Dinamika Materijalne Tacke

8/11/2019 Dinamika Materijalne Tacke

1/28

MEHANIKA I

Dragoslav Kuzmanovic Gordana Kastratovic

Nenad Vidanovic

March 30, 2009


2/28

kruto telo

GLAVA

5

5.1 Njutnovi zakoni (aksiomi - principi) dinamike

Pri proucavanju kretanja u kinematici uvode se osnovni pojmovi: prostori vreme. Pomocu tih pojmova proucavaju se geometrijski elementi kre-

tanja i analiziraju osnovne karakteristike kretanja. Me-dutim, kinematika neukazuje na uzroke kretanja. Za potpunu analizu kretanja tela neophodno jeposmatrati kretanje onako kako se ono odvija u prirodi. U prirodi mehanickakretanja nastaju usled me-dudejstva, ili interakcija, tela, koje se iskazujemerama mehanickog dejstva, odnosno silama i spregovima. Tela uprirodi su materijalna. Pojam o materijalnosti tela, odnosno pojammase,je treci osnovni pojam, pored prostora i vremena, koji karakterise materi-jalni svet.

U ovom delu mehanike, koji se zove dinamika, proucava se kretanje ma-terijalnih tela pod dejstvom sila i spregova koji deluju na dato telo. I ovde,isto kao pri proucavanjima u statici i kinematici, pretpostavlja se da su tela

kruta.

Dinamika materijalne tacke


3/28

72 Dinamika materijalne tacke

5.1.1 Princip odre-denosti

Kretanje tela ili njihovo mirovanje u prirodi odvija se neprekidno tokomvremena. U nekom trenutku, pocinje se proucavati kretanje tela i pokusavase prognozirati njegovo odvijanje u buducnosti. Trenutak, u kome pocinje

proucavanje kretanja zove se pocetni trenutak i, kao i u kinematici, obelezavase sa t0.

Princip 1 (Njutn-Laplasov1) princip odre-denosti klasicne mehanike tvrdida pocetno stanje mehanickog sistema, tj. stanje u pocetnom trenutku vre-menat0, koje je odre-deno polozajem i brzinama tacaka sistema, jednoznacnoodre-duje njegovo dalje kretanje.

Pre pocetnog trenutka vremena t0 mehanicki sistem ima neku svoju pre-distoriju. Njutn-Laplasov princip odre-denosti tvrdi da nijedan podatak izpredistorije kretanja, osim onih koji na njenom kraju u trenutku t0odre-dujupolozaj i brzine tacaka sistema, ne utice na dalje kretanje sistema.

U stanje na pocetku posmatranja kretanja mehanicki sistem moze docispontano, ali tada bi covek bio samo puki posmatrac daljeg kretanja bezmogucnosti da na njega utice. Covek je vrlo rano uocio da na kretanje, kojese odvija posle pocetka naseg posmatranja, odnosno posle pocetnog trenutkavremena, moze najlakse uticati ostvarivanjem odre-denog pocetnog stanjasistema u koje on ne dolazi spontano. Sta vise, ostvarivanjem odre-denogpocetnog stanja sistema, on se moze kretanjem dovesti u novo zeljeno stanjeu nekom trenutku vremena t1.

Prvi Njutnov zakon

Dinamika je zasnovana na tri Njutnova zakona2, koje je Njutn formulisao1687. godine u svom cuvenom delu Matematicki principi, prirodne filo-zofije3. Ovi zakoni se ne dokazuju. Najbolja potvrda ispravnosti ovih za-kona je mogucnost da se na osnovu ovih principa prognozira kretanje svihtela u prirodi i napravi citav niz tehnickih naprava, koje rade u skladu saovim zakonima. Prvi Njutnov zakon, koji vazi za slobodnu tacku, glasi:

Zakon 1 (I Njutnov) Svako telo ostaje u stanju mirovanja, ili jednolikogpravolinijskog kretanja, dok pod dejstvom sile ne bude prinu-deno da to svoje

2Axiomata sive leges Motus.3Philosopfdae Naturalis Principia Maternatica


4/28

5.1 Njutnovi zakoni (aksiomi - principi) dinamike 7

inertnost

inercijastanje promeni 4.

Iz prvog Njutnovog zakona, koji se uvek mora tumaciti zajedno sa prin-cipom odre-denosti, moze se zakljuciti nekoliko cinjenica. Ovim zakonomse ukazuje na svojstvo materijalne tacke da ostane u miru ili da se krece

jednoliko i pravolinijski, ako od trenutkat0, odnosno pocetka naseg posma-tranja, na nju ne deluje nikakva sila. Tacka ostaje u miru ako je bila u mirupre tog trenutka. Ona se krece jednoliko i pravolinijski, znaci konstantnombrzinomv, ako je u pocetnom trenutku imala brzinuv. Ovim zakonom seukazuje na svojstvo tacke da zadrzi svoje stanje, mirovanja ill jednolikogpravolnijskog kretanja, ako nema nikakvog dejstva sile na nju. Ovo svojstvomaterijalne tacke zove se inertnost tacke, odnosno inercija tacke. Indi-rektno, ovaj zakon ukazuje na uticaj pocetnog stanja na stanje tacke posletog trenutka. Ovim zakonom se ukazuje da samo dejstvo sile moze pri-morati tacku da promeni to stanje mirovanja ili jednolikog i pravolinijskogkretanja. U izvesnom smislu, prvi Njutnov zakon ne pravi razliku izme-dumirovanja i jednolikog i pravoiinijskog kretanja tacke, sto se kasnije znatnojasnije obrazlaze.

