UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

DIPLOMSKO DELO

GREGOR ŢAGAR

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

Študijski program: Matematika in fizika

Določanje siderske in sinodske periode Lune s

pomočjo astrofotografije in križne palice

DIPLOMSKO DELO

Mentorica: dr. Andreja Gomboc Kandidat: Gregor Ţagar

Ljubljana, junij 2013

Zahvaljujem se dr. Andreji Gomboc za njeno pomoč, komentarje in strokovne nasvete pri

izdelavi diplomskega dela.

Hvala tudi mojim najbliţjim za podporo in razumevanje v času študija.

1

Povzetek

Luna je drugo najsvetlejše nebesno telo, zato je zelo zanimiva za opazovanje tako v šoli kot

na splošno. Zaradi njenega gibanja okrog Zemlje se spreminjata njen videz in poloţaj med

zvezdami. Času, v katerem naredi Luna en obhod okrog Zemlje glede na zvezde, pravimo

siderski mesec. Opazovalec na Zemlji pa zaradi gibanja Zemlje okrog Sonca opazi, da se

Lunine mene ponavljajo z nekoliko daljšo periodo, imenovano sinodska perioda.

V diplomski nalogi je predstavljeno, kako lahko v času vsaj enega meseca z rednim

opazovanjem in fotografiranjem Lune ali z določanjem Lunine lege med zvezdami, izmerimo

sinodsko in sidersko periodo Lune. Iz spreminjanja navidezne velikosti Lune lahko določimo

ekscentričnost njenega tira, iz njenih premikov glede na zvezde pa Lunino navidezno hitrost.

Namen diplomske naloge je pribliţati astronomijo širšemu krogu ljudi, tako otrokom v šoli in

učiteljem kot tudi ostalim, ki jih zanima astronomija, zato so diplomi priloţena tudi navodila

za ponovitev meritev.

Ključne besede: Luna, sinodski mesec, siderski mesec, astrofotografija, kriţna palica

2

Abstract

The Moon is the second brightest object in the sky and therefore it is very interesting for

observations at school and also for general public. Due to its motion around the Earth, its

appearance and position among the stars are changing. The sidereal month is the time the

Moon takes to complete one full revolution around the Earth with respect to the background

stars. Because the Earth is constantly moving along its orbit around the Sun, it seems for the

observerver on the Earth that the Moon phases repeat with somewhat longer period, which is

called one synodic month.

The diploma work presents how to measure, during a period of at least one month, a synodic

and sidereal period of the Moon by regular observations and photographing of the Moon or by

determinations of the Moon's position among the stars. From variations of the apparent size of

the Moon we can determine eccentricity of its orbit, while from the Moon's movement among

the stars we can calculate its orbital velocity.

The purpose of the diploma is to bring astronomy to a wider audience; primarily to children

and teachers in the school, as well as others who are interested in astronomy. To enable them

to repeat observations and measurements presented here, relevant instructions are included.

Keywords: The Moon, synodic month, sidereal month, astrophotography, Jacob’s staff

3

Kazalo

1 Uvod ................................................................................................................................... 6

2 Luna .................................................................................................................................... 7

2.1 Kratek opis Lune ......................................................................................................... 7

2.2 Gibanje Lune ............................................................................................................... 9

2.2.1 Lunin tir ................................................................................................................ 9

2.2.2 Lunine mene ....................................................................................................... 12

2.2.3 Siderski in sinodski mesec ................................................................................. 13

2.2.4 Izpeljava zveze med sidersko in sinodsko periodo ............................................ 14

2.2.5 Libracija ............................................................................................................. 16

3 Astrofotografija ................................................................................................................ 19

3.1 Ljubiteljska astrofotografija ...................................................................................... 21

3.1.1 Oprema ............................................................................................................... 21

3.1.2 Metode fotografiranja ......................................................................................... 23

4 Določanje sinodske in siderske periode Lune s fotografiranjem ..................................... 25

4.1 Oprema ...................................................................................................................... 25

4.1.1 Optična cev ......................................................................................................... 25

4.1.2 Montaţa .............................................................................................................. 26

4.1.3 Fotoaparat ........................................................................................................... 27

4.2 Metode meritev .......................................................................................................... 27

4.3 Opazovanja ................................................................................................................ 28

4.3.1 Izvedba ............................................................................................................... 28

4.4 Meritve in rezultati .................................................................................................... 30

4.4.1 Obdelava fotografij in merjenje količin ............................................................. 30

4.4.2 Tabela meritev .................................................................................................... 31

4.4.3 Graf ..................................................................................................................... 32

4.4.4 Rezultati ............................................................................................................. 35

4.4.5 Primerjava rezultatov ......................................................................................... 36

4.5 Komentar ................................................................................................................... 37

5 Določanje sinodske in siderske periode Lune ter navidezne hitrosti Lune s kriţno palico..

.......................................................................................................................................... 38

5.1 Oprema ...................................................................................................................... 38

5.1.1 Kriţna palica ...................................................................................................... 38

4

5.2 Metode meritev .......................................................................................................... 39

5.3 Opazovanja ................................................................................................................ 39

5.3.1 Izvedba ............................................................................................................... 39

5.4 Meritve in rezultati .................................................................................................... 40

5.4.1 Razdalje med Luno in zvezdami ........................................................................ 40

5.4.2 Določanje poloţaja Lune na zvezdni karti ......................................................... 42

5.4.3 Določanje mesečnega in dnevnega premika lege Lune glede na zvezde ........... 44

5.4.4 Siderska in sinodska perioda .............................................................................. 47

5.4.5 Orbitalna hitrost Lune ........................................................................................ 50

5.4.6 Primerjava rezultatov ......................................................................................... 51

5.5 Komentar ................................................................................................................... 53

6 Dodatek ............................................................................................................................ 54

6.1 Določanje ekscentričnosti Luninega tira z astrofotografijo ....................................... 54

6.1.1 Ekscentričnost .................................................................................................... 54

6.1.2 Primerjava rezultatov ......................................................................................... 56

6.2 Komentar ................................................................................................................... 57

7 Navodila za izvedbo meritev ............................................................................................ 58

7.1 Navodila za določanje sinodske in siderske periode Lune ter ekscentričnosti

Luninega tira s fotografiranjem Luninih men ...................................................................... 59

7.2 Navodila za določanje sinodske in siderske periode Lune ter navidezne hitrosti Lune

s kriţno palico ...................................................................................................................... 63

8 Zaključek .......................................................................................................................... 67

9 Literatura .......................................................................................................................... 69

Kazalo slik

Slika 1: Razdalje in nakloni med Luno in Zemljo ................................................................... 10

Slika 2: Lunine perturbacije z obhodnimi dobami ................................................................... 11

Slika 3: Lunine mene ................................................................................................................ 13

Slika 4: Sinodski in siderski mesec .......................................................................................... 14

Slika 5: Libracija Lune v dolţini .............................................................................................. 17

Slika 6: Libracija Lune v širini ................................................................................................. 18

Slika 7: Dnevna libracija Lune ................................................................................................. 18

Slika 8: John William Draper in njegova slika Lune ............................................................... 19

5

Slika 9: Henry Draper in prva fotografija globokega neba ...................................................... 20

Slika 10: Teleobjektiv Maksutov MTO-11CA ......................................................................... 25

Slika 11: Leseno stojalo in drţalo za optično cev .................................................................... 26

Slika 12: Oprema, uporabljena pri slikanju .............................................................................. 27

Slika 13: Astrofotografije Luninih men ................................................................................... 29

Slika 14: Slika iz obdelane fotografije Lune v programu Corel Designer X5 ......................... 31

Slika 15: Prikaz sinusne odvisnosti lege terminatorja .............................................................. 33

Slika 16: Graf, narisan s prilagoditveno funkcijo programa Logger Pro. ................................ 34

Slika 17: Doma izdelana kriţna palica ..................................................................................... 39

Slika 18: Kriţna palica in trigonometrija ................................................................................. 41

Slika 19: Ekvatorska zvezdna karta s predelom neba .............................................................. 43

Slika 20: Nebesna krogla in krogelni trikotnik ........................................................................ 45

Slika 21: Mesečni premik lege Lune glede na zvezde ............................................................. 46

Slika 22: Dnevni premiki lege Lune glede na zvezde .............................................................. 47

Kazalo tabel

Tabela 1: Fizikalne značilnosti Lune ......................................................................................... 8

Tabela 2: Značilnosti Luninega tira ......................................................................................... 12

Tabela 3: Tabela opazovanj ...................................................................................................... 28

Tabela 4: Tabela meritev količin iz fotografij .......................................................................... 32

Tabela 5: Tabela opazovanj ...................................................................................................... 40

Tabela 6: Tabela kotnih razdalj od Lune do izbrane zvezde .................................................... 41

Tabela 7: Pretvorba iz kotnih stopinj v merilo zvezdne karte .................................................. 43

Tabela 8: Ekvatorske koordinate lege Lune, določene iz zvezdne karte.................................. 44

Tabela 9: Dnevni premiki in časi med meritvami .................................................................... 47

Tabela 10: Siderska perioda Lune iz dnevnih premikov .......................................................... 49

Tabela 11: Tabela razdalj med Luno in Zemljo v času opazovanj ........................................... 50

Tabela 12: Kotne hitrosti Lune ................................................................................................. 51

Tabela 13: Tabela orbitalnih hitrosti Lune ............................................................................... 51

6

1 Uvod

V astronomijo sem se zaljubil ţe v mladih letih, ko sem kot otrok listal po Atlasu sveta, ki je

imel na zadnjih straneh nekaj slik planetov našega osončja ter njihovih splošnih lastnosti. Ni

bilo dneva, da nisem pogledal vanj in občudoval malenkosti, ki jih je ponujal. Na eni od strani

je bila predstavljena tudi Luna. Spomnim se, da so bile predstavljene Lunine mene, obhodna

pot Lune okoli Zemlje, slike njene vidne in nevidne strani,... Od takrat sem vedno z

zanimanjem opazoval Luno, ker je bilo to edino nebesno telo, katerega sem lahko podrobneje

opazoval, saj nisem imel opreme, s katero bi videl tudi ostala nebesna telesa. Spominjam se

tudi dneva, ko je sosed Dejan na nagradni kriţanki zadel teleskop. Takrat sem prvič pogledal

skozi teleskop in videl detajlno površje Lune. Luna je bila takrat v zadnjem krajcu, tako da so

se lepo videli njeni kraterji in njena morja. Kasneje so se začela leta šole in pomembnejše so

bile druge stvari. Astronomija je bila tako prisotna le občasno, vse do 4. letnika fakultete, ko

je postala eden izmed glavnih predmetov in ljubezen do nje se je ponovno rodila.

V zadnjem stoletju je bil na področju astronomije narejen precejšen napredek. Omogočil ga je

predvsem napredek v tehnologiji, zaradi česar je prišlo do hitrejših in kakovostnejših meritev.

V kratkem času je prišlo do teorij o nastanku vesolja in njegovih zakonitosti. Ker v vesolju

najdemo številna zanimiva nebesna telesa, o katerih s pomočjo sodobne tehnologije vsak dan

izvemo kaj novega, nas astronomija spremlja skorajda povsod.

Mnogi otroci se prvič srečajo z astronomijo v šoli, kjer jo lahko izberejo kot izbirni predmet z

imenom Sonce-Luna-Zemlja. Pomembno je, da jim ta predmet predstavimo na zanimiv način,

in da izkusijo, kako lahko z opazovanjem tudi sami pridejo do določenih spoznanj. Ker je

Luna nam najbliţje nebesno telo in tudi Zemljin satelit, je še posebej zanimiva in primerna za

opazovanje v šoli ter tudi za ljubiteljske opazovalce neba.

Diplomska naloga je sestavljena iz teoretičnega in praktičnega dela. V teoretičnem delu sem

na kratko opisal Luno ter njene lastnosti, njeno gibanje in zvezo med sinodsko in sidersko

periodo. Nadaljnje sem predstavil profesionalno in ljubiteljsko astrofotografijo.

V praktičnem delu je predstavljeno, kako s pomočjo astrofotografije določiti sinodsko in

sidersko periodo Lune ter kot dodatek tudi kako izračunati ekscentričnost Luninega tira.

Pokazal sem tudi, kako lahko s pomočjo kriţne palice določimo sinodsko in sidersko periodo

Lune ter izračunamo navidezno hitrost Lune. Na koncu so dodana navodila za izvedbo.

7

2 Luna

2.1 Kratek opis Lune

Luna je Zemljin edini naravni satelit. Njen premer znaša 3.476 km, kar je 1/4 Zemljinega,

njena masa pa je 7,3483 x 1022

kg, kar je 1/81 v primerjavi z maso Zemlje. V našem osončju

najdemo le štiri naravne satelite, ki so večji od Lune, vendar so v primerjavi s svojim

primarnim planetom več stokrat manj masivni. Zaradi takšne mase in velikosti ima Luna zelo

velik vpliv na Zemljo in njeno gibanje, zato ju lahko gledamo tudi kot sistem dveh planetov,

ki se gibljeta okoli Sonca [1].

Kljub takšni masi in velikosti pa Luna praktično nima atmosfere, saj je atmosfere le za

10.000 kg. Vzrok za to najdemo v zelo majhnemu gravitacijskemu polju Lune, ki znaša 1/6

gravitacijskega polja na Zemlji, zato je tudi ubeţna hitrost zelo majhna in plini zlahka zbeţijo

v vesolje. Lunina atmosfera je sestavljena iz 29% neona, 25,8% helija, 22,6% vodika, ki jih je

ujela iz Sončevega vetra, ter 20,6% argona, ki nastaja z razpadom kalija v Luninih kamninah.

Na temperaturo na Luni tako ne vpliva atmosfera, posledično tudi ne vreme in viharji, pač pa

le Lunina dan in noč. Spremembe temperature so zaradi razlike med dnevom in nočjo na Luni

zelo velike, saj traja svetli del dneva na Luni pribliţno 14 Zemljinih dni. Temperatura na Luni

tako niha od – 150 °C do 120 °C [2].

V notranjosti Lune se nahaja majhno kovinsko jedro, ki predstavlja 20% Lunine velikosti, kar

je malo v primerjavi z Zemljinim jedrom, ki predstavlja 50% velikosti planeta. Takšna razlika

je po vsej verjetnosti zato, ker je gostota Lune veliko manjša kot Zemljina. Plašč Lune je

kamnit in je sestavljen iz silikatov. Zunanji del plašča je trden in stabilen, medtem ko je

notranji del plašča staljen zaradi visoke temperature, ki se sprošča ob razpadu radioaktivnih

elementov. Skorjo sestavljajo s kalcijem bogate in granitu podobne kamnine. Na površju je

skorja zaradi obstreljevanja meteoritov na številnih mestih razpokana. Te razpoke lahko

segajo tudi do 25 km globoko [2][3].

Luna je od Zemlje v povprečju oddaljena le okrog 384.400 km, kar je pribliţno 30,13

Zemljinih premerov in je zato zelo primerna za opazovanje in proučevanje. Še posebej je

zanimivo njeno površje, ki je sestavljeno iz različnih tvorb. Tvorbe, ki jih vidimo kot temnejša

področja na Luninem površju, imenujemo morja. Ta so nastala, ko je bila Luna ognjeniško

aktivna in je lava prodrla na površje ter zalila dna večjih kraterjev. Svetlejše površine na Luni

8

imenujemo gorata območja, večje in manjše vdolbine, obdane s stenami pa so udarni kraterji,

ki so nastali v času, ko je bilo Osončje še mlado in so Luno obstreljevali meteoridi. Kraterji se

še posebej lepo vidijo, ko se Luna debeli ali ko ugaša. Ostale tvorbe na Lunini površini so še

doline, razpoke, jarki ter vijugasti grebeni [4][[5].

