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1
Diseño óptimo de productos aplicado a la formulación de
desinfectantes/desodorizantes
Juan David Cañón Vergara
Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Química
Bogotá D.C., Colombia
2016
2
Tabla de contenido
RESUMEN .......................................................................................................................................... 3
1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 3
1.1 Consideraciones específicas para el caso de estudio ................................................................. 4
2. ESTADO DEL ARTE ................................................................................................................. 5
2.1 Diseño óptimo integrando la administración de portafolio. ................................................ 6
2.2 Diseño de productos, considerando un planeamiento microeconómico a multiescala ........ 7
2.3 Diseño de productos a partir de aproximaciones estadísticas. ............................................ 7
3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .................................................................................... 7
4. MODELOS ................................................................................................................................. 9
4.1 Modelo de transferencia de masa para la liberación de linalool en el ambiente. ...................... 9
4.2 Efectividad respecto a la eliminación de microorganismos en el tiempo................................ 14
4.3 Capacidad del producto para la eliminación de olores ............................................................ 16
4.4 Toxicidad del producto............................................................................................................ 18
4.5 Modelo de preferencias del consumidor. ................................................................................ 19
4.6 Modelo integrado de precio, demanda y preferencias del consumidor. .................................. 19
4.7 Costos materias primas............................................................................................................ 20
5. RESULTADOS Y ANÁLISIS .................................................................................................. 21
CONCLUSIONES ............................................................................................................................ 23
Bibliografía ....................................................................................................................................... 23
3
RESUMEN
En este Proyecto se utiliza una aproximación al diseño óptimo de productos que integra factores
asociados a las características microeconómicas, financieras y de planeación multiescala del proyecto
[1] de tal forma que se maximice su rentabilidad. Se selecciona como caso de estudio un
desinfectante/desodorizante seco para tapetes. En este sentido, el procedimiento utilizado propone
realizar una conexión entre las características macroscópicas del producto como, intensidad de la
esencia, duración de la esencia, eliminación de microorganismos y eliminación de olores, y factores
microeconómicos como las limitaciones en la cadena de suministros y preferencias generales del
cliente [2]. De esta forma se pretende maximizar las ganancias obtenidas a partir del proyecto, al
cambiar simultáneamente variables básicas de diseño (selección de materias primas, formulación del
producto entre otras) y variables microeconómicas como precio y demanda.
Este tipo de metodologías integradas de optimización se aplican al diseño de productos debido
principalmente a que en la mayoría de los casos la formulación o configuración para un producto es
diferente en términos económicos a uno basado solo en satisfacer las preferencias del cliente. Este
fenómeno es posible debido a que la ganancia obtenida de un producto también depende de factores
como costos asociados a su producción, precio o las características del mercado. Adicionalmente,
resulta mucho más eficiente en términos económicos realizar una aproximación a una configuración
óptima utilizando métodos matemáticos y teóricos, que realizar modificaciones a un proyecto ya
existente, en busca de configuraciones más rentables [3]. Por último, es necesario aclarar que los
resultados obtenidos a partir de este procedimiento están sujetos a desviaciones provocadas por la
incertidumbre intrínseca a los modelos matemáticos, tanto para las propiedades del producto como
para los modelos económicos, por lo cual siempre existirá cierto porcentaje de error en las
configuraciones obtenidas.
1. INTRODUCCIÓN
En las últimas décadas se han observado constantes evoluciones de la industria de productos químicos
y sus prioridades. Se ha cambiado de un enfoque donde predominaban las materias primas como
benceno o amoniaco enfatizando en la optimización de procesos, a uno donde se valora más la
utilidad, el desempeño y la calidad del producto [4]. Esto se debe al constante cambio y
competitividad global del mercado que observamos actualmente, donde se exigen productos de alto
valor añadido. De esta forma, se ha generado la necesidad de soluciones de diseño donde se integren
múltiples disciplinas, en una colaboración no tradicional entre ingeniería, finanzas y mercadeo.
El diseño de productos químicos involucra entonces el compromiso de especificaciones del producto
acordes con las necesidades básicas y especificas del consumidor. De igual forma, como se mencionó
anteriormente, el diseño del producto debe tener en cuenta tendencias globales del mercado y el
cambio constante en la economía. Citando los planteamientos de Beverly V. Smith y Marianthi G.
