Discrete Math

الحاسوب هندسة قسم والتكنولوجيا الهندسة كليةالجزيرة جامعة

المتقطعة الرياضيات

Discrete Mathematics

:Discrete Mathematicsالمتقطعـة الرياضياتالمقرر: أسم:المحتويات

الرياضي. المنطق في مقدمةالبره��ان وتقني��ات ط��رق (Predicate logic)المقل��وب، التض��مين، : أدوات

المباش��ر، البره��ان الرسمي، البراهين تركيب التناقض، و اإلنكار المعكوس،الراسخ. االستقراء و الرياضي االستقراء بمثلها، الحجة برد البرهان

المحددة. الحاالت ذات اآلالت اآلالت، فكرةوالج��بر واللغ��ات واالتومت��ا اآلالت بين العالقة اللغة، واالتومتا: تعريف اللغات

البيانات. في وتطبيقاتها العالئقيوتطبيقاتها. األشكال البيانية: تعريف األشكالالبيانات. تمثيل في األشجار استخداممس��ار، اقصر إيجاد المشاريع، إدارة البيانية: شبكات األشكال علي تطبيقات

األشجار. تتبع وتسلق البرامج

(CE30) المتقطعة الرياضيات1 الكريم عوض الله دفع أ.سالي


الرياضي: المنطق اساسيات

القواعد وهذه الرياضية للجمل وصحيح واضح معني تعطي المنطق قواعد

هو وهذا الصحيحة وغير والصحيحة الرياضية البراهين بين للتمييز تستخدم

المنطق. دراسة من الغرض

Method Of Proof البرهان طرق

عدم أو صحة إثبات خطوات توضح طريقة أو أسلوب هو

. معينة رياضية عالقة صحة

: الرياضي البرهان طرق اساسيات

الرياضيات: علم دراسة في يظهران اساسيان سؤاالن هنالك

صحيحة الرياضية النظريه تكون متي argument؟

رياضية؟ نظريات لبناء استخدامها يمكن التي الطرق هي ما

Furnish

يتكون: الرياضي النظام ان نجد

الفرضيات Axiomsصحيحة جملة : هي .f فرضا

التعريفات Definitionsمن جديدة مفاهيم النشاء : تستخدم term

سابقة.

النظريه Theoremصحتها. اثبتت قضايا :هي

Lemmaاخري. نظريات الثبات دائما تستخدم نظرية : هي

Corollaryنظرية من وبسرعة مباشرة تستنج حتمية نتيجة ي:ه

سابقة.

البرهان او االثبات Proofالنظرية. صحة الثبات اتبعت التي :الطريقة

المنطق Logicالبرهان. لتحليل وسيلة : هو

الرياضي: للنظام كمثال الهندسية اقليدس مثال: نظريه

النقاط pointوالخطوط linesتعتبر undefined term.

لل مثالdefinition مجم��وعهم ك��ان اذا متك��املتين الزواي��تين : تكون

.180 يساوي

مثال عليaxiomفانه يوجود خط واحدين متباعدين نقطت: اي . بينهمربطفقط ي

مثال عليtheorem اذا تساوي ضلعي في مثلث فان زوايا القاعدة متساويه.



: Direct Proof Methods المباشر البرهان طرق

:Bل� معينه قيمه ايجاداوًال xتجعل p(x)طريقة استخدام اي صحيحة x such

that p(x) يحقق واحد عدد االقل علي يوجد p(x)الطريق��ة بهذة واالثبات

فرض اوp(x) تحققx واحدة قيمة بايجاد ويطبق constructive proof يسمي

.x قيمة اليجاد خوارزمية

امثلة:

عددين؟ مربع كمجموع كتابته يمكن موجب صحيح عدد يوجد انه اثبت.1

52 =32+42

؟x2=15,129 حيثx صحيح عدد يوجد انه اثبت.2

x=123

fnon-constructive: ثاني��ا existence proofنثبت ان ام��ا الطريق��ة ه��ذه وهي

x قيم التوج��د بان��ه ف��رض ايج��اد او فرضية او نظرية باستخدتمx قيمة وجود

النظرية. صحة مع تعارض ال تؤدي

:f P(x) نسمي :”8x € D if P(x) then Q(x)” صورة علي التي النظرياتثالثا

.conclusion لنتيجةبا Q(x) و hypothesis بالفرض

الصورة 8x € D; P(x) ال ان نفرض في كتابتها نعيد 8x; if x € D then”ثم

P(x)”: كانت ل� Dاذا الحقيقة قيم بايجا تقوم منتهية x € Dلكل P(x)مجموعة

ب� الطريقة هذه .method of exhaustionوتسمي

اولي؟ n2-n+11ان n ≤ 10≥ 1 صحيح عدد لكل ان اثبتمثال: عدد هو

P(1)=11, p(2)=13, p(3)=17, p(4)=23, p(5)=31

P(6)=41, p(7)=53, p(8)=67, p(9)=83, p(10)=101


الحاسوب هندسة قسم والتكنولوجيا الهندسة كليةالجزيرة جامعةf f: عموما ف��ان x€D لك��ل ص��حيحةp(x) كان اذا نقصد المباشر بالبرهان ثالثا

Q(x)،االقتضاء مثال صحيحة p→q ثبت ان يمكن� ص��حيحةp ك��انت اذا بان��ه يايضا. صحيحة تكون ان يجبq فان

المباشر: البرهان استخدام توضح التالية االمثلة حاص��ل ف��ان زوجي��ة اع�دادn,m ك��ان اذا، € Z n,m قيم لكل ان اثبت.1

زوجي؟ عدد جمعهم n = 2k1 حيثk1,k2 صحيحة اعداد يوجد فان زوجية اعدادn,m كان اذا

m و = 2k2 ان نثبت ان يحب m+nمن ص��حيح ع��دد اي زوجي ع��دد .2 مضاعفات

m + n = 2k1 + 2k2

= 2)k1 + k2( = 2k

كسري؟ عدد هو صحيح عدد كل ان اثبت.2بالتعريف. كسري عدد وهو n = n /1 فان صحيح عددn ان افرض

كسري؟ عدد جمعهم حاصل فان كسرية اعدادa,b كان اذا اثبت.3 ,a1; a2 b2≠ 0 ,b1 ≠0 صحيحة اعداد توجد فان كسرية اعدادa,b كان اذا

حيث a = a 1 و b = a 2 ان نجد

b1 b2a + b = a 1 + a 2 b1 b2

= a 1 b 2 + a 2 b 1 b1b2

ان: تجدq = b1b2 € Z وp = a1b2 + a2b1 €Z بوضع a + b = p كسري عدد وهو. q

.Corollary: The double of a rational number is rational حتميه نتيجة؟a2 < b2 فان a < b كان اذا صحة عدم اثبت.4

.a2 > b2 ولكن a < b فانb = -1 و a = -2 دعالبرهان: f A الخالي رابعا vacuous proof يستخدم برهان وهو p → q حيث p f خاطئة. دائما

استخدم: ان: الثبات A vacuous proof الخالي البرهان مثالIf x € Ф then David is playing pool.

x € Фf القضية الن صحيحة.vacuously المعطاه القضية فان خطأ دائماf: البرهان q حيث p → q يستخدم برهان وهو A trivial proof المهم غير خامسا

.p الي الرجوع غير من صحيحةاستخدم: ان: الثبات A trivial proof المهم غير البرهان مثال

If n is an even integer then n is divisible by 1n is divisible by 1f الن .trivially true التضمينimplication فان صحيحة دائما



f:البرهان proof بالح�االت سادسا by casesالش�رط مباش�رالثبات بره�ان ه�و المنطقي

p1 ν p2ν…ν pn→ qباثبات وذلك p1→ q; p2 → q; … ; pn → q

؟if n is a positive integer then n3 + n is even ان مثال: اثبتبالحاالت: البرهان نستخدم سوف

Case 1: Suppose that n is even. Then there is k €IN such that n = 2k:In this case, n3

+ n = 8k3 + 2k = 2(4k3

+ k) which is even.Case 2: Suppose that n is odd. Then there is a k € N such that n = 2k + 1:

So, n3 + n = 2(4k3 + 6k2

+ 4k + 1) which is even.

تمرين:زوجي؟ عددn2 ان اثبت زوجي عددn كان اذا اثبت



: Indirect Proof Methods المباشر غير البرهان طرق

ثم ومنp→q للتض��مينhypothesis بالفرض��يات نب��دأ المباش��ر البره��ان في اثب��ات في نس��تخدمها اخ��ري طريق��ة اي ص��حيحية، conclusionال� ان نثبت

طريقتان: وهنالك مباشرة غير طرق تسمي النظريات.Contradiction االيجابي بالعاكس البرهان.1.Contraposition بالتناقض البرهان.2

:indirect proof ( contra positive) اًاليجابي بالعاكس البرهانf مكافئp→q التضمين ان نجد q → ~p~ االيجابي لعاكسة منطقيا

→ q~ االيجابي عاكسه ان اثبات خالل من يثبت ان يمكنp→q والتضمين~p.االيجابي بالعاكس غير البرهان مايسمي وهذا صحيح Contradiction.

زوجي؟ عددn ان اثبت زوجي عددn2 كان مثال: اذا: ان الحل: نفرض

p= n2, q= n, p→q q → ~p~ باثبات نقوم سوفp→q الثبات

~p= n2, ~q= n, ~q → ~pفردي. عددpفان فان فردي عددq كان اذا ان ايn=2m+1 ان حيثm صحيح عدد يوجد فانه فردي عددn كان اذا

n2= (2m+1)2 = 4m2 + 4m + 1= 2(2m2+2m) +1فردي. عددn2 ان ونجد ان مثال: اثبت

The number √ 2 is irrational.Proof:Suppose not. That is, suppose that √ 2 is rational. Then there exist two integers m and n with no common divisors such that√2 = m/n : Squaring both sides of this equality we find that 2n2 = m2: Thus, m2 is even. By Theorem 6, m is even. That is, 2 divides m: But then m = 2k for some integer k. Taking the square we find that 2n2 = m2 = 4k2; that is n2 = 2k2: This says that n2 is even and by Theorem 6, n is even. We conclude that √2 divides both m and n and p this contradicts our assumption that m and n have no common divisors. Hence ,√2 must be irrational Theorem 8The set of prime numbers is infinite.Proof.Suppose not. That is, suppose that the set of prime numbers is finite. Thenthese prime numbers can be listed, say, p1; p2; ¢ ¢ ¢ ; pn: Now, consider the integerN = p1p2 ¢ ¢ ¢ pn + 1: By the Unique Factorization Theorem, ) See Exercise ??(N can be factored into primes. Thus, there is a prime number pi such thatpijN: But since pijp1p2 ¢ ¢ ¢ pn then pij)N ¡p1p2 ¢ ¢ ¢ pn( = 1; a contradiction sincepi > 1:

:proof by contradictionبالتناقض اًالثباتقياسي؟ غير عدد√2 العدد ان : اثبت مثال

ان اي قياسي عدد√2 ان افرض√2 = p



q q ≠ 0p,q بين مشترك قاسم واليوجد

√2 = p q2 =p 2

q2

p2=2q2زوجي عدد P=2m

2q2=4m1Q=2mزوجي عدد

الفرض سعارض وهذا بينهما مشترك قاسم ويوجد زوجية اعدادp,q ان نجداالول.

