Dinamika konstrukcija

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić 1

DINAMIKA KONSTRUKCIJA 1. UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA

1.1. Osnovni pojmovi i stavovi

2. SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2.1. Slobodne neprigušene oscilacije 2.2. Slobodne prigušene oscilacije 2.3. Prinudne prigušene oscilacije 2.4. Pomeranje oslonaca 2.5. Naglo opterećenje 2.6. Impulsno opterećenje 2.7. Dejstvo proizvoljno promenljive sile 2.8. Spektri odgovora

3. NUMERIČKA INTEGRACIJA DUHAMEL-OVOG INTEGRALA 3.1. Metod konačnih razlika 3.2. Newmark-ov postupak sa konstantnim ubrzanjem 3.3. Newmark-ov postupak sa linearnim ubrzanjem

4. SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE 4.1. Uvod 4.2. Slobodne neprigušene oscilacije 4.3. Iterativni postupak određivanja kružnih frekvencija 4.4. Prinudne prigušene oscilacije 4.5. Modalna analiza

5. UVOD U ZEMLJOTRESNO INŽENJERSTVO 5.1. Osnovni pojmovi 5.2. Karakteristike zemljotresa 5.3. Inženjerska analiza zemljotresa 5.4. Proračun ortogonalnih ramova na dejstvo zemljotresa

5.4.1. Određivanje krutosti prostornog ramovskog sistema 5.4.2. Određivanje matrice masa rama 5.4.3. Određivanje seizmičkih sila prema pravilniku

5.5. Projektovanje seizmički otpornih objekata

6. METOD KONAČNIH ELEMENATA U ANALIZI LINIJSKIH NOSAČA

6.1. Uvod

2 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić

1. UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA Dinamika konstrukcija (structural dynamics) – Izučava uticaj dinamičkog opterećenja na konstrukcije.

Dinamičko opterećenje (dynamic load) – Opterećenje koje se odlikuje promenom intenziteta u toku vremena (opterećenje je u funkciji vremena) i pri kojem se uticaj nastalih inercijalnih sila ne može zanemariti. Oblici dinamičkog opterećenja

− Dinamička sila • periodična - ponavljaju se u jednakim vremenskim intervalima (a), odnosno , • oscilatorna - specijalan slučaj periodičnog opterećenja kada je srednja vrednost ovog

opterećenja jednaka nuli (b), • udarna - naglo se nanose na konstrukciju i ostaju na njoj duže ili kraće vreme:

- naglo opterećenje (c), - impulsno opterećenje (impuls (d), serija impulsa (e)),

• slučajna, stihijna (stohastička) - promena intenziteta kroz vreme je sasvim nepravilna (f),

− Temperaturna – Usled promene temperature nastaju inercijalne sile − Pomeranje oslonaca – Dejstvo zemljotresa se prenosi na konstrukciju preko oslonaca (temelja).

Slika 1.1: Vrste dinamičkog opterećenja

Karakterističnost dinamičkog opterećenja Pri dejstvu dinamičkog opterećenja uticaji u sistemu ne moraju biti direktno proporcionalni intenzitetu opterećenja. Na primer, neka sistem ima sopstvenu kružnu frekvencu ω, i neka na taj sistem zasebno deluju tri opterećenja F1 t , F2 t , F3 t :

sin : 2 sin : sin

Opterećenje F2 izaziva dva puta veće uticaje nego opterećenje F1 dok opterećenje F3 može izazivati i više puta veće uticaje od opterećenja F2 (pojava rezonancije).


Može se konstatovati da na odgovor sistema pri dejstvu dinamičkog opterećenja značajnije utiču frekventne karakteristike dinamičkog opterećenja nego intenzitet opterećenja. 1.1 Osnovni pojmovi i stavovi Inercija (inertia) – Inercija je svojstvo svih tela da se odupiru promeni kretanja. (Mirovanje se takođe može smatrati specijalnim slučajem kretanja kada je brzina kretanja jednaka nuli. Različita tela se različito, u većoj ili manjoj meri, opiru promeni stanja kretanja u kome se nalaze. Znači da postoji mera za inerciju raznih tela.

Masa (mass) – je fizička veličina koja predstavlja kvantitativnu meru za inerciju tela. Masa je jedno od osnovnih svojstava tela.