Ierapepritou [4], se podría realizar la aproximación general de la influencia de estos componentes
sobre las decisiones de diseño, como se puede observar en la Figura 1:
4
Figura 1, variables de mercado que afectan el diseño de productos.
Al concebir el problema de diseño de productos como un problema integral de diferentes disciplinas,
es un paso lógico extender la participación de la ingeniería química y de procesos desde la
composición molecular de los productos al proyecto en su totalidad. Sin embargo, en la búsqueda de
delimitar el diseño con el objetivo de reforzar áreas como la formulación del producto es plausible
abordar un problema de optimización (de la ganancia), donde se relacionen propiedades especificadas
por el consumidor (sabor, olor, forma, velocidad de acción) con funciones continuas de las variables
macroscópicas del producto (viscosidades, densidades, espesor de membrana, etc.) [3]. Esta
metodología es planteada por Miguel J. Bagajewicz y aplicada en diferentes casos de estudio, como
los que se mencionaran posteriormente en el segmento de estado del arte.
Es importante especificar que para la metodología que se va a utilizar (metodología planteada en “On
the role of microeconomics, planning, and finances in product design” Miguel J. Bagajewicz [3]) no
se tienen en cuenta diferentes aspectos del mercado que complejizarían el modelamiento matemático
y en consecuencia impedirían su integración en un problema matemático de optimización. En general,
la metodología no tiene en cuenta factores como la administración de portafolio o estrategias de
marketing, que están más asociadas a la interpretación del mercado o estrategias creativas de
comercialización [5]. Adicional a esto, debido a la naturaleza de los factores analizados en la
metodología, existen diferentes fuentes de incertidumbre asociados a estos. Estas se pueden resumir
en [5]:
Requerimientos del mercado/consumidores
Demanda del mercado.
Cambios tecnológicos.
Cambios regulatorios de la industria.
1.1 Consideraciones específicas para el caso de estudio
Para aplicar este tipo de metodología de diseño de productos para un desinfectante/desodorizante es
necesario realizar inicialmente la especificación de los requerimientos generales del cliente. Con base
en dichos requerimientos, es posible plantear una formulación de materias primas acorde a las
propiedades macroscópicas que permitan suplirlas [6]. Esta formulación general debe ser deducida
con base en datos históricos de literatura confiable. A continuación se especifican los requerimientos
generales de un desinfectante/desodorizante, los cuales pueden ser con base en la definición del
producto [2]:
9%
14%
9%
29%
39%
Rapido cambio tecnológico Presión sobre el "Time-to-market
Demanda de productos verdes Demanda de variedad
Competitividad global
5
Eliminación de olores indeseables.
Eliminación de microorganismos presentes en el suelo
Liberación de una fragancia agradable para el consumidor.
Prolongación de la fragancia en el tiempo.
Estas propiedades macroscópicas se asocian a las variables de composición, como las proporciones
de las materias primas y masa total de producto por metro cuadrado de área. Con base en los
requerimientos planteados anteriormente, se proponen materiales cuyas propiedades permitan suplir
las necesidades del consumidor. Estos materiales se especifican a partir de los datos encontrados en
la literatura, con el objetivo de no complejizar el problema de optimización y limitar las variables de
formulación en el diseño. Con base en lo anterior, se especifican una variedad de materiales tentativa
para el desinfectante/desodorizante [2]:
Ácido bórico.
Carbón activado.
Por último, se especifican las variables asociadas a la manufactura del producto que influirán en las
características generales del producto, y que se tendrán en cuenta dentro del problema de
optimización.
Radio interno de las partículas de PLGA1-linalool.
Cantidad total de partículas de PLGA1-linalool.
Todos los factores mencionados se relacionan por medio de modelos matemáticos ya sean analíticos
o experimentales. Cada modelo matemático aplicado tendrá inherentemente fuentes de incertidumbre
asociadas a las desviaciones de la realidad presentes en las suposiciones realizadas dentro del mismo.
Es importante mencionar también que el producto está diseñado para un área de 200 metros
cuadrados, y para ser utilizado cada 15 días, por lo que cualquier efecto que supere este tiempo no
significará un valor agregado. Cada unidad de producto podrá ser utilizada dos veces.
2. ESTADO DEL ARTE A continuación, se presentan diferentes artículos donde se han abordado problemáticas de diseño
óptimo de productos, planteados desde metodologías donde se integran las áreas de economía e
ingeniería.