. قياسي غير عدد√2 ان نجد وبالتالي


The Dog Writes Story

Article noun verb noun


Modeling computation

:languages and grammar والقواعد اللغات

تجمع ان يمكن العربية او االنجليزية اللغة مثال اللغات في مقدمة: الكلمات

للجملة المكونه الكلمات كانت اذا ما توضح التي هي والقواعد طرق بعدة

مثال: خطأ او صحيحية

من صحيحة غير ولكنهاsyntax الصياغة ناحية من صحيحة الجملة ان نجد

مهمة rules of syntax للصيغ القواعد دراسة . انsemantics المعني ناحية

البرمجة. لغات لدراسة ايضا ومهمة الطبيعية اللغات في جدا

في صحيحة جملة هي كلمات مجمجموعة كان اذا تحديد يمكن مثال: كيف

الطبيعية؟ اللغات

الطبيعية؟ اللغات في صحيحة جمل انتاج يمكننا كيف او

القواعد اخذنا اذا مثال الجملة، صحة تحدد القواعد من مجموعة لدينا ان نجد

التالية:

1. Sentence is made up of a noun phrase followed by Verb phrase;2. a noun phrase is made up of an article followed by an adjective

followed by a noun , or3. a noun phrase is made up of an article followed by a noun;4. a verb phrase is made up an a verb followed by an adverb, or5. a verb phrase is made up an a verb;6. an article is a, or7. an article is a, the;8. an adjective is large, or9. an adjective is hungry;10. a noun is rabbit, or11. a noun is mathematician;12. a verb is eats, or13. a verb is hoes;14. an adverb is quickly, or15. an adverb is wildly;

من سلسلة باستخدام صحيحة جمل عدة بناء يمكن القواعد تلك من

استبدالها.مثال يمكن قاعدة ايجاد اليمكن حتي االستبدالت

sentencenoun phrase verb phrasearticle adjective noun verb phrasearticle adjective noun verb adverb



the adjective noun verb adverbthe large noun verb adverbthe large rabbit verb adverbthe large rabbit hops adverbthe large rabbit hops quickly

:phrase-structure grammars المهيكلة العبارة قواعد

المصطلحات: بعض نقدم تعريف اعطاء قبل

المفردات vocabularyب لها ونرمز V محددة. وهي

الرموز symbolsالعناصر. من خالية غير مجموعة وهي

الجملة( علي )او الكلمة Vمن الطول محدودة سلسلة هي

.V عناصر

الخالية السلسلة empty or null stringب لها ويرمز λ سلسلة هي

رمز. علي تحتوي ال

علي الكلمات كل مجموعة Vبالرمز لها يرمز V*.

اللغة languageعلي المعرفة V*.

رمز اي علي تحتوي ال التي السلسلة الخاليةهي السلسة ان مالحظة مع

رمز عاي تحتوي التي المجموعة وهيΦ الخالية المجموعة من وتختلف

.}λ {هي اي الخالية السلسة هو واحد

منها: طرق بعدة اللغات تحديد يمكن

f:عمل اللغة. كلمات بكل قائمة اوال

f: اعطاء اللغة. من لتكون تحققها ان يجب للكلمات الخصائص بعض ثانيا

f: او specify language through the use of القواعد باستخدام اللغة تحديد ثالثا

a grammarالسابق. المثال . كمافي

القواعد من ومجموعة المختلفة لالنواع الرموز من بمجموعة تمدنا القواعد

الكلمات. النتاج

:لها القواعد

مفردات Vاللغة. الشتقاق تستخدم الرموز من مجموعة وهي

وهذه اخري بعناصر تستبدل ان يمكن ال المفردات عناصر بعض

،Terminals نهائيات تسمي

نهائيات ال تسمي وهذه اخري بعناصر باستبداله يسمح وبعضها Non-

terminalsب لها ويرمز T وNان نجد السابق المثال بالتتالي. في :



Terminal= {a, the, rabbit, mathematician, hops, eats, quickly, wildly}Non-terminal={sentence,noun-phrase,verb-phrase,article,adjective,noun,verb,

adverb}

البداية رمز ويسمي المفردات لمجموعة خاص رمز وهنالك start

symbolب له ويرمز Sمن عنصر وهو Vبه. لنبدأ دوما يستخدم

من سلسلة نستبدل ان يمكن عندما المستخدمة القواعد V*بسلسلة

لها .ونرمزproduction of the grammar للغة االنتاج تسمي اخري

.z1 ب تستبدل ان يمكنz0 ان يحدد الذي االنتاج z0→ z1 بالرمز

V حيثG = (V,T,S,P) تتكونG المهيكلة الجمل القاعدة :تعريف

من تتكونV من جزئية مجموعوT وvocabulary المفردات مجموعة

هيP وStart symbol البداية رمز عن عبارة هوSو النهائية العناصر

وهي اللنهائيان عن عبارةN وproduction rules االنتاج قواعد من ممجموعة

واحد النهائي علي االقل علي يحتوي ان يجبP في انتاج وكل ،V-T تتكون

اليسار. الجزء في

: حيث G = (V,T,S,P) لدينا كان اذامثال:

V ≡ {a ,b, A, B,S}T ≡ {a, b}S ≡ start symbol P ≡{ S → A B a

A → BBB → a bAB →b}

.Phrase structure grammarمهيكلة قاعدة هي

السلسلة اشتقاق يمكننا كيف Aabaالسابقة؟ القواعد من

التالية االشتقاقات تتبع يمكن

S → A B a → A a b a we used {B→ a b}

السلسلة اشتقاق يمكننا كيف abababaالسابقة؟ القواعد من

S → A B a → A a b a { we used B→ a b} → BBaba {we used A→BB} → Bababa { B→ ab} → abababa { B→ab}



w وw0=lz0r وكان مهيكلة قواعد وهيG = (V,T,S,P) لدينا كان اذاتعريف:

1=lz1rعلي سالسل هي V:

كان اذا z0→z1في انتاج قاعدة هي Gان نقول W1اشتقت derivableمن w0وتكتب مباشرة w0 w1.

كان اذا w0,w1,…,wnعلي سالسل هي Vوكان w0 w1 w2 … wn-1 wn

وتكتبw0 من اشتقتwn ان نقول االشتقاق تسميw0 منwn علي للحصول الخطوات تسلسل

derivation.

ان: نجد السابق المثال مثال: فيالسلسلة Aabaمن مباشرة اشتقت ABaالن ab Bقاعدة وهي

القاعدة. في انتاجالسلسلة abababaمن اشتقت ABa:الن

ABa Aaba BBaba Bababa abababaB→abو B→ abو A→BBو B→ a bاإلنتاج: قواعد باستخدام

ويرمزG بواسطة المنتجة اللغةG = (V,T,S,P) القاعدة لدينا كان تعريف: إذا رمز من اشتقت التي النهائيات من السالسل كل مجموعة هيL(G) ب لها

ان: ،ايSالبداية

ورمزT={a,b} و V ={S,A,a,b} وكان قاعدةG كان اذاL(G) اوجدمثال:

؟ p = {S → aA, S → b, A→ aa} هي االنتاج وقواعدS البداية

S → aA, S → b → aaaL(G) ={ b,aaa}

ورمزT={0,1} و V ={S,0,1} وكان قاعدةG كان اذاL(G) اوجدمثال:

؟ p = {S → 11S, S → 0} هي االنتاج وقواعدS البداية

S → 11S, S → 0 → 110 or → 1111SL(G) = {0,110,11110,1111110,…}

© التي السالسل كل اي .0 ب ونتهي1 من زوجي بعدد تبدا

| 0n 1n} التالي�ة المجموعة إلنتاج المهيكلة القواعد اكتبمثال: n=0,1,2,

؟…{

تتبعه��ا(o’s)من تتك��ون ال��تي السالس��ل ك��ل إلنت��اج قاع��دتين استخدام يمكن

كاألتي:(s’1)من العدد نفس

G = (V,T,S,P), V ={S,0,1}, T = {0,1}, S= start symbol.

P ={ S→ 0 S 1, S→ λ}



:التالية المجموعة إلنتاج المهيكلة القواعد اكتبمثال:

{0m 1n | n, m are non negative integer}؟

لهاG1 أن نفرض

G1 = (V, T, S, P), V ={S, 0, 1}, T = {0, 1}, S= start symbol.

P = {S→ 0 S, S→ S 1, S→ λ}

لهاG2 ان او

G2 = (V, T, S, P), V ={S, 0, 1, A}, T = {0, 1}, S= start symbol.

P = {S→ 0 S, S→ 1 A, S → 1, A →1 A, A→ 1, S→ λ}

التالية: المجموعة النتاج المهيكلة القواعد تمرين: اكتب

{0n 1n 2n | n=0, 1, 2}…,

: Type of Phrase Structure Grammars )النحو( القواعد أنواع

: يلي كما بها المسموح االنتاج قوانين شكل حسب القواعد تصنيف يمكننا

: أنهاG عن نقولG = ( N , T , P , S ) القواعد لتكن

1-Type (0)وتسمي انتاجها قواعد علي قيود اي لها ليس قواعد : هي

.محدودة غير

2-Type (1)التالي الشكل في انتاجها قوانين تكون ان يمكن : هيقواعد

w1w2طول ان حيث w2من اطول w1او λ w2قواعد وتسمي

الشكل: P من قانون لكل كان إذا اوContext grammar سياق ذات

A حيث A Nو , , ( N UT )* .