Ko opazujemo Luno, brez teţav ugotovimo, da se njena podoba spreminja. Včasih sploh ni

vidna, včasih je vidna v celoti, večinoma pa je vidna le delno. Časovno gledano Luna enkrat

vzide zjutraj, drugič popoldan, tretjič zvečer, krajevno gledano pa se spreminja tudi njeno

vzhajališče. To nam pove, da se tudi poloţaj Lune spreminja. Vendar pa nam Luna pri njenem

gibanju vedno kaţe isto stran. Iz tega lahko sklepamo, da je čas Luninega vrtenja okrog lastne

osi enak obhodnemu času njenega gibanja okrog Zemlje. Z Zemlje lahko tako opazujemo

samo eno stran Lune, drugo pa lahko opazujemo le preko posnetkov, ki so jih naredile razne

vesoljske odprave [3].

Tabela 1: Fizikalne značilnosti Lune [6].

Fizikalne značilnosti Lune

Povprečni polmer: 1737,10 km

0,273 Zemljinega

Polmer na ekvatorju: 1738,14 km

0,273 Zemljinega

Polmer na polu: 1735,97 km

0,273 Zemljinega

Površina: 3,793 · 107 km²

0,074 Zemljine

Prostornina: 2,1958 · 1010

km³

0,020 Zemljine

Masa: 7,3477 · 1022

kg

0,0123 Zemljine

Povprečna gostota: 3346,4 kg/m³

Teţni pospešek na ekvatorju: 1,622 m/s²

Ubeţna hitrost: 2,38 km/s

Povprečna orbitalna hitrost: 1,023 km/s

Siderska doba: 27,321582 dni

Vrtilna hitrost na ekvatorju: 4,627 m/s

Nagib vrtilne osi: 1,5424° (na ekliptiko)

6,687° (na ravnino tirnice)

Albedo: 0,12

Površinska temp.:

ekvator

85°N

min 100 K 70 K

srednja 220 K 130 K

max

390 K

230 K

Navidezni sij: -2,5 do -12,9

-12,74 (srednje polna Luna)

Kotna velikost: od 29,3′ do 34,1'

9

2.2 Gibanje Lune

2.2.1 Lunin tir

Luna naredi en obhod okrog Zemlje glede na zvezde v pribliţno 27,3 dneh. Tej periodi

pravimo siderski mesec. Ker pa se Zemlja giblje na svoji orbiti okoli Sonca, je potrebno

nekoliko dlje, da Luna kaţe enako fazo Zemlji. To v povprečju traja 29,5 dni ali en sinodski

mesec. Večina naravnih satelitov drugih planetov se giblje v ekvatorialni ravnini svojega

planeta, medtem ko Luna obkroţa Zemljo blizu ekliptične ravnine (t.j. ravnine v kateri se

Zemlja giblje okoli Sonca). Njena tirnica je nagnjena za pribliţno 5° na ekliptiko in jo

zato seka dvakrat v enem obhodu. Če se to zgodi med mlajem, nastopi Sončev mrk, če pa

med ščipom, nastopi Lunin mrk. Lunin tir motita tako Zemlja kot tudi Sonce na več majhnih,

zapletenih in vzajemnih načinov [1][7].

Opazovano z Zemlje se zdi, da se Luna premika po eliptični orbiti z Zemljo v enem gorišču,

prav tako kot se planeti gibljejo po elipsah okrog Sonca. V bistvu bi bilo bolj primerno reči,

da se Zemlja in Luna gibljeta okrog skupnega teţišča, ampak ker je Zemlja precej masivnejša

od Lune, leţi njuno teţišče znotraj Zemlje in sicer 1630 km pod Zemljinim površjem.

Ekscentričnost Lunine orbite je 0,0549, oddaljenost Lune od Zemlje (gledano od središča

Lune do središča Zemlje) pa je od 356 400 km v Lunini najbliţji legi (v perigeju1) do njene

največje oddaljenosti 406 679 km (v apogeju2). Povprečna oddaljenost Lune od Zemlje znaša

tako 384 392 km. V največji oddaljenosti (v apogeju) je navidezni premer Lune le 9/10

tistega, ki ga vidimo, ko je Luna najbliţje (v perigeju). Razlika je na oko neločljiva, ampak

zelo lahko merljiva. Črta, ki povezuje apogej in perigej, se imenuje absidna črta [5][7].

Ravnina Luninega tira je nagnjena na ravnino ekliptike (Zemljina orbita okrog Sonca) za kot

5°9'. Prav zaradi tega Luna na svoji poti seka ekliptiko v dveh točkah. V prvi, ko se giblje od

juga proti severu gledano z Zemlje (dviţni vozel, angl. ascending node), in v drugi, ko se

giblje od severa nazaj proti jugu (spustni vozel, angl. descending node) [7].

1 PERIGEJ je točka na eliptični tirnici, ko je telo pri gibanju okrog Zemlje najbliţje Zemlji.

2 APOGEJ je točka na eliptični tirnici, ko je telo pri gibanju okrog Zemlje najbolj oddaljeno od

Zemlje.

10

Slika 1: Razdalje in nakloni med Luno in Zemljo.

Lunino gibanje okrog Zemlje je precej bolj zapleteno kot se zdi, saj nanj vpliva tudi

gravitacijska sila Sonca, ki povzroča perturbacije3 v Lunini orbiti. Presenetljivo je to, da

Sonce privlači Luno dvakrat močneje, kot jo privlači Zemlja. Če to pogledamo z roba

Osončja, se zdi, kot da se Luna giblje okrog Sonca po orbiti, ki je vedno konkavna glede na

Sonce. (Zemlja in Luna se ne bosta zaradi tega med seboj oddaljili, saj Sonce privlači obe

telesi skoraj z enako silo.) [7][8]

Perturbacijske motnje Sonca je mogoče analizirati v šestih glavnih učinkih (slika 2). Prvi je,

da povzročajo občasne spremembe v ekscentričnosti Lunine orbite, ki zato oscilira med 0,044

in 0,067. Ta sprememba se imenuje evekcija. Podobno se spreminja tudi inklinacija orbite in

sicer med 4°58' ter 5°19'. Drugi učinek je, da se Lunin perigej premika (napreduje) v isti

smeri, kakršna je smer gibanja Lune, in potrebuje 8,85 let, da zaključi en obhod. Naslednja

posledica gravitacijske sile Sonca je, da se dviţni vozel giblje vzdolţ ekliptike, in sicer

pribliţno 19° na leto v nasprotni smeri kot perigej s periodo 18,61 let. To povzroča nutacija.

3 PERTURBACIJE so deviacije (odkloni) od normalnega, idealiziranega ali nemotenega gibanja (npr.

gibanje dveh teles).

11

Za poloţaj Lune je potrebno upoštevati dejstvo, da je gravitacijska sila Sonca na Luno

manjša, kadar je Luna za Zemljo in stran od Sonca, in večja, kadar je Luna med Zemljo in

Soncem. Prav tako na to vpliva tudi oddaljenost Zemlje od Sonca med letom [5][7][8].

Slika 2: Lunine perturbacije z obhodnimi dobami [9].

Problem popolnega matematičnega računa Lunine orbite je eden izmed najteţjih v

astronomiji. Veliko bolj podroben opis, kot je bil podan do sedaj, bi moral vzeti v račun ne

samo učinke Sonca, ampak tudi učinke drugih planetov ter točni obliki Zemlje in Lune. Lahko

pa rečemo, da je za naš kratek vpogled v Lunino gibanje te učinke moč izpustiti, saj je njihov

vpliv zelo majhen.

12

Tabela 2: Značilnosti Luninega tira [6].

Značilnosti Luninega tira

Perigej: 363.104 km

0,0024 a. e.

Apogej: 405.696 km

0,0027 a. e.

Velika polos: 384.399 km

0,00257 a. e.

Ekscentričnost: 0,0549

Siderska perioda: 27,321582 d

27 d 7 h 43,1 min

Sinodska perioda: 29,530588 d

29 d 12 h 44,0 min

Povp. tirna hitrost: 1022 km/s

Naklon tira: 5,145° na ekliptiko

(med 18,29° in 28,58° na Zemljin ekvator)

Dolţina dviţnega vozla: regresivno,

1 obrat v 18,6 letih

Argument perigeja: progresivno,

1 obrat v 8,85 letih

2.2.2 Lunine mene

Luna ne oddaja lastne svetlobe, ampak je svetla zaradi Sončeve svetlobe, ki se odbije od

njenega površja. Vedno je tista Lunina polobla, ki gleda v smeri proti Soncu, popolnoma

osvetljena, medtem ko je druga polobla takrat temna. Trenutno obliko, ki jo vidimo z Zemlje,

imenujemo Lunina mena, odvisna pa je od tega, kje se Luna na svoji orbiti okrog Zemlje

nahaja (slika 3). Ko je Luna ravno med Zemljo in Soncem, takrat njena osvetljena polobla ni

vidna z Zemlje in vidimo le temen obris. Včasih jo v tej meni vidimo šibko osvetljeno od

Sončeve svetlobe odbite od Zemlje. To Lunino meno imenujemo mlaj ali prazna luna. Kmalu

po tem lahko ţe vidimo manjši del osvetljene strani Lune, ki ga imenujemo krajec. Ko Luna

nadaljuje pot po svoji orbiti, krajec narašča in posledično je po nekem času vidna točno

polovica osvetljenega dela Lune. Tej meni pravimo prvi krajec. Takrat je Luna naredila točno

1/4 poti okrog Zemlje. Pravimo, da se Luna nato še naprej debeli, dokler ne naredi 1/2 poti

okrog Zemlje in takrat vidimo njeno celo osvetljeno poloblo. Pravimo, da je Luna takrat polna

oziroma to meno imenujemo ščip. Takrat je magnituda Lune največja in znaša -12,9. Po ščipu

začne Luna ugašati ter na 3/4 njene poti okrog Zemlje vidimo spet polovico osvetljene

poloble. Tej meni rečemo zadnji krajec. Na zadnji četrtini pojema do mlaja, ko je spet med

Zemljo in Soncem in je naredila ravno en obhod okrog Zemlje glede na Sonce. En Lunin cikel

merimo od mlaja do mlaja [5][6].

13

Slika 3: Lunina mena je odvisna od kota med Soncem, Luno in Zemljo. En Lunin cikel ali

lunacija je zaključen, ko pride do enake poravnave teh treh teles. Drugi del slike pa prikazuje

videz Lune z Zemlje, ko Luna potuje po svoji orbiti okrog Zemlje [10].

2.2.3 Siderski in sinodski mesec

Luna potrebuje 27,32166 dni ali 27 dni 7 h 43 min 11,5 s, da zaključi en obhod okoli Zemlje.

Tej periodi pravimo siderski mesec ali zvezdni mesec, saj je to čas, v katerem naredi Luna

polni obhod okrog Zemlje glede na oddaljene zvezde [11].

Ker pa mi opazujemo Luno z Zemlje in ne z zvezd, je potrebno upoštevati, da se Zemlja giblje

okrog Sonca in se v tem času premakne malce naprej po svoji tirnici. Luna mora zato, ko ţe

opravi en obhod glede na zvezde, narediti še del poti, da pride za opazovalca z Zemlje v isti

poloţaj glede na Sonce. Zato je za opazovalca z Zemlje lunacija nekoliko daljša kot siderski

mesec. Povprečni čas med dvema konjunkcijama4 Lune in Sonca ali čas med dvema

zaporednima mlajema ali dvema zaporednima enakima fazama Lune imenujemo sinodski

mesec. V povprečju je dolg 29,53059 dni ali 29 dni 12 h 44 m 2,9 s, sicer pa zaradi motenj

niha med 29,27 in 29,83 dni. Sinodski mesec je znan tudi kot Lunin mesec ali lunacija

[12][13].

Ker se Luna giblje okoli Zemlje, se za opazovalca na Zemlji Luna premika proti vzhodu glede

na zvezde za pribliţno 13° na dan in zato vzhaja vsak dan kasneje. Čas, koliko kasneje je

Lunin vzhod, poimenujemo zaostanek (angl. retardation). Povprečno Luna vsak dan vzhaja

4 KONJUNKCIJA ali sovpad je poravnava teles, ko imata dva ali več nebesnih teles enako lego

gledano npr. iz Zemlje.

14

50 minut kasneje, a ker se Zemlja in Luna ne gibljeta vedno z enako hitrostjo in ker sta njuni

orbiti nagnjeni glede na ekvator, se ta čas spreminja skozi vse leto [7].

Polno Luno, ki se pojavi najbliţje v času jesenskega enakonočja (21. september), v angleškem

jeziku imenujejo »Harvest Moon«. Posebno ime je dobila, ker se v tej lunaciji lahko

zaostanek zmanjša na 15 min. Polna Luna, ki sledi »Harvest Moon«, pa je znana kot »Hunters

Moon«, ki prav tako vzhaja z zaostankom manjšim od povprečnega [7].

2.2.4 Izpeljava zveze med sidersko in sinodsko periodo

Med sidersko in sinodsko periodo Lune velja zveza, ki jo lahko izpeljemo na naslednji način.

Za začetek naj bosta Zemlja in Luna na premici s Soncem, kot kaţe slika 4. Zemlja in Luna

bosta zopet na premici s Soncem po času t oz. natanko po eni sinodski periodi S. Do takrat pa

Zemlja in Luna opravita različna kota.

Slika 4: Sinodski in siderski mesec.

15

Za Zemljo lahko zapišemo

𝜑𝑍 = 𝜔𝑍 ∙ 𝑡 , (2.1)

za Luno pa

𝜑𝐿 = 𝜔𝐿 ∙ 𝑡 . (2.2)

Tako Zemlja kot tudi Luna naredita en obhod glede na zvezde v svoji siderski periodi P, zato

velja za Zemljo

𝜔𝑍 =

2𝜋

𝑃𝑍 , (2.3)

za Luno pa

𝜔𝐿 =

2𝜋

𝑃𝐿 . (2.4)

Če vstavimo enačbo (2.3) v enačbo (2.1), dobimo za Zemljo

𝜑𝑍 =

2𝜋

𝑃𝑍∙ 𝑡 , (2.5)

pri čemer se Zemlja premakne okoli Sonca za kot 𝜑𝑍 v času t.

Če vstavimo enačbo (2.4) v enačbo (2.2), dobimo za Luno

𝜑𝐿 =

2𝜋

𝑃𝐿∙ 𝑡 . (2.6)

(Kadar je t = 1 dan, je 𝜑𝐿enak dnevnemu premiku Lune, ki ga označimo z grško črko β.)

V času t se Luna glede na Zemljo premakne za

𝜑𝐿 − 𝜑𝑍 =

2𝜋

𝑆𝐿∙ 𝑡 . (2.7)

16

V enačbo (2.7) vstavimo enačbi (2.5) in (2.6). Dobimo

2𝜋

𝑃𝐿∙ 𝑡 −

2𝜋

𝑃𝑍∙ 𝑡 =

2𝜋

𝑆𝐿∙ 𝑡 . (2.8)

Sedaj lahko enačbo (2.8) delimo z 2π in t ter tako dobimo zvezo med sidersko in sinodsko

periodo:

1

𝑃𝐿=

1

𝑃𝑍+

1

𝑆𝐿 , (2.9)

kjer je 𝑃𝐿 siderska perioda Lune, 𝑃𝑍 siderska perioda Zemlje ter 𝑆𝐿 sinodska perioda Lune.