Drugi Njutnov zakon

Zakon 2 (II Njutnov) Promena kretanja proporcionalna je sili koja de-jstvuje na telo i vrsi se u pravcu sile. 5

F

M

v

mv

a

Slika 5.1: Drugi Njutnov zakon

4Corpus omne perseverare in statu suo qitiescendi vel movenli uniformiter in directurn,nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur ftatum suum mutare.

5Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam

rectam qua vis illa imprimitur.


5/28


koliv cina kretanja

osnovna jednav cinadinamike

jednav cina kretanja

kretanje p o inerciji

Drugi Njutnov zakon se odnosi na slobodnu materijalnu tacku. Njutnpod kretanjem podrazumeva vektor koji se pridruzuje pokretnoj materijal-no j tacki M i koji je proizvod mase m materijalne tacke i vektora brzine vu datom trenutku vremena (Slika 5.1). Sada se taj vektormv zove vektorkolicine kretanja materijalne tacke. Pod promenom kretanja podrazumeva

se izvod po vremenu tog vektora. Zato drugi Njutnov zakon glasi

d

dt(mv) =F, (5.1)

gde je F sila koja dejstvuje na tacku. Ako se masa materijalne tacke nemenja tokom vremena, odnosno ako je konstantna, ovaj zakon postaje

ma= F, (5.2)

gde je a = dv/dt apsolutno ubrzanje materijalne tacke u datom trenutkuvremena. Drugi Njutnov zakon u ovoj formi je osnovna jednacina di-

namike. Ova verzija tog zakona glasi:

Zakon 3 (II Njutnov) Vektor sile jednak je proizvodu mase i vektora ubrzanjamaterijalne tacke (Slika 5.1).

Poznato je da je vektor ubrzanja, koji je prema (5.2) kolinearan sa silomkoja deluje na tacku, usmeren u izdubljenu stranu trajektorije tacke. Zatotrajektorija tacke, pri poznatom pravcu i smeru sile, ne moze imati oblikputanje dat isprekidanom linijom na slici 5.1, vec samo onaj dat punom lin-ijom. Prema relaciji (5.2) masa je, po Kirhofu6, koeficijent proporcionalnostiizme-du sile F, koja je uzrok pojave ubrzanja tacke, i dobijenog ubrzanja a.Materijalna tacka manje mase dobija vece ubrzanje nego tacka vece mase,

ako na njih deluje ista sila. Zato je sila kolicinska mera inertnosti materijalnetacke. Jednacina (5.2) naziva se vektorska jednacina kretanja materijalnetacke.

Ako materijalna tacka ima konstantnu masu i ako na nju ne delujenikakva sila, odnosno ako je F = 0, onda iz (5.2) sledi da je za vremekretanja brzina tacke v konstantna, sto tvrdi prvi Njutnov zakon. Takvokretanje naziva se kretanje po inerciji.

Drugi Njutnov zakon vazi za svaki trenutak vremenat t0, ako je brzinatacke diferencijabilna funkcija vremena. U trenucima vremena, ili u vrlokratkim vremenskim intervalima, u kojima brzina tacke nije diferencijabilnafunkcija, drugi Njutnov zakon ne vazi.

6R. Kirchoff, 1824 - 1887.


6/28

5.1 Njutnovi zakoni (aksiomi - principi) dinamike 7

Pocetni uslovi kretanja

Drugi Njutnov zakon se primenjuje zajedno sa principom odre -denosti. Zatoje kretanje materijalne tacke odre-deno vektorskom jednacinom (5.2) i stan-jem tacke na pocetku kretanja, koje se najjednostavnije moze iskazati zada-

tim pocetnim uslovima kretanja

r= r0, v= v0, zat= t0, (5.3)

gde je r0 pocetni vektor polozaja, av0 pocetna brzina tacke.

Treci Njutnov zakon

Zakon 4 (III Njutnov) Dejstvu (akciji) uvek je jednako protivdejstvo (reak-

cija), ili me-dusobna dejstva, dvaju tela uvek su jednaka i suprotno usmerena7.

Napomene. Posto sile i spregovi dejstva i protivdejstva, deluju na razlicitatela, oni nisu u ravnotezi.

Kao sto se navodi u statici, sile i spregovi mogu biti rezultat kontaktadva tela, ali i ne moraju. Ovaj zakon upotpunjuje nase znanje o sili i spregu.Za svaku silu ili spreg, koji deluju na jedno telo, mora postojati drugo telo,koje je njihov izvor, i na koje mora delovati sila ili spreg istog intenziteta ipravca, a suprotnog smera 8.

7Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporun duorum ac-tiones in se mutuo semper esse aequales et in partes cortrarias dirigi.

8Tokom prve polovine 19. veka, kako se razvijala mehanika i povecavala tacnost pos-matranja, ustanovljeno je da se planeta Uran ne krece u skladu sa proracunima. PutanjaUrana nje se mogla odrediti na osnovu poznatih planeta Suncevog sistema. Znaci daje na Uran delovala i neka sila koja se nije uzimala u obzir prilikom proracuna njegoveputanje. Na osnovu treceg Njutnovog zakona, u Suncevom sistemu morala je postojatii neka druga planeta na koju deluje ista takva sila. 1845. godine engleski matematicarAdams (J. C. Adams 1819-1892) i 1946. godine francuski astronom Leverje (U. J. LeVerrier 1811-1877), nezavisno jedan od drugog, pretpostavili su postojanje nove planeteodre-dene mase, na putanji udaljenijoj od Sunca nego sto je Uranova. Na osnovu toga,oni su proracunali polozaj te nepoznate planete. Nemacki astronom Gale (J.G. Galle1812-1910) je u berlinskoj opservatoriji pronasao tu planetu i to na mestu koje se samo

za jedan stepen razlikovalo od predvi-denog. Ta nova planeta je Neptun.