3-Type (2)الشكل في تكون ان يمكن انتاجها قوانين قواعد : وهي w1

w2حيث w1من خالية قواعد وتسمي نهائي وغير وحيد رمز

p من قانون لكل كان إذا او Context Free Grammars السياق

ال النحو كان إذا. A N و* ( N UT ) حيث A الشكل:

او اليمين عن االشتقاق نستعمل إن يمكننا معين ترتيب على يعتمد

. المشتقة الجملة في فرق هنالك وليس يسارال

4 -Type (3)الشكل في انتاجها قواعد تكون التي القواعد : هي w1w

a حيثw2=a اوw2=aB وw1=A حيث2 T و A,B N

.Regular Grammar نظامية قواعد وتسمي

في في ال��ذي الالنه��ائي الرم��ز الن بذلك سميت السياق من الخالية القواعد

يتك��رر عن��دما السلس��لة في يستبدل ان يمكن االنتاج لقاعدة االيسر الجانب



تسمي النحو بهذا المنتجة واللغة السلسلة في موجود هو ما عن النظر بغض

.Context Free Language السياق من الخالية اللغات

للنحو: المختلفة االنواع بين العالقة يوضح التالي فين شكل

المستخدمة: القيود بعض يلخص التالي الجدول

Types Restriction on production rules w1w2

0 No restrictions

1 L(w1)<L(w2) or w2 λ

2 w1A where A N

3 W1A and w2a B or w2a where A,B N , a T, or S λ

: مالحظة

السياق من خالية قواعد هى النظامية القواعد كل .

السياق ذات القواعد من جزء هى السياق من الخالية القواعد كل

.

محدودة غير قواعد هى السياق ذات القواعد كل.


Type (o)

t

Type (1)

Context sensitive

Type(2)

Context free grammar

Type (3) regular gramma


: أمثلة

P حيث G1 = ( {S} , { 0 , 9 } , P , S ) ( القواعد1)S 0 SS I SS 1S 0

*L(G1) = { 0 , 1}: اللغة تولد نظامية قواعد هى

P حيث G2 = ( {S} , { 0 , 9 } , P , S ) ( القواعد2)

S 0 S IS 0 I N = { S } T = { 0 , I }, S = { S }

L(G2) = { 0N IN : n > = I } اللغة وتولد السياق من خالية قواعد هى

P حيثG3 = ( {S,A} , { 0 , 1 } , P , S ) ( القواعد3)

S 0 A IS 0 I 0 A 0 0 A 1 S 0 I

L(G3) = {0N1N:N>=1} :اللغة وتولد سياق ذات قواعد هى P حيثG4 = {( {S,A} , { 0 , 1 } , P , S } ( القواعد4)

S 0 S IS 0 I 0 S I S

: اللغة وتولد محدودة غير قواعد هىL(G4) = { 0N IN : n > = I }



:القواعد كتابة صور

لجميع قياسية وتعتبر ثابتة طرق وهي القواعد لكتابة كثيرة طرق هنالك

.BNF الصور هذه اهم ومن غيرها او الحاسب في كانت ان سواء التطبيقات

1 -Backus – Naur Form واختصارا BNF

: مثلث الصورة هذه في

. ( a) حادين قوسين بين لقةغم بأسماء النهائية غير الرموز-1

.الرمز من بدال::= الرمز مالعاست-2

. األيسر الطرف نفس لها التي القوانين عن / للتعبير الرمز نستعمل-3

القواعد هذهمثال:

1

2

3

: كاالتى تكتب ان يمكن

( ) ::= 1 / 2 / 3

2 -EBNF

3 -Syntax Diagram

.BNF باستتخدمAAa, Aa , A AB النحو كتابة : اعدمثال

(A(=::)A )a | a | (A) (B)

اللغة رموز من سلسلة نت يتكون المعرفalgol60 : فيمثال

مجموعة لوصفBNF استخدم بحرف، بيدأ ان )حروف،ارقام( ويجب

بها. المسموح المعالفات

(identifier) ::=(letter) | (identifier)(letter) |(identifier)(digit)

(letter) ::= a|b|c|…|y|z|A|B|…|Z

(digit)::= 0|1|2|3|…|9

تمرين:

هذا بداية في وصفت " التي االنجليزية اللغة لقاعدة"جملةBNF هي ما.1

الجزء.

مسبق رقم هو الصحيح )الرقم الصحيحة االرقام انتاج لقواعدBNF اكتب.2

-(. + او بعالمة



:derivation trees اًالشتقاق أشجار

الح�رة اللغ�ات بواسطة منتجة السالسل ان لتوضيح المستخدمة االستبدالت

ordered المرتب��ة الجذري��ة االش��جار باس��تخدام تمثل ان يمكن rooted trees

derivation االش��تقاق بش��جرة المنتج��ة الش��جرة وتس��مي treeش��جرة او

الشجرة لهذه الجذرstart symbol االبتدائي الرمز . يمثلparse tree االعراب

االش��تقاق، في تس��تخدم ال��تي الالنهائي��ة ب��الرموز تمث��ل الداخلي��ة والعق��د

.Terminals النهائية الرمز بواسطة تمثل واالوراق

the first player runs quickly الجملة الشتقاق االشتقاق شجرة صمم.1

السابقة. القواعد باستخدام

c السلسلة كانت ذا ما وضح.2 b a bبالقواع��د المنتجة اللغة الي تنتمي

G حيث = (V,T,S,P)حيث Sو البداي��ة رم��ز ه��وV= {a,b,c,A,B,S,S}و

T={a,b,c}االنتاج وقواعد:

AB, A Ca ,BB a, Bb, Cc b, Cb S

السابق: النحو منc b a b الشتقاق طريقتان هنالك

top االس�فل الي االعلي من االشتقاق االولي الطريقة down parsingحيث

الالنه��ائي اس��تبدال وثمS االبت��دائي الرم��ز باس��تخدام االش��تقاق بداي��ة يتم

≡S≡>ABكاالتي: السلسلة الي نصل ان الي وكذا اليسار اقصي في الموجود

>Cab≡>cbaB≡>cbab.

bottom االعلي الي االس��فل من االشتقاق الثانية الطريقة up parsingوفي

الم�راد السلسلس�ة اي النهائي�ة الرم�وز من االش�تقاق يب�داء الطريق�ة ه�ذه

cbab≡>Cab≡>Ab≡>A كاالتي: S االبتدائي الرمز الي نصل ان الي اشتقاقها

B≡>S.

للطريقتين. االشتقاق شجرة : ارسمتمرين


Sentence

Noun phrase verb phrase

Article adjective noun verb adverb

The first player runs quickly


Finite State Machines With بمخرجات المنتهية الحاًالت اآلًالت

Output:

االالت تسمي هياكل باستخدام تصمم الحاسوب مكونات إن يمكنمقدمة:

مختلفة أنواع وهنالكfinite state machine المحددة او المنتهيه الحاالت ذات

المح��ددة اآلالت أن��واع ك��ل كنم��اذج. تحت��وي عام��ة بص��ورة وتس��تخدم منه��ا

علي: الحاالت

. finite set of statesالحاالت من منتهية مجموعة.1

.start state ابتدائية حالة.2

ابجدية. مدخالت.3

transaction تحويل دالة.4 functionللحال��ة التالي��ة الحالة تحدد التي وهي

المدخالت. من ورمز الحالية

ويمكن البيان��ات، وش��بكات الحاس��وب عل��وم تطبيق��ات في االالت تس��تخدم

في والبحث الفهرس�ة، النح�وي، الت�دقيق اإلمالئي، الت�دقيق برامج في استخدامها

ان ويمكنHTML مل��ف وفي الص��وت علي والتع��رف النص من هائل��ة كمي��ات

الشبكات. تبروتوكوال في تستخدم

مخرجات. ولها المنتهية الحاالت ذات االالت بدراسة نقوم سوف الجزء هذا وفي

االالت: من النوع لهذا مثال هي الغازية المشروبات بيع ماكينةمثال:

التفاح. لعصير وزر البرتقال، لعصير وزر25 ،5،10 النقود المدخالت: قيمة

تفاح. وعصير برتقال وعصير ،20 ،15 ،10 ،5 المخرجات: الشي،


S1

S2

S0

S3


بمخرجات: المحددة الحاًالت اآلًالت

حيثm=(S,I,O,f,g,s0) : االلةتعريف

1.Sالحاالت. من منتهية مجموعة تمثل

2.I المدخالت. من منتهية مجموعة تمثل

3.Oالمخرجات. من منتهية مجموعة تمثل

4.fجديدة. )حالة،ومدخل( حالة لكل تحد تحويل دالة

5.gالم��دخالت( رم��ز من وزم��ر )حال��ة، لك��ل تح��دد مخرج��ات دال��ة

مخرجات.

6.S0ابتدائية. حالة

بطريقتين: مخرجات ولديها المنتهية الحاالت ذات اآلالت تمثيل يمكن

.state table الحاالت جدول باستخدام(1

.state diagram للحاالت توضيحي رسم باستخدام(2

تمث��لS حيث منتهي��ة ح��االت ذات ال��ه يوض��ح الت��الي الج��دول(: 1مثـال)

النهائي�ة الرم�وز تمث�لT والمجموع�ةS={s0,s1,s2,s3} وهي الحاالت مجموعة

مخرجات. دالة تمثلgو تحويل دالة تمثلf وT={0,1} وهي

السابق: الجدول في الموضحة اآللة يمثل توضيحي رسم :صمم(2مثال)

0,1

1,0 1,0 1,1

0,0

0,0 1,0

1,1


Statef g

Input Output0 1 0 1

S0 S1 S0 1 0S1 S3 S0 1 1S2 S1 S2 0 1S3 S2 S1 0 0

S0

S1

S3

S2

S4


التالي: بالرسم الموضحة لآللة الحاالت جدول صمم(3مثال)

0،1

1،1

1،0 0،0 0،0 0،1

1،0

0،11،0

0،1

output المخرج��ات سلس��لة اوج��دمثــال: stringاآلل��ة بواس��طة المنتج��ة

؟101011 المدخالت كانت إذا السابقة

المخرجات: سلسلة تكوين طريقة

1 المدخل كان إذا انه ونجدs0 االبتدائية الحالة من نبدأ أوال

المخرجات. من رمز أول وهذا 0 المخرج ويكون S3 إلي نذهب

.0 المخرج ويكونs1 إلي نذهب0 المدخل كان إذاs3 ثانيا: من

.1 المخرج ويكونs2 إلي نذهب 1 المدخل كان إذاs1 ثالثا: من

.0 المخرج ويكونs3 إلي نذهب0 المدخل كان إذاs2 رابعا: من

.0 المخرج ويكونs0 إلي نذهب1 المدخل كان إذاs3 خامسا: من

.0 المخرج ويكونs3 إلي نذهب1 المدخل كان إذاs0 سادسا: من

.001000 المخرجات سلسلة وتكون

أمثلة:

unit الت��أخير وح��دة في بمخرج��ات المنتهي��ة الحاالت ذات اآللة تطبيق(1

delay machineوهي االلكتروني��ة األجهزة معظم في مهمة حدة وهي

ف��ترة أو واحدة وحدة بتأخير ولكن المدخالت عن عبارة مخرجات تنتج

تأخير: وحدة يمثل التالي محددة. والشكل زمنية

1,1

1,0

0,1 1,0

start

0,0

0,0


Statef g

Input Output0 1 0 1

S0 S1 S3 1 0S1 S1 S2 1 1S2 S3 S4 0 0S3 S1 S0 0 0S4 S3 S4 0 0

Input 1 0 1 0 1 1

State S0 S3 S1 S2 S3 S0

Output 0 0 1 0 0 0

S0

S0

S0

S0

S1


ع��ددين جم��ع علي بمخرج��ات المنتهي��ة الح��االت ذات اآلل��ة تط��بيق(2

الثنائية: التعبيرات باستخدام صحيحين

01,111,0 01,1

11,1 00,0 start

10,0 00,110,1

Types المحــددة او المنتهيــة الحــاًالت ذات اآلًالت أنواع Of Finite

State Machines:

ومنها: الحاسوب االالت لتحاكي طورت كثيرة اآلالت وهنالك

mealy وتس��مي مخرج��ات له��ا ال��تي الحاالت المحددة اآلالت.1 machine

الحاالت. بين الحركة علي تعتمد المخرجات حيث

فق��ط تحدد المخرجات حيث مخرجات لها التي الحاالت المحددة االالت.2

.Moore machine وتسمي الحالة طريق عن

Finite مخرجــات غــير من الحــاًالت المحددة اآلًالت State Machine

With No Output

تمي��يز ه��و المح��ددة الح��االت ذات لآلالت التطبيقات أهم من واحد مقدمة:

في وأساسي مهما دورا التطبيقات هذه وتلعبlanguage recognitionاللغات

قمن�ا الس�ابق الج�زء . فيcompiler ةالبرمج� لغ�ات مترجم�ات وبناء تصميم

تس��تخدم ان ويمكن مخرج��ات له��ا ال��تي الح��االت مح��ددة اآلالت بدراس��ة

اللغ�ات لتعري�ف خصيص�ا صممت أنواع هنالك ولكن اللغات، وتمييز لمعرفة

ولكن مخرج��ات له��ا ليس المح��ددة اآلالت وهي المخرج��ات إنت��اج من ب��دال

final نهائي�ة ح�االت stateع�رف� االبتدائي�ة الحال�ة من ب�دأنا إذا السلس�لة . وت

اللغة. في معرفة السلسلة تكون وبذلك النهائية الحاالت بأحد وانتهينا

:set of string السالسل مجموعة

االح��رف مجموعة هيv حيث*V من جزئية مجموعةA,B كان اذاتعريف:

ك��ل مجموع��ة بان��هA,B بينconcatenation الرب��ط نع��رف االبجدي��ة في

ب ل��ه ويرم��زB في سلسلة هيy وA في سلسلة هيx حيثxy السالسل

AB.



؟BA وAB اوجدB={1,10,110} وA={0,11} كان اذامثال:

AB = {01, 010, 0110, 111, 1110, 1111}

BA = {10, 111, 100, 101, 110, 11011}

,n=0 لك�لAn تعري�ف يمكن السالس�ل من لمجموع�تين الرب�ط تعريف من

حيث: … 1,2,3

A0 = {λ}

An+1 = An A FOR n=0, 1, 2,…

n=0,1,2,3 لكل An اوجدA={1,00} كان مثال: اذا

A0 = {λ}

A1 = A0 A1 = {λ} A= {1,00}

A2 = A1 A1 = {1,00}{1,00} = {11,100,001,0000}

A3 = A2A1 = {11,100,001,0000}{1, 00}=

{111,1001,0011,00001,1100,10000.00100,000000}

A kleene انغالق يع�رف*V من جزئي��ة مجموعةA ان افرض (:2تعريف)

closure for Aعلي السالسل كل ارتباط من تتكون مجموعة بانه Aويرم�ز

*A ب له

؟C = {11} وB={0,1} وA= {0} كان اذا*C و*B و*A مثال: اوجدA*= {0n | n=0,1,2,…}B*=C* = {12n | n=0,1,2,…}


Statef01S0S0S1S1S0S2S2S0S0S3S2S1S1

S2

S0

S3


Finite محـــدودة حـــاًالت اولهـــ الحركـــة ذاتيـــة اآلًالت state

automata:

ولكن مخرج��ات له��ا ليس إي مخرجات بدون الحاالت محدودة اآلالت وهي

هذه أن ،الحقا( سيتضح كما) final states النهائية الحاالت من مجموعة لها

وانتهينا start state االبتدائية الحالة من بدنا إذا السالسل علي تتعرف اآلالت

. final state نهائية بحالة

مجموعة من تتكونM=(S,I,f,s0,F) المعرفةfinite state automata: تعريف

تح��دد وهيf تحوي��ل ودال��ةI منتهية مدخالت وسلسلةS الحاالت من منتهية

ابتدائية وحالة(f: S× I → S) والمدخالت الحاالت من زوج لكل التالية الحالة

s0من جزئية ومجموعة Sب�� له��ا ويرم��ز النهائية الحاالت تمثل وهي Fوهي

اآللة. بواسطة قبلت قد السلسلة إن أو المشتقة السلسلة نهاية تمثل

finiteال تمثي��ل يمكن state automataرس��م او الحال��ة ج��دول باس��تخدام

دائ��رة باس��تخدام النهائي��ة الح��االت تمث��ل الحالة هذه وفي للحاالت توضيحي

الحواف. مزدوجة

S={s0,s1,s2,s3 حيث m=(S,I,f,s0,F) اآللة لتمثيل توضيحي رسم صمممثال:

التالي: الجدول في موضحة التحويل دالة وF={s0,s3} وI={0,1} و {

1 0

1 0

1

00،1

االبتدائي��ة الحالة من بدانا اذاm بااللة ع�رفت او قبلت قدX السلسلة أن نجد

S0تسمي بااللة المقبولة او المعرفة واللغة نهائية بحالة وانتهينا L(m).

التالية:finite state automata باآلالت المعرفة اللغات اوجدمثال:

1)

2 )


0 0,1

Start 0 1 0,1

1L(M2)= {01,1}

S0 S1 S2 S3

1 0,1 0

M1

S0 S1

L (M1) = {1n| n = 0, 1, 2…}

Statef01S0S0,S1S3S1S0S1,

S3S2S0,S3S3S0,S1,S2S1S1

S2

S0

S3


3 )

فقط تعطى يةلتالا الحالة النdeterministic محددة تسمي السابقة االالت

finiteمن اخر نوع وهنالكالحالية. الداخلة واألحرف الحالية الحالة بواسطة

state automataحالة،ومدخل( لكل التالية للحالة احتماالت عدة فيها وهي(

. nondeterministic المحددة غير االالت وتسمي

اآللةتعريف : Mتكون (NFA) Nondeterministic Finite Automataحيث

m=(S,I,f,S0,F)الحاالت من مجموعة من تتكون Sمنتهي��ة مدخالت وسلسلة

Iتحويل ودالة fوالم��دخالت الحاالت من زوج لكل التالية الحالة تحدد وهي (

f: S× I →P(S))ابتدائية وحالة s0من جزئية ومجموعة Sالحاالت تمثل وهي

السلس��لة إن أو المش��تقة السلسلة نهائية تمثل وهيFب�� لها ويرمز النهائية

اآللة. بواسطة قبلت قد

Non Deterministic Finite State Automata المحددة غير اآلالت تمثيل يمكن

اس��تخدام حال��ة وفي للح��االت، توض��يحي رس��م أو الحال��ة ج��دول باستخدام

زوج لك��ل التالي��ة للحال��ة االحتماالت بكل قائمة نوضح سوف الحاالت جدول

لك��ل وص��لة هنال��ك يكون التوضيحي الرسم وفي ومدخل، الحالية الحالة من

تحرك.

s2,s حيث التالي الحالة جدول لها التيNFA لل�� توضيحي رسم صمممثال:

نهائية؟ حاالت هي3

100

0,1 1 0 0

1

0 1

1


0 0 0,1

Start 1 1 0,1

L (M3) = {0n, 0n10x | n=0, 1, 2,… and x is any string}

S0 S1 S2 S3


التالي:NFA ل الحالة جدول اوجدمثال:

السابق؟NFA بواسطة المنتجة اللغة : اوجدتمرين

DFA علي معرف��ة تك��ونL ف��انNFA ب معرفةL اللغة كانت : إذانظرية

.f أيضا

السابق؟NFA لل�DFA ال : اوجد مثال


0

1 0 0,1 0 0

0,1 1 1

0,10 1

1

S0

{S0 ,S2

}

{S3}

{S4

}

{S1,S4

}

{S3,S4

}

{S1}

Φ

0 0 1

01 0, 1

Start 0

1

S0

S1

S2

S3

S4

Statef01S0S0,S2S1S1S3S4S2S4S3S3

S4S3S3


Language Recognition

المح��ددة الح��االت ذات الحرك��ة ذاتي��ة اآلالت تس��تخدم أن يمكنمقدمــة:

له نجد أن يجب مهم سؤال . وهنالكLanguage Recognition اللغات لتعريف

حل وأول اآلالت؟ بتلك تتعرف إن يمكن التي المجموعات هي ما وهو اإلجابة

كلين س��تيفن اس��م أم��ريكي ع��الم بواسطة1956 سنة كان المشكلة لهذه

Stephen kleene منتهية حاالت اله هنالك أن وأوضح Finite State Automata

خالي��ة سلس��لة من المجموع��ة تل��ك تص��ميم أمكن إذا مجموعة علي تتعرف

empty stringالخالية والمجموعة empty setاالرتباط من المكونة والسالسل

Concatenationواالتح��اد unionواالنغالق Kleene’s closureوالمجموع��ات،

.Regular Set المنتظمة المجموعات تسمي الطريقة بتلك تتكون التي

Regular المنتظمة المجموعات Setالذاتي��ة ب��اآلالت تتع��رف مجموعات هي

Regular المنتظم��ة والقواع��د الح��االت مح��دودة الحرك��ة

Grammarبواس��طة أنتجت فق��ط ك��انت وإذا إذا منتظم��ة تك��ون .والمجموعة

منتظمة. قواعد

الح��االت مح��دودة الحرك��ة ذاتي��ة باآلالت تعرف ال مجموعات هنالك أن ونجد

مث��ل اآلالت من أخ��ري أن��واع ،وهنال��ك السالس��ل لتل��ك أمثلة نعطي وسوف

pushdown automataو Turning Machine.

:regular sets المنتظمة المجموعات

union واالتح��ادconcatenation االرتب��اط عملي��ات باس��تخدام تتك��ون وهي

ومجموع��ات خالي��ة وسلس��لة خالي��ة مجموع��ة من ابت��دأclosure واالنغالق

متشابهة. متكررة

كاالتي: يعرفI لمجموعة مالمنتظ التعبيرتعريف:

الرمزΦمنتظم. تعبير يمثل

الرمز λمنتظم. تعبير يمثل

الرمز xمنتظم تعبير يمثل (عندماx ε I.)