2.2.5 Libracija5

Marsikje lahko preberemo, da je čas, v katerem se Luna zavrti za en obrat okoli svoje osi,

enak času enega obhoda Lune okrog Zemlje, zato nam Luna kaţe vedno isto stran. A to ni

povsem res.

Ker Lunina orbita ni kroţnica, ampak je elipsa, velja za njeno gibanje 2. Keplerjev zakon.

Luna ima tako največjo hitrost v perigeju in najmanjšo v apogeju, medtem ko je hitrost

vrtenja Lune okrog lastne osi konstantna. To je vzrok, da v bliţini perigeja vrtenje Lune

nekoliko zaostaja za njenim gibanjem okoli Zemlje, v bliţini apogeja pa prehiteva. Posledično

lahko vidimo malce več kot le pol Lunine oble, seveda pa ne naenkrat. Tej nestabilnosti

pravimo libracija v dolţini (slika 5). Za laţjo predstavo recimo, da je bila Luna na začetku v

perigeju. Ko se Luna zavrti za 90°, se glede na Zemljo premakne na svojem tiru za večji kot,

in sicer za pribliţno 97,7°. Opazovalec na Zemlji takrat vidi čez zahodni Lunin rob pribliţno

7,7° [7][13].

5 LIBRACIJA izvira iz latinske besede librare, ki pomeni - izenačevati, zibati, gugati ali nihati.

17

Slika 5: Libracija Lune v dolţini.

Obstaja pa tudi libracija v širini, katere vzrok najdemo v nagnjenosti Lunine orbite glede na

ekliptiko, tako da lahko opazovalec z Zemlje vidi tudi malce večji del pri Luninih polih.

Libracija v širini je posledica 5,145° inklinacije Lune na ekliptiko in 1,54245° nagnjenosti

Lunine vrtilne osi glede na ravnino njene orbite. Pri Zemljinem gibanju okrog Sonca so

posledica tega letni časi. Tako sta severni in juţni pol Lune nagnjena proti Zemlji za pribliţno

6,6°, kar omogoča opazovalcu z Zemlje, da enkrat vidi malce čez severni tečaj, drugič pa

malce čez juţni tečaj Lune (slika 6) [7][13].

18

Slika 6: Libracija Lune v širini.

Ker pa se tudi sama Zemlja vrti okrog svoje osi, zaradi tega obstaja tudi dnevna ali

paralaktična libracija (slika 7). Tako lahko pri vzhodu Lune opazovalec vidi malenkost pod

zahodni del Lune, pri zahodu Lune pa malenkost nad vzhodni del. Opazovalec na Zemlji tako

vidi Luno z dveh rahlo različnih kotov, saj je enkrat na eni strani zveznice med Luninim in

Zemljinim središčem, drugič na drugi. Ker se lega opazovališča čez dan spremeni za velikost

premera Zemlje, to omogoča, da opazovalec vidi pribliţno 1° čez zahodni oziroma vzhodni

Lunin rob [7][13].

Slika 7: Dnevna libracija Lune.

Skupni deleţ za opazovalca z Zemlje vidne Lunine površine, če upoštevamo vse tri libracije,

znaša 59% [14].

19

3 Astrofotografija

Astrofotografija zajema fotografiranje vseh vrst astronomskih objektov: od zelo svetlih

objektov ter detajlov na njih, do objektov, ki so preveč šibki, da bi jih opazovali s prostim

očesom in je zato namenjena tudi odkrivanju in raziskovanju le-teh. Preprosto bi lahko rekli,

da je astrofotografija fotografiranje nočnega neba in nebesnih teles, kot so planeti, lune,

kometi, zvezde, meglice in galaksije. Astrofotografija pa ne zajema samo fotografije v vidni

svetlobi, temveč tudi fotografije v drugih delih spektra, npr. v infrardeči, ultravijolični,

radijski, rentgenski ali gama svetlobi. Te posnetke ustrezno 'prenesejo' v vidno svetlobo, da

jih lahko vidimo z našimi očmi [15].

Slika 8: John William Draper [16] in njegova slika Lune [17].

Prvo astrofotografijo pripisujejo Johnu Williamu Draperju, ki je naredil posnetek Lune leta

1840 (slika 8). Leta 1880 je bil njegov sin Henry Draper (slika 9) prvi, ki je fotografiral

Orionovo meglico (Orion Nebula). Ta fotografija velja tudi za prvo astrofotografijo

globokega neba (deep sky) [15].

Danes pa bi lahko rekli, da je astrofotografija postala ţe hobi, saj je priljubljena tako med

fotografi, amaterskimi astronomi in ljudmi vseh starosti. Vzrok za to je v nizki ceni in

dostopnosti opreme, zlasti sodobnih digitalnih fotoaparatov, in njeni enostavni uporabi.

Vseeno pa je za astrofotografijo potrebno imeti nekaj fotografskega in astronomskega znanja.

20

Ko ga osvojimo, pa nas lahko astrofotografija hitro zasvoji in postane naša kratkotrajna ali

ţivljenjska strast [15].

Slika 9: Henry Draper [17] in prva fotografija globokega neba [18].

Astrofotografijo razdelimo na profesionalno in ljubiteljsko. Profesionalna astrofotografija se

je razvila tako z uporabo profesionalnih astronomskih teleskopov kot z razvojem

profesionalnih fotoaparatov in kamer. Danes profesionalne teleskope ne uporabljamo za

vizualna opazovanja, temveč izključno za snemanje z astronomskimi kamerami, ki nam

omogočajo nova odkritja in astronomska merjenja. Veliki teleskopi so tako ogromni objektivi,

ki naj zbirajo čim več svetlobe in dosegajo najboljše ločljivosti. Ker je za kakovostno

astrofotografijo potrebno temno nebo brez svetlobnega onesnaţenja, ki je prisotno v

naseljenih območjih, so astronomski observatoriji odmaknjeni od mest. Pozabiti pa ne smemo

na to, da na kakovost posnetka vpliva tudi vreme in Zemljina atmosfera, ki ni čisto prosojna,

zato se veliki astronomski teleskopi nahajajo na visokih predelih, kjer je atmosfera ţe redkejša

in kjer je vreme stabilno. Vse bolj pogosto pa v namene novih astronomskih odkritij, pri

katerih je pomembna natančnost, astronomske teleskope pošiljajo v vesolje, kjer ni motenj

okolice. Tak primer je Vesoljski teleskop Hubble. Nas pa bo zanimala predvsem ljubiteljska

astrofotografija in njene značilnosti [15].

21

3.1 Ljubiteljska astrofotografija

Ţe samo ime nam pove, da je ta astrofotografija priljubljena pri amaterskih astronomih in je

uporabna za snemanje nočnega neba in nebesnih objektov, katerih detajlov ne vidimo s

prostim očesom. S pomočjo modernih digitalnih fotoaparatov in astronomskih CCD6 kamer je

moč iz leta v leto posneti vse bolj in bolj kakovostne fotografije, ki pa nam lahko sluţijo ne

zgolj za estetske razloge ampak tudi za opazovanje ter preučevanje ali celo za nova odkritja

[15][19].

Za snemanje Sonca in Lune je dovolj kratek čas osvetlitve oziroma ekspozicije, saj sta

gledano z Zemlje za nas to najsvetlejši nebesni telesi in zato ni večjih tehnoloških problemov,

ki pa se hitro pojavijo pri snemanju temnejših nebesnih teles. Za temnejša telesa so potrebni

dolgi časi osvetlitve, zato so v preteklosti ti povzročali astronomom precej teţav, kot je npr.

navidezno gibanje neba, ki je povzročilo, da objekt na fotografiji ni bil oster, saj se je med

časom osvetlitve premaknil. To danes odpravljajo motorizirane montaţe, ki preko vgrajenega

računalnika sledijo navideznemu gibanju neba in skupaj z astronomskimi programi za

obdelavo slik tako dobimo ostre fotografije [15][19].

3.1.1 Oprema

Lahko bi rekli, da je za fotografiranje nebesnih nebes uporabna vsa oprema, ki se uporablja

pri navadnem fotografiranju, vendar se je potrebno zavedati, da ima vsak fotoaparat ali

kamera svoje značilnosti, zato se v astrofotografiji najpogosteje uporabljajo: klasični in

digitalni fotoaparati, CCD kamere za astronomijo, planetarne in web kamere [15][19].

Klasični fotoaparati

Klasične fotoaparate danes v prosti uporabi zamenjujejo digitalni, saj CCD detektor zazna

okrog 95% svetlobe, medtem ko jo klasični film le 3%. To pomeni, da je pri klasičnem

fotoaparatu potreben daljši čas osvetlitve. Kljub temu pa klasične fotoaparate uporabljajo pri

snemanju zelo dolgih osvetlitev za sledenje zvezd in širokokotnih astrofotografij srednjega

formata. Prednost, ki jo je potrebno izpostaviti, je ta, da pri klasičnih fotoaparatih ni

digitalnega šuma, zato so fotografije barvno bogatejše [15][20][21].

6 Charge Coupled Device - CCD detektor je čip, ki pri digitalnih fotoaparatih zaznava in zapisuje

svetlobo podobno, kot je to počel film pri klasičnem fotoaparatu.

22

Digitalni fotoaparati

Pri digitalnih fotoaparatih se svetloba zbira na CCD detektorju, ki linearno sprejema svetlobo

in je nanjo bolj občutljiv kot fotografski film, kar omogoča krajše čase osvetlitve. Poznamo

kompaktne digitalne in zrcalno refleksne fotoaparate. Za astrofotografijo so primernejši

zrcalno refleksni fotoaparati, zaradi večje površine detektorja in moţnosti dolgih osvetlitev.

Problem daljšega časa osvetlitve in večje ISO občutljivosti se kaţe kot količina digitalnega

šuma, ki pa je večji, če je temperatura okolice višja. Ta problem rešujemo tako, da naredimo

veliko posnetkov istega objekta in z nadaljnjo obdelavo zmanjšamo šum vključno z

odštevanjem t.i. 'temnega posnetka' in nato posnetke sestavimo skupaj. Na spletu lahko

najdemo več brezplačnih programov, ki so namenjeni za obdelavo astrofotografij [15][19].

CCD kamere za astronomijo

Prednost uporabe CCD kamer za astronomijo je v tem, da imajo moţnost hlajenja čipa, kar

pripomore k zmanjšanju šuma. V primeru, da sama CCD kamera nima lastnega spomina, jo je

potrebno priključiti na računalnik, kamor se shranjujejo posnetki. Poznamo več vrst CCD

kamer. Monokromatske, ki so brez filtra na CCD čipu, so namenjene sprejemanju čim večje

količine svetlobe. Če ţelimo barvni posnetek, potrebujemo RGB filtre. Uporabljajo pa se tudi

ozkopasovni filtri, ki prepuščajo zelo majhno področje vidnega spektra, npr. H-alpha, in so

namenjeni za boljše posnetke meglic. Potrebno je še povedati, da so CCD kamere koristne

tudi za astronomska merjenja – astrometrijo, fotometrijo in spektrografijo, ne le za dobivanje

lepih posnetkov nočnega neba [15][21].

Planetarne in web kamere

Uporabljamo jih za snemanje planetov našega Osončja. Gre za digitalne kamere, katerih

glavna prednost je, da omogočajo snemanje video izsekov in s tem trenutke stabilne

atmosfere, ko je slika čim bolj ostra. Te kamere ne potrebujejo čipa velikih dimenzij, saj

planeti zavzamejo v najboljšem primeru le nekaj sto slikovnih elementov. Predvsem je vaţno,

da imamo čim večji prenos slik na sekundo in to brez izgube podatkov med njihovo

kompresijo. Slaba lastnost web kamer, da so manj občutljive na svetlobo, zato se amaterji raje

posluţujejo planetarnih kamer, ki so malenkost prirejene web kamere. Iz video posnetkov

nato računalnik s pomočjo specializiranega programa za obdelavo izbere najostrejše slike, ki

se sestavijo tako, da nastane ostra in podrobna slika planeta [15][19][21].

23

3.1.2 Metode fotografiranja

Posnetki s fotografskim stativom

Ta metoda je najenostavnejša in za njo ne potrebujemo teleskopa temveč objektiv fotoaparata,

najpogosteje širokokotnega. Dolţina ekspozicije, ki se uporablja pri tej metodi, je največ do

3 sekunde, da ostanejo zvezde točkaste. Za posebne efekte, kot so na primer zvezdni sledovi,

pa moramo imeti daljšo ekspozicijo. Neprekinjene nekajurne ekspozicije navadno delamo s

klasičnim fotoaparatom. Z digitalnim fotoaparatom je boljše posneti več zaporednih krajših

ekspozicij, ki jih kasneje sestavimo v programu za obdelavo fotografij [15][19][21].

Montaže, ki vključujejo rotacijo nočnega neba

Na fotografski stativ je moţno montirati tudi tako imenovano montaţo za kompenzacijo

rotacije nočnega neba, ki jo lahko naredimo sami ali pa kupimo ţe narejene sledilnike. S

takšnimi montaţami ponavadi delamo posnetke z ekspozicijami daljšimi od 10 min in s

teleobjektivi do pribliţno 200 mm goriščne razdalje [21].

"Piggyback" metoda

Ta metoda je pogosta pri amaterskih astronomih, ki imajo teleskop z ekvatorijalno montaţo in

lahko fotoaparat pričvrstijo vzporedno s teleskopom ter tako koristijo kompenzacijo rotacije

nočnega neba. Seveda fotoaparat še vedno uporablja le svoj objektiv, medtem ko lahko s

pomočjo teleskopa delamo korekcije. Prednost te metode je, da lahko zelo natančno sledimo

vrtenju nočnega neba in uporabljamo fotoaparat z njegovimi teleobjektivi [21].

Snemanje skozi teleskop

Za podrobne posnetke nebesnih objektov je seveda najboljše uporabiti teleskop. Tu obstaja

več metod snemanja skozi teleskop:

Snemanje v primarnem gorišču teleskopa – ta metoda uporablja izključno refleksne

fotoaparate ali astronomske CCD kamere. S fotoaparata snamemo objektiv in

fotoaparat pritrdimo na mesto okularja teleskopa s pomočjo adapterja. Tako teleskop

deluje kot velik teleobjektiv. To metodo lahko uporabimo na vseh vrstah teleskopov,

čeprav je ponavadi potreben kakšen vmesni del med fotoaparatom in teleskopom, ki

zagotovi, da je slika brez optičnih napak. Pri alt-azimutalni montaţi teleskopa je

24

ponavadi potreben še derotator vidnega polja. Pri ekvatorialni montaţi teleskopa ta ni

potreben [15][21].

Okularna projekcija – uporablja se za snemanje planetov. Okular projicira povečano

sliko na senzor fotoaparata/kamere, iz katerega smo odstranili objektiv. Tako dobimo

povečano sliko planeta, da lahko vidimo njegove detajle na površini. Namesto okularja

lahko uporabimo barlow lečo ali telekonverterje, ki s svojim optičnim sestavom

povečujejo goriščno razdaljo teleskopa in tako omogočijo, da dobimo povečano sliko

planeta [15][21].

Afokalna metoda – s fotoaparati, ki jim ne moremo sneti objektiva, pa lahko

snemamo skozi teleskop tako, da objektiv prislonimo na okular teleskopa. Za

kvalitetno sliko je potrebno fotoaparat fiksirati, da se ne trese. Na ta način je moţno

dobiti lepe slike planetov ter meglic ali zvezdnih kopic [15][21].

