:i.*,',":l',iJ JT;;:;; "

-"*;

59

8.2.1.2. Rezolvarea ecuatiei diferentiale a mi$irii._.E.ualia diJ"ren{idlj a lni}.)rii, (8.0), esle de ordinul doi, omosenb. cu

coehcren{r ronsian{j, de lorma jncompleia (lips$te termenul .ores;unztrforoefl\rter de ordrnur inlii). Se impa

" (8.6) prin,f/,r ti se obtine: -

unile s-a ficut notajia: i+^Xe=0,

Crr (8.14), solu!

h c"re:I este elongat;9, este amplib

dbtiie, datn de (8.1oe este pursali

date de {8.8) ti se trP" este faza ir

linittite, datn de (8.Utilizind relati;

prioadei oscilali or

8.2.1.3. DiscutarConcludti expla

In discutarea s(trei cazuri ,care pot

C^z\I 1. VilatDaci ln mome,

la'liile (8.15), (8.16)

Reprezentarea Ilui ,, pentru care tE9i de valoare nu15. .iadiciL a.at : hr, h:1J 2; 3 j .,.; co. P!6et : (2h

-

r) El2,: (2h

-

r) Tel4, hPunctele detrr

a soluJiei (8.r9) (fu

6,-V^{nrlr"", F1) (8.8)- .Obspma!ia.8.?. Dac;, in Lrma reroLverii ecuatiFi diterenria.le (8."1, seobline o solutie de torma \8.1). in care G\ are rotut pulsagiei oscilariitor riani

rarsale neamortizare pe ap.i lini:ti{:, arunci se poate utiliza tormula i8.8)pFntru delFImjnarea valorii acesrei pulsafii IEcuaria caracLeristica pcntnr r8:?) cste:

'+ (0g:0 $i are r:de.inue:

(8.7)

(8.e)Solulia ecualiei diferenJiale (8.7) este de forma:

e :tc' e"' +ic" e"' :,c',e'de' + c" e-\de'Dace tn (s.9), se fac notaliile C,:+e,+C"h, C,:;p,-C,li)

''P.

unde:

60

' o I r":,

.fu +P. I o

ii sF lin" cont, de fapld ce, e'"e' I e r"e1lz . .os oe/, (er6e' -

e-'!'rzi _: srn o.f, rezuta:I : Cl cos (oet + C, sin tDcr,

unde C,, as sint constanle de integrare ti se derermine din .ondiriile initiale.ln acest caz, se pun urmitodrele coodiln inigiale:,:0;:iq_qo Si ,:0; +:po.

Din prima condi9ie rezulti:Ct: 9a.

Deivild (8.10), in raport cu tinpul, se obfine: .iQ

- -Croe sin o,t + Crro, cos o,t,de unde, daci sF pune a dour cond:tie inilial.i,rczn\l't:

G:i"/'". (8.12)finind conr de (8.11), (8.12) .c obt;ne indefinitiv solutia ecualiej diferenliale:

9:90 cos (),l1 &sin (,)nt. (S.13)In continuare, se fac notaliile (v.Iig.8.3):

Fic,6.3 90 -

er cos Pe; +o/6Je : 9, sin pe, (8.11)e,:JeiTGJ4F; (s.ls)ts po: io/eo6,e. (8.16)

(8.10)

{8.11)

rhtEe, cu

(8.7)

(8.8)

8E-i. (8.8)

(3.e)

-! {, -c,ti\t-

Cu (8.11), solutia (8.13) are fo.ma finali:9

-

pr cos (oe, _ p?) lradl, (8. r 7)I este elongatia oscilaliilor transveFate Deanortizate pe api tinigtitl;ej este amplitudinea oscilaliilor transve$ale neamortizate pe api l!

nigiitn, datl de (8.15) 9i carc se mSsoari in radiani;oe ste pulsalia osciiatiilor transversale namortizate pe api liri;tit1,

datn dc (8.8) 9i se misoad in ladi,s;fo .rt" laza iniliale a oscilajiilor transveNale neamortizate pe ap5liniititi, dati de (8.16) ii care se masoarl in radiani.Utilizind relafia de definilie 9i (8.8), se stabilerte fcrmr:Ia rte catcul a

peioadei oscilaliilor transv$ale ale navei pe apn liniitiu I.1t-.-=

Te : 2nl6e : 2El /,,r/rc.lt f.i.