7/28


5.3 Osnovni zadaci dinamikeU principu, pomocu jednacine kretanja materijalne tacke (5.2) ma = F, udinamici se resavaju dve vrste zadataka.

Prvi zadatak dinamike

Neka je poznato kretanje materijalne tacke. Znaci poznata je funkcija zav-isnosti vektora poloza ja tacke od vremena, odnosnor = r(t). Trazi se silakoja ostvaruje to kretanje. Dvostrukim diferenciranjem zakona r(t) po vre-menu dobija se ubrzanje tackea =r. Trazena sila u funkciji od vremena jeF(t) =mr. Posto se diferenciranje uvek moze izvrsiti ovaj zadatak dinamike

uvek ima resenje.


8/28

5.4 Diferencijalne jednacine kretanja tacke 8

Drugi zadatak dinamike

Neka je zadat analiticki oblik sile koja deluje na materijainu tacku, tj. poz-nat je oblik funkcije F = F(t, r, v). Trazi se zakon kretanja tacke r(t).Jednacina kretanja se posmatra u obliku

mr= F(t, r, v),

a to je sistem od najvise tri diferencijalne jednacine drugog reda. Te jednacineodre-duju kretanje tacke za jedno sa pocetnim uslovima kretanja (5.3)

r= r0, r= v0, zat = t0, (5.4)

gde je r0 pocetni vektor polozaja, av0 pocetna brzina tacke.

Znaci, do zakona kretanja materijalne tacke dolazi se resavanjem diferen-cijalnih jednacina sa odgovarajucim pocetnim uslovima. Takav matematickiproblem se naziva pocetni ili Kosijev problem diferencijalnih jednacina.

5.4 Diferencijalne jednacine kretanja tacke

Posmatrajmo kretanje materijalne tacke M mase m u trodimenzionalnomprostoru pod dejstvom sile F. Ako se polozaj tacke Mu prostoru odre-dujenjenim vektorom polozaja r u odnosu na neku nepomicnu tacku 0, tadavektorska jednacina kretanja tacke glasi

ma= F(t, r, v). (5.5)

Pri resavanju konkretnih problema kretanja, ova jednacina se zamenjujeodgovarajucim brojem skalarnih diferencijalnih jednacina u odabranom ko-ordinatnom sistemu. Tako dobijene diferencijalne jednacine kretanja sudiferencijalne jednacine drugog reda.

Dekartov koordinatni sistem

Kretanje materijalne tacke u prostoru ima tri stepena slobode i moze seposmatrati u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu Oxyz (Slika5.4), gde su vektor poloza ja, vektor brzine i vektor ubrzanja tacke

r= xi + yj + zk, v= xi + yj + zk, a= xi + yj + zk,


9/28


gde su x, y i z koordinate tacke M. Projektovanjem jednacine (5.5) na osex, y iz dobijaju se diferencijalne jednacine kretanja

mx= Fx(t,x,y,z,x, y, z),

my= Fy(t,x,y,z,x, y, z),

mz= Fz(t,x,y,z,x, y, z),

(5.6)

y

O

z

x

F

M

a

v

j

k

i

r

Slika 5.4:

gde su Fx, Fy, Fz projekcije na ove ose rezultujuce sile F, koja delujena tacku. Projektovanjem pocetnih uslova (5.4) na ose istog koordinatnogsistema dobija se sest pocetnih uslova

x(t0) =x0, y(t0) =y0, z(t0) =z0,

x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0,(5.7)

gde sux0,y0,z0, x0, y0i z0zadate konstante. Opste resenje tri diferencijalnejednacine drugog reda (5.6) sadrzi sest integracionih konstantiC1,C2, . . . ,C6,koje se odre-duju iz sest pocetnih uslova (5.7).

U slucaju kretanja materijalne tacke u ravni, koje ima dva stepena slo-bode, izraz (5.6) se svodi na dve diferencijalne jednacine kretanja, a iz (5.7)slede cetiri odgovarajuca pocetna uslova.

Pri kretanju materijalne tacke po liniji zadatog oblika, koje ima jedanstepen slobode, postoji samo jedna diferencijalna jednacina kretanja i dva

pocetna uslova.


10/28

5.4 Diferencijalne jednacine kretanja tacke 8

Polarni koordinatni sistem

Posmatrajmo ravansko kretanje materijalne tacke, koje ima dva stepenaslobode, u polarnom koordinatnom sistemu Or, gde su brzina i ubrzanjetacke dati izrazima:

v= rr0+ rc0, a=

r r2

r0+ (r + 2r) p0,

i gde su r0 i p0 jedinicni vektori ovog koordinatnog sistema (Slika 5.5).

0

Mr

po

ro

F

a

Slika 5.5: Polarni koordinatni sistem.

Projektovanjem vektorske jednacine (5.5) na pravce jedinicnih vektorar0 ip0 dobijaju se dve skalarne jednacine kretanja

m(r r2) =Fr(t,r,, r, ),

m (r + 2r) =Fp(t,r,,r, ),(5.8)

gde su Fr

i Fp

projekcije rezultujuce sile na radijalan i cirkularan pravac.Odgovarajuci pocetni uslovi kretanja tacke u polarnim koordinatama glase:

r(t0) =R0, (t0) =0,

vr(t0) =vr0, vp(t0) =vp0,(5.9)

gde su vr i vp radijalna i poprecna (cirkularna) projekcija vektora brzinetacke aR0,0, vr0, vp0 zadate konstante.