25

4 Določanje sinodske in siderske periode Lune s fotografiranjem

Periodo, s katero se ponavljajo Lunine faze, sem izmeril tako, da sem mesec in pol vsako noč,

ko so dopuščale vremenske razmere, fotografiral Luno. Na slikah sem nato izmeril, kolikšen

je z Zemlje viden deleţ osvetljenega dela Lune, in določil sinodsko periodo s pomočjo grafa,

ki sem ga dobil iz meritev.

4.1 Oprema

Večino opreme za izvedbo diplomske naloge mi je posodil Astronomsko geofizikalni

observatorij Golovec, kjer so mi pokazali tudi uporabo le-te. Oprema, ki sem jo uporabljal za

fotografiranje Lune, je optična cev Maksutov MTO-11CA, leseno stojalo ter fotoaparat

Canon EOS 300D.

4.1.1 Optična cev

Optična cev, ki sem jo uporabljal za izvajanje meritev oziroma posnetkov, je MTO-11CA

10/1000, ki temelji na zasnovi znanega sovjetskega inţenirja Maksutova. Gre za teleobjektiv z

goriščno razdaljo 1000 mm, največjo odprtino f10 ter zornim kotom 2,5°. Ima tudi lastno

fokusirno območje, ki deluje od 8 m do neskončno. Za pritrditev fotoaparata na optično cev

sem uporabil adapter za Canon.

Slika 10: Teleobjektiv Maksutov MTO-11CA.

26

4.1.2 Montaža

Za montaţo sem uporabil čvrsto leseno stojalo in doma izdelano drţalo za optično cev, saj je

optična cev starejša in so se zaradi uporabe obrabili navoji za pritrditev na originalno stojalo

ali motorizirano montaţo. Zaradi navideznega gibanja neba sem moral ročno loviti Luno v

center skoraj za vsak posnetek, za kar je bila potrebna natančnost in potrpeţljivost.

Slika 11: Leseno stojalo in drţalo za optično cev.

27

4.1.3 Fotoaparat

Uporabil sem zrcalno refleksni fotoaparat Canon EOS 300D. Fotoaparat ima optično iskalo,

ISO občutljivost od 100 do 1600 in ločljivosti 6,7 milijonov slikovnih točk (3072 x 2048).

Kljub starejšemu modelu pa fotoaparat ponuja kvalitetne slike in, kar je najpomembnejše

zame, ima nizek šum.

Slika 12: Oprema, uporabljena pri slikanju.

4.2 Metode meritev

Za zajem fotografij Lune sem uporabil metodo fotografiranja v primarnem gorišču, ki nam

omogoča zajem fotografij direktno skozi teleskop.

28

4.3 Opazovanja

4.3.1 Izvedba

Za izvedbo meritev in kasnejšo obdelavo le teh sem najprej fotografiral Luno v različnih

fazah. To je potekalo tako, da sem vsako jasno noč od 24.8.2012 do 1.10.2012 v času, ko je

bila Luna na obzorju, naredil nekaj fotografij Lune s pomočjo prej omenjene opreme.

Opazovanja sem opravljal v Krškem, točneje na Sremiču pri zapuščenem gostišču Tri lučke.

Tabela 3: Tabela opazovanj.

Datum Ura

23.8.2012 20:23

25.8.2012 21:22

27.8.2012 23:59

28.8.2012 21:30

29.8.2012 22:34

30.8.2012 21:21

5.9.2012 1:36

8.9.2012 1:26

9.9.2012 2:04

10.9.2012 2:51

11.9.2012 5:39

12.9.2012 4:59

20.9.2012 20:35

21.9.2012 20:26

22.9.2012 19:54

23.9.2012 20:05

24.9.2012 21:08

25.9.2012 20:09

27.9.2012 0:16

30.9.2012 0:07

1.10.2012 22:29

Najprej sem postavil leseno stojalo in ga fiksiral, nanj pritrdil doma izdelano drţalo za

teleskop, nato pa še vanj pritrdil teleobjektiv. Na teleobjektiv sem nato s pomočjo adapterja

pritrdil fotoaparat v primarno gorišče, ki omogoča zajem fotografij direktno skozi teleskop.

Nato sem skozi optično iskalo poiskal Luno in jo poskušal postaviti čim bolj v center.

Ostrenje na teleobjektivu sem imel ves čas na neskončno, kar mi je omogočilo ostro sliko. Na

fotoaparatu sem nato nastavil nastavitve ISO in nastavitve zaklopke. ISO sem imel nastavljen

na 200, zaklopko pa sem spreminjal glede na osvetljenost Lune in sicer od 1/30 sekunde, ko je

šla Luna proti prvemu oz. proti koncu zadnjega krajca, pa do 1/400 sekunde, ko je bila Luna

polna. S pomočjo sproţilca, ki mi je omogočil, da se vse skupaj ni zamajalo, sem nato naredil

nekaj posnetkov in sproti še popravil zaklopko, kadar je bilo to potrebno.

29

Ker moje stojalo ni imelo motoriziranega sledenja, sem moral zaradi navideznega gibanja

neba skoraj za vsak posnetek ponovno poiskati Luno in jo postaviti v center. Tako sem dobil

vedno precej fotografij Lune, med katerimi sem v nadaljnjem koraku uporabil le eno, na

kateri sem izvedel meritve.

Na sliki 13 so prikazane vse astrofotografije Luninih men, ki sem jih uporabil v nadaljnih

meritvah in izračunih.

Slika 13: Astrofotografije Luninih men.

30

4.4 Meritve in rezultati

4.4.1 Obdelava fotografij in merjenje količin

Za nadaljnje pridobivanje podatkov sem fotografije obdelal v programu Corel Designer X5. V

program sem uvozil fotografijo in s pomočjo orodja za risanje kroţnice skozi tri točke očrtal

Luni kroţnico. To sem naredil tako, da sem na svetlem robu Lune določil tri točke, ki so

določale kroţnico, ki se je najbolje prilegala Luni. Nato sem z orodjem za risanje daljic

narisal pravokotna si premera, ki sta mi predstavljala koordinatni sistem x,y s središčem v

središču kroţnice. Označil sem ga s točko 0.

Potrebno je bilo še poiskati mejo med osvetljenim in temnim delom Lune. Ker je Luna 3D

objekt, bi morala biti meja določena s kroţnico, vendar ker gre za fotografijo, se ta kroţnica

projicira na ravnino fotografije in jo vidimo v vseh primerih kot elipso, razen ko je Luna

polna ali prazna, takrat jo vidimo kot krog. Elipso sem narisal z orodjem za risanje elipse

skozi dve točki in središče, tako da se je najbolj prilegala med osvetljeni in temni del Lune.

Tako sem pridobil tudi vse meje za nadaljnje merjenje razdalj na fotografiji.

Razdalje sem izmeril z orodjem za merjenje razdalj, enoto za razdalje pa sem izbral sam, in

sicer v enotah slikovnih elementov (angl. pixel), saj so to najmanjše enote na fotografiji in

nimajo decimalnih mest. Razdalje, ki so me zanimale, so naslednje: premer, polmer in mala

polos elipse, ki je razdalja od središča do terminatorja7.

Premer d je podan kot razdalja med točkama A in B. Polmer R je razdalja od središča Lune do

severnega pola Lune, oziroma na fotografiji od točke 0 do točke A. Mala polos elipse b je na

fotografiji razdalja od središča Lune do terminatorja, oziroma od točke 0 do točke T na

terminatorju. Te podatke sem potreboval za vsako zajeto fotografijo, da sem lahko kasneje

izračunal razmerje b/R.

S tem je bila fotografija obdelana in pridobil sem potrebne podatke, zato je sledilo le še to, da

shranim nastalo sliko. To sem storil z ukazom »Save as Web«, ki shrani obdelano sliko v

formatu .jpg (slika 14).

7 TERMINATOR je meja med osvetljeno in neosvetljeno poloblo Lune.

31

Slika 14: Slika iz obdelane fotografije Lune v programu Corel Designer X5.

4.4.2 Tabela meritev

Izmerjene količine s programom Corel Designer X5 sem vnašal v tabelo v Excelu, saj je z

njim preprosto obdelati podatke.

Ko sem imel v tabeli vnesene izmerjene količine, sem za vsako posneto fotografijo izračunal

razmerje b/R. Ker je koordinatno središče postavljeno v središče Lune, je razdalja R vedno

pozitivna, medtem ko je razdalja b v primeru, da je terminator na pozitivnem delu osi x,

pozitivna, v primeru, ko je terminator na negativnem delu osi x, pa je razdalja b negativna.

32

Izračunal pa sem tudi čas, ki je minil od prvega posnetka fotografije do vsakega nadaljnjega

posnetka. Čas sem zapisal v urah in ga zaokroţil na 3 decimalna mesta. Tako sem pridobil

ustrezne podatke, da sem lahko narisal graf odvisnosti razmerja b/R od časa.

Absolutna napaka meritve razdalje b je ±10 px, saj je terminator teţje določiti zaradi

razgibanega površja Lune, ki povzroča, da je terminator, ki ga določim, le pribliţna meja.

Absolutna napaka meritve polmera R je natančnejša in znaša ±5 px, saj je napaka pri očrtanju

kroţnice Luni manjša. Napako razmerja b/R dobim po pravilu seštevanja napak v primeru

mnoţenja/deljenja, zato relativni napaki razdalje b in polmera R seštejemo. Ko izračunam

absolutno napako razmerja b/R, se napaka pojavi na 3 decimalnem mestu, vendar ker je v

večini primerov na tretjem decimalnem mestu število 2, je potrebno zapisati še eno decimalno

mesto, zato je absolutna napaka razmerja b/R zaokroţena na 4 decimalna mesta.

Tabela 4: Tabela meritev količin iz fotografij.

N Slika Datum Ura Δt [h]

AB = d

[px]

0A = R

[px]

0T = b

[px]

Razmerje

b/R

1 IMG_0973 23.8.2012 20:23 0,000 5479 2739 425 0,1552

2 IMG_1044 25.8.2012 21:22 48,983 5500 2750 -835 -0,3036

3 IMG_1197 27.8.2012 23:59 99,600 5451 2725 -1940 -0,7119

4 IMG_1215 28.8.2012 21:30 121,117 5413 2706 -2235 -0,8259

5 IMG_1267 29.8.2012 22:34 146,183 5375 2688 -2537 -0,9438

6 IMG_1304 30.8.2012 21:21 168,967 5323 2662 -2628 -0,9872

7 IMG_1353 5.9.2012 1:36 293,217 5095 2547 -1644 -0,6455

8 IMG_1364 8.9.2012 1:26 365,050 5035 2518 -351 -0,1394

9 IMG_1433 9.9.2012 2:04 389,683 4876 2438 103 0,0422

10 IMG_1505 10.9.2012 2:51 414,467 4902 2451 679 0,2770

11 IMG_1546 11.9.2012 5:39 441,267 5185 2593 1232 0,4751

12 IMG_1593 12.9.2012 4:59 464,600 5213 2607 1638 0,6283

13 IMG_1723 20.9.2012 20:35 672,200 5444 2722 1166 0,4284

14 IMG_1758 21.9.2012 20:26 696,050 5479 2739 556 0,2030

15 IMG_1780 22.9.2012 19:54 719,517 5464 2732 0 0,0000

16 IMG_1815 23.9.2012 20:05 743,700 5432 2716 -631 -0,2323

17 IMG_1941 24.9.2012 21:08 768,750 5397 2698 -1215 -0,4503

18 IMG_2008 25.9.2012 20:09 791,767 5345 2673 -1686 -0,6308

19 IMG_2090 27.9.2012 0:16 819,883 5296 2648 -2086 -0,7878

20 IMG_2178 30.9.2012 0:07 891,733 5195 2597 -2582 -0,9942

21 IMG_2270 1.10.2012 22:29 938,100 5094 2547 -2439 -0,9576

4.4.3 Graf

Pri opazovanju Lune smo pozorni predvsem na lego terminatorja, ki se sinusno spreminja s

časom. Za laţjo predstavitev si poglejmo sliko 15.

33

Slika 15: Prikaz sinusne odvisnosti lege terminatorja. R je polmer Lune, T je terminator, φ je

kot med osjo y in terminatorjem ter x je projekcija lege terminatorja na os x v smeri osi y.

Luno gledamo v smeri y in vidimo lego terminatorja pod kotom φ kot projekcijo kroga na

ravnino slike Lune. V sredi slike Lune je dolţina te projekcije (oddaljenost terminatorja od

sredine Lune na sliki) razdalja x. Kot vidimo na sliki 15, je φ kot med smerjo od središča

Lune do terminatorja in našo smerjo pogleda. Ker terminator projiciramo na os x v smeri y,

tako dobimo pravokotni trikotnik s kateto x in hipotenuzo R ter kotom φ. Sedaj lahko

zapišemo eno od enačb kotnih funkcij, ki velja v pravokotnem trikotniku:

sin 𝜑 =𝑥

𝑅 . (4.1)

34

Graf sem narisal s pomočjo programskega orodja Logger Pro. V program sem vnesel podatke

iz tabele, in sicer razmerje b/R in čas z upoštevanima napakama obeh. Program sam omogoča

risanje prilagoditvene funkcije. Ker gre za projekcijo kroţnice pod različnim kotom φ, ki se (v

prvem pribliţku) spreminja enakomerno s časom, je očitno, da gre za projekcijo kroga na

ravnino slike Lune, ki nam prinese sinus, zato izberemo funkcijo, ki ima enačbo 𝑦 = 𝐴 ∙

sin 𝐵 ∙ 𝑡 + 𝐶 + 𝐷. Primerjava z enačbo (4.1) pove, da lahko izberem A = 1 (amplituda

sinusa) in D = 0 (premik v smeri osi y).

Program je tako narisal prilagoditveno funkcijo in podal še ostala dva parametra, ki sta bila

neznana, ter njuni napaki (slika 16).

Slika 16: Graf, narisan s prilagoditveno funkcijo programa Logger Pro.

35

4.4.4 Rezultati

Parametri funkcije 𝑦 = 𝐴 ∙ sin 𝐵 ∙ 𝑡 + 𝐶 + 𝐷, ki se najbolje prilega meritvam, so naslednji:

- 𝐴 = 1,

- 𝐵 = 0,0089627 h−1 ± 0,0000624 h−1,

- 𝐶 = 750,65 ± 0,03,

- 𝐷 = 0.

Parameter A predstavlja amplitudo sinusa, parameter B določa sinodsko periodo, ki je

določena kot 2π/B, parameter C določa premik v smeri osi x in parameter D premik v smeri

osi y.

Zanimal me je predvsem parameter B, ki določa periodo, saj iz njega po enačbi (4.2) takoj

dobim sinodski obhodni čas Lune iz mojih meritev.

Vrednost parametra B lahko zapišem kot:

𝐵 = 0,0089627 h−1 ± 0,0000624 h−1 = 0,0089627 h−1 ∙ 1 ± 0,70 % .

Izračunam še sinodsko periodo S:

𝑆𝐿 =

2𝜋

𝐵 (4.2)

𝑆𝐿 = 701,04 h 1 ± 0,7 % = 29,21 dni 1 ± 0,7 % = 29,21 dni ± 0,20 dni.

Za izračun siderske periode uporabimo zvezo med sidersko in sinodsko periodo, enačba (2.9)

in iz nje izpostavimo 𝑃𝐿:

𝑃𝐿 =

𝑃𝑍 ∙ 𝑆𝐿

𝑃𝑍 + 𝑆𝐿 (4.3)

in vanjo vstavimo ostale podatke (PZ = 365,26 dni [22]).

