92

Indikator Hasil Belajar

1. Memahami konsep getaran dalam kristal

linier monoatomik

2. Memahami konsep getaran dalam kristal

linier diatomik

93

BAB V

DINAMIKA KISI KRISTAL

A. Getaran Dalam Kristal Linier Monoatomik

Kristal linier yang mono-atomik digambarkan dalam gambar 5.1. Indeks posisi n

berjalan dari - sampai +

Gambar 5.1 Getaran dalam Kristal Linier Monoatomik

Kedudukan setimbang atom-atom itu dinyatakan dengan koordinat tetap: 1, , +1, +2

....., yang masing-masing terpisah sejauh jarak a dari tetangga terdekat. Getarannya adalah

longitudinal. Simpangan dari keadaan setimbang masing-masing dinyatakan dengan

,........,,,...... 11 lllll atau massa setiap atom adalah M

Gaya yang bekerja pada atom hanyalah dari tetangga terdekatnya, dan besar gaya itu

mengikuti hukum Hooke, dengan tetapan gaya: . Persamaan gerak atom ke-l adalah :

lllllM 11

atau

11 2 llllM

diandaikan bahwa solusinya adalah :

tklail eA 0

dengan: A0 = amplitude getaran

94

k = bilangan gelombang

= frekuensi radial

Substitusi dalam persamaan gerak diatas memberikan:

iakiakiklaikla eeeeM 22

atau iakiak eeM 22

Solusi untuk frekuensi :

2sin

4 22 ka

M

atau

2sin0

ka dengan

21

0

4

M

Dalam hubungan diatas diambil harga mutlak untuk faktor

2sin

ka karena hanya

diperlukan harga yang positif, frekuensi tidak dapat berharga negatif. Hasil yang diperoleh

untuk frekuensi di atas tidak lain daripada hubungan dispersi: kw .

Grafik dispersi itu disertakan pada gambar 5.2 :

Gambar 5.2 Grafik Dispersi

95

Catatan mengenai kw :

a. kw setangkup terhadap k = 0; harga k > 0 sesuai denga perambatan gelombang

kekanan (k < 0 sesuai dengan perambatan kekiri)

b. Harga maksimum adalah 0w , diperoleh apabila 12

sin

ka, jadi apabila

12

sin

ka , apabila

ankataun

ka 12

212

2

ambil a

kn

0

c. kecepatan fasa gelombang

2

2

2sin

20

:

2sin

00

0

0

a

ka

ka

avkuntuk

av

akuntuk

k

ka

vjadik

v

d. Kecepatan kelompok gelombang (group velocity)

2cos

2

0 kaa

dk

dvg

Apabila:

k = 0, maka 2

0avg

,jadi apabila k = 0 kecepatan kelompok sama dengan kecepatan

fasa.

04

gvmakak

Interpretasi fisik dari model matematis tersebut.

a. Untuk harga k yang kecil, artinya k

96

Terlihat disini suatu hubungan yang linier antara w dan k, seperti halnya pada benda

makro.

Arti k > 2a, artinya panjang gelombang jauh lebih besar dari

jarak antar atomik (sistem yang makro).

b. Untuk k > 2a, maka:

Kecepatan fasa: 2

0av

Kecepatan kelompok: 2

0avg

Artinya kecepatan fasa sama dengan kecepatan kelompok; yang memang diharapkan

apabila kw bersifat linier.

c. Arti dari a

ataua

k

yaitu :

Panjang gelombang yang sesuai dengan a

k

, adalah a2

Hal tersebut digambarkan dalam gambar 5.3

Gambar 5.3

Atom tetangga bergetar dengan fasa yang berlawanan ; gelombang tegak. Kecepatan

kelompok untuk keadaan ini adalah vg = 0,yang sesuai dengan kasus untuk gelombang

tegak.

97

d. Arti dari k = 0

Bilangan gelombang k = 0, sesuai dengan harga panjang gelombang = . Ini tidak

lain bahwa semua atom dalam kristal linier tersebut sama fasanya, atau bahwa semua

atom secara bersama bergerak ke satu arah, atau melakukan translasi (ke kanan atau

kekiri). Dalam situasi dengan itu:

2

0avvg

Keadaan ini tidak lagi menggambarkan getaran.

Beberapa istilah yang umum digunakan dalam menelaah getaran dalam kristal adalah :

a. Kasus dengan a

k

, yang sesuai dengan a2 , dinamakan batas gelombang

panjang (long wave length limit).

b. Kasus dengan a

k

, dinamakan kondisi refleksi Bragg; karena apabila suatu

gangguan dengan bilangan gelombang semacam itu dikirimkan melalui kristal linier

tersebut, maka superposisi dari gelombang-gelombang yang dipantulkan oleh masing-

masing atom akan saling menguatkan. (karena jarak antar atom adalah 2

1, dan atom-

atom bergetar dengan fasa yang berlawanan).