Prirodni koordinatni sistem

Posmatrajmo kretanje materijalne tacke pomocu krivolinijske koordinates,

koja se meri duz trajektorije tacke, u prirodnom triedru jedinicnih vektora


11/28


tangente T, glavne normale N i binormale B (Slika 5.6). Vektori brzine iubrzanja tacke su:

v= sT, a= sT + s2

RkN,

gde je Rk poluprecnik krivine trajektorije tacke. Vektor ubrzanja tacke, azbog toga i rezultanta svih sila koje deluju na tacku, nalaze se u oskulatornojravni tra jektorije tacke. Zbog toga, projektovanjem vektorske jednacine kre-tanja (5.5) na pravce jedinicnih vektoraT i N u oskulatornoj ravni dobijajuse jednacine kretanja

ms= FT(t,s, s),

ms2

Rk=FN(t,s,s),

(5.10)

gde suFT iFNprojekcije rezultante svih sila koje deluju na tacku na pravcevektoraT i N.

s

0

N

T

B

M

+

-

F

a

Slika 5.6:

Upotreba krivolinijske koordinate s za opisivanje kretanja tacke oprav-dana je samo ako je trajektorija tacke poznata, tj. kada je poznat oblik krivelinije po kojo j se tacka krece. Tada tacka ima jedan stepen slobode kretanjai za nalazenje zavisnosti s(t), tj. zakona kretanja tacke, sluzi samo prvajednacina (5.10), dok se iz druge (5.10), koja je tada algebarska, odre-dujereakcija veze zbog vezanog kretanja tacke po zadatoj trajektoriji.

Pri resavanju prve diferencijalne jednacine kretanja (5.10) odgovarajucekonstante integracije odre-duju se iz pocetnih uslova kretanja

s(t0) =s0, s(t0) = s0,

gde su s0 i s0 zadate konstante.


12/28

5.5 Neslobodno kretanje tacke 8

princip!oslobadjanja odveza

5.5 Neslobodno kretanje tacke

Do sada smo posmatrali kretanje tacke za koju smo pretpostavili da je slo-bodna, tj. da njeno kretanje u prostoru nije ograniceno vezama. Za tajslucaj vazi II Njutnov princip (zakon). Me-dutim, u praksi je cest slucaj

kada je kretanje tacke ograniceno postojanjem veza. Takvo kretanje nazi-vamo neslobodno kretanje materijalne tacke. U ovom slucaju ogranicenjana kretanje tacke su posledica delovanja drugih tela, a ne samo aktivnihsila. Recimo, ako je tacka prinu-dena da se krece po nekoj linije tada njenekoordinate moraju, u svakom trenutku, da zadovoljavaju jednacinu linije(jednacinu veze) po kojoj se krece.

Pri proucavanju neslobodnog kretanja tacke koristi se princip osloba-danjaod veza

Princip 2 Pri posmatranju neslobodnog kretanja tacke potrebno je dejstvoveza (materijalnih tela) na posmatranu tacku, zameniti reakcijama veza pazatim posmatrati njeno kretanje kao kretanje slobodne tacke pod dejstvom

aktivnih silaF i sila reakcije ( sila veze) R.

Primenivsi princip osloba-danja od veza, II Njutnov princip moze da sezapise u obliku

ma= F + R (5.11)

gde je F rezultanta svih aktivnih sila, a R rezultanta svih sila veze. Ovarelacija predstavlja diferencilanu jednacinu neslobodnog (prinudnog) kre-tanja, u vektorskom obliku.

5.5.1 Diferencilane jednacine neslobodnog (prinudnog) kre-tanja, u Dekartovim koordinatama

mx= X+ Rx,

my= X+ Ry,

mz = X+ Rz.

(5.12)

5.5.2 Diferencilane jednacine neslobodnog (prinudnog) kre-tanja, u prirodnim koordinatama

mat= Ft+ Rt,

man= Fn+ Rn,

0 =Fb+ Rb.

(5.13)


13/28


inercijalna sila

s

0

N

Nn

Nb

M

+

-

Fi

nn

i=1

vt

b

Slika 5.7: Veze.

5.5.3 Dalambrov princip

Posmatrajmo zapis II Njutnovog aksioma, za kretanje neslobodne tacke

ma= F + R (5.14)

Ovu jednacinu mozemo da napisemo u obliku

F + R + (ma) =0 (5.15)

ili

F + R + Fin =0 (5.16)

gde smo saFin oznacili takozvanu inercijalnu silu. Jednacina (6) izrazava

Princip 3 (Dalamberov princip) Ako u svakom trenutku aktivnim sil-ama i reakcijama veza, koje deluju na materijalnu tacku, pridodamo sile

inercije, onda je njihov zbir jednak nuli.


14/28

5.6 Oscilatorno kretanje 8

R

Fin

M F

a

Slika 5.8: Inercijalne sile.

Ovaj princip pogodan je za odre-divanje nepoznatih reakcija veza. Me-dutim,da bi se njime resio problem nepoznatih reakcija neophodno je poznavanjepravca i smera ubrzanja materijalne tacke kako bi se aktivnim silama i reak-cijama veze tacno mogla pridodati sila inercije.


15/28


16/28


kinetiv cka energija

impuls sile

rad sile

od polozaja izabrane tacke O , odnosno on se menja sa promenom polozajamomentne tacke O.

Kineticka energija

Kineticka energija materijalne tacke mase m, cija je trenutna apsolutnabrzinav, definisana je sa

Ek =m

2vv ili Ek =

m

2v2 (5.25)

i predstavlja skalarnu meru kretanja tacke. Jasno je da je uvek E 0 ida kineticka energija ima apsolutni minimum za v = 0. Kineticka energijamoze se izraziti na razne nacine u zavisnosti od toga u kom je koordinatnomsistemu izrazen vektor brzine tacke. Ti razliciti izrazi za kineticku energijuu prirodnom, Dekartovom i polarnom koordinatnom sistemu glase:

Ek =

m

2 s2

,

Ek =m

2

x2 + y2 + z2

,

Ek =m

2

r2 + r22

.