36

Siderska perioda Lune znaša

𝑃𝐿 = 27,05 dni 1 ± 0,8 % = 27,05 dni ± 0,20 dni.

Na ta način sem iz meritev določil sinodsko periodo Lune, iz zveze med sinodsko in sidersko

periodo po enačbi (4.3) pa še sidersko periodo.

4.4.5 Primerjava rezultatov

Svoje rezultate sem primerjal s podatki mednarodnih observatorijev, vesoljskih agencij ter

spletnih strani. Povprečna sinodska perioda Lune je 29,53 dni ter niha med 29,27 dni in 29,83

dni. Povprečna siderska perioda Lune je 27,32 dni.

Med mojimi opazovanji je Luna 1,5-krat obkroţila Zemljo, zato sta bili dve malce različni

sinodski periodi. Prva je znašala 29,43 dni, kar je 29 dni 10 h 16 min, druga pa je znašala

29,41 dni, kar je 29 dni 9 h 52 min [23]. Ker moje meritve in rezultati predstavljajo povprečje

med mojimi opazovanji, izračunam tudi povprečje obeh sinodskih period, ki tako znaša

29,42 dni oziroma 29 dni 10 h 4 min. Tako lahko izračunam po enačbi (4.3) še sidersko

periodo Lune. Ta znaša 27,23 dni.

Sinodska perioda Lune, ki sem jo določil s pomočjo meritev in grafa, je 29,21 dni ± 0,20 dni.

Relativna napaka meritve tako znaša 0,7%.

Siderska perioda Lune, ki jo dobim iz zveze med sinodsko in sidersko periodo, je

27,05 dni ± 0,20 dni. Relativna napaka te meritve je 0,8%.

Sinodska perioda in posledično siderska se v okviru napake dobro ujemata z vrednostmi iz

literature. Sta pa morda res malo daljši, kot pravi najboljši fit na grafu na sliki 16. Če namreč

dobro pogledamo prilagoditveno krivuljo na delu, kjer gre b/R proti -1, se zdi, da bi daljša

perioda bolj ustrezala meritvam. Tu verjetno ponagaja libracija, saj zaradi nje ne dobimo

čistega sinusa (Bt + C), ker B ni čisto konstanten. S tem ko fitamo sinus, pa na tistem delu

grafa, ko b/R narašča od 0 navzgor, sili fit h krajši periodi.

37

4.5 Komentar

Napake pri končnih rezultatih so nastale zaradi več različnih faktorjev, ki so bili prisotni med

samim procesom, tako pridobivanja fotografij kot tudi pri obdelavi podatkov.

Prvi faktor, ki je močno vplival na to, ali bo astrofotografija dovolj kakovostna, je bilo vreme.

Moralo je biti povsem jasno, da bi bila fotografija Lune čim bolj ostra. Vendar pa vreme

vpliva tako na vlaţnost kot tudi na temperaturo. Ker imamo opravka z optičnimi instrumenti,

je slednja še kako pomembna. Pametno je bilo počakati kakšnih deset minut, da se je

temperatura optičnih instrumentov prilagodila temperaturi okolice.

Na kakovost astrofotografije je vplivala tudi ostrina, saj boljša kot je ostrina, laţje je določiti

terminator Lune in posledično je potem tudi napaka manjša. Z določanjem ostrine posnetka

sem imel teţave predvsem na začetku, vendar teh meritev nisem vključil.

Kljub dobri ostrini astrofotografije pa je vseeno teţko določiti točen potek terminatorja, saj

Luna ni gladka krogla. Ker ima Luna na nekaterih delih gorovja, le-ta zasenčijo stran, ki je

obrnjena stran od Sonca in tako pride do napake pri določitvi terminatorja, to pa posledično

privede do napake končnih rezultatov.

Če pokomentiram končne rezultate, ki sem jih dobil, lahko rečem, da se v okviru napake

končni rezultati meritev ujemajo s spletnimi podatki. Napaka v mojih rezultatih je precej

majhna, manjša od 1%. Vzrok za tako majhno napako je predvsem ta, da sem posnel veliko

število astrofotografij ter da so le-te visoke resolucije, ki je bila ključnega pomena za

določanje terminatorja Lune. Lahko rečem, da sem s svojimi meritvami in izračuni podkrepil

ţe znana dejstva o Luni in njenem siderskem oziroma sinodskem mesecu.

Tako sem pokazal, da lahko s pomočjo astrofotografije pridemo do zelo zanimivih dognanj o

Vesolju, ki nas obdaja. Predvsem pa je bistveno to, da so rezultati, ki jih dobimo iz takšnih

meritev, primerljivi z dejanskimi vrednostmi in podatki, ki jih merijo veliko bolj natančni

instrumenti, ki jih uporabljajo observatoriji in vesoljske agencije.

38

5 Določanje sinodske in siderske periode Lune ter navidezne

hitrosti Lune s križno palico

S kriţno palico sem v nekaj zaporednih nočeh določil poloţaj Lune med zvezdami ter iz

spreminjanja njenega poloţaja izračunal Lunin dnevni in mesečni premik. Nato sem iz

premikov in znanega časa opazovanj izračunal sinodsko in sidersko periodo Lune. S pomočjo

spleta sem pogledal, kakšna je bila oddaljenost Lune do Zemlje na dan opazovanja in tako

izmeril Lunino orbitalno hitrost.

5.1 Oprema

Za merjenje kotov med Luno in zvezdami sem izdelal kriţno palico po navodilih iz Spike

[24].

5.1.1 Križna palica

Kriţna palica je enostaven astronomski inštrument, ki ga uporabljamo za določanje kotov med

nebesnimi telesi. Sestavljena je iz daljšega vodila, ki sem mu na obe strani nalepil merilo, in

dveh krajših drsnih prečk. Uporabljali so jo ţe aleksandrijski astronomi, kasneje pa tudi

pomorščaki in ribiči. Danes je ta inštrument uporaben predvsem v astronomiji za hitro

določanje kotov med nebesnimi telesi. Ker je precej preprost, lahko z njim delajo tudi otroci

pri opazovanju nočnega neba.

39

Slika 17: Doma izdelana kriţna palica.

5.2 Metode meritev

Za merjenje kotov med Luno in zvezdami za kasnejše vrisovanje v zvezdno karto sem

uporabil kriţno palico.

5.3 Opazovanja

5.3.1 Izvedba

Merjenje kotov med Luno in zvezdami za določitev lege Lune na zvezdni karti sem izvajal od

21.9.2012 do 30.9.2012 (za določitev dnevnega premika glede na zvezde) ter še 22.10.2012

(za določitev mesečnega premika Lune glede na zvezde). Meritve so izvedene okoli prvega

krajca, saj je takrat enostavnejše določiti sredino Lune in so meritve tako natančnejše.

40

Tabela 5: Tabela opazovanj.

Datum Ura

20.9.2012 20:45

21.9.2012 20:15

22.9.2012 19:50

23.9.2012 20:25

25.9.2012 20:20

27.9.2012 0:25

30.9.2012 0:15

22.10.2012 19:50

Pri tej metodi je pomembno poznavanje predela neba, kjer se nahaja Luna med merjenjem, saj

je potrebno vedeti, od katere zvezde merimo kot. Zato sem si prej s pomočjo programa

Stellarium pripravil zvezdno karto s predelom neba, kjer se je Luna nahajala tisti dan, ko sem

meril kote, ali pa sem si na list prerisal najsvetlejše zvezde v tem predelu neba. Uporabna je

tudi Googlova aplikacija za pametne mobilne telefone Google Sky, s katero si lahko

pomagamo tako, da pogledamo ime zvezde, od katere smo merili kot do Lune.

Kote med Luno in zvezdami sem meril s pomočjo kriţne palice. Za natančnejše meritve sem

si izbral zvezde, ki niso bile oddaljene od Lune za več kot 30 kotnih stopinj. V jasni noči sem

tako poiskal izbrano svetlo zvezdo, ki je bila blizu Lune [25]. Vodilo kriţne palice sem

prislonil na ličnico tik pod očesom, prečko pa premaknil v takšno lego, da je bil prvi konec

prečke poravnan z izbrano zvezdo, drugi konec prečke pa s sredino Lune. Nato sem na merilu

odčital, za koliko je prečka oddaljena od očesa. Te meritve sem nato za laţjo obdelavo

podatkov pretvoril v kotne stopinje. Ker sem meril v času okoli prvega krajca, je bila sredina

Lune ravno na terminatorju. Nato sem odčital vrednost na merilu in jo zapisal na prej

pripravljeno zvezdno karto ali list ter zraven zapisal čas meritve. Naredil sem vsaj tri takšne

meritve do drugih svetlih zvezd. Meritve sem poskušal opraviti v čim krajšem času.

5.4 Meritve in rezultati

5.4.1 Razdalje med Luno in zvezdami

Meritve, ki sem jih dobil s kriţno palico, je bilo potrebno pretvoriti v kotne stopinje. To

naredimo z uporabo kotne funkcije tangens po enačbi

tan(𝜑/2) =

ℎ/2

𝑥 , (5.1)

41

iz katere izpostavimo kot 𝜑 in dobimo

𝜑 = 2 ∙ 𝑎𝑟𝑐 tan

ℎ

2 ∙ 𝑥 , (5.2)

kjer je 𝜑 iskani kot med Luno in izbrano zvezdo, h je dolţina prečke in x je oddaljenost od

očesa (slika 18).

Slika 18: Kriţna palica in trigonometrija.

Meritve za posamezen dan opazovanja so prikazane v tabeli 6.

Tabela 6: Tabela kotnih razdalj od Lune do izbrane zvezde.

Dan Ura Izbrana zvezda φ[°]

20.9.2012 20:45 Antares 9,78

20.9.2012 20:45 Oph 14,94

20.9.2012 20:45 Sabik 18,64

21.9.2012 20:15 Acrab 11,81

21.9.2012 20:15 Dschubba 12,59

21.9.2012 20:15 Kaus Australis 23,10

21.9.2012 20:15 Nunki 28,67

21.9.2012 20:15 Oph 12,16

21.9.2012 20:15 Yed Prior 21,19

22.9.2012 19:50 Antares 20,23

22.9.2012 19:50 Kaus Australis 14,79

22.9.2012 19:50 Nunki 15,10

42

23.9.2012 20:25 Altair 32,09

23.9.2012 20:25 Cebalrai 30,78

23.9.2012 20:25 Dabih 21,24

23.9.2012 20:25 Sabik 25,69

25.9.2012 20:20 Altair 26,58

25.9.2012 20:20 Deneb 14,75

25.9.2012 20:20 Nunki 29,34

25.9.2012 20:20 Sadachbia 26,66

25.9.2012 20:20 Sadalmelik 23,65

25.9.2012 20:20 Sadalsuud 13,65

25.9.2012 20:20 Situla 29,24

27.9.2012 0:25 Enif 18,70

27.9.2012 0:25 Homan 24,25

27.9.2012 0:25 Markab 31,30

27.9.2012 0:25 Skat 18,50

30.9.2012 0:15 Algenib 10,36

30.9.2012 0:15 Hamal 34,34

30.9.2012 0:15 Homan 22,58

30.9.2012 0:15 Markab 19,17

22.10.2012 19:50 Altair 25,77

22.10.2012 19:50 Ascela 25,77

22.10.2012 19:50 ϴ Aql 14,93

22.10.2012 19:50 π Sgr 20,47

5.4.2 Določanje položaja Lune na zvezdni karti

Sledilo je določanje poloţaja Lune na zvezdni karti. Na prej pripravljeno ekvatorsko zvezdno

karto s programom Stellarium sem s šestilom odmeril izmerjene kotne razdalje od izbranih

(referenčnih) zvezd. Pred risanjem je bilo potrebno določiti merilo zvezdne karte, da sem

lahko kotne razdalje pretvoril v to merilo.

Primer za dan 22.9.2012:

Na zvezdni karti je razdalja 15° = 9,3 cm. Kotno razdaljo od Lune do izbrane zvezde sem

označil s črko d. S pomočjo enačbe

𝜑

𝑑=

15°

9,3 cm (5.3)

sem lahko preprosto dobil razdalje na zvezdni karti za vsako izbrano zvezdo.

43

Tabela 7: Pretvorba iz kotnih stopinj v merilo zvezdne karte.

Datum Ura Izbrana zvezda φ[°] Razdalja na zvezdni karti [cm]

22.9.2012 19:50 Antares 20,23 12,54

22.9.2012 19:50 Kaus Australis 14,79 9,17

22.9.2012 19:50 Nunki 15,10 9,36

Nato sem šestilo zapičil v središče izbrane zvezde na karti in narisal krajše loke. V presečišču

lokov sem nato označil lego Lune (slika 19).

Slika 19: Ekvatorska zvezdna karta s predelom neba, kjer se je 22.9.2012 nahajala Luna. Lok,

ki pripada izbrani zvezdi, je enake barve kot krogec, s katerim je obkroţena izbrana zvezda.

S pomočjo ekvatorialne zvezdne karte sem nato odčital nebesne koordinate lege Lune.

𝑅𝑎 = 17 h 55 min ± 2 min

𝛿 = − 21,5° ± 0,5°

44

Ra je rektascenzija, ki je dolţina loka nebesnega ekvatorja, merjena v nasprotni smeri urinega

kazalca od točke pomladišča do časovnega kroga nebesnega telesa. δ je deklinacija, ki je

razdalja od nebesnega ekvatorja do nebesnega telesa, merjena vzdolţ časovnega kroga

nebesnega telesa.

Za vsak dan opazovanj sem po istem postopku določil lego Lune in njene ekvatorske

koordinate za nadaljnje izračune.

Tabela 8: Ekvatorske koordinate lege Lune, določene iz zvezdne karte.

Datum Ura Ra Abs. napaka δ Abs. napaka

20.9.2012 20:45 15 h 55 min ±2 min -21,0° ±0,5°

21.9.2012 20:15 16 h 55 min ±2 min -22,0° ±0,5°

22.9.2012 19:50 17 h 55 min ±2 min -21,5° ±0,5°

23.9.2012 20:25 18 h 56 min ±2 min -20,0° ±0,5°

25.9.2012 20:20 20 h 47 min ±2 min -13,5° ±0,5°

27.9.2012 0:25 21 h 45 min ±2 min -8,5° ±0,5°

30.9.2012 0:15 17 h 55 min ±2 min -21,5° ±0,5°

22.10.2012 19:50 20 h 33 min ±2 min -14,5° ±0,5°

5.4.3 Določanje mesečnega in dnevnega premika lege Lune glede na zvezde

Ker so me zanimali dnevni premiki in mesečni premik lege Lune glede na zvezde, sem te

določil s pomočjo sferne trigonometrije. Za orientacijo na nebu si predstavljajmo nebesno

kroglo, ki ima v središču Zemljo, kot kaţe slika 20. Ker poznamo deklinacijo in rektascenzijo

Lune za vsak dan opazovanj, lahko s pomočjo krogelnega trikotnika izračunamo premik

Lune.

Smer vrtenja nebesne krogle je od zahoda proti vzhodu, ravno obratno kot je vrtenje Zemlje.

Dolţine stranic krogelnega trikotnika izraţamo s pripadajočimi središčnimi koti, t.j. v kotnih

enotah, po navadi v kotnih stopinjah.

