TRABAJO ENCARGADO

PROBLEMA 1.

Una barra delgada que pesa 140 N est sujeta mediante una articulacin sin rozamiento en el punto A y un resorte en el punto B cuya constante vale 8.80 N/mm.

a) Cul ser la frecuencia natural de oscilacin para pequeas vibraciones?

b) si en el instante t = 0 se hace descender al punto B 25 mm respecto a su posicin de equilibrio esttico. Cul ser su posicin para t = 20 s?

SOLUCION:

En la figura se muestra el DCL de la varilla en una posicin definida por un ngulo , a partir de la posicin de equilibrio

PROBLEMA 2:

Un cilindro de masa y radio est conectada con resortes idnticos y gira sin rozamiento alrededor del punto . para pequeas vibraciones. Cul ser la frecuencia natural? El cordn que soporta a est enrollado alrededor del cilindro?

SOLUCION:

Hacemos el DCL del bloque.

Aplicamos condicin de equilibrio:

Ahora el DCL del cilindro:

Ecuaciones de equilibrio en el punto O:

.(2)

Ahora analizamos cuando el bloque se desplaza:

Por las ecuaciones de movimiento:

Para el cilindro:

Aplicando las ecuaciones de movimiento:

Por teora sabemos que para ngulos pequeos y , en la ecuacin (2) reemplazamos estos valores y nos queda:

Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (4):

( Sustituyendo la ecuacin (2) en esta ltima tenemos:

Por cinemtica a partir de figura sabemos:

Reemplazando estos valores en la ecuacin (5) tenemos:

La ecuacin (6) constituye la ecuacin diferencial de un MAS cuya frecuencia circular natural es:

PROBLEMA 3:

Una barra de peso W y longitud L est fijada en la posicin vertical mediante dos resortes idnticos cuya constante es K. una carga vertical P acta sobre el extremo superior de la barra. Qu valor de P, en funcin de W, L Y k, har que la barra tenga una frecuencia natural de oscilacin alrededor de A prxima a cero para pequeas oscilaciones? Qu significado fsico tiene esto? (indicacin para pequeos valores de podemos tomar cos =1)

SOLUCION:

PROBLEMA 4:

Una barra de 1 m de longitud y 60 N de peso se mantiene en posicin vertical mediante dos resortes idnticos cada uno de los cuales tiene una constante igual a 50 N/mm. Qu fuerza vertical P har que la frecuencia natural de la barra alrededor de A se aproxime a un valor nulo para pequeas vibraciones?

SOLUCION:

i) trazamos el D.C.L. de la barra en su posicin de equilibrio y otra con un desplazamiento con la vertical, (a) y (b) respectivamente.

(a) (b)

Partiendo de la figura (a), vemos que se encuentra en equilibrio entonces podemos aplicar equilibrio de fuerzas, en este caso respecto al punto A.

Tambin: y , entonces en la ecuacin anterior tenemos:

En la figura podemos ver que existe desplazamiento, entonces aplicamos la ecuacin de rotacin en la varilla:

Ahora sabemos que: , entonces descompones las fuerzas para reemplazar en la ecuacin anterior:

Por teora sabemos que para ngulos pequeos y , en la ecuacin (2) reemplazamos estos valores y nos queda:

Remplazando la ecuacin (1) en (2), resulta:

Por dato sabemos

El momento de inercia de la varilla es Reemplazando en la ecuacin (3):

Reemplazando valores.

De donde la frecuencia circular es:

Para , se tiene:

PROBLEMA 5:

Cul es la frecuencia natural de vibracin del cilindro escalonado? La masa del cilindro es de 45 kg y su radio de giro es de 0.46 m. Utilizar los siguientes datos:

; ; ; ; .

SOLUCION:

PROBLEMA 6:

Determinar el periodo de la vibracin para pequeas amplitudes del desplazamiento en el sistema de pndulo que se muestra.

SOLUCION:

PROBLEMA 7:

Determinar, para oscilaciones, pequeas, la frecuencia natural del sistema. Se desprecia la masa de la barra rgida que puede girar libremente alrededor de O.

SOLUCION:

PROBLEMA 8:

Un disco de peso W y radio de giro respecto a un eje horizontal que pasa por su centro rueda sin deslizar sobre el plano horizontal. Si el disco se desplaza de su posicin de equilibrio, hallar la frecuencia natural de la vibracin.

SOLUCION:

En la figura se muestra el DCL de la rueda para una posicin cualquiera X. Las fuerzas que obran son: el peso (W), la reaccin normal (NC), la fuerza de friccin (Fs) y las fuerzas elsticas Fe en cada uno de los resortesAplicando las ecuaciones de movimiento se tiene.

Sumando las ecuaciones 1 y 2

La cinemtica para la rueda muestra una relacin entre las deformaciones de los resortes y el desplazamiento del centro de masa de la rueda

Reemplazando estas cuatro ltimas ecuaciones en la ecuacin (3)

Simplificando la ecuacin

PROBLEMA 9:

Un cilindro de peso rueda sin deslizar sobre un prisma tambin de peso Despreciando el rozamiento de la superficie horizontal, hallar la frecuencia natural del movimiento oscilatorio.

SOLUCION:

PROBLEMA 10:

Determine una expresin de la frecuencia natural para cada uno de los casos mostrados en la figura. Las vigas son uniformes con un momento de inercia I y mdulo de elasticidad E. Desprecie la masa de las vigas.

SOLUCION: