DINAMIČKO PONAŠANJE PROCESA I DRUGIH ELEMENATA SISTEMA

UPRAVLJANJA• Dinamika sistema – ponašanje sistema u nestacionarnom

stanju kada dolazi do promjena procesnih promenljivih utijelom vremena.

• Analiza dinamičkog ponašanja sistema pri malim promjenama ulaza u odnosu na stacionarno stanje – oko radne tačke:– Vremenska domena– Diskretna domena

• Dinamički modeli: • matematički modeli koji definišu vezu izmedju promena izlazne i ulazne

promenljive (input-output)

Podjela dinamičkih modela •Prema načinu dobijanja:

– teorijski– empirijski

•Na temelju zasnovanosti (rigoroznosti):– deterministički – stohastički

•Na temelju broja nezavisnih varijabli: – s koncentriranim parametrima– sa raspoređenim parametrima

• Na temelju linearnosti – linearni – nelinearni

• Na temelju reda broja vremenskih konstanti kojima je opisan dinamički model:

– sustavi nultog reda– sustavi prvog reda– sistemi drugog reda– sistemi višeg reda.

• Na osnovu domene definitanosti:– kontinuirani – diskretni

Dinamičke karakteristikeregulacijskih sustava

• Bitno ih je poznavati jer se na osnovi njih može zaključiti na:– točnost regulacije– brzinu regulcije– stabilnost regulacije

• Dinamika vladanja procesa određuje vrstu regulacije i tip regulatora kojim se gornji kriteriji mogu ostvariti

Dinamičke karakteristikeregulacijskih sustava

• Konačna svrha je sinteza regulacijskog kruga• Do nje se može doći empirijski što se ne

preporućuje jer može biti opasna i po sustav, po okoliš i po čovjeka

• Drugi put k sintezi regulacijskog kruga je preko poznavanja dinamičkih svojstava elemenata regulacijkog kruga

• Dinamikča svojstva elemenata regulacijkog kruga ispituju se pomoću ispitnih funkcija (identifikacija sustava kroz njegovu analizu)

Ispitne funkcije

• Jedinični impuls δ(t)Diracova funkcija

Ispitne funkcije

• Skok (step) funkcija

Jedinični skok s(t)Heavisideova funkcija

Ispitne funkcije

• Sinusna funkcija

Sinusni signaljω = s = d/dt

Formiranje teorijskih determinističkih modela • Jednaužbe odnosa masa i energija – najopčenitiji oblik:

AAKUMULACIJ PONOR IZVOR IZLAZ ULAZ

(1) Jednadžba ukupnog materijalnog odnosa (jednadžba kontinuiteta)

(2) Jednadžba energetskog odnosa (3) Jednadžba kretanja (bilans količine gibanja)

(4) Transportne jednadžbe (5) Jednadžbe kemijske termodinamike (6) Jednadžbe ravnoteže(7) Jednadžbe kemijske kinetike

Tvorba teorijskih determinističkih modela

Primjer: Sistem s koncentritanim parametrima

Izotermni reaktor s idealnim mešanjem: reakcija AB

)( Vdt

d = F-F ii

Ukupni materijalni odnos:

dt

dV = F-Fconst i

Materijalni odnos za komponentu A:

)( cVt d

d= c k V -c F -cF AAAAii

Formiranje teorijskih determinističkih modela

Primer: Sistem sa raspoređenim parametrima

Izotermni cijevni reaktor (klipno strujanje): reakcija AB

Linearizacija - primer

• Materijalni bilans po komponenti A za izotermni reaktor sa idealnim mešanjem (V=const, reakcija n-tog reda)

c k V - c F - cF = dt

dcV nAAAi

A

Linearizacija FcAi:

F-Fc c-cF cF cF,f = cF ssAi,sAi,AissAi,sAi1Ai Linearizacija FcA:

F-Fc + c-cF + cF cF,f = cF ssA,sA,AssA,sA2A

Linearizacija VkcAn :

)()( ,1,,3 sAA

nsA

nsAA

nA ccVkncVkccfVkc

Ukupno:

c-ccn+ck V F-Fc+c-cF+cF

F-Fcc-cFcF dt

dcV

sA,A1-nsA,

nsA,ssA,sA,AssA,s

ssAi,sAi,AissAi,sA

ELEMENTARNI SUSTAVI 1. Proporcionalni sustav (sustav nultog reda)

2. Sistem prvog reda (sustav sa vremenskom konstantom)

3. Kapacitivni element (integrator)

4. Sistem drugog reda (sustav s dvije vremenske konstante)

5. Element sa mrtvim vremenom (čisto kašnjenje)

6. Derivacijski element

1. Proporcionalni element

)()( tx K = ty

Primjer: Pneumatski sustav pločica - mlaznica

C=p -x

b+a

b=

x K = x b+a

C b=p -K= sG=

sX

sY)(

)(

)(

2. Sustav prvog reda

K – pojačanje sustava – vremenska konstanta (s, min)

Primer 1: Protočni spremnik

C (m2) – kapacitet spremnikaR (min/m2) – otpor istjecanja

s= dt

d

x K= y + dt

dy x K= y +

dt

dy

1)(

)(

s

K=

sX

sY

2. Sustav prvog reda Primer 1: Protočni spremnik

)()()(

tF-t= F dt

tdhC oi

R

th= tFo

)()(

R

th-t= F

dt

tdhC i

)()(

)(

)()()( sF R sH s sHRC i

1)(

)(

s

R

sF

sH

i 1

1

)(

)(

s

sF

sF

i

o

C (m2) – kapacitet spremnikaR (min/m2) – otpor istjecanja

konstantavremenskaC R =

Primjer 2: Tekućinski termometar

)( T-TA h dt

dTc m tf

tp

1

1

1

1

)(

)(

+s =

+shA

mc =

sT

sTpf

t

hA

mc = p

)()()()(

tVkc - tFc - tFc = dt

tdcV AAAiA

)()( sCF = sC V k + F+ sV AiA

11)(

)(

s

K

sV kF

VV kF

F

= V kF sV

F

sC

sC

Ai

A

ck

V kF

F K

1

1

c

c

k

V kF

V

1

B A Primjer 3: Izotermni protočni reaktor s idealnim miješanjem

Proces prvog reda

3. Kapacitivni element (integrator)

x= dt

dyC

s C=

sX

sYsG

1

)(

)()(

dt

dhC =

dt

dV = F

)()( sH sC sF

Cs

sF

sH 1

)(

)(

Primjer: Spremnik tekućine

C (m2) – kapacitet spremnika (površina poprečnog presjeka)

Ovakav je sustav u stacionarnom stanju samo za F = 0 (h = const)

Astatizam

C – kapacitet sistema

4. Sistem drugog reda

Kx= y + dt

dy 2+

dt

yd2

22

K – pojačanjet – vremenska konstanta (s ili min)n=1/ - prirodna (sopstvena) frekvencijax - koeficijent prigušenja

1212)(

)()(

+s+s

K =

+s+s

K

sX

sYsG

n2n

222

(1)Serijska veza 2 sustava 1. reda bez međudjelovanja(2)Serijska veza 2 sustava 1. reda s međudjelovanjem(3) Inherentni sistem II reda

(1)Redna veza 2 sistema I reda bez medjudejstva

Primer: 2 nivo sistema vezana na red

1

1

)(

)(

11

2

s =

sF

sF

CR = ,CR = 222111

1)(

1)1)(1(

1

)(

)()(

212

21

211

31

s + s =

ss

= sF

sFsG

1

1

)(

)(

22

3

s =

sF

sF

ss

R =

sF

sHsG

)1)(1()(

)()(

21

2

1

22

212

2 1

n

Drugi primeri: kaskada 2 reaktora, reaktor sa 2 konsekutivne reakcije A→B→C, …

GENERALIZACIJA: redna veza n sistema I reda

)1()(

)()( n

nn

nsK =

sX

sY = sG

)1(2

2 21

n

(2) Redna veza 2 sistema I reda sa medjudejstvom

Primer: 2 nivo sistema vezana na red

)()()(

211

1 tF - tF = dt

tdhC

)()()(

322

2 tF tF = dt

tdhC

1

212

)()()(

R

th-th tF

2

23

)()(

R

th tF

R

sHsHsF sH sC1

21111

)()()()(

R

sH

R

sHsH sH sC2

2

1

2122

)()()()(

1)(

)()(

21212

21

2

1

21

sRC+s

R sF

sHsG

CR = ,CR = 222111

2122 1

n

2121

22 RC

n

Drugi primeri: • Termometar sa zaštitnom oblogom• Kaskada 2 reaktora sa reciklom• Reaktor sa povratnom reakcijom• .....