(5.26)

5.8 Mere mehanickog dejstva

U prvom poglavlju knjige, definisane su dve osnovne mere mehanickog de-jstva: sila i spreg. To su mere mehanickog dejstva nezavisne od protokavremena i promene polozaja tacke. U dinamici, gde se posmatraju promenepolozaja tacke u prostoru tokom vremena, uvode se nove mere mehanickogdejstva. U dinamici materijalne tacke, posmatra ju se nove mere mehanickogdejstva vezane samo za silu. To su impuls i rad sile. Ove velicine, kao imere kretanja materijalne tacke, igraju znacajnu ulogu u opstim zakonimadinamike.

Impuls sile

Neka na materijainu tacku M deluje sila F. Elementarnim impulsom sile Fnaziva se vektorska velicina dI, koja je jednaka proizvodu sile i elementarnogvremenskog intervala dt, u kome sila deluje, tj.

dI= F dt. (5.27)


17/28

5.8 Mere mehanickog dejstva 9

Ova mera mehanickog dejstva sile u toku elementarnog vremenskog intervalapoklapa se sa pravcem i smerom sile.

Ako se tacka M pod dejstvom sile F pomeri iz polozaja M0 u polozajM1 u vremenskom intervalu (t0, t1), tada je konacan impuls sile F za vremetog kretanja odre-den sa

I01=t1

t0

F dt. (5.28)

Konacan impuls I01 sile F u vremenskom intervalu (t0, t1), ne mora biti upravcu sile F ni u jednom od trenutaka u intervalu (t0, t1), jer integracija uprethodnom izrazu menja pravac definisan silom F.

Posto je impuls sile vektor, moze se predstaviti pomocu projekcija urazlicitim koordinatnim sistemima. Na primer, ako se kretanje posmatra uDekartovom koordinatnom sistemu onda postoje tri projekcije impulsa sileF u vremenskom intervalu (t0, t1) na ose x, y i z

I01x=

t1t0

Fxdt, I01y =

t1t0

Fydt, I01z =

t1t0

Fzdt, (5.29)

gde suFx,Fy iFz pro jekcije sile na te koordinatne ose. Intenzitet konacnogimpulsa sile u vremenskom intervalu (t0, t1) ima viednost

I01=

I01x2 + I01y

2 + I01z2, (5.30)

dok su uglovi tog vektora sa osama odre-deni reladjama

cos 1= I01x

I01, cos 1=

I01yI01

, cos 1 =I01z

I01. (5.31)

Svaka od projekcija impulsa, na primer I01x moze se izracunati bez pozna-vanja kretanja, ako je Fxdt totalni diferencijal neke funkcije. Taj uslov jesigurno ispunjen ako je Fx:

1. konstantno, tj.

Fx= const., I01x=Fx(t1 t0),

2. neprekidna funkcija vremena,

Fx= f(t), I01x=

t1

t0

f(t) dt,


18/28


elementarni rad sile 3. linearna kombinacija sa konstantnim koeficijentimac1, c2 i c3 Dekar-tovih projekcija brzine tacke

Fx= c1x + c2y+ c3z,

I01x= c1(x1 x0) + c2(y1 y0) + c3(z1 z0).

Rad i potencijalna energija sile

Posmatra jmo kretanje tacke M, na koju deluje sila F, koja se pomerila zadr, gde jer vektor polozaja tacke Mu odnosu na neku nepokretnu tackuO(slika 5.13). Elementarni rad sile Fna pomeranju drdefinisan je izrazom

dA= Fdr (5.32)

ili

dA= Fdr cos , (5.33)

gde jeugao izme-du vektoraFi dr. Ako je ugaoostar tada je elementarnirad pozitivan, dok je za tup ugao rad negativan. Sila ne vrsi elementarnirad ako je normalna na elementarno pomeranje.

M

v

d r

d rF

T

FT

F

Slika 5.13:

Elementarni rad moze se izraziti na razne nacine:

1. Sa slike 5.13 je drF = dr cos , pa je iz (5.33)

dA= FdrF, (5.34)

tj. elementarni rad je proizvod intenziteta sile F i pomeranja drF u

pravcu sile;


19/28


snaga sile2. sa slike 5.13 je FT = F cos , gde je FT projekcija sile na pravacpomeranja dr, koje ima pravac tangente T na trajektoriju tacke, pase dobija

dA= FTdr, (5.35)

tj. elementarni rad je proizvod pomeranja i projekcije sile na pravac

pomeranja. Posto je dr ds, gde je s krivolinijska prirodna koordi-nata merena duz trajektorije tacke, ovaj izraz posta je

dA= FTds. (5.36)

3. Ako je vektor polozaja tacke M dat u nepokretnom Dekartovom ko-ordinatnom sistemu, tj. r= xi + yj + zk, tada je

dr= dxi + dyj + dzk

i elementarni rad (5.32) postaje

dA= Fxdx + Fydy+ Fzdz, (5.37)

gde su Fx

, Fy

i Fz

projekcije sile na Dekartove ose.

Ako se tackaMpomeri iz polozajaM0u neki drugi polozajM1, tada silaF vrsi konacan rad na tom pomeranju, koji je jednak integralu bilo kojegod prethodnih izraza za elementarni rad na tom pomeranju. Na primer, onje

A01=

M1

M0

(Fxdx + Fydy+ Fzdz) . (5.38)

Konacan rad sileF izracunava se pomocu linijskog integrala i njegova vred-nost zavisi od pocetnog M0 i krajnjeg M1 poloza ja tacke Mna koju delujesila pri pomeranju. Konacan rad ne zavisi od vremena proteklog za vreme

pomeranja.Jedinica za rad je dzul15 [J], a to je rad koji izvrsi sila od jednog njutna

na pomeranju od jednog metra.Ako je potreban rad koji silaF izvrsi tokom kretanja u jedinici vremena,

tada se dolazi do pojmasnage sile F. Ako se tackaMpomeri za drtokomvremena dt, tada je snaga te sile

P =dA

dt =Fv= FTs, (5.39)

gde su upotrebljeni izrazi (5.32) i (5.36) za elementaran rad sile. Jedinica zasnagu je vat16 [W]. Vat je snaga koja odgovara radu od jednog dzula koji se

15J.P. Joule, 1818-1889.16J. Watt. 1736-1819.


