Dinamika Struktur

Rekayasa Gempa (ts 1440)

Rekayasa Gempa (TS 1440)CHAPTER 4Dynamic Response Of StructuresRevised : 19-October-2008Institut Teknologi Sepuluh Nopember SurabayaKuliah Rekayasa Gempa (TS 1440) Created By :Mudji Irmawan , Bambang Piscesa

IntroductionPenyebab utama kerusakan struktur pada saat gempa berlangsung disebabkan oleh respon bangunan terhadap gerakan tanah yang menggerakkan dasar struktur. Untuk mengevaluasi perilaku struktur pada saat kondisi pembebanan tersebut, prinsip dinamika struktur harus diterapkan untuk menentukan gaya gaya dan defleksi yang muncul pada struktur.Insinyur bidang struktur seharusnya mengenal analisa struktur untuk beban statik dimana sebuah beban diterapkan pada struktur dan sebuah solusi didapatkan yang berupa perpindahan dan gaya gaya dalam pada elemen struktur.IntroductionSaat mempertimbangkan analisa struktur terhadap gerakan dinamis, pengertian dinamis maksudnya adalah waktu yang berbeda beda (Time Varying). Sehingga pembebanan dan semua aspek dari respons bervariasi dengan waktu. Hasil dari analisa ini memberikan solusi yang mungkin pada tiap keadaan selama interval waktu berlangsung.Dari sudut pandang insinyur, nilai maksimum dari respons struktur, biasanya merupakan daya tarik tersendiri, terutama dalam hal kasus kasus desain struktur.IntroductionTujuan dari bab ini untuk memperkenalkan prinsip dari dinamika struktur dengan menekankan analisa respon berdasarkan gempa bumi. Perhatian akan difokuskan pada respon sistim struktur yangs ederhana, dimana bisa direpresentasikan dalam bentuk sistem struktur dengan derajad kebebasan satu (Single Degree Of Freedom SDOF) menggunakan pendekatan koordinat dalam bentuk yang lebuih umum.Pembelajaran selanjutnya akan mengarah kepada struktur yang memiliki respon dengan derajad kebebasan lebih dari satu. Akhirnya konsep dan teknik yang digunakan dalam analisa respon dinamis dalam keadaan tidak linier (Non-Linear) akan diperkenalkan.Dynamic EquilibriumPersamaan dasar dari keseimbangan statik yang digunakan dalam analisa metoda perpindahan mempunyai bentuk umum sebagai berikut (4.1) :P = k vDimana :P = beban yang bekerjak = kekakuaan dari tahananv= perpindahan yang dihasilkanBila secara statis beban yang bekerja sekarang digantikan dengan beban dinamis atau berdasarkan waktu (Time History) p(t), persamaan dari keseimbangan statik akan menjadi keseimbangan dinamis dan memiliki bentuk sebagai berikut (4.2) :

Dimana titik merupakan differensial terhadap waktu.

Dynamic EqulibriumDengan membandingan dari dua persamaan ini mengindikasikan dua perubahan yang signifikan, dimana kita dapat melihat perbedaan antara permasalahan statik dan permasalahan dinamis. Persamaan 4.1 di buat untuk mendapatkan persamaan 4.2. Pertama, beban yang diberikan dan respon yang dihasilkan sekarang akan menjadi sebuah fungsi waktu. Sehingga persamaan 4.2 harus memenuhi keadaan pada saat waktu berlangsung. Dengan alasan ini biasanya persamaan tersebut disebut sebagai persamaan gerak (Equation Of Motion). Kedua, perpindahan yang bergantung waktu memberikan dua buah tambahan gaya yang menahan beban yang diberikan dan ditambahkan pada ruas kanan persamaan 4.1. Dynamic EqulibriumPersamaan gerak mewakili hukum newton kedua tentang gerak, dimana keadaan sebuah partikel yang beraksi akibat gaya bergerak sehingga perubahan laju waktu dari momentum linear sama dengan gaya yang bekerja tersebut (4.3) :

Dimana perubahan laju dari perpindahan terhadap waktu, dv/dt, adalah kecepatan, dan momentum yang terjadi merupakan perkalian antara massa dan kecepatan. Mengingat massa sama dengan berat dibagi dengan percepatan gravitasi. Bila massa konstan maka persamaan 4.3 akan menjadi persamaan (4.4) :

Dynamic EqulibriumPersamaan 4.4 menunjukkan bahwa gaya yang bekerja sama dengan massa dikalikan dengan percepatan. Berdasarkan prinsip dAlemberts, massa akan berkembang menjadi gaya inersia, dimana gaya inersia tersebut proporsional dengan percepatan dan saling berlawanan. Sehingga kondisi pertama dari bagian kanan persamaan 4.2 disebut sebagai gaya inersia; gaya tersebut menahan percepatan yang diakibatkan oleh massa.Gaya dissipasi atau redaman diambil dari fakta yang diobservasi dimana pergerakan dari struktur akan cenderung semakin kecil seiring beban yang bergantung dengan waktu hilang. Gaya ini diwakili oleh gaya redam yang tidak mengalir secara bebas (Viscous Damping Forces), yang proporsional terhadap kecepatan dimana proporsional konstan disebut sebagai koefisien redaman (Damping Coefficient).Dynamic EqulibriumKondisi kedua dari bagian kanan persamaan 4.2 disebut sebagai gaya redam. Gaya inersia merupakan salah satu kondisi yang paling signifikan dari dua kondisi lainnya dan merupakan salah satu perbedaan utama yang membedakan antara analisa dinamis dan analisa statik.Hal tersebut juga harus dipahami bahwa semua struktur pasti akan dibebani oleh beban gravitasi sebagai berat sendiri (beban mati) dan beban yang beraksi (beban hidup) sebagai tambahan terhadap persamaan dasar gerak yang dinamis. (Dynamic Base Motion).Dalam sistem elastis, prinsip dari superposisi bisa diterapkan , sehingga respon statik dan dinamik bisa dipertimbangkan secara terpisah dan kemudian dikombinasikan untuk mendapatkan respon struktur secara keseluruhan.Dynamic EqulibriumNamun, bila perilaku struktur menjadi tidak linear (Non-Linear), respon akan menjadi berganting terhadap arah beban dan beban gravitasi harus dipertimbangkan secara bersamaan terhadap persamaan dasar gerak yang dinamis (Dynamic Base Motion).Pada saat terjadi gempa bumi yang kuat, struktur akan menunjukkan perilaku yang tidak linier, dimana keadaan tersebut bisa disebabkan oleh ketidak-linieran material maupun geometri. Ketidak-linieran material terjadi pada saat gaya yang bekerja pada daerah kritis melebihi batas elastis dari material. Persamaan kesetimbangan dinamis untuk kasus ini memiliki bentuk umum (4.5) :

Dynamic EqulibriumDimana kekakuan, k, merupakan fungsi struktur dalam keadaan leleh, dimana nantinya akan menjadi sebuah fungsi waktu. Ketidak linieran dari geometrik disebabkan oleh beban gravitas yang bekerja pada posisi struktur berdeformasi. Bila perpindahan kearah lateral ini kecil maka efek ini atau biasa disebut P-Delta bisa diabaikan. Bagaimanapun bila perpindahan kearah lateral menjadi semakin besar, efek ini harus dipertimbangkan.Untuk mendefinisikan gaya inersia secara menyeluruh, perlu mempertimbangkan percepatan dari tiap partikel massa dalam struktur dan hubungannya dengan perpindahan. Solusi tersebut tentu akan sangat memakan waktu. Dynamic EqulibriumProsedur analisa bisa disederhanakan bila massa pada struktur bisa di konsentrasikan (lumped) menjadi titik diskrit hingga dan respon dinamis dari struktur bisa diwakili oleh jumlah yang terbatas dari tiap komponen perpindahan. Jumlah dari kompenen perpindahan tersebut dibutuhkan untuk mendapatkan spesifikasi dari posisi titik massa yang disebut sebagai derajad kebebasan dinamis. Jumlah dari derajad kebebasan diperlukan untuk mendapatkan solusi yang mencukupi dan akan bergantung pada tingkat kompleksitas dari sistem struktur. Untuk beberapa struktur satu derajad kebebasan bisa mencukupi, dimana pada struktur lainnya beberapa derajad kebebasan diperlukan.SINGLE-DEGREE-OF-FREEDOMTIME-DEPENDENT FORCE

SDOF-Time Dependent ForceStruktur yang paling sederhana bisa dipertimbangkan untuk analisa dinamis yang diidealisasikan. Struktur satu tingkat dengan satu derajad kebebasan untuk translasi kearah lateral pada tingkat atap bisa dilihat pada gambar 4.1. (a)

SDOF-Time Dependent ForceDalam idelisasi ini, tiga asumsi yang penting biasanya dibuat, yang pertama massa diasumsikan sebagai terkonsentrasi (lumped) pada tingkat atap. Kedua sisitem atap diasumsikan sebagai rigid dan ketiga deformasi aksial pada kolom bisa diabaikan. Gambar 4.1 (b).

SDOF-Time Dependent ForceDari asumsi ini diketahui bahwa semua tahanan kearah lateral akan ditahan oleh elemen seperti kolom, dinding dan pengaku diagonal yang lokasinya diantara atap dan dasar. Penerapan dari asumsi ini menghasilkan sebuah struktur sederhana seperti pada Gambar 4.1 (b) dan 4.1 (c). Kekakuan secara keseluruhan k secara sederhana merupakan penjumlahan dari semua kekakuan sebagai elemen penahan pada struktur. Gaya yang bekerja pada massa dari struktur ditunjukkan pada Gambar 4.1 (d). Menjumlahkan semua gaya yang bekerja sebagai free body menhasilkan persamaan keeimbangan sebagai berikut dimana harus memenuhi setiap keadaan dalam interval waktu (4.6):

SDOF-Time Dependent Force

SDOF-Time Dependent Force

Dimana :fi= Gaya inersia = m ufd= Gaya redaman = c vfs= Gaya kekauan elastik = k vP(t)= Beban yang bekerja yang bergantung waktuDengan menuliskan persamaan 4.6 dalam kondisi parameter respons yang sebenarnya adalah 4.7 :

SDOF-Time Dependent ForcePerlu dicatat bahwa gaya pada elemen peredam dan elemen penahan bergantung dari kecepatan relatif terhadap perpindahan, dimana gaya inertia bergantung pada percepatan total dari massa. Percepatan massa total ini bisa dituliskan sebagai (4.8) :

Dimana :

SDOF-Time Dependent ForceDalam kasus ini dasar diasumsikan sebagai jepit tanpa gerakan, sehingga g(t)=0 dan u(t)=v(t). Dengan melakukan substitutsi untuk percepatan pada persamaan 4.7 untuk beban yang bergantung pada waktu menjadi (4.9):

SDOF-Earthquake Ground MotionPada sebuah struktur bertingkat sat u, ditunjukkan pada Gambar 4.2 (a), dikenakan beban gerakan tanah akibat gempa, dan tidak ada gaya dinamis luar yang bekerja pada struktur atap, melainkan beban mengalami percepatan dari dasar. Efek dari beban tersebut diidealisasikan pada Gambar 4.2 (b) dan 4.2 (c). Dengan menjumlahkan semua gaya yang ada pada Gambar 4.2 (d) menghasilkan persamaan kesetimbangan dinamis sebagai berikut (4.10) :

Dengan mensubsitusikan parameter tersebut maka persamaan 4.10 menjadi sebuah persamaan kesetimbangan dengan bentuk (4.11) :

SDOF-Earthquake Ground Motion

SDOF-Earthquake Ground Motion

SDOF-Earthquake Ground MotionPersamaan bisa dituliskan dalam bentuk persamaan 4.9 dengan mensubsitusikan persamaan 4.8 kedalam persamaan 4.11 sehingga didapatkan (4.12) :

Dimana :

Sehingga persamaan gerak untuk sebuah struktur yang terkena beban gerak pada dasarnya sama dengan sebuah struktur yang terkena beban yang bergantung waktu bila gerak pada dasarnya diwakili sebagai gaya efektif dari beban yang bergantung waktu yang nilainya sama dengan perkalian antara massa dengan percepatan tanah.