(8.10)iqitiare.

aj. (8.r 3)i!-E .r- fu. 8.3):

8.2.1.3. Discutarea solufiei ecuatiei difeienfiale a miscerii,Concluzii.Sj indica!ii utile in proiectarea, constiuclia$ exDloaBrea navelor

ln discutarea solutiei (8.17), a ecuatiei di{erentiate (8.6), se au ln vederetrei cazuri ,care pot Ii irtilnite ln practica expLoailiii naveior.

Cazul 1. Vdteta &ngh,iul.ald dnit;atrd nuld.Daci in momentul lnceperii migcdrii os.ilatorii q0:0, atunci din re-

laiijle {8.15), (3.16) rczultd 9r: po 9i P+ :0, iar solutia (8.17) devine:p : 9o cos orl [rad].

(8.18)

(8.1e)(s.11)

'*t iDifialn.(q.12)

L -

o5:Lire ln

Reprezentarea graficl presupune determrnarea in prealabil a valorilorlui t, pmtru care functia (8.19) admite puncte de extrem (maxime gi minime)9i de valoare nu15. Astfel, punctele de extrem se obtin pentru cos ool : + 1,adiceoet: Ar, h:0:1:Z:3:

-.; co, de unde t: hrl

i"::,, i: :, ::_ h a s h i \ ! a, n i,1 i | ; a I a ra, i |, 1 n.,,,*f *rT jitr,:1,, n:"1J i.a;f l,illrr::r. i: >? 0._atuncj djn re_1".1,/ ilr pistreaz!

ln continuac,enfa rorrnei di4rare penoadeL,

I.iA.8.l

'.. k';,,1'""::illirl, $drhur f-,r.,iei .18.r-, ,r ris 8.4, p,p,in,; unn._

'H$ii'+-#fi;* gli#ilhi'';"*1';'''' *'"', , ,1::', ii, l:l;1,1,:;:.:i',:t1"L;,,il,i,,18 ?,, d:i,# ,,., .,i"

u".,,..:iri,*Ti,,l" ." .J,-,:filli',1"t;]",.i:1,;, ***,.'.,",,j:.::l,*,":.::i{i:,f,j"riiifl;"::.;;.;;,1,..,.-

". _,.,,0,;

.;";,,.

,-,i.i;"i:,;;' 1,r;ll *:,iri::l;.,0- *.','Joi,ii, .u d s a,,,a

Htrf $ildi ;;r'ffiri:ffi ili$*h+i : : {r,"1li:Trnsnrir,tryl,;'i'ii"iJ,::ffi {,ilI_}fft*f I'J2

. -

S consideri prnrrexrune pe raml!diagramei de tant6: Crlt, deci ,51 :tnlii initiale. Fie ?.statice. Intrucit, rEdecit in 7 lc-V-Ltilii ini1iui.. ;n d.[.cul6l perioadei cdperitoare (pedoada ,

Daci diagralltacrescitoare {fi& 8.5,tGM,), > GM,. Fdrtia dilerentiali a Eilaliilor trairsversate,obtinuti este mai I

Con.luzia 8_2. Imrti aproxima,tie atiUL, pentru unshiG8.1 ;umai daa dLinci.care, nu are F

Dupi cum se otdeci intre oscilatiile rcuiind aceasti legitl

In coltinuarc, se va trrezenta oenga {onnei diagrarnei stabititnlii discufie, carc pune insrauce asupm acestor-- evidenln ;nfk-

&-ata I :

r8.20)

1E-: si:noli-Ji.

