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Apuntes sobre control robusto y multiobjetivos
de sistemas
Williams Colmenares M.
Universidad Simon Bolıvar
Departamento de Procesos y Sistemas
Fernando Tadeo R.
Universidad de Valladolid
Departamento de Ingenierıa de Sistemas y Automatica
A Teresa y Hugo
A Luisa Elena, Luis Carlos, Bruno, Daniel e Isabella
Indice general
I. Analisis de sistemas con multiples objetivos 1
I.1. Controladores multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2. Sobre la norma de senales y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.3. Evaluacion de las normas 2 e infinito de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.4. Desigualdades matriciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.5. Estabilidad robusta y desempeno nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II. Analisis y sıntesis de controladores para sistemas con saturaciones 33
II.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.2. Especificaciones de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.3. Analisis `1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.4. Estabilidad robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.5. Solucion mediante programacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.6. Control de un reformador de hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.7. Metodo de calculo basado en LMIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52II.8. Resumen del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III. Sıntesis de controladores mediante programacion semidefinida 57
III.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.2.Estabilidad cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.3.Sistemas con incertidumbre acotada en norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60III.4.Sistemas poliedricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63III.5.Condiciones menos conservadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65III.6.Diseno por realimentacion de la salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III.7.Sistemas ciertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III.8.Sistemas con incertidumbre acotada en norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71III.9.Sistemas con incertidumbre poliedrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
IV.Sintonizacion robusta de controladores industriales 91
IV.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91IV.2.Los algoritmos PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92IV.3.PID vıa LMIs iterativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92IV.4.El algoritmo ILMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93IV.5.Comparacion de tecnicas de entonacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95IV.6.Enfoque frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
i
A. Factorizacion coprima 103
A.1. Factorizacion coprima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.2. Parametrizacion de Youla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
ii
Presentacion
Este libro trata sobre programacion convexa aplicada al control. En particular, de la programacion lineal yla semidefinida. Recientes desarrollos han despertado mucho interes en este campo, y entre ellos mencionamoslos asociados con la teorıa de control robusto y los metodos numericos de puntos interiores. La primera permiteestudiar en un marco unificado la incertidumbre sobre el sistema y sobre las perturbaciones externas. Los segundospermiten resolver de manera muy eficiente problemas convexos. Ademas, y esperamos convencer de ello al lectorque con paciencia avance por el libro, es muy grande el campo de las aplicaciones de la programacion convexaen el control.
En estos apuntes nos concentramos en el diseno de sistemas de control para sistemas lineales invariantes en eltiempo, a los que imponemos multiples objetivos en el desempeno del lazo –cerrado– de control (e.g., estabilidad,rapidez, atenuacion, sensibilidad). De particular interes son aquellos sistemas en los que la incertidumbre en elmodelo o las perturbaciones externas son de tal magnitud que deben tenerse en consideracion explıcitamente.Ası, en este trabajo analizamos sistemas con incertidumbre surgida de imperfecciones del modelo, tıpicamenterepresentada por una funcion de transferencia que afecta globalmente al sistema en estudio. Ademas, analizamosincertidumbre asociada con los parametros y de muy alta estructura. En cuanto a las perturbaciones, al contrariodel enfoque tradicional que presupone la forma y solo desconoce el momento en la que afectara al sistema,unicamente asumiremos conocida alguna cota superior (e inferior si es el caso) de ella (e.g., energıa, amplitud,ruido blanco).
En el caso de sistemas inciertos, estudiamos sistemas con incertidumbre acotada en norma y con incertidumbrepoliedrica. Ambos tipos con implicaciones practicas importantes. El enfoque de partida es el cuadratico, esto es,siempre buscamos una funcion de Lyapunov comun a todos los modelos que pueda tener un sistema. Desde elenfoque cuadratico, se derivan condiciones mucho menos conservadoras al encontrar ya no una sino diferentesfunciones de Lyapunov. Ambos enfoques se basan en una representacion del sistema en variables de estado. Estopone al alcance del disenador herramientas sumamente poderosas de analisis y sıntesis de compensadores. Ventajaadicional de este marco (variables de estado) es que no se hace ninguna distincion en el tratamiento de sistemasMIMO o SISO.
En esa parte del trabajo (sistemas con incertidumbre) revisamos una serie de resultados de la ahora muyconocida teorıa del control robusto y ponemos enfasis en un enfoque integrador de la misma. Uno de los aportesde este trabajo es sin duda la solucion ofrecida al diseno con objetivos multiples cuando no todos los estadosestan disponibles y solamente una parte de ellos puede retroalimentarse, usandose para control. Todos nuestrosaportes estan basados en el diseno de un controlador dinamico.
Tanto en el tratamiento de la incertidumbre como en el caso de las perturbaciones, el logro de los objetivos de
control se evalua a traves de la “norma” de una funcion de transferencia. Observe que hasta aca no hemos hechoninguna distincion entre sistemas continuos y discretos; la razon es que, en general, se desarrollaran resultadospara ambos tipos de sistemas con el enfoque propuesto (normas). Notable excepcion es la norma `1 cuyo ambitobasicamente son los sistemas discretos y a cuyo estudio dedicamos un capıtulo entero. A traves de esta norma,se resuelve el problema de control robusto en el que la incertidumbre se describe en terminos de magnitud.
Las herramientas fundamentales de desarrollo son las desigualdades matriciales lineales, que se obtienen deuna aplicacion de la formula del complemento de Schur. Con ellas se puede formular una serie importante deproblemas como uno de programacion convexa. De esta manera, problemas del ambito de H∞, H2, `1, ubicacionde polos en regiones, pasividad y otro buen numero, encuentran un marco comun de planteamiento. De allı que,en ocasiones, hablemos de “diseno multiobjetivos de sistemas”, ya que especificar condiciones de desempeno deltipo antes mencionado significa sumar (en realidad intersectar) colecciones de desigualdades matriciales linealesen busqueda de un punto factible: el controlador.
Tambien importante, en este trabajo proponemos un par de enfoques para entonar controladores industrialescon estructura estandar, siempre en el ambito de la programacion convexa.
El objetivo del libro es poner al alcance del lector conocimiento y tecnicas de la programacion lineal y semidefi-nida que se aplican al analisis y diseno de sistemas de control. Como la lista de aplicaciones es extensa, en muchoscasos hacemos demostracion rigurosa de algunos resultados y dejamos al lector el desarrollo de la extension aotros casos; por ejemplo, se demuestra estabilidad y se deja para el lector las demostraciones de ubicacion depolos, H2, etc.
El libro esta originalmente pensado para cursos electivos de pre y postgrado en sistemas de control, especıfica-mente sobre aplicaciones de la programacion convexa o de metodos numericos en control. Tambien puede usarseen cursos basicos de sistemas de control, como complemento a las muy conocidas tecnicas analıticas de diseno decontroladores, en cursos de sistemas multivariables y de control robusto.
En el capıtulo I se sientan las bases teoricas que justifican los resultados presentados en los capıtulos subsi-guientes. En el capıtulo II se presentan aplicaciones de la programacion lineal al calculo de controladores conrestricciones de saturacion, basadas en la norma `1. En el capıtulo III se presentan algunas aplicaciones de laprogramacion semidefinida al calculo de controladores H∞, H2 y ubicacion de polos. En el capıtulo IV se presen-tan algunas aplicaciones especıficas al calculo de controladores tipo proporcional, integral y derivativo, ello porlo extendido del uso de este tipo de controladores. Los capıtulos II, III y IV son independientes y, completado elestudio del capıtulo I, el lector interesado puede ir directamente a cualquiera de ellos.
Este libro es fruto de la intensa cooperacion cientıfica que hemos sostenido entre la Universidad Simon Bolıvaren Caracas, la Universidad de Valladolid en Valladolid y el Laboratoire d’Analyses et Architecture des Systemes(LAAS) en Toulouse. En particular, los autores desean expresar su agradecimiento a los colegas Ernesto Granado,Omar Perez, Jacques Bernussou, Cesar de Prada, Francisco del Valle, Maite Urıa y Rosalba Lamanna. A la jefade Produccion de la Editorial Equinoccio, Margarita Oviedo, por su desprendido apoyo y a Jose Manuel Guilartepor su paciente correccion del estilo del libro. Igualmente, agradecemos a las instituciones que hicieron posible esacooperacion, a saber, los programas CYTED-RIII, PCP Automatique, PCP Optimizacion de Sistemas y FEDER.A las instituciones CICYT y al FONACIT. Finalmente, agradecemos el financiamiento de la publicacion querealiza el Ministerio de Educacion y Ciencia Espanol, a traves del proyecto CICYT DPI2004-07444-C04-02, y ala Universidad Simon Bolıvar, a traves de la Editorial Equinoccio y de la Direccion de Cultura.
Williams Colmenares, en Caracas, y Fernando Tadeo, en Valladolid
iv
CAPITULO I
Analisis de sistemas con multiples objetivos
I.1. Controladores multiobjetivo
El diseno de estrategias de control que aseguren un numero de objetivos (especificaciones) en un lazo de controlha sido objeto de intensa investigacion y estudio, pasando en los ultimos 50 anos de ser un campo intuitivo yde sentido comun (“de ingenio”) [Cor96], [AH95], a uno riguroso y formal en el que matematicos e ingenierosencuentran tierra fertil.
Dentro de las disciplinas que conforman los sistemas de control, el estudio de los sistemas lineales invariantes enel tiempo ha conocido enormes avances y cambios en los paradigmas de su estudio, en parte por su simplicidad ypropiedades que permiten la aplicacion de poderosas herramientas matematicas y en parte porque esos resultadospueden ser aplicados a un importante numero de sistemas, incluyendo algunos muy complejos (e.g., multimodelos[CGP98], no lineales [BA95], etc).
De esta manera, el diseno de controladores para sistemas lineales ha evolucionado desde reglas muy simples desintonizacion [ZN42], ajustes de margen de fase y de ganancia [Kuo95], [PH96], diseno basado en representacionesde estado como ubicacion de polos [PH96], control optimo, [AM89], LQG/LTR [DS81], diseno basado en el margendel modulo (u operador diferencia de retorno) [DFT92], basado en los valores singulares y control robusto [San89],[MZ89], [DGK89], llegando hasta los paradigmas basados en la manipulacion de normas (de senales o de sistemas)y dentro de los que podemos mencionar H∞, H2, L1, `1. Este enfoque se ve fortalecido con la posibilidad deubicar los modos de un sistema, no en puntos exactos del plano “s”, sino mas bien en regiones del mismo (tecnicasdenominadas de root clustering) y a lo que tambien denominaremos ubicacion de polos [CGP96].
Todo ello encuentra ademas un medio integrado de formulacion en las desigualdades matriciales lineales (LMIs)[Boy94] que surgen de la formula del complemento de Schur, esto es, los problemas antes mencionados puedenformularse como un conjunto de esas desigualdades (LMIs).
Si, como demostraremos, los controladores H2 aseguran un buen rechazo al ruido y los controladores H∞funcionan bien, aun en presencia de incertidumbre asociada con dinamicas no modeladas y reflejadas sobre todoen altas frecuencias o en presencia de perturbaciones no conocidas pero acotadas en energıa, y si el agrupamientode polos permite especificar algunas caracterısticas de la respuesta temporal del sistema, entonces entenderemos
como “el diseno de controladores multiobjetivos” se refiere a una estrategia de control que permite, de maneraexplıcita, establecer todas (o algunas) de esas especificaciones —antes mencionadas— en el calculo del contro-lador. Observe que la lista de especificaciones no es agotadora y que, adicionalmente, pueden incluirse otrasespecificaciones como cero error en estado estacionario (offset), estructura del controlador, etc., aunque ya nocomo LMIs y de allı que su inclusion conlleve un tratamiento especial en cada caso.
Adicionalmente, bajo el mismo enfoque puede considerarse incertidumbre parametrica en el modelo, esto es,incertidumbre en bajas frecuencias normalmente asociada con variacion —o desconocimiento— en los parametrosdel modelo.
En este texto nos proponemos presentar una vision integrada del diseno de controladores multiobjetivo, conparticular enfasis en los casos en los que aparece incertidumbre parametrica en los sistemas. Aunque la aplicaciona sistemas perfectamente conocidos tiene no poca importancia, la extension a ese tipo de sistemas ciertos, enla mayorıa de los casos, es inmediata y hace del enfoque una herramienta aun mas poderosa para el diseno decontroladores.
En este trabajo entenderemos como controlador multiobjetivos a aquel que satisface simultaneamente ciertoscriterios de desempeno (performance/prestacion) medidos a traves de:
la norma H2
la norma H∞
la ubicacion de polos
la norma `1.
Sin embargo, aun no hemos definido formalmente tales elementos de medida, de allı que este primer capıtulolo consagremos a sentar las bases de tal meta, es decir, las definiciones y demostraciones que luego seran usadasen todo el resto del trabajo.
Cuando nos referimos a una representacion de estados, lo hacemos con respecto a un sistema como el descritoen (I.1), basado en una representacion en variables de estado de un sistema (LTI), que en su forma generica es:
x(t) = Ax(t) +Bu(t) +B1w(t)y(t) = Cx(t) +Dw(t)z(t) = C1x(t) +D1u(t)
(I.1)
donde x(t) ∈ IRn es el vector de estados, u(t) ∈ IRm es el vector de control, w(t) ∈ IRnw es el vector deperturbaciones externas, y(t) ∈ IRp es el vector de salidas medibles y z(t) ∈ IRnz es el vector de salidas acontrolar. Las matrices A,B,B1, C, C1, D,D1 son matrices reales de dimensiones apropiadas que pueden o no sermatrices constantes.
I.2. Sobre la norma de senales y sistemas
Las normas son operaciones matematicas (funciones) realizadas sobre un operando (un vector, una matriz, unasenal, un sistema, etc.) que nos permiten compararla con sus similares (otro vector, matriz, etc.). En ese sentido,son metricas (medidas) que dan informacion sobre el tamano del elemento al cual se le aplica la norma.
De particular interes para este texto son las normas de senales y sistemas. Para facilitar la presentacion de lasnormas que usaremos de senales y sistemas, comenzamos con las de vectores y matrices.
2
Normas de vectores y matrices
Sea Cn el espacio lineal de los numeros complejos de dimension n. Diremos x ∈ Cn implicando:
x = (x1, x2, . . . , xn) con xi ∈ C.
Las normas mas comunes en Cn estan dadas por:
‖x‖p4= (|x1|p + |x2|p + . . .+ |xn|p)1/p p = 1, 2,∞
donde |xi| es la magnitud de xi y ‖x‖∞ se interpreta como:
maxi|xi|.
La norma ‖x‖2, cuando x ∈ IRn, es simplemente la longitud euclideana del vector x.
Sea ahora Cn×n, el espacio de matrices en n × n con elementos en C. Normas comunes de A ∈ Cn×n son(i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n):
‖A‖1 = maxj
n∑
i=1
|aij |
‖A‖∞ = maxi
n∑
j=1
|aij |
y la norma espectral‖A‖2 = max
iσi(A) = σ(A)
donde σi(A) es el valor singular i-esimo de A, que se calcula de la forma:
σi(A) =√
λi(AHA)
y AH es el conjugado hermitiano de A –transpuesto mas complejo conjugado de la matriz–. Podemos observarque, de acuerdo con la definicion, todos los valores singulares son numeros reales.
Normas de senales y sistemas
Sea Y (s) una funcion de C→ Cn y sea Ln2 el conjunto de todas las funciones de dimension n para las que lasiguiente cantidad es finita:
‖Y (s)‖24=
[1
2π
∫ ∞
−∞
Y (jω)HY (jω)dω
]1/2
. (I.2)
(I.2) define la norma-2 de la funcion Y (s). Para el caso en el que Y (s) no tenga polos en el semiplano derecho(cerrado), el teorema de Parseval nos da el equivalente en el dominio del tiempo de esa norma.
Para ello, sea Y (s) la transformada de Laplace de y(t). Entonces se cumple que:
‖Y (s)‖2 = ‖y(t)‖2 =
[∫ ∞
0
y(t)T y(t)dt
]1/2
.
En el caso de que el sistema Y (s) sea una matriz de sistemas (funciones) de dimensiones m× n se tiene que:
‖Y (s)‖24=
[1
2π
∫ ∞
−∞
Tr[Y (jω)HY (jω)
]dω
]1/2
.
3
Observe que Y H(jω) = Y (−jω)T . Si Y (s) ∈ Lm×n2 entonces
‖Y (s)‖∞4= sup
ωσ(Y (jω)) (I.3)
donde σ es el valor singular maximo, esto es:
σ(Y (jω)) = maxi
√
λi(Y (jω)HY (jω)).
El siguiente teorema establece que la norma infinita es la norma inducida de la norma 2.
Teorema I.1 ([MZ89] y [San89]) Sea el sistema (I.1) en el que la perturbacion –w(t)– es cero y sean Y (s)y U(s) las transformadas de y(t) y u(t). Sabemos que Y (s) = G(s)U(s), con, G(s) = C(sI − A)−1B y g(t) latransformada inversa de G(s). Consideremos igualmente que deseamos conocer la cota mınima superior de lasalida cuando ‖u‖2 ≤ 1. Entonces:
‖G(s)‖∞ = sup‖u(t)‖2≤1
‖y(t)‖2. (I.4)
‖G(s)‖2 = sup‖u(t)‖2≤1
‖y(t)‖∞. (I.5)
La demostracion de este teorema puede encontrarse en las referencias mencionadas en el enunciado y se basa enel hecho de que el lado izquierdo de (I.4) y (I.5) en general sobreestima las normas ‖y(t)‖2 y ‖y(t)‖∞, pero si nohay restriccion en la senal de control u(t) salvo la de su cota en la norma 2, siempre puede construirse una senalu(t) ∈ Lm2 (de hecho, para el caso de la norma infinito, escogiendo u(t) como una sinusoide cuyo espectro seandos pulsos centrados en −ω0 y ω0, la frecuencia de la norma infinito, de ancho 2ε y altura
√
π/2ε y en el casode la norma 2, como g(−t)/‖G‖2) tal que esa cota superior sea alcanzada.
Observacion I.1 Observe que (I.4) puede interpretarse como que la norma infinita y dos de la funcion detransferencia entre “u(t)” y “y(t)” en el sistema (I.1) da la maxima amplificacion de la energıa de la senal deentrada u(t) medidas como energıa y valor pico respectivamente.
Observacion I.2 En este libro nos concentraremos en las normas dos e infinito que son las de uso mas comun.Ellas, sin embargo, son solo un subconjunto de restricciones que de forma generica se denominan RestriccionesIntegrales Cuadraticas (ICQ por sus siglas en ingles) [Boy94]. Estas restricciones pueden igualmente ser descritacomo LMIs.
Ejemplo normas 2 e infinito
Se desea calcular la norma infinito y 2 del siguiente sistema:
G(s) =1
s+ 5
Para el calculo de la norma 2 se puede usar el teorema de Parseval, esto es:
‖G(s)‖2 = ‖g(t)‖2
4
donde g(t) es la respuesta al impulso de G(s), esto es:
g(t) = e−5t t ≥ 0
entonces
‖G(s)‖2 =
(∫ ∞
0
e−5te−5tdt)1/2
= − 1
10e−10t
∣∣∣∣
∞
0
=1√10.
En el caso de la norma infinito, se sabe que:
‖G(s)‖∞ = supω|G(jω)| = sup
ω
1√ω2 + 52
= 0,2.
Ejemplo valores singulares
Considere el sistema:
G(s) =1
s2 + 9
(s−5
)
y se desea dibujar la evolucion de sus valores singulares cuando ω toma valores en el intervalo [0,∞). Igualmente,se desean esos mismos valores para G11(s) y G12(s). Hay que determinar tambien el valor de la norma infinito.Note que en el caso de las transferencias G11(s) y G22(s) la respuesta graficada es simplemente el diagrama deBode, siendo como son funciones de transferencia SISO.
Un programa en Matlab que calcula y grafica los valores singulares se lista a continuacion:
s=tf(’s’)
g11=s/(s^2+9)
g12=-5/(s^2+9)
G=[g11;g12]
sigma(G,’k’,g11,’r’,g12,’b’)
y la grafica de los valores singulares vs frecuencia se muestra en la figura (I.1).
Observe que en ω = 3 los valores singulares no estan definidos, i.e.,
‖G(s)‖∞ = ‖G11(s)‖ = ‖G12(s)‖ =∞.
En realidad hemos abusado del lenguaje, porque para ese sistema la norma infinita no existe, siendo que no esfinita o, dicho de otra manera, la norma infinita no es de ninguna utilidad para este sistema.
Consideremos ahora sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo y sea x(k) una funcion (secuencia) deII→ IRn. La norma `p de x se define como [DD95]:
‖x‖p =(∞∑
k=0
|x(k)|pp)) 1
p
si esa cantidad es finita. En la ecuacion anterior, | · |p es la norma p del vector x(k) e II es el conjunto de losnumeros enteros. De particular interes son las normas donde p = 1, 2,∞ y, en el caso de que p =∞, esa normase define como:
‖x‖∞ = supω
maxi|xi(k)|.
Finalmente, enunciamos sin demostracion el lema sobre la descomposicion en valores singulares tomado de[GL95]:
5
10−1
100
101
102
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
Frecuencia (rad/s)
Val
ores
sin
gula
res
G(ω) y G12
(ω)
G(ω) y G11
(ω)
G11
(ω)
G12
(ω)
Figura I.1.: Evolucion de los valores singulares.
Lema I.1 Para cualquier matriz compleja Q ∈ IRm×p, existen matrices unitarias Y y U en m× x y p× p y unamatriz real Σ tal que:
Q = Y
[Σ 00 0
]
UH (I.6)
en el que Σ = diag(σ1, . . . , σr) con σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr ≥ 0 y mın(m, p) ≥ r. Ademas σi son los valoressingulares de Q. Cuando Q es real, el par (Y,U) pueden escogerse ortonormales. La expresion (I.6) es comunmentedenominada descomposicion en valores singulares de Q.
I.3. Evaluacion de las normas 2 e infinito de un sistema
En la seccion previa hemos introducido brevemente las definiciones de normas 2 e infinito de senales y sistemas.Salvo en muy pocos casos, estas definiciones no nos proporcionan un medio eficaz para el calculo de tales normas.En esta seccion presentamos un conjunto de medios que nos permiten el calculo de esas normas, en sistemaslineales con representacion de estados.
Con este proposito, consideremos una representacion simplificada del sistema (I.1) y tengamos al sistema linealinvariante en el tiempo (LTI):
x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t)
(I.7)
donde x(t) ∈ IRn es el vector de estados, u(t) ∈ IRm es el vector de entradas (control) y y(t) ∈ IRp es el vector desalidas medibles del sistema. A,B,C son matrices constantes de dimensiones apropiadas.
Es facil demostrar que la funcion de transferencia del sistema [PH96] es:
G(s) =Y (s)
U(s)= C(sI −A)−1B. (I.8)
Los siguientes teoremas nos dan las herramienta de calculo de esas normas que buscamos.
6
Teorema I.2 ([ZK88]) Para el sistema (I.7), las siguientes proposiciones son equivalentes:
1. A es una matriz estable y ‖G(s)‖∞ ≤ γ
2. Existe una matriz P definida positiva tal que
ATP + PA+ γ−2PBBTP + CTC < 0. (I.9)
Demostracion: Una comprobacion muy sencilla de que (2)⇒ (1) esta inspirada en las propiedades del operadordiferencia de retorno (return difference operator) que se hace en [AM89] y es como sigue: cambiando el signo dela desigualdad (I.9) y sumando y restando sP con s = jω y ω la frecuencia en la que ocurre la norma infinito deG, tenemos que:
(−sI −A)TP + P (sI −A)− γ−2PBBTP − CTC > 0, (I.10)
multiplicando la derecha de (I.10) por (sI − A)−1B y a la izquierda por su transpuesto complejo conjugado(hermitiano) resulta en:
BTP (sI −A)−1B +BT (−sI −AT )−1PB−γ−2BT (−sI −AT )−1PBBTP (sI −A)−1B ≥
BT (−sI −AT )−1CTC(sI −A)−1B(I.11)
a la derecha de la desigualdad (I.11) reconocemos ‖G(s)‖2∞ y recordando que:
[γI − γ−1BTP (sI −A)−1B]H [γI − γ−1BTP (sI −A)−1B] ≥ 0,
la proposicion (1) sigue. La demostracion de que (1)⇒ (2) puede encontrarse en la cita antes enunciada.
Teorema I.3 ([San89] [PSG92]) Consideremos al sistema (I.7) y sea A una matriz hurwitz (estable), entonces
‖G(s)‖22 = Tr(CLcCT ) = Tr(BTLoB) (I.12)
donde Lc es el gramiano de controlabilidad y Lo es el gramiano de observabilidad y satisfacen:
ALc + LcAT +BBT = 0
ATLo + LoA+ CTC = 0.(I.13)
Demostracion: Sin perdida de generalidad, nos limitaremos a los sistemas de una entrada y una salida (SISO).Igualmente, como ambas demostraciones son similares nos limitaremos a la asociada al gramiano de controlabi-lidad. En tal sentido, recordemos que:
Lc4=
∫ ∞
0
eAtBBT eAT tdt
donde
eAt = I +At+ . . .+Antn
n!+ . . .
luego se cumple que:d(eAt)
dt= AeAt = eAtA
ahora bien,
CLcCT =
∫ ∞
0
CeAtBBT eAT tCT dt
pero recordemos que la transformada inversa de G(s) es
L−1(G(s)) = g(t) = CeAtB
y entonces
CLcCT =
∫ ∞
0
g(t)g(t)T dt = ‖g(t)‖22
7
y por el teorema de Parseval‖G(s)‖22 = ‖g(t)‖22 = CLcC
T
por otra parteALc + LcA
T +BBT =∫∞
0AeAtBBT eA
T tdt+∫∞
0eAtBBT eA
T tAT dt+BBT =∫∞
0ddt
[
eAtBBT eAT t]
dt+BBT = eAtBBT eAT t |∞0 +BBT
−BBT +BBT = 0.
Ejemplo
En el sistema que se describe a continuacion, se desea calcular las normas 2 e infinito de:
G(s) =s
s2 + s+ 1
el listado de un programa de MATLAB que las calcula se muestra a continuacion
s=tf(’s’)
G_tf=s/(s^2+s+1)
G=ss(G_tf)
Lc=gram(G,’c’)
[a,b,c]=ssdata(G)
Norma2=c*Lc*c’
Lo=gram(G,’o’)
OtraN2=b’*Lo*b
Respuesta=bode(G);
NormaInf=max(Respuesta)
obteniendose:‖G(s)‖2 =
√
0,5 y ‖G(s)‖∞ = 1.
I.4. Desigualdades matriciales lineales
Una desigualdad matricial lineal (LMI por sus siglas en ingles, Linear Matrix Inequality) tiene la forma [Boy94]:
F (x) = F0 +
m∑
i=1
xiFi > 0 (I.14)
donde x ∈ IRm es la variable y las matrices simetricas Fi(=FTi ∈ IRn×n), i = 0, . . . ,m son dadas. La desigualdad
en (I.14), entendiendose como que F (x) es una matriz definida positiva, i.e., uTF (x)u > 0 para todo u ∈ IRn
diferente de cero.
Observacion I.3 Hay que senalar que pueden tenerse desigualdades matriciales lineales no estrictas si la des-igualdad es del tipo ≥.
Una caracterıstica interesante es que desigualdades matriciales (convexas) no lineales pueden ser convertidasa LMIs a traves de la formula del complemento de Schur y que detallamos a continuacion.
Lema I.2 ([Boy94]) Las siguientes proposiciones son equivalentes:
8
1.
S1 =
(P QQT R
)
> 0 (I.15)
2. P > 0 y R−QTP−1Q > 0 o
3. R > 0 y P −QR−1QT > 0.
Demostracion: Surge del hecho de que siendo (I.15) definida positiva (> 0), entonces P y R tambien lo son.Construyendo la matriz de transformacion T1 regular (con autovalores todos diferentes de cero, de hecho todosiguales a uno):
T1 =
(I −P−1Q0 I
)
(I.16)
entonces
S2 =
(P 00 R−QTP−1Q
)
= TT1 S1T1. (I.17)
siendo que S1 es definida positiva y T1 regular (de hecho tambien definida positiva), entonces S2 > 0. Por otrolado, si S2 > 0 entonces P y R son definidas positivas, siendo que T1 es regular, entonces:
S1 = (TT1 )−1S2T−11 (I.18)
de donde surge que S1 > 0 y la primera proposicion del lema (I.15) queda demostrada.
Podemos proceder de manera similar con la proposicion 2 del Lemma (I.15) si definimos la matriz de transfor-macion:
T2 =
(I 0
−R−1QT I
)
. (I.19)
Dejamos al lector tal demostracion
Es interesante describir al lema (I.15) en su forma dual.
Lema I.3 Las siguientes proposiciones son equivalentes:
1. (−P QQT −R
)
< 0 (I.20)
2. P > 0 y QTP−1Q−R < 0 o
3. R > 0 y QR−1QT − P < 0.
En conclusion, las LMI (I.15) y (I.20) son equivalentes a sus contrapartes no lineales.
Observacion I.4 Hacemos notar que en una LMI las variables son matrices que aparecen en forma lineal en ladesigualdad. Una vez escrita como una LMI, podemos invocar con certeza la convexidad de la desigualdad, lo quemuchas veces no es aparente de las desigualdades no lineales.
Observacion I.5 Una vez escrita una desigualdad matricial como una LMI, existen herramientas poderosaspara la resolucion de tales problemas, como por ejemplo el “Toolbox de LMIs de Matlab”, [GNL95], que utilizametodos (e.g., del elipsoide [Win94]) que aprovechan la estructura particular de las LMI para su resolucion.
9
En un sentido mas amplio, los problemas formulados en terminos de desigualdades matriciales lineales no sonmas que problemas de programacion semidefinida, los que a su vez son una generalizacion de los muy conocidosproblemas de programacion lineal en las que las restricciones de desigualdad son reemplazadas por desigualdadesgeneralizadas, correspondientes al cono de matrices semidefinidas [PL03].