SDOF-Mass And Stiffness PropertiesKebanyakan model struktur SDOF mengalami perpindahan kearah lateral pada atap relatif terhadap dasar. Dalam kasus ini massa yang bertranslasi secara sederhana bisa dikonsentrasikan menjadi berat yang dibagi dengan percepatan gravitasi). Namun, kasus biasanya muncul bila gerakan rotasi dari sistim cukup signifikan. Sebagai contoh pergerakan rotasi dari sebuah pelat atap yang memiliki dukungan lateral yang tidak simetris. Hukum kedua dari newton menunjukkan bahwa perubahan laju waktu dari momentum angular sama dengan torsinya. Dengan mempertimbangkan partikel masa yang berotasi pada sebuah aksis 0 ditunjukkan pada Gambar 4.3. Momentum angular biasa dituliskan sebagai berikut :

SDOF-Mass And Stiffness PropertiesNilai Torsi (N) kemudian didapatkan dengan menurunkan momentum angular terhadap waktu dimana N :

Dimana :

SDOF-Mass And Stiffness PropertiesUntuk sebuah benda yang rigid, momen inersia massanya bisa didapatkan dengan menjumlahkan semua massa partikrl yang membentuk benda rigid tersebut. Hal tersebut bisa dituliskan sebagai (4.15) :

Dimana r merupakan jarak dari aksis rotasi ke incremental massa dm, untuk analisis dinamis sudah pasti memperlakukan benda yang rigid sebagai translasi massa dan momen inertia massa yang terkonsentrasi pada pusat massa. Massa nda momen inertia massa dari beberapa benda yang oada dapat dilihat pada Gambar 4.4.

SDOF-Mass And Stiffness Properties



SDOF-Free VibrationGetaran bebas terjadi pada saat struktur berosilasi akibat adanya aksi atau gaya yang ada didalam struktur tanpa adanya pengaruh gaya lain dari luar yang bekerja seperti beban berdasarkan awaktu atau gerakan tanah dasar. Gaya dalam ini muncul dari percepatan awal dan perpindahan yang dimiliki oleh struktur pada permulaan fase getaran bebas (Free-Vibration Phase).SDOF-Free VibrationKolom dengan kedua ujunganya jepit jepit.

SDOF-Free VibrationPengaku dengan kedua ujunganya jepit jepit (Axial).

SDOF-Free VibrationKolom dengan salah satu ujungnya jepit dan ujung lainnya sendi sehingga kekakuannya lebih kecil dari (a).

SDOF-Free VibrationDinding Geser dengan salah satu ujungnya jepit dan ujung lainnya tak terkekang (bebas).

SDOF-Free VibrationStruktur Tak Teredam (Undamped Structures)Persamaan gerak dari SDOF tak teredam (Free Vibration) memiliki bentuk (4.16) :

Yang mana bisa ditulis menjadi (4.17) :

Dimana :Solusi umum persamaan ini adalah (4.18) :

Dimana nilai konstant A dan B bergantung pada kondisi kecepatan awal dv/dt(0) dan perpindahan awal v(0).

SDOF-Free VibrationStruktur Tak Teredam (Undamped Structures)Persamaan 4.14 bisa dituliskan menjadi :

Pembuktian kebenaran solusi :

Dengan mensubsitusikan persamaan tersebut maka :

SDOF-Free VibrationStruktur Tak Teredam (Undamped Structures)


SDOF-Free VibrationStruktur Tak Teredam (Undamped Structures)Dari grafik tersebut dapat disimpulkan bahwa :Amplitudo dari getaran konstan, sehingga getaran secara teoritis akan berlanjut hingga waktu tak hingga.Secara fisika hal ini tentu tidak benar, karena osilasi tak teredan akan cenderung hilang dengan berjalannya waktu, sehingga muncul adanya konsep redaman.Waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu siklus disebut periode dari getaran, T.Bila salah satu struktur memiliki massa yang lebih besar akan memiliki periode getaran yang lebih besar dan frekuensi yang lebih kecil.

SDOF-Free VibrationStruktur Tak Teredam (Undamped Structures)Buat sebuah model SDOF yang diidealisasikan pada bangunan industri yang ditunjukkan pada gambar berikut, dan estimasi periode getaran pada dua sumbu utama.