Količina kretanja – predstavlja proizvod mase i brzine tela.

Sila (force) – je vektorska fizička veličina koja predstavlja meru za interakciju, odnosno uzajamno dejstvo tela.

I Newton-ov zakon (Newton's first law) – Svako telo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja sve dok dejstvom spoljnih sila nije prinuđeno da to stanje promeni.

II Newton-ov zakon (Newton's law of motion) – Brzina promene količine kretanja jednaka je sili koja dejstvuje i ima istu orijentaciju kao sila.

U klasičnoj fizici , pa sledi da je sila jednaka proizvodu mase i ubrzanja koje ta sila izaziva:

Zakon o održanju energije (Energy method) – Za jedan izolovan, konzervativan sistem ukupna energija sistema je nepromenljiva u vremenu.

D'Alembert-ov princip (D’Alambert’s priciple) – Dinamička ravnoteža sila može se posmatrati kao statička, ako se dodaju odgovarajuće inercijalne sile.

Podela sistema prema rasporedu masa

− sistemi sa kontinualno raspoređenom masom (distributed mass) – Sistemi imaju beskonačan broj stepeni slobode.

− sistemi sa diskretno raspoređenom masom (lumped mass) – Sistemi imaju konačan broj stepeni slobode.

Oscilacije – Kretanje koje se ponavlja u određenim vremenskim intervalima i vrši se uvek po istoj putanji. Podela oscilacija – Podela se može izvršiti prema tome da li su amplitude konstantne u toku vremena:

− neprigušene (undumped vibration) − prigušene (dumped vibration)

ili prema tome da li za vreme oscilovanja deluje spoljna dinamička sila: − slobodne (free vibration) − prinudne (forced vibration)


2. SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Sistem sa jednim stepenom slobode (Single Degree Of Freedom SDOF) – Geometrijski položaj masa sistema u prostoru u svakom trenutku vremena može se opisati samo jednim parametrom, odnosno jednom nezavisnom koordinatom.

Primena na građevinske konstrukcije – Bez obzira na to što su građevinske konstrukcije u stvarnosti sistemi sa kontinualno raspoređenom masom, određen broj problema u dinamičkom proračunu konstrukcija može se svesti na analizu odgovarajućeg sistema sa jednim stepenom slobode. Na taj način se značajno pojednostavljuje analiza.

Slika 2.1: Primeri konstrukcija koji se mogu razmatrati kao sistemi SDOF

2.1 Slobodne neprigušene ocilacije Pod slobodnim oscilacijama podrazumeva se slučaj kada sistem samostalno osciluje i pri tome nije izložen dejstvu nekog spoljašnjeg opterećenja, odnosno poremećaja.

Ove oscilacije nastaju tako što se dogodi neki poremećaj (početno pomeranje, početna brzina), koji zatim nestaje, a sistem počinje da samostalno osciluje oko ravnotežnog položaja. Otpori pri kretanju uvek postoje, i uvek troše energiju sistema. U slučajevima kad su vrednosti otpora male (proces amortizacije teče sporo), ili se razmatra relativno kratak vremenski interval, otpori se mogu zanemariti. Pri slobodnim neprigušenim oscilacijama na sistem mogu delovati samo: restituciona sila, inercijalna sila i težina.

Kod slobodnih neprigušenih oscilacija frekvencija zavisi od fizičkih karakteristika sistema (krutost i masa), a amplituda i fazni ugao od početnih uslova.

Slika 2.2: Neprigušen sistem sa jednim stepenom slobode

Dinamička ravnoteža: 0

Diferencijalna jednačina: 0

Rešenje: cos sin

Početni uslovi: 00 ⁄

Uvođenje novih konstanti: sin cos


Elongacija: sin …

tan …

Slika 2.3: Odgovor sistema pri slobodnim neprigušenim oscilacijama

Dejstvo težine tela

Ako se uzme u obzir i dejstvo težine tela , jednačina dinamičke ravnoteže je:

0

smenom promenlje , i diferenciranjem po vremenu:

sledi: 0

0

Dobijena je ista diferencijalna jednačina izvedena, kao u slučaju horizontalnih oscilacija.