20/28


potencijalna energija izvrsi u jednoj sekundi. Vidi se da istoj snazi odgovaraju razlicite vrednostibrzine kretanja tacke s i projekcije sile na pravac tangente putanje tackeFT. Manjoj vrednosti sile odgovara veca brzina i obrnuto.

Umesto rada, koji je mera mehanickog dejstva sile na pomeranju tacke,vrlo cesto se uvodi potencijalna energijasile. Elementarna potencijalnaenergija sile Fje definisana je kao negativan elementarni rad te sile, tj.

d = dA. (5.40)

Ukoliko je moguca jednoznacna integracija izraza (5.40) bez poznavanja kre-tanja, u granicama izme-du dva polozajaM0iM1na trajektoriji tacke, dobijase rad na konacnom pomeranju

A01= 0 1, (5.41)

koji je razlika vrednosti potencijalne energije u pocetnom i krajnjem polozajutacke. Ovaj izraz jasno ukazuje da rad zavisi samo od razlike vrednosti po-tencijalne energije u granicnim polozajima a ne od njene apsolutne vrednostii oblika putanje po kojoj se tacka krece. Apsolutna vrednost potencijalneenergije nije od interesa u dinamici, pa se zbog toga ne propisuje polozaj ukome ona ima neku zadatu vrednost. Prema tome, kada se iz d = dA,znaci pomocu elementarnog rada, nalazi oblik potencijalne energije, posleobavljene integracije ne mora se dodavati integraciona konstanta. Ta in-tegraciona konstanta bi se, posle oduzimanja prema (5.41), potrla i ne biimala nikakvog uticaja na krajnji rezultat.

Ako je potencijalna energija jednoznacna funkcija, i ako se krajnja ipocetna tacka trajektorije poklapaju, tada je ukupni rad pri tom kretanjujednak nuli.

Rad sile zemljine teze

Posmatra jmo materijalnu tacku M mase m u polju zemljine teze, pri kre-

tanju od polozaja M0 do polozaja M1 (slika 5.14),


21/28


y

y 1

x1

x1

z0

z1

y 0

O

z

x

G

M

M 1

M0

h

Slika 5.14:

i za to se usvaja Dekartov koordinatni sistem Oxyz. Elementarni rad sile

mg, koja deluje na tacku, dobija se na vise nacina:1. projekcije sile na koordinatne ose su

Fx= 0, Fy= 0, Fz = mg,

pa je prema (5.37)dA= mg dz, (5.42)

2 . tacka M vrsi elementarna pomeranja dx, dy i dz, koja su uvek upozitivnom smeru odgovarajucih osa. Sila mg se projektuje samo napomeranje dz, i to u suprotnom smeru od pomeranja dz, pa je prema(5.35) ponovo elementarni rad dA dat sa (5.42).

Integracijom izraza (5.42) u granicama od z0 do z1, koji odgovarajupoloza jima tacakaM0 i M1, dobija se

A01= mg(z1 z0).

Vidi se da rad sile zemljine teze ne zavisi od oblika putanje (slika 5.14) pokojoj se tacka pomera iz polozaja M0 u polozaj M1. Ako je z1 > z0, tj. akose tacka pomera navise, rad je negativan. Za z1 < z0, znaci pri pomeranjuna dole, rad je pozitivan. Ako jez1 = z0 sila zemljine teze ne vrsi rad napomeranju tacke. Naglasimo da ovaj znak rada sile zemljine teze ne zavisiod orijentacije osez , vec samo od smera pomeranja (navise ili nanize) tacke

u polju zemljine teze.


22/28


Prema (5.40) i (5.42), potencijalna energija sile zemljine teze glasi

= mgz.

Rad sile u opruzi

Ako na kraj opruge deluje sila F (slika 5.15) opruga se izduzuje za velicinux, i u njo j se javlja elasticna sila opruge F0 u suprotnom smeru od sile F.Ta sila je intenziteta F =cx, gde je c krutost opruge. Posto je pomeranjedxu istom smeru sa izduzenjem x, elementarni rad ove sile iznosi

dA= cx dx,

pa se iz (5.40) i integracijom dobija potencijalna energija sile u opruzi

= c

2x2.

Ovaj izraz za potencijainu energiju sile u opruzi moze se koristiti i u slucajukada se pravac deformisane opruge ne poklapa sa pravcem opruge u nede-formisanom stanju. U tom slucaju, deformacija opruge xje promena njeneduzine , koja je razlika duzina opruge u dva nekolinearna pravca.

x0

x

c

x

O

O

G

N

FC

Slika 5.15: Rad sile u opruzi.

Rad sile trenja

RUSOV !!!!!


23/28

5.9 Opsti zakoni dinamike materijalne tacke 10

G

N

M 1M0

F v

Slika 5.16: Rad sile trenja.

5.9 Opsti zakoni dinamike materijalne tacke

Opsti zakoni dinamike materijalne tacke uspostavljaju vezu pri kretanjuizme-du mera kretanja tacke i mera dejstva sile koja deluje na tacku. Oni seizvode iz drugog Njutnovog zakona i mogu se koristiti umesto diferencijalnihjednacina kretanja. Sta vise, nekad se njihova upotreba bas preporucuje priresavanju pojedinih problema kretanja.