45

Slika 20: Nebesna krogla in krogelni trikotnik. N – severni nebesni pol, Z – Zemlja, L – Luna,

δ – deklinacija, Ra – rektascenzija, l – premik Lune

Ker pri krogelnem trikotniku velja kosinusni izrek, lahko zapišemo

cos 𝑙 = cos 90° − 𝛿2 ∙ cos 90° − 𝛿1 + sin 90° − 𝛿2 ∙ sin 90° − 𝛿1

∙ cos 𝑅𝑎2 − 𝑅𝑎1 . (5.4)

Po matematičnih pravilih sledi

cos 𝑙 = sin 𝛿2 ∙ sin 𝛿1 + cos 𝛿2 ∙ cos 𝛿1 ∙ cos 𝑅𝑎2 − 𝑅𝑎1 , (5.5)

kjer je l premik lege Lune glede na zvezde, Ra koordinata rektascenzije v kotnih stopinjah in

δ deklinacija.

46

α - mesečni premik

V mesečni premik Lune na sliki 21 sta vključeni meritvi iz dne 22.9.2012 in dne 22.10.2012,

saj je za mesečni premik Lune glede na zvezde (siderski mesec) ponagajalo vreme. Mesečni

premik Lune sem izračunal po enačbi (5.5), kjer je l = α:

𝛼 = 38,1° ± 2,1° = 38,1° ∙ (1 ± 5,4%).

Slika 21: Mesečni premik lege Lune glede na zvezde.

β - dnevni premiki

Dnevne premike lege Lune glede na zvezde sem meril med 20.9.2012 in 30.9.2012. Vrisal

sem jih v ekvatorsko zvezdno karto na sliki 22. Kotne razdalje dnevnih premikov lege Lune

sem izračunal po enačbi (5.5), kjer je l = β. Prikazane so v tabeli 9, kjer je prikazan tudi čas,

ki je minil med meritvama. Čas med meritvama sem izračunal s programom Excel.

47

Tabela 9: Dnevni premiki in časi med meritvami.

N Datum in ura 𝛽 [°] Abs.

Napaka [°] 𝛥𝑡 [h] Abs.

Napaka [h] od do

1 20.9.2012 20:45 21.9.2012 20:15 14,0 ±0,2 24,50 ±0,17

2 21.9.2012 20:15 22.9.2012 19:50 13,9 ±0,2 23,58 ±0,17

3 22.9.2012 19:50 23.9.2012 20:25 14,3 ±0,2 24,58 ±0,17

4 23.9.2012 20:25 25.9.2012 20:20 27,3 ±0,9 47,92 ±0,17

5 25.9.2012 20:20 27.9.2012 0:25 15,0 ±0,3 28,08 ±0,17

6 27.9.2012 0:25 30.9.2012 0:15 38,9 ±2,1 71,83 ±0,17

Slika 22: Dnevni premiki lege Lune glede na zvezde.

5.4.4 Siderska in sinodska perioda

Uporabimo enačbo (2.6), saj opazujemo premik Lune glede na zvezde za kot 𝜑𝐿 v času t, in jo

zapišimo v naslednji obliki

𝜑𝐿

2𝜋=

𝑡

𝑃𝐿 , (5.6)

kjer je 𝑃𝐿 siderska perioda Lune, 𝜑𝐿 premik Lune glede na zvezde ter t čas, ki je minil med

dvema meritvama.

48

Če je 𝑡 < 𝑃𝐿 , potem je 𝜑𝐿 = 𝛽 in iz enačbe (5.6) sledi

𝑃𝐿 =

2𝜋 ∙ 𝑡

𝛽 . (5.7)

t je čas med meritvama, β je dnevni premik Lune glede na zvezde.

Kadar je t = 1 dan, sledi, da je 𝜑𝐿 = 𝜑𝐷 in iz enačbe (5.6) dobimo

𝑃𝐿 =

2𝜋

𝜑𝐷 , (5.8)

kjer je 𝜑𝐷 premik Lune glede na zvezde v točno enem dnevu, 𝑃𝐿 pa siderska perioda Lune

zapisana v enotah dni.

Če je 𝑡 > 𝑃𝐿 , potem je 𝜑𝐿 = 2𝜋 + 𝛼, kjer je α izmerjen premik Lune glede na zvezde, iz

enačbe (5.6) pa sledi

1 +

𝛼

2𝜋=

𝑡

𝑃𝐿 (5.9)

ter

𝑃𝐿 =

𝑡

1 + 𝛼/2𝜋 , (5.10)

PL je siderska perioda Lune in α je premik lege Lune glede na zvezde v času t.

Mesečni premik

Do mesečnega premika Lune pride zaradi tega, ker Luna v enem sinodskem mesecu naredi en

obhod okrog Zemlje ter se skupaj z Zemljo premakne še za isti kot glede na zvezde kakor

Zemlja.

Ker je znan čas med meritvama mesečnega premika ter mesečni premik, lahko iz spodnjih

podatkov izračunam sidersko periodo po enačbi (5.10).

49

Podatki:

𝑡 = 720,00 h ± 0,17 h

𝛼 = 38,1° ± 2,1°

Dobim, da je siderska perioda iz mesečnega premika

𝑃𝐿 = 651,08 h ± 35,19 h = 27,13 dni ± 1,47 dni = 27,13 dni ∙ 1 ± 5,4% .

Sedaj lahko po enačbi (2.9) izračunm še sinodsko periodo.

𝑆𝐿 = 29,30 dni ± 1,75 dni = 29,30 dni ∙ (1 ± 6,0%)

Dnevni premiki

Do dnevnega premika Lune pride, ker se Luna giblje okrog Zemlje in se zato v enem dnevu

premakne za določen kot glede na zvezde.

V tabeli 10 izračunamo sidersko periodo Lune iz dnevnih premikov Lune po enačbi (5.7), saj

smo v tabeli 9 izmerili premik Lune po času t, ki je minil med meritvama.

Tabela 10: Siderska perioda Lune iz dnevnih premikov.

N 𝑃𝐿 [h] P [dni] Abs. napaka [dni] Rel. napaka [%]

1 630,18 26,26 0,61 2,34

2 609,07 25,38 0,60 2,36

3 617,35 25,72 0,61 2,38

4 631,52 26,31 1,00 3,82

5 673,43 28,06 0,66 2,35

6 665,00 27,71 1,53 5,51

Naredil sem še povprečje siderskih period iz dnevnih premikov in tako dobil, da je

𝑃 𝐿 = 26,57 dni ± 0,84 dni = 26,57 dni ∙ (1 ± 3,1%).

Po enačbi (2.9) izračunam še sinodsko periodo iz podatkov za dnevne premike.

𝑆𝐿 = 28,66 dni ± 0,97 dni = 28,66 dni ∙ (1 ± 3,4%)

50

5.4.5 Orbitalna hitrost Lune

Če poznamo oddaljenost Lune, lahko iz njenih dnevnih premikov izračunamo tudi njeno

orbitalno hitrost. Zaradi eliptičnosti Luninega tira se oddaljenost Lune od Zemlje spreminja,

prav tako pa se zaradi tega spreminja tudi hitrost Lune okrog Zemlje, ki je največja v perigeju

in najmanjša v apogeju. Večinoma je podana povprečna hitrost Lune okrog Zemlje, ki ji

pravimo povprečna orbitalna hitrost Lune.

Za izračun orbitalne hitrosti Lune sem iz svojih meritev uporabil dnevne premike 𝛽 in čas, ki

je minil med njimi (𝛥𝑡) ter oddaljenost Lune od Zemlje v času poteka meritve, ki sem jo

označil z D. Razdalja je merjena od središča Zemlje do središča Lune.

Oddaljenost Lune od Zemlje za določen dan opazovanja sem pridobil s spletne strani [26].

Zanimala me je predvsem povprečna oddaljenost med dnevi opazovanj. V primeru, ko sta bili

meritvi izvedeni v dveh zaporednih dnevih, sem uporabil povprečno razdaljo teh dveh dni, v

primeru, ko pa je bilo vmes kakšen dan premora, sem naredil povprečje med oddaljenostmi

Lune od Zemlje v vseh teh dneh.

Tabela 11: Tabela razdalj med Luno in Zemljo v času opazovanj.

Datum Ura D [km] 𝐷 [km]

20.9.2012 20:44 367202 368149

21.9.2012 20:15 369095

370360

22.9.2012 19:50 371625

373075

23.9.2012 20:25 374525

377711 24.9.2012 20:00 377647

25.9.2012 20:20 380897

382840 26.9.2012 0:00 384502

27.9.2012 0:25 384782

389803 28.9.2012 0:00 388155

29.9.2012 0:00 391525

30.9.2012 0:15 394823

51

Najprej sem izračunal kotno hitrost Lune po enačbi

𝜔 =

d𝜑

d𝑡 , (5.11)

kjer je ω kotna hitrost, podana z odvodom zasuka po času. Pri meni je d𝜑 = 𝛽 in d𝑡 = 𝛥𝑡, iz

česar sledi, da je povprečna kotna hitrost v času 𝛥𝑡:

𝜔 =

𝛽

∆𝑡 . (5.12)

Tabela 12: Kotne hitrosti Lune.

N 𝜔 [s-1

] Abs. napaka [s-1

] Rel. napaka [%]

1 2,770 x10-6

0,065 x10-6

2,34

2 2,866 x10-6

0,068 x10-6

2,36

3 2,827 x10-6

0,067 x10-6

2,38

4 2,764 x10-6

0,105 x10-6

3,82

5 2,592 x10-6

0,061 x10-6

2,35

6 2,625 x10-6

0,145 x10-6

5,51

Iz kotnih hitrosti pa sem nato izračunal hitrost Lune po enačbi

𝑣𝑛 = 𝜔 ∙ 𝐷 . (5.13)

Tabela 13: Tabela orbitalnih hitrosti Lune.

N 𝑣𝑛 [km/s] Abs. napaka [km/s] Rel. napaka [%]

1 1,019 0,024 2,39

2 1,061 0,026 2,41

3 1,055 0,026 2,43

4 1,044 0,040 3,87

5 0,992 0,024 2,41

6 1,023 0,057 5,56

Izračunam še povprečno orbitalno hitrost.

𝑣 = 1,032 km/s ± 0,033 km/s = 1,032 km/s ∙ (1 ± 3,18%)

5.4.6 Primerjava rezultatov

Sinodska in siderska perioda

Enako kot pri astrofotografiji sem primerjal tudi te rezultate s podatki mednarodnih

observatorijev, vesoljskih agencij ter spletnih strani.

52

Med mojimi opazovanji je minil en obhod Lune okrog Zemlje, tako da je znašala sinodska

perioda 29 dni 9 h 52 min, kar je 29,41 dni [23]. Tudi tu po enačbi (4.3) izračunam še sidersko

periodo Lune, ki znaša 27,22 dni .

α - mesečni premik

Siderska perioda, ki sem jo izračunal iz mesečnega premika, znaša 27,13 dni ± 1,47 dni.

Relativna napaka meritve znaša 5,4%. Z upoštevano napako se moje meritve ujemajo s

podatki s spleta.

Sinodska perioda, ki sem jo izračunal iz siderske periode mesečnega premika, je

29,30 dni ± 1,57 dni. Tu je relativna napaka enaka 6,0%. Tudi tu se moje meritve z

upoštevano napako ujemajo s podatki s spleta.

β - dnevni premiki

Povprečna siderska perioda, ki sem jo izračunal iz dnevnih premikov, je 26,57 dni ± 0,84 dni.

Relativna napaka meritve znaša 3,1%. Tu se moje meritve z upoštevano napako ujemajo s

podatki s spleta.

Sinodska perioda, ki sem jo izračunal iz siderske periode dnevnih premikov, je

28,66 dni ± 0,97 dni. Tu je relativna napaka enaka 3,4%. Tudi tu se moje meritve z

upoštevano napako ujemajo s podatki s spleta.

Orbitalna hitrost

Orbitalna hitrost Lune se spreminja, ker ima Luna eliptični tir. To pomeni, da je orbitalna

hitrost v perigeju največja, medtem ko je v apogeju najmanjša. Zaradi tega se srečujemo v

splošnem s povprečno orbitalno hitrostjo. Povprečna orbitalna hitrost Lune je 1,023 km/s,

medtem ko je njena maksimalna orbitalna hitrost enaka 1,076 km/s in njena minimalna

orbitalna hitrost enaka 0,964 km/s [27].

Povprečna orbitalna hitrost Lune, ki sem jo izračunal, je 1,032 km/s ± 0,033 km/s. Njena

relativna napaka je 3,18%. Z upoštevano napako se moj izračun ujema z realnimi podatki.

53

5.5 Komentar

Sinodska in siderska perioda Lune, ki sem ju izračunal iz mesečnega premika, se zelo dobro

ujemata s spletnimi podatki. Za tak rezultat je vzrok predvsem to, da je premik lege Lune

glede na zvezde v enem mesecu veliko večji, kot pa je napaka, ki jo dobim z določanjem lege

Lune s kriţno palico.

Do malenkost večjih odstopanj pride pri računanju sinodske in siderske periode Lune iz

dnevnih premikov. To je razumljivo, saj pride do odstopanj zaradi nenatančnosti merjenja

kotnih razdalj in določanja lege Lune, pa tudi zaradi prekratkega obdobja in premajhnega

števila opazovanj. Konkretno je na odstopanje vplivalo tudi to, da je bila Luna v času mojih

opazovanj blizu perigeja, kar pomeni, da je imela v tej legi največjo hitrost, zato so tudi

dnevni premiki Lune glede na zvezde večji kot povprečno. Ker računam sidersko periodo

Lune z dnevnimi premiki, je razumljivo, da po enačbi (5.8) zaradi večjih dnevnih premikov

dobim manjšo sidersko periodo in posledično tudi sinodsko.

Povprečna orbitalna hitrost Lune, ki jo dobim iz meritev, se v okviru napake ujema s

spletnimi podatki. Če upoštevam, da se je Luna v času mojih opazovanj nahajala bliţje

perigeja kot apogeja, se moji izračuni še bolje ujemajo, saj je bila v tem obdobju orbitalna

hitrost Lune večja kot je povprečna, moji izračuni pa so prav tako malenkost večji od

povprečne orbitalne hitrosti Lune.

Za vse te meritve lahko rečem, da izračuni ustrezajo dejanskim vrednostim v času opazovanja.

Če upoštevam dejstvo, da je bila Luna bliţje perigeju, so rezultati zelo lepi. Za pridobitev

povprečnih vrednosti, kakršne najdemo na spletu, pa bi bilo dobro opazovati Luno takrat, ko

je nekje med perigejem in apogejem ter istočasno tudi v prvem ali zadnjem krajcu, ko laţje

določimo sredino Lune.

54

6 Dodatek

6.1 Določanje ekscentričnosti Luninega tira z astrofotografijo

Ekscentričnost ali izsrednost tira nebesnega telesa označimo z grško črko ε in je število med 0

in 1, ki nam pove, kako sploščen je eliptični tir nebesnega telesa. V primeru, da je

ekscentričnost enaka 0, je tir kroţnica, ko pa vrednost ekscentričnosti narašča proti 1, postaja

elipsa vedno bolj sploščena.

Ekscentričnost ima lahko vrednosti tudi 1 ali več. V primeru, ko je vrednost enaka 1, je tir

nebesnega telesa paraboličen, kadar pa je vrednost večja kot 1, je tir hiperboličen. Take tire

imajo nebesna telesa, ki pridejo v bliţino zvezd, vendar se nikoli več ne vrnejo. To so

večinoma kometi.

6.1.1 Ekscentričnost

Ko sem meril premer Lune na astrofotografiji s pomočjo programa Corel Designer X5 za

kasnejšo določitev sinodske periode Lune, se je le-ta spreminjal, čeprav vemo, da se Luna ne

krči in ne razteza. Premer Lune je na astrofotografiji nekaj časa naraščal, nekaj časa pa se

manjšal, ker Luna ni vedno na isti oddaljenosti od Zemlje zaradi eliptičnosti svojega tira.