8,1, per-

Iriq. \:

, -

S".otr"id"re pentru inceprt, diagrama stal,ilitilii statice {i{i Dunctderntexrunc pe mmura cresc:toare (fig. 8.5, d). punciLrl /, de a"spri"a.i" orliagramni,dc r,"ngerra tusj la er in orj8i|l..,ne ulrimul in."r"iC.V,,-

|,.u,. oe.r t..t -c.wtq ii c.tF vatdbijj lormuta ,uer",-nrri... r :ldbili-ririi initiJlF. Fl" 2. un pun.r apalinind por;iurr:i /J/ r d:dpr"rnp:..drritirariisra .e. rnrrJ, . panra rrnSeniei la Jia8rrmi. in punrul)..1" m.i mi.idr.'i i,) /, 1r;.1t.\"

.C.)1,. deci utitizareJ formutci In.ra"e rri p a stabilir;nr,1nrrare.,)n ccualra drtcrpn{ial; J mjt.;rii ti a relJtipi (8.t8), ppnirx Ldl.uluL pelrodoer o:.rtr-lrdor lran.\eijdtF, du,e l3 obrinFrFa ,uor ir.ori .co_perl_oa-e

'pcnocdx obrrnutl es{. nai mic. de.ir ("r rerl;r.Daci diagrama stabiti$tii statice arc punct de inflexiune pe ranuracls_ citoarefgg. 8.s, l), punctului 2, aparlinind porfiunii fr, ii corespunde\9M)3 - C.V.,. l:olo.i, Fa forrnuiej mFta.enrrice ? srabiliri!ii iniridtF in

cda-tia.-drhr"ntial; a.mi;cirii 5i 0 retatiej r8.18), p*,- ,a."rJ f.ri""j.i "r.,_ral ro- lmnsversrte, du.c la obirnarAr uno- valori dcs. operiloa," (p"rioadd

oDtrnur'.:rn m, mJr- dp(il ..d redLl.. .rat 1u:.in 5'l. Formula 18.t8r poar" fi uritizdt; la det^rmindrea (u rnu_m'm afrox||nJLi'..d ['.rrordp] os,rldlirlor rr:n.vpr

*+f-i,p*".ffi-i***1ii;#;-::+lss* , ,ii

i,,ffi ;{#-i*ni5triiill'-".-il,#$di'i:*!,ti$,;"qii,i6g{,tt.l*$;g}ffi h}"tfr ilfr i',',-'J."q,Fltj:'li,'f l;{*:rrill"i;'r**"**jh,fl*1{Hi':^j'rl$dxt-'i*'l?H"+ii{{i::k$t$:is'1,1*il'r"" j'$i":ii'il"?"#

Relat!{ l!4anor elemente otilor, soprastrucimulei apror.imati'

delinii de:,,.,11o*:"*t de inerfie I,,, al masei ravei, fatd de axa de ,ot"ti" C",

".t"

r,4: r,, + 5/,, ltmll.

r,":\_e,att :\_t!, + z,) dtt trm,t,

(8.21)

(8.22|

in carc: zr" este rtruclie Si l:timeaat invelitului ext

-

pmtru iIIl""r"_"u"'- a*j

sau:

unde: ,r,'este mIa cuptele teoreticfine'fe al supraf4e

Dentru inll

in care: /rr ii B-iai m, masa aceslCalculul 1-, r

(tabelul 8.2).

^-"-,.., I

"",.;.,1"

l;"ii::;,fr,:il:1ii.l il'::*,ni k.",tff;i Jff ".#. 1i;!i.,"U*;i "l;-Peniru electuarea calculelor pra.tice, relatia (S.22) se pune sub lorrEa:

/,, _ ,I t(KZ _ a), T j?. m. _ ,i i,, L*.t. (8.23)

:,:i::'in'"".;;T.,*;"ff:il *.:"';'3":.urui i, apa4inrnd navei; v, ei#:;,* ftirn*i.rtyl #ri,.;..dj;#:ffi ":##;::f *:lX',1e,.f1-KTfste distanla..tn '', a" r" ;-""iJi" e.;ii"

l: SJ.{'l '..,,

i _ Tln se faqe iporeza 8.4.g*frtl,f f

""1;i:,irJ::fiilfl "H:i,$',"1'#,ii,.il:l:t jrL:;,XxT,,*;

ormenstuntte Oir ,r IIn b"za ipotczei B.,t sF Doate s.ricl

64

t,.t: nt(b? + h?)ltz, i:1, n y11,,21. \8.24)

ih.i metacen-pEetou oscilafii,i studiat in

dG-ul tansve.sal.d i8.18) rezuttiF+-rhir; pentrui,

- iiolul :).seu, PoateI tuula (8.18)lfft: Aansve$ali3 b Factici :iF iD fila1 atitde tipul

