Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija

7/24/2019 Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija

1/14

Vjebe br.4 30.03.12.

Dinamika konstrukcija i potresno

inenjerstvo


2/14

Zadatak br.1

Odrediti krune frekvencije i osnovne oblike (tonove, modove) proste gredeprikazane na slici:

Ako se razmatraju samo vertikalni pomaci masa, onda je ovo sustav sa dvastupnja slobode gibanja. Radi se o slobodnim nepriguenim oscilacijama ijase diferencijalna jednadba moe napisati u obliku:

+ = 0 (1)Gdje su:

= 00 = 1 00 1

=


3/14

Inverzna matrica matricekrutosti zove se matri ca fleksibilnosti, a njena strukturase moe zapisati u obliku:

=

=

U naem sluaju je najlakeodrediti matricu fleksibilnosti D:

= 3 12 3 29 23 29 = 4243 = 2

12

3

29

23

19 +

19

3

16 +

12

3

19

19 +

13 =

7486

=


4/14

=

2434,0 3,53,5 4,0

Budui da smo definirali matricu masa M i matricu fleksibilnosti D, u jednadbi

(1) ostaje nepoznat vektor pomaka q.Rjeenje sustava (1) se trai u obliku:

= sin + (2) a-amplituda pomaka = sin + = (3)

Ako se matrina jednadba (1) pomnoi sa lijeve strane sa matricom fleksibilnosti,

te uzme u obzir jednadba (3), dobiva se: + = 0 4 = 0 5

Gdje je =1/2. Umnoak matrica D i M oznaili smo sa DMi zove se dinamikamatrica. Njena struktura se za sustave s diskretnim masama moe prikazati uobliku:

= ili u naem zadatku:

=

2434,0 3,53,5 4,0 =

4,0 3,53,5 4,0


5/14

Jednadbom (5) smo dobili sustav algebarskih jednadbi po vektoru a. Tajsustav je homogen, pa je uvjet za egzistenciju netrivijalnog rjeenja da jedeterminanta sustava jednaka nuli:

= 0 (6) ili4,0 / 3,53,5 4,0 / = 0 (7)

Razvojem gornje determinante dobije se tzv.karakteristini polinom ponepoznanici :

4 32+15 = 0 (8)ijasu rjeenja: =7,5 i =0,5Sada su krune frekvencije:

=1 =

17,5 =

2437,5 =

32,4

= 1 = 10,5 = 2430,5 = 486

Ako se vratimo na jednadbu (5) kako bi odredili vlastite oblike osciliranja,odnosno vektor a. Razvojem matrine jednadbe (5) dobiva se:


6/14

4 +3,5 = 0

3,5 + 4

= 0 (9)

Iz prve od gornjih jednadbi dobivamo:

=

(), pa je za =1(=1)

()

() =1,0 te za =2(=2)

()() =1,0

Na donjoj skici su shematski prikazani vlastiti oblici (tonovi, modovi).


7/14

Zadatak br.2

Za konstrukciju prikazanu na slici odrediti:

a) Prirodne frekvencije i odgovarajue vlastite oblike

b) Jednadbe gibanja s poetnim uvjetima: u01, u02, te i

m1=m2/2=50kNs2/m

E=30 000 Mpa

I=0,67510-3m4


8/14

Konstrukcija se razmatra kao apsolutno kruta

Zgrada posmikaShear building

Savojna krutost jednaka zbroju krutosti

vorovi nemaju rotacije zadrava se pravi kut

Mase koncentrirane u katovima

Zanemaruje se uzduna rotacija tapova

Koeficijent krutosti izmeu bilo koje dvije susjedne mase je sila nastala

uslijed jedininog relativnog pomaka dvije susjedne meukatnekonstrukcije. U sluajustupova ijasu oba kraja upeta (sprijeenarotacijakrajeva stupa) ukupna krutost kata jje:

= 12

Dok je za stup ijije jedan kraj upet a drugi slobodno oslonjen ta krutost:

= 3


9/14


10/14

a) Na temelju navedenog stupovi imaju istu krutost:

= = 212

=243000010 0,67510

3 = 18000,0/

Diferencijalna jednadba gibanja se dobija primjenom npr.Dalambertovogprincipa: + = 0

+ = 0 (1)Ili

+ = 0 + + = 0 (2)Rjeenje gornjih jednadbi se moe zapisati napozanti nain, za slobodnenepriguene oscilacije:

= sin() (3)

= sin()

, dok

su ubrzanja:

= sin() = sin() (4)


11/14

Vraanjem jednadbi (3) i (4) u (2) dobije se: = 0

+ + = 0 (5)Ili matrino:

+

=

00 (6)

Sustav statiki spregnut !Za postojanje netrivijalnog rjeenja determinanta koeficijenata mora bitijednaka nuli

+ = 0 (7)

Razvojem ove diferencijalne jednadbe dobije se kvadratna jednadba(frekventna) po 2:

+ + + = 0 (8)


12/14

Ili nakon ukljuivanja numerikih vrijednosti:

900 + 64800= 0 (9)Rjeenja gornje jednadbe su:

, = , < ! = 7 8 , 9 2 =8,88 = 821, 10 =28,65 krune frekvencije

=

=1,414, =

=4,56 prirodne frekvencije

= = =0,707; =

=

=0,219 periodi

Iz sustava (6) po nepoznatim amplitudama a1i a2izjdnaavanjemdeterminantesa nulom u jednadbi (7) postoji samo jedna zavisna jednadba a dvijenepoznanice.

Zbog toga nismo u mogunostiodrediti apsolutne vrijednosti amplituda, negosamo njihove relativne odnose (za sada dovoljno).


13/14

Ako se uzme prva od jednadbi (6) te u nju ukljuimo prvu frekvenciju 1,dobije se:

() () = 0 odnosno() 1,28() = 0 (10)

Odnos amplituda je: ()() =1,28

Ova relativna vrijednost se zove modalni oblik ili normalni oblik, kojiodgovara prvoj frekvenciji. Uobiajeno je da se u vlastitim oblicima (tonovi,modovi) jednoj od amplituda pridrui jedinina vrijednost, pa je:

() =1,28; () =1,0Na isti nain se postupa i sa drugom krunom frekvencijom ( u drugu od

jednadbi (6) se ukljui druga frekvencija 2, pa je :


14/14

Pa je odnos amplituda:

Vlastiti oblici su prikazani na donjoj slici (2 tona):

Documents

Vjezbe Br.4- 30 03 12- Dinamika Konstrukcija