Año Autor Título Referencia
2006 Soemantri Widagdo Incandescent Light Bulb: Product Design and
Innovation [7]
2007 Miguel J. Bagajewicz On the role of microeconomics, planning, and
finances in product design [3]
2008 Craig Whitnack, Ashley Heller,
Miguel J. Bagajewicz
A Microeconomics-based approach to product
design under uncertainty [8]
2008 Carrie Street, Justin Woody, Jaime
Ardila y Miguel Bagajewicz
Product Design: A Case Study of Slow-Release
Carpet Deodorizers/Disinfectants [2]
2009 Beverly V. Smith y Marianthi
Ierapepritou
Framework for Consumer-Integrated Optimal
Product Design [6]
1 Polímero biodegradable (poli-láctico-co-glicólico) PLGA.
6
Año Autor Título Referencia
2009 Ching-Shin Norman Shiau y Jeremy
J. Michalek Optimal Product Design Under Price Competition [9]
2009 Linden Heflin, Sarah Walsh y
Miguel Bagajewicz
Design of medical diagnostics products: A case-
study of a saliva diagnostics kit [1]
2010
Navid Omidbakhsh, Thomas A.
Duever,* Ali Elkamel y Park M.
Reilly
Systematic Statistical-Based Approach for Product
Design: Application to Disinfectant Formulations [10]
2010 Yuen S. Cheng y Ka M. Ng Product Design: a Transdermal Patch Containing a
Traditional Chinese Medicinal Tincture [11]
2010 Beverly V. Smith y Marianthi
Ierapepritou
Integrative chemical product design strategies:
Reflecting industry trends and challenges [4]
2011 Beverly V. Smith y Marianthi
Ierapepritou
Modeling and optimization of product design and
portfolio management interface [5]
2014
Lik Yin Ng, Nishanth G.
Chemmangattuvalappil y Denny K.
S. Ng
A Multiobjective Optimization-Based Approach
for Optimal Chemical Product Design [12]
Tabla 1 Casos de estudio diseño óptimo de productos
Aunque en la literatura asociada al diseño óptimo de productos se adoptan problemáticas similares,
en el sentido de que siempre se busca optimizar la ganancia que genera el proyecto, las
consideraciones del problema varían considerablemente dependiendo del autor (metodología) o del
producto específico. En algunos se tienen en cuenta consideraciones como el impacto ambiental o la
influencia del mercadeo en la comercialización del producto. Para distinguir entre las metodologías
generales que se utilizan, se procede a realizar una explicación general de las principales
metodologías principales utilizadas en algunos de estos trabajos.
2.1 Diseño óptimo integrando la administración de portafolio.
En esta metodología el objetivo principal del proceso de diseño de productos es la creación de una
receta detallada que satisfaga las necesidades de las áreas de manufactura, consumidores y
requerimientos del negocio. Este propósito se logra a través de proceso de iteración, modificando las
condiciones técnicas y de manufactura, de acuerdo a los requerimientos y limitaciones
organizacionales y logísticas del proyecto. Algunos ejemplos de estas limitaciones son los recursos
de la firma inversionista o relaciones riesgo/beneficio del proyecto. La interacción general entre estas
variables puede ser explicada gráficamente como (ver figura 2):
Figura 2, Elementos de decisión.
7
2.2 Diseño de productos, considerando un planeamiento microeconómico a multiescala
Esta metodología se centra en la adecuación de la formulación del producto a un modelo
microeconómico de precio/demanda, donde cada variable de diseño posee una relación directa con
los costos de producción. Esta relación se basa en las preferencias que tiene el cliente respecto a los
diferentes niveles de las propiedades macroscópicas, teniendo un porcentaje de satisfacción promedio
para una configuración específica. Estas variables se modifican simultáneamente en un problema de
optimización con el objetivo de encontrar una configuración que maximice las ganancias obtenidas a
partir del proyecto.
2.3 Diseño de productos a partir de aproximaciones estadísticas.
Este tipo de diseños se basa principalmente en la utilización de datos históricos del desempeño del
producto para diferentes configuraciones de su formulación. Esta información se decodifica en
regresiones lineales por medio de herramientas estadísticas y por último se utilizan algoritmos
matemáticos para optimizar el desempeño del producto según los requerimientos planteados. Con el
objetivo de obtener la información necesaria para utilizar esta metodología, también pueden realizarse
experimentos que sirvan como base para el proceso de optimización.