'ifansvelsale& r:.ici_1r momen-

(8.21)oiie Ga, este

. zl navei. ln

(8.22)

a masei ele-lz ata dc ro-

mrei; y, 9i

I

I

(8.25)

in care: zr," este masa lnvelitutui exterior in t; , ti B,tint lniltimea de cons-tructie ;i letimea navei in m; z!. ste distanla, in m, de 1a centrul de $eutateal inveli;ului exterior, pini la planut de baz!;

-

pentra invelitul punliior sau platformetor, presupunind c[ masa lorpst- uniform disrribuild pe suprdfa{i:;

-

S.r /l\--.n',L.Y;L "

,2- Je' tm'z' {8.26)i,"e: B\CwehUitl,a Vllll2), (8.2j j

t@ snb forma:(8.23) .a

I

undp: ,r, estp masa invelisului in | : -y,r, i 0. n sinr "enil;rin.il. pun(ii,la cuplele ieoretice al plarului de Iorme, in m, iar Cp, este coeficienlul clefic"t- al sulrrfFTPi acesleia i

p.nrru invelitul reugii:;-,

- n'lhi B!-,,t t2 m, ,8.28).

itr care: ,, $i 8.,,! sint in:itimea respecti\' t:tjmea maiimn a teugii tn m.iar ,,r, masa a'esr.ia in LCatculul 1,., cu fomule (8.23), (S.24), se efectueazd sub folml tabelari.(tabelul 8.2).

Tab.tst 8.2. (^teul[t r,, ti- _ m)d dtuentului i,I,r este mo-

centralide greutate

taiiorm dis-&eotoaghi cu

l*,'

(3.2.r)

Tob4ul 8,2 (co|ti\\arc)I ,''";l

;I rxII'+xrvl

lt-

!aEn,4t

tx\ r

respectiv de parateati cu relaiine

(&, .rf + rit

',

lInG -""). +)i","

in care: C,, C" s8.7), p este densit

Cu o precizie

in care: C3: 0,21"- qi 3f .. c

introduc in {8.21)se obtine pe.joa&

Lheori, se catrimativi de {orEunde:

-iI este masinerfie a masi !a

Cu (8.37) :i il

unde: C:0.:-l

Iatorle coe6ci

penhu s1rtiia sugrrJala

^i

E

)x-

ld + t'i\

/'r-!\I1 T X \\'I: ,. tm:

:',,',i,T#;j,r,,.:ffi *#h,+:l*,1"',':.?ili,.+j:,T*:":::ilJs:'ii'll"i',,0,.'# ;:ij;iilt tl*',il',rli:'"*l'i ri -". """, pl ""ii:

L, lI'B t ; tl.4aD -r D. 12) llmll, (8.29)il,*ij1""'t-"^3a::-larei in t, C,, toeficientul.de finele al suprafefei ptu_roelri.ltul de finelF bloc rl car-nei.2) Formulr hri c.E. pavtc;ko:

r",: jr(4, +D\lt6 Lrt ,), (8.30)3) Formula lui Doy6re, consideri corpul navei de iorma unui parateli_piped cu baza un dleptunghi, avind dimensiunile A, $ZEi:

1,. _ .II'ft 4AZ,r i2 irnl,, rs.tlrund.:,Kc

^te.ora.cntrl Ui dp g]euiate al nrvei in m..,.,.il::fi :'1.":"i;'J ;,li;"

""1 tr;:i "i;,i".,:i:l.J",j; ll_HiliJ: d$li

;ii: Ji:ll;illl"'^.eem"nL d" inerriF "e pot iar'ura.,i "i;l;i';r ;;'i;;-31-: (01,,1 + 3r,,,)lz lrl.',i, (8.32)

unde: 81,.r ti 31,-, sint momentelc de inerlie ale masei de api antrenate lnm$carea de rotalie, de citre o navi a cdrei "r.".i "r" fr.;i d;-;i!p.;i;;i