Neka je F rezultanta svih sila koje deluju na materijalnu tacku tokomkretanja. U te sile se ukljucuju sve aktivne sile i sve reakcije veza, kojeogranicavaju kretanje tacke. Kretanje tacke se odvija u skladu sa drugimNjutnovim zakonom

ma= F. (5.43)

Na osnovu ove vektorske jednacine kretanja izvode se svi opsti zakoni di-namike materijalne tacke.

Zakon o promeni kolicine kretanja

Mnozeci vektorsku jednacinu kretanja materijalne tacke (5.43) elementarnimprirastajem vremena dt, zbog konstantnosti mase tacke i cinjenice da jeubrzanjea = dv/dt, sledi

d(mv) =F dt,

odnosno

dK= dI, (5.44)


24/28


gde je prema (5.23) K = mv kolicina kretanja tacke, a prema (5.27) dl =F dt elementarni impusl sile F. Znaci, elementarna promena kolicine kre-tanja materijalne tacke jednaka je elementarnom impulsu sile F. Integraci-jom jednacine (5.44), od jednog trenutka vremena t0 do nekog drugog t1,dobija se

t1

t0

dK=

t1

t0

dI

odnosno

K1 K0 = I01. (5.45)

Ovo je

Zakon 5 (zakon o promeni kolicine kretanja) Svaka promena kolicinekretanja materijalne tacke, za konacan vremenski interval, jednaka je im-

pulsu sile za to vreme.

Ovo je vektorski zakon koji se moze iskazati u raznim koordinatnim sis-temima. Na primer, u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemuOxyzovaj zakon je ekvivalentan sa tri zakona o promeni kolicine kretanja tackeu pravcu osa x,y i z

K1x K0x= I01x,

K1y K0y =I01y,

K1z K0z =I01z,

gde su Kx, Ky, Kz, Ix, Iy i Iz pro jekcije kolicine kretanja i impulsa sile naove ose.

Posto je kolicina kretanja materijalne tacke definisana brzinom tacke, tosu prvi izvodi koordinata po vremenu najvisi red izvoda koji se pojavljujeu zakonu o promeni kolicine kretanja. Zato je ovaj zakon prvi integraljednacine kretanja (5.43). Uostalom, do zakona (5.45) se dolazi posle jedneformalne integracije vektorske jednacine kretanja. Ovaj zakon je pogodan zaresavanje zadataka u kojima su sile takve da se mogu izracunati njihovi im-pulsi. Ako brzina tacke nije diferencijabilna funkcija u nekom vremenskomintervalu, tada se ovaj zakon primenjuje za trenutke pocetka i kra ja tog in-tervala kretanja. Primetimo da se u tom slucaju, u navedenom intervalu,

drugi Njutnov zakon ne moze primeniti.


25/28

5.9 Opsti zakoni dinamike materijalne tacke 10

Zakon o promeni momenta kolicine kretanja

Pomnozi se vektorski jednacina kretanja materijalne tacke M(5.43) sa levestrane vektorom polozajar te tacke u odnosu na neku nepokretnu tacku O.Tako se dobija

r ma= r F,

odnosnod

dt(r mv) =r F.

Posto je, prema (5.24)LO =r mv, moment kolicine kretanja materijalnetacke O, a MFO =r F moment sile F za istu tacku, dobija se

LO =MF

O (5.46)

odnosno zakon o promeni momenta kolicine kretanja materijalne tacke:

Zakon 6 Brzina promene momenta kolicine kretanja materijalne tacke za

nepokretnu tackuO jednaka je momentu sile za istu momentnu tacku.

Naglasavamo, da ovaj zakon nije prvi integral jednacine kretanja tacke.

Zakoni o promeni kineticke energije i odrzanju ukupne mehanickeenergije

Jednacinu kretanja materijalne tacke (5.43) projektujemo na pravac tan-gente trajektorije tacke. U pravcu tangente se nalazi brzina tackev = dr/dt,pa i vektor dr. Zato se, projekcija vektorske jednacine kretanja (5.43) napravac tangente, dobija njenim skalarnim mnozenjem jedinicnim vektoromdr/dr pravca tangente. Time se dobija

madr= Fdr.

Ovaj izraz, zbog poznatih relacija

a=dv

dt, dr= vdt,

postajemvdv= Fdr.

Posto je masa tacke konstantna, prethodni izraz se svodi na

d

m

vv

2

= Fdr,


26/28


ilidEk = dA, (5.47)

gde je prema (5.25) Ek = mvv/2 kineticka energija materijalne tacke, aprema (5.32) dA= Fdrelementarni rad sileF. Ova relacija pokazuje da je,za vreme kretanja tacke, elementarna promena kineticke energije jednaka el-ementarnom radu sile koje deluju na tacku na odgovarajucem pomeranju17.

Ako se tacka pomeri, za vreme kretanja, iz polozaja M0 u polozaj M1na putanji, tada se integracijom izraza (5.47) u tim granicama, dobija

Ek1 Ek0= A01, (5.48)

tj. zakon o promeni kineticke energije materijalne tacke:

Zakon 7 Svaka konacna promena kineticke energije materijalne tacke jed-naka je radu sile, koje deluju na tu tacku, na pomeranju iz pocetnog u krajnjipolozaj tacke.

Posto se u kinetickoj energiji pojavljuju samo prvi izvodi po vremenubilo kojih koordinata tacke, ovaj treci opsti zakon dinamike tacke je prviintegral jednacine kretanja. Ovaj zakon je pogodan za primenu, umestojednacina kretanja, kad god se moze izracunati rad svih sila koje deluju natacku.