En su forma primal pura, un problema de programacion semidefinida se define como el problema de optimiza-cion:
mın traza(CX)sujeto a traza(AiX) = bi ∀i = 1, . . . ,m,
X ≥ 0(I.21)
donde X ∈ Sn, el espacio de matrices reales y simetricas en n × n, b ∈ IRm y C,A1, . . . , Am ∈ S
n, son matricessimetricas dadas.
En este libro presentaremos una serie de resultados sobre el analisis y sıntesis de controladores H∞, H2 y deubicacion de polos en regiones que encuentran un marco comun en su formulacion a traves de LMIs, esto es,como un problema de programacion semidefinida. Ası, por ejemplo, la desigualdad (I.9) puede escribirse como lasiguiente LMI en P > 0:
(ATP + PA+ CTC PB
BTP −γ2I
)
< 0 (I.22)
o en su forma dual si definimos S4= P−1,(AS + SAT + γ−2BBT SCT
CS −I
)
< 0.
La demostracion sigue de una aplicacion directa del complemento de Schur.
De la misma forma, el problema de costo garantizado [CP72] y [PSG92] que brevemente significa que:
‖G(s)‖22 < γ
puede escribirse como un problema de factibilidad, esto es, encontrar P > 0 tal que:
1. (γI CPPCT P
)
> 0 (I.23)
2.AP + PAT +BBT < 0 (I.24)
Demostracion: En efecto, si la segunda condicion (I.24) es satisfecha, se cumple que P > Lc, por lo que
‖G‖22 = CLcCT ≤ CPCT
pero la LMI de la condicion (I.23) implica que CPCT < γI.
Observacion I.6 Cuando no hay incertidumbre en el modelo se puede, con la introduccion de una variablematricial adicional W , conseguir el mınimo de esa norma [GPS92] y que por supuesto coincide con el que arrojael enfoque, digamos clasico, del control optimo [AM89].
En lo sucesivo nos referiremos a un controlador H2 (o H∞) como aquel que hace que la norma 2 (o infinito) de lafuncion de transferencia del sistema a lazo cerrado cumpla con alguna especificacion (usualmente cota superior)dada. Ambas normas no son mas que un subconjunto de una clase mas amplia de restricciones denominadasRestricciones integrales cuadraticas (o IQC por sus siglas en ingles) que pueden igualmente representarse porconjuntos de LMIs.
Podemos notar que el problema de diseno de un controlador que satisfaga criterios en ambas normas (H2 yH∞) puede formularse como una coleccion de LMIs.
10
Ejemplo
Consideremos una vez mas el sistema del ejemplo de la seccion (I.3) y calculemos cotas para sus normas 2 einfinito.
El listado MATLAB, destinado al calculo de una matriz P para una cota superior —digamos 1.01— de lanorma infinito, se muestra a continuacion. Se hace uso del toolbox de desigualdades matriciales lineales.
num=[1 0];
den=[1 1 1];
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);
gamma=1.01;
setlmis([]);
p=lmivar(1,[2 1]);
lmiterm([1 1 1 p],a’,1,’s’); % LMI #1: a’*p+p*a
lmiterm([1 1 1 0],c’*c); % LMI #1: c’*c
lmiterm([1 2 1 p],b’,1); % LMI #1: b’*p
lmiterm([1 2 2 0],-gamma^2); % LMI #1: -gamma
lmiterm([-2 1 1 p],1,1); % LMI #2: p
eje14=getlmis;
[tmin,popt]=feasp(eje14);
p=dec2mat(eje14,popt,1)
y una matriz P que verifica la condicion (I.22) esta dada por
P =
(1,0047 0,00370,0037 1,0054
)
.
Por otra parte, el listado MATLAB del calculo de una matriz P > 0, para una cota superior de√0,501 de la
norma 2, se muestra a continuacion. De nuevo se utiliza el toolbox de desigualdades matriciales lineales.
num=[1 0];
den=[1 1 1];
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);
gamma=0.501;
setlmis([]);
p=lmivar(1,[2 1]);
lmiterm([-1 1 1 0],gamma); % LMI #1: gamma^2
lmiterm([-1 2 1 p],1,c’); % LMI #1: p*c’
lmiterm([-1 2 2 p],1,1); % LMI #1: p
lmiterm([2 1 1 p],a,1,’s’); % LMI #2: a*p+p*a’
lmiterm([2 1 1 0],b*b’); % LMI #2: b*b’
lmiterm([-3 1 1 p],1,1); % LMI #3: p
eje142=getlmis;
[tmin,popt]=feasp(eje142);
p=dec2mat(eje142,popt,1)
siendo una matriz P > 0 que verifica (I.23) y (I.24):
P =
(0,5006 −0,0003−0,0003 0,5008
)
.
11
I.5. Estabilidad robusta y desempeno nominal
El diseno de sistemas de control que aseguren un buen desempeno del lazo, en presencia de incertidumbre enel modelo y/o de perturbaciones persistentes de las cuales solo se conozca una cota en su energıa, ha sido objetode intensa investigacion desde finales de la decada de los 70’s. En efecto, el control robusto es una teorıa que haalcanzado madurez y que goza de amplia aceptacion, dada su caracterıstica de manejo explıcito del conocimientode la incertidumbre y de las perturbaciones externas.
En esta seccion presentamos las bases sobre las que se fundamenta esta teorıa y que, de una manera muysimple, pueden resumirse en: bajo suposiciones adecuadas, tanto el problema de estabilidad robusta como el dedesempeno nominal pueden formularse como uno de determinacion de un controlador H∞.
Para facilitar la presentacion de los resultados de la teorıa de control robusto, primero nos limitaremos al casode sistemas de una entrada y una salida (SISO), para luego extrapolar esos resultados al caso multivariable atraves de los valores singulares de matrices.
Sistemas de una entrada y una salida
Consideremos al sistema de la figura (I.2), cuya funcion de transferencia y(s)/r(s) viene definida por:
T (s) =pc
1 + pc, (I.25)
que tradicionalmente se conoce como funcion complementaria.
c(s)r(t)
+ +
(-)
y(t)
d(t)
p(s)
u(t)e(t)
Figura I.2.: Lazo clasico de control.
De nuevo, en relacion con la figura (I.2), la funcion de transferencia e(s)/r(s) (o y(s)/d(s)) viene dada por:
S(s) =1
1 + pc, (I.26)
que tradicionalmente se denomina como funcion de sensibilidad, ya que es la funcion que determina (en el dominiode la frecuencia) la sensibilidad del lazo de la figura (I.2) a cambios en la planta p(s).
Evidentemente,S(s) + T (s) = 1,
y de allı el nombre de T (s).
Antes de entrar en el tema de estabilidad robusta, consideremos la estabilidad del lazo representado en la figuraI.2 y demos algunas definiciones.
Definicion I.1 El lazo representado en la figura (I.2) es internamente estable si toda funcion de transferencia,entre una entrada y una salida del sistema, es estable.
12
Consideremos ahora cualquier realizacion mınima de T (s) de la forma:
x = Aclx+Bclry = Cclx+Dclr
Lema I.4 ([San89]) El sistema de la figura (I.2) es internamente estable si y solo si los autovalores de la matrizAcl estan en el semiplano izquierdo abierto. Esto es, que la matriz Acl es hurwitz.
Siendo Acl la matriz de estados (o dinamica) de cualquier funcion de transferencia del lazo de la figura (I.2),la ubicacion de sus autovalores determina la de los polos de cualquier funcion de transferencia.
Si entendemos por robustez la capacidad de un sistema a lazo cerrado para responder adecuadamente anteperturbaciones externas y/o variaciones en el modelo de la planta, tradicionalmente dicha robustez se aseguraante incertidumbre en el modelo disenando sistemas con amplios margenes de fase (φm) y de ganancia (gm)[PH96].
En la figura (I.3) se muestran sobre un diagrama de Nyquist, en forma grafica, tales margenes.
Figura I.3.: Margen de fase φm y de ganancia gm de un sistema SISO.
El margen de ganancia (gm) permite afrontar incertidumbre en la ganancia del proceso a controlar. En relacioncon la figura (I.4), esto significa algun escalar β del que solo se conocen sus cotas maximas. El margen de fase(φm) permite hacer frente a cambios —incertidumbre— en la fase. En relacion con la figura (I.4), algun escalar φdel que solo se conocen sus valores extremos. De modo que la planta real es la suma de la planta nominal (p(s))y la incertidumbre (βe−φs).
c(s)
r(t)
+
(-)
y(t)
u(t)p(s)
sistema real
βe−φs
Figura I.4.: Representacion clasica de lazo incierto.
Hay que hacer notar que los enfoques de margen de fase o de ganancia presuponen que solo hay desconocimientoen uno de los dos parametros, i.e., la magnitud (β) o la fase (φ), no en ambos. En general se presenta incertidumbreen los dos y es facil generar casos en los que, aun teniendo excelentes margenes de fase y ganancia, una pequenavariacion simultanea en ambos —magnitud y fase– sobre los valores nominales, genera plantas inestables.
13
De allı la idea de utilizar una nueva medida que conjugue variaciones simultaneas en magnitud y fase. Surge elmargen del modulo como nueva medida de robustez, basada en el operador diferencia de retorno. En relacion conel lazo clasico que se muestra en la figura (I.2), definiremos al operador diferencia de retorno (O(ω)) para unafrecuencia dada (ω) como la distancia desde el punto (−1, 0) —o ejπ— en el plano “s” al diagrama de Nyquistcorrespondiente a esa frecuencia y que es equivalente al inverso de la magnitud de la funcion de sensibilidadevaluada en esa frecuencia, esto es:
O(ω) = |S(jω)−1| = |1 + p(jω)c(jω)|.
El margen del modulo se define como:Mm = mın
ωO(ω).
Mm determina la distancia mas cercana, en el diagrama de Nyquist, al punto (−1, 0) del plano “s”, esto es,el punto mas cercano a encerrar el (-1,0) y, por ende, a convertir al lazo en inestable. Mm permite afrontarincertidumbre en magnitud y fase simultaneamente en un lazo. En la figura (I.5) mostramos graficamente unejemplo del operador.
Figura I.5.: Operador diferencia de retorno.
A continuacion presentamos un resultado basico de la teorıa de control robusto basado en esto ultimo.
Estabilidad robusta
Para poder establecer que condiciones se requieren para garantizar la robustez de un sistema ante incertidumbreen el modelo de la planta, primero debemos establecer un modelo adecuado de la incertidumbre a considerar. Enel caso de margen de fase y de ganancia, la robustez la establecen esos margenes en la forma de lımites soportablesde variacion.
Es relativamente sencillo, a traves de ensayos en el sistema, obtener cotas para la incertidumbre en la magnitudy para la incertidumbre en la fase de un sistema dado. Sin embargo, ello conducirıa a una cantidad innumerablede “formas” de la incertidumbre para las que serıa muy difıcil desarrollar una teorıa general.
En vista de que cualquiera que sea la forma de la incertidumbre del sistema siempre, de manera mas o menosconservativa, ella puede ser aproximada por una circunferencia, en el paradigma de control robusto, esta es la
14
descripcion mas comun de la incertidumbre y equivale a suponer que se conocen los lımites maximos de desviacionde la magnitud sobre un valor nominal, pero se desconoce totalmente la fase.
En relacion con el diagrama de la figura (I.2) supondremos que la planta real es descrita por:
p(s) = pn(s) + la(s) (I.27)
y entonces,|p(jω)− pn(jω)| ≤ la(ω). (I.28)
Esquematicamente podemos llevar esta incertidumbre al diagrama de Nyquist del sistema, tal como se muestraen (I.6).
Figura I.6.: Modelo de la incertidumbre.
Se desprende de la descripcion de la incertidumbre que, para una frecuencia ω dada, la(ω) es la cota maximade la magnitud de la incertidumbre y que no hay informacion sobre la fase (incertidumbre total en la fase).
A tıtulo de ejemplo, consideremos un sistema de control de temperatura de un tanque de agua, que tengacirculacion de agua permanente y nivel constante. El agua es calentada a traves de unas resistencias electricas.El ejemplo lo tomamos de [Qui04]. La funcion de transferencia entre la potencia suministrada y la temperaturadel agua se determinan de manera experimental, dando escalones de potencia en la entrada y observando larespuesta en la salida. Se realizan 4 pruebas, dos escalones positivos y dos negativos, resultando las 4 funcionesde transferencia que describimos a continuacion:
G1(s) = 0,6125254s+1e
−32s
G2(s) = 0,75215s+1e
−25s
G3(s) = 0,7100s+1e
−20s
G4(s) = 0,6200s+1e
−34s.
Promediando las ganancias, las constantes de tiempo y los retrasos obtenemos como sistema nominal:
Gn(s) =0, 6656
192s+ 1e−28s
de donde es muy facil generar una funcion maxima de desviacion —en magnitud— para cada frecuencia.
En la figura (I.7) hemos incluido la respuesta en frecuencia de magnitud de los sistemas encontrados conensayos y la respuesta del sistema nominal obtenido promediando los parametros.
En la figura (I.8) se muestra, para el ejemplo anterior, la diferencia entre la magnitud de la respuesta enfrecuencia de los sistemas obtenidos en las pruebas menos la del sistema nominal. Ello para determinar una cotasuperior al error en todo el rango de frecuencias.
15
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Frecuencia (rad/s)
Mag
nitu
d (d
B)
|Gn(jω)|
Figura I.7.: Diagramas de Bode de sistema de calentamiento.
En forma normalizada, comunmente denominada descripcion multiplicativa de la incertidumbre, la expresion(I.27) puede escribirse como:
p(s) = pn(s)(1 + δ(s)W (s)) (I.29)
donde |δ(s)| < 1 es una funcion de transferencia que representa la incertidumbre, de la que solo se conoce que sumagnitud es menor que uno yW (s) es la funcion de peso que recoge, para cada frecuencia y de forma normalizada,la cota maxima de la magnitud de la incertidumbre. Observe que cuando δ(s) es cero, no hay incertidumbre y laplanta p(s) es precisamente la nominal —pn(s).
De (I.29) es claro que:
|W (jω)| = la(ω)
|pn(jω)|≥∣∣∣∣
p(jω)
pn(jω)− 1
∣∣∣∣.
En la figura (I.9) hemos colocado los valores normalizados del error, esto es: (la(w)/|Gn(jω)|).
Observamos que, bajo esta descripcion de incertidumbre, ya no tenemos un solo modelo del sistema (digamosel nominal) sino, mas bien, una familia (infinita) de ellos.
La condicion de estabilidad para toda la familia de sistemas, estabilidad robusta, viene dada por el siguienteresultado:
Teorema I.4 ([San89] y [MZ89]) Consideremos al sistema de la figura (I.2) en el que la planta p(s) es descritapor la familia de modelos (I.29) y los cuales tienen el mismo numero de polos en el semiplano derecho. Ademas, seac(s) un controlador que estabiliza la planta nominal pn(s). Entonces toda la familia de modelos sera estabilizadopor el controlador c(s) si y solo si
‖W (s)T (s)‖∞ = supω|W (jω)T (jω)| ≤ 1 (I.30)
donde T (s) es la funcion complementaria definida en (I.25).
Demostracion: Es conveniente considerar que la familia de modelos del sistema de la figura (I.2), que satisfacen(I.29), forman un conjunto representado por P. El sistema de la figura (I.2) es estable si y solo si para todo
16
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Frecuencia (rad/s)
Mag
nitu
d de
l err
or. l
a(ω)=
|Gi(jω
)−G
njω)|
|G3(jω)−G
n(jω)|
Figura I.8.: Magnitud de la incertidumbre para cada frecuencia.
miembro p(s) ∈ P se cumple que la ecuacion 1 + p(s)c(s) = 0 no tiene raıces en el semiplano derecho cerrado(que denominaremos C+). Luego ello es equivalente a:
1 + pn(s)c(s)[1 +W (s)δ(s)] 6= 0 ∀|δ| < 1 y s ∈ C+
⇐⇒ 1 + pn(s)c(s) 6= δ(s)W (s)pn(s)c(s) ∀|δ| < 1 y s ∈ C+
⇐⇒ |1 + pn(s)c(s)| ≥ |W (s)pn(s)c(s)| s = jω; ω ∈ [0,∞)⇐⇒ |T (s)W (s)| ≤ 1 s = jω; ω ∈ [0,∞)⇐⇒ ‖W (s)T (s)‖∞ ≤ 1
(I.31)
Este resultado, fundamental para la teorıa de control robusto, tiene una interpretacion grafica en el diagramade Nyquist (ver figura (I.10)). En efecto, en (I.31) el termino |W (s)pn(s)c(s)| = la(ω)|c(s)| no es mas que el radiode la circunferencia que determina el tamano de la incertidumbre (para cada frecuencia) y entonces se infiere queuna condicion necesaria y suficiente para estabilidad robusta es que, para cualquier frecuencia, la distancia del−1 al diagrama nominal de Nyquist, i.e. la magnitud del Operador diferencia de retorno, sea mayor que ese radio(que acota la incertidumbre en esa frecuencia). En otros terminos y visto que toda la familia de sistemas tiene elmismo numero de polos en el semiplano derecho, la condicion de estabilidad robusta implica que la “banda” deNyquist, determinada por la familia de sistemas, no encierra al −1.
En (I.31) se uso el hecho derivado del teorema del maximo modulo que senala que:
‖F (s)‖∞ = supRes>0
|F (s)| = supω|F (jω)|,
es decir, que el maximo de una funcion continua en un conjunto cerrado y acotado ocurre en su frontera.
Podemos incluir esquematicamente la representacion de la incertidumbre multiplicativa en la descripcion clasicadel lazo realimentado. Ello se muestra en la figura (I.11).
En relacion con la misma figura (I.11), observe que el resultado para la estabilidad robusta es equivalente a“abrir” el lazo en los dos extremos del bloque de la incertidumbre (δ(s)) y verificar que la funcion de transferenciaW (s)T (s) entre d(t) y z(t), nuevas entrada y salida al abrir el lazo, esta acotada en magnitud.
La incertidumbre multiplicativa, representada por W (s), es solo una forma entre muchas para describir lo quedesconocemos en un lazo. Las funciones W (s) tienen normalmente la forma mostrada en la figura (I.12). Laincertidumbre es mas pequena en bajas frecuencias y crece a medida que la frecuencia aumenta. Es importante
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10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Frecuencia (rad/s)
Mag
nitu
d de
l err
or n
orm
aliz
ada.
W(ω
)=|G
i(jω)−
Gn(jω
)|/|G
n(jω)|
|G3(jω)/G
n(jω)−1|
Figura I.9.: Magnitud de la incertidumbre para cada frecuencia, normalizada.
Figura I.10.: Condicion de analisis de estabilidad robusta.
mencionar que de la funcion de incertidumbre W (s) lo unico importante es su magnitud. La consideramos comouna funcion de transferencia solo por tener una representacion consistente de un lazo de control (figura I.11).
La condicion de estabilidad robusta impone que la funcion complementaria T (s) satisfaga:
|T (jω)| < |W (jω)|−1 ∀ω.
Luego, un modelo poco ajustado de la incertidumbre puede imponer cotas extremadamente restrictivas (muypequenas) en la funcion complementaria y, por ende, en el controlador.
De la misma forma que la magnitud de la incertidumbre debe ser lo mas entallada posible, a fin de evitar serexcesivamente conservadores en el diseno del control, el mismo razonamiento se extiende a la “topologıa” delmodelo de la incertidumbre.
Hasta ahora hemos mencionado dos tipos, a saber:
Aditiva: p(s) = pn(s) + δ(s)W (s) |δ(s)| < 1
Multiplicativa: p(s) = pn(s)(1 + δ(s)W (s)) |δ(s)| < 1.
Ademas, entre otras, tambien podemos representar la incertidumbre como [San89], [DFT92]:
18
δ(s)
c(s) pn(s)
W (s)
r(t)
+ +
(-)
y(t)u(t)
z(t) d(t)
e(t)
Figura I.11.: Representacion del lazo con incertidumbre multiplicativa.
Figura I.12.: Modelo de variacion de la incertidumbre.
p(s) = pn(s)(1 + δ(s)W (s))−1
p(s) = pn(s)(1 + δ(s)W (s)pn(s))−1;
algunas son equivalentes y, en cualquiera que sea la representacion, la estabilidad robusta viene determinadapor la norma infinita de alguna funcion de transferencia. En la tabla (I.1) se recogen las equivalencias [San89],[DFT92].
Tabla I.1.: Equivalencias entre medidas de incertidumbrep(s) = pn(s)(1 + δ(s)W (s)) ‖W (s)T (s)‖∞ ≤ 1p(s) = pn(s) + δ(s)W (s) ‖W (s)p−1n (s)T (s)‖∞ ≤ 1p(s) = pn(s)(1 + δ(s)W (s))−1 ‖W (s)S(s)‖∞ ≤ 1p(s) = pn(s)(1 + δ(s)W (s)pn(s))
−1 ‖W (s)pn(s)S(s)‖∞ ≤ 1
Cualquiera que sea su representacion, la incertidumbre que afecta al sistema siempre lo hace de manera globaly de allı que reciba comunmente en la literatura ese nombre, i.e., incertidumbre global o no estructurada. Si, porel contrario, podemos identificar como las diferentes fuentes de incertidumbre afectan elementos particulares delsistema, entonces estarıamos frente a una incertidumbre estructurada.
Como ejemplo podemos mencionar modelos de incertidumbre de baja y alta frecuencia y que se traducen enuna representacion de la forma:
p(s) = pn(s)1 + δ1(s)W1(s)
1 + δ2(s)W2(s)
|δ1(s)|, |δ2(s)| < 1.
19
Mencion particular hacemos sobre aquellos casos en los que el modelo es obtenido a partir de leyes fısicas quegobiernan al sistema y en los que, por ende, se puede relacionar a los parametros de la funcion de transferenciacon algunos elementos fısicos reales, como por ejemplo, diametro de una tuberıa, peso especıfico de un fluido,etc. Si esos parametros fısicos se ven afectados sensiblemente durante la operacion normal del sistema, ello va aimplicar no un modelo sino una familia de ellos. Este caso de incertidumbre altamente estructurada recibira elnombre de incertidumbre parametrica y normalmente ocurre en bajas frecuencias. Tambien se le conoce comoincertidumbre poliedrica.
A continuacion presentamos dos ejemplos de sistemas inciertos y la funcion (W (s)) que acota el maximo de laincertidumbre para cada frecuencia.
Ejemplo de calculo de la representacion de la incertidumbre
Consideremos al sistema:
G(s) =1e−τs
s+ 1
con una incertidumbre en el retardo del sistema 0 ≤ τ ≤ 0,2.
El sistema nominal es:
Gn(s) =1
s+ 1.
Se debe cumplir, para acotar la incertidumbre, que:
∣∣∣∣
G(s)
Gn(s)− 1
∣∣∣∣≤ ‖W (s)‖ (cota maxima de incertidumbre)
esto es:∣∣e−τs − 1
∣∣ ≤ ‖W (s)‖ (I.32)
Para el peor caso τ = 0,2, con un poco de ensayo y error obtenemos que:
W (s) =2s
s+ 1. (I.33)
Observe que con esta funcion de transferencia (I.33), en ω = 2 ya tenemos un 20% de desconocimiento y enω = 0,6 el desconocimiento es total.
La grafica de la respuesta frecuencial de (I.32) y (I.33) se muestra en la figura (I.13).
Para el calculo del control H∞ la planta generalizada resulta:
[z(s)e(s)
]
=
[0 Gn(s)
−W (s) −Gn(s)
] [d(s)u(s)
]
o, explıcitamente:[z(s)e(s)
]
=
[0 1
s+1−2ss+1
−1s+1
] [d(s)u(s)
]
.
La representacion de estados del mismo sistema resulta:
[x1(t)x2(t)
]
=
[−1 00 −1
] [x1(t)x2(t)
]
+
[10
]
d(t) +
[01
]
u(t)
20
10−1
100
101
102
103
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
Frecuencia (rad/s)
Mag
nitu
d de
l err
or n
orm
aliz
ada
W(ω)
|e−j0,2ω−1|
Figura I.13.: Respuesta frecuencial de la incertidumbre y su umbral.
y[z(t)e(t)
]
=
[0 12 −1
] [x1(t)x2(t)
]
+
[0−2
]
d(t).
El control sugerido —que calculamos con una de las tecnicas que desarrollaremos en capıtulos posteriores—es:
C(s) =−5,012× 10−8s2 + 0,03328s− 0,003325
s2 + 3,333× 106s+ 65,84.
El diagrama de bloques para efectos de la atenuacion de perturbacion queda como se muestra en la figura(I.14).
c(s)
r(t)
+ +
(-)
y(t)u(t)
z(t) d(t)
Gn(s)
W (s)
e(t)
Figura I.14.: Atenuacion de perturbaciones.
La funcion de transferencia entre d(s) y z(s) con el controlador propuesto es:
Tdz =−W (s)C(s)Gn(s)
1 + C(s)Gn(s)
y la respuesta frecuencial de esa funcion de transferencia se muestra en la figura (I.15).
Ejemplo caso calentador
Retomamos el ejemplo de [Qui04], solo en lo que respecta al calculo de la funcion W (s).
21
10−6
10−4
10−2
100
102
104
106
108
−300
−280
−260
−240
−220
−200
−180
−160
Frecuencia (rad/s)
Mag
nitu
d (d
B)
T dz
|Tdz
(jω)|
Figura I.15.: Respuesta frecuencial sistema a lazo cerrado Tdz.
A partir de (I.9) es facil generar la funcion:
W (s) =0,13(s/0,001 + 1)
(s/0,024 + 1).
En (I.16) mostramos la respuesta frecuencial de W (s) —en magnitud— ası como los errores normalizados delos cuatro sistemas, i.e., |Gi(s)−Gn(s)|/|Gn(s)|, i=1,2,3,4.
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Frecuencia (rad/s)
Mag
nitu
d de
l err
or n
orm
aliz
ada
W(ω)
Figura I.16.: Respuesta en frecuencia de los errores y su umbral W (s). Ejemplo calentador.
Desempeno nominal
Consideremos el lazo de control de (I.2) en el que el sistema p(s) es perfectamente conocido y unico. Eldesempeno de un sistema se mide, entre otros y en el ambito del control clasico, como la capacidad de seguir una
22
referencia determinada r(t) o de rechazar una perturbacion de forma conocida d(t) en la salida del sistema y(t).
En el primer caso el desempeno podemos medirlo a traves de la senal de error:
e(s) =r(s)
1 + p(s)c(s)= S(s)r(s)
y en el segundo a traves de la salida:y(s) = S(s)d(s);
en ambos casos se desea hacer “pequena” la funcion de sensibilidad a fin de tener el desempeno deseado.
En el marco del control clasico, la senal a seguir (o rechazar) es conocida —un escalon, una rampa, unaparabola, un impulso— y lo que es verdaderamente desconocido es el momento en el que la senal (de perturbacion)sera aplicada al sistema. Recordemos, por ejemplo, la clasificacion en tipos de sistemas (0, 1, 2, . . .) para finesde eliminacion de las desviaciones en estado estacionario —tambien conocido como offset— [Kuo95] o el bienconocido hecho de que el modelo de la senal de referencia o perturbacion, segun sea el caso, debe estar incluidoen el controlador [AM89].
La suposicion de que la senal externa (perturbacion o referencia) es conocida a priori es poco realista y, engeneral, hay mas conocimiento sobre la familia a la que pertenece la senal; vease por ejemplo [MZ89], p. 21.
Bajo esta perspectiva, en la que solo se conoce el conjunto al que pertenece la senal, el paradigma de controlrobusto plantea el rechazo de perturbaciones como la garantıa de atenuacion de esa caracterıstica comun delconjunto de senales (e.g., energıa, cota maxima, etc.) En el marco del control robusto, la bien conocida teorıa deH∞, por ejemplo, evalua el desempeno nominal en terminos de las energıas de las senales de perturbacion y desalida controlada. Es ası que:
Definicion I.2 ([San89]) Sea γ un escalar mayor que cero, dado. El desempeno nominal del sistema de la figura(I.2) se evalua como la capacidad del controlador c(s) de acotar la energıa de la senal de salida del sistema alazo cerrado (‖y(t)‖2 < γ) para toda posible perturbacion con energıa acotada ‖d(t)‖2 < β.
La condicion de existencia de un controlador que satisface la especificacion de desempeno nominal viene dadapor el siguiente teorema. Sin perdida de generalidad supondremos que γ y β son iguales a uno.
Teorema I.5 ([DD95]) El sistema de control de la figura (I.2) satisface la condicion de desempeno nominal siy solo si
‖S(s)‖∞ ≤ 1.
Demostracion: Surge de manera inmediata del hecho que la norma infinita es la norma inducida de la norma2 (ver teorema (I.4)) y entonces
‖y(t)‖2 = ‖S(s)‖∞‖d(t)‖2.
En este punto se imponen algunas observaciones.
Observacion I.7 Resultarıa un problema “mal condicionado” en la mayorıa de los casos si dejamos el problemade desempeno nominal tal y como fue formulado, esto es:
‖S(s)‖∞ =
∣∣∣∣
1
1 + p(s)c(s)
∣∣∣∣≤ 1 ∀ω
ya que en general el producto p(s)c(s) es estrictamente propio para sistemas fısicos reales, i.e.,
lıms→∞
p(s)c(s) = 0
23
y entonces a muy altas frecuencias el problema de encontrar un controlador c(s) que haga el trabajo en toda lagama de frecuencias puede resultar imposible. Por otra parte, en general solo interesa satisfacer el criterio dedesempeno en la gama de frecuencias asociadas al ancho de banda del sistema p(s) —siendo estas las senales queverdaderamente lo afectan— dejando “libre” al resto.
Adicionalmente, aunque solo hemos supuesto conocida la energıa maxima de las entradas (perturbacion oreferencia) es posible que ademas exista algun tipo de conocimiento del ancho de banda de ellas y que pudierareflejarse como una funcion de peso o filtro en la entrada de esas senales.