Elongacija (elongation) – Udaljenje mase od ravnotežnog položaja u nekom trenutku vremena.

Aplituda (amplitude) – Maksimalno udaljenje mase od ravnotežnog položaja.

Restituciona sila (restoring force) – Sila koja teži da telo vrati u ravnotežni položaj. Uvek je orijentisana ka ravnotežnom položaju tela, a njen intenzitet je proporcionalan elongaciji (pretpostavka linearne opruge).

Fazni ugao (phase difference) – Ugao koji je telo napravilo pri oscilacijama od trenutka kada je bilo u nultom (ravnotežnom položaju), do trenutka kada počinje računanje vremena.

Kružna frekvencija slobodnih neprigušenih oscilacija (natural circular frequency) – Brzina vršenja slobodnih neprigušenih oscilacija.

Period slobodnih neprigušenih oscilacija (natural period) – Vreme potrebno da se izvrši jedna puna oscilacija pri slobodnom neprigušenom oscilovanju.

2


Sopstvena frekvencija oscilovanja (natural frequency) – Broj punih oscilacija u jednom sekundu.

12

Tehnička frekvencija oscilovanja – Broj punih oscilacija u jednom minutu.

60

Krutost dinamičkog sistema (dynamic stiffness) – Predstavlja silu koja je potrebna da deluje na sistem da bi se masa pomerila za jediničnu vrednost u pravcu oscilovanja.

Slika 2.4: Određivanje krutosti dinamičkog sistema

Krutost konzole: Horizontalna krutost rama:

Krutost žice:

Slika 2.5: Krutost dinamičkog sistema

Određivanje krutosti dinamičkog sistema Krutost dinamičkog sistema se veoma često određuje preko fleksibilnosti sistema, s obzirom da postoji recipročna veza između krutosti i fleksibilnosti sistema:

1

Za jediničnu vrednost sile koja deluje u u pravcu oscilovanja mase određuje se pomeranje (fleksibilnost), a inverzna vrednost tako određenog pomeranja predstavlja krutost. U opštem slučaju pomeranja kod linijskih nosača određuju se iz izraza:

Odnosno ako se zanemari uticaj normalnih i transverzalnih sila na deformaciju, pomeranje usled jedinične generalisane sile je:


Primer 1 Odrediti krutost dinamičkog sistema statički neodređenog nosača za 10 .

1.378 10

1

725.69

Prosto harmonijsko kretanje (simple harmonic motion) – Oscilacije imaju najprostiji oblik kada se vrše po pravoj putanji i kada je restituciona sila proporcionalna rastojanju od ravnotežnog položaja, odnosno kada je restituciona sila proporcionalna elongaciji. Ovakvo kretanje se naziva prosto harmonijsko kretanje. Ono se može prikazati jednostavnim sinusnim zakonom, pa se nazivaju i sinusne oscilacije.

Svako periodično kretanje može se razložiti kao kao konačan skup prostih harmonijskih oscilacija različitih amplituda i frekvencija.

2.2 Slobodne prigušene ocilacije Oscilacije su prigušene, amortizovane, ako njene amplitude opadaju sa vremenom. Uzrok prigušenja su sile otpora koje troše energiju sistema. Priroda prigušenja je komplikovana, a najjednostavnije za sprovođenje analize kretanja je pretpostavka viskoznog otpora, otpor proporcionalan brzini kretanja. Kao i kod slobodnih neprigušenih oscilacija frekvencija zavisi od fizičkih karakteristika sistema (masa i krutost), samo sada treba uzeti u obzir i prigušenje, a amplituda i fazni ugao zavise od početnih uslova. Amortizacioni član amlitude je e–ζωt .

Slika 2.6: Prigušen sistem sa jednim stepenom slobode


Diferencijalna jednačina: 2 0 2

Rešenje: / √

111

č šč š š

Početni uslovi: 00

Uvođenje novih konstanti: sin cos


Elongacija: …

…

Prigušenje Kretanje

1 Nadkritično prigušenje (overdamped system) Aperidično amortizovano kretanje sa opadanjem aplitude prema eksponencijalnoj krivoj

2 Kritično prigušenje (critically damped system) Aperidično amortizovano kretanje sa opadanjem aplitude prema eksponencijalnoj krivoj

3 Malo prigušenje (underdamped system) Periodično amortizovano kretanje sa opadajućom amplitudom

Slika 2.7: Odgovor sistema – Periodično amortizovano kretanje

Slika 2.8: Odgovor sistema – Aperiodično amortizovano kretanje

Viskozno prigušenje (viscous damping) – Prigušenje proporcionalno brzini.