66

FrC, 56

rccpf.tiv dc paralelii iped. \'alorile cclor doui momenre JF incrli" se cai(u-raazt.u rtdt r eLr ,3/,,,

- t;2 pL,ntB.TtB:, i afr) lrm,t. {8.3J)a

31,,, -

-8.;3 P..,J,zBi itm,t, (8.31)jn taf": 4.. r, sint .oeficiFnti adi:nen-ionati si .leDind d. B. f (Iie. S.b8.:l ,sle densilalea apei in 1 m3. iar 1,,,,. 8,. I dim,n.i-rnili n:r.eii.r m.(u o pr..iziF mai mi.:. 3,1.. se !oar" ""1, uld ;i { fornula:in eat.: ("- 0,25...035. 3l- -'31'' r 2' (8 15). { ti E.l-". .al.ulate.cu aiurorul Jornulplor prazpnrJrp mdi inainrF. seuitrodu. i- /8.21) dprerminindu se /. r. .dre "" i1,li4"az; apoi in r8.t8)

'ise obiine perioada I^.Un"ori. s. calculiaz, dirFcr momen,ul de ir."r!,F /..,. (u o r"ldrj" dpro-]ima,i!5 dF lor ma I I,i: MKa,1: ^Jr;,/s itm,l, (8.36),LndF: :lI p.rp masa nave; jn r, A depla:am"nrul in lN rrr ,( | Fsr.,azr dern'rtle a mrscr na\Fr St ap.r anlren4,c i1 lri..dr- qi sn dFje-miF, , u reldl;a:

de formulethie, care aud. {o.Ioa unei

(8.2e)+ltulei plu-

:(8.30)

(8.31)

ni;c?re odati

.:-z, pnn rn- under C -

0,7 ... 0,87 sm-l/,.

K,^: CB"iz ltr,).Cu (8.37) 9i (8.36), lormula (8.18) devine

1I::T;: cB,l I Gitr. llsl,

. Fiq q.6

i8.37)

(8.38)

O.ien-

(8.32)4li aibenate ir

\ralorilb coelicieDtului C, rezutti din date statistice, astfel:-

pentru navele de pasageri, C:0,8...0,87 sm r/r.-

pentru nrrelp de_ transporr m;rturi 8, nerat. C _ 0,8t :m r.:;-

penrru navele miljlare, a -

0.-l ...0,'5 srn-.!;pentru submadne, C:0,35 sm 1/, la ime$iune si C:0 75 sm-vzlr.uDraldte.a d,- elipsoid ti

87

.

Obstmalia 8.1, Formula (8.38) poare fi urilS personalului care exDloa-fFaz: navele, pcotru dFterninarea i,"lorii aprovimlaLive a p"r;o"a.i oJ.ifi:ii".j,,iHi.J..il:#,morr.rare pe ap: rinirtita. corespunzitoare direriieror, .limirele de vrriatie ile perioadFi 7,. rezultat. din starisri.il" itcutera crleva flpurr reprezenta,r!.e dF nave. sint datF in tabelul 8.3.?ar,lzl4.3. V.loril !.rioadi oscitafiilo. tu.nsversate qi longltudilste al6 navei !e ald linirriri

tr{omentul st

in care ,r este brstabilitdlii statice

ts: llt: tl

l0 000...30 0005 000.., t0 000

slergatoare de ghcaie

10...1{7.:.IO

6...8 i i...,

_t-

Din asem:na23"'3": ...: 1-,

t L tVl

unde s-au Iecuth _^

l"''I

I

l,tI fJ."Kt"Pt

8.2.1.4. Calculul perioadei oscilafiilot transversale treemo izate alelavei pe apd linigtiti in cazul amplitrrdiailor mari.

Ddci pe rimpul os(ilariilor rrdnsversale, unghiul de inrlinar" depa5e5r"oomFnrul (orc:puoriior por{iunii de suDraDunere a djasramei srabiliritirslrli'F cu li-ngenra.ld

-ea in o.igine, pr.;izi; der.rminnrii perioadei 1",, eu

rormula (5.1b', scade, U mFtod: care .ondu.e la inldrurarea a(estui inconve.enr s. hazFdz: pe utilizarea didgramei sLabijitalii :rafice, (orpspunz;toarF

srtuahpr clc in.ir.are a nave. Tn continuare, se va deduce formila de.J.cul. a perioadei Te, prin metoda amintite mai inainte.