Esquematicamente, ambos pesos se pueden representar como lo ilustra la figura (I.17), lo que se traduce en elnuevo criterio de desempeno nominal:
‖W1(s)S(s)W2(s)‖∞ ≤ 1 o ‖W (s)S(s)‖∞ ≤ 1;
en W (s) se recogen lo que denominaremos las bandas de insensibilidad del diseno. Una buena seleccion de lospesos puede resultar en un compensador mas “suave” con ganancias mas pequenas.
c(s)
r(t)
+ +
(-)
y(t)u(t)
d(t)W1(s)
p(s)y(s)
W2(s)
Figura I.17.: Sistema con pesos (filtros) en entradas y salidas.
Observacion I.8 El criterio de desempeno nominal desarrollado no es generico y esta asociado con las senalesde entrada y salida seleccionadas. Si hubiesemos escogido otras entradas y/o salidas, hubieramos obtenido lacota superior de la norma infinita de otra funcion de transferencia. Esto ultimo sı es un hecho general, es decir,al igual que la estabilidad robusta de un sistema, el desempeno nominal se evalua —o analiza— calculando lanorma infinita de alguna funcion de transferencia asociada al lazo, siempre que los parametros de medicionsean las energıas de la senal de perturbacion y la senal de salida. Si los parametros fuesen otros —diferentes deenergıa— otra serıa la norma (vease por ejemplo [SGC97]).
Observacion I.9 En el caso de estabilidad robusta, si no se satisface el criterio (I.30) entonces existe un sub-conjunto de modelos del sistema que no podran ser estabilizados por el compensador propuesto, i.e. el lazo cerradosera inestable para algunos modelos. En el caso del desempeno nominal, si no se satisface
‖W (s)S(s)‖∞ ≤ γ
para un γ dado, solo implica que el criterio es muy restrictivo y no puede alcanzar ese nivel de desempeno. Noobstante y asumiendo que el lazo puede estabilizarse, siempre existira algun γs > γ a partir del cual sı podra ob-tenerse un controlador.
Ejemplo analisis de desempeno
Consideremos el sistema:
Gn(s) =5e−3s
10s+ 1.
Utilizando el criterio de sintonizacion de Ziegler y Nichols [Kuo95] se obtiene un controlador PI con Kc = 0,6 yTi = 10. Se desea evaluar la atenuacion que presenta este controlador a perturbaciones d(t) que entran al sistematal como se muestra en la figura (I.18).
24
r(t)
+ +
(-)
y(t)
d(t)
Gn(s)Kc(1 + 1
Tis)
Figura I.18.: Evaluacion de entonacion clasica.
La funcion de transferencia entre d y y resulta:
Tdy(s) =Gn(s)
1 +GPI(s)Gn(s)
donde
GPI(s) = Kc(1 +1
Tis).
Aproximando el retardo por un Pade de primer orden ([Kuo95]) y dibujando el bode del sistema simplificado,se obtiene la grafica de la figura (I.19), de donde es facil determinar que:
10−2
10−1
100
101
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Frecuencia (rad/sec)
Mag
nitu
d de
Tdy
|Tdy
(jω)|=|Gn(jω)|/|1+G
n(jω)PI(jω)|
Figura I.19.: Atenuacion con un PI.
‖Tdy(s)‖∞ = 2,4657
Aunque en el caso de desempeno nominal no puede generalizarse sobre un resultado en particular, a simplevista pareciera que el controlador propuesto no presentara un buen rechazo a perturbaciones para frecuenciasentre 0,1 y 1.
Un programa de Matlab para el calculo de esta norma infinito del sistema aproximado se muestra a continuacion:
K=5;T=10;Td=3;
25
nn=K;dn=[T 1];
[nr,dr]=pade(Td,1);
ns=conv(nn,nr);ds=conv(dn,dr);
Kc=0.9*T/Td/K;Ti=Td/.3;
nc=Kc*[Ti 1];dc=[Ti 0];
[n,d]=feedback(ns,ds,nc,dc,-1);
[mag,pha,w]=bode(n,d);
Amplifica=max(mag)
semilogx(w,mag)
El paradigma de control robusto
En el caso de estabilidad robusta con incertidumbre multiplicativa a la salida del sistema a controlar, ubicacionque no tiene ninguna importancia en sistemas SISO pero sı la tiene en los MIMO, podemos representar al sistemacomo en la figura (I.11), con |δ(s)| < 1 y W (s) el modelo de la cota superior de la incertidumbre.
Para fines de analisis, sabemos que hay estabilidad robusta si y solo si
‖W (s)T (s)‖∞ =
∣∣∣∣
W (jω)p(jω)c(jω)
1 + p(jω)c(jω)
∣∣∣∣≤ 1 ∀ω
lo que es equivalente a analizar el desempeno nominal entre d(t) y z(t) del sistema de la figura (I.14) y, entonces,el problema de la estabilidad robusta (I.11) o el de desempeno nominal (I.17) pueden representarse esquemati-camente, como en la figura (I.20) donde p(s) es el sistema (multivariable) generalizado, e(t) es la salida medible
d(t)
u(t)
z(t)
c(s)
p(s) e(t)
Figura I.20.: Paradigma de diseno de control robusto.
del sistema, y se desea determinar un compensador c(s) tal que:
‖Tdz(s)‖∞ ≤ 1
siendo Tdz(s) la funcion de transferencia entre d(t) (la perturbacion) y z(t). Observe que hemos preferido, comoes usual en control robusto, usar la senal e(t) como salida medible, en lugar de y(t), por ser la primera la queesta directamente actuando sobre el controlador.
El esquema que se muestra en la figura (I.20) representa el paradigma clasico de diseno de control robusto,siendo ademas el mas usado.
Si se dispone (o se ha calculado) un controlador y lo que se desea es analizar su desempeno, entonces elparadigma pasa a ser el de la figura (I.21), donde, de nuevo, p(s) es la planta generalizada y |δ(s)| < 1 representala incertidumbre. Es facil transformar el esquema de las figuras (I.11) y (I.14) a aquellos de las figuras (I.20) y(I.21).
26
d(t) z(t)p(s)
e(t)
δ(s)
r(t)
Figura I.21.: Paradigma de analisis de control robusto.
Sistemas con multiples entradas y multiples salidas
Para el caso de los sistemas multivariables, nos serviremos del paradigma de control representado en (I.21).Las relaciones entre la salida y la entrada del sistema son dadas por:
[z(s)e(s)
]
=
[G11(s) G12(s)G21(s) G22(s)
]
︸ ︷︷ ︸
P
[r(s)d(s)
]
(I.34)
siendo P la planta generalizada.
Para el caso multivariable, las salidas y/o las entradas pueden o no ser vectores. Ası, por ejemplo, para elsistema de la figura (I.22), si definimos a la dupla (r(t) y d(t)) como las entradas y a (z(t) y e(t)) como lassalidas, tendremos que:
[z(s)e(s)
]
=
[T −TW1
W2S −W2SW1
] [r(s)d(s)
]
(I.35)
dondeS(s) = [I + p(s)c(s)]−1
T (s) = p(s)c(s)[I + p(s)c(s)]−1
con las correspondientes equivalencias en las ecuaciones (I.34) y (I.35).
c(s)
r(t)
+ +
(-)
y(t)u(t)
z(t) d(t)e(t)
W2(s) W1(s)
p(s)
Figura I.22.: Sistema multivariables.
Desempeno nominal
Revisemos ahora los conceptos de estabilidad robusta y desempeno nominal a la luz del paradigma de controly para sistemas multivariables, y para ello consideremos al sistema de la figura (I.21). En ese caso el desempeno
27
nominal esta determinado por un controlador c(s) que asegura que:
‖e‖2 < 1 ∀r(t) : ‖r‖2 ≤ 1
cuando δ = 0.
Teorema I.6 ([San89]) La condicion necesaria y suficiente para desempeno nominal es:
‖G21(s)‖∞ < 1
Demostracion: Cuando la incertidumbre es nula (δ = 0) tenemos que:
‖e‖22 = ‖G21(s)r(s)‖22 (I.36)
=
∫ ∞
−∞
rH(jω)GH21(jω)G21(jω)r(jω)dω (I.37)
≤ σ2(G21(jω∗))
∫ ∞
−∞
rH(jω)r(jω)dω (I.38)
= σ2(G21(jω∗)) (I.39)
con rH(jω) = rT (−jω) y σ(G21(jω)) ocurre en w = w∗.
Finalmente, la cota superior es alcanzada exactamente si escogemos, por ejemplo r(t) = e−εt cosw∗t con ε > 0para que r(t) ∈ L2.
Estabilidad robusta
Para verificar la condicion de estabilidad robusta, supondremos que el sistema es estable internamente y que
σ(δ) ≤ 1 (I.40)
la condicion de estabilidad robusta multivariable viene dada por:
Teorema I.7 ([San89]) El sistema de la figura (I.21) es estable para toda perturbacion δ que satisface (I.40) siy solo si
‖G12‖∞ < 1.
Demostracion: La funcion de transferencia entre r e y es (operando en (I.34)):
Tre = G22(I −G12δ)−1G11 +G21
y entonces, para un δ dado, la estabilidad del sistema es determinada por:
(I −G12δ)−1
ya que, por hipotesis, el sistema (I.34) es internamente estable.
Ahora bien, la estabilidad de (I −G12δ)−1 es equivalente a:
det(I −G12δ)) 6= 0 ∀s ∈ C+. (I.41)
Supongamos que σ(G12) < 1. Recordando algunas propiedades de los valores singulares de una matriz, sabemosque:
σ(I −G12δ) ≥ 1− σ(G12δ) > 1− σ(G12),
28
luego siσ(G12) < 1 ∀s ∈ C+
entoncesdet(I −G12δ) 6= 0 ∀s ∈ C+.
Supongamos ahora que σ(G12) ≥ 1 para alguna s∗ y hagamos una descomposicion en valores singulares
G12 = UΣV ∗,
tomemos δ = αV U∗ y α = 1σ(G12)
, entonces
det(I −G12(s∗)δ = det[V (I − αΣ)U∗] = 0
para el primer autovalor (recordando que los valores singulares estan ordenados en Σ).
Finalmente, por el teorema del maximo modulo
sups∈C+
σ(G12(s)) = supωσ(G(jω)) = ‖G12‖∞.
Los sistemas multivariables, al igual que los SISO, pueden ser evaluados en su desempeno y estabilidad en elmarco de la norma infinita. Otras medidas de desempeno pueden igualmente imponerse al sistema. Algunas comola norma 2 permiten evaluar el impacto de condiciones iniciales, al reflejar esas condiciones en el sistema comouna funcion impulso δ(t) de magnitud adecuada [PH96]. Tambien la misma norma permite evaluar el efecto delruido blanco, tambien cuantificable como una funcion impulso con varianza conocida [San89].
Las medidas de rechazo de perturbaciones presentadas, en modo alguno, no agotan las formas de evaluacion deldesempeno. Clasicamente, el desempeno se evalua en terminos de los tiempos de establecimiento, de crecimiento,maximo sobrepico, comportamientos sobre o subamortiguados, etc. [Kuo95], estando estas cualidades del sistemaıntimamente relacionadas con la ubicacion de los polos del sistema de lazo cerrado.
La ubicacion de polos en regiones convexas ha recibido tambien la atencion de un numero de investigadores[GJ81] [ChG96] y ese problema tambien puede formularse como uno de desigualdades matriciales lineales (LMIs)en la matriz de Lyapunov P , siempre que la region pueda describirse como una region LMI y que formalmentedefinimos de la forma:
Definicion I.3 ([ChG96]) Una region LMI es cualquier region convexa R que pueda describirse de la forma:
R = z ∈ C : L+ zM + zMT < 0
donde L = LT y M son matrices constantes reales de las mismas dimensiones.
Ejemplos importantes de tales regiones LMI son:
1. Semiplano a la izquierda de x0 (figura (I.23)).
R = z ∈ C : z + z + 2x0 < 0.
Cuando x0 = 0 da el semiplano izquierdo abierto.
2. Semiplano a la derecha de x0 (figura (I.24))
R = z ∈ C : z + z + 2x0 > 0.
3. Cono con vertice en 0 (figura (I.25)).
R =
z ∈ C :
(sin θ(z + z) cos θ(z − z)cos θ(z − z) sin θ(z + z)
)
< 0
.
29
x o
Re(s)
Im(s)
Figura I.23.: Semiplano a la izquierda.
x o
Re(s)
Im(s)
Figura I.24.: Semiplano a la derecha.
4. Region circular centrada en −α y de radio r (figura (I.26)).
R =
z ∈ C :
(−r z + αz + α −r
)
< 0
El siguiente teorema establece la relacion entre la ubicacion de polos —autovalores de una matriz A— en unaregion LMI y esa region.
Teorema I.8 Una matriz A tiene todos sus autovalores en una region LMI de la forma:
R = z ∈ C : L+ zM + zMT < 0
si y solo si existe una matriz X > 0 tal que:
L⊗X +M ⊗ (AX) +MT ⊗ (AX)T < 0. (I.42)
La expresion (I.42) tambien puede escribirse de la forma
(lklX +MklAX +MlkXAT )1≤k,l≤m
donde lkl (Mkl) es el elemento kl de la matriz L (M) y 1 ≤ k, l ≤ m indica los valores de k y l entre 1 y m.
La demostracion puede encontrarse en [ChG96] y no sera repetida aquı.
30
θ Re(s)
Im(s)
Figura I.25.: Cono centrado en cero.
r
-αRe(s)
Im(s)
Figura I.26.: Circunferencia.
Como se ha visto, una cantidad de problemas clasicos y modernos pueden ser formulados en el marco comunde las desigualdades matriciales. Hasta ahora hemos mencionado la estabilidad robusta, el desempeno nominaly la ubicacion de polos en regiones. Todo esto tanto para sistemas SISO como MIMO, estos ultimos a traves delos valores singulares.
La lista antes mencionada no es en modo alguno agotadora, y otros problemas tambien pueden o bien formularsebajo el mismo marco o encontrar cotas superiores —lımites seguros o conservadores— a esos problemas con lasmismas herramientas aportadas por las desigualdades matriciales. Mencionamos por ejemplo `1, pasividad, etc.Vease [SGC97] para un recuento de otras formulaciones.
En este trabajo nos limitaremos a los tres primeros —H∞, H2 y ubicacion de polos en regiones— mas por unacuestion de no ser repetitivos. La extension a esos otros problemas es, relativamente, sin dificultad.
Resumen del capıtulo
En este capıtulo hemos presentado las definiciones, los terminos y resultados fundamentales de la teorıa decontrol robusto, de modo de sentar una base comun e ilustrar la presentacion de los resultados que presentaremosen capıtulos subsiguientes. De igual forma hemos introducido las desigualdades matriciales lineales, la herramientaque nos permitira desarrollar el marco comun de las condiciones de sıntesis de controladores multiobjetivo, nuestrameta propuesta.
Basicamente, hemos presentado condiciones de analisis de la estabilidad y desempeno bajo un numero decondiciones.
31
Esta breve revision no pretende ser agotadora, fısicamente serıa imposible incluirlos todos dada la enormecantidad de resultados que aparecen diariamente, pero sı pretende ser lo suficiente como para sentar las basesdel estudio de la formulacion multiobjetivo.
Finalmente, en este capıtulo se ha fijado precisamente el alcance del trabajo, incluyendo otros paradigmas de lateorıa de control robusto como los de factorizacion coprima [McF90] y L1, `1 [DD95]. Todos ellos los revisaremoscon mas detalle en los capıtulo siguientes. Enfoques no lineales quedan fuera del alcance de este trabajo.
32
CAPITULO II
Analisis y sıntesis de controladores para sistemas con saturaciones
II.1. Introduccion
Frecuentemente, los sistemas a controlar con los que nos encontramos en la practica presentan algun tipode restricciones sobre su comportamiento que lo limitan severamente. El caso mas frecuente es la presenciade saturaciones sobre la senal de control (pues los actuadores tienen un rango estrecho de actuacion), perotambien pueden aparecer limitaciones sobre su velocidad o aceleracion maximas, efecto de las inercias de losactuadores, ası como limitaciones en variables secundarias. Para resolver estas dificultades en la etapa de disenodel controlador se han propuesto varias soluciones, como los metodos basados en la resolucion de problemas deprogramacion lineal, que tratan de optimizar la norma `1, en vez de las normas H∞ o H2 que hemos presentadoen el capıtulo anterior [DD95].
En esta seccion comprobaremos como, utilizando una descripcion adecuada del conjunto de senales de entradaesperables, se puede, de forma natural, considerar problemas de control optimo y control robusto, con el objetivoultimo de calcular controladores para multiples tipos de restricciones (saturaciones, limitaciones en velocidad,sobrepico, etc.) Como tal, esta solucion esta basada en la evitacion de restricciones (“Constraint Avoidance”[HTK01]): evitando las limitaciones, el sistema en lazo cerrado permanece en la region de comportamiento lineal.
Aunque la solucion puede plantearse en el campo continuo utilizando la norma L1 [DD87], los metodos dediseno que resultan en el caso continuo no son adecuados para casos practicos, pues es facil comprobar como lasolucion optima de control sera una combinacion de impulsos. Por ello, en el resto del capıtulo trabajaremos consistemas discretos, en los que se utiliza la norma `1 y se dan soluciones que pueden aplicarse en sistemas reales.
Desde el punto de vista teorico, una de las razones por las que se ha desarrollado una teorıa de control robustobasado en la norma `1 viene dada por el hecho de que en muchas aplicaciones practicas tanto las perturbacionescomo el ruido de medida actuan de forma continua sobre el sistema, por lo que no es adecuado describirlas comosenales acotadas en energıa, como se hace con los metodos basados en la norma H∞. Por fortuna, normalmentese conoce la maxima amplitud esperable de estas senales, por lo que es posible describirlas como senales acotadasen magnitud: ‖d‖∞, donde la norma es la denominada normal `∞ o norma pico-a-pico, que corresponde a lamaxima amplitud de la senal: ‖d‖∞ = max(|u[i]|).
Otra razon mas para desarrollar esta teorıa, en vez de proseguir con la teorıa mas popular de H∞, es elconocimiento que normalmente se tiene de las consignas que se aplican a cada sistema, que generalmente consistenen una serie de saltos o rampas cuya magnitud o pendiente puede acotarse facilmente. Por ejemplo, si la entradaes un salto siempre tiene una magnitud maxima esperable: ‖r‖∞ ≤ rmax; o si la consigna es una rampa, supendiente puede acotarse:
∥∥(1− z−1
)r∥∥∞≤ smax
donde z−1 es la funcion retardo unitario: z−1 u[i] = u[i− 1].
Para concluir con las ventajas de esta tecnica, debemos mencionar su facilidad de calculo. Ası, para un sistemaSISO, la norma `1 viene dada por la suma en valor absoluto de los terminos de la respuesta impulsional:
‖Φ‖1 =
∞∑
i=1
|Φ[i]|.
Si la norma es finita (esto es, el sistema estrictamente estable), basta con calcular la suma para un ındicesuficientemente grande, para obtener una aproximacion con la precision deseada.
Antes de presentar el metodo en detalle debemos puntualizar que, si las limitaciones sobre las senales no fuesensimetricas en la mayor parte de los casos, basta con redefinir el punto de trabajo para que sean simetricas yla utilizacion de la norma simetrica usual (‖u‖∞ ≤ umax) no introduzca conservadurismo. Por ejemplo, si launica limitacion es una saturacion no simetrica sobre las senales de control, basta redefinir el punto de trabajoen el punto medio de las restricciones: (xmean = xmax − xmin; ‖x(k)‖∞ = maxt (|x(k)|) = xmax+xmin
2 ). Si estaredefinicion del punto de trabajo no resultase adecuada (por ejemplo, por cambiar las restricciones con el tiempo,por haber multiples restricciones o por modificarse el comportamiento nominal con el punto de trabajo), es posiblereformular todo el desarrollo presentado en esta seccion para el caso no-simetrico. Sin embargo, la notacion y lasolucion pasan a ser mas engorrosas [NBT03].
Esta teorıa fue planteada por primera vez por Vidyasagar [VI86], siendo resuelto el problema en un casobastante general por [DD88], que demostro como podıa convertirse dicho problema en uno de programacionlineal, facilmente resoluble. Comparado con otras tecnicas propuestas de control con restricciones, hay resultadospublicados sobre aplicaciones a sistemas reales (vease por ejemplo: [MK00], [TG02], [THV88]).
II.2. Especificaciones de funcionamiento
En la siguiente seccion examinaremos tambien como ciertas especificaciones de diseno pueden ponerse facil-mente como lımites sobre la amplitud maxima de determinadas senales, por lo que sera natural el describirlasutilizando la norma pico-a-pico.
Saturacion
Supongamos que se desea comprobar si un determinado controlador K(z) satura el actuador del sistema decontrol en la figura II.1. Como es bien sabido, este efecto se presenta frecuentemente en la practica: las valvulastienen unos valores maximos y mınimos de apertura, los amplificadores electronicos se saturan, los alerones tienenun angulo maximo y una velocidad maxima de giro, etc. Si la senal de control se satura pueden generarse cicloslımites o inestabilidades.
Vamos a ver como tratar este problema dentro de una formulacion `1. Supongamos que la saturacion delcontrolador puede describirse matematicamente como:
u[i] =
−umax si u′[i] < −umaxu′[i] si |u′[i]| < −umaxumax si u′[i] > umax.
34
K(z) G(z)r(z) e(z) u′(z) u(z) y(z)
(−)+
Limitacion en la senal decontrol
Figura II.1.: Sistema de control con saturacion en la senal de control.
Matematicamente se tratarıa de comprobar si la amplitud maxima de la senal de control u[i] es menor queel valor de saturacion umax. Expresandolo en funcion de normas, serıa equivalente a comprobar que la normapico-a-pico de la senal de control sea menor que el valor de saturacion, para el conjunto de consignas esperables:
maxr posibles
‖u‖∞ ≤ umax.
Si la variacion maxima de las referencias es rmax, por definicion de la norma `1 esta comprobacion puedeexpresarse como:
‖Tru′‖1 rmax ≤ umax.
Donde Tru′ denota la funcion de transferencia de r a u′, que en el caso del sistema realimentado de la figura II.1es simplemente K(1 +KG)−1, o sea, el sistema no se satura siempre que
∥∥K(1 +KG)−1
∥∥1≤ umaxrmax
.
Resulta entonces que, dados una planta y un controlador, puede comprobarse de forma sencilla si el actuadorpudiera saturarse para un conjunto de consignas esperables. Para ello basta calcular la norma `1 de la funcionde transferencia K(1+KG)−1. Si esta norma es menor que el valor de saturacion no se alcanzarıa la saturacion.
Limitaciones de velocidad y aceleracion en actuadores
Ademas de saturacion, muchos actuadores reales presentan ademas (por razones fısicas o de seguridad) limita-ciones en la velocidad y/o aceleracion maxima que pueden alcanzar. En muchos casos resulta, entonces, necesariolimitar el esfuerzo de control, entendiendo este como la variacion de la senal de control. Estas limitaciones puedenexpresarse tambien en relacion con la norma `1 de determinadas funciones de transferencia:
Limitaciones de velocidad
Si la variacion maxima permitida de la senal de control recibida por el actuador es Vmax, en cada perıodo demuestreo, el sistema no sobrepasara este lımite en la variacion de la senal de control si se cumple que:
maxr posibles
‖u[i]− u[i− 1]‖ ≤ Vmax.
O lo que es lo mismo:max
r posibles
∥∥(1− z−1)u
∥∥∞≤ Vmax,
que puede convertirse a una condicion sobre la norma `1 de la funcion de transferencia de r a u′ = u[i]− u[i− 1](Tru′ = (1− z−1)K(1 +KG)−1) :
∥∥(1− z−1)K(1 +KG)−1
∥∥1≤ Vmax.
35
Limitaciones de aceleracion
De forma analoga al caso de la velocidad, si la variacion maxima permitida de la variacion de la senal de controlrecibida por el actuador es Amax en cada perıodo de muestreo, no se superara este lımite siempre que:
maxr posibles
‖u[i]− 2u[i− 1] + u[i− 2]‖ ≤ Amax.
O lo que es lo mismo:max
r posibles
∥∥(1− z−1)2u
∥∥∞≤ Amax,
que puede convertirse a una condicion sobre la norma `1 de Tru′ = (1− z−1)2K(1 +KG)−1 (funcion de transfe-rencia de r a u′ = u[i]− 2u[i− 1] + u[i− 2]):
∥∥(1− z−1)2K(1 +KG)−1
∥∥1≤ Amax.
Puede aplicarse un argumento similar a cualquier otra limitacion en la senal de control, que en general seexpresara como:
∥∥H(z−1)K(1 +KG)−1
∥∥1≤ Amax.
Rechazo de perturbaciones
Si en vez de un problema de seguimiento de una consigna variable, lo que tratamos de resolver es un problemade regulacion en presencia de perturbaciones, puede plantearse matematicamente como calcular la desviacionmaxima de la salida regulada para cualquier perturbacion posible (que supondremos acotada en magnitud).
Si el sistema de control corresponde al de la figura II.2, el error de seguimiento maximo (emax) sera el maximovalor del error e[i] para el conjunto de perturbaciones posibles n[i]. Siguiendo el mismo razonamiento, puedeexpresarse matematicamente este problema como calcular γ que cumple:
emax = max ‖u‖∞
que por definicion de la norma `1 sera
emax = ‖Tne‖1 ‖n‖∞ =∥∥WdK(1 +KG)−1
∥∥1nmax.
Es decir, el error de seguimiento maximo viene dado por el producto del tamano de la perturbacion maxima, porla norma `1 de WdK(1 +KG)−1.
K(z)
Wd(z)
e(z) u′(z) u(z)y(z)
(−)+
Limitacion en lasenal de control
G(z)
n(z)
Figura II.2.: Sistema de control con perturbacion a la salida y saturacion en la senal de control.
36
II.3. Analisis `1
Hemos visto hasta ahora como ciertas especificaciones de funcionamiento pueden expresarse en terminos dela maxima variacion de ciertas senales (salidas medibles, senales de control, senales de error), por efecto deciertas senales aplicadas al sistema (consignas, perturbaciones y ruidos de medida), cuya amplitud maximapuede conocerse. De esta forma se ha visto como consecuencia logica el calculo de la norma `1 para comprobarestas especificaciones de funcionamiento. Hemos mostrado tambien como el problema de analisis de robustezpuede expresarse en la norma `1 de determinadas funciones de transferencia.
Ejemplo de analisis `1
En este ejemplo numerico se desea comprobar si el sistema de la figura II.1 pudiera alcanzar saturacion alaplicar una consigna de amplitud maxima 2, siendo el controlador K = 2z−1
3z−1 y la planta G = 3z−1(2z−1)(4z−1) .
Tal como se ha mencionado anteriormente, este requerimiento equivale a comprobar la siguiente condicionsobre la norma `1:
∥∥K(1 +KG)−1
∥∥1≤ umaxrmax
=3
2
en este caso, sustituyendo K y G por su expresion en z−1, resulta:
∥∥∥∥
(2z − 1)(4z − 1)
4z(3z − 1)
∥∥∥∥1
= 0,9583.
Como 0,9583 < 32 , significa eso que podemos asegurar que el actuador no se saturara. De hecho, la consigna
podrıa tener de amplitud maxima 2 ∗ 1,5/0,9583 ≈ 3,13 y podrıamos seguir asegurando que el actuador no sesatura.
II.4. Estabilidad robusta
El objetivo es mostrar como la norma `1 puede utilizarse tambien para resolver problemas de estabilidadrobusta: en su formulacion general se trata de comprobar si el sistema en lazo cerrado de la figura II.3 es estable,aun en presencia de la incertidumbre en el sistema ∆, que se supone acotada en la norma `1 (|∆|1 ≤ 1), pudiendoser variante en el tiempo. A partir del teorema de pequena ganancia es posible demostrar que el sistema en lazocerrado es estable si y solo si ‖M‖1 < 1, donde M es la funcion de transferencia entre la salida de la incertidumbrey su entrada.
Figura II.3.: Problema de estabilidad robusta para incertidumbres no-estructuradas.
37
Ejemplo de analisis de estabilidad robusta
Se trata de comprobar si el sistema en lazo cerrado de la figura II.4 es estable, aun en presencia de unaincertidumbre multiplicativa directa en la entrada del 100%. La condicion obtenida a partir del teorema depequena ganancia es:
∥∥KG(I +KG)−1
∥∥1≤ 1.
Si G = 3z−1(2z−1)(4z−1) y K = 2z−1
3z−1 , entonces
∥∥KG(I +KG)−1
∥∥1= 0,25 < 1.
Esto significa que puede asegurarse la estabilidad robusta del sistema realimentado, aun en presencia de estaincertidumbre en el sistema.
K(z) G(z)r(z) e(z) u(z) y(z)
(−)+ +
∆
Figura II.4.: Problema de estabilidad robusta para incertidumbre multiplicativa directa.
II.5. Solucion mediante programacion lineal
Planteamiento del problema de optimizacion
Hemos visto hasta ahora como, para comprobar si un sistema de control cumple unas determinadas condicionesde funcionamiento, basta con comprobar una condicion sobre una norma. Por ello, el diseno de controladores opti-mos para sistemas con senales limitadas en amplitud se expresarıa como el problema de encontrar un controladorque minimize la norma de la funcion de transferencia entre las correspondientes entradas y salidas:
mınK estabilizantes
‖HT (K)‖1 ≤ 1
dondeM(K) es una determinada funcion de transferencia que relaciona determinadas entradas y salidas, dependedel controlador a disenar (K) y H es una funcion de transferencia constante (una funcion de peso).
Por ejemplo, si tratamos de minimizar las variaciones de la senal de control se tratara de calcular el controladorque minimice:
mın∥∥(1− z−1)K(1 +KG)−1
∥∥1
es decir: H(z) = (1− z−1), M(K) = K(1 +KG)−1.
La formulacion tradicional se basa en aplicar la parametrizacion de Youla, expresando el controlador K comoK = X−QN
Y+QD , donde Q es cualquier funcion de transferencia estable. La optimizacion se realiza entonces en funciondel parametro Q, lo que tiene la ventaja de que las funciones de transferencia caracterıstica resultan ser afinesen Q y, por lo tanto, faciles de optimizar (para detalles, consultar el apendice A).