1

1

)(

)()(

21212

211

32

sRC+s

sF

sFsG

(3) Inherentni sistem II reda

Primer: U-manometar

UBRZANJECEVI U

NOSTICTE MASA =

TRENJA

SILA -

KRAKA OBA U NIVOA

RAZLIKE ZBOG SILA -

KRAK DESNI I LEVI NA DELUJU

KOJI PRITISAKA RAZLIKE SILA

A p = Ap - Ap = F 21p g A h 2 = F g

dt

dhA

D

L32 = A v

D

L32 = Ap = F 22trtr

dt

hd L A =a m2

2

dt

dhA

D

L ghApA

dt

hdL A22

2 322

pg

h + dt

dh

gD

L +

dt

hdg

L

2

116

2 22

2

p K = h + dt

dh +

dt

hd 22

22

g = K ,

gD

L = = ,

g

L = =

nn

2

11622

2

122

21212)(

)(

2

222

nn

s+s

K

s+s

K

sP

sH

5. Element sa mrtvim vremenom (element sa čistim kašnjenjem)

)()()()()( Dtx = Dtf = ty ,tf = tx

e = sX

sYsG Ds

)(

)()(

D (s, min) mrtvo vreme ili čisto kašnjenje

Primer: Cevovod sa klipnim strujanjem fluida x(t) i y(t): promena koncentracije, temperature, gustine, ...

v

L = D

... sD sD

... sD sD =

e

e = e Ds

DsDs

2

2

2/

2/

)2/(2/1)2/(1

)2/(2/1)2/(1Padé-ova aproksimacija:

Drugi primeri: cevni reaktori, razmenjivači tipa cev-u-cevi, uredjaji sa pakovanim slojem(sistemi sa rasporedjenim parametrima)

6. Diferencijalni element

aa= ,ab= s

s =

sX

sYd

d01101

1

//1)(

)(

dt

dxb =y a 10 ab= s =

sX

sYdd 01 /

)(

)(

xb+dt

dxb =y a 010 bb= ,ab=K sK =

sX

sYdd 0100 //)1(

)(

)(

ili

Moguće je realizovati:

aa= ,bb= ,ab=K s

sK =

sX

sYd

d0110100

1

///1

1

)(

)(

ili

Fizički ne mogu da se realizuju

BLOK DIJAGRAMI I ALGEBRA BLOK DIJAGRAMA

Osnovni elementi blok dijagrama

Osnovna pravila:

1. U blok ulazi 1 signal i iz njega izlazi 1 signal

2. U krug ulaze 2 signala, a iz njega izlazi 1 signal

3. Mogu se sabirati samo signali iste vrste (temperatura se sabira sa temperaturom, protok sa protokom, pritisak sa pritiskom itd.)

4. Signal ne menja vrednost prilikom grananja.

Formiranje blok dijagrama PRIMER 1: Nivo sistem prvog reda

PRIMER 2: Dva sistema prvog reda sa medjudejstvom

R

HF

FFCsH

o

oi

3222

2

23

1

212

2111

FFsCH

R

HF

R

HHF

FFsCH

Rešavanje blok dijagrama - ekvivalentne transformacije

Odabrane transformacije

Rešavanje blok dijagrama - primeri

Rešavanje blok dijagrama - primeri

Rešavanje blok dijagrama - primeri

YGGGG - XGGG + LGG + LG + L =

H) - (XGGG + LGG + LG + L =

FGGG+LGG + LG + L=

E) + L(GG + LG + L =

D) G + L( G + L =

C)+L( G + L =

B G + L =

A + L = Y

4321321232233

321232233

132132233

132233

2233

233

33

3

L GGGG

+ L GGGG

G + L GGGG

GG + X GGGG

GGG = Y 34321

24321

31

4321

32

4321

321

1

1

111