:c (on"ideri diagrdma srabil:t5rii statice (tis. 8.8) si un puncr. r. aoar_tlnind ".csfeia. fi" I. unehiul de ruliu core.DLrnzitor punciLrlui

" neir,"

car' u'rneaz: .j se calcul"ze perioada. S" dur?, raneenrj in or;eine. la aSrama.s'dbilirilii srdtice ti sp DoLeaz; .u do. unghiul-seu dc pant-5. TdnsenraIn u i._dragrama :c suprapun pe porfiunea O/, cireia ii cor;spunde un-h.ulroo. 5" dure tdSpnia in /, la diaeramj Si se noreazd (u a,, unphiul sau de;an1i. Arasli Iangenti sF^supr"pune cu diagrama pe po4iun.a /2. careia ir(ore

]lomcntul stabilir:iii transrprsal., .orpspunz,rorn4, : Ats,

9 de.:incli-

in .care- lr este. bratul stabilitSjii statice ;i care se deierminn dinstabilit:lii statice (r'. {ig.8.8), penrru pdnctul /:ls ;,

-lr'.22 F3J,r...+n'-t:. lDi., I,s/ 3+ . 31 ,. 18.40)

unthiului

: n-tiri -!

-t0

| 5-.-I0l-a. i':-'l

tr_.. i

(8.3e)diagrama

(8.4r)

d-?i;es"teqahilitilii

de cal-

Fg r; -pntru@i ra d1a-

Targenta[nBhiuI

lsi! de pan-L:, careia ii

^-,,,Din aseminare-a trionghiurilor: 017,,$i01,,,1,,; 722' ,j. 12,,,2,,:2J3,"'3": ...; r-7 n' 9i r-l r"'t", reznftalI 1- hote Mt\o9t sis,- ,t,,cM,), e j D?.,-a,,cnlr)29....

8rs, : [,,(c "). 10.

unde s-au Ii(ut notaliile:lo-qolqt \-9tt9i hz-92,p: ...1 h, 1-q,.tlp (8.42)

, {roaPe, seIFEia Ia dia-

'Introducind (8.41), in (8..10) se objin:ls

.40{Gvr)o -

.4rrcl I t\t + h,\G tt1,\J +... + e..r(c lZ.r. ,, q -

It 1 1:lX a,t-,rz.l,le t*1.Crr (8.a3), relatia (8.39) devine

.v" -

a jI r,rc-v"r,lc r.v,,..

(8.43)

I Aceastl ipotObseruli; 8-:

teza unshiudlor lde tangaj nu depaacest tip de oscii,rpede-

.32.2.1. Det6

Se consideridegreutatec:,eclilibru,- producjca1lr se oDpne ca

In cazul osciltul t considerat, :

momentulmetdcentice a sl

unde: Gl1, esieun8hi1]l de irdi!

(8.4{)In

bil !!iis 8.2.1.2

utiiiira momentul sta-ecuatii se face ca la

(8.4s)

Utilizarea Jormulei (8.45) este Drecedatd de urmetoarele oDratiuni:, .. -

s", .rabile5tc. ,pe diagr,-na ;rabil;r;{ii srarice, pozilir 'punirului r,oellnlrd op undnLuL cle ruIU a, tmpuq.

se duc o.izont,tele ti trnS nlel. lr dirgrama siabilil;(ii "Ldri.e, inpunctele i: t,,-1, de desprindere a acesteia de tantentele anterioarc;

se mesoari qL, i : W-l (v. fig. S.S) 9i, se calculeazi coeficienliiht, i:0, r 1, cu {ormuble 18.42).

-

utilizind propdeiatea 5.9, a diagramei stabilititii statice, se deter-min: iC)I")., r' 0, /-l (v. fiq. 8.8\.