Aquı en cambio presentamos una formulacion alternativa, basada en optimizar directamente las respuestasimpulsionales de las funciones de transferencia caracterısticas. Esta variacion da una solucion mas natural de
38
estos problemas de optimizacion, para disenadores no familiarizados con parametrizaciones de Youla. Sin embargo,debemos hacer constar que, al tener generalmente las respuestas impulsionales optimas un numero infinito determinos, nunca obtendremos el regulador optimo, solo una aproximacion a el (por otra parte suficiente en lamayor parte de los casos practicos).
Conversion a un problema de programacion lineal
Por simplicidad, comenzamos la presentacion para el caso de optimizacion de una unica funcion de transfe-rencia SISO. La idea principal del metodo se basa en trabajar directamente con los coeficientes de la respuestaimpulsional de la funcion de transferencia a minimizar Φ = Φ[i]. Efectivamente, hemos visto como los pro-blemas con restricciones se pueden expresar en funcion de la suma (en valor absoluto) de los coeficientes de larespuesta impulsional (que no es otra cosa que la norma `1).
El problema de optimizacion puede expresarse entonces como:
mınK estabilizantes
‖Φ‖1 = mınK estabilizantes
∞∑
i=1
|Φ[i]|
donde Φ[i] son los coeficientes de la respuesta impulsional que tratamos de optimizar, con la restriccion adicionalde que el controlador K no puede cancelar ningun cero inestable de la planta G (lo que harıa K inestable, quesiempre es indeseable). Tampoco K deberıa cancelar ningun polo inestable de la planta (pues la cancelacion noserıa efectiva en cuanto la planta sufriera una pequena variacion, haciendo el sistema en lazo cerrado inestable;esto es, el sistema no tendrıa estabilidad interna). Esto lo representaremos matematicamente como la restriccionde que KG debe valer 0 en los ceros inestables de la planta e ∞ en los polos inestables de la planta.
Por ejemplo, en el caso de que quisieramos minimizar el error de seguimiento en presencia de perturbaciones,el objetivo serıa minimizar la sensibilidad S = 1/(1 +KG). Denotando los ceros inestables de la planta G comozk y los polos inestables como pk, las restricciones de interpolacion serıan:
S(zk) = 1/(1 + 0) = 1 ∀k
S(pk) = 1/(1 +∞) = 0 ∀k.
Por ejemplo, si la planta fuese G = (z−3)(z−2)(z−0,5) , entonces z1 = 3, p1 = 2 con lo que las restricciones de
interpolacion serıan:S(3) = 1
S(2) = 0.
En cambio, si la funcion a optimizar resultase ser la sensibilidad complementaria T = KG/(1 + KG), lasrestricciones de interpolacion serıan:
T (zk) = 0 ∀kT (pk) = 1 ∀k
que para nuestro ejemplo serıanT (3) = 0
S(2) = 1.
En general, para asegurar la estabilidad interna del sistema de control a disenar se deberan cumplir las siguientesrestricciones de interpolacion:
M(zk) = αk ∀kM(pk) = βk ∀k
39
donde αk y βk corresponden a los valores (constantes) resultantes de sustituir los ceros o polos en la funcion detransferencia.
Como se ha mencionado antes, si expresamos esta funcion de transferencia generica Φ en terminos de surespuesta impulsional Φ = Φ[i], por definicion de la transformada z de un sistema (Φ(z) =
∑∞i=0 Φ[i]z
−i) ysegun la formula de calculo de una norma `1 como la suma en valor absoluto de los terminos de una respuestaimpulsional, la norma ell1 resulta ser:
mınΦ[i]
∞∑
i=0
|Φ[i]|.
Para tener en cuenta las restricciones de interpolacion, basta utilizar el hecho de que el valor de una funcionde transferencia Φ en un punto ak, dada su respuesta impulsional Φ[i], es:
Φ(ak) =
∞∑
i=0
Φ[i]
aik.
Resulta entonces que el problema de optimizacion puede expresarse como:
mın
∞∑
i=0
|Φ[i]|
sujeto a∞∑
i=0
Φ[i]
zik= αk ∀k
∞∑
i=0
Φ[i]
pik= βk ∀k.
Este problema de minimizacion puede transformarse a un problema de programacion lineal estandar haciendoel cambio de variable Φ[i] = Φ[i]+ − Φ[i]−, donde aseguraremos que las nuevas variables sean siempre positivas:Φ[i]− ≥ 0 y Φ[i]+ ≥ 0 y una de ellas siempre 0 (esto se conseguira normalmente pesando de alguna forma el valorde estos nuevos coeficientes).
Resulta entonces el nuevo problema de optimizacion:
mın∞∑
i=0
(Φ[i]+ +Φ[i]−
)
sujeto a∞∑
i=0
Φ[i]+
zik−
∞∑
i=0
Φ[i]−
zik= αk ∀k
∞∑
i=0
Φ[i]+
pik−
∞∑
i=0
Φ[i]−
pik= βk ∀k.
En principio este es un problema de programacion lineal con infinitas variables, pero normalmente puedetruncarse, suponiendo que la respuesta impulsional es finita. Para ello basta reemplazar el ∞ en la expresionanterior por un valor finito N (que puede aumentarse hasta obtener buena convergencia). Resulta entonces unproblema de programacion lineal de dimension finita, que puede resolverse utilizando software de programacionlineal (por ejemplo la funcion lp o linprog en Matlab), como mostraremos posteriormente en el ejemplo detalladodel reformador de hidrogeno (II.6).
40
Una vez resuelto el problema de optimizacion lineal, basta deshacer los cambios de variables realizados paraobtener el controlador:
Primero los coeficientes de la respuesta impulsional optima se obtendrıan a partir de la solucion optima delproblema de programacion lineal:
Φ[i] = Φ[i]+ − Φ[i]−
y el controlador optimo se calcula despejando K de la formula de la funcion de transferencia caracterısticautilizada. Ası, si la funcion a optimizar es la sensibilidad S = 1/(1 +KG), el controlador serıa:
K =1− Φ
GΦ.
Teniendo en cuenta que la funcion de transferencia en z correspondiente a la respuesta impulsional es Φ[z] =∑n
0 Φ[i]z−k, si la planta expresada como cociente de polinomios en z es G = nG[z]
dG[z] , resulta el controlador optimo:
K =dG(1−
∑Φ[i]z−k)
nG(∑
Φ[i]z−k).
Para obtener el controlador definitivo basta cancelar ceros y polos (si se ha realizado correctamente siemprese cancelaran los que hayamos introducido en las restricciones de interpolacion, con lo que desaparecen delcontrolador), y realizar la reduccion de orden correspondiente, si fuese necesario.
Problema multibloque
Hemos visto como es posible resolver el problema de diseno de controladores en presencia de restricciones, enel caso de que el objetivo sea minimizar una unica funcion de transferencia. Sin embargo, en problemas practicosel objetivo puede ser minimizar varias matrices de transferencia de forma simultanea.
Presentaremos la tecnica multibloque mediante un ejemplo numerico basado en resolver un problema de sen-sibilidad mixta, donde el disenador debe considerar situaciones de compromiso entre requerimientos a baja yaltas frecuencias, que se pueden transformar como un problema de optimizacion en paralelo de dos funciones detransferencia caracterısticas, como pueden ser la sensibilidad, la sensibilidad al control o la sensibilidad comple-mentaria. Por ejemplo, un problema de sensibilidad mixta que trate de minimizar la sensibilidad y la sensibilidadal control puede expresarse como:
mınK
∥∥∥∥
(I +KG)−1
K(I +KG)−1
∥∥∥∥1
.
Este problema de sensibilidad mixta presenta la ventaja frente a otros en que evita que el controlador cancelelos ceros y polos estables de la planta, como luego comprobaremos en un ejemplo.
Pues bien, la solucion se obtiene de forma analoga al caso de un bloque, definiendo Φ1 = (I + KG)−1 yΦ2 = K(I +KG)−1:
mın
∥∥∥∥
Φ1
Φ2
∥∥∥∥1
.
La principal diferencia en este caso es que sera necesario anadir restricciones de factibilidad que aseguren queal optimizar se tenga en cuenta que el controlador K es el mismo para las dos funciones de transferencia. En elejemplo que estamos desarrollando esto significa que:
Φ1 +GΦ2 = 1.
pues (I +KG)−1 +GK(I +KG)−1 = 1.
41
Al sustituir Φ1 y Φ2 por sus respuestas impulsionales Φ1[i] = Φ+1 [i] − Φ−1 [i] y Φ2[i] = Φ+
2 [i] − Φ−2 [i], estasrestricciones de factibilidad dan lugar a un numero infinito de restricciones. En efecto, si la planta expresada
como cociente de polinomios en z es G = nG[z]dG[z] , resulta la siguiente relacion:
dG ∗ (Φ+1 +Φ−1 ) + nG ∗ (Φ+
2 +Φ−2 ) = dG
donde ∗ significa convolucion (producto de polinomios en z−1). Al desarrollar la convolucion se obtiene un con-junto infinito de restricciones, facilmente desarrollable en termino de los coeficientes de numerador y denominadorde la planta.
Ejemplo
En el caso de que nG = n0z + n1 y dG = z + d1, con p1 = d1 > 1, z1 = n1/n0 > 1, en terminos de loselementos de las respuestas impulsionales, esta relacion se transformarıa en el siguiente conjunto de restriccionesde factibilidad:
(Φ+[0] + Φ−[0]) + n0(Φ+2 [1] + Φ−2 [1]) = d0
d1(Φ+1 [0] + Φ−1 [0]) + (Φ+
1 [1] + Φ−1 [1]) + n1(Φ+2 [0] + Φ−2 [0]) + n0(Φ
+2 [1] + Φ−2 [1]) = d1
d1(Φ+1 [1] + Φ−1 [1]) + (Φ+
1 [2] + Φ−1 [2]) + n1(Φ+2 [1] + Φ−2 [1]) + n0(Φ
+2 [2] + Φ−2 [2]) = 0
d1(Φ+1 [i] + Φ−1 [i]) + d1(Φ
+1 [i+ 1] + Φ−1 [i+ 1]) + n1(Φ
+2 [i] + Φ−2 [i]) + n0(Φ
+2 [i+ 1] + Φ−2 [i+ 1]) = 0 ∀i > 1
En cuanto a las condiciones de interpolacion, en este caso inicialmente serıan las siguientes:
Φ1(zk) = 1 ∀k
Φ1(pj) = 0 ∀j
Φ2(pj) = 0 ∀j.
Sin embargo, en este caso las restricciones de interpolacion (Φ1(zk) y Φ2(pj)) resultan ser redundantes, pueslas restricciones de factibilidad crean relaciones entre las restricciones de interpolacion. Ası en nuestro ejemplo,al tener como restriccion de factibilidad Φ1+GΦ2 = 1, si la evaluamos en los ceros de la planta resulta automati-camente que Φ1(zk) = 1, y si la evaluamos en los polos Φ2(pj) = 0, con lo que se comprueba que no hace faltaincluir estas restricciones de interpolacion, pues ya estan incluidas automaticamente en las de factibilidad.
Esta redundancia hace que sea siempre recomendable comprobar si es posible eliminar algunas de las restric-ciones (de hecho en la mayor parte de los problemas multibloque correctamente formulados las restricciones deinterpolacion resultan redundantes).
En definitiva, el problema de optimizacion resultante para este ejemplo, suponiendo que las respuestas impul-sionales son finitas de longitud N , serıa
mınΦ+
1[i],Φ−
1[i],Φ+
2[i],Φ−
2[i]
max
(N∑
i=0
(Φ+1 [i] + Φ−1 [i] + Φ+2 [i] + Φ−2 [i]
)
)
sujeto aN∑
i=0
Φ+1 [i]
pi1
−
N∑
i=0
Φ−1 [i]
pi1
= γj
(Φ+[0] + Φ−[0]) + n0(Φ+2 [1] + Φ−2 [1]) = d0
d1(Φ+1 [0] + Φ−1 [0]) + (Φ+1 [1] + Φ−1 [1]) + n1(Φ
+2 [0] + Φ−2 [0]) + n0(Φ
+2 [1] + Φ−2 [1]) = d1
d1(Φ+1 [i] + Φ−1 [i]) + d1(Φ
+1 [i+ 1] + Φ−1 [i+ 1]) + n1(Φ
+2 [i] + Φ−2 [i]) + n0(Φ
+2 [i+ 1] + Φ−2 [i+ 1]) = 0 ∀i > 0.
42
II.6. Control de un reformador de hidrogeno
En esta seccion presentamos el diseno de un controlador utilizando las tecnicas de programacion lineal pre-sentadas en el capıtulo para un sistema industrial, lo que nos permitira comprobar las ventajas de utilizar estastecnicas para resolver problemas reales.
Problema de control del reformador de hidrogeno
El problema a resolver es el control de un reformador de hidrogeno en una planta petroquımica, cuyo esquemase muestra en la figura II.5. El objetivo de este sistema es la produccion de hidrogeno por catalisis a partir dehidrocarburos a los que se ha eliminado previamente el azufre. Para generar el hidrogeno los hidrocarburos semezclan con vapor supercalentado justo antes de entrar en los tubos del reformador, donde un catalizador denıquel calentado a alta temperatura (sobre 750oC) produce el hidrogeno. La alta temperatura necesaria paraacelerar la reaccion se produce quemando combustible en el reformador [WV00], [AK01].
Figura II.5.: Esquema del reformador de hidrogeno.
El sistema de control trata de mantener la temperatura deseada del catalizador basandose en modificar lacantidad de combustible que alimenta al reformador. Para ello se dispone de medidas de temperatura del cata-lizador y del flujo de combustible, y asimismo de una valvula controlada por ordenador que regula el flujo decombustible. Al disponer de un unico actuador y dos medidas, la estructura de control se basa en la estructuraen cascada que se muestra en la figura II.6.
En el proceso real existen fuertes perturbaciones, tales como variaciones del flujo de combustible, variacionesde su calidad, variaciones de la temperatura del vapor, etc. La perturbacion mas difıcil de corregir correspondea la temperatura del vapor, que modifica de una forma muy rapida la temperatura del catalizador. El sistemade control trata de atenuar lo mas posible esta perturbacion actuando sobre la referencia del lazo de control deflujo de combustible.
En este ejemplo unicamente nos planteamos el diseno de un controlador para el lazo exterior que eliminede forma adecuada las variaciones de la temperatura del catalizador, actuando sobre la referencia del lazo decontrol de combustible. Este ultimo se considera adecuado, por lo que se mantendran sus valores y caracterısticas.
43
r(z) y(z)
(−)
+ +K(z) G(z)+control de
valvula
(−)
perturbacion
flujo
Figura II.6.: Sistema de control en cascada del reformador de hidrogeno.
Debemos puntualizar que no se dispone de una medida fiable de la temperatura del vapor de entrada, lo quehace inadecuado utilizar un compensador feedforward que elimine las perturbaciones; ademas, la planta es defase no-mınima. Esta reducion de las perturbaciones debe realizarse entonces por realimentacion.
Modelo del sistema
Un modelo simplificado del sistema se obtuvo a partir de modelado e identificacion del sistema a partir demedidas obtenidas del sistema real [Sh96]. El modelo calculado corresponde a la funcion de transferencia entrela referencia del flujo de combustible y la temperatura de salida, incluyendo las dinamicas impuestas por el lazointerior de control de flujo.
G =−0,032 [z + 0,2453] [z − 0,623257] [z + 0,999] [z − 15,4484]
[[z2 + 1,576432z + 3,074984
]
z [z + 0,58958] [z − 0,615995] [z + 0,81983] [z − 0,910085] [z2 + 0,838534z + 0,320120].
Puede comprobarse en este modelo que la planta es estable, pero de fase no mınima, con tres ceros fuera delcırculo unidad (en z = 15,45, y z = −0,79 +−1,57j).
El modelo de perturbacion se obtuvo por identificacion, resultando ser:
Wd =0,03
[[z + 0,1216]2 + 0,6900822z2
]
z3 [z + 0,58958] [z − 0,615995] [z + 0,81983] [z − 0,910085] [z2 + 0,838534z + 0,320120].
Sensibilidad mixta
Para resolver problemas practicos basados en minimizacion de una norma `1 el problema de sensibilidad mixta:
mın
∥∥∥∥
WS
(I +KG−1
)
WMKG(I +KG−1
)
∥∥∥∥1
fue propuesto y resuelto en [DP87], luego estudiado en mas detalle en [ST93]. En problemas reales, las principalesdificultades de esta solucion vienen dadas por la cancelacion de ceros y polos estables por el controlador, y elexcesivo esfuerzo de control. Para resolver estos problemas hemos propuesto [TG02] la solucion del problema desensibilidad mixta alternativo:
mın
∥∥∥∥
WS
(I +GK−1
)
WMK(I +GK−1
)
∥∥∥∥1
.
En efecto, con esta estrategia el controlador no cancela necesariamente los ceros y polos estables del controlador.Ademas, desde el punto de vista de la ingenierıa se sabe que es mas adecuado considerar en la optimizacion losesfuerzos de control, que pueden reducirse directamente al anadir en la optimizacion un peso sobre la sensibilidadal control.
44
Este problema puede resolverse segun los metodos vistos en la seccion anterior, convirtiendose a un problemade programacion lineal semi-infinita:
mın
∥∥∥∥
Φ1
Φ2
∥∥∥∥1
sujeto a W−1S Φ1 +GW−1
M Φ2 = 1.
Diseno del problema de optimizacion
El objetivo principal del sistema de control a disenar es reducir el efecto de las perturbaciones sobre la salida.En terminos de senales el objetivo puede expresarse como la minimizacion de la desviacion maxima que alcanzala salida por efecto de las perturbaciones, que es precisamente ‖Sn‖∞. Si el efecto de la perturbacion sobre lasalida viene filtrado por la funcion de transferencia Wd, el problema de diseno puede expresarse entonces comoel problema de calcular un controlador que minimice ‖SWd‖1.
Ademas debemos asegurar que la senal de control sea razonable. Para ello incluimos en la minimizacionel efecto de la perturbacion sobre la senal de control, que vendra determinada por la sensibilidad al controlM = K
(I +GK−1
). El controlador se calcula entonces resolviendo el problema de sensibilidad mixta:
mın
∥∥∥∥
WS
(I +GK−1
)
WMK(I +GK−1
)
∥∥∥∥1
.
Seleccion de pesos
Observando las componentes en frecuencia del modelo de las perturbaciones se comprueba como, en el sistemaobjeto de estudio, las perturbaciones siguen siendo importantes hasta frecuencias cercanas a 0,02 rad/s, afectandodirectamente a la salida. Con el fin de reducir las perturbaciones hasta una frecuencia cercana a 0,02 rad/s, serıanecesario que la frecuencia de corte de la sensibilidad estuviera sobre esta frecuencia. Es decir, la funcion de pesoa utilizar para disenar S debera tener un cero cerca de esta frecuencia.
El problema que presenta esta eleccion es que esta frecuencia resulta ser superior al ancho de banda del sistemaen lazo abierto. Resulta entonces que el ancho de banda en lazo cerrado debe ser mayor que en lazo abierto, loque unicamente puede conseguirse haciendo la ganancia del controlador grande entre ambas frecuencias [GL95].Significara esto que el controlador amplificara las frecuencias comprendidas entre las frecuencias de corte en lazoabierto y en lazo cerrado. Esto debe hacerse con precaucion para evitar excesivos esfuerzos de control y asegurarla estabilidad del sistema en lazo cerrado.
Se debe alcanzar entonces una solucion de compromiso entre la frecuencia de corte de S y la amplificacion dealtas frecuencias que presentara M . Esta situacion es difıcil de conseguir por metodos clasicos, por lo que unmetodo de diseno de controladores robustos mediante optimizacion (tal como la optimizacion `1) es ideal pararesolver el problema. En este caso se puede conseguir estos requerimientos mediante la seleccion adecuada de lospesos sobre las funciones de transferencia a minimizar.
En este ejemplo en particular, los pesos se han elegido tal como se muestran en la figura II.7. La seleccionconcreta se realizo de la siguiente manera:
Peso sobre la sensibilidad al control WM
:
45
10−4
10−3
10−2
10−1
10−2
10−1
100
101
Pesos seleccionados
Frecuencia (rad/s)
WS−1
WM−1
Figura II.7.: Pesos seleccionados para el diseno `1.
Saturacion-lımite en amplitud del actuador
En el sistema de control en cascada que controla el reformador de hidrogeno, se sabe que el flujo de combustiblepuede variar respecto al valor nominal como mucho entre −6,89 y +1,51. Significa esto que en condicionesnormales de funcionamiento el sistema de control debe ser capaz de rechazar las perturbaciones sin llegar asaturarse. Es decir, ‖u‖∞ ≤ 1,51, para el conjunto de perturbaciones posibles. Debemos ahora describir estasposibles perturbaciones. En este caso las perturbaciones se encuentran normalizadas: ‖d‖∞ ≤ 1.
En definitiva, se debera cumplir que:
max‖d‖
∞≤1‖u‖∞ ≤ 1,51.
Se ha visto previamente como este problema puede formularse como una condicion sobre la norma `1 de lafuncion de transferencia entre d y u. En este caso la funcion de transferencia de d a u es MGd (con M lasensibilidad al control):
∥∥∥∥M
Gd
1,51
∥∥∥∥1
≤ 1.
Lımite en la velocidad del actuador
En este problema se impone una variacion maxima de la senal de control entre instantes de muestreo del 2%de su valor pico-a-pico, esto es, 0,168 unidades. Teniendo en cuenta que la funcion de transferencia desde d hastau es MGd, tal como se ha mostrado anteriormente esta condicion puede expresarse en la norma `1 segun:
∥∥∥∥MGd(1− z−1)
0,168
∥∥∥∥1
≤ 1.
Finalmente, se escoge una funcion de peso sobre la sensibilidad al control WM tal que a cada frecuencia acotelos dos factores multiplicativos de M en las condiciones obtenidas por saturacion y limitacion en la variacion delactuador. Es decir:
46
|WM |z=ejω ≥∣∣∣∣
Gd
1,51
∣∣∣∣z=ejω
|WM |z=ejω ≥∣∣∣∣∣
Gd
(1− z−1
)
0,168
∣∣∣∣∣z=ejω
.
Ademas, esta funcion de peso se elige de forma que su valor absoluto en el rango de frecuencias bajas y mediassea lo mas pequeno posible compatible con las restricciones anteriores. A altas frecuencias se disminuye el pesopara permitir aumentar M entre el ancho de banda del sistema en lazo abierto y el ancho de banda del sistemaen lazo cerrado. La amplitud del peso elegido se muestra en la figura II.8, donde el peso elegido corresponde a latransformada bilineal de:
WM (s) =0,5
(s+ 0,01)(s+ 0,0001).
10−4
10−3
10−2
10−1
10−2
10−1
100
101
102
Frecuencia (rad/s)
Mag
nitu
d
Seleccion del peso sobre la sensibilidad al control
WM
Amplitud
Velocidad
Figura II.8.: Seleccion del peso sobre la sensibilidad al control.
Peso sobre la sensibilidad al control WS
Para elegir este peso se parte de las especificaciones de diseno: la frecuencia de corte de S(z = ejw) debeestar alrededor de 0,01 rad/seg. Como S debe reducir las perturbaciones de baja frecuencia tanto como seaposible, debe ademas incluir un integrador. Para evitar sobrepicos de alta frecuencia en S, se debe pesar a altasfrecuencias.
Calculo del controlador
Una vez seleccionado el problema (sensibilidad mixta alternativo) y los pesos a utilizar, se puede resolver elcorrespondiente problema de programacion lineal, correspondiente al ejemplo de la seccion (II.5), incluyendo lospesos. En nuestro caso utilizamos la toolbox de optimizacion en Matlab para el calculo del controlador.
47
El controlador resultante se redujo de orden hasta un controlador de orden 4, con funcion de transferencia:
K =[z − 1,03795] [z − 0,88451] [z − 0,65138] [z + 0,20540]
[z − 1] [z − 0,390547] [z2 − 0,097448z + 0,280517].
La respuesta en frecuencia del controlador resultante se compara con la del controlador completo en la figuraII.9. En la figura II.10 se comparan las respuestas salto en lazo cerrado. Puede comprobarse como la aproximacionrealizada es correcta, afectando solo a altas frecuencias y no significativamente a la respuesta salto.
10−4
10−3
10−2
10−1
10−2
10−1
100
101
Respuesta en frecuencia del controlador
Frecuencia (rad/s)
control original
control reducido
Figura II.9.: Respuesta en frecuencia del controlador.
0 10 20 30 40 50 60−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Respuesta salto en lazo cerrado
Tiempo (muestras)
controlador reducido
Figura II.10.: Respuesta salto en lazo cerrado.
Las funciones de transferencia caracterısticas del sistema en lazo cerrado se muestran en la figura II.11. Esposible comprobar como la forma de estas funciones de transferencia es adecuada: el ancho de banda del sistemaes ahora de 0,000218 rad/s, lo que significa que se filtraran las perturbaciones por debajo de esta frecuencia, como
48
estabamos buscando. Ademas, la sensibilidad complementaria no presenta sobrepico, por lo que no lo presentara larespuesta salto del sistema. El sobrepico que presenta la sensibilidad al control se debe a la necesidad de aumentarel ancho de banda del sistema en lazo cerrado respecto al de lazo abierto, para poder rechazar las perturbaciones.
10−4
10−3
10−2
10−1
10−2
10−1
100
101
Funciones de transferencia características
Frecuencia (rad/s)
S=1/(1+KG) T=KG/(1+KG)
M=K/(1+KG)
Figura II.11.: Funciones de transferencia caracterısticas.
El codigo en Matlab que permite calcular este controlador se muestra a continuacion:
m=20; %Longitud de la respuesta impulsional
tol=1e-5;
% Definicion de la planta
kg=-0.032
zg=[-0.2453 0.623257 -0.9999 15.4484 -0.788216+1.566429j ...
-0.788216-1.566429j]’;
pg=[-0.58958 0.615995 -0.81983 0.910085 -0.419267+0.379915j ...
-0.419267-0.379915j]’;
% Planta G=ng/dg
[ng,dg]=zp2tf(zg,pg,kg)
% Definicion de los ceros fuera del cırculo unidad
zi=[15.4484 -0.788216+1.566429j]’;
Ts=30; w=logspace(-4,-1,256);
% Peso de S
[nw2,dw2]=c2dm(5*[1/0.01 1],[1/10 1],Ts,’matched’)
% Peso de M
[nw1,dw1]=c2dm(0.5*[1 0.01],[1 1e-6],Ts,’matched’)
% Polinomios auxiliares para evaluar las restricciones de factibilidad
pol1=conv(conv(dw1,nw2),dg); mpol1=length(pol1);
pol2=conv(conv(nw1,dw2),ng); mpol2=length(pol2);
pol3=conv(conv(nw1,nw2),dg); mpol3=length(pol3);
% Restricciones sobre la NORMA
A=[-1 ones(1,m) ones(1,m) zeros(1,m) zeros(1,m)
-1 zeros(1,m) zeros(1,m) ones(1,m) ones(1,m)];
49
b=[0;0];
Aeq=[];beq=[];
% restricciones de FACTIBILIDAD: S+GM=I
Apol1=zeros(m+mpol1-1,m); Apol2=zeros(m+mpol2-1,m);
for i=1:m,
Apol1(i:i+mpol1-1,i)=pol1’;
Apol2(i:i+mpol2-1,i)=pol2’;
end
Aeq= [Aeq
zeros(size(Apol1,1),1) Apol1 -Apol1 Apol2 -Apol2];
beq=[beq
pol3’
zeros(size(Apol1,1)-mpol3,1)];
% funcion de coste a minimizar
f=eye(1,4*m+1);
% RESOLUCION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL
[phiopt,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,zeros(size(f)),...
Inf*ones(size(f))’,zeros(size(f))); gamma=phiopt(1);
% Calculo de la Sensibilidad optima S=(phi(+)-phi(-))/W1
phi1=phiopt(2:m+1)’-phiopt(m+2:2*m+1)’;
% Eliminacion de coeficientes espureos en phi1
while (abs(phi1(length(phi1)))<=tol*max (abs(phi1)))
phi1=phi1(1:length(phi1)-1);
end
nsopt=conv(dw1,phi1);
dsopt=[nw1,zeros(1,length(nsopt)-length(nw1))];
% Calculo de la Sensibilidad al Control optima M=(phi(+)-phi(-))/W2
phi2=phiopt(2*m+2:3*m+1)’-phiopt(3*m+2:4*m+1)’;
while (abs(phi2(length(phi2)))<=tol* max(abs(phi2)))
phi2=phi2(1:length(phi2)-1);
end
nmopt=conv(dw2,phi2);
dmopt=[nw2,zeros(1,length(nsopt)-length(nw1))];
% Calculo del Controlador a partir de S y el modelo de la planta G
nkopt=conv(dg,(dsopt-nsopt)); dkopt=conv(ng,nsopt);
while (abs(nkopt(1))<=tol* max(abs(nkopt)) & ...
abs(dkopt(1))<=tol*max(abs(nkopt)))
nkopt=nkopt(2:length(nkopt));
dkopt=dkopt(2:length(dkopt));
end
% cancelacion de los ceros/polos interpolados (los inestables)
[nk,dk]=minreal(nkopt,dkopt,5e-3);
% Reduccion ad-hoc del orden del controlador:
%Controlador optimo es K=nk/dk; Controlador Reducido es K=nkr/dkr
[mag,f]=freqz(nk,dk,128); nb=6; na=6; ft=1./(0.01+f);
[nkr,dkr]=invfreqz(mag,f,nb,na,ft);
50
Simulacion del sistema controlado
Con el fin de comprobar el comportamiento del controlador, se ha programado en Simulink un modelo bastanterealista del proceso. En las simulaciones realizadas se ha comparado el comportamiento que presenta el controladordisenado con el presentado por el sistema real ante las mismas perturbaciones. Para ello, se han leıdo los valoresy estructura del PID instalado en la planta y simulado en Simulink. Las perturbaciones se generaron tratandode representar el espectro de frecuencias encontrado en las perturbaciones reales.