Kadar je Luna v perigeju, se nahaja bliţje Zemlji in je zato navidezno večja, kakor pa takrat,

ko je v apogeju in je najbolj oddaljena od Zemlje.

Teleobjektiv sem imel vedno nastavljen na neskončno. To mi je omogočalo, da se goriščna

razdalja ni spreminjala in tako se tudi velikost Lune na astrofotografiji ni spreminjala, razen

zaradi prej omenjenih razlogov.

Ekscentričnost eliptičnega tira je podana kot

휀 =𝑟𝑎 − 𝑟𝑝

𝑟𝑎 + 𝑟𝑝 , (6.1)

kjer je ra oddaljenost v apogeju, rp oddaljenost v perigeju [28].

Ker mi opazujemo Luno z Zemlje, lahko razdaljo d od Zemlje do Lune izračunamo s kotnimi

funkcijami, če poznamo zorni kot Lune φ in njen polmer R, po enačbi

55

sin

𝜑

2=

𝑅

𝑑 . (6.2)

Ker je φ << 1, velja:

𝜑

2=

𝑅

𝑑 . (6.3)

V mojem primeru je bila razdalja d enaka ra - R, kar je pribliţno ra, ko je bila Luna v apogeju,

in rp - R, kar je pribliţno rp, ko je bila Luna v perigeju. Zapišemo lahko

𝑟𝑎 =

2𝑅

𝜑𝑎 (6.4)

in

𝑟𝑝 =

2𝑅

𝜑𝑝 . (6.5)

Enačbi (6.4) in (6.5) vstavimo v enačbo (6.3) ter pokrajšamo 2R.

Sledi

휀 =𝜑𝑝 − 𝜑𝑎

𝜑𝑝 + 𝜑𝑎 , (6.6)

kjer je 𝜑𝑎 kotna velikost Lune v apogeju in 𝜑𝑝 kotna velikost Lune v perigeju.

Velikost slike, ki nastane v goriščni ravnini teleskopa, je

𝑠 = 𝜑 ∙ 𝑓 , (6.7)

kjer je s velikost slike, 𝜑 kotna velikost objekta na sliki ter f goriščna razdalja objektiva.

Preoblikujemo enačbo v obliko

𝜑 =𝑠

𝑓 . (6.8)

Vstavimo v enačbo (6.6) ter okrajšamo f, saj sem imel teleobjektiv vedno nastavljen na

neskončno in je bila goriščna razdalja vedno enaka. Sledi

56

휀 =𝑠𝑝 − 𝑠𝑎

𝑠𝑝 + 𝑠𝑎 . (6.9)

Ker je velikost slike Lune v digitalni obliki sorazmerna z velikostjo slike v slikovnih

elementih, so razdalje v slikovnih elementih p sorazmerne z razdaljami na sliki Lune, zato

velja s ∝ p. Sledi

휀 =𝑝𝑝 − 𝑝𝑎

𝑝𝑝 + 𝑝𝑎 , (6.10)

kjer je 𝑝𝑎 premer Lune na sliki, podan v slikovnih elementih, ko je Luna v apogeju, in 𝑝𝑝

premer Lune na sliki, podan v slikovnih elementih, ko je Luna v perigeju.

Iz svojih opazovanj med 23.8.2012 in 1.10.2012 sem iz astrofotografij in nadaljnje obdelave

podatkov v 4. poglavju, natančneje iz tabele 4, izbral podatka, kjer je bil navidezni premer

Lune najmanjši 𝑝𝑎 in največji 𝑝𝑝 .

Podatki iz tabele 4:

𝑝𝑎 = 4902 px ± 10 px

𝑝𝑝 = 5500 px ± 10 px

Po enačbi (6.10) tako dobim, da je ekscentričnost Luninega tira enaka:

휀 = 0,057 ± 0,002 = 0,057 ∙ 1 ± 3,54% .

6.1.2 Primerjava rezultatov

Ekscentričnost Lunine orbite je v povprečju 0,0549. Kot je omenjeno v prvem poglavju,

ekscentričnost Lunine orbite zaradi perturbacijskih motenj niha med 0,044 in 0,067.

Ekscentričnost Lunine orbite, ki sem jo izračunal iz svojih podatkov, je 0,057 ± 0,002.

Relativna napaka znaša 3,54%. Izračunana ekscentričnost se zelo dobro ujema z dejansko

vrednostjo.

57

6.2 Komentar

Ker so bile astrofotografije Lune izostrene in lepe, je bilo pri obdelavi fotografij mogoče tudi

natančno določiti navidezni premer Lune in tako zagotoviti natančne podatke. Ti so nato dali

zelo dobro primerljivost med izračunano in dejansko ekscentričnostjo Lunine orbite.

Manjše odstopanje od dejanske vrednosti, ki se vseeno pojavi, je predvsem posledica tega, da

astrofotografija Lune ni posneta točno takrat, ko je Luna v perigeju oz. apogeju. Vzrok, da

astrofotografija ni bila posneta ob teh dveh ekstremih je ta, da je bila Luna v perigeju ali

apogeju točno takrat, ko ni bila vidna iz naše lokacije ali pa je bila na nebu podnevi, ko jo je

teţje slikati. Ţe nekaj ur lahko tako prinese manjšo napako, ki vpliva na končne izračune in

odstopanja.

Prav tako na odstopanje vpliva tudi določanje navideznega premera Lune, katerega napaka je

v mojem primeru 10 px. Ker je navidezni premer edini parameter, s katerim računam

ekscentričnost, je tudi končna napaka odvisna od njegove natančnosti.

Zaključim lahko, da se z upoštevano napako meritve ujemajo z dejansko vrednostjo, kar pa je

več kot zadovoljivo.

58

7 Navodila za izvedbo meritev

Astronomija dandanes ni samo znanost ampak tudi priljubljen konjiček. V zadnjem stoletju je

tehnologija pripomogla k temu, da lahko vsak posameznik sam opazuje nebesna telesa s

pomočjo kvalitetnega teleskopa, ki ga je mogoče kupiti ţe za nekaj sto evrov. To pa lahko pri

posamezniku zbudi še dodatno zanimanje za astronomijo.

Leto 2009 je bilo mednarodno leto astronomije, zato se je v tem letu veliko šol in

posameznikov odločilo kupiti astronomsko opremo. Namen je bil predvsem ta, da bi otroke

navdušili za astronomijo in jim jo tako pribliţali. Govorim predvsem iz lastnih izkušenj, ki

sem jih dobil med pedagoško prakso v času svojega študija. Opazil sem, da je po letu

astronomije oprema v mnogih šolah obtičala v kotu. Ali je za to kriva nezainteresiranost otrok

ali nevešč učitelj, ne vem, sumim pa, da je obojega malo.

Na praksi sem opazil, da otroke sicer zelo veseli astronomija, vendar jih to veselje tudi hitro

mine. Ko se v lepi jasni noči odpravite, da boste otrokom pokazali kakšen planet, meglico ali

zvezdno kopico, so vsi navdušeni nad tem, kaj bodo videli, saj imajo v spominu lepe obdelane

fotografije, ki ste jim jih pokazali pri pouku ali pa so jih videli v knjigah, revijah, na televiziji.

Ko pogledajo skozi teleskop, pa jih večina doţivi šok. Interes za astronomijo v trenutku izgine

in glavne besede, ki so jih sposobni izgovoriti, so: »Skorajda nič se ne vidi.«, »Tako majhen

je planet?«, … Zdi se mi, da po tem večino otrok zanimanje za astronomijo tudi mine, saj ne

dobijo tistega, kar so pričakovali. Mislim, da je bolj pomembno od samega opazovanja

nočnega neba in gledanja skozi teleskop to, da otroci sami pridejo do spoznanj, ki jih drugače

le slišijo ali preberejo.

Pomembno je, da otrokom poskušamo pokazati, da lahko s pomočjo opazovanj pridejo do

rezultatov, ki so primerljivi s splošno znanimi, kljub temu, da so stvari skozi teleskop majhne

ali ne čisto kristalne. V ta namen sem pripravil navodila, s katerimi se lahko ponovijo moje

meritve, ki sem jih predstavil v diplomski nalogi. Navodila so namenjena tako učiteljem kot

tudi otrokom v šoli in upam, da jih bodo spodbudila, da obrišejo prah z astronomske opreme

in z njo preučijo nekatera splošno znana dejstva. Seveda ne bo nič narobe, če se bo kakšen

posameznik po prebiranju te diplomske naloge odločil, da tudi sam izvede meritve.

59

7.1 Navodila za določanje sinodske in siderske periode Lune ter

ekscentričnosti Luninega tira s fotografiranjem Luninih men

Uvod

Astronomska opazovanja nam omogočajo, da lahko določamo fizikalne lastnosti nebesnih

teles (objektov). Luna je Zemljin edini naravni satelit, zato je še posebej zanimiva. En obhod

okrog Zemlje glede na zvezde naredi v pribliţno 27,3 dneh. Tej periodi pravimo siderski

mesec. Ker pa se Zemlja giblje na svoji orbiti okoli Sonca, je potrebno nekoliko dlje, da Luna

kaţe enako fazo Zemlji. Temu času pravimo lunacija ali sinodski mesec in v povprečju traja

29,5 dni. Ekscentričnost Lunine orbite je v povprečju 0,0549.

S pomočjo astrofotografije lahko tudi sami določimo sinodsko periodo Lune in tudi

ekscentričnost njenega tira. Potrebno je samo v obdobju enega meseca opazovati Luno in jo

fotografirati skozi teleskop. Nato lahko s pomočjo računalniških programov iz astrofotografij

določimo sinodsko periodo in ekscentričnost Luninega tira.

Pripomočki:

Beleţka

Svinčnik

Teleskop ali teleobjektiv

Montaţa

Digitalni fotoaparat

Adapter za pritrditev fotoaparata na teleskop

Računalniški programi: CorelDraw, Excel, Logger Pro

Navodilo

1. Fotografiranje Lune

Luno fotografiramo skozi teleskop v jasnih nočeh. Če je moţno, jo fotografiramo takrat, kadar

je najvišje na obzorju, saj se tako izognemo večjemu popačenju zaradi atmosfere. Če smo

imeli opremo prej na drugačni temperaturi, kot je zunanja temperatura v času opazovanj, je

priporočljivo počakati nekaj časa, da se temperatura opreme izenači s temperaturo okolice.

Poskušamo narediti čim bolj ostre slike, saj bomo tako kasneje laţje določili mejo med

osvetljenim in temnim delom Lune. To mejo imenujemo terminator. Pazimo tudi, da slike

niso ne presvetle ne pretemne, kar nam omogoča spremenljiv čas osvetlitve na fotoaparatu.

Pri vsakem opazovanju potrebujemo eno dobro fotografijo Lune za nadaljnjo obdelavo.

Zapišemo si tudi datum in čas slikanja, ali pa ga kasneje prepišemo iz lastnosti slike, vendar je

potrebno paziti, da smo pred slikanjem nastavili datum in uro na fotoaparatu.

60

2. Obdelava astrofotografij

Sliko Lune odpremo v programu

CorelDraw ali Slikar. Na vsaki sliki

moramo izmeriti premer oz. polmer

Lune, ter na kakšni razdalji od središča

Lune se nahaja terminator. To storimo

najlaţje tako, da najprej Luni očrtamo

kroţnico, ki se ji najbolje prilega. Tako

dobimo središče Lune, v katerega

postavimo koordinatni sistem. V smeri y

bomo določili polmer Lune, v smeri x pa

kje na osi x se nahaja terminator.

Terminator laţje določimo, če si

pomagamo tako, da prej narišemo elipso,

ki se najbolje prilega meji med

osvetljenim in temnim delom Lune.

Sedaj lahko s pomočjo orodja za

merjenje razdalj v programu izmerimo

premer oz. polmer ter na kakšni razdalji

se nahaja terminator na osi x. Razdalje, ki jih merimo, naj bodo v enotah slikovnih elementov

(angl. pixel) ali pa slikovnih točk (angl. points), saj so le-te najmanjši delci, ki sestavljajo

digitalno sliko. Podatke si sproti zapisujemo v tabelo, najbolje kar v Excelu.

Primer tabele:

Datum Ura Minuli čas [h] Slika AB = d

[px] 0A =R

[px] 0T = b [px] b/R

23.9.2012 20:11 IMG_0098 5432 2716 -631

3. Excel

V Excelu nato izračunamo še čas, ki je minil od prvega posnetka, in razmerje b/R.

Primer tabele:

Datum Ura Minuli čas [h] Slika AB = d

[px] 0A =R

[px] 0T = b [px] b/R 23.8.2012 20:23 0 IMG_0973 5479 2739 425 0,1551 25.8.2012 21:22 48,983 IMG_1044 5500 2750 -835 -0,3036

61

4. Logger pro

Ko imamo dovolj astrofotografij Lune, lahko s pomočjo programa Logger Pro ali programa

Gnuplot določimo prilagoditveno funkcijo za izmerjene podatke. Na os x vnesemo čas, ki je

minil od prve astrofotografije naprej, na y os pa vnesemo razmerje b/R. Ker gre pri določanju

terminatorja za projekcijo kroţnice pod različnim kotom, ki se spreminja enakomerno s

časom, na ravnino slike Lune, nam ta prinese sinus, zato za prilagoditveno funkcijo izberemo

funkcijo z enačbo 𝑦 = 𝐴 ∙ sin 𝐵 ∙ 𝑡 + 𝐶 + 𝐷. Parameter A predstavlja amplitudo sinusa,

parameter B določa sinodsko periodo, ki je določena kot 2π/B, parameter C določa premik v

smeri osi x in parameter D premik v smeri osi y. Izberemo parametra A = 1 in D = 0. Program

nam nariše prilagoditveno funkcijo in določi še parametra B in C.

5. Sinodska perioda Lune

Za nas je predvsem zanimiv parameter B, ki nam določa periodo. Enota parametra B je h−1.

Sinodsko periodo izračunamo po enačbi 𝑆𝐿 =2𝜋

𝐵 .

6. Siderska perioda Lune

Za izračun siderske periode uporabimo znano zvezo med sidersko in sinodsko periodo 1

𝑃𝐿=

1

𝑃𝑍+

1

𝑆𝐿 . 𝑃𝑍 je siderska perioda Zemlje in znaša 365,26 dni. Iz enačbe izpostavimo 𝑃𝐿 in

izračunamo še sidersko periodo.

62

7*. Ekscentričnost

V primeru, če uporabljamo vedno enako opremo.

Iz izmerjenega polmera R lahko izračunamo tudi ekscentričnost Luninega tira, saj je

navidezna velikost Lune največja, kadar je Luna v perigeju, in najmanjša, kadar je Luna v

apogeju. Iz naših podatkov za R izberemo podatka, kjer je R maksimalen in ga označimo s 𝑝𝑝

in R minimalen, ki ga označimo s 𝑝𝑎 . S pomočjo malce prirejene enačbe za ekscentričnost

lahko sedaj izračunamo ekscentričnost Luninega tira : 휀 =𝑝𝑝−𝑝𝑎

𝑝𝑝 +𝑝𝑎 .