8.2.2- OSCTLATIILE LOr_ei{rrDrNALE

DcJi]1i!ia 8.5. Oj"ilali:l lonBirudinale sau de tangaj sinl mi!.ari1e pFr:odice de rotrlie pe care nara. con:iderati cr un co-p rigid, le efectueJzitn jurul axei transJersale centrale de inertie a masei sale f

Pozi!ia navei. p" t:mprl elccru.'Lrii os-ilcliiloc de tcngaj. e,te dFfiniriprin unghiul dF i'1clirlr. lorgitudi.lald 0. Tn convcfllja dF s.m4", 0 ro .on-sideri pozitiv Ia aprorarea n,rer.

Oscilaliile longihrdinale p|lre funclioneazi in p.ezenla ipotez)lor simpli-Ibotez& 8,5. Re/,Iltatta Iortelor ce actioneazi asuDra navei, trebuie s:

fie ndt pe lrrtreaga perioad5 a mi;cirii rAcea'sti ipoteZn exclude posibilitatea apariliei oscitagiilor verticale ti

pre$rpune inclin:ri loigitudiule izocatqne, care se ob{in numai prin dis-pun.rFr cFnirului de Rreutat. C, rl narei, in cenrrul F, al plulifi drepteinitid. trxa d- ro "ii:. CJ, toincide ru dr"apr, d. in'er.-.iie a plur'rilor

Ipoleza 8.6. Momentele ce aclioneaze asupra lavei iu'componente ne-nute n.rmai in pLJn lonsitudinal E

78

e{ualia diJeren}ia1i a mi5cirii oscilato i se vastatice calculat cu (3..1.{). Rezolvarea acesteiii se obtire in final:

I__,;j- lsl.A I ,i(crr.r,),

-

momentulcu axa de rotaiie

rn care: lr, ste t

(8.,13)

(8.44)

-

face ca la-Eentul sta-

F

I

II

t

I

I

I

I

I

I

A.easli jporpzi. cx.lu-de posit-ititdrcd aparilipi o".irdliilor 1-ans!Frqaie..

ua

Mrs:

h s-*,: '0 6te etotrta0/ este a-md

Eni'titi, se cahn,.' .:\ Fte pursa

se calcutaza crl Ip. este faz-a ir

leazi din rela_tia (DiD relatia de

oscilaliilor longit!

8.2.2.2, Rezolvatea.

Se:lmparte (8.50)

3.2.2.3. DiscdConc!fle4

Discrtarea solprezentate la ! 8.icaard puse in dis{y4lorile parametd.

Perioada.Iu. cIntordeauna G.l-lz -

ecuatiei

(8.5.1)unde s-a llcut notalia:

.

oe i= ri lGMtlI,i Ls-|.Obs?mdlia 8.6. Daci, in urma rezolvarii ;cu'itiei dilre solutia de folma (8.1). in care o" are rohtl pulsatiei

tt-::-oe

-

t' AGl4zlId Ls-1 (8.52)urma rezolverii ecualiei difer.n!iale (8.51,, s.in care o. are rolul pulsaliei oscilaliilof longitu-obtine solLrtia d" formr (8.1). in .ar..,

"," tolu, Pulsdthi os'iid!iilof lonSiftr

dinale neamorri7ar" pe apa linirtiri. alunci se poale utilizJ i8.52) penlru cal-dinale neamortizate pe ape linigtitn, atunci se poate uculul valorii acestei pulsalii I

Procedind ca la l-8,2:t.2, se obline solulia ecuatiei (8.51) sub forma:0 : Ca cos 6)0, + Ca sin (nl),, (8 s3)

unde C";i Ca slnt constante de integrare 9i se determinX ain conaipife inigiale:t:0, O: Oo ii ,:0, 0 : 00, car in definitiv au valo leic,: o.; c.t: 6o/G)s,' (8.54)

Inlroducind in (8.53). constantele Ca, C4, date de {8.5a) ti facind notatiile:0o:0, cos pe | 6"/", : 0, .i' P,.

undei

rezdtA (8.s1):

(8.55)

(8.s61(8.57)

s,:l/o;+rrl,t"l:,ts Po : 0o/0ooo,

forma armonici a soluliei ecuatiei0 : 0, cos (tal

- 9s)

Ca.lculul oeric(8.59), impura det,cunoscut faptul c:

aareratd indE 5e deter-

(8.4e) pe aprqe esle pulsaliJ osrilatiilor longitudinate n-amorrizaie p- apt linistiri.

se rar.ur.dzi cu tomula (8.52) gi se mesoar; in rads;.