En la figura II.12 se comparan las desviaciones respecto al valor de consigna del sistema controlado por elPID y del sistema con el controlador disenado. Puede comprobarse como las perturbaciones de baja frecuenciason eficientemente filtradas por el controlador `1, dando menores desviaciones respecto al valor de consigna. Enefecto, el error maximo de seguimiento se disminuye de 4,4 grados Celsius con el PID hasta 3,1 grados con elcontrolador `1.
Figura II.12.: Seguimiento de la referencia en presencia de perturbaciones.
Para conseguir esta reduccion, la senal de control generada por el controlador `1 es mas activa (ver figura II.13),pero su desviacion maxima aumenta (de 0,41 Km3/h a 0,54 Km3/h) siempre dentro de valores aceptables. Elque estos valores sean aceptables se ha conseguido al haber introducido en el diseno un peso sobre la sensibilidadal control, que tiene en cuenta tanto la magnitud de la senal de control como su variacion.
Figura II.13.: Senal de control del lazo exterior.
51
Conclusiones del ejemplo
Como aplicacion practica de estas tecnicas se ha visto que es posible solucionar el problema de control delreformador de hidrogeno objeto de estudio mediante un controlador lineal disenado utilizando el metodo deoptimizacion `1. Tal controlador fue disenado solucionando un problema de minimizacion mixta. Se ha mostradocomo pueden escogerse los pesos de las funciones caracterısticas a minimizar a partir de las especificacionesde diseno. En particular se han tenido en cuenta las limitaciones sobre el tamano de la senal de control y susvariaciones entre perıodos de muestreo.
El rendimiento del controlador ha sido comprobado utilizando un modelo no-lineal del sistema de control encascada utilizado en la planta real, comprobando como se disminuye la variacion en la variable controlada, quees la temperatura del catalizador. El controlador disenado ha sido comparado con el situado actualmente en laplanta, del tipo PID, comprobando que se puede obtener un control mas preciso de la temperatura del reformador(se disminuyen las variaciones de 4,4 grados hasta 3,1 grados Celsius), con una senal de control adecuada. Ademasel controlador disenado, al ser de parametros fijos y de bajo orden, puede integrarse adecuadamente en el sistemade control.
II.7. Metodo de calculo basado en LMIs
El problema de diseno `1 no es posible expresarlo directamente como un conjunto de LMIs. Sin embargo, sı esposible expresar un conjunto de LMIs que se aproximen a la solucion optima, acotando superior e inferiormentela solucion. Presentamos unicamente las ideas generales; los detalles aparecen en [ED98].
Pasos preliminares
Utilizando la parametrizacion de Youla (ver apendice A), podemos convertir el problema de optimizacion `1al siguiente problema de equivalencia de modelos en el parametro de Youla Q:
mınQ‖H − UQ‖1 .
Para poder plantearlo como un problema LMI, hacemos primero el cambio de variable Φ = H − UQ:
mınQ‖Φ‖1
sujeto a:Φ = H − UQ.
Ahora descomponemos la respuesta impulsional de Φ en dos fragmentos: Φ1, que contendra los N primerosterminos de la respuesta impulsional, y Φ2, que contendra el resto de los terminos de la respuesta impulsional:
Φ1 = Φ[0],Φ[1], ...,Φ[N − 1], 0, 0, ... ;Φ2 = 0, 0, ..., 0,Φ[N ],Φ[N + 1], ... .
Si tenemos en cuenta que Φ = H − UQ, vamos a ver que parte de las respuestas impulsionales de H, U y Qafectan a Φ1 y Φ2.
En primer lugar supongamos que las respuestas impulsionales de H y Q son:
H = h[0], h[1], h[2], ...U = u[0], u[1], u[2], ...Q = q[0], q[1], q[2], ... .
52
H puede descomponerse directamente en los mismos dos fragmentos que Φ:
H1 = h[0], h[1], ..., h[N − 1], 0, 0, ...
H2 = 0, 0, ..., 0, h[N ], h[N + 1], ...
Q tambien puede descomponerse en los mismos fragmentos que Φ:
Q1 = q[0], q[1], ..., q[N − 1], 0, 0, ...
Q2 = 0, 0, ..., 0, q[N ], q[N + 1], ...
Para poder multiplicar U y Q debemos convolucionarlas, lo que equivale a premultiplicar el vector de res-puestas impulsionales de Q por la matriz de Toeplitz, formada por repeticiones desplazadas de la respuestaimpulsional:
U =
u[0] 0 0 ...u[1] u[0] 0 ...u[2] u[1] u[0] ...... ... ... ...
(infinitas filas e infinitas columnas).
U puede descomponerse en 4 fragmentos, a saber:
• U11 =
u[0] 0 ... 0u[1] u[0] ... 0... ... ... ...
u[N − 1] u[N − 2] ... u[0]
(N filas y N columnas)
• U12 = 0 (por ser U causal)
• U21 =
u[N ] u[N − 1] ... u[1]u[N + 1] u[N ] ... u[2]
... ... ... ...
(infinitas filas y N columnas)
• U22 =
u[0] 0 ...u[1] u[0] ...... ... ...
(infinitas filas e infinitas columnas)
Puede observarse ademas que U22 = U (que matematicamente viene dado por ser U una matriz de Toeplitz).
Resulta entonces queΦ1 = H1 − U1Q1
Φ2 = H2 − U12Q1 − UQ2.
Metodo aproximado
Una vez descompuesto el problema en bloques vamos a plantear un problema de optimizacion que puedaresolverse utilizando LMIs y que aproxime al problema `1.
Por ejemplo, puede plantearse el correspondiente problema de optimizacion como la media geometrica de:
La norma `1 de los N primeros terminos de la respuesta impulsional de Φ (que son precisamente los queestan en Φ1)
la norma H2 de los restantes terminos de la respuesta impulsional de Φ (que son los que hemos incluido enΦ2).
53
Es decir, tratamos de calcular un Q que minimice√
‖Φ1‖12+ ‖Φ2‖2
2.
Esta funcion a optimizar se elige porque, para un N fijo, corresponde a una norma que puede minimizarsemediante LMIs, y ademas, a medida que se aumenta N la solucion se aproxima a la del problema original. Paratener una estimacion bastara entonces resolver este problema de optimizacion modificado, aumentando N hastaconverger a una solucion. Como veremos en la proxima seccion, dependiendo de las restricciones consideradasnos aproximaremos al optimo, bien por arriba, bien por abajo.
Aproximacion inferior por LMIs
Una aproximacion inferior puede calcularse utilizando ‖Φ2‖2.
mınQ
√
‖Φ1‖12+ ‖Φ2‖2
2
sujeto a: Φ1 = H1 − U1Q1; Φ2 = H2 − U12Q1 − UQ2.
‖Φ2‖22= ‖H2 − U12Q1 − UQ2‖2
2= Trace
([
1 Q1T]BTLoB
[1Q1
])
.
Los parametros Lo y B se obtienen a partir de la representacion de espacios de estados de
H2 − U12Q1 − UQ2.
Lo es el Gramiano de observabilidad, que puede calcularse resolviendo una ecuacion de Lyapunov (en Matlabse calcula inmediatamente con el comando gram).
Aproximacion superior
Para obtener una aproximacion superior basta imponer una restriccion adicional al problema utilizado parala aproximacion inferior, que resulte redundante cuando N sea muy grande, y que ademas no complique elprocedimiento de resolucion.
Por ejemplo, a medida que N va haciendose mas grande Q2 ira tendiendo a 0, por lo que podemos buscar unasolucion imponiendo que Q2 = 0. Es decir:
mınQ
√
‖Φ1‖12+ ‖Φ2‖2
2
sujeto a:Φ1 = H1 − U1Q1; Φ2 = H2 − U12Q1 − UQ2 y Q2 = 0
o lo que es lo mismo:
mınQ
√
‖Φ1‖12+ ‖Φ2‖2
2
sujeto a:Φ1 = H1 − U1Q1; Φ2 = H2 − U12Q1.
Al tener una restriccion adicional este problema de optimizacion, su valor optimo sera mayor. Ademas puededemostrarse [ED98] que, a medida que N va haciendose mas grande, las aproximaciones, superior e inferior,convergen (de forma debil).
54
II.8. Resumen del capıtulo
En este capıtulo se han presentado las ideas basicas de la utilizacion de la norma `1 como metodo para tratarsistemas con restricciones sobre la magnitud de senales del lazo de control, en particular de la senal de control.
En primer lugar se ha mostrado como es posible asegurar la estabilidad de sistemas de control existentes, enpresencia de limitaciones sobre la magnitud de senales (asegurando que estas restricciones nunca se alcanzan) oincertidumbres variantes en el tiempo.
Posteriormente, se ha mostrado un metodo de diseno de controladores optimos, los cuales aseguran que nose alcanzan las restricciones impuestas. Las tecnicas presentadas se basan en convertir el problema de disenoa un problema de programacion lineal, facilmente resoluble con software comercial. En particular, la tecnicapresentada no utiliza la transformacion intermedia a parametrizacion de Youla, utilizada tradicionalmente pararesolver este tipo de problemas, lo que facilita su resolucion y comprension. Este procedimiento de diseno se hademostrado mediante un ejemplo practico: el control de un reformador de hidrogeno.
Finalmente se ha presentado brevemente como el problema de optimizacion `1 puede resolverse tambien deforma aproximada utilizando las desigualdades matriciales lineales.
55
56
CAPITULO III
Sıntesis de controladores mediante programacion semidefinida
III.1. Introduccion
En el primer capıtulo se dan las herramientas basicas para el analisis de sistemas de control bajo el paradigmarobusto. Dado un controlador es facil evaluar, con las condiciones descritas en ese capıtulo, si el sistema satisfacecondiciones de estabilidad (robusta), desempeno, etc.
Aunque esas condiciones per se son importantes, lo seran aun mas si de ellas podemos extraer un controlador,esto es, si se puede convertirlas en condiciones de sıntesis.
El objetivo de este capıtulo es, precisamente, formular las condiciones de sıntesis que nos permitiran extraerun controlador.
La formulacion basada en programacion semidefinida (desigualdades matriciales lineales), presentada en es-te libro, se realiza para sistemas con representacion de estados, de allı que la primera parte de este capıtulosera consagrada a la sıntesis de controladores que sean una realimentacion lineal de todos los estados del sistema,suponiendo entonces que ellos estan disponibles para su realimentacion.
Cuando esto sucede (todos los estados estan disponibles para su realimentacion) todos los problemas antesmencionados conocen una solucion conservadora total para sistemas ciertos y con incertidumbre (inciertos). Enla segunda parte de este capıtulo, se hace la extension de los resultados al caso en el que no todos los estadosesten disponibles para realimentacion. Como veremos, en este caso los resultados tienen un alcance mas limitado.
A continuacion, presentamos los diferentes tipos de estructura de la incertidumbre que consideraremos y elenfoque bajo el cual se desarrollaran las condiciones de sıntesis.
III.2. Estabilidad cuadratica
Consideremos al sistemax = A(r)x+B(s)u (III.1)
donde x ∈ IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de control, A(r) ∈ IRn×n y B(s) ∈ IRn×m son lasmatrices de dinamica y de entrada del sistema, funciones de r ∈ IRnr y s ∈ IRns , los cuales son vectores noconocidos que representan la incertidumbre, que puede o no ser variante en el tiempo.
Nuestro objetivo, en un primer momento, sera el de calcular una ley de control que asegure la estabilidad delsistema para toda perturbacion factible r ∈ R y s ∈ S.
Para tal fin utilizaremos el enfoque cuadratico, que pasamos a definir.
Definicion III.1 ([Bar83], [Pet87]) El sistema III.1 es cuadraticamente estabilizable si existe una ley de con-trol, funcion continua de los estados p(·) : IRn → IRm tal que p(0) = 0, una matriz P simetrica, definida positiva,y una constante real α > 0 que verifican, para toda incertidumbre posible:
xT [AT (r)P + PA(r)]x+ 2xTPB(s)p(x) ≤ −α‖x‖2 (III.2)
para todo x ∈ IRn 6= 0 y para todo t.
Observacion III.1 Hay que senalar que el sistema III.1 es en realidad no un sistema sino una familia de ellosque bien puede ser infinita.
Observacion III.2 Si la condicion III.2 es satisfecha, toda la familia de sistemas III.1 comparten la funcion—cuadratica— de Lyapunov:
V (x) = xTPx
al cerrar el lazo. En adelante denominaremos a P como matriz de Lyapunov.
Observacion III.3 La condicion de que toda la familia de sistemas comparta una misma funcion (matriz)de Lyapunov puede hacer que el controlador sea extremadamente conservador. A cambio, ofrece gran poder decalculo del mismo y, como veremos mas adelante, la misma puede ser reformulada en terminos mucho menosconservadores.
En relacion con el tipo de incertidumbre, serıa imposible tratar de extraer ningun resultado para un tipo cualquierade ella. Al igual que en el enfoque frecuencial, nos concretaremos al estudio de 2 tipos de ellas, a saber:
1. Incertidumbre acotada en norma
2. Incertidumbre poliedrica.
Ambos tipos de conjuntos son convexos y de su representacion pueden extraerse soluciones.
Incertidumbre acotada en norma
Sea An una matriz constante en IRn×n. D y E matrices constantes y conocidas de dimensiones n× q y q × nrespectivamente. F ∈ IRq×q es una matriz que puede variar en el tiempo y de la que solo se conoce que:
FTF ≤ I.
58
Podemos describir a la incertidumbre acotada en norma de la forma
A ∈ A = A = An +DFE ∀F factible.
Observemos que A es un conjunto convexo —elıptico— con An siempre en el centro del conjunto (figura III.1).
A
An
Figura III.1.: Incertidumbre acotada en norma.
Igualmente, notamos que D y E definen la estructura de la incertidumbre, i.e., la forma como ella afecta (entra)al sistema nominal An.
Incertidumbre poliedrica
Sea VA = A1, A2, . . . , Ar un conjunto de matrices de dimensiones n× n.
Sea A —la incertidumbre poliedrica— el conjunto definido por:
A = A ∈ IRn×n : A = α1A1 + . . .+ αrAr :
r∑
i=1
αi = 1, α1 ≥ 0
es decir, la combinacion convexa de las matrices vertice Ai (figura III.2).
Podemos notar que, a diferencia de los sistemas con incertidumbre acotada en norma, en los sistemas poliedricosno hay una matriz nominal o preferida del sistema.
En la proxima seccion comenzaremos el estudio del calculo de controladores (sıntesis) para sistemas con in-certidumbre de los tipos que acabamos de presentar y en los que los sistemas ciertos —sin incertidumbre— noson mas que un caso particular. Adicionalmente, hemos visto con anterioridad que las condiciones de estabilidady desempeno pueden evaluarse sobre la norma de una funcion de transferencia adecuada y a su vez estas —aligual que las condiciones de ubicacion de polos— pueden evaluarse sobre LMIs. Ası, en lugar de escribir lascondiciones y el controlador para cada caso (H∞, H2, ubicacion de polos, etc.), nos limitaremos en adelante alcaso H∞ para el que agotaremos los resultados, presentando, en algunos casos como corolario, las extensionesa otras especificaciones (H2, . . .) ya que, como veremos, la extension a esos casos no supone mayor dificultad,pudiendo usarse los mismos procedimientos y/o resultados de base del caso H∞.
59
1
A
A
A
2
5
AA
A4
Ar
3
B1
B2
B
4B
B
sB
5
3
B
C
CC
C
C5
23
4
1
Ct
C
Figura III.2.: Incertidumbre poliedrica
III.3. Sistemas con incertidumbre acotada en norma
Consideremos el sistema
x = (An +DFE1)x+ (Bn +DFE2)u+B1wz = C1x
(III.3)
donde x ∈ IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de control, w ∈ IRnw es la perturbacion externay z ∈ IRnz es el vector de salidas a controlar —salida controlable—. An y Bn son las matrices (constantes yconocidas) de dinamica y entrada del sistema, D, E1 y E2 son matrices constantes (y conocidas) de dimensionesadecuadas, que determinan la forma como la incertidumbre afecta al sistema y F es una matriz de la que solo sesabe que:
FTF ≤ I.
Se desea encontrar una ley de control u = Kx —realimentacion lineal de los estados— tal que el sistema a lazocerrado sea internamente estable y que la norma infinita de la funcion de transferencia entre w y z sea menorque un escalar positivo γ, esto es:
‖Twz‖∞ < γ ∀A ∈ A y B ∈ B (III.4)
dondeA = A : A = An +DFE1 ∀FTF ≤ I
yB = B : B = Bn +DFE2 ∀FTF ≤ I.
Si la condicion III.4 se satisface, entonces diremos que el control u, γ-atenua la perturbacion w [XFS92].
El siguiente teorema da las condiciones que deben cumplirse para la existencia de u.
Teorema III.1 ([KPZ90]) Sea γ > 0 un escalar dado. El sistema III.3 es cuadraticamente estabilizable poruna ley de control u = Kx con atenuacion γ de la perturbacion w sobre z si y solo si existen matrices S > 0 yR, y un escalar ε > 0, soluciones de la LMI:
AnS + SATn +BnRT +RBT
n + εDDT + γ−2B1BT1 SCT
1 SET1 +RET
2
C1S −I 0E2R
T + E1S 0 −εI
< 0 (III.5)
60
Mas aun, una ley de control estabilizante (cuadraticamente) esta dada por:
K = RTS−1.
Demostracion: El sistema III.3 es cuadraticamente estabilizable con atenuacion γ > 0 de perturbacion si y solosi existen matrices P > 0 y K tales que
(An +BnK +DFE1 +DFE2K)TP + P (An +BnK +DFE1 +DFE2K)+γ−2PB1B
T1 P + CT
1 C1 < 0
pero ello es equivalente, denominando a E = E1 + E2K, [Pet87]:
(An +BnK)TP + P (An +BnK) + εPDDTP +1
εETE + γ−2PB1B
T1 P + CT
1 C1 < 0 (III.6)
para algun ε > 0. En su forma dual III.6 toma la forma (S = P−1 y R = SKT ):
AnS + SATn +RBTn +BnR
T + εDDT +1
εSETES + γ−2B1B
T1 + SCT
1 C1S < 0. (III.7)
III.7 puede escribirse como una LMI de la forma:
AnS + SATn +RBTn +BnR
T + γ−2B1BT1 + εDDT SET
1 +RET2 SCT
1
E2RT + E1S −εI 0C1S 0 −I
< 0 (III.8)
Observacion III.4 La desigualdad III.8 es lineal (convexa) con respecto a sus incognitas S,R, ε y aun conrespecto a γ−2. Por lo tanto, puede ser resuelta con herramientas estandar, e.g., el LMI Toolbox de Matlab[GNL95].
Observacion III.5 Si solo se impone estabilidad cuadratica, la LMI se reduce a las 2 primeras filas y columnasde III.8.
Observacion III.6 Si se trata de sistemas ciertos, la LMI se reduce a la 1ra y 3ra filas y columnas de III.8 conD = 0.
A continuacion, presentamos la extension del teorema III.1 a los casos de costo garantizado (H2) y de ubicacionde polos.
Corolario III.1 Definamos el siguiente problema convexo:
mın Tr W
sujeto a(
W C1SSCT
1 S
)
> 0 (III.9)
(AnS + SATn + εDDT +BnR
T +RBTn +B1B
T1 SET
1 +RET2
E2RT + E1S −εI
)
< 0 (III.10)
Sea W ∗ la solucion —si existe una— del problema convexo definido. Existe una ley de control u = Kx tal que
‖Twz‖2 < γ1/2 = Tr W ∗
para toda la familia de sistemas III.3 si y solo si existen matrices W y S definidas positivas, una matriz R y unescalar ε > 0 tales que el problema de optimizacion tiene solucion. Mas aun, la ley de control viene dada poru = Kx con K = RTS−1.
61
Observacion III.7 Observemos que la cota superior (costo garantizado) es obtenida de un proceso de optimi-zacion, por lo que el conservadurismo introducido no sera mayor.
Observacion III.8 El bloque (1, 1) de la matriz III.10 asegura, ademas, la estabilidad interna del sistema a lazocerrado.
Observacion III.9 Para el caso sin incertidumbre, la segunda condicion se limitarıa al termino (1, 1) del III.10.
Pasemos ahora a escribir las condiciones para la ubicacion de polos del sistema en consideracion con un cırculode la forma III.3.
r
-αRe(s)
Im(s)
Figura III.3.: Circunferencia.
Corolario III.2 Existe una ley de control u = Kx tal que el sistema III.3 tiene todos sus polos ubicados en lafigura III.3, para todo A ∈ A y B ∈ B si y solo si existen matrices S > 0 y R y un escalar ε > 0 tales que:
(S εDεDT εI
)
> 0
−rS + εDDT AnSBnRT + αI 0
SATn +RBTn + αI −rS SET
1 +RET2
0 E1S + E2RT −εI
< 0(III.11)
mas aun la ganancia viene dada por K = RTS−1.
Observacion III.10 El conjunto de desigualdades es lineal (convexo) con respecto a sus variables (S,R, ε) ypor lo tanto es un conjunto de LMIs.
Observacion III.11 La ubicacion de polos en circunferencias tales como las descritas tiene sus implicacionesinmediatas en los sistemas discretos de la forma:
xk+1 = Axk +Bukuk = Kuk
(III.12)
donde A = An+DFE1, B = Bn+DFE2 y An, Bn, D, F,E como descrito anteriormente. Ası, por ejemplo, conα = 0 y r = 1, III.11 se convierte en la condicion de estabilidad —cuadratica— de III.12.
Observacion III.12 Para el caso sin incertidumbre, las condiciones se reducen a S > 0, en la primera LMI deIII.11 y las primeras dos filas y columnas de la segunda.
62
III.4. Sistemas poliedricos
Consideremos ahora la familia poliedrica de sistemas
x(t) = Ax(t) +Bu(t) +B1w(t)z(t) = C1x(t)
(III.13)
donde x ∈ IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de control, w ∈ IRnw es el vector de perturbacionesexternas y z ∈ IRnz es el vector de salidas controladas. B1 y C1 son matrices constantes conocidas que determinancomo afecta la perturbacion al sistema y la parte de el que queremos controlar. Las matrices de dinamica y deentrada —A,B— son matrices reales no conocidas, que pueden o no ser constantes y de las que solo se conoceque pertenecen a los conjuntos poliedricos
A ∈ A = CoA1, A2, . . . , ArB ∈ B = CoB1, B2, . . . , Bs
donde Co = envolvente convexo (Convex hull).
Evidentemente Ai, i = 1, . . . , r y Bj , j = 1, . . . , s son los vertices de los hiperpoliedros A, B.
Al igual que para los sistemas con incertidumbre acotada en norma, se busca una ley de control, realimentacionlineal de los estados u = Kx, tal que el sistema a lazo cerrado sea internamente estable y que la norma infinitade la funcion de transferencia entre w y z sea menor que un escalar positivo γ, esto es,
‖Twz‖∞ < γ
para todo A ∈ A y B ∈ B. De nuevo, buscamos un controlador que asegure γ-atenuacion de las perturbaciones.
El siguiente teorema nos da las condiciones de existencia de un tal controlador.
Teorema III.2 El sistema III.13 es cuadraticamente estabilizable por una ley de control de realimentacion linealde los estados (u = Kx), si y solo si existen matrices S > 0 y R tales que
(AiS + SATi +RBT
j +BjRT + γ−2B1B
T1 SCT
1
C1S −I
)
< 0 (III.14)
∀i = 1, . . . , r; ∀j = 1, . . . , s. La ganancia estabilizante viene dada por K = RTS−1.
Demostracion: El sistema es cuadraticamente estabilizable por una ley de control u = Kx si y solo si existeuna matriz P > 0 tal que:
(A+BK)TP + P (A+BK) + γ−2PB1BT1 P + CT
1 C1 < 0 (III.15)
∀A ∈ A y B ∈ B. En forma dual —S = P−1 y R = SKT— la desigualdad III.15 resulta
AS + SAT +BRT +RBT + γ−2B1BT1 + SCT
1 C1S < 0 (III.16)
∀(A,B) ∈ (A,B). Pero III.16 puede escribirse bajo la forma de LMI, esto es,
(AS + SAT +BRT +RBT + γ−2B1B
T1 SCT
1
C1S −I
)
< 0 (III.17)
y III.17 es equivalente a III.14.
Observacion III.13 A pesar de que III.13 es una familia infinita de sistemas, la existencia de un controladorsolo se verifica en los vertices de la region incierta, i.e., en un numero finito de sistemas.
63
Observacion III.14 El caso sin incertidumbre —A = A1 y B = B1— se reduce a aquel que ya obtuvimoscuando desarrollamos los sistemas con incertidumbre acotada en norma, esto es, una sola LMI en III.17.
Observacion III.15 La desigualdad III.17 es lineal (convexa) en S y R.
Observacion III.16 Si solo se impone estabilidad cuadratica, entonces la condicion se reduce a la primera filay columna de III.17 con B1 = 0. Hacemos notar que, ademas, ese termino asegura la estabilidad interna delsistema a lazo cerrado.
A continuacion damos las condiciones de existencia de un controlador de realimentacion lineal de los estadosde costo garantizado y luego las del que ubica todos los polos del sistema III.13 en una circunferencia.
Corolario III.3 Definamos el siguiente problema convexo:
mın Tr W
sujeto a:(
W C1SSCT
1 S
)
> 0
AiS + SATi +BjRT +RBT
j +B1BT1 < 0
(III.18)
∀i = 1, . . . , r j = 1, . . . , s. Sea W ∗ la solucion —si existe una— del problema convexo definido. Consideremosel sistema III.13. Existe una ley de control u = Kx que asegura
‖Twz‖2 <√γ = Tr W ∗
si y solo si existen matrices W,S > 0 y R tales que el problema convexo tiene solucion.
Observacion III.17 De nuevo, aunque la familia de sistemas es infinita, solo es necesario evaluar la condicionen un numero finito de puntos.
Observacion III.18 La condicion III.18 tambien garantiza la estabilidad cuadratica del sistema III.13 y el casosin incertidumbre es obtenido haciendo i = 1 y j = 1.
Nos resta escribir las condiciones de ubicacion de polos, por ejemplo en cırculos como en la figura III.3.
Corolario III.4 Existe una ley de control u = Kx que ubica todos los polos de cualquier miembro de la familiade sistemas III.13 en la circunferencia de la figura III.3, si y solo si existen matrices S > 0 y R tales que:
(−rS AiS +BjR
T + αISATi +RBT
j + αI −rS
)
< 0 (III.19)
∀i = 1, . . . , r j = 1, . . . , s.
Observacion III.19 Como en los casos anteriores, solo hace falta evaluar la condicion III.19 en los vertices delsistema.
Observacion III.20 Con r = 1 y α = 0, III.19 se convierte en la condicion de estabilidad (cuadratica) delsistema discreto
xk+1 = Axk +Buk
con A ∈ A y B ∈ B.
64
III.5. Condiciones menos conservadoras
Tratandose de sistemas con incertidumbre, la condicion cuadratica de existencia de una matriz de LyapunovP , comun a todo miembro de la familia incierta, introduce cierto conservadurismo que se ve contrastado con elhecho de poder calcular un controlador unico para todos los sistemas. Sin embargo, la condicion de existencia deuna matrix de Lyapunov comun puede ser relajada y por ende obtener mejores controladores. En lo que siguedamos condiciones de estabilidad para sistemas con incertidumbre poliedrica (continuos y discretos), y dejamospara el lector las extensiones a los casos de ubicacion de polos, H∞ y H2 y los casos con incertidumbre acotadaen norma.
Teorema III.3 [SS01], [Sh01]. Con relacion al sistema (III.13), existe una ley de control u(t) = Kx(t) queestabiliza al sistema en cualquiera de sus representaciones, i.e., ∀A ∈ A y ∀B ∈ B, si existen matrices definidaspositivas Sq, q = 1, . . . , r × s y G, todas en IRn×n tales que:
(AiG+GTATi +BjR+RTBT
j AiG+BjR−GT + SqGTATi −G+ Sq −G−GT
)
< 0. (III.20)
i = 1, . . . , r, y j = 1, . . . , s. Mas aun, K = RG−1.
Demostracion-necesidad: ([DB01]) El sistema (III.13) es estabilizable por una ley de control u(t) = Kx(t) siexisten matrices definidas positivas SA, posiblemente dependientes de A y una ganancia K tales que:
(A+BK)SA + SA(A+BK)T < 0 ∀A ∈ A y B ∈ B= ( I (A+BK) )
(0 SASA 0
)(I
(A+BK)T
)
< 0 ∀A ∈ A y B ∈ B
= ( I (A+BK) )
(0 SASA 0
)
+
(A+BK−I
)
(F G )+(FT
GT
)
((A+BK)T − I)(
I(A+BK)T
)
< 0
∀A ∈ A, ∀B ∈ B y cualesquiera F, G
=⇒(
(A+BK)F + F T (A+BK)T (A+BK)G− F T + SAGT (A+BK)T − F + SA −G−GT
)
< 0.
(III.21)
Haciendo F = G, ya que no existe ninguna restriccion en F , definiendo R = KG y observando que las matricesA y B aparecen linealmente en (III.21), es decir, que la satisfaccion en los vertices garantiza la satisfaccion encualquiera de sus combinaciones convexas, queda demostrada la necesidad.
Suficiencia: Si la condicion (III.20) es satisfecha, entonces tambien se cumple para toda A ∈ A y B ∈ B, dehecho la matriz (SA) de Lyapunov asociada a cada a cada par (A,B) no es mas que la combinacion convexa delas matrices Sq asociadas a los vertices. En consecuencia, si definimos la matriz regular:
Γ =
(I (A+BK)0 I
)
se cumple que:
Γ
((A+BK)G+GT (A+BK)T (A+BK)G−GT + SAGT (A+BK)T −G+ SA −G−GT
)
ΓT < 0, (III.22)
pero (III.22) es igual a:
((A+BK)SA + SA(A+BK)T SA −AGT −GT
SA −GAT −G −G−GT
)
< 0, (III.23)
y el termino (1,1) de (III.23) asegura que K es una ganancia estabilizante y SA la matriz de Lyapunov, i.e., quela primera de las condiciones de (III.21) es satisfecha
65
Para el caso de sistemas discretos, consideraremos el sistema:
xk+1 = Axk +Buk (III.24)
con las matrices A, B en A, B respectivamente.