Koeficijent viskoznog prigušenja (viskoznosti) – Jednak je sili prigušenja pri jediničnoj brzini.

Koeficijent prigušenja – Definisan je izrazom:


Relativno prigušenje (damping ratio) – Definisan je odnosom koeficijenta prigušenja i kružnom frekvencijom slobodnih neprigušenih oscilacija. Bezdimenzionalna veličina koja je mera prigušenja i predstavlja karakteristiku dinamičkog sistema.

Vrednosti relativnog prigušenja zavise od vrste konstrukcije i nivoa opterećenja.

Nivo

naprezanja Vrsta konstrukcije

/2

Cevovodi i mašinska oprema 0.01 – 0.02 Zavarene konstrukcije, prethodno napregnuti beton obostrano armiran beton 0.02 – 0.03

Armirani beton sa dosta prslina 0.03 – 0.05 Čelične konstrukcije sa viljcima i zakivcima, drvene konstrukcije 0.05 – 0.07

Cevovodi i mašinska oprema 0.02 – 0.03 Zavarene konstrukcije, prethodno napregnuti beton obostrano armiran beton 0.05 – 0.07

Armirani beton sa dosta prslina 0.07 – 0.10 Čelične konstrukcije sa viljcima i zakivcima, drvene konstrukcije 0.10 – 0.15 Drvene konstrukcije sa žljebovima 0.15 – 0.20

Kritično prigušenje (critical damping) – Prigušenje koje je jednako kružnoj frekvenciji slobodnih neprigušenih oscilacija.

Kružna frekvencija slobodnih prigušenih oscilacija (natural damped circular frequency) – Brzina vršenja slobodnih prigušenih oscilacija.

1

Period slobodnih prigušenih oscilacija – Vreme potrebno da se izvrši jedna puna oscilacija pri slobodnom prigušenom oscilovanju.

21

Sopstvena frekvencija prigušenih oscilacija – Broj punih oscilacija u jednom minutu. 1

1

Logaritamski dekrement oscilacija – Logaritam količnika dve uzastopne amplitude istog znaka.

ln

2.3 Prinudne prigušene ocilacije Kada spoljašnja sila deluje na sistem za vreme oscilatornog kretanja, takve oscilacije nazivaju se prinudne oscilacije (forced vibrations). Pri prinudnim oscilacijama sistem teži da osciluje svojom sopstvenom frekvencijom, isto kao što teži da prati frekvenciju prinudne sile. U prisustvu prigušenja (trenja), deo kretanja sa sopstvenom frekvencijom će nestati pod dejstvom sinusnog opterećenja. Kao rezultat, sistem će oscilovati frekvencijom prinudne sile, bez obzira na početne uslove i sopstvenu frekvenciju sistema. Tako dobijeno kretanje naziva se ustaljenim oscilacijama ili odgovor sistema.

Dinamička ravnoteža: sin

Diferencijalna jednačina: 2 sin 2


Partikularno rešenje se usvaja tako da bude sinhrono poremećajnoj sili, a pomoću faznog ugla φ određuje se kašnjenje odgovora sistema na dejstvo poremećajne sile. Deo kretanja opisan opštim integralom homogene diferencijalne jednačine brzo se amortizuje već posle nekoliko ciklusa oscilacija, pa tako preostaje samo ustaljeno harmonijsko kretanje definisano partikularnim rešenjem.

Slika 2.9: Prigušen sistem sa prinudnom silom

Elongacija: sin

Amplituda:

Fazni ugao: tan

Dinamički faktor (magnification factor) – Odnos dinamičkog i statičkog ugiba usled dinamičke poremećajne sile.

11 4

Rezonancija (resonance) – Poklapanje sopstvene i prinudne frekvencije, pri kojem amplitude progresivno rastu i ograničene su samo veličinom prigušenja.