90 "ste lara inilirtt a o.r ilaliiJor n"amortizale pe dp; tinistir:. se calcu-lead din rclrria (8.5-) 5i se mi;oaf; in radiani. '

.Din r.la(ia.de definiiie ri {8.52r.sesrabiLcsteformulader:Liul: perioadeios.udlrrlor longrrudrnrlc neamort'izare ale navpi pe ap: linir.irJ:Ts:2ft16s

-

2n V ry!l/A-M, tsl.

ln (8.ss,:0 este elongalia oscilaliilor longitudhat" p"

"pl tinigtiti;.. 9, esr" a_mpliludinea osciJa{iitor longitudinaJF neamo izarelln'+lr1;. 5e calculF"zi (u r"ldtir ,8.5b1 gi so masoara in rrdiani;

Fia. 8. t0

- -C,lculul perioadei oscitatiilor longi{udinal" neamortizaLe ale(8.5q), i mpun. .d"tcrmina rea preaLbill a momenrului de iner!iecunoscut taptul ra:

r,^_ r,u + 3r", ltttj,l.

r=care, lali. i-{8). (8.49)r loogitudinale

(8.50)

nir,rb C v.

(8.51)

(8.s2){8.s1), se

(8.5.i)firiril ootaliile :

(8.ss)

(8.s6)(8.57)

(8.ss)

longitu-rlt.'lr prtru cal-

;r sub forma:(8.s3)

,n&.6ne inifiale :

III

I

8.2.2.3. Discutarea sohtfiei ecuatiei diferentiale e miscdrii.Concluzii,$i indicatii utile io proiectarea, consbuctiatr exptoa&uea navebr

Discularpa_.oluli"i i8.58r, a c.ualici dileren!;ate (8.50). Fjr" similarr .eleiprczmrarp rd S 6.1.t.J. ln reprerentirile grafi, e rfig. 8.t0J p"nrru.ete trei:.ii^Il^p::"-ll, d-::'li. r0; 0; 0; - 0 oo < 0r. se modif,ci doar norariil" ,ivaronre psramPtfttol.

Periorda fr, cdlrulati (u fomL d {8..5c) are numai varori re"l", deoareceintotd"auna cll L _ B't,t L _ a _ o tE.\,t L>a'.

(8.se)

1,,1. Estc

(8.60)

l{omentul demin: cu relalia:'..

tanla de

ine4ie .I,,, al masei navei, fati de axa de rotalie cj,,'se deter-

i851)

a

l-lare6

";,

|jg. E.ll

In relalia (s.6

fr".

asm:nitoare celortrIomentul de ir

i^'';:ir

Lzu.j. lrorn"nrulde L,'rer\ie.I,y sc Lleiermin. cu ajuLorul gr,licului func-ti"i n I'\\,.",n J,iin..l. r"parli,iJ m"rlor u,)ira"" p. lursim^J ndv"i{fig. 8.11). Aria $prafetei delimitate de graficul funcliei a : I\r:), axa:yt9i dreptelc, : ro, r : r" reprezint: masa totaft, M; a navei. F\c i, i

-

0, n,cupl"l"r"or,ri.al" phn.rlui d" Iorm".i n,i,0.r. ma.e'e uniL:re ,orcs-purrzarod b a,e.-ord. \\r

'ra,r"\p1J, ,"r,ral" d^ iner1l",6y. ""re -:ri..;la disianlJ ,Irti d" x| \.dlij;nddi rrfa J m"..i "l"n"n d'^ {31" d Cysi apliclnd teorema lLri Sieiner, se poate scrre:

rnlegiLrcl (6.h,

onde s-a ficut noiS h.ri' : l-

* n.:

asemlnetoare celeiln .al.Dtul rir

, tn .\-xt:t-_tt^,1:Ia [t, in car ], : .

Cu (8.65) ii (s.lrq.

Ob\nuit,