3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En orden de condensar la información proporcionada en los primeros dos incisos, se presenta un
diagrama donde se relacionan las diferentes variables dentro de un problema general de optimización,
el cual consiste en maximizar las ganancias obtenidas a partir de la comercialización de un
desinfectante/desodorizante.
Figura 3, Planteamiento general del problema
Todos los aspectos mencionados en la figura 3, deben ser resueltos simultáneamente, por lo que el
problema de optimización se identifica como un problema de optimización mixto de variables enteras
y continuas no lineal o MINLP por sus siglas en inglés. Se presenta entonces un planteamiento
matemático más específico, sin ahondar mucho en los modelos asociados a las propiedades
macroscópicas que se explicaran en detalle posteriormente:
Conjuntos:
8
𝑀: [𝑙𝑖𝑛𝑎𝑙𝑜𝑜𝑙, 𝑐𝑎𝑟𝑏ó𝑛 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑑𝑜, á𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑏ó𝑟𝑖𝑐𝑜, 𝑃𝐿𝐺𝐴], Materias primas. Índice i.
𝐶: [𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑙𝑜𝑟, 𝑡𝑜𝑥𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑, 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒,
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑔𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎], Características
macroscópicas. Índice j.
P: [𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠, 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 2, 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 3, 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 4] Los productos 2-4 son la
competencia del producto de interés, cada uno con una demanda y precio asociados. Índice k.
Parámetros:
𝐴: [𝑚2]: Área total en la que se desea aplicar el producto.
𝑤𝑗; ∀j ∈ C. Peso de preferencia de cada característica macroscópica. [%].
𝑉𝑖; ∀i ∈ M. Precio por gramo de cada materia prima. [𝑈𝑆𝐷$
𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜].
𝑌: Capacidad total del mercado. [𝑈𝑆𝐷].
𝜌: Constante de elasticidad del mercado.
𝜶: Conocimiento del producto.
Variables:
𝐺𝑖; [𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠]: Cantidad de gramos del compuesto i presentes en el producto.
𝑟1; [𝑚]: 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑃𝐿𝐺𝐴/𝐿𝑖𝑛𝑎𝑙𝑜𝑜𝑙.
𝐶𝑝: [ ]: 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑃𝐿𝐺𝐴/𝑙𝑖𝑛𝑎𝑙𝑜𝑜𝑙.
𝐷𝑖; [𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜]: Demanda asociada a cada uno de los productos.
𝑃𝑟; [𝑈𝑆𝐷 $]: Precio unitario del producto.
Restricciones:
Definición, Percepción del consumidor:
𝑆𝑗𝑘 = ∑ 𝑤𝑗𝑦𝑗𝑘𝑗 (1)
Donde:
𝑦𝑗𝑘 = 𝐹𝑗𝑘(𝐺𝑖, 𝑟1, 𝐶𝑝) (2)
F representa los diferentes modelos matemáticos que se explicarán en detalle posteriormente y que
relacionan las variables de formulación con las características macroscópicas, y posterior a eso, con
un puntaje específico para la propiedad j en el producto k.
Además de esto todas las variables del problema deben ser positivas por su naturaleza, por ejemplo,
no puede haber una cantidad negativa de materia de un compuesto presente en el producto.
0 ≤ 𝑆𝑗𝑘 ≤ 100 (3)
0 ≤ 𝐺𝑖 (4)
9
0 ≤ 𝑟1 (5)
0 ≤ 𝐶𝑝 (6)
0 ≤ 𝐺𝑖 (7)
0 ≤ 𝐷𝑖 (8)
0 ≤ 𝑃𝑟 (9)
Por último, se presentan las ecuaciones de mercado a las que están sometidas las variables de precio
y demanda:
𝑑𝑘 − 𝛽𝜌
1−𝜌𝑃1
𝑃𝑘
(1
1−𝜌)
𝑑1 = 0; 𝑘 ≠ 1 (10)
∑ 𝑑𝑘𝑃𝑘 − 𝑌 =𝑘 0 (11)
Función Objetivo:
𝑀𝑎𝑥 𝐹𝑂: 𝑃1𝑑1 − (∑ 𝐺𝑖 ∙ 𝑉𝑖𝑖 ) ∙ 𝑑1 (12)
4. MODELOS
En este inciso se presenta la formulación de los diferentes modelos matemáticos planteados para
relacionar las diferentes variables de formulación del producto a sus características macroscópicas y
posteriormente a una aproximación de la utilidad.