Slika 2.10: Dinamički faktor

2.3.1 Stacionarno i prelazno stanje prinudnih oscilacija Za neprigušene prinudne oscilacije sistema sa jednim stepenom slobode dobija dobija se diferencijalna jednačina oblika:

sin

a njeno rešenje je:

cos sin sin


Slika 2.11:

Slika 2.12: Podrhtavanje

Slika 2.11: Prinudne oscilacije (prelazno i ustaljeno stanje)

U ovom izrazu prva dva člana predstavljaju slobodne oscilacije, a treći prinudne oscilacije sistema. Ako se ne uzimaju u obzir slobodne oscilacije dobija se stacionarno, ustaljeno stanje, (steady state) prinudnih oscilacija, koje je definisano jednačinom:

sin

U slučaju da se uzimaju u obzir svi članovi u jednačini koja predstavlja pomeranje usled harmonijske pore-mećajne sile, stvarno kretanje je superpozicija dvaju jednostavnih harmo-nijskih kretanja, koja u opštem slučaju imaju različite amplitude, različite frek-vencije i različite faze.

Kretanje koje rezultira vrlo je složeno, ali zbog otpora koji nije bio uzet u obzir prilikom izvođenja jednačine, slobodne oscilacije brzo nestaju, pa ostaju samo prinudne oscilacije koje se stalno održavaju uticajem poremećajne sile. Isprekidanom krivom predstavljene su prinudne oscilacije sa kružnom frek-vencijom dodaju se slobodne oscilacije sa kružnom frekvencom i amplitudom koja se postepeno smanjuje usled otpora. Rezultujuće kretanje prikazano je punom linijom koja se postepeno približava isprekidanoj krivoj, kao sta-cionarnom stanju kretanja. Početni deo kretanja, tj. prvih nekoliko ciklusa u kojima se jos osećaju slobodne oscilacije obično se smatra za prelazno stanje (transient state).

Amplituda slobodnih oscilacija može se naći iz opšteg resenja i početnih uslova. Pretpostaviće se da su u početnom trenutku pomeranje i brzina tela jednaki nuli. Integracione konstante su tada:

0

pa je tada: 1

sin sin

Kretanje sistema sačinjavaju dva dela: slobodne oscilacije proporcionalne sin i prinudne oscilacije proporcionalne sin .


Posmatra se slučaj kada je frekvencija poremećajne sile vrlo bliska frekvenciji slobodnih oscilacija sistema, tj. kada je je blisko .

Koristeci oznaku: 2∆, gde je ∆ mali broj, i zanemarujući mali član sa množiocem 2∆⁄ , može se predstaviti pomeranje sistema u obliku:

1sin sin

2cos

2sin

22

sin ∆ cos2

sin ∆2 ∆ cos sin ∆ cos

Kako je ∆ mali broj, funkcija sin ∆ menja se sporo i njena perioda je velika. U tom slučaju pomeranje ima

karakter oscilacije sa periodom 2 ⁄ i promenljivom amplitudom jednakom ∆∆ Ova vrsta oscilacije naziva

se podrhtavanje (beating) i prikazana je na slici. Za granični uslov iz izvedenih jednačina dobija se:

Slika 2.13: Rezonancija sistema bez prigušenja i sistema sa prigušenjem

2cos

Amplituda ovakvih oscilacija beskonačno raste sa vremenom, kao sto je prikazano na slici. Odavde se vidi da se, iako teorijski u odsustvu otpora dobija beskonačnu amplitudu za prinudne oscilacije pri rezonaciji, potrebno je opet izvesno vreme da bi se velike amplitude ostvarile.

Na taj način kod mašina koje treba da rade sa brojem obrtanja većim od onog koji odgovara rezonaciji ne javljaju se poteškoće pri prelazu preko brzine koja odgovara rezonaciji, ako se taj prelaz vrši dovoljno brzo. Medutim, eksperimenti pokazuju da, ako se stvori stacionarno stanje kretanja baš ispod rezonacije, onda je tesko preći preko tog stanja. Naknadna sila koja se dovodi u tom cilju mesto povećanja brzine mašine jednostavno povećava amplitudu oscilacija.