الرم��وز (AB)و (AUB)و A*ك��ان إذا منتظم��ة تعب��يرات تمث��ل A,B

منتظمة. تعبيرات

كاالتي: منتظمة مجموعة يمثل منتظم تعبير وكل



Φسلس��لة اي بها ليس التي المجموعة وهي الخالية المجموعة تمثل

منتظمة. مجموعة وهي

λالمجموعة تمثل } λ {واحد رمز علي تحتوي التي المجموعة وهي

منتظمة. مجموعة وهي الخالي الرمز وهو

xالمجموعة تمثل {x}واح��د رم��ز علي تحتوي التي المجموعة وهي

منتظمة. مجموعة وهيxوهو

(AB)االرتباط تمثل concatenationللمجموعات A, B.

(AUB)االتحاد تمثل unionللمجموعات A, B.

A*للمجموعة االنغالق تمثل A.

المنتظم، المجموع��ات لوص��ف المنتظم��ة التعب��يرات نس��تخدم س��وف

ب��التعبير الممثل��ة المجموع��ة نقصد منتظمة مجموعةA ان نقول وعندما

.A المنتظم

التالية. المنتظمة التعبيرات بواسطة المنتجة السالسل هي مثال: ما

Expression String10* a 1 followed by any number 0s (including no 0)(10)* Any number of copied of 10 (include no 10)0U01 The string 0 or string 010(0U1)* Any string beginning by 0(0*1)* Any string not ending with 0

ق��د فق��ط ك��ان وإذا إذا منتظم��ة تكون : المجموعةkleenes نظرية نظرية:

الحاالت. محددة الحركة ذاتية لآلالت ع�رفت

A set is regular if and only if it is recognized by finite state automata.

ممنتظ تعب��ير لكل الحاالت محددة الحركة ذاتية اله ببناء نقوم اإلثبات: سوف

السابق: المنتظم التعبير تعريف من

Φ

كاألتي: نهائية حالة لها ليس آللة نحتاج


S0S0


{ λ }

{a}

والتح��ركs1واح��دة نهائية وحالةs0ابتدائية حالة لها آله نستخدم

.a المدخل علي يكونs1 اليS0 من

a

AB

MB باآللة معرفةB و MA=(SA,I,fA,sA,FA) باآللة معرفةAان افرض

=(SB,I,fB,sB,FB)آلة ببناء نقوم . أوال MA:كاألتي

…..

.MB آلة ببناء نقوم الطريقة ونفس:MAB=(SAB,I,fAB,sAB,FAB) اآللة نصمم اي MB وMA لربطل االبتدائي��ة الحال��ة حيثMABل االبتدائي��ة الحال��ة هي MA

.MB لل� النهائية الحالة هيMAB النهائية والحالةل� النهائية والحالةMAل االبتدائية بالحالة تربطMBب� .االبتدائية الحالة MAل� االبتدائية بالحالة تربط MBلتوض��يح

كاالتي: اآللة وتكون الخالي االنتقال

AUB


S0

S0 S1

SA

SB

SA

SAUB

SA

SB


A*


SA

SA


؟U 0 1* 1 المنتظم المجموعة لتعريفNFA مثال: صمم

Regular

set

Machine

11

1*

00

01

0

0

0 1

1 *U 01


S0 S1

S0 S1

S2

S3S0

S1


regular المنتظم��ة والقواع��د المنتظم��ة المجموع��ات sets and regular

grammar

انت��اج قاعدة كل حيثG=(V,T,s,P) حيثtype(3) المنتظمة القواعد ان نجد

الشكل: في تكون

S→λ, A→a or A→aB حيث aو نهائي رمز A,Bنهائية. ال رموز

�تج : المجموعةنظرية �ن مجموع��ة فق��ط ك��انت اذا منتظم��ة قواعد بواسطة ت

منتظمة.

A set is generated by regular grammar if and only if is a regular set.

القواع��د بواس��طة المنتج��ة اللغ��ة علي لتتع��رفNFA آل��ة : ص��مممثــال

,S→IAاالنتاج وقواعدT={0,1}وV={0,1,A,S} حيثG=(V,T,S,P) المنتظمة

S→0, S→ λ , A→1A, A→0A, A→1.

كاالتي: تكون ان لآللة يمكن

التالية: اآللة بواسطة تنتج التي المنتظمة القواعد اوجدمثال:

الحـاًالت منتهيــة الحـرة ذاتيــة بـاآلًالت تعرف ًال التي المجموعات

finite state automata .

0n1n} المجموعة ان :وضحمثال |n=0,1,2}…,حت��وي ال��تي السالسل وهي

تمثله��ا ال��تي والقواع��د الع��دد بنفس1s من بكتل��ة ملحق��ة0s من كتل��ة علي


يمكن للقواعد ان تكون كاالتي:

S→0AS→1BS→ λA→0AA→1BA→1B→1BB→0AB→1

0

0Start

1 01

1

S0

S1

S2

1,0

1Start 0

0

1

S0

S1

S2


Finite له��ا وليس منتظم��ة غ��ير فالمجموع��ة لذلك منتظمة غير قواعد state

automata.لها



Graphs Theory البيانات مخططات نظرية

حديثة مشاكل لحل تطبيق ولكنها قديمة البيانات مخططات نظرية ان نجد

مثل:

لوحة. علي تنفذ أن يمكن الدائرة كانت إذا تحديد.1

التركيبة. سنف لهم نكيمائيي مكونين بين التمييز.2

.WWW تطبيقات لدراسة تستخدم.3

الشبكة. بوصلة موصالن نحاسوبي كان إذا ما تحديد.4

الموصالت. شبكة في نمدينتا بين مسار اقصر إيجاد.5

البيانات: مخططات تعريف

)حواف( ووصالت vectors)رؤوس( عقد من تتكون متقطعة هياكل هي

edgesالبيانات مخططات من انواع عدة وهنالك العقد تلك لربط تستخدم

لتمثيل المخططات وتستخدم توصيلها وكيفية العقد حسب علي تختلف

المختلفة. البيانات

البيانات: مخططات انواع

:Simple Graph البسيطة المخططات(1

غير ووصالت عقد من تتكون

Undirected االتجاه محددة

edgesبالعالقة تمثل ان ويمكن

G= (V,E).

شبكة هنالك ان مثال: نفترض

الحواسيب لربط صممت

تمثيل يمكن التلفون، بخطوط

وكل بعقدة حاسوب جهاز كل

بين يربط تلفون خط

كما وصلة باستخدام حاسوبين

التالي: الشكل في مبين

:Multi Graph المتعددة المخططات(2


A E

C D G

B F

A E

C D G

B F


العقد من مجموعة من تتكون

vectorsوالوصالت edges

وصلتين األقل علي ويوجد

في كما العقدتين نفس تربط

التالي: الشكل

:pseudo Graph الدوارة المخططات(3

المخططات من معقد نوع هو

عقدة توجد حيث المتعددة

تتصل األقل علي واحدة

وصلة. بواسطة بنفسها

التالي: الشكل في كما

:Directed Graph الموجهة الوصالت ذات المخططات(4

محددة الوصالت كانت إذا

لتحديد سهم بواسطة االتجاه

الحالة هذه وفي الربط اتجاه

ولكن موجه المخطط يسمي

نفس في المتعدد الوصالت

بها. كما مسموح غير االتجاه

التالي: الشكل في

Directed والمتعددة الموجهة الوصالت ذات المخططات(5

Multi Graph:

محددة الوصالت كانت إذا

لتحديد سهم بواسطة االتجاه

أن أي ومتعددة الربط اتجاه

للعقدة العقدة نفس من

وصلتين. من أكثر توجد التالية



A E

C D G

B F

A E

C D G

B F

A E

C D G

B F


ام موجهه كانت إذا والوصالت المخطط نوع بين العالقة يحدد التالي الجدول

تكون ان أي العقد حول بالدوران المخطط نوع يسمح ال،وهل ام متعددة هي وهل ال

بنفسها: مرتبطة العقدة

Types Edges Multi edges allowed Loop allowed

Simple graph Undirected No No

Multi graph Undirected Yes No

Pseudo graph Undirected Yes Yes

Directed graph Directed No Yes

Directed multi graph Directed Yes Yes



: Graph Terminology المخطط مصطلحات

B الموجهة: غير المخططات اوًال

توجد كانت إذا متجاورتين العقدتن )الرؤوس(: تكون العقد تجاور.1

األقل. علي بينها تربط وحيدة وصلة

العقدة مع المتصلة الوصالت عدد : هيdegree of vector العقدة درجة.2

.deg(v) بالرمز لها ويرمز

: مثال

:التالي المخطط لدينا كان إذا

b c d

a f e g

ان نجد :

deg(a)=2

deg(b)=deg(c) =deg(f)=4

deg(d)=1

deg(e)=3

deg(g)=0

.2ب�� العقدة درجة تزيد نفسها مع متصلة العقدة كانت مالحظة: إذا

: Handshaking Theorem نظرية

فإن وصلةe به موجهه غير مخططG= (V,E) مخطط لدينا كان إذا

2e=∑ deg (v)

v € V

كل ودرجة عقده10 به كان اذا مخطط في الوصالت عدد مثال: اوجد

؟6 تساوي العقد

2e = deg (v) = 6* 10 =60

e=30

B الموجهة: المخططات ثانيا

الوصالت ذوG المخطط في وصلة( u,v)كان : اذا العقد تجاور.3

u من االتجاه سهم كان اذاv للعقدة مجاورة uالعقد تكون الموجهه

النهائية. العقدةv و االبتدائية العقدةu وتسميv الي

علي الوصالت من نوعان الموجهه: هنالك المخطط في العقدة درجة.4

ايin degree درجتها وتسمي للعقدة داخله وصالت االتجاه حسب

من خارجة ووصالت-degب�� لها ويرمز للعقدة الداخلة الوصالت عدد


a b c

e d f


من الخارجة الوصالت عدد ايout degree درجتها تسمي العقدة

الي تشير العقدة كانت اذا مالحظة مع ، +degب�� لها ويرمز العقدة

. out degree وin degree لل� بواحد درجتها تزيد نفسها

التالي: المخطط في العقد درجة اوجدمثال:

Out degreeIn degree

deg +(a)=4deg

-(a)=2

deg +b)=1deg

-(b)=2

deg +(c)=2deg

-(c)=3

deg +(d)=2deg

-(d)=2

deg +(e)=2deg

-(e)=2

deg +(f)=0deg

-(f)=0

فان: موجهه وصالت له مخططG=(V,E) كان : اذا ( 2 نظرية)



Some Special Simple البسيطة الخاصة المخططات بعض

Graph :

الذي هو الكامل : المخططComplete Graphs الكاملة المخططات(1

مثل: العقد، من زوج كل بين فقط واحدة وصلة علي يحتوي

K5K4K3K2

●

K1

وهيn≤3 العقد كانت اذا دائرة يمثلC المخطط:Circuits الدوائر(2

v1,v2,v3…,vnكاالتي العقد تربط والوصالت {v1,v2),{v2,v3},{v3,v4)….