4.1 Modelo de transferencia de masa para la liberación de linalool en el ambiente.
El modelamiento de este fenómeno es de interés para el diseño óptimo de un desinfectante
sólido, en el sentido de que es necesario predecir el comportamiento de variables macroscópicas como la intensidad del olor emanado por el producto a través del tiempo y la duración
del mismo.
En este sentido, el modelo de transferencia de masa puede dividirse en dos partes. En primer lugar,
es necesario modelar la transferencia de masa en el interior de la esfera, el cual se supone como
limitante principal para la liberación del linalool en el ambiente. Para ejemplificar mejor el sistema
que se quiere modelar, se presenta una imagen (Ilustración 1) de una esfera de PLGA donde se ve
claramente la interface entre el contenido y el polímero (el PLGA es la parte externa de la esfera y el
linalool la interna).
10
Ilustración 1, Representación transversal de una partícula de PLGA [13].
Este sistema se considera en estado estacionario con las siguientes condiciones:
Saturación de linalool en la superficie interna de la partícula.
Flujo constante de partículas a través del polímero (PLGA).
Ley de Henry en la superficie externa de la partícula (concentración de saturación en la
interface líquido gas).
Al tener en cuenta estas condiciones para un sistema en estado estacionario se concluye que es posible
modelar el sistema por medio de la primera ley de Fick. La referencia utilizada para las ecuaciones
analíticas de transferencia de masa fue [14] (Transport Phenoma, 2nd Edition) de la siguiente forma:
𝑑
𝑑𝑟(𝑟2𝑁𝐴𝑟) = 0 (13) [14]
Debido a que el término 𝑁𝐴𝑟 puede expresarse como:
𝑐𝐷𝐴𝐵
1−𝑥𝐴
𝑑𝑥𝐴
𝑑𝑟 (14) [14]
Es posible definir la expresión asociada al flux de moléculas como:
𝑁𝐴𝑟 =𝑐𝐷𝐴𝐵
(1
𝑟1)−(
1
𝑟2)
𝐿𝑛 (1−𝑥𝐴2
1−𝑥𝐴1) 𝑟2 (15) [14]
𝑁𝐴𝑟 es el término de interés debido a que para conocer la concentración en el ambiente es necesario
conocer la cantidad de materia liberada por cada una de las esferas y todas las esferas en su totalidad.
Así mismo es posible a partir del área superficial de la esfera calcular el flujo molar (que es constante)
para un radio específico, el cual para este caso es el radio interno de partícula (r1).
𝑊𝐴 = 4𝜋𝑟12 𝑁𝐴𝑟|𝑟=𝑟1
(16) [14]
Donde las condiciones de frontera son:
r1 = radio interno de partícula (PLGA). xA1 = solubilidad de linalool en PLGA.
r2 = radio externo de partícula. xA2 = presión de vapor de linalool sobre la
presión atmosférica (asumiendo idealidad
de gases).
Los valores como la difusividad del linalool en el PLGA, solubilidad del linalool en el PLGA y
concentración molar total, fueron consultados en las referencias de la literatura y ajustadas respecto
al peso molecular del linalool. Dentro de los anexos del documento se encuentra una tabla con los
11
parámetros utilizados en el modelo de transferencia de masa con sus respectivos valores, unidades y
referencias utilizadas.
Al calcular matemáticamente dichas funciones, se obtuvieron perfiles para el tiempo que tarda la
cantidad total de linalool en salir de la esfera (figura 4), en función del radio interno de partícula, así
como el flujo molar respecto al radio interno de partícula:
Figura 4, Tiempo que tarda la liberación del linalool en una partícula en función del radio interno de partícula.
Figura 5, Flujo molar de linalool hacia la superficie de la partícula en función del radio interno
El tiempo que se tarda en liberar las moles dentro de una partícula se calculó respecto a la masa total
dentro de la partícula, la cual se puede expresar como:
𝑀𝑡𝑜𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 = 𝐶𝑙𝑖𝑛𝑎𝑙𝑜𝑜𝑙 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 (17)
Una vez calculadas las densidades de flujo moleculares para diferentes radios internos, fue posible
integrar estos dentro de un modelo en estado transiente, donde se modela la transferencia de masa
4.5 4.55 4.6 4.65 4.7 4.75 4.8 4.85 4.9 4.95
x 10-6
100
150
200
250
300
350
400
450
R1 (m)
t (h
)
4.5 4.55 4.6 4.65 4.7 4.75 4.8 4.85 4.9 4.95
x 10-6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x 10-14
R1 (m)
Wa
(mol
/h)
12
desde la totalidad de las partículas en un metro cuadrado de suelo. Se tienen en cuenta las siguientes
suposiciones:
No hay difusión en las paredes de la habitación.