Recordemos ahora la condicion de estabilidad para sistemas discretos, equivalente a que los polos del sistema(III.24) esten dentro del cırculo unitario.
Definicion III.2 El sistema (III.24) es estabilizable por una ley de control de la forma uk = Kxk, si existenmatrices definidas positivas SA y una ganancia K tales que:
(A+BK)TSA(A+BK)− SA < 0, ∀A ∈ A y B ∈ B. (III.25)
La demostracion es muy similar a la de los sistemas discretos ya que (III.25) es equivalente a:
( I (A+BK) )
(−SA 00 SA
)(I
(A+BK)T
)
< 0
y dejamos para el lector tal demostracion.
III.6. Diseno por realimentacion de la salida
En las secciones anteriores se presentaron resultados para sistemas inciertos —incertidumbre acotada en normay poliedrica—, basados en la realimentacion lineal de todos los estados del sistema.
Muchas veces esos estados no estan fısicamente disponibles para su medicion porque no son medibles o porqueno pueden serlo de manera confiable, y solo una parte de entre ellos puede usarse para control. A estos ultimoslos llamaremos “salida medible” del sistema.
Lo que resta de este capıtulo sera consagrado a la sıntesis de controladores que satisfacen cierto criterio dedesempeno —H∞, H2, etc.— y que usan solamente la salida medible. Las implicaciones practicas de tal objetivoson obvias. No tan obvio, sin embargo, es el grado de dificultad que implica la tarea de estimacion de estadospara sistemas con incertidumbre.
De igual manera, trataremos primero sistemas lineales invariantes en el tiempo sin incertidumbre para losque demostraremos que podemos alcanzar el objetivo propuesto. Para los sistemas con incertidumbre acotadaen norma tambien encontraremos la solucion a traves de la extension del resultado de [Pet87] a sistemas conrealimentacion de la salida pero, desafortunadamente, solo para el caso de estabilidad —cuadratica—, no pudiendoextender esos resultados al caso H∞ o H2. Los sistemas con incertidumbre poliedrica, por el contrario, no conocende solucion total ni siquiera en el caso de estabilidad y para ellos solo presentaremos soluciones parciales.
Como en los capıtulos anteriores, toda la formulacion esta basada en una representacion del sistema en variablesde estado y las soluciones seran formuladas como desigualdades matriciales lineales.
III.7. Sistemas ciertos
Consideremos al sistemax = Ax+Bu+B1wy = Cx+Dwz = C1x+D1u
(III.26)
66
donde x ∈ IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de controles, w ∈ IRnw es el vector de perturbacionesexternas que afectan al sistema, z ∈ IRnz es el vector de salidas controlables, y ∈ IRp es el vector de salidasmedibles.
A,B,B1, C, C1 y D1 son matrices constantes de dimensiones apropiadas.
Se desea disenar un compensador dinamico de la forma:
xc = Acxc +Bcyu = Ccxc
(III.27)
que asegure que el sistema a lazo cerrado cumpla con ciertas condiciones de desempeno medidas como una norma2, infinita, ubicacion de polos.
El controlador escogido es uno estrictamente propio, lo que, sin perdida de generalidad, simplifica considera-blemente las demostraciones. La extension al caso propio es solo mas agotadora desde el punto de desarrollo ydemostracion.
En principio, nos planteamos unicamente la busqueda de controladores estabilizantes para luego extender esosresultados a los otros casos que hemos venido estudiando, incluyendo a los sistemas discretos.
El siguiente teorema caracteriza los controladores buscados.
Teorema III.4 ([SGC97]) El sistema III.26 puede ser estabilizado por un controlador dinamico de la formaIII.27 si y solo si existen matrices simetricas X,Y > 0 y matrices U y V en IRn×n soluciones del conjunto dedesigualdades matriciales
(AY + Y AT +BCcV
T + V CTc B
T ΦΦT ATX +XA+ UBcC + CTBT
c UT
)
< 0(Y II X
)
> 0(III.28)
donde Φ = V ATc UT +A+ Y ATX + V CT
c BTX + Y CTBT
c UT .
Demostracion: El sistema a lazo cerrado —autonomo— resultante de aplicar el compensador dinamico III.27es: (
xxe
)
=
(A BCcBcC Ac
)
︸ ︷︷ ︸
A
(xxc
)
+
(B1
BcD
)
︸ ︷︷ ︸
B
w
z = (C1 D1Cc)︸ ︷︷ ︸
C
(xxc
) (III.29)
y el sistema es asintoticamente estable si y solo si existe una matriz P > 0 tal que
AT P + P A < 0. (III.30)
Particionemos ahora la matriz P de la forma:
P =
[X U
UT X
]
P−1 =
[Y V
V T Y
]
.
Con relacion a los elementos de la matriz P y P−1 se cumple que:
XY + UV T = I
XV + UY = 0
UTY + XV T = 0
Y = (X − UXUT )−1 > X−1.
(III.31)
67
Definamos T de la forma:
T =
[Y VI 0
]
.
Sin perdida de generalidad, podemos asumir que V 6= 0 ya que, de tener V autovalores iguales a cero, siemprepodrıa hacerse una descomposicion en valores singulares de V :
V =MvΣMu
reemplazando Σ por Σ∗ donde se han reemplazado los autovalores en cero por ε > 0 suficientemente pequenos,de modo que
V ∗ =MvΣ∗Mu
y la nueva matriz P ∗ tambien cumplira con la desigualdad III.30 para algun ε suficientemente pequeno [IS94].
Si V 6= 0 entonces T es una matriz regular, i.e., tiene inversa. Si multiplicamos a la derecha de III.30 por T T
y a la izquierda por T , lo cual preserva la desigualdad, obtenemos:
(Y VI 0
)
(A BCcBcC Ac
)T (X U
UT X
)
︸ ︷︷ ︸
Υ
+ΥT
(Y IV T 0
)
< 0
y que resulta en:
(Y VI 0
)(XA+ATX + UBCc + CT
c BTc U ∆
∆T Ω
)(Y IV T 0
)
< 0 (III.32)
donde ∆ = XBCc + UAc + ATU + CTc B
T X y Ω = XAc + ATc X + UTBCc + CTc B
TU y de donde se obtiene, atraves de las relaciones III.31, la desigualdad matricial III.28.
Definamos ahora las variables intermedias,
L = CcVT ; F = UBc y M = V ATc U
T
Z = A+ Y ATX + Y CTFT + LTBTX,(III.33)
entonces tenemos que:
Corolario III.5 El sistema (III.26) es estabilizable por un compensador dinamico de la forma (III.27) si y solosi existen matrices X,Y > 0 y Φ ∈ IRn×n, L ∈ IRm×n y F ∈ IRn×r tales que
(AY + Y AT +BL+ LTBT Φ
ΦT ATX +XA+ FC + CTFT
)
< 0. (III.34)
Observacion III.21 La desigualdad matricial es lineal —convexa— con respecto a sus variables X,Y, L, F,Φ y,de nuevo, herramientas de programacion lineal pueden utilizarse para la busqueda de su solucion.
Observacion III.22 Una vez que X,Y, L, F y Φ son calculadas, es facil calcular Ac, Bc, Cc de la siguienteforma:
1. Tomemos cualquier matriz regular V
2. Hagamos Cc = L(V T )−1 y
3. U = (I −XY )(V T )−1
4. Bc = U−1F
68
5. M = Φ− Z
6. Ac = U−1MT (V T )−1,
si V 6= 0 entonces U 6= 0.
Aunque parece que los controladores estabilizantes estan parametrizados por V , ello no es cierto. Si calculamosla funcion de transferencia del compensador tenemos que:
Tc(s) = Cc(sI −Ac)−1Bc= L(V T )−1[sI − U−1MT (V T )−1]−1UF =
= L[s(UV T )−MT ]−1F =
= L[s(I −XY )−MT ]−1F
con lo que queda demostrado que la solucion de III.34 determina totalmente al controlador estabilizante, y laverdadera parametrizacion esta determinada por la tripleta (Φ, F, L). De hecho, si no existe ninguna restriccionsobre la estructura de la dinamica del compensador Ac, podemos tomar Φ = 0 recobrando los resultados de[DGK89] y [GA94].
Pasemos ahora a la aplicacion de los resultados a H2 y sistemas discretos, que surgen de pequenas extensionesdel resultado previo.
Corolario III.6 ([GPS92], [PSG92]) Consideremos el sistema III.26 para el que deseamos conseguir un con-trolador de la forma III.27 que asegure:
mın ‖Twz‖2.Tal problema tiene solucion, si y solo si el siguiente problema de optimizacion la tiene:
mınTr W
sujeto a
Y I B1
I X XB1 + FDBT1 BT
1 X +DTFT W
> 0 (III.35)
y
AY + Y AT +BL+ LTBT Φ Y CT1 + LTDT
1
ΦT ATX +XA+ FC + CTFT CT1
C1Y +D1L C1 −I
< 0 (III.36)
con L,Φ, Z, F tal como se definieron anteriormente.
Para la obtencion del resultado anterior se uso el hecho de que (sea P una matriz definida positiva):
mın ‖Twz‖2 = mınTr[BT P B] : AT P + P A+ CT C = 0 (III.37)
con A, B, C definidos en III.29. Ademas, la restriccion de igualdad puede reemplazarse por una de desigualdadusando la propiedad de no decrecimiento de la solucion de la ecuacion de Lyapunov.
De esta manera la ecuacion III.37 puede escribirse de la forma:
mınTr W
sujeto a:(
P P B
BT P W
)
> 0 (III.38)
69
(AT P + P A CT
C −I
)
< 0. (III.39)
Para tener la misma parametrizacion del resultado anterior, debemos multiplicar a la derecha de III.38 y III.39por
T =
(T 00 I
)
y a la izquierda por TT , con P particionada de la misma manera y T como definida anteriormente.
Los parametros del compensador pueden ser extraıdos de la forma descrita en la observacion III.22.
La extension al caso H∞ es inmediata partiendo de la desigualdad que lo caracteriza
AT P + P A P B CT
BP −γI 0
C 0 −γI
< 0
y usando esta vez la transformacion
T =
T 0 00 I 00 0 I
y las mismas definiciones y particiones usadas.
En el caso de los sistemas discretos, consideremos el sistema:
xk+1 = Axk +Buk +B1wkzk = C1xk +D1ukyk = Cxk +Dwk
(III.40)
donde, igual que en los sistemas continuos, xk, uk, wk, zk, yk son los vectores de estados, controles, perturbacion,salida controlable y medible respectivamente.
Para los sistemas discretos usaremos la misma particion de la matriz P y P−1 e introduciremos las matrices:
T =
(Y VI 0
)
Γ =
(T 00 T
)
y finalmente, re-definiremos las variables intermedias L = CcVT , F = UBc, M = V ATc U
T y
Z = Y ATX + Y CTFT + LTBTXΦ = Z +M ;
de nuevo, buscamos compensadores dentro de la familia de los estrictamente propios de la forma
xk+1 = Acxk +Bcykuk = Ccxk.
(III.41)
El siguiente corolario caracteriza a tales controladores.
Corolario III.7 El sistema III.40 es estabilizado por una ley de control de la forma III.41, si y solo si existenmatrices X,Y > 0 y L,F,Φ tales que:
−X ΦT (ATX + CTFT )T −IΦ −Y −I Y AT + LTBT
ATX + CTFT −I −X AT
−I AY +BL A −Y
< 0. (III.42)
70
La demostracion esta basada en que el sistema a lazo cerrado debe cumplir que:
[−P AT P
P A −P
]
< 0
con A, P tal como fueron descritas en III.29 y III.30, utilizando la particion descrita de P y multiplicando por lamatriz Γ antes definida.
Observacion III.23 Como en los casos anteriores, la solucion del problema de factibilidad conlleva la determi-nacion de los parametros del compensador estabilizante Ac, Bc, Cc. Igualmente, la extension del resultado a otrascircunferencias con radio r y centrada en −α es inmediata.
III.8. Sistemas con incertidumbre acotada en norma
Pasemos ahora al estudio de los sistemas con incertidumbre acotada en norma, para los que, en una primerainstancia y para simplificar las demostraciones, solo consideraremos incertidumbre en la matriz de dinamica delsistema. Igualmente, buscaremos un controlador estabilizante que ademas asegure atenuacion de una perturbacionexterna w en la salida medible del sistema z, medida la atenuacion como la ganancia en la energıa.
Sistemas continuos. Controladores H∞
Formalmente, consideremos al sistema incierto definido por:
x = (A+DFE)x+B1w +Buz = C1xy = Cx
(III.43)
donde x ∈ IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de comandos o controles, w ∈ IRnw es la perturbacion,y ∈ IRp es la salida medible y z ∈ IRnz es la salida a controlar. A, B1, B y C son matrices constantes reales dedimensiones apropiadas. D,F,E caracterizan la incertidumbre que puede o no ser variante en el tiempo. Ademas:
FTF ≤ I.
El problema planteado es aquel de la determinacion de un compensador dinamico de la forma:
xc = Acxc +Bcyu = −Ccxc (III.44)
que estabiliza cuadraticamente el sistema incierto (III.43) con atenuacion γ > 0 de perturbacion, esto ultimosiendo:
‖Twz‖∞ < γ.
El teorema siguiente propone las condiciones necesarias y suficientes de la existencia de un tal compensadordinamico del tipo (III.44).
Teorema III.5 ([CGP97]) Sea γ > 0 un escalar dado. El sistema (III.43) es cuadraticamente estabilizable conatenuacion γ por un compensador de la forma (III.44) si y solo si existen R1, R2 definidas positivas, un escalarε > 0 y matrices P y W definidas positivas tales que las expresiones siguientes se verifican
1) ATP + PA− PBR−11 BTP + εPDDTP + 1εE
TE + γ−2PB1BT1 P + CT
1 C1 < 02) AW +WAT −WCTR−12 CW + 1
εWETEW + εDDT + γ−2B1BT1 +WCT
1 C1W < 03) S =W−1 − P > 0.
(III.45)
71
Mas aun, un compensador viene dado por:
Ac = A−BcC −BCc + S−1CTc B
TP +DDTP − S−1Q1 + γ−2B1BT1 P
Cc = 12R
−11 BTP
Bc = S−1CTR−12
(III.46)
donde
Q1 = −ATP + PA− PBR1−1BTP + εPDDTP +
1
εETE + γ−2PB1B
T1 P + CT
1 C1.
Demostracion-suficiencia: Recordemos que
εPDDTP +1
εETE ≥ PDFE + ETFTDTP.
para todo ε > 0.
Ahora bien, el sistema en lazo cerrado formado a partir de (III.43) y (III.44) puede escribirse como:
(xxc
)
=
(A+DFE −BCcBcC Ac
)(xxc
)
haciendo e = x− xc,(xe
)
=
(A+DFE −BCc BCc
A+DFE −BCc −BcC −Ac Ac +BCc
)(xe
)
.
Reemplazando Ac por su expresion (III.46), obtenemos
(xe
)
=
An +
(DD
)
F (E 0)
(xe
)
donde
An =
A−BCc BCc−S−1CT
c BTP −DDTP+
S−1Q1 − γ−2B1BT1 P
A−BcC + S−1CTc B
TP+DDTP − S−1Q1 + γ−2B1B
T1 P
.
Pero sabemos que si existe una matriz Pg = PgT > 0 tal que:
ATnPg + PgAn + Pg
ε
(DD
)
(DT DT ) + γ−2(B1
B1
)
(BT1 BT
1 )
Pg+
1ε
(ET
0
)
(E 0) +
(CT1
0
)
(C1 0)
< 0.(III.47)
Entonces el sistema es cuadraticamente estabilizable con atenuacion γ de perturbacion. Tengamos ahora:
Pg =
(P 00 W−1 − P
)
> 0,
el termino a la izquierda de la desigualdad III.47 pasa a ser
(Ξ Q1
Q1 Ψ
)
(III.48)
dondeΨ = (A−BcC)TS + S(A−BcC) + CT
c BTP + PBCc + εSDDTP + εPDDTS+
εSDDTS − 2Q1 + γ−2SB1BT1 P + PB1B
T1 S + γ−2SB1B
T1 S
Ξ = (A−BCc)TP + P (A−BCc) + εPDDTP + 1εE
TE + γ−2PB1BT1 P + CT
1 C1
72
recordando que
Q1 = −ATP + PA− PBR1−1BTP + εPDDTP + 1
εETE + γ−2PB1B
T1 P + CT
1 C1y si definimos:
H = W−1A+ATW−1 − CTBTc S − SBcC + 1
εETE + εW−1DDTW−1+
γ−2W−1B1BT1 W
−1 + CT1 C1
entonces(A−BcC)TS + S(A−BcC) + CT
c BTP + PBCc + εSDDTP + εPDDTS+
εSDDTS − 2Q1 + γ−2SB1BT1 P + γ−2PB1B
T1 SP + γ−2SB1B
T1 S = H −Q1
y podemos escribir III.48 bajo la forma:(−Q1 Q1
Q1 H −Q1
)
.
Esta matriz es definida negativa si Q1 > 0 y H < 0. En consecuencia, la desigualdad III.47 se satisface si
(A−BCc)TP + P (A−BCc) + εPDDTP + 1εE
TE + γ−2PB1BT1 P + CT
1 C1 < 0 (III.49)
ATW−1 +W−1A− CTBTc S − SBcC + εW−1DDTW−1+
1εE
TE + γ−2W−1B1BT1 W
−1 + CT1 C1 < 0.
(III.50)
Utilizando argumentos sacados del teorema de Finsler [Pet87], III.49 y III.50 son, respectivamente, equivalentesa las condiciones 1 y 2 del teorema III.5 con Bc y Cc, las expresiones “clasicas” de las ganancias de control y defiltraje.
Necesidad: Sea
A =
(A −BCcBcC Ac
)
B1 =
(B1B
T1 0
0 0
)
C1 =
(CT1 C1 00 0
)
.
El sistema en lazo cerrado III.43 y III.44 resulta(
xxc
)
=
A+
(DFE 00 0
)(xxc
)
+
(B1
0
)
w
y = (C1 0)(III.51)
y en consecuencia III.43 es cuadraticamente estable con atenuacion γ > 0 de perturbacion si y solamente siexisten matrices
W =
(W1 W2
W2T W3
)
= P−1 =
(P1 P2P2
T P3
)−1
> 0
tales que
AT P + P A+ P
(DFE 00 0
)
+
(ETFTDT 0
0 0
)
P + γ−2P B1P + C1 < 0. (III.52)
Si III.52 es satisfecha, entonces [Pet87]
AT P + P A+ εP
(D0
)
(DT 0)P +1
ε
(ET
0
)
(E 0) + γ−2P B1P + C1 < 0, (III.53)
si multiplicamos III.53 a ambos lados por W = P−1,
W AT + AW +1
εW
(ET
0
)
(E 0)W + ε
(D0
)
(DT 0) + γ−2B1 + W C1W < 0. (III.54)
Extrayendo los terminos superior izquierdo de las matrices III.53 y III.54, colocando P = W1−1 > 0 y W =
P1−1 > 0 y utilizando el teorema de Finsler, recobramos la primera y segunda condicion del teorema III.5 en P
y W . Ahora bien, segun el lema de inversion de matrices [AM89], tenemos que:
P1 −W1−1 = P2P3
−1P2T ≥ 0
y por lo tanto W−1− P ≥ 0. Esta ultima desigualdad puede ser satisfecha estrictamente. De hecho, segun el lema2 de [SMN90], si las condiciones (1) y (2) del teorema III.5 son satisfechas en P y W , ellas lo seran igualmentepara las matrices W < W y P < P .
73
Observacion III.24 Las condiciones enunciadas en el teorema III.5 no nos proveen de un medio de calculopara la determinacion del compensador dado en III.46. Sin embargo, podemos notar que la primera condicion esconvexa con respecto a (P−1, R−11 , ε) o, igualmente, con respecto a (ε−1P−1, R−11 , ε−1). La segunda es convexacon respecto a (W−1, R−12 , ε−1) o con respecto a (εW−1, R−12 , ε). La ultima es convexa con respecto a (W−1,P−1). Desgraciadamente, el conjunto de las 3 desigualdades no forma una “representacion” convexa y otrosmetodos, como por ejemplo [Gar93] [GSK94] o [IS95], que toman en cuenta la naturaleza particular (convexidadcon respecto a ε y ε−1) de este problema, deben ser utilizados.
Observacion III.25 Una condicion necesaria y suficiente puede encontrase tambien en el trabajo [XFS92], perobajo la hipotesis de que el compensador dinamico es dado.
Observacion III.26 Para la demostracion del teorema III.5, nos hemos alejado un poco de las LMIs, y hemosseguido un enfoque mas bien constructivo, siguiendo la demostracion original de [CGP97]. Igual comentario seaplica a la forma del compensador III.44 en el que se introdujo un signo (-).
Las condiciones III.45 del teorema III.5 tambien pueden escribirse bajo la forma de LMIs, las cuales recogemosen el siguiente corolario (con X = P−1 y Y =W−1):
Corolario III.8 Sea γ > 0 un escalar dado. El sistema III.43 es cuadraticamente estabilizable con atenuacionγ de perturbacion, si y solamente si existen matrices X,Y,R−11 , R−12 definidas positivas y un escalar ε > 0 talesque el siguiente conjunto de LMIs es satisfecho:
1)
AX +XAT −BR−11 + εDDT + γ−2B1BT1 XET XCT
1
EX −εI 0C1X 0 −I
< 0
2)
ATY + Y A+ CTR−12 C + ε−1ETE + CT1 C1 Y D Y B1
DT −ε−1I 0BT1 Y 0 −γ2I
< 0
3)
(Y II X
)
> 0.
(III.55)
Observamos que la convexidad del conjunto de matrices se pierde a causa del escalar ε.
Finalmente, en el caso de que solamente se desee asegurar la estabilidad —cuadratica— del sistema, las dosprimeras condiciones de III.55 se reducen a las dos primeras filas y columnas de las LMIs respectivas. Hay quesenalar que en este caso es facil eliminar ε de las variables multiplicando la primera LMI por
(ε−1/2I 0
0 I
)
a ambos lados del lado izquierdo de la desigualdad y luego por
(I 00 ε−1/2
)
y la segunda por(ε1/2I 00 I
)
y luego por(I 00 ε1/2
)
74
para finalmente hacer un cambio de variable
X =X
εy Y = εY
que no afecta la tercera LMI.
Al eliminar ε recuperamos la convexidad del problema y, por ende, su solucion total.
Ejemplo
En esta seccion presentamos un ejemplo tomado de [HF93] ligeramente modificado para incluir los requisitosH∞ que impondremos al problema.
El sistema considerado es:
x =
(−1 −10 2
)
+
(2−2
)
k(4 − 1)
x+(
1−3
)
u+
(01
)
y = (−3 1)xz = (1 0)x;
k es la incertidumbre con rango −1 ≤ k ≤ 1.
El compensador obtenido usando el LMI Toolbox de Matlab con γ = 1 y ε = 0,1 fue:
Ac =
(−169,9767 43,4919598,2483 −161,0055
)
Bc =
(−7,801051,6630
)
Cc = (148,9342 − 37,3479).
La respuesta al escalon unitario en la perturbacion w se muestra en la figura III.4 para valores de k =1,−1, 0, 0,5,−0,5. En la figura III.5 se muestra una ubicacion de los polos del sistema para una discretizacionuniforme del intervalo de la incertidumbre.
Los resultados obtenidos son equivalentes a aquellos para sistemas con incertidumbre estructurada en 2 bloques.Otros resultados para un numero mayor de bloques pueden encontrarse en [CH95].
La extension a incertidumbre en otras matrices del sistema podemos encontrarla en [GCG97].
Sistemas discretos
En esta seccion derivaremos condiciones para la existencia de controladores H2 en sistemas lineales discretos,con incertidumbre acotada en norma. El problema sera formulado como una coleccion de desigualdades matricialeslineales donde, de nuevo, encontraremos la similitud con problemas con incertidumbre estructurada en 2 bloques.Los resultados estaran basados en el resultado [SGC97], en el que se introduce un elegante cambio en las variablesdel controlador —de hecho un cambio matricial de variables.
Consideraremos los sistemas lineales discretos:
xt+1 = (A+DFE1)xt + (B +DFE2)ut +B1wtyt = Cxtzt = C1xt +D12ut
(III.56)
75
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Figura III.4.: Desempeno ante la perturbacion.
−2.8 −2.6 −2.4 −2.2 −2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Figura III.5.: Ubicacion de polos.
donde xt ∈ IRn, ut ∈ IRm y yt ∈ IRp son respectivamente los vectores de estado, el control y la salida “medible”.wt ∈ IRnw es la perturbacion externa y zt ∈ IRnz es la salida “controlable”. Todas las matrices tienen dimensionesapropiadas. F ∈ IRnD×nE representa la incertidumbre —acotada en norma [Pet87]— y que pertenece a:
F = F ∈ IRnD×nE : FTF ≤ I.
Buscamos un controlador (del tipo observador) de la forma:
xt+1 = Acxt +Bcytut = Ccxt
(III.57)
de manera que, cuando el lazo es cerrado –con (III.57)–, la norma H2 de la funcion de transferencia desde w a zsea menor o igual que algun valor
√γ > 0 dado, para todo posible F ∈ F , i.e.,
‖Twz‖22 ≤ γ ∀F ∈ F
lo que normalmente conocemos como costo garantizado [EP98].
76
Todos los resultados que presentaremos pueden ser extendidos a la ubicacion de polos en discos centrados enalgun escalar real α con radios r. Ademas, todas las matrices asociadas con la salida medible yt pueden incluirincertidumbre (con algunas condiciones sobre la forma como afectan al sistema –matrices D y F–). Igualmentepueden ser considerados controladores no estrictamente propios. Hemos escogido la estructura del sistema y ladel controlador como en (III.56) y (III.57) para mantener las demostraciones mucho mas simples.
Cuando aplicamos el control (III.57) para cerrar el lazo, obtenemos:
(xt+1
xt+1
)
=
(A BCcBcC Ac
)
︸ ︷︷ ︸
A
+
(D0
)
︸ ︷︷ ︸
D
F (E1 E2Cc)︸ ︷︷ ︸
E
(xtxt
)
︸ ︷︷ ︸
x
+
(B1
0
)
︸ ︷︷ ︸
B1
wt
zt = (C1 D12Cc)︸ ︷︷ ︸
C1
(xtxt
)
(III.58)
o agrupando terminos:xt+1 = (A+ DF E)xt + B1wtzt = C1xt
(III.59)
Nuestra solucion del problema esta basada en el concepto de disco-estabilidad cuadratica, cuya definicion es:
Definicion III.3 ([GB95]) El sistema (III.59) es cuadraticamente disco estabilizable (d − estabilizable), siexiste una matriz simetrica definida negativa P > 0 tal que:
(A+ DF E)TP (A+ DF E)− P < 0
∀F ∈ F .
El costo H2 garantizado viene dado por:
Definicion III.4 ([GGB94]) Sea Ac, Bc, Cc un controlador dado que d−estabiliza cuadraticamente a (III.59).Entonces, el sistema (III.59) tiene un costo γ > 0, H2 garantizado si:
‖Twz‖22 ≤ γ ∀F ∈ F
donde Twz es la funcion de transferencia entre w - z en (III.59), dada por:
Twz = C1(δI − A− DF E)−1B1, δ = el operador de retardo.
Recordemos ahora que:‖Twz‖22 = Traza(BT
1 Lo(F )B1)
donde Lo(F ) satisface:(A+ DF E)TLo(F )(A+ DF E)− Lo(F ) + CT
1 C1 = 0. (III.60)
El siguiente teorema nos aporta condiciones equivalentes “ciertas” de la existencia de lımites superiores de lanorma H2 de sistema (III.59).
Teorema III.6 ([GB95]) El sistema(III.59) es cuadraticamente d−estable si existe una matriz simetrica P > 0y un escalar ε > 0 tal que
AT (P−1 − εDDT )−1A− P + ε−1ET E + CT1 C1︸ ︷︷ ︸
Q
. < 0 (III.61)
77
Observacion III.27 En [GB95] el resultado es formulado en terminos de una matriz Q que puede ser escogidaarbitrariamente y de una ecuacion discreta de Riccati. Con una seleccion apropiada de Q (e.g., = Q + cualquiermatriz definida positiva “pequena”) se obtiene (III.61).
El lımite superior de la norma H2 es funcion de la solucion P de la desigualdad de Riccati (III.61).
De hecho, la satisfaccion de (III.61) es equivalente a [GB95]:
(A+ DF E)TP (A+ DF E)− P + CT1 C1 < 0 (III.62)
al comparar (III.60) y (III.62) P > Lo, y por lo tanto:
Traza(BT1 Lo(F )B1) ≤ Traza(BT
1 PB1)
En terminos de desigualdades matriciales, la existencia de una matriz P > 0 y un escalar ε > 0 tal que:(P−1 B1
BT1 γI
)
> 0 y (III.63)
(−P−1 + εDDT A
AT −P + ε−1ET E + CT1 C1
)
< 0 (III.64)
implica que:‖Twz‖22 ≤ γ ∀F ∈ F .
Con estos resultados previos, podemos presentar el resultado principal de esta seccion.
A continuacion presentaremos condiciones –necesarias y suficientes– de existencia de un controlador cuadraticod− estabilizante con costo H2 garantizado.
Para facilitar la presentacion del resultado principal, introduciremos manipulaciones elementales de los resul-tados previos.
Lema III.1 La desigualdad (III.64) es satisfecha si y solo si existe una matriz simetrica, definida positiva S talque:
(−S + DDT AS
SAT −S + SET ES + εSCT1 C1S
)
. < 0 (III.65)
Demostracion: Pre y post multiplicando el lado izquierdo de la desigualdad (III.64) por la matriz regularsimetrica: (
I 00 P−1
)
y definiendo S = ε−1P−1, obtenemos (III.65).