{vn-1,vn},{vn,v1}.

باالولي تتصل االخيرة والعقدة انقطاع بدون تليها بالتي ترتبط عقدة كل ان نجد

التالية: االشكال في كما الدائرة الكتمال

C6C5C4C3

ولكن الدوائر المخططات من خاص نوع وهي:Wheels العجالت(3

في كما العقد ببقية وتتصل الدائرة مركز في جديدة عقدة توجد

التالية: االشكال

W6W5W4W3



اذا مكعب يمثل فيكونQn مخطط لدينا كان : اذاCubes المكعبات(4

وتكون الثنائية االرقام تمثيل في ويستخدم2n يساوي عقده عدد كان

تمثلهم التي الثنائية االرقام سلسلة كان اذا متجاورتان العقدتان

التالية: االمثلة في كما مختلفة

Q3

10 11

00 01

Q2

0 1

Q1

: Graphs Models للمخططات مختلفة تطبيقات

وسوف والنماذج التطبيقات من مختلفة مجاالت في المخططات تستخدم

االتي: منها نذكر

: Acquaintanceship Graphs التعارف عالقات مخططات.1

المخططات استخدام يمكن

بين المختلفة العالقات لتمثيل

كان اذا ومعرفة االشخاص

بعضهما يعرفان شخصان هنالك

الحواف وتستخدم ال ام البعض

Undirected edgesالموجهه غير

كما التطبيقات من النوع لهذا


B C D E

A H I J F

L K

M

N P

:Influence Graph التأثير مخططات.2

ان نجد الدراسات بعض في

علي تؤثر مجموعة تصرفات

ونستخدم االخري المجموعات

Directed الموجهة المخططات

Graphالتاثيركما اتجاة لتوضيح

التالي: المثال في

A B

C D E





3.Round-Robin Tournaments

المخطط��ات تس��تخدم ان يمكن

في الف��رق بين المنافس��ة ل��ترتيب

اس��تخدام ويمكن معين��ة دورة

في كم��ا الموجه��ه المخطط��ات


T1 T2

T6

T3

T5 T4

:Calling Graph اًالتصال مخططات.4

لتمثيل المخططات استخدام يمكن

تلفونية كانت اذا االتصال شبكات

اذا وخصوصا الحاسوب اوشبكات

واسعة مساحة تغطي الشبكة كانت

الموجهه المخططات وتستخدم

من النوع هذا لتمثيل المتعددة

التالي: المثال يوضح كما التطبيقات

A

B C D

E F

G

Precedenceالمتوازية والمعالجات اًالسبقية مخططات.5

Graph & Concurrent processing:

المخططات استخدام يمكن

المتوازية والمعالجات االسبقيات

برامج تنفذ ان والمتسلسلة. يمكن

من ولكن بالتوازي الحاسوب

تعتمد جملة تنفيذ عدم الضروري

حيث تنفذ، لم جملة علي نتائجها

البرنامج من جملة عقدة كل تمثل

الجملة كانت اذا توضح وصلة وكل

اخري جملة علي تنفذها في تعتمد

التالي: المثال في كما

S1: a:=0S2: b:=1S3: c:=a+1S4: d:=b+aS5: e:=d+1S6:= f:=c + dS6 S5

S3 S4

S1 S2

المستوية: البيانات مخططات .6

اعادة يمكن التي المخططات وهي

في اي الوصالت تقاطع بازالة رسمها

اولر تجربة حسب وعلي مستوي، شكل

A B A 3 B


1 2


Euler يحقق مخطط كل ان وجد الذي

الي تحويله يمكنV-E+R=2 العالقة

Eو العقد هيV حيث مستوي، مخطط

المناطق. كما تمثلR الوصالت تمثل

·. ويمكن سيوضح رسم اعادة الحقا

التالي: المخطط

C D C 4 D

: Bipartite Graphs المخططات تقسيم

امكانية هي خاصة خاصية لها المخططات بعض أن األحيان بعض في نجد

كل ان بحيث منفصلتين مجموعتين اليvectors)روؤسها( عقدها تقسيم

في عقدة الي المجموعات احدي في وحيدة عقدة تربط وصلة

االخري. المجموعة

تقسيم امكن اذا للتقسيم قابل اوBipartite المخطط يسميتعريف:

تربط المخطط في وصلة كل ان بحيثV2 وV1 مجموعيتن اليV عقدة

.V2 في بعقدة V1في عقدة

امثلة:

A B

G C

F D

E

V1={a,b,d}, V2={c,e,f,g}

Complete Bipartite للمخططات الكامل التقسيم

Graphs

امكن اذا كامل تقسيمه يكون ان يمكن مخطط المخطط يكون

كل بين تربط وحيده وصلة وتوجدn,m مجموعتين الي العقد تقسيم

الثانية. المجموعة من بعقده االولي المجموعة من عقده

كامل: تقسيم تقسيمها يمكن التالية والمخططات


V1

v1v3v5

V2

v2v4v6


K2,6K3,5K3,3K2,3



المخططات من ًالنواع خاصة تطبيقات

: Local Area Network المحلية الشبكات

تربط وهي الحاسوب شبكات انواع من نوع هي المحلية الشبكات

الربط طريقة تمثيل ويمكن واحد مكان او مبني في الحاسوب اجهزة

ومنها:Topology تسمي اشكال بعدة

Star النجمي الشكل(1

Topology: يكون حيث

هو واحد مركز هنالك

بقية ربط عن المسؤل

الشبكة في االجهزة

ال� المخططات وتستخدم

bipartiteالنوع هذا لتمثيل

االتصال ويكونK1,n فيكون

في ،كما العقد بين مركزي


Ring الحلقي الشكل(2

Topologyيكون حيث

لشبكة في االجهزة ارتباط

ان اي دائري شكل في

فقط بعقدتين تتصل العقده

circuits الدوائر وتستخدم

موضح كما النوع، هذه لتمثيل


Hybrid الهجين التوصيل(3

Topology:من مزيج وهو

يوجد حيث السابقين النوعين

ال هذه ولكن مركزي جهاز

بين ما االتصال يمنع

تستخدم االطراف

لتمثيلWheels المخططات



الشكل في كما النوع، هذا

التالي:

New Graph from Old Graph:

بطريقتين: موجود مخطط من جديد مخطط علي الحصول يمكن

B من معين لجزء تحتاج الحاالت بعض الفرعي: في : المخططاوًال

عليه. الدراسات بعض اجراء او ما مشكلة لحل المخطط

مخطط ( هوG={V,E المخطط من الفرعي : المخططتعريف

H=(W,F)التالي: المثال في كما و حيث

Sub graphGraph

A

E B

C

A

E B

D C

لتجميع مختلفة طرق استخدام المخططات: يمكن تجميعثانيا:

العقد كل علي يحتوي الذي هو الجديد والمخطط اكثر او مخططتين

الوصالت. وكل المخططتين في

هوG2=(V2,E2) وG1=(V1,E1) بسيطين لمخططتين االتحادتعريف:

E1 Ụ تساوي ووصالتهV1 Ụ V2 المجموعة تساوي عقده جديد مخطط

E2الجديد المخطط ويعرف G1 Ụ G2التالي: المثال في كما




G1 Ụ G2

G2G1


: representing Graphs المخططات تمثيل

عقدد شكل في رسمها دون من المخططات لتمثيل طرق عدة هنالك

: وهي ووصالت

.lists القوائم استخدام.1

adjacency العقد تجاور لتوضيح المصفوفات استخدام.2

matrixes.

العقد علي الوصالت تأثير لتوضيح المصفوفات استخدام.3

Incidence matrixes.

:adjacency lists المتجاورة القوائم استخدام.1

عمودين من يتكون الجدول جدول. وهذا عن عبارة هي القائمة

العقد يمثل الثاني والعمود المخطط في العقد يمثل االوب العمود

التالية: االمثلة في كما تجاورها التي

1)

B

A C

E D

2 )

B

A C

E D





: adjacency matrixes المتجاورة المصفوفات.2

المخطط في العقد تجاور علي نعتمد التمثيل من النوع هذا في

تحددaij فأن الوصالت متعدد وغير بسيط المخطط كان واذا

التالية: بالعالقة

1 if {vi,vj} is on edges if Gaij=

0 otherwiseامثلة:

التالي: البيانات مخطط لتمثيل المتجاورة المصفوفة ( استخدم1

A B

C D

A B C D

A 0 1 1 1

B 1 0 1 0

C 1 1 0 0

D 0 0 0 0

تمثله التي المتجاورة المصفوفة كانت اذا البيانات مخطط ( صمم2

هي:

A B

D C

غير المخططات لتمثيل المتجاورة المصفوفات استخدام يمكن

المتعددة بالوصالت تسمح والتيundirected graph الموجهه

داخل 1 ب� تمثل فانها نفسها مع تتصل العقدة كانت والدوران. اذا

موضح الوصالت عدد يكون المتعددة الوصالت حالة وفي المصفوفة،

التالي: المثال في كما المصفوفة في


A B C D

A 0 1 1 0

B 1 0 0 1

C 1 0 0 1

D 0 1 1 0


A B

D C

A B C D

A 0 3 0 2

B 3 0 1 1

C 0 1 1 2

D 2 1 2 0

:Incidence matrixes التأثير مصفوفات

,v1 ان افرض موجه، غير مخطط وهوG={V,E} مخطط لدينا كان إذا

v2,v3…,vnالمخطط في عقد هي Gو e1,e2,e3,…,emفي وصالت هي

G، التأثير مصفوفة فإن M تتكون مصفوفة هي n X mحيث mij

التالية: العالقة تحقق

1 when edge j is incident with vi

mij= 0 otherwise

:Incidence matrixes باستخدام التالية المخططات : مثلمثال

1)

V1 V2 e6 V3

e1 e2 e3 e4 e5

V4 v5

e1 e2 e3 e4 e5 e6

v1 1 1 0 0 0 0

v2 0 0 1 1 0 1

v3 0 0 0 0 1 1

v4 1 0 1 0 0 0

v5 0 1 0 1 1 0

2)

e1 e2 V2 e4 V3

V1 e3

e7 e6 e5

V4 e8 V5

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8

v1 1 1 1 0 0 0 0 0

v2 0 1 1 1 0 1 1 0

v3 0 0 0 1 1 0 0 0

v4 0 0 0 0 0 0 1 1

v5 0 0 0 0 1 1 0 0



: Connectivity المخططات ربط

وتنتقل المخطط من بعقدة نبدأ بجيث الوصالت تسلسل هو المسار

كان اذا العقدة نفس او اخري بعقدة وتنهي المخطط في عبرالوصالت

f يوضح دائرة. والمسار المسار العقد. من زوج بين التنقل طريقة دائما

: تعريف

undirected graph موجهه غير مخططG و موجب صحيح عددn ان نفرض

e1,e وصلةnل� سلسلة هوG المخطط فيv اليu منn طوله الذي المسار

2,..,enحيث f(e1)=(x0,x1)و f(e2)=(x1,x2)و f(e3)=(x2,x3)و ... f(en)=(xn-

1,xn)حيث x0=uو xn=v.