Hasil superposisi ini adalah suatu pantulan oleh semua atom kristal linier secara

kolektif; a

k

adalah kondisi Bragg untuk refleksi.

c. Kasus k = 0 adalah translasi kristal sebagai satu kesatuan. Karena maknanya yang

khusus ditinjau kembali keadaan untuk a

k

, atau lebih tepat lagi daerah bilangan

gelombang: a

ka

.

98

Getaran suatu kristal linier mono-atomik seperti pada gambar 5.4. Gambar tersebut

menggambarkan getaran transversal.

Gambar 5.4 Getaran Kristal Linier Monoatomik

Titik-titik pada sumbu datar merepresentasikan kedudukan setimbang atom-atom. Titik-titik

penuh menggambarkan kedudukan atom-atom itu pada suatu saat tertentu. Jarak antara

keduanya adalah simpangan dari keadaan setimbang.

Panjang gelombang terpendek bagi gelombang dalam kristal linier yang masih

mempunyai makna fisik adalah apabila:

a2

dengan a jarak antara kedudukan setimbang dari atom-atom kristal yang bersebelahan.

Panjang gelombang a2 itu, sesuai dengan bilangan gelombang a

k

. Oleh karena itu

semua getaran yang mempunyai makna fisik, yaitu dari 0 sampai ,berada dalam

interval bilangan k:

a

k

0

Daerah antara a

ka

dinamakan zona Brillouin pertama, yang merepresentasikan semua

gelombang yang masih mempunyai makna fisik dalam kristal linier. Sebagai ilustrasi dapat

diberiakan contoh pada gambar 5.5.

99

Gambar 5.5 Gelombang Pada Zona Brillouin Pertama

Dua gambar pada gambar 5.4 dan 5.5 merepresentasikan suatu situasi fisik yang sama, tetapi

dengan dua representasi matematis yang berbeda, yaitu:

sebagai gelombang dengan a4 dan sebagai gelombang dengan 5

4a masing-masing

gelombang di atas tadi memiliki bilangan gelombang:

45.25.0

kdan

ak

Kedua representasi matematis tersebut digambarkan pada gambar 5.6:

Gambar 5.6

Selanjutnya kita substitusikan kedua harga k tersebut dalam:

2242

5.0 0

dengan

ka

ak

100

224

5

25.2 0

dengan

ka

ak

sedangkan harga

akatau

5.2

4sin

4

5sin dan

ak

5.0 member harga

yang sama. Dipadang dari segi ini

ak

5.0 dan

ak

5.2 adalah ekivalen.

Hal tersebut digambarkan dalam sketsa k pada gambar 5.7.

Gambar 5.7

Zona Brillouin pertama: a

ka

B. Getaran Dalam Kristal Linier Diatomik

Kristal linier diatomik mempunyai dua jenis atom yang massanya masing-masing

dinyatakan sebagai M dan m. Atom-atom yang bertetangga dipisahkan oleh jarak sebesar a;

jarak ini diukur untuk keadaan keseimbangannya.

Sketsa keadaan dicantumkan pada gambar 5.8.

101

Gambar 5.8 Getaran Dalam Kristal Linier Diatomik

Gaya antar atom adalah antara atom yang bersebelahan; berupa gaya Hooke, dengan tetapan

gaya .

Ada persamaan gerak; masing-masi dan untuk atom bermassa M dan yang bermassa m; kita

ambil yang berada dikedudukan setimbang 122 ll xdanx ,sebagai berikut:

lllllM 2122122

122122212 lllllm

Diharapkan solusi berbentuk.

tlkail eA 222

tlkail eA

12

112

Substitusi memberikan:

212

2 2cos2 AkaAMA

121

2 2cos2 AkaAmA

Ini memberikan persamaan untuk A1 dan A2:

0cos22 2112 AkaAAm

02cos2 221 AMAka

102

Yang mempunyai solusi yang tidak trivial apabila

0

2cos2

cos22

2

2

Mka

kam

Yang memberikan pula solusi untuk 2:

0cos142 22222 kaMmMm

0sin42 22222 kaMmmM

21

22

2

2,1

sin41111

mM

ka

MmMm

Ada dua solusi untuk 2 , yaitu:

Mma

kataukuntukMm

kuntukMm

mM

ka

MmMma

;2

;2

112

011

2

sin41111.

2

2

2

2

21

22

2

2

Mma

kataukuntukM

kuntuk

mM

ka

MmMmb

;2

;2

12

00

sin41111.

2

1

2

1

21

22

2

1

Hal tersebut dapat digambarkan pada gambar 5.9

103

Gambar 5.9 Cabang Optik dan Cabang Akustik

Sifat solusi

a. Solusi k ternyata terdiri dari dua cabang, yaitu k11 dan k22 .