SDOF-Free VibrationStruktur Tak Teredam (Undamped Structures)Buat sebuah model SDOF yang diidealisasikan pada bangunan industri yang ditunjukkan pada gambar berikut, dan estimasi periode getaran pada dua sumbu utama.

SDOF-Free VibrationStruktur Tak Teredam (Undamped Structures)Perlu diketahui bahwa pengaku silang vertikal terbuat dari batang dengan diameter 1 inchi, pengaku silang horizontal ada dibawah rangka dan semua kolom adalah profil W8x24.

Penentuan Berat :Tingkat Atap :Composition Roof=9 psfLights,ceiling,mechanical=6 psfTrusses=2.6 psfRoof purlins, struts=2 psfBottom chord bracing=2.1 psfColumns (10 ft, 9 in)=0.5 psfTotal= 22.2 psfSDOF-Free VibrationStruktur Tak Teredam (Undamped Structures)Dinding :Framing, girts, windows= 4 psfMetal lath and plaster=6 psfTotal=10 psf



SDOF-Free VibrationStruktur Tak Teredam (Undamped Structures)Penentuan periode struktur :

SDOF-Free VibrationStruktur Tak Teredam (Undamped Structures)Penentuan periode struktur :

SDOF-Free VibrationStruktur Teredam (Damped Structures)Pada keadaan sebenarnya struktur yang bergetar secara bebas akibat adanya gaya dalam amplitudo getarannya akan cenderung hilang seiring dengan waktu dan biasanya gerakannya akan berhenti. Pengurangan terhadap waktu ini diakibatkan oleh adanya gaya redaman yang proportional dengan kecepatan. Persamaan gerak dari kondisi ini memiliki bentuk (4-21) :

Persamaan ini memiliki bentuk umum (4.22a) :

SDOF-Free VibrationStruktur Teredam (Damped Structures)Persamaan 4-21 bisa ditulis menjadi :

SDOF-Free VibrationStruktur Teredam (Damped Structures)







RESPONSE TO BASIC DYNAMIC LOADINGResponse To Basic Dynamic LoadingPendahuluanRiwayat waktu (Time History) percepatan gempa merupakan sebuah fungsi random terhadap waktu. Namun untuk mengetahui respon struktur beberapa cara dapat digunakan dengan mempertimbangkan karakteristik response dari struktur menjadi dua dasar pembebanan dinamis yaitu :Harmonic LoadingImpulse LoadingPembebanan harmonik merupakan riwayat waktu percepatan gempa sebagai sebuah gelombang sinus yang berentetan dengan nilai amplitudo tertentu. Pembebanan ini merepresentasikan percepatan yang terjadi akibat sebuah gempa yang besar dimana gelombang acak pada fokus gempa sudah di filter oleh kondisi tanah selama perjalanan.Response To Basic Dynamic LoadingPendahuluanPembebanan impulse merupakan idealisasi dari percepatan gempa sebagai sebuah impulse dengan durasi waktu yang pendek, biasanya merupakan sinusoidal atau bentuk segitiga simetris. Idealisasi ini bisa berupa pulsa tunggal atau pulsa yang berentetan yang terdiri dari jumlah pulsa yang terbatas. Pembebanan ini mewakili daerah rawan gempa yang dekat dengan daerah patahan atau bisa juga digunakan untuk melihat perilaku struktur terhadap beban kejut berupa ledakan.Response To Basic Dynamic LoadingBeban Harmonik Tak TeredamUntuk sistem tak teredam yang dikerjakan beban harmonik, persamaan geraknya memiliki bentuk sebagai berikut (3-26a) :

Dimana Po merupakan amplitudo dan p merupakan frekuensi circular dari beban harmonik. Untuk percepatan tanah, percepatan bisa direpresentasikan sebagai :

Response To Basic Dynamic LoadingBeban Harmonik Tak Teredam



Response To Basic Dynamic LoadingBeban Harmonik Teredam






Response To Basic Dynamic LoadingBeban Impuls







Response To Basic Dynamic LoadingBeban Dinamik - SuperPosisi




Response To Basic Dynamic LoadingResponse SDOF Dynamic Loading










Documents

Dinamika Struktur