اذا )اي العقدة نفس ونهايته بدايته اذاcircuit دائرة عن عبارة يكون والمسار

الصفر. من اكبر ( وطولهu=v كان

ان: نجد التالي المخطط مثال: من

a,d,c,f,eلوجود4 طوله مسار {

a,d{,}d,c{,}c,f{,}f,e}.

d,e,c,aوجود لعدم مسار يمثل ال

{e,c}.

b,c,f,e,b4 طولها دائرة يمثل.

a b c

d e f

: Euler path and circuits اولر ودوائر مسارات

f مخطط في الوصالت عبر التنقل يمكننا هل لنفس العودة ثم عقدة من ابتدأ

يحاول ما هذا فقط؟ واحدة مرة المخطط وصالت بكل التنقل عبر العقدة

عليه. االجابةEuler العالم

جسور مشكلة عن عبارة الواقع في والتي المشكلة تلك اولر العالم درس

التالي: الشكل في كما ما مدينه تربط

C

B


A

D


الشكل في كما متعدد مخطط الي السابق الشكل بتحويل اولر قام وقد

:التالي

C

A D

B



تحتوي بسيطة دائرة هيG مخطط فيEuler circuit اولر دائرةتعريف:

عقدة تفسها هي البداية عقدة تكون ان بشرطG في الوصالت كل علي

النهاية.

كل علي يحتوي بسيط مسار هيG مخطط فيEuler path اولر مسار

مختلفتان. والنهايه البداية عقدة تكون ان ويمكنG في الوصالت

مسار لها ليس منها واي اولر دائرة لها التالية المخطات من ايمثال:

اولر؟

A b

C d e

G3

a b

e

d c

G2

a b

e

d c

G1

.a,e,c,d,e,b,a به الن اولر دائرة : لهG1 المخطط

اولر. دائرة يمثل الG2,G3المخطط

.a,c,d,e,b,d,a,bوهو اولر مسار لهG3المخطط

مساراولر؟ له منها واي اولر دائرة لها التالية المخططات من ايمثال:

c d

a b

H2

H2اولر، دائرة له ليسH2هو مسار لها

c,a,b,c,d,b.

a b

d c

H1

H1اولر، دائرة له ليسH1لها ليس

اولر مسار

ولماذا؟ اولر دائرة او مسار التالي للمخطط هلتمرين:

a b

f g

c

e d

نظرية:



درجة لها فيه عقدة كل فقط كان دائرةاذا يمثل المتعدد المخطط.1

.even degree زوجية

له فقط كان اذا اولر دائرة وليس اولر مسار يمثل المتعدد المخطط.2

.odd degree فردية درجة لهم فقط عقدتين

: Planar graph المستوية المخططات

وصالته؟ بين تقاطع وجود عدم شكل في المخطط رسم اعادة يمكن هل

.planar graph يسمي ما وهذا

رسمه اعاده امكن اذامستوي( )مخططplanar المخطط : يسميتعريف

التالية: االشكال في كما متقاطعة وصالت بدون

K4 without cross edgesK4

C

Q3 without cross edgesQ3

: Euler Formula اولر صيغة

هوr ان ونفرضe وووصالتVعقد له مخططG ان نفرضنظرية:

r=e-v+2 العالقة يحقق المخطط كان اذا يقول اولر وقانون المنطاق عدد

بين تقاطع وجود بدون رسمه اعاده يمكن مخطط ايplanar Graph فانه

وصالته.

يضاف المخطط ومناطق بوصالت محاط جزء كل هي المنطقةتعريف:

الخارجية. الحرة المنطقة اليها

مثال:



المناطق عدد كم3 درجتها عقده وكل عقدة20 له مخطط لدينا كان اذا

.planar انه لتوضيح المخطط هذا لها يقسم ان يجب التي

2e = =3 * 20 =60

e= 30

R = e- v + 2

=30 – 20 + 2

منطقة 12=



:Short Path Problem مسار اقصر مشاكل

اوزان لها التي المخططات باستخدام تحل ان يمكن كثيرة مشاكل توجد

تميز ارقام لها التي الوصالت. المخططات تلك قيمة تحدد قيم او لوصالتها

شبكات نمذجة في وتستخدم االوزان ذات المخططات تسمي وصلة كل

في عقدتين بين يربط مسار اقصر ايجاد المشاكل تلك اهم ،ومن الحاسب

شبكة.

باستخدام نمذجته ونريد الطيران خطوط نظام لدينا كان اذامثال:

وصالت بواسطة والرحالت عقد بواسطه المدن نمثل حيث المخططات

كاالتي: قيم لها الوصالت تكون ان ويمكن

طيران. وقت اقل وايجاد الرحالت اوقات لتحديد الطيران وقت.1

بين مسافة اقصر وايجاد المدن بين المسافات لتحديد المسافات.2

مدنتين.

سعر. اقل وايجاد التذاكر اسعار لتحديد االسعار.3


B 4:05,2534,$129

2:55,1855,$99 E

1:15,349,$39 2:20,957,$89 2:10,860,$79 0:50,191,$39

C 2:10,908,$69 D 1:50,722,$39 F

2:00,834,$89 3:50,2451,$19 1:55,760,$79

A 1:40,606,$99 2:45,1090,$99

G 1:30,595,$69 H

Weighted Graph Modeling an Airline System

الوصالت ذات المخططات باستخدام تحل التي المشاكل

وزن: لها التي

وايجاد والمسافة االستجابة وزمن لتكلفة لحساب الشبكات تطبيقات(1

مسافة. واقصر استجابة زمن واقصر تكلفة اقل

بين االقل الطول ذو المسار وهو عقدتبن بين مسار اقصر ايجاد(2

عقدتين.

كل لزيارة طول االقصر ذات )الدائرة المبيعات مندوب مشكلة(3

للمخطط(. العقد



Short Path Algorithm مسار اقصر خوارزمية

اليجاد خوارزمية نستخدم سوف ولكننا بالبحث مسار اقصر ايجاد يمكن

امثلة: باستخدام نوضح اوال مسار اقصر

؟z وa بين مسار اقصر اوجد التالي المخطط لدينا كان اذامثال:

الي والثانيbالي احدهم مسارينaمن نجد.1d2هو مسار واقصر:

.a الي عقدة اقربd ان يعطي وهذا العقد كل الي ننظر التالية االقرب العقدة اليجاد.2

مسارين: هنالك ان ونجدe وb وهي التاليةالي االول bوهو a,b4 طوله.والثاني eوهو a,d,e5 وطوله.

.b هي اًالقرب العقدة اذن لدينا ان نجد التالية االقرب العقدة اليجاد.3

مسارين:الي االول cوهو a,b,c7 وطوله.الي والثاني Zوهو a,d,e,z6 وطوله.

الثالثة اًالقرب النقطة هيz وتكون.a,d,e,z وهو6 طوله لها مسار واقصر

b 3 c

4 2

3

a z

2 1

d 3 e

؟ f و I بين مسار اقصر اوجد التالي المخطط لدينا كان اذا تمرين

G 2 F

4 2

A 5 E

5 4 3 2 3

H 3 I 2 2 D



مسار: اقصر ًاليجادdijkstra جيكترا خوارزمية

Procedure dijkstra's (G:weighted connected simple graph, with all weights positive){G has vertices a=v0,v1,..vn=z and weights w(vi,vj) where w(vi,vi)= ∞ if {vi,vj} is not an edge in G}For i :=1 to n

L(vi):= ∞L(a) := 0S:= ф

While z sBegin

u := a vertex not in S with L(u) minimalS := S U {u}For all vertices v not in S

If L(u) +w(u,v) < L(v) then L(v) := L(u) + w(u,v){this adds a vertex to S with minimal label and update the labels of vertices not in S}End{L(z):=length of shortest path from a to z}



Trees اًالشجار

مقدمة:

متجه غير مرتبط مخطط وهي المخططات، من معين نوع هي االشجار

.دوائر اي به وليس

a tree is a connected undirected graph with no simple circuits.

اي بين بسيط مسار هنالك فقط كان اذا شجرة يكون الموجهه غير المخطط

التالية: باالمثلة موضح . كماعقدتين

G3 is not tree ,

we find E,B,A,D,E

A B

C D

E F

G2 is a tree

A B

C D

E F

G1 is a tree

A B

C D

E F

ان مميزاتها اهم ومن شجرة هيRooted tree الجذرية الشجرةتعريف:

االشجارا تعرف ان ويكن الجذر وتسمي واحدة عقدة من تخرج العقد جميع

تحويل الجذرية.ويمكن الشجرة هنا نستعمل الذاتي. سوف بالتكرار لجذرية

خيارات اختيار ان مالحظة مع جذرية شجرة الي جذرية الغير الشجرة

مختلفة. جذرية اشجار يعطي للجذر مختلفة

مثال:

اًالشجار: مصطلحات

اخري. لعقد وصالت لها يكون التي العقدة : هيparent االب(1

.parent لها التي العقدة : هيchild االبن(2

ابناء. لها ليس التي العقده : هيleaf االوراق(3

معينة عقدة : مستويlevel of the tree point الشجرة نقاط مستوي(4

الي الجذر من تنقلنا التي المباشرة المسارات عدد هو الشجرة في



اي ومستوي ، صفر يساوي الجذر مستوي ان مالحظة مع النقطة تلك

التالي: الشكل في . كما1+ السابقة العقدة = مستوي عقدة

0 مستوي

1 مستوي

2 مستوي

3 مستوي

شرط مع المعطاه الشجرة من جزء : هيsub tree الفرعية الشجر(5

التالي: الشكل في كما االوراق بعض علي تحتوي وقد جذر وجود

في نقطة اي : درجةthe degree of tree points الشجرة نقاط درجة(6

النقطة: تلك من الخارجة الوصالت عدد هي الشجرة

الشجرة عقد درجة مثال: اوجد

التالية:

Deg(A)=2

Deg(B)=1

Deg(C) =2

Deg(D)=deg(E)=0

deg(F)=1

deg(G)=0


A

B C

D FE

G

C

FE

G

F

G


درجات بين درجة اعلي : هيthe degree of the tree الشجرة درجة(7

.2السابقة= الشجرة للشجرة.درجة المكونه العقد

بين من مستوي اعلي : هوthe height of the tree الشجرة ارتفاع(8

.2= السابقة الشجرة للشجرة. ارتفاع المكونة العقد مستويات

Heg(T)=3.