Masing-masing cabang diberi nama, yaitu cabang akustik (1) dan cabang optik

(2).

b. Daerah getar berjalan dari:

0 sampai 2

1

2

M

,cabang akustik

21

2

M

sampai

21

112

Mm ,cabang optic

Tidak ada getaran antara:

2

1

2

M

sampai

21

2

m

,frequency gap.

c. Untuk harga a

k2

0

2

a

k

gk

V

;baik untuk cabang akustik maupun optik.

d. Untuk harga k = 0

104

00 =k

2

kVg

;cabang optik.

e. Untuk harga k = 0

?0 =k

1

kVg

Interpretasi fisik dari hasil yang diperoleh :

a. Daerah harga k yang mempunyai arti fisik adalah dari k = 0 sampai a

k2

; sesuai

dengan panjang gelombang dari a4 sampai .

Untuk a

k2

, 0gV artinya untuk harga itu terjadi refleksi Bragg.

Daerah Brillouin pertama adalah dari k = 0 sampai a

k2

b. Panjang sel satuan adalah a2

c. Beda antara sifat getar cabang optic dan cabang akustik dapat dipelajari dari A1 dan

A2.

Hal itu dapat diperoleh dari persamaan untuk amplitude:

0cos22 212 AkaAm

Solusi untuk batas gelombang panjang ialah apabila k = 0.

Apabila k = 0, maka untuk cabang akustik:

01 , sehingga persamaan di atas menjadi

2121 022 AAAA

Apabila k = 0, maka untuk cabang optik

21

2

112

Mm

0211

22 21

AAm

Mm

105

yang menghasilkan:

01212 mAMAatauAM

mA

Jadi apabila atauk 0

Untuk cabang akustik, A1=A2, amplitude getaran sefase dan seharga. Untuk cabang optik,

012 mAMA ; getaran atom bermassa M berlawanan fasa dengan getaran atom bermassa m;

012 mAMA menyatakan bahwa titik pusat massa atom-atom tidak berubah. Keadaan di

atas dapat digambarkan seperti pada gambar 5.10

Gambar 5.10 Getaran Cabang Akustik dan Optik

C. Getaran Dalam Tiga Dimensi

Model matematika tentang getaran untuk suatu kristal linier memberikan suatu

gambaran kualitatif tentang getaran dalam kristal. Hal-hal pokok yang diperoleh adalah

sebagai berikut:

a) Hubungan disperse (k) tidak linier terhadap k, ada simpangan terhadap kelinieran

pada k tinggi (relatif tinggi).

b) Apabila ada atom yang lain jenisnya dalam susunan Kristal, maka terdapat dua

cabang yang sifatnya berlainan, cabang akustik 0,0 kapabila dan

0,0 kapabila .

106

c) Bahwa internal k untuk hubungan disperse tidak perlu dari k = - sampai k=+ tetapi

dapat dikembalikan pada suatu daerah terbatas 00 kkk . Ternyata bahwa semua

harga k yang lain dapat dikembalikan ke daerah 0kk termaksud (Daerah Brillouin

Pertama).

d) Refleksi Bragg terjadi apabila panjang gelombang getaran sama dengan panjang sel

satuan, yaitu apabila sel satuan yang bersebelokan bergetar dengan fasa yang

berlawanan.

Model linier sederhana itu tidak dapat menggambarkan sifat-sifat kristal yang

berhubungan dengan getaran, tetapi secara kualitatif memberikan petunjuk mengenai sifat-

sifat yang dapat diharapkan.

Andaikanlah kita mempunyai kisi Bravais tiga dimensi, dengan satu atom per sel

satuan. Maka diandaikan bahwa solusi gelombang yang merambat dalam kristal berbentuk:

trkieAn

.

A

adalah amplitude, dapat memiliki arah-arah berlainan, sesuai dengan polarisasi gelombang.

Apabila solusi diatas disubstitusikan dalam persamaan gerak, maka persamaan sekular

yang terjadi akan memberikan 3 harga untuk 2

Tiga harga i2 berhubungan dengan 3 hubungan dispersi yang semuanya melalui titik k=0.

Fungsi dispersi termaksud tidak sama untuk arah yang berbeda dalam kristal.

107

SOAL- SOAL LATIHAN

Kerjakan soal-soal latihan di bawah ini:

1. Dapatkan perbedaan pada cabang optik dan cabang akustik!

2. Untuk harga k = 0 Berapakah kecepatan group untuk cabang akustik, ?0 =k

1

kVg

3. a. Dapatkan kecepatan group dan kecepatan fase pada getaran dalam kristal linier

monoatomik !

b. Bilamana kedua kecepatan tersebut memiliki nilai yang sama?

4. Untuk harga k yang kecil, k

108