Observe que, con este cambio de variable, la desigualdad (III.63) resulta:(
S B1
BT1 εγI
)
> 0. (III.66)
Lema III.2 Sea T cualquier matriz regular de dimensiones apropiadas, entonces la desigualdad (III.65) se sa-tisface si y solo si existe una matriz simetrica, positiva definida S tal que:
−I 0 ESTT 0 0
0 −ε−1I C1STT 0 0
TSET TSCT1 −TSTT TSATTT 0
0 0 TASTT −TSTT TD
0 0 0 DTTT −I
< 0. (III.67)
78
Demostracion: (III.67) se obtiene pre y post multiplicando el lado izquierdo de la desigualdad (III.65) por lamatriz regular:
(T 00 T
)
y su transpuesta respectivamente, y luego aplicando el teorema del complemento de Schur para expandir lasdimensiones de la matriz.
Lema III.3 Sea T una matriz regular cualquiera de dimensiones apropiadas, entonces la desigualdad (III.66) sesatisface si y solo si existe una matriz definida positiva S tal que:
(TSTT TB1
BT1 T
T εγI
)
< 0. (III.68)
Demostracion: (III.68) se obtiene al pre y post multiplicar el lado izquierdo de (III.66) por la matriz regular:
(T 00 I
)
y su transpuesta respectivamente.
Presentamos ahora el resultado principal de esta seccion:
Teorema III.7 ([CP99]) El sistema(III.59) es cuadraticamente d − estable con costo H2 γ > 0 garantizado,si y solo si existen matrices X y Y simetricas, definidas positivas y matrices H,L,Z y un escalar ε > 0 tal queel siguiente conjunto de desigualdades matriciales lineales tiene solucion:
Y I Y B1
I X B1
BT1 Y BT
1 εγI
> 0 y (III.69)
−I 0 E1 E1X + E2L 0 0 0? −ε−1I C1 C1X +D12L 0 0 0? ? −Y −I ATY + CTHT AT 0? ? ? −X Z XAT + LTBT 0? ? ? ? −Y −I Y D? ? ? ? ? −X D? ? ? ? ? ? −I
< 0. (III.70)
Mas aun, un controlador de costo H2 garantizado viene dado por:
Bc = V −1HCc = L(UT )−1
Ac = V −1(ZT − Y AX −HCX − Y BL)(UT )−1
en el que V es cualquier matriz regular (escogida arbitrariamente por el disenador) y U satisface XY +UV T = I.Observe que siendo el lado izquierdo de (III.70) una matriz simetrica, hemos introducido una “?” para evitaruna descripcion mas complicada de la matriz.
Demostracion: Para obtener (III.70) particionamos S en (III.67) de la forma:
S =
(X U
UT X
)
S−1 = P =
(Y V
V T Y
)
y definimos a la matriz:
T =
(Y VI 0
)
79
donde podemos suponer, sin perdida de generalidad, que la matriz V es una matriz regular [SGC97].
Obtenemos los resultados de (III.69) y (III.70) con esta seleccion de la matriz T en (III.67) y definiendo:
H = V Bc; L = CcUT ; Z = (Y AX +HCX + Y BL+ V AcU
T )T
el conjunto de desigualdades matriciales lineales (III.69) y (III.70) aseguran d − estabilidad con desempeno delsistema asegurado a traves del costo H2 garantizado del sistema (III.59).
Ejemplo
En esta seccion presentamos un ejemplo numerico tomado de Huei & Fong [HF93], ligeramente modificado.
El sistema que consideramos es:
xt+1 =
(−1,00 −1,200,10 −0,15
)
+
(0,10,2
)
F(1 0
)
xt +
(10
)
ut +
(00,1
)
wt
yt =(1,2 −1,5
)xt
zt =(0 1
)xt + ut.
(III.71)
Colocando ε = γ = 1, la solucion al conjunto de desigualdades matriciales (III.69) y (III.70) viene dada por:
X =
(0,8229 −0,2671−0,2671 0,3179
)
; Y =
(3,5096 −1,5866−1,5866 23,9678
)
; y
L =(0,3194 0,0178
); Z =
(−0,0765 0,0598−0,3870 0,1364
)
; H =
(2,4053−2,9949
)
.
Con este conjunto de valores y simplemente escogiendo V como la matriz identidad, obtenemos para el con-trolador:
xt+1 =
(0,9017 −0,0642−0,4275 0,0008
)
xt +
(2,4053−2,9949
)
yt
ut =(−0,4616 −0,0970
)xt.
Resulta sencillo construir una matriz de Lyapunov P para el sistema de lazo cerrado, como una funcion deX,Y y V o U .
III.9. Sistemas con incertidumbre poliedrica
En esta seccion nos interesaremos particularmente en los sistemas con incertidumbre poliedrica. Buscamossoluciones que se basen en la realimentacion de la salida del sistema. En un primer momento, buscamos uncontrolador que asegure la estabilidad del sistema, para luego avanzar en las especificaciones del controlador.
El problema de los sistemas con incertidumbre poliedrica es la ausencia de un sistema nominal, lo que lodiferencia del caso con incertidumbre acotada en norma en el que el enfoque de generar un controlador dinamico,basado en un observador del sistema con los elementos nominales “ligeramente” compensados en funcion de laincertidumbre, es inmediato y a de partir dichos elementos se construye una condicion suficiente.
80
Para solventar este problema, proponemos en esta seccion un enfoque iterativo para determinar un dominiode incertidumbre politopico “lo mas grande posible” alrededor de un sistema inicial fijo, proporcionandonos deesta manera con una especie de sistema nominal de arranque. En cierta forma estamos evaluando un margen derobustez en el sentido definido en [Bar94] y [MZ89].
La estrategia que utilizaremos se basa en una condicion necesaria, a saber: si un sistema es cuadraticamenteestabilizable y detectable —esta ultima nocion dual del concepto de estabilidad cuadratica— siempre existe unacierta vecindad alrededor de no importa que punto (modelo) dentro del dominio incierto que podra estabilizarsecon un compensador dinamico del tipo “observador de Luenberger” [ORe83].
Esta vecindad puede ser —y lo sera en nuestro enfoque— definida a traves de una matriz de Lyapunov del tipodiagonal, la cual servira, de manera clasica en el enfoque cuadratico, igualmente para la sıntesis del controladory viceversa.
El algoritmo que desarrollaremos se basa en la tecnica de iteraciones “D-K” [MZ89], en el que explotaremosla naturaleza biconvexa con respecto a la matriz de Lyapunov y con respecto al controlador.
En el enfoque que vamos a presentar se puede incluir incertidumbre en todas las matrices del sistema, esto es,las matrices de dinamica, entrada y salida.
Estabilidad local de sistemas inciertos
En vista de que el algoritmo que propondremos se basa en la propiedad de estabilidad local de sistemasinciertos, permıtasenos pasar a demostrar tal propiedad y para ello consideremos el sistema:
x = Ax+Buy = Cx
(III.72)
donde x, u, y son respectivamente los vectores de estado, de control y de salida medible del sistema perteneciendoa IRn, IRm y IRp respectivamente. Las matrices A,B,C son matrices no conocidas que pertenecen a los conjuntos:
A ∈ A = An +∆A : ‖∆A‖ ≤ ρ1B ∈ B = Bn +∆B : ‖∆B‖ ≤ ρ2C ∈ C = Cn +∆C : ‖∆C‖ ≤ ρ3
(III.73)
donde ‖·‖ es una norma matricial cualquiera. Para la demostracion de la estabilizabilidad local supondremos queel sistema (III.72) es estabilizable y detectable. La definicion de detectabilidad cuadratica es dual de la estabilidadcuadratica y concierne al par (CT , AT ). Ası, la detectabilidad cuadratica del par (CT , AT ) esta definida por laexistencia de una matriz de Lyapunov unica W =W T > 0 y de una ganancia L, de manera que:
(A− LC)TW +W (A− LC) < 0.
Recordemos que la estabilidad cuadratica esta determinada por la existencia de P = P T > 0 y K tales que
(A−BK)P + P (A−BK)T < 0
para todo el dominio de la incertidumbre.
Consideremos ahora un observador de Luenberger [ORe83] para el sistema III.72 “nominal”
z = Anz +Bnu+ L(y − Cnz)u = −Kz (III.74)
donde z ∈ IRn. Definiendo e = x− z, tenemos
e = (An − LCn +∆BK)e+ (∆A −∆BK − L∆C)x. (III.75)
81
Sea ∆ = ∆A −∆BK − L∆C , el sistema a lazo cerrado puede escribirse como:
(xe
)
=
(A−BK BK
∆ An − LCn +∆BK
)(xe
)
(III.76)
donde, de acuerdo con nuestra hipotesis de estabilidad y detectabilidad, las ganancias L y K son tales que existenmatrices P > 0 y W > 0 tales que
FS(P,A,B) = (A−BK)TP + P (A−BK) < 0; ∀A,B ∈ A,BFO(W,A,C, ) = (A− LC)TW +W (A− LC) < 0; ∀A,C ∈ A, C. (III.77)
Notamos que ∀α > 1,FS(αP,A,B) < FS(P,A,B) yFO(αW,A,C) < FO(W,A,C). (III.78)
Podemos ahora caracterizar la estabilidad local del sistema (III.72).
Teorema III.8 ([CPM94]) Si el par incierto (A,B) es cuadraticamente estabilizable y el par incierto (CT , AT )es cuadraticamente detectable, entonces siempre existe una vecindad alrededor de la tripleta (An, Bn, Cn) tal queel sistema (III.72) es cuadraticamente estabilizable por un compensador de la forma (III.74).
Demostracion:
Supongamos que existe una matriz de Lyapunov del sistema (III.76) de la forma
Pg =
(P 0
0 W
)
(III.79)
por lo tanto
(xT eT )
(A−BK BK
∆ An − LCn −∆BK
)T
Pg
+Pg
(A−BK BK
∆ An − LCn −∆BK
)(xe
)
< 0,
(III.80)
lo que podemos escribir como
xT (A−BK)T P + P (A−BK)x+ eT (An − LCn −∆BK)T W
+W (An − LCn +∆BK)e+ 2eT KTBTP + W∆x < 0.(III.81)
Sin embargo,(PBKe+ x)T (PBKe+ x) ≥ 0
y entonces2eT KTBT Px ≤ xTx+ eTKTBT P PBKe (III.82)
teniendo ademas que:2eT W∆x ≤ xTx+ eT W∆∆T We (III.83)
y de allı que la desigualdad (III.80) se satisface si
1) (A−BK)T P + P (A−BK) + 2I < 0 y
2) (An − LCn)T W + W (An − LCn) +KTBT P PBK
+W∆∆W + W∆BK +KT∆BW < 0.
(III.84)
Pero dado que el sistema es estabilizable y detectable cuadraticamente, siempre existen β > 0, γ > 0 y ρm > 0tales que
(A−BK)TβP + βP (A−BK) + 2I < 0 y(An − LCn)T γW + γW (An − LCn) + β2KTBTPPBK+
ρm(γ2W∆∆W + γW∆BK +KT∆BT γW ) < 0.
(III.85)
82
Esta afirmacion se basa en el hecho de que las incertidumbre son acotadas y, por ende, los terminos en el ultimo delos parentesis son igualmente acotados. Ası, el sistema es cuadraticamente estable en una vecindad de la tripletanominal (An, Bn, Cn) definida por:
‖∆A‖ ≤ ρmρ1; ‖∆B‖ ≤ ρmρ2; ‖∆C‖ ≤ ρmρ3.
En el teorema (III.8) demostramos que, si el sistema es cuadraticamente estabilizable y detectable, siemprepodemos encontrar una vecindad de la tripleta (An, Bn, Cn) que puede efectivamente ser estabilizada por uncompensador del tipo “observador de Luenberger”. Mas aun, en la demostracion no se ha impuesto ningunacondicion en la tripleta (An, Bn, Cn) sino que se encuentre en el dominio de incertidumbre. Por lo tanto, podemosafirmar que en la vecindad de no importa que tripleta (A,B,C) del dominio, siempre podremos satisfacer (III.85)y asegurar que el sistema a lazo cerrado es asintoticamente estable.
Sin embargo, hay que senalar que es necesario conocer las matrices (A,B,C) para construir el compensador,lo que impone problemas practicos evidentes.
Un resultado adicional que se deriva del teorema (III.8) es el siguiente:
Corolario III.9 Dado que en el caso de los sistemas lineales precisamente conocidos la desigualdad (III.85)siempre se satisface, para algun β > 0 y γ > 0, entonces esos sistemas siempre admiten como matriz de Lyapunovuna matriz de la forma
Pg =
(βP 00 γW
)
> 0 (III.86)
en la representacion en (xT eT )T , y donde P y W son las matrices que “estabilizan y detectan” cuadraticamenteal sistema.
Podemos igualmente demostrar que otras matrices diagonales en bloques son tambien posibles matrices deLyapunov del sistema cierto, por ejemplo:
(εP 00 W−1 − εP
)
> 0
para ε suficientemente pequeno. Como antes, W y P son las matrices que “estabilizan” y que “detectan” alsistema.
Hacemos enfasis en el hecho de que Pg es una matriz de Lyapunov en una cierta vecindad alrededor del sistemaconocido (A,B,C), y que lo sera para el sistema a lazo cerrado con un compensador como el de (III.74). Estoes, el compensador no estabilizara unicamente al sistema conocido sino tambien en una vecindad alrededor de(A,B,C).
Basandonos en esta constatacion vamos a presentar, en lo que sigue, una estrategia que explota la naturalezaconvexa del problema poliedrico cuando se fija una de las variables desconocidas. La estrategia busca un maximolocal de la incertidumbre que puede efectivamente ser estabilizada.
Sıntesis de compensadores por programacion lineal
Antes de presentar la estrategia, formulemos precisamente el problema a considerar a partir del sistema si-guiente:
x = Ax+Buy = Cx
83
donde x ∈ IRn, u ∈ IRm e y ∈ IRp representan, respectivamente, los vectores de estado, control y salida medible.A ∈ A, B ∈ B y C ∈ C donde A,B, C son subconjuntos poliedricos no vacıos de IRn×n, IRn×m y IRp×n respectiva-mente. Los vertices de esos poliedros son A1, A2, . . . , Ar, B1, B2, . . . , Bs y C1, C2, . . . , Ct. D esta definidocomo el poliedro en el que los vertices son todas las combinaciones posibles de la tripleta (Aj , Bk, Cl) conj = 1, . . . , r, k = 1, . . . , s, l = 1, . . . , t. Para simplificar la notacion, indexaremos los vertices con i = 1, . . . , q,q = rst y en consecuencia D es el envoltorio convexo (Convex Hull Co) de las tripletas (Ai, Bi, Ci), es decir
D = Co(Ai, Bi, Ci), i = 1, . . . , q.
Sea (Ac, Bc, Cc) un punto cualquiera en D y finalmente definimos al subconjunto θ(·, ·) de D como
θ(D, ε) = Co((1− ε)(Ac, Bc, Cc) + ε(Ai, Bi, Ci)) i = 1, . . . , q 0 ≤ ε ≤ 1. (III.87)
Claramente, tenemosθ(D, 0) = (Ac, Bc, Cc) yθ(D, 1) = D.
El problema que abordamos es el siguiente:max ε
tal que el sistemax = Ax+Buy = Cxz = Fz +Gyu = −Kz
(III.88)
es cuadraticamente estable para todo (A,B,C) ∈ θ(D, ε), esto es, encontraremos matrices F ∈ IRn×n,G ∈ IRn×p
y K ∈ IRm×n que estabilizan el subconjunto “maximo” de D (y que medimos en este caso con la ayuda de ε).
El sistema III.88 puede ser escrito en funcion de las variables
x =
(xe
)
(III.89)
donde e = x− z, de la forma˙x = (A+ BF C) (III.90)
donde
A =
(A 0A 0
)
B =
(0 −B−I −B
)
C =
(I −IC 0
)
F =
(F GK 0
)
. (III.91)
Por lo tanto el sistema es cuadraticamente estabilizable si y solamente si existen matrices W > 0 y F tales que
H(F ,W ) = (A+ BF C)TW +W (A+ BF C) < 0 (III.92)
∀x ∈ IR2n y ∀(A, B, C) ∈ θ(D, ε). D definido como el poliedro
D = Co(Ai, Bi, Ci), i = 1, . . . , q
Ai =
(Ai 0Ai 0
)
Bi =
(0 −Bi−I −Bi
)
Ci =
(I −ICi 0
)
.(III.93)
Resaltamos que la funcion H(F ,W ) es biconvexa en F y W —es decir, convexa con respecto a una de las dosmatrices una vez que la otra es fijada—. Ademas, notamos que ∀(A, B, C) ∈ θ(D, ε),
(A+ BF C)TW +W (A+ BF C) =
q∑
i=1
αi[(Ai + BiF Ci)TW +W (Ai + BiF Ci)] (III.94)
donde αi ≥ 0 y
q∑
i=1
αi = 1. Es, por lo tanto, suficiente (y necesario) que la condicion (III.92) sea satisfecha en los
vertices (Ai, Bi, Ci), i = 1, . . . , q.
84
Dada la convexidad del problema respecto a una de las variables (W o F ) cuando la otra se fija, el enfoque queutilizaremos para determinar el domino maximo sera escoger un ε y una de las variables (por ejemplo W ) y luegocalcular la otra (F ) si es que ella existe y verifica (III.92). Al obtener una solucion, aumentamos ε y repetimosel procedimiento, e.g. fijamos F y calculamos una nueva matriz W . El proceso continua hasta el momento enel que cualquier incremento de ε no permite calcular la variable que no hemos fijado, esto es, que el problemaconvexo resultante al fijar una de las variables no tiene solucion. En ese momento tendremos un maximo local yun controlador que estabiliza F ese maximo de incertidumbre [CGP96], [CGH95].
En este momento ya podemos exponer el algoritmo de calculo del controlador y el margen de robustez. Como seha dicho, la estrategia calcula un compensador o una matriz de Lyapunov usando los algoritmos a continuacion.
Calculo de la dinamica del compensador
Paso 0: Consideremos que los vertices de la region incierta (Ai, Bi, Ci), i = 1, . . . , q y que una matriz deLyapunov W son dados y sea
Hi(F ) = (Ai + BiF Ci)TW +W (Ai + BiF Ci). (III.95)
Mas aun, sea fij el elemento ij i-esimo de la matriz F que puede efectivamente ser diferente de cero.
Finalmente, sea k = 0, F0 una matriz inicial —por ejemplo, nula— y ζ0 un subconjunto de IR(n+m)×(n+p)
compacto y “suficientemente grande” (de tal manera que F0 ∈ ζ0).
Paso 1: Calcular el autovalor maximo
λkmax = max λmax(Hi(Fk)), i = 1, . . . , q. (III.96)
Si λkmax < 0, pare: F es un compensador dinamico estabilizante —cuadraticamente— al sistema extendido,si no vaya al paso 2.
Paso 2: Sea vk el autovector asociado a λkmax y Hk(F ) la funcion Hi asociada al vertice correspondiente a
λkmax. Calcular Fk+1 a traves del problema
mın ρtal que
−ρ ≤ fij ≤ ρ
Fk+1 ∈ ζk+1 = ζk ∩ vkTHk(F )vk < 0.
Paso 3 : Hacer k = k + 1 y volver al paso 1.
Calculo de la matriz de Lyapunov
Paso 0: Consideremos que los vertices de la region incierta (Ai, Bi, Ci), i = 1, . . . , q y un controladordinamico F son dados y sea
Hi(W ) = (Ai + BiF Ci)TW +W (Ai + BiF Ci), i = 1, . . . , q
Hq+1(W ) = −W. (III.97)
Mas aun, sea k = 0, W0 la matriz identidad y ζ0 un subconjunto compacto de IR2n×2n “suficientementegrande”, tal que W0 ∈ ζ0.
Paso 1: Calcular el autovalor maximo
λkmax = max λmax(Hi(W )), i = 1, . . . , q + 1. (III.98)
Si λkmax < 0 pare: W es un matriz de Lyapunov, si no vaya al paso 2.
85
Paso 2: Sea vk el autovector asociado a λkmax y Hk(W ) la funcion Hi(W ) asociada al vertice correspondientea λkmax. Calcular Wk+1 a traves de
mınTr(W )tal que
Wk+1 ∈ ζk+1 = ζk ∩ vkTHk(W )vk < 0.
Paso 3: Haga k = k + 1 y vuelva al paso 1.
Algunas observaciones a proposito de los algoritmos propuestos
Observemos que en los dos algoritmos propuestos los vertices de la region de incertidumbre son calculados apartir de (III.87) para valores crecientes de ε.
Los dos algoritmos explotan igualmente la naturaleza convexa del problema que queda cuando una de lasvariables se fija en un valor. En ambos casos generamos hiperplanos de corte que excluyen el punto no factible(Fk o Wk), obteniendo de esta manera un subconjunto reducido.
En todos los casos podemos asegurar convergencia hacia una solucion si el paso 2 es reemplazado por:
ζk+1 = ζk ∩ vkTHk(.)vk ≤ −γ (III.99)
con γ > 0 “suficientemente pequena”. La escogencia de una region inicial ζ “suficientemente grande” no presentaninguna dificultad practica. En general podemos escoger todo el espacio (abierto) y luego de un numero pequenode iteraciones se generara una region ζ compacta, siendo esta lo que necesitamos para asegurar la convergenciaque demostraremos un poco mas adelante.
A fin de asegurar el exito, los dos algoritmos deben disponer de una de las dos variables (W o F ) y de lacertidumbre que esa variable funcionara para un dominio de incertidumbre ligeramente mas grande que aquelpara el que ella fue calculada (teorema III.8), en tanto que el sea un subconjunto de D.
Para iniciar el algoritmo debemos, sin embargo, tener un compensador o una matriz de Lyapunov. Si elsistema es cuadraticamente estabilizable y detectable siempre podemos construir un compensador estabilizantedel sistema cierto, de la forma expuesta en (III.74) y con las ganancias L y K calculadas del problema convexoasociado. Por otra parte, es facil demostrar con las mismas hipotesis —detectabilidad y estabilizabilidad— quebajo la representacion (xT eT )T siempre existe una matriz de Lyapunov de la forma
(P 00 αW−1 − P
)
(III.100)
para todo α ≥ k para una cierta k > 0.
En ambos casos disponemos de valores que nos permiten inicializar los procedimientos de calculo.
La estrategia propuesta en III.9 puede igualmente utilizarse para determinar el margen de robustez de uncontrolador dado de un sistema. Este topico ha sido tambien estudiado por un numero de autores —[Yed86],[YL86], [Soh94], [HL93]— siendo las cotas superiores de la incertidumbre dada. La estrategia presentada en III.9calcula el lımite de robustez (cuadratica) de tal compensador.
Hay que senalar que el enfoque numerico precedente no impone de ninguna manera la restriccion de diagonali-dad en bloques de la matriz de Lyapunov, y esta forma se utiliza unicamente para demostrar que la estabilidad enuna cierta vecindad es verificada. Por otra parte, esta forma diagonal es util para la inicializacion del algoritmo.
En fin, con respecto a la implementacion numerica del algoritmo, el enfoque general propuesto ha sido ilus-trado usando tecnicas de hiperplanos de corte y programacion lineal, y debe remarcarse que tal enfoque puedeigualmente ser realizado utilizando LMIs y tecnicas de punto interior.
86
Convergencia del esquema iterativo
Sea ζ el conjunto factible; la convergencia de los algoritmos propuestos esta asegurada por los hechos siguientes:
El conjunto —compacto— de busqueda ζk se reduce de iteracion a iteracion. En efecto,
ζ ⊂ . . . ⊂ ζk+1 ⊂ ζk. (III.101)
El algoritmo genera un problema de optimizacion (minimizacion) en conjuntos en los que la talla se reducey que son todos incluidos en el precedente; por ejemplo, lo que implica la existencia de un punto lımite siel conjunto inicial ζ no esta vacıo [Hof81].
En la iteracion k se anade la restriccion
vkTHk(.)vk ≤ −γ (III.102)
para γ > 0 dada “suficientemente pequena”. Esta restriccion sera, de seguro, satisfecha para cualquiersolucion obtenida por los algoritmos en la iteracion l > k, es decir
vkTHk(Sl)vk ≤ −γ (III.103)
donde Sl = Wl o Fl en funcion del problema que estemos resolviendo en la iteracion l. (III.103) se puedeescribir
λkmax(Sk)− vkTHk(Sl − Sk)vk ≤ −γ. (III.104)
Dada la existencia de un punto lımite,
lıml,k→∞
vkTHk(Sl − Sk)vk = 0 (III.105)
y, por lo tanto, si S = lımk→∞ Sk,λkmax(S) ≤ −γ. (III.106)
Si el conjunto factible ζ(= lımk→∞ ζk) no esta vacıo, tenemos que S ∈ ζ.
Si el conjunto factible es vacıo existira una iteracion l para la que ζ l sera vacıo.
Sobre las condiciones de estabilizabilidad y detectabilidad cuadratica
En la seccion precedente hemos propuesto algoritmos que requieren de un punto inicial de partida, por ejemplo,un compensador estabilizante del sistema nominal. Ahora bien, un punto inicial se puede calcular a partir de(III.77) si el sistema es cuadraticamente estabilizable y detectable. Recordamos ahora que las condiciones deestabilizabilidad y detectabilidad son necesarias para la existencia de un controlador dinamico del sistema III.72a lazo cerrado.
En efecto, el sistema (III.88) es cuadraticamente estabilizable si existe una matriz:
P =
(P1 P2P2
T P3
)
> 0,
tal que:(
A −BKGC F
)T (P1 P2P2
T P3
)
+
(P1 P2P2
T P3
)(A −BKGC F
)
< 0 (III.107)
∀(A,B,C) ∈ D. En consecuencia, el bloque (1,1) de la desigualdad (III.107) debe igualmente ser definido negativo,i.e.,
ATP1 + P1A+ P2GC + CTGTP2T < 0,
87
lo que es equivalente a la detectabilidad cuadratica del sistema III.72.
Para demostrar la necesidad de la estabilizabilidad procedemos de manera similar sobre el sistema dual, yaque:
(A+ BF C)W +W (A+ BF C)T < 0⇐⇒ (A+ BF C)TP + P (A+ BF C) < 0
donde P =W−1. Por lo que tambien se debe cumplir que:
(A −BKGC F
)(W1 W2
WT2 W3
)
+
(W1 W2
WT2 W3
)(A −BKGC F
)T
< 0
∀(A,B,C) ∈ D. El bloque (1, 1):
AW1 +W1AT −BKWT
2 −W2KTBT < 0
traduce la condicion de estabilizabilidad.
Ejemplos numericos
En los ejemplos que siguen consideraremos sistemas de la forma:
x = Ax+Buy = Cx.
(III.108)
En todos los casos iniciamos el proceso iterativo con un compensador dinamico que estabiliza el sistema sinincertidumbre.
Primer ejemplo
Consideremos al sistema tomado de [CPM94] con 4 parametros inciertos, a saber q1, q2, q3 y q4.
A =
−1 + q1 + 0,3q4 0,1q4 0,1q41− q1 1 1
4− q1 + q2 2 + q2 1
B =
−q3 + 0,01q41 + q31 + q3
C =
2 + 0,003q41 + 0,001q41 + 0,001q4
T
.
Para −0,3 ≤ q1, q2 ≤ 0,3, −0,66 ≤ q3, q4 ≤ 0,66. El algoritmo converge en las matrices siguientes:
F =
−9,4837 −17,6611 −8,2820−17,6611 −14,3579 −17,2162−10,5445 −7,8590 −11,1210
G =
−5,426017,29159,6483
K =
10,023814,03249,8226
T
y el autovalor maximo sobre el conjunto de todos los vertices es: −0,0014. El lugar de las raıces para unadiscretizacion de la incertidumbre se muestra en la figura III.6:
88
−18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Figura III.6.: Lugar de los polos para −0,3 ≤ q1, q2 ≤ 0,3 y −0,66 ≤ q3, q4 ≤ 0,66.
Segundo ejemplo
Se trata de un sistema presentado en [HF93] con un solo parametro incierto k, constituido por las matrices
A =
(−1 + 5k −1− 2k
−8k 2 + 3k
)
B =
(1 + k−3
)
C =
(−3k1 + k
)T
.
Con |k| ≤ 1,145, el algoritmo converge a las matrices
F =
(−5,4819 5,02695,2405 −5,4819
)
G =
(−5,47085,4819
)
F =
(2,0472
−1,0203
)T
y el autovalor maximo sobre el conjunto de vertices es −0,0104. El lugar de las raıces del sistema a lazo cerradopara una discretizacion del rango de la incertidumbre se muestra en la figura III.7.
−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0−15
−10
−5
0
5
10
15
Figura III.7.: Lugar de las raıces de una discretizacion del rango de incertidumbre.
Aplicaciones practicas del esquema presentado, especıficamente al control del pH y de procesos de neutraliza-cion, pueden encontrarse en [CGP98] y [PCG97].
89
Resumen del capıtulo
En este capıtulo hemos presentado resultados sobre la estabilidad de sistemas lineales invariantes en el tiempoa lazo cerrado y en los que solo los estados medibles estan disponibles para el control.
Hemos analizado sistemas sin incertidumbre y con incertidumbre poliedrica y acotada en norma.
Para los sistemas con incertidumbre hemos mostrado que solo podemos aproximarnos a la solucion a traves deproblemas bilineales (fijando una variable —matricial— y calculando la otra). En todos los casos hemos basadonuestros resultados en la formulacion de un problema de programacion convexa y particularmente en LMIs.
Notable excepcion es la estabilidad de sistemas con incertidumbre acotada en norma que sı conoce soluciontotal. Si se desea imponer otras condiciones, fuera de la mera estabilidad, el problema pasa a ser del tipoestructurado pasando, una vez mas, al caso bilineal.
90
CAPITULO IV
Sintonizacion robusta de controladores industriales
IV.1. Introduccion
En la ultima decada la teorıa de control robusto ha experimentado avances considerables, alcanzando unelevado grado de madurez [MZ89], [Bar94]. La teorıa es particularmente atractiva, ya que, como hemos mostradoen capıtulos anteriores, permite considerar de manera explıcita los elementos desconocidos que afectan al lazode control, esto es, perturbaciones externas y/o imperfecciones de modelado, que en adelante denominaremosincertidumbre.