الذي الهيكل فان جذرها وحذفنا شجرة اي اخذنا :اذاThe forest الغابة(9

التالي: الشكل في الغابة. كما يسمي عليه نحصل

النقاط الي نتقل ( ثم1) الرقم الجذر الشجرة:نعطي عقد ترقيم(10

حيث اليسار اقصي الواقعة النقطة من ابتداءf تماما الجذر تحت الواقعة

(3) الرقم اليمين جهة من المجاورة العقدة ( وتعطي2الرقم) تعطي

وهكذا.


B C

D FE

G

1

2 3

4 65

7




: Tree As Modelsكنماذج اًالشجار

في كما النبات وعلم والكيمياء الحاسوب كعلوم المجاالت من كثير في االشجار تستخدم

التالية: االمثلة

االشجار الكيمياء: تستخدم علم.1

مثال العضوية المركبات تمثيل في

الكربون يمثل حيث البيوتان

في كما بالهيدروجين محاط

ذرة كل حيث التالي، الشكل

وكل4 درجتها بعقدة تمثل كربون

درجتها. كما بعقدة هيدروجين ذرة


H

H C H

H C H

H C H

H C H

H

يمثل ان االدراي: يمكن الهيكل.2

الهيكل او االدراي الهيكل

حيث جذرية بشجرة الموسسي

االدراي الهرم قمة الجذر يمثل

وهم لالوراق يص ان الي ويتدرج

ادرات لهم ليس الذين االدرايين

التالي: الشكل كمافي تحتهم

الحاسوب: في الملفات نظام.3

الحاسوب داخل الملفات تنظم

ويمكنdirectories ادلة داخل

ادلة او ملفات يحتوي ان للدليل

الدليل يمثل حيث ، اخري

الجذر الرئيسي او االساسي

العقد هي الفرعية واالدلة

االوراق الملفات وتمثل الداخلية

فرعية ادله لها ليس التي االدلة او



المدير


وبالعكس: الرياضية المفاهيم باستخدام اًالشجار عن التعبير

مخططات باستخدام االشجار تمثل ان : يمكن Vennفين مخططات.1

التالي: المثال في : كماset المجموعات في كما فين

كما االشجار عن للتعبير االقواس استخدام المتداخلة: يمكن االقواس.2

التالي: المثال في

( A ( B ( E ( K , L ) , F ) , C ( G ), D ( H ( M ) , I , J )

باستخدام الشجرة عن نعبر ان والسجالت: يمكن الملفات مفهموم.3

بعنوان الشجرة جذر عن نعبر حيث والملفات السجالت مفهوم

سجالت: كما او فرعية بعناوين النقاط وبقية رئيسي ملف او رئيسي


01 A02 B

03 E04 K04 L

03 F02 C

03 G02 D

03 H04 M

03 I03 L

اسم يمثل االشجار: حيث باستخدام المصفوفة عناصر تمثيل.4

المستوي في والقيم االول المستوي في والصفوف الجذر المصفوفة

الشكل: في كما االخير



a11 a12

A = a21 a22

a31 a32



والقوائم: المصفوفات باسخدام الشجرة نقاط تمثيل

الشجرة: تمثل المرفقة القائمة ، التالية الشجرة لدينا ان مثال: نفرض

Index NodeLeft child

IndexRight child

index

1 A B 2 C 32 B D 4 E 53 C F 6 G 74 D - - - -5 E H 8 - -6 F I 9 J 107 G - - - -8 H - - - -9 I - - - -10 J - - - -



: اًالشجار تطبيقات

.Binary Search Trees الثنائية البحث اشجار.1

.Decision Trees القرار اشجار.2

.Games Trees االلعاب اشجار.3

:Binary Search Trees الثنائية البحث اشجار

عنصر عن البحث الحاسوب علوم في ظهرت التي المهمة االهداف احد من

تجد التي البحث خوارزميات تطبيق هو االساسي قائمة. والهدف ضمن

باستخدام ينجز ان يمكن وهذا مرتبة، العناصر تكون عندما بكفأه العنصر

علي فيها عقده لكل يكون شجرة هي الثنائية البحث الثنائية. وشجرة البحث

f. ثنائية شجرة تمثل فرعية عقدة وكل فرعيتنا عقدتنان االكثر ايضا

:Ordered Binary Tree المرتبة الثنائية الشجرة

او االعداد من ضمن بيانات ترتيب طرق من كطريقة الشجرة هذه تستخدم

ال اليسار اقصي من الشجرة لنقاط مسح اجرينا لو لننا بحيث الحروف

f مرتبة بيانات قائمة علي نحصل اليمين اقصي f. ترتيبا تصاعديا

التالية: الشروط فيها تحققت اذا مرتبة الثنائية الشجرة تكون

عقد من عقدة الي اليمني العقد علي الحرفية( الدالة )او العددية القيمة.1

الجذر علي الدالة )الحرفية( للعقدة العددية القيمة من اكبر الشجرة

root.

عقد من عقدة الي االيسر العقد علي الحرفية( الدالة )او العددية القيمة.2

الجذر علي الدالة )الحرفية( للعقدة العددية القيمة من اصغر الشجرة

root.

مرتبة: ثنائية شجرة تمثل التالية مثال: الشجرة

10،30،60،70،80،100،120،200،300 المسح بعد القيم

الثنائية: البحث شجرة لبناء خوارزمية

وه��و القائم��ة في موج��ود عنص��ر اول من نب��داء اوال مرتبة ثنائية شجرة لبناء

نق�ارن جدي�د عنص�ر او جدي�دة عق�دة الجذر،الضافة وهي البداية عقدة يمثل

نض�يف منه�ا اص�غر كان فعال( اذا الموجودة )القيمة بالجذر العنصر هذا قيمة



نس��تمر وهك��ذا الج��ذر يمين نضيفه اكبر كان واذا الجذر يسار الجديد العنصر

f. الموجودة للقيم مقارنة قيمتها حسب علي ونضيفها العناصر لبقية مسبقا



,math, physics, geography التالية العناصر تمثل ثنائية شجرة مثال: لبناء

zoology, geology, and chemistryاالبجدي. الترتيب نستخدم سوف

:Decision Trees القرار اشجار

من سلسلة لها التي المشاكل لحل االشجارالجذرية استخدام يمكن

البحث شجرة استخدام ويمكن الحل، الي تقود التي الخيارات او المقارنات

مقارنه كل حيث المقارنات، من سلسلة حسب علي عناصر اليجاد الثنائية

الفرعية. الشجرة لالشجار يسارا او يمينا اونذهب العنصر وجدنا اذا تخبرنا

لكل فرعية شجرة مع قرار تمثل داخلية عقدة كل ان نجد حيث الجذرية

هي للمشكلة الممكنة . والححلول للقرار متوقع مخرج لكل الععقد

يمثل حيث التالي الشكل في كما الشجرة، لتلك االوراق الي المسارات

ارقام. ثالث ترتيب كيفية

Decision tree for sorting three elements



:Traversal Binary Tree الثنائية الشجرة نقاط مسح

في المسح الي ونحتاج الشجرة عقد كل زيارة او عبور هي المسح عملية

التالية: العمليات

معين عنصر عن البحث عملية.1

الثنائية. للجرة اضافةعنصر عملية.2

بالشجرة. موجود عنصر خذف عملية.3

الخطية. تعتبر الشجرة الن السهل باالمر لس الشجرة نقاط مسح عملية

والفرعL بالرمز االيسر للفرعN بالرمز للجذر نرمز الشجرة نقاط لمسح

. R بالرمز االيمن

وهي: طرق ثالث الشجرة لمسح المستخدمة الطرق اهم من

:preorder transversal السابق بالترتيب المسح(2

:in order traversal البيني بالترتيب المسح(3

.post order traversal الالحق بالترتيب المسح(4

السابق: الترتيب المسح خوارزمية

.N اوال الجذر بمعالجة نبداء.1

.L اليسري الفرعية الشجرة الي الذهاب.2

.R اليمني الفرعية الشجرة الي الذهاب.3

f. وتسمي الفرعية لالشجار الخوارزمية تطبيق مع .NLR الطريقة هذا ايضا

التالية: الشجرة لدينا كان اذامثال:

ب المسح بعد الشجرة نقاط ان نجد

NLRكاالتي: تكون

A B C D H I J K L M N

: البيني الترتيب المسح خوارزمية

L.f اليسري الفرعية الشجرة الي بالذهاب نبداء.1 اوال

.N الجذر ثم.2

.R اليمني الفرعية الشجرة الي الذهاب.3

f. وتسمي الفرعية لالشجار الخوارزمية تطبيق مع .LNR الطريقة هذا ايضا

السابقة: الشجرة لدينا كان اذامثال:



C B D A J I Kكاالتي: تكونLNR ب المسح بعد الشجرة نقاط ان نجد

H M L N

: الالحق الترتيب المسح خوارزمية

L.f اليسري الفرعية الشجرة الي بالذهاب نبداء.1 اوال

.R اليمني الفرعية الشجرة الي الذهاب ثم.2

3.f .N الجذر واخيرا

f. وتسمي الفرعية لالشجار الخوارزمية تطبيق مع .LRN الطريقة هذا ايضا

السابقة: الشجرة لدينا كان اذامثال:

C D B J K I Mكاالتي: تكونLRN ب المسح بعد الشجرة نقاط ان نجد

N L H A

باًالشجار: الحسابية التعابير تمثيل

دراسة عند اساسا يعتبر االشجار باستخدام الحسابية التعابير تمثيل ان

البرمجيات انظمة ودراسة خاصة بصورة والمفسرات المترجمات تصميم

الحسابي التعبير بعوامل خاصة نقاط هنالك تكون عامة. حيث بصورة

الحسابي التعبير بقيم خاصة ونقاطOperator points العوامل نقاط تسمي

.value points القيم نقاط وتسمي

الشجرة تكون( 4-7(* )5+3) التالي الحسابي التعبير لدينا كان مثال: اذا

كاالتي: تمثله التي


Documents

Discrete Math