Vprašanja

1. Izmerjeni vrednosti sinodske in siderske periode Lune primerjaj s pravo vrednostjo, ki

jo pridobiš na spletu.

http://www.timeanddate.com/calendar/moonphases.html

2. Primerjaj tudi ekscentričnost Luninega tira s pravo vrednostjo.

3. Poskusi ugotoviti, zakaj se pojavijo razlike tako pri 1. kot pri 2. vprašanju.

4. Kolikšen je kot med Soncem in Luno gledano z Zemlje ob prvem in kolikšen ob

zadnjem krajcu?

5. Kako bi določili kot med Soncem in Luno, če je Sonce pod obzorjem?

63

7.2 Navodila za določanje sinodske in siderske periode Lune ter navidezne

hitrosti Lune s križno palico

Uvod

Astronomska opazovanja nam omogočajo, da lahko določamo fizikalne lastnosti nebesnih

teles (objektov). Luna je Zemljin edini naravni satelit, zato je še posebej zanimiva. En obhod

okrog Zemlje glede na zvezde naredi v pribliţno 27,3 dneh. Tej periodi pravimo siderski

mesec. Ker pa se Zemlja giblje na svoji orbiti okoli Sonca, je potrebno nekoliko dlje, da Luna

kaţe enako fazo Zemlji. Temu času pravimo lunacija ali sinodski mesec in v povprečju traja

29,5 dni.

Kriţna palica je enostaven astronomski inštrument, ki ga uporabljamo za določanje kotov med

nebesnimi telesi. Uporabljali so jo ţe aleksandrijski astronomi, kasneje pa tudi pomorščaki in

ribiči. Danes je ta inštrument uporaben predvsem za hitro določanje kotov med nebesnimi

telesi.

S pomočjo kriţne palice lahko v nekaj zaporednih večerih določimo sidersko periodo Lune, iz

katere dobimo tudi sinodsko. Iz dobljenih meritev s kriţno palico pa lahko tudi določimo

navidezno hitrost Lune. Navidezna hitrost Lune je orbitalna hitrost Lune okoli Zemlje.

Pripomočki:

Beleţka

Svinčnik

Kriţna palica

Ekvatorialna zvezdna karta

Računalniški programi: Stellarium, Excel, Word

Navodilo

1. Priprava

Najbolje je, da meritve potekajo okoli prvega ali zadnjega krajca, saj je tako laţje določiti

sredino Lune, kar nam zagotavlja manjšo napako pri končnih izračunih. Preden se lotimo

merjenja kotnih razdalj med Luno in zvezdami, s pomočjo efemerid za ta dan odčitamo lego

Lune. V zvezdnem atlasu ali na zvezdni karti poiščemo predel neba, kjer se bo nahajala Luna

v času naših meritev. Ta predel neba si prerišemo na list papirja ali pa si ga s pomočjo

programa Stellarium natisnemo. Pomembno je, da vsebuje najsvetlejše zvezde, ki nam sluţijo

za orientacijo.

64

2. Meritve lege Lune

Za določitev lege Lune je potrebno izmeriti kotne razdalje od Lune do zvezd. Za to

uporabimo kriţno palico (za izdelavo in princip merjenja glej Spiko, januar 2002). Vsakokrat

ko opazujemo, si izberemo vsaj tri svetle referenčne zvezde, ki naj ne bodo od Lune oddaljene

več kot 30°. Kotne razdalje med Luno in zvezdami merimo od sredine Lune, če pa opazujemo

ob prvem ali ob zadnjem krajcu pa nam je v pomoč terminator, zato merimo od sredine

terminatorja do izbrane zvezde. Pomembno je, da meritve opravimo v čim krajšem času in jih

vsakokrat zapišemo v beleţko. Zapišemo si točen čas opazovanj in kotne oddaljenosti od

izbranih zvezd.

Primer tabele:

Dan Ura Izbrana zvezda φ[°]

20.9.2012 20:45 Antares 9,78

20.9.2012 20:45 Oph 14,94

20.9.2012 20:45 Sabik 18,64

21.9.2012 20:15 Acrab 11,81

21.9.2012 20:15 Dschubba 12,59

21.9.2012 20:15 Kaus Australis 23,10

21.9.2012 20:15 Nunki 28,67

3. Določanje poloţaja Lune na zvezdni karti

Na prej pripravljeno ekvatorialno zvezdno karto vrišemo lege Lune za dneve našega

opazovanja. Če je opazovanj več kot tri, si pomagamo tako, da za ostale meritve vrišemo

Luno v novo zvezdno karto, da so meritve natančnejše. Luno vrišemo s pomočjo šestila tako,

da na ustreznem merilu s šestilom odmerimo izmerjeno kotno razdaljo od izbrane zvezde,

nato pa zapičimo šestilo v izbrano zvezdo na zvezdni karti in narišemo krajše loke. To

ponovimo za ostale izbrane zvezde enega opazovalnega dne. V presečišču lokov dobimo lego

Lune.

65

4. Premik Lune glede na zvezde - β

Premik Lune glede na zvezde med dvema opazovalnima dnevoma lahko določimo na dva

načina.

Prvi je ta, da preprosto izmerimo razdaljo med legama Lune za prvi in drugi opazovalni dan

ter razdaljo preračunamo v kotne stopinje. Ta način je najenostavnejši, vendar je tudi napaka

malenkost večja.

Drugi način je ta, da odčitamo nebesni koordinati lege Lune na zvezdni karti. Koordinati se

imenujeta rektascenzija (α) in deklinacija (𝛿). S pomočjo enačbe izračunamo premik Lune.

cos 𝛽 = sin 𝛿2 ∙ sin 𝛿1 + cos 𝛿2 ∙ cos 𝛿1 ∙ cos 𝛼2 − 𝛼1

5. Siderska perioda

Preden se lotimo računanja siderske periode, je potrebno izračunati še čas, ki je minil med

meritvama. Tega lahko izračunamo po enačbi

𝑡0 = 24 𝑢𝑟 – 𝑡1 – 𝑡2 .

𝑡1 je čas meritve prvega dne, 𝑡2 pa čas meritve drugega dne. Recimo, da smo prvi dan poloţaj

Lune izmerili ob 22:45, drugi dan pa ob 22: 30, potem je 𝑡0 = 24 ur – (22:45 – 22:30)= 23 ur

in 45 minut.

Lahko pa si pomagamo z Excelom ali kakorkoli drugače.

66

Sedaj imamo vse potrebne podatke za izračun siderske periode Lune. Sidersko periodo

izračunamo po enačbi

𝑃𝐿 =2𝜋∙𝑡

𝛽 .

V primeru, da imamo več kot dve meritvi, dobimo več siderskih period Lune. Iz njih lahko

potem izračunamo povprečno vrednost, da dobimo povprečno sidersko periodo Lune.

6. Sinodska perioda

Sinodsko periodo Lune izračunamo iz siderske periode s pomočjo zveze med sinodsko in

sidersko periodo. 𝑃𝑍 je siderska perioda Zemlje in znaša 365,26 dni.

𝑆 =𝑃𝑍 ∙ 𝑃𝐿

𝑃𝑍 − 𝑃𝐿

7. Navidezna ali orbitalna hitrost Lune

Da bi izračunali navidezno hitrost Lune, potrebujemo še razdaljo D, na kateri se je nahajala

Luna med našimi opazovanji. To pridobimo s pomočjo spleta, kjer pogledamo, na kakšni

oddaljenosti je bila Luna od Zemlje v času naših opazovanj.

http://www.jgiesen.de/moondistance/index.htm

Najprej izračunamo kotno hitrost Lune po enačbi 𝜔 =𝛽

∆𝑡.

Iz kotne hitrosti pa lahko izračunamo navidezno hitrost Lune po enačbi 𝑣𝑛 = 𝜔 ∙ 𝐷.

Spet velja da, če imamo več meritev, na koncu izračunamo povprečno navidezno hitrost.

Vprašanja

1. Izmerjeni vrednosti sinodske in siderske periode Lune primerjaj s pravo vrednostjo, ki

jo pridobiš na spletu.

http://www.timeanddate.com/calendar/moonphases.html

2. Primerjaj tudi navidezno hitrost Lune s pravo vrednostjo.

http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/moonfact.html

3. Poskusi ugotoviti, zakaj se pojavijo razlike tako pri 1. kot pri 2. vprašanju.

4. Ali je Luna ob isti fazi tudi v isti legi glede na zvezde?

5. Kolikšen je kot med Soncem in Luno, gledano z Zemlje ob prvem in kolikšen ob

zadnjem krajcu?

6. Kako bi določili kot med Soncem in Luno, če je Sonce pod obzorjem?

67

8 Zaključek

V diplomski nalogi sem pisal o določevanju sinodske in siderske periode Lune s pomočjo

astrofotografije in kriţne palice. V teoretičnem delu sem na kratko predstavil Luno ter njene

lastnosti, njeno gibanje in zvezo med sinodsko in sidersko periodo. Predstavljena je tudi

profesionalna in ljubiteljska astrofotografija. Glavni del pa predstavlja moje meritve in

izračune sinodske in siderske periode Lune ter kot dodatek tudi izračun ekscentričnosti

Luninega tira s pomočjo astrofotografije. Pokazal sem tudi, kako lahko s pomočjo kriţne

palice določimo sinodsko in sidersko periodo Lune ter izračunamo navidezno hitrost Lune. Na

koncu so dodana tudi navodila za izvedbo praktičnega dela.

Skozi raziskovanje za diplomsko nalogo sem se seznanil z uporabo astronomske opreme in

spoznal kar precejšen del nočnega neba. Na začetku sem pred opazovanji s pomočjo programa

Stellarium pogledal, kje se bo nahajala Luna, vendar sem se hitro navadil, zato sem v

nadaljnje znal ţe sam oceniti, kdaj in kje se bo Luna pojavila na nočnem nebu. Ker pa

opazovanja potekajo na prostem, se mi je mnogokrat zgodilo, da mi jo je zagodlo vreme. Ker

je bilo potrebno čim večkrat fotografirati Luno, sem si svoj majceni observatorij prilagodil

tako, da je bil ves čas mobilen. Teleskop, stojalo, fotoaparat in kriţno palico sem ves čas vozil

kar s seboj v avtu, tako da sem lahko izvedel meritve, kjerkoli sem bil, če je bilo lepo vreme.

Vse, kar je bilo potrebno, je bilo, da najdem kraj, kjer ni prevelikega vpliva javne

razsvetljave, ki moti opazovanja.

Po opazovanjih in meritvah so sledili izračuni. Ugotovil sem, da lahko dobimo zelo točne

izračune sinodske in siderske periode Lune tako z astrofotografijo kot s kriţno palico.

Moji rezultati, pridobljeni z astrofotografijo, so: 27,05 dni (1 ± 0,8%) za siderski in

29,21 dni (1 ± 0,7%) za sinodski mesec ter 0,057 (1 ± 3,54%) za ekscentričnost Luninega

tira. Podatki, pridobljeni s kriţno palico, so: 27,13 dni (1 ± 5,4%) za siderski in

29,30 dni (1 ± 6,0%) za sinodski mesec iz mesečnega premika Lune, 26,57 dni (1 ± 3,1%)

za siderski in 28,66 (1 ± 3,4%) za sinodski mesec iz dnevnih premikov ter

1,032 km/s (1 ± 3,18%) za orbitalno hitrost. Vsi moji podatki se znotraj napake meritev

ujemajo s podatki profesionalnih observatorijev. Potrebna je natančnost in potrpeţljivost,

predvsem takrat, ko nam ponagajajo zunanji vplivi.

Navodila za izvedbo meritev sem k diplomski nalogi dodal zato, ker mislim, da bi bila

uporabna za pedagoške delavce osnovnih in srednjih šol, ki bi lahko posamezne odseke

68

mojega diplomskega dela uporabili tudi pri poučevanju fizike, seveda v prilagojenih oblikah

glede na predznanje učencev in dijakov. To se mi zdi zelo pomembno, saj tako moje

diplomsko delo pridobi na svoji uporabni vrednosti. Navodila so napisana preprosto, a hkrati

dovolj natančno, tako da bi lahko vsak bralec, ki mu je astronomija hobi, ponovil meritve in

prišel do lastnih rezultatov.

Glede na to, kako zanimivo in lepo je jasno nočno nebo, ni presenetljivo, da je ţe od

pradavnine privlačno tako za laične opazovalce kot tudi za strokovnjake. Naš naravni satelit

pa s svojim gibanjem buri domišljijo in zaposluje moţgane raznih strokovnjakov ves čas

obstoja človeštva. Zato ne preseneča, da je mnogo strokovnih publikacij namenjeno prav

Luni. Luna pa je za opazovanje zanimiva tudi šolarjem, zato je prav, da omogočamo

spoznavanje njenih lastnosti tudi njim.

»I'll see you on the dark side of the Moon.« Lyric from 'Brain Damage' by Pink Floyd.

69

9 Literatura

[1] P. Moore, Atlas Vesolja, Mladinska knjiga, Ljubljana, 1999; str. 40,41

[2] Vesolje, Velika ilustrirana enciklopedija, urednik L. Wheeler, Mladinska knjiga,

Ljubljana, 2008; str 148 – 151

[3] S. in J. Mitton, Astronomija, Didakta, Ljubljana, 1999; str. 58, 59

[4] M. Brglez, Luna skozi telekop, Didakta, Radovljica, 2011; str. 13 – 15

[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Moon (11.1.2013)

[6] http://sl.wikipedia.org/wiki/Luna (11.1.2013)

[7] P. Moore in G. Hunt, The Atlas of Solar System, Chancellor Press, London, 1997; str.

143 – 147

[8] http://en.wikipedia.org/wiki/Perturbation_(astronomy) (21.11.2012)

[9] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Lunar_perturbation.jpg (21.11.2012)

[10] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Moon_phases_en.jpg (22.11.2012)

[11] http://sl.wikipedia.org/wiki/Siderski_mesec (22.11.2012)

[12] http://sl.wikipedia.org/wiki/Sinodski_mesec (22.11.2012)

[13] Oxfordova enciklopedija astronomije, urednik A. Roy, DZS, Ljubljana, 1999

[14] http://sl.wikipedia.org/wiki/Libracija (1.12.2012)

[15] http://en.wikipedia.org/wiki/Astrophotography (10.12.2012)

[16] http://en.wikipedia.org/wiki/John_William_Draper (10.12.2012)

[17] http://emworden.blogspot.com/2011/02/john-william-draper.html (10.12.2012)

[18] http://www.saburchill.com/HOS/astronomy/033.html (10.12.2012)

[19] J.E.Westfall, Atlas of the Lunar terminator, Cambridge University Press, 2000

[20] http://predmeti.fmf.uni-lj.si/astro_op?action=AttachFile&do=get&target=skripta.pdf

(10.12.2012)

[21] http://hr.wikipedia.org/wiki/Astrofotografija (10.12.2012)

[22] http://en.wikipedia.org/wiki/Sidereal_year (20.1.2013)

[23] http://www.timeanddate.com/calendar/moonphases.html?year=2012&n=0

(27.12.2012)

[24] A. Guštin, Kriţna palica, Spika 10-1, 34 (2002)

[25] A. Guštin, Gibanje Lune po nebu, Spika 10-3, 138 (2002)

[26] http://www.jgiesen.de/moondistance/index.htm (2.1.2013)

[27] http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/moonfact.html (2.1.2013)

[28] http://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_eccentricity (22.1.2013)

70

IZJAVA O AVTORSTVU

Spodaj podpisani Gregor Ţagar izjavljam, da sem avtor diplomske naloge z naslovom

DOLOČANJE SIDERSKE IN SINODSKE PERIODE LUNE S POMOČJO

ASTROFOTOGRAFIJE IN KRIŢNE PALICE.

Krško, junij 2013

Gregor Ţagar