Sin embargo, y a pesar de lo poderosa que puede resultar esta teorıa para la sıntesis de controladores, son muypocas las aplicaciones industriales que funcionan actualmente. La razon es que, en la mayorıa de los casos, loscontroladores robustos calculados son de orden elevado y poseen estructuras difıciles de implementar o manipularpor el operador. En contraste, el muy conocido controlador proporcional, integral, derivativo (PID), se ha con-vertido en el estandar de facto para el control de lazos de una entrada y una salida (SISO), siendo sumamentefamiliar su manipulacion (entonamiento) para los tecnicos de control y operadores del sistema [Ast02]. Apartede su versatilidad y amplio espectro de uso que va desde aplicaciones en procesos quımicos hasta la avionica yaeronautica [GCS01], este controlador incorpora elementos atractivos en el lazo de control como son: robustez,eliminacion de error y perturbacion estacionaria. El ajuste de sus tres parametros, sin embargo, no es transparentey ha sido objeto numerosos estudios ([ZN42],[AH95], [RMS86], [Sko03], [HHC95]).
En este capıtulo se proponen dos metodologıas para la sintonizacion (entonacion) de controladores PID. Laprimera se basa en un pequeno cambio en las variables de estado, incorporando la integral de la salida como unade ellas, y en un esquema iterativo, denominado ILMI que explota la naturaleza bilineal del problema resultante.Una segunda se basa en el controlador multiobjetivo (robusto) obtenido para el mismo lazo. Notablemente, elcontrolador PID tratara de aproximar las caracterısticas frecuenciales del controlador robusto, y en este ultimocaso las prestaciones del lazo solo pueden verificarse a posteriori.
En el enfoque frecuencial, como en la mayorıa de los controladores PID comerciales, se cuenta tambien con unfiltro a la salida del PID, y para mejorar la aproximacion del PID al controlador robusto nuestro diseno incorporael filtro al PID en serie.
Para facilitar la comprension de las ideas que se proponen, se ha escogido aplicar esta metodologıa a varioscasos de estudio, en el caso de las ILMI comparandola con los resultados presentados en [Sko03] y en el casofrecuencial a un esquema de control de presion de una tuberıa de gas, siendo la variable manipulada el flujo degas que se alivia a un mechurrio para lograr el objetivo de control. Para todos los sistemas en estudio se disponede un buen modelo, aunque el enfoque ILMI puede igualmente aceptar incertidumbre en la matriz de dinamicadel sistema [GCB03].
En este capıtulo consideraremos un lazo de control de una entrada y una salida como el que se muestra en lafigura (IV.1).
Figura IV.1.: Lazo cerrado de control.
IV.2. Los algoritmos PID
En general hablamos de controladores PID, porque cada controlador tiene una componente proporcional, unaintegral y una derivativa, pero su estructura puede variar. Las expresiones mas comunes son:
PID paralelo. En terminos de la expresion temporal.
u(t) = Kp(e(t) +1
Ti
∫
e(t)dt+ Tdde(t)
dt) (IV.1)
donde e(t) es la senal de error (ver figura IV.1) y
PID interactivo. En terminos de la funcion de transferencia.
U(s) = Kp(1 +1
Tis)(1 + Tds)E(s) (IV.2)
Es posible pasar de una forma a la otra, siempre que el polinomio: TiTds2+Tis+1, tenga raıces reales [DM95].
De igual forma, pueden encontrase ligeras variaciones sobre las estructuras antes mencionadas para resolver pro-blemas especıficos como saturacion y evitar que cambios en la consigna afecten sensiblemente al controlador,entre otros [Ast02].
Para el calculo de los parametros del PID mediante LMIs, hemos considerado la forma paralela o ideal (IV.1),en el entendido de que la mayorıa de los controladores industriales aceptan esta estructura y que si no fuese elcaso, en general se puede pasar de una forma a la otra.
IV.3. PID vıa LMIs iterativas
En esta seccion desarrollaremos una estrategia de calculo de los parametros (Kp, Ti, Td) basada en LMIs,siguiendo la estrategia propuesta en [CLS98]. Para ello consideremos el sistema:
x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t)
(IV.3)
92
al que vamos a controlar con un PID paralelo como el descrito en (IV.1). Asumiremos que deseamos regular(mantener la salida en cero), luego e(t) = −y(t). Por simplicidad, definiremos:
Ki =Kp
Ti, y Kd = KpTd.
De (IV.3) y (IV.1) es facil deducir que:
u(t) = −(1 +KdCB)−1Kpy(t)− (1 +KdCB)−1Ki
∫
y(t)dt− (1 +KdCB)−1KdCAx(t). (IV.4)
De modo que si definimos un nuevo vector de estados de la forma:
χ(t) =
(x(t)
∫y(t)dt
)
y un nuevo vector de salida:
ψ(t) =
y(t)∫y(t)dt
CAx(t)
entonces el problema de encontrar un controlador PID del tipo (IV.1) para el sistema (IV.3) es equivalente aencontrar una realimentacion estatica de la salida para el sistema:
χ(t) = Aχ(t) + Bu(t)ψ(t) = Cχ(t)u(t) = −Kψ(t)
(IV.5)
donde:
A =
(A 0C 0
)
; B =
(B0
)
; C =
C 00 ICA 0
y K = (K1,K2,K3) donde:K1 = (1 +KdCB)−1Kp
K2 = (1 +KdCB)−1Ki
K3 = (1 +KdCB)−1Kd
(IV.6)
El sistema (IV.5) es estable si existen una matriz P definida positiva y una ganancia K, tal que:
(A + BKC)P + P (A + BKC)T < 0. (IV.7)
Para poder desarrollar un algoritmo de busqueda a partir de la condicion (IV.7) de Lyapunov, incluimos unavariable escalar adicional α que permite la formulacion de un problema convexo que siempre tiene solucion.
El algoritmo es formulado en la seccion siguiente.
IV.4. El algoritmo ILMI
El algoritmo basado en desigualdades matriciales lineales es el siguiente:
Paso 0: determine una matriz de Lyapunov candidato (P0) de la expresion:
(A + BK−1)P0 + P0(A + BK−1)T < 0; P0 > 0. (IV.8)
y haga i = 0.
93
Paso 1: Dado Pi, determine Ki y α∗ de la forma:
α∗ = mınα (IV.9)
sujeto a:(A + BKiC)Pi + Pi(A + BKiC)T − αPi < 0; Pi > 0. (IV.10)
Si α ≤ 0 habremos encontrado una ganancia Ki que estabiliza al sistema, si no, vaya al paso 2.
Paso 2: Dado Ki y un borde superior α∗ que es el valor de α obtenido en el paso 1, calcule Pi+1 y un nuevoα optimo (α), partir de:
α = mınα (IV.11)
sujeto a:(A + BKiC)Pi+1 + Pi+1(A + BKiC)T − αPi+1 < 0; Pi+1 > 0. (IV.12)
Si α ≤ 0, entonces Ki es una ganancia estabilizante y si no haga i = i+ 1 y vaya al paso 1.
Debemos ahora realizar algunos comentarios a proposito del algoritmo.
Observacion IV.1 El algoritmo propuesto esta basado en el hecho de que la condicion de Lyapunov, que asegurala estabilidad para el sistema con realimentacion estatica de la salida (IV.7), es bilineal en las incognitas K y P ,y por ende, cuando una se fija, lo que resulta es una desigualdad matricial lineal (LMI) en la otra variable y, enconsecuencia, un problema convexo.
Observacion IV.2 En el paso 0, lo que hacemos es suministrar al algoritmo un punto de arranque, a partirde la condicion de estabilidad con realimentacion de los estados, que es una LMI en P y R(= K−1P ). Si noexiste tal matriz P que asegure estabilidad con realimentacion de estados, tampoco existira un PID que haga eltrabajo. Observe que en el paso 0 simplemente damos un punto de inicio a partir de una condicion necesaria, perohubieramos podido arrancar desde otro punto, e.g., desde la matriz P asociada a un PID ajustado por Ziegler yNichols, que sabemos estabiliza al sistema original.
Observacion IV.3 En el paso 1, conocida una matriz Pi, se inicia la busqueda de una ganancia Ki que pudieraestabilizar al sistema. Ella (Ki) sera una ganancia estabilizante, si la solucion del problema (convexo) de opti-mizacion que se formula en el paso 1 termina con un valor de α∗ ≤ 0. Observe que el problema en el paso 1 esuna LMI en las incognitas (Ki, α).
Observacion IV.4 En el paso 2, conocida una ganancia Ki, lo que se busca es verificar si ella es, en efecto, unaganancia estabilizante, lo que se certifica si la condicion (IV.12) es satisfecha o, lo que es lo mismo, se obtieneuna matriz Pi+1. Observe igualmente que la condicion (IV.12) es biconvexa en α y Pi+1; sin embargo, siendo αun escalar y conociendo un lımite superior (α∗) es facil obtener ese mınimo de α porque (siendo escalar) solotiene una forma de descenso. Luego, en el paso 2 lo que se hace es fijar el α en un valor, resolver la LMI paraPi+1 y si tiene solucion se hace α mas pequeno y, si no, se vuelve al paso 1.
Observacion IV.5 La satisfaccion de la condicion (IV.10) o la (IV.12) no solo asegura una ganancia estabili-zante sino que ademas da una medida de calidad del controlador obtenido, ya que su satisfaccion garantiza quelos polos del sistema a lazo cerrado esten ubicados a la izquierda de α/2 [SGC97].
Observacion IV.6 En el paso 2, no se requiere calcular el mınimo de α; bastarıa verificar que con α = 0 sesatisface (IV.12), lo que certificarıa la estabilidad. Se ha incluido el mınimo, solo para determinar la bondaddel controlador medido como lo descrito en el comentario anterior (IV.5). De hecho, en algunas circunstanciasy para ubicar un mejor PID y evitar los problemas numericos, no se vuelve al paso 1 con la Pi+1 asociada almınimo sino mas bien con una menos extrema.
94
Observacion IV.7 La variable escalar α asegura que los problemas formulados en los pasos 1 y 2 siempretendran solucion. Ello no asegura, sin embargo, que siempre se encontrara un PID estabilizante. El algoritmofalla en encontrar un PID si α∗, α ≥ 0 y |α∗ − α| ≤ ε, con ε un valor predeterminado de convergencia.
Observacion IV.8 Por ultimo, este algoritmo puede igualmente ser aplicado para el calculo de controladoresPI de sistemas continuos y discretos, para sistemas multivariables y para sistemas con incertidumbre poliedricao acotada en norma en las matrices A y C del sistema original (vease [Pet87] y [BGP89] para la definicion de laincertidumbre y [GCB03] para las extensiones referidas).
IV.5. Comparacion de tecnicas de entonacion
En esta seccion, hacemos una comparacion de la estrategia de entonacion ILMI presentada en la seccion anterior(seccion (IV.4)) con otras tecnicas ampliamente conocidas.
Hemos escogido dos casos tomados de [Sko03]. Ellos son: uno de fase no mınima y otro con retardo. En [CMR05]pueden encontrarse comparaciones mas detalladas del enfoque propuesto con otros y en [GCB03] la extension asistemas multivariables.
Debemos senalar que en el caso de los metodos de IMC y de Ziegler y Nichols, al igual que para la mayorıa delos metodos de ajuste de PIDs, aunque se da una funcion de transferencia del sistema para los ejemplos numericos,la misma es ajustada, sea a una de primer orden mas retardo o a una de segundo orden mas retardo. En el casode ajuste con LMIs que hemos propuesto, la unica simplificacion realizada es la aproximacion del retardo a unade Pade de primer orden. Ello porque el metodo se basa en una representacion en variables de estado.
A continuacion presentamos los resultados para cada caso.
Fase no mınima
La funcion de transferencia del sistema es:
G2(s) =(1− 0, 3s)(1 + 0, 08)
(2s+ 1)(s+ 1)(0, 4s+ 1)(0, 2s+ 1)(0, 05s+ 1)3(IV.13)
El ajuste de los parametros por los diferentes metodos se muestra en la tabla (IV.1).
Metodo Kp Ki Kd
LMI1 2,092 0,5543 2,0673IMC2 1,3 0,65 1,56Z & N2 2,56 0,966 1,6896
Tabla IV.1.: Parametros de los PID de la fase no mınima.
(1) PID paralelo y (2) PID interactivo.
En la figura (IV.2) se muestran los resultados del sistema para una perturbacion tipo escalon unitario, aplicadaa los 30 segundos.
Los margenes de fase y de ganancia comparados se muestran en la tabla (IV.2).
95
30 35 40 45 50
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
LMISIMCZ&N
Figura IV.2.: Respuesta temporal del lazo de fase no mınima.
Metodo Fase GananciaLMI1 68,84 2,58IMC2 57,95 2,89Z & N2 31,2 1,87
Tabla IV.2.: Comparacion de indicadores de calidad. Caso fase no mınima.
(1) PID paralelo y (2) PID interactivo.
Sistema con retardo
La funcion de transferencia del sistema es:
G3(s) =((6s+ 1)(3s+ 1)e−0,3s
(10s+ 1)(8s+ 1)(s+ 1)(IV.14)
El ajuste de los parametros por los diferentes metodos se muestra en la tabla (IV.3).
Metodo Kp Ki Kd
LMI1 3,6898 0,7192 -2,522IMC2 7,41 7,41 -
Tabla IV.3.: Parametros de los PID del sistema con retardo.
(1) PID paralelo y (2) PID interactivo.
En la figura (IV.3) se muestran los resultados del sistema para una perturbacion tipo escalon unitario, aplicadoa los 20 segundos.
Los margenes de fase y de ganancia comparados se muestran en la tabla (IV.4).
96
15 20 25 30 35 40 450.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25LMISIMC−PI
Figura IV.3.: Respuesta temporal del sistema con retardo.
Metodo Fase GananciaLMI1 78,47 1,58
IMC-PI 51,67 3,05
Tabla IV.4.: Comparacion de indicadores de calidad. Caso retardo.
IV.6. Enfoque frecuencial
En esta seccion presentamos el enfoque frecuencial al calculo de PIDs, y ello lo haremos con un caso de estudio.Primero presentamos el modelo del sistema a considerar, en la seccion siguiente se calcula el controlador y el PIDaproximado y finalmente en la ultima seccion, para fines de comparacion, el PID calculado se compara con unoentonado por Ziegler-Nichols [ZN42].
El sistema que consideraremos tiene la siguiente funcion de transferencia:
G(s) =−0,7136s+ 1
e−s (IV.15)
sobre este sistema se desea que no tenga offset a cambios en la entrada tipo escalon (salto) y que sea rapido en surespuesta (que se medira como un tiempo de respuesta inferior a 10 seg.). Todas las especificaciones impuestas sonmuy comunes para lazos de control. Una especificacion adicional fue que el sistema se vea poco afectado (rechace)por perturbaciones que entran al sistema de la misma forma que el control. Esta ultima especificacion, de tiporobusto, toma en cuenta cambios en la presion del sistema producto de agentes externos, como movimientos enla demanda, etc.
Para eliminar el offset “a priori” se incluye un integrador 1s en la trayectoria directa del lazo, de esta manera
se disenara un compensador para el sistema (G(s)) que ha incorporado de manera directa el integrador. Unavez calculado el control robusto, el compensador final sera el control robusto mas el integrador. El problema semuestra esquematicamente en la figura IV.4.
Todo el diseno de controladores robustos se realiza en el ambito de los sistemas lineales y en representacionde variables de estado, por lo tanto, el retardo del sistema —e−s— es modelado como un sistema lineal con unaaproximacion de Pade de 1er orden [Kuo95]:
e−s =1− 0,5s
1 + 0, 5s.
97
y(s)
(-)
w
-0.7136
s+1
e -s
1/sControlr(s) u
∧
Figura IV.4.: Esquema con integrador.
Con esta representacion del retardo, el sistema lineal resulta:
x =
[−3 −21 0
]
x+
[01
]
u+
[01
]
w
y = [0,7136 − 1,4271]
al incluir el integrador el sistema “aumentado” resulta:
xa =
−3 −2 01 0 10 0 0
︸ ︷︷ ︸
Aa
xa +
001
︸ ︷︷ ︸
Ba
u+
010
︸ ︷︷ ︸
Bp
w
y = [0,7136 − 1,4272 0]︸ ︷︷ ︸
Ca
xa con
(IV.16)
xa =
[xu
]
y u como en la figura IV.4.
El objetivo de rapidez de respuesta puede traducirse en que todos los polos del sistema compensado esten ala izquierda de un cierto valor, en este caso se impuso a la izquierda de −1. De igual manera, el objetivo deatenuacion a las perturbaciones w puede ser descrito como:
‖Twz‖∞ < 1
esto es, que la norma infinita de la funcion de transferencia entre w y y sea menor que 1. Mas adelante formali-zaremos las condiciones que deben cumplirse, pero antes debemos describir el tipo de control que sera utilizado,a saber:
xc = Acxc +Bcyu = Ccxc +Dcu.
(IV.17)
El sistema a lazo cerrado resulta:[xaxc
]
=
[Aa +BaDcCa BaCc
BcCa Ac
]
︸ ︷︷ ︸
A
[xaxc
]
+
[Bp0
]
︸ ︷︷ ︸
B
w
y = [Ca 0]︸ ︷︷ ︸
C
[xaxc
]
.
(IV.18)
Para satisfacer las condiciones de diseno se debe cumplir que exista una matriz X definida positiva tal que:
AX +XAT + 2 · 1 ·X < 0 Condicion de rapidez[AX +XT +BBT XCT
CX −I
]
< 0 Condicion de atenuacion
98
Evidentemente, las ecuaciones no son lineales en ambos, la matriz de Lyapunov X y los parametros delcompensador IV.17. Con una transformacion de variable apropiada, que describimos en el capıtulo 2 (ver tambien[SGC97]), pueden determinarse —con operaciones lineales y a traves de variables intermedias— Ac, Bc, Cc yDc. El “LMI Tooolbox” de Matlab [GNL95] puede de manera estandar calcular esas matrices para el sistemamencionado —funcion hinfmix— en vista de que no hay incertidumbre en el sistema.
Al aplicar ese toolbox el resultado obtenido es:
Ac =
−21,4544 −0,6575 59,2912−26,1471 −30,3823 −166,987495,9493 32,5594 −84,0687
Bc =
11,524915,41,42−56,3364
Cc = [0,3007 38,3535 357,8518]
y Dc = −0,1882. La funcion de transferencia del controlador resulta:
Gc(s) =0,188s3 + 19,519× 103s2 + 59,589× 103s+ 40,704× 103
s3 + 136s2 + 4,741× 103s+ 37,101× 103.
Incorporando el integrador al controlador y cambiando el signo del numerador —por la tradicion historica de quela realimentacion sea negativa— resulta, en el compensador multiobjetivo:
Gc(s) = −0,188s3 + 19,519× 103s2 + 59,589× 103s+ 40,704× 103
s4 + 136s3 + 4,741× 103s2 + 37,101× 103s
La respuesta ante una entrada escalon de este sistema se muestra en la figura IV.5:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tiempo (s)
Sal
ida
del l
azo
(y(t
))
Figura IV.5.: Respuesta con control robusto.
El diagrama de Bode de magnitud se muestra en la figura IV.6.
En la representacion de magnitud, se puede observar el efecto del integrador en las bajas frecuencias y que(aproximadamente) las frecuencias de w = 1 y w = 100 son puntos significativos en los que obviamente existenun cero y un polo, respectivamente, en la descripcion del sistema. Teniendo en cuenta que un controlador (PI +F) posee una funcion de transferencia de la forma:
GPI+F = Kcs+ z
s(s+ p)
99
10−1
100
101
102
103
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
Frecuencia (rad/s)
Mag
nitu
d (d
B)
a la
zo a
bier
to. |
Gn(jω
)Gc(jω
)|
Figura IV.6.: Respuesta frecuencial del lazo.
se escogieron z = 1 y p = 100 para la aproximacion. La ganancia Kc del compensador se calculo de tal maneraque el diagrama de magnitud coincida en bajas frecuencias. Ello se logra haciendo Kc = 100.
El controlador obtenido resulta:
GPI+F = −100 s+ 1
s(s+ 100)
y la respuesta que se obtiene del sistema se puede observar en la figura IV.7.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tiempo (s)
Sal
ida
del l
azo
(y(t
)) c
on c
ontr
olad
or P
I
Figura IV.7.: Respuesta con PI+F robusto.
A fin de evaluar el desempeno de controlador calculado GPI+F contra uno de seleccion estandar, se sintonizo porZiegler-Nichols [ZN42] un PID para el sistema en cuestion, obteniendose:
GZN = −1,26s+ 0,3
s
y cuyo desempeno se muestra en la figura IV.8.
100
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiempo (s)
Sal
ida
del l
azo
(y(t
)) c
on P
I Zie
gler
y N
icho
ls
Figura IV.8.: Entonacion Ziegler-Nichols.
Resumen del capıtulo
En este capıtulo hemos presentado una estrategia de entonacion y ajuste de controladores industriales tipoPID basado en un esquema iterativo de desigualdades matriciales lineales. Aunque hemos aplicado el metodosolo a sistemas de una entrada y una salida, la estrategia puede igualmente aplicarse a sistemas multivariables ya sistemas discretos. De la misma forma, la estrategia presentada no hace ninguna reduccion del sistema (a unode primer o segundo orden). Tampoco preestablece ningun indicador del desempeno del lazo del que dependenfuertemente otras estrategias de entonacion, como es el caso de IMC. Mas bien, el sistema busca las mejorescondiciones de desempeno del lazo, medido con la velocidad de respuesta, porque lo que se hace es una ubicacionde los polos del sistema. El algoritmo obtiene prestaciones del lazo cerrado que se comparan favorablemente conaquellas del IMP-PID y las de Ziegler y Nichols.
Adicionalmente, se presenta una segunda metodologıa, basada en la teorıa de control robusto y el disenomultiobjetivos, para la entonacion de controladores PID.
La metodologıa se basa en el calculo de un compensador robusto que luego servira para entonar un lazo PIDbasado en la ubicacion de los polos y ceros y en la respuesta frecuencial del primero. Como ademas, es comuncontar con un filtro adicional al PID en los lazos industriales, y tal estructura facilita la labor de ajuste de controlrobusto a PID+Filtro, esta ultima estructura es la empleada en la metodologıa aquı propuesta.
Una ventaja adicional del sistema planteado es que es bien conocida la robustez de los compensadores PIDa cambios en sus parametros, al contrario de sus homologos robustos quienes son sumamente sensibles a talescambios. Como la implementacion se llevara a cabo, en la mayorıa de los casos, en un sistema digital, el trasladode robusto a PID asegura cierta “insensibilidad” a la aproximacion discreta de controlador encontrado.
La tecnica aprovecha las correcciones que realiza el controlador robusto a las deficiencias frecuenciales delsistema original para entonar un PID que, a “grosso modo”, mimetiza esa correccion frecuencial. La gananciadel compensador es el parametro del ajuste fino del desempeno (performance) del sistema.
101
102
APENDICE A
Factorizacion coprima
A.1. Factorizacion coprima
Este apendice presenta brevemente la factorizacion coprima de funciones de transferencia que permite sim-plificar la optimizacion de funciones de transferencia caracterısticas en funcion de un parametro Q que resultaser cualquier funcion de transferencia estable. Esta formulacion es la base de las soluciones originales de losproblemas de control H∞ y `1, ademas de muchas demostraciones teoricas.
Factorizaciones coprimas estables
Cualquier funcion de transferencia racional G(z) puede expresarse como el cociente de dos funciones de trans-ferencia racionales estables:
G(z) =N(z)
D(z)
donde, si N(z) y D(z) se escogen de forma que sean estables, i.e., polos en el cırculo unitario del plano “z” yno tengan “ceros inestables comunes”, –ceros fuera del cırculo unitario–, diremos que N(z) y D(z) forman unafactorizacion coprima estable de G(z). Por supuesto esta factorizacion no es unica, pero siempre tiene que cumplirque:
Los unicos ceros inestables de N(z) son los que tenıa G(z).
Los unicos ceros inestables de D(z) son los polos inestables de G(z).
Ejemplo
Si G(z) = 3z−1(2z−1)(4z−1) , la factorizacion coprima mas sencilla (pero no la unica) sera
N(z) = 3z−1(2z−1)(4z−1) = G
D(z) = 1.
Por ejemplo, otra factorizacion coprima valida serıa:
N(z) = 1(2z−1)(4z−1)
D(z) = 13z−1
o tambien
N(z) = 3z−1(2z−1)(4z−1)(5z−1)
D(z) = 15z−1 .
Una situacion mas interesante se presenta cuando el sistema es inestable, pues la eleccion mas sencilla (N(z)=G(z),D(z)=1) deja de ser valida. En este caso basta distribuir los ceros inestables en N(z) y los polos inestables comoceros de D(z), distribuyendo el resto de ceros y polos entre N(z) y D(z), hasta conseguir que N(z) y D(z) seanpropios (si es necesario anadiendo los mismos polos estables extras, tanto a N(z) como a D(z)). Por ejemplo, si:
G(z) =z + 3
z − 2
una factorizacion coprima estable serıa:
N(z) = z+32z−1
D(z) = z−22z−1 .
Identidad de Bezout
Una vez encontrada una factorizacion coprima de la planta a controlar, siempre pueden calcularse dos funcionesde transferencia establesX(z) e Y (z) que, no teniendo ningun cero inestable comun, cumplan la siguiente igualdad(denominada identidad de Bezout):
N(z)X(z) +D(z)Y (z) = 1.
Por ejemplo, en el caso de una planta estable veıamos que se podıa escoger N(z) = G(z) y D(z) = 1, por loque la eleccion mas sencilla de los parametros de Bezout (X(z),Y (z)) para una planta estable serıa:
X(z) = 0
Y (z) = 1.
104
Para sistemas inestables puede ser mas complejo encontrar los parametros de Bezout, pero siempre puedenresolverse solucionando la ecuacion diofantica correspondiente. Por ejemplo, si G = z+3
z−2 , la ecuacion de Bezoutserıa:
N(z)X(z) +D(z)Y (z) =z + 3
2z − 1X +
z − 2
2z − 1Y = 1
Podemos escoger X e Y constantes (X = x, Y = y), con lo que basta resolver la ecuacion diofantica:
(z + 3)x+ (z − 2)y = 2z − 1.
Igualando los coeficientes de potencias en z, se comprueba que el sistema de ecuaciones correspondiente tienecomo solucion x = 3
5 , y = 75 . En este caso, entonces, unos parametros de Bezout posibles serıan:
X = 35
Y = 75 .
A.2. Parametrizacion de Youla
Muchas veces, al disenar un sistema de control por ordenador, se desea expresar de una forma sencilla elconjunto de controladores que estabilizan un determinado sistema, para seleccionar de entre ellos aquel quecumpla mejor un determinado criterio. Observamos que esto es necesario siempre, pues lo mınimo que tenemosque pedir a un controlador es que estabilice el sistema realimentado. Una vez asegurado esto podremos anadirmas exigencias.
Para ver que este problema no es trivial, consideremos como ejemplo la planta:
G(z) =3z − 1
(2z − 1)(4z − 1).
Pues bien, la denominada parametrizacion de Youla proporciona una forma relativamente sencilla de expre-sar el conjunto de controladores que estabilizan una planta, aunque esta sea inestable, de fase no-mınima y/omultivariable. Mostramos a continuacion el procedimiento para el caso SISO:
Controladores estabilizantes
Una vez calculadas las funciones de transferencia N , D, X y Y , puede expresarse de forma sencilla la estructurade cualquier controlador que estabilice la planta. Puede igualmente demostrarse que el conjunto de controladoreslineales que estabilizan la planta viene dado por:
K(z) =X(z)−Q(z)N(z)
Y (z) +Q(z)D(z)
donde Q(z) es cualquier funcion de transferencia estable, que denominaremos parametro de Youla.
Observar que si se fija Q(z) = 0, resulta que K(z) = X(z)Y (z) serıa un controlador estabilizante, con lo que
otra forma de resolver la ecuacion de Bezout es partir de un controlador estabilizante, expresandolo como una
factorizacion coprima estable K(z) = X(z)Y (z) .
105
Ejemplo
Volviendo al ejemplo del sistema inestable de fase no mınima G(z) = z+3z−2 , cualquier controlador que estabilice
este sistema puede expresarse como:
K(z) =X(z)−Q(z)N(z)
Y (z) +Q(z)D(z)=
35 −Q(z) z+3
2z−175 −Q(z) z−22z−1
.
Basta entonces cambiar Q(z) (que solo tiene que ser una funcion de transferencia estable) y tendremos cualquiercontrolador lineal que estabilice el sistema. Por ejemplo si Q(z) = 0, el controlador K(z) = 3
7 estabiliza el sistema.
Funciones de transferencia caracterısticas en funcion del parametro de Youla
Una vez expresada la forma que tiene cualquier controlador que estabiliza una planta, podemos evaluar lasfunciones de transferencia caracterıstica. Pues bien, resulta que estas funciones de transferencia son lineales en elparametro Q(z); mas concretamente se dice que son afines, por aparecer un termino aditivo adicional. En efecto:
Sensibilidad: S = 11+K(z)G(z) = X(z)N(z)−N(z)D(z)Q(z)
Sensibilidad al control: R(z) = K(z)1+K(z)G(z) = Y (z)N(z)−D(z)D(z)Q(z)
Sensibilidad complementaria: T (z) = K(z)G(z)1+K(z)G(z) = Y (z)D(z) +N(z)D(z)Q(z).
Este resultado es muy importante, porque nos permite replantear el problema de disenar un controlador K(z)que optimize una determinada funcion de transferencia caracterıstica como un problema de optimizacion convexaen el parametro Q(z), con lo que se simplifica el problema de optimizacion.
Ejemplo
Retomando el ejemplo de la seccion anterior, la sensibilidad de cualquier controlador que estabilice la plantasera:
S(z) = X(z)N(z)−Q(z)N(z)D(z) =3
5
z − 2
2z − 1−Q(z)
z + 3
2z − 1
z − 2
2z − 1.
106
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