Zakon o promeni kineticke energije materijalne tacke moze dobiti i drugioblik, ako se umesto rada kao mere dejstva sile pri kretanju upotrebi poten-cijalna energija. Tada se iz (5.40) i (5.47) dobija

d(Ek+ ) = 0,

odnosno

Ek+ =E, (5.49)

gde je E konstanta koja se izracunava iz pocetnih uslova kretanja. Ovo jezakon o odrzanju, ili konzervaciji, totalne mehanicke energije, odnosno zbirakineticke energije tacke i potencijalne energije sile koja deluju na tacku:

Zakon 8 za vreme kretanja materijalne tacke pod dejstvom potencijalne sileodrzava se ili konzervira njena totalna, ili ukupna, mehanicka energija.

17Istorijski razvoj mehanike pokazuje da je ovo fundameutalna relacija koja moze daposluzi kao polazna tacka za formiranje jednog posebnog pravca dinamike. Sta vise, ovacinjenica, koja uspostavlja jednakost izme-du elementarnog prirastaja kineticke energije ielemeatarnog rada, koristi se kao polazna cinjenica i u drugun oblastima fizike i tehnike

za uspostavljanje energijskih jednacina.


27/28

5.10 5.1.13 Relativno kretanje materijalne tacke 10

Kao i zakon o promeni kineticke energije i ovaj zakon je prvi integraljednacine kretanja. Svaka njegova upotreba je potpuno ekvivalentna sakoriscenjem zakona o promeni kineticke energije. Posto ovaj zakon, zakon okonzervaciji totalne mehanicke energije, vazi samo za potencijalne sile to seranije dobijeni uslov (??) potencijalnosti sile naziva i uslov konzervativnosti

sile. Sta vise, i sve sile se mogu podeliti na one koje imaju potencijalnu en-ergiju, koje se zovu konzervativne sile, i one za koje ne postoji potencijalnaenergija, takozvane nekonzervativne sile.

Zakon o odrzanju totalne mehanicke energije govori o neprekidnoj promenienergije tokom kretanja, odnosno promeni kineticke energije tacke u poten-cijalnu energiju sile koja deluju na tacku, ili obrnuto. Posto je kinetickaenergija tacke uvek pozitivna velicina, u polozaju gde je ona maksimalnapotencijalna energije sile koja deluju na tacku je minimalna, ili obrnuto18.

5.10 5.1.13 Relativno kretanje materijalne tacke

Proucimo kretanje materijalne tacke M mase m u odnosu na koordinatnisistemOxyz, koji je vezan za plocuS, koja se ravanski krece u ravni Ax1y1z1nepomicnog koordinatnog sistema Ax1y1z1 (slika 5.17). Znaci, proucavase relativno kretanje tacke u odnosu na kretanje ploce. Kretanje ploce jeprenosno kretanje za tacku M. Cilj je da se, znajuci prenosno kretanje isve aktivne sile koje deluju na materijalnu tacku, odredi relativno kretanjetacke i sve reakcije veza koje deluju na tacku, ako je kretanje tacke

y1

y

x1

x

0

A

in

in

M

z1

z

F

S

FC

FP

aC

aP

Slika 5.17:

18Na primer, voda na vrhi vodopada ima potencijalnu energiju sile zemljne teze, kojase pri padu pretvara u kineticku energiju. Kineticka energija vode koja pada moze se uhidrocentrali pretvoriti u kineticku energiju obrtanja turbine, inace se ona u podnozju

vodopada pretvara u toplotnu energiju.


28/28


ograniceno vezama. Ako je F rezultanta svih sila koje deluju na tacku i akoje a apsolutno nbrzanje tacke, onda se kretanje tacke odvija u skladu sadrugim Njutnovim zakonom

ma= F.

Iz kinematike je poznato da je apsolutno ubrzanje tacke vektorski zbirprenosnog, relativnog i Koriolisovog ubrzanja, tj. vazi

a= ap+ ar+ ac.

Posle zamene ovog izraza u drugi Njutnov zakon, izdvaja se proizvod masetacke i njenog relativnog ubrzanja. Time se dobija

mar =F map mac,

ilimar =F + F

inp + F

inc (5.50)

gde suFinp = map, F

inc = mac, (5.51)

prenosna i Koriolisova sila inercije. Ove velicine nazivaju se silama samozato sto one imaju dimenziju sile. Poznato je da je sila rezultat mehanickogdejstva dva tela, a na osnovu treceg Njutnovog zakona, ako sila deluje namaterijainu tacku onda mora postojati i drugo telo, izvor te sile, na kojedeluje sila istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera. Za ove sile (5.51)ne postoji takvo telo, pa ovo nisu prave sile. To su prividne sile, ali njihovouvo-denje pomaze da se problem relativnog kretanja jednostavnije prouci.Naime, u svakom problemu odredi se prenosno i Koriolisovo ubrzanje tackei, prema (5.51), u suprotnom smeru od tih ubrzanja dejstvu svih ostalih

sila dodaju se ove dve sile (slika 5.17). Zatim se jednacina kretanja (5.50)projektuje na ose pokretnog koordinatnog sistema, koji je uslovno Dekartov,ali moze biti i neki drugi. Tim projektovanjem dobijaju se diferencijalnejednacine relativnog kretanja. Da bi se odredilo relativno kretanje, integralise onoliko jednacina koliko stepeni slobode ima relativno kretanje tacke. Izostalih jednacina odre-duju se reakcije veza.

Pored svih ranije definisanih reakcija veza, koje se javljaju pri vezanomkretanju tacke, pri vezanom relativnom kretanju tacke na nju deluje uvek ijedna reakcija veze u suprotnom smeru od Koriolisove sile inercije.

Documents

Dinamika Materijalne Tacke