Rezonantni odgovor u slučaju prigušenih oscilacija i homogenih početnih uslova:

12 1

sin cos cos

pretpostavljajući da je prigušenje malo, može se zanemariti član uz sinus, , pa je odgovor sistema dat jednačinom:

12

1

A amplituda pri rezonanciji je ograničena nivoom prigušenja sistema:

Primer 2 Zanemarujući masu grede prema masi motora, odrediti dinamički faktor i najveći ugib ispod motora, koji deluje na gredu silom sin .

Podaci: 40 ; 15 ; 250 ; 0.03; 9450


Rešenje:

48548

2.604 , 402.6049450

0.01102 1.102

,

9811.102 29.836 250

260 26.180

26.18029.836 0.877

11 4

11 0.877 4 · 0.03 · 0.877

4.223

, , 1.102 4.223 · 152.6049450 100 2.848

2.4 Pomeranje oslonaca Pretpostavlja se da je pomeranje oslonaca definisano harmonijskim kretanjem, , sin .

Slika 2.14: Dinamičko pomeranje oslonaca


Smena promenljivih:

, sin

Analogija sa prinudnom harmonijskom silom: ~ 2,

Rešenje: sin

Amplituda: ,

Fazni ugao: tan

2.5 Naglo opterećenje Naglo opterećenje (step force) – U jednom trenutku vremena opterećenje dobija puni intenzitet. Može se predstaviti pomoću Hevisajdove funkcije .

Slika 2.15: Naglo optrerećenje i Hevisajdova funkcija


Hevisajdova funkcija (step function) – Funkcija pomoću koje se može prikazati naglo opterećenje, u obliku , gde je:

0.0 0.01.0 0.0

Neprigušene oscilacije, Homogeni početni uslovi

Dinamička ravnoteža:

Diferencijalna jednačina:

Rešenje: cos sin

Početni uslovi: 0 00 0 0

Pomeranje: 1 cos

Dinamički faktor: 1 cos 2.0

Neprigušene oscilacije, nehomogeni početni uslovi

cos sin

00 ⁄ cos sin 1 cos

Uticaj promene brzine porasta sile Razmatra se dejstvo sile čija je se puna vrednost ostvari u proizvoljnom trenutku vremena

Diferencijalna jednačina oscilacija je: Čije je rešenje za prvu fazu:

cos sin

Pri homogenim konturnim uslovima:

sin

Pošto je određeno pomeranje za fazu I, mogu se odrediti i početni uslovi za fazu II:

1sin

1 cos

Može se primeniti na rešenje za naglo opterećenje: cos sin 1 cos

Rešenje se može izraziti u obliku: 1 sin sin

Kada ∞: lim lim 1

Odnosno 0: lim lim cos 1 cos


Primer 3 Nacrtati dijagram oscilacija usled naglog opterećenja. 0 1 cos

1 cos

1 cos

1 cos 1 cos2

1 cos

1 cos

21 cos 3 cos

2.6 Impulsno opterećenje Impulsno opterećenje (pulse force) – Kratkotrajno opterećenje velikog intenziteta koje ne menja smer dejstva i čija je brojna vrednost integrala po vremenu konačna veličina.

Slika 2.16: Impulsno opterećenje

Impuls (impulse) – Vremenski integral sile.

vreme trajanje impulsnog opterećenja forma impulsnog opterećenja

vremenski integral sile Dirac-ova (delta) funkcija – Funkcija kojom se predstavlja jedinični impuls.

0

1 0 ∞

0 ∞

Kratkotrajno impulsno opterećenje – Impulsno opterećenje za koje izazvani uticaji bitno ne zavise od vremena trajanja impulsnog opterećenja. Za kratkotrajni impuls važi da je 0.1⁄


Diferencijalna jednačina: 2 0

Rešenje: sin

Početni uslovi: 0 00

α 0

Prigušene oscilacije: sin

Neprigušene oscilacije: sin

Funkcija g – Funkcija koja definiše odgovor sistema usled jediničnog impulsa.

sin prigušen sistem

sin neprigušen sistem

Primer 4 Nacrtati dijagram oscilacija za zadato opterećenje. 0 sin

sin

sin 2

sin sin

2sin

sin 2

sin 4

2sin sin

2 sin

2.7 Dejstvo proizvoljno promenljive sile Ako se razmatra linearno ponašanje sistema moguće je primeniti princip superpozicije opterećenja. Poznavajući reagovanje sistema usled jediničnog impulsa:

jednačina kretanja sistema usled proizvoljno promenljive sile dobija se sabiranjem dejstava svih impulsa kojima je aproksimirana ta sila:


Slika 2.17: Dejstvo proizvoljnog dinamičkog opeterećenja

Ovaj integral se naziva integral konvolucije ili integral superpozicije ili Duhamel-ov integral. Nehomogeni početni uslovi

Ako početni uslovi nisu homogeni, već 0 i 0 :

cos sin1

sin

ili ako se uzme u obzir i prigušenje sistema:

cos sin1

sin

Princip superpozicije

Kod linearnih diferencijalnih jednačina kretanja postoji jedinstvenost rešenja, što ima za posledicu mogućnost primene principa superpozicije uticaja. Tako pri traženju rešenja pri dejstvu proizvoljne poremećajne sile, moguće je primeniti integral superpozicije dejstava jedničnih impulsa. Takođe veličine masa , prigušenje i krutost koje se nalaze u diferencijalnoj jednačini kretanja tretirane su kao konstante, pa se kretanje može opisati običnim diferencijalnim jednačinama drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Kod zadataka gde se zahteva veće iskorištenje napona u materijalu, kao i kad se ispituje sigurnost pri lomu, ne može se usvojiti pretpostavka materijalne linearnosti sistema. 2.8 Spektri odgovora

Za dimenzionisanje konstrukcije potrebne su ekstremne vrednosti odgovora konstrukcije na dejstvo dinamičkog opterećenja, a ne celokupan vremenski tok odgovora konstrukcije. Zato se formiraju dijagrami iz kojih je moguće jednostavno očitati maksimalne vrednosti odgovora sistema.

Svi spektri su funkcije sopstvenih frekvencija i prigušenja.

Slika 2.18: Spektri odgovora


Spektar odgovora (response spectra) – Dijagram koji određuje ekstremne vrednosti odgovora konstrukcije u zavisnosti od dinamičkih karakteristika sistema.

Na apcisu dijagrama nanosi se frekvencija ili period oscilovanja konstrukcije, a na ordinatu odgovarajuće maksimalne vrednosti uticaja za koji je određen taj dijagram. Ako se uzmu u obzir različite vrednosti prigušenja dobijaju se familije krivih. U spektrima odgovora nema podataka o tome u kojim trenucima vremena se javljaju maksimalne vrednosti odgovora. Veliki nedostatak je što se spektri odgovora odnose samo na sistem sa jednim stepenom slobode. Spektri odgovora pri pomeranju oslonaca

Ako je pomeranje oslonaca, a , , relativno pomeranje, relativna brzina i relativno ubrzanje, diferencijalna jednačina kretanja je:

2

1 sin

1

– vrednost Duhamel-ovog integral

Diferenciranjem izraza za pomeranje dobija se izraz za brzinu:

cos

Apsolutno ubrzanje sistema određuje se prema izrazu:

2

Spektri odgovora predstavljaju maksimalne vrednosti odgovora:

| | – spektar relativnih pomeranja

| | – spektar relativnih brzina

| | – spektar apsolutnih ubrzanja

Mogu se definisati i spektri:

– spektar pseudobrzina

– spektar pseudoubrzanja

Kod vitkih konstrukcija sa velikim periodima oscilovanja postoji značajna razlika između relativnih brzina i pseudobrzina. Kod takvih konstrukcija, masa skoro miruje, vrednosti spektra relativnih pomeranja približno su jednaka maksimalnom pomeranju oslonaca, dok su vrednosti spektra apsolutnih ubrzanja veoma blizu nule, a vrednosti spektra pesudobrzina približavaju se nuli 0 .

Primer 5


Literatura 1. Ćorić B., Ranković S. i Salatić R., Dinamika konstrukcija, Univerzitet u Beogradu, Beograd 1998. 2. Timoshenko S. and Young D.H., Teorija osilacija, Građevinska knjiga, Beograd 1966. 3. Brčić S., Dinamika diskretnih sistema, Studenstski kulturni centar, Beograd 1998.

Documents

Dinamika konstrukcija