El flux molar en el techo (2 m) es igual a 0.
Mezcla ideal de gases.
Equilibrio termodinámico en la interface líquido – gas.
Teniendo en cuenta las anteriores suposiciones se plantea el modelo de trasferencia a partir de la
segunda ley de Fick, resultando la ecuación diferencial:
𝑑𝑥𝐴
𝑑𝑡− (
𝑐𝐷𝐴𝐵
1−𝑋𝐴0
𝑑𝑥𝐴
𝑑𝑧|𝑧=0)
𝑑𝑥𝐴
𝑑𝑧= 𝐷𝐴𝐵
𝑑2𝑥𝐴
𝑑𝑧2 (18) [14]
Donde el término dentro del paréntesis representa la velocidad molar en la dirección z, la cual está
relacionada con el modelamiento anterior (Flux molar en la superficie de las partículas) de la siguiente
forma:
𝑣𝑧∗ =
𝑁𝐴𝑧0
𝑐=
𝑁𝐴𝑟2
𝑐
𝐴𝑡𝑜𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
𝐴𝑡𝑜𝑡 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 (19) [14]
En esta ecuación se realizó un ajuste para la densidad de flujo, teniendo en cuenta que no toda la
superficie de interés (1 metro cuadrado de suelo), está liberando linalool, sino solo el área superficial
asociada a la totalidad de partículas de PLGA.
El valor asociado a la difusividad de linalool en aire fue aproximado al del 3,7-dimetil-3-octanol a
temperatura estándar (25°C), debido a que ambas moléculas son prácticamente idénticas a excepción
de la ubicación de un radical metilo. El valor asociado a este parámetro está especificado dentro de
los anexos del documento junto con sus unidades y referencia utilizada.
Por último, la ecuación diferencial se resolvió utilizando un algoritmo predeterminado del software
matemático Matlab©, llamado pdepe, el cual es utilizado para resolver ecuaciones que sean acordes
al siguiente formato:
𝐶 (𝑥, 𝑡, 𝑢,𝑑𝑢
𝑑𝑢)
𝑑𝑢
𝑑𝑡= 𝑥−𝑚 𝑑
𝑑𝑥(𝑥𝑚𝑓 (𝑥, 𝑡, 𝑢,
𝑑𝑢
𝑑𝑢)) + 𝑠 (𝑥, 𝑡, 𝑢,
𝑑𝑢
𝑑𝑢) (20)
Esta función es análoga a la función de transferencia de masa planteada, por lo cual se reemplazan
los términos de acuerdo a la ecuación diferencial de interés, y teniendo en cuenta las siguientes
condiciones iniciales y de frontera:
C.I t=0 xA = 0
C.L.1 z=0 xA = Pvap / Ptot
C.L.2 z=2 dxA/dz = 0
Tabla 2, Condiciones de frontera para la difusión linalool-aire.
Al modelar el sistema en el software matemático se obtiene la siguiente superficie, representada en
la figura 6:
13
Figura 6, Concentración molar de linalool en función del tiempo y la altura para un radio interno y cantidad de
partículas fijas.
Y al realizar un corte transversal de la superficie para una altura de 1,5 m (altura de interés), se obtiene
el siguiente perfil representado en la figura 7:
Figura 7, Concentración molar del linalool en función del tiempo para una altura de 1,5 m
0
0.5
1
1.5
2 0
20
40
60
0
0.5
1
1.5
x 10-5
Tiempo(h)Longitud(m)
Con
cent
raci
ón d
e A
(m
ol/L
)
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
-5
Con
cent
raci
ón d
e A
(m
ol/L
)
Tiempo(h)
14
4.2 Efectividad respecto a la eliminación de microorganismos en el tiempo.
Esta característica macroscópica del producto puede ser definida como el porcentaje de
microorganismos eliminados en el tiempo, para una determinada cantidad de desinfectante, el cual en
este caso es el ácido bórico. Los demás compuestos presentes en el producto tienen un efecto
irrelevante en comparación al del ácido bórico, por lo que no se tendrán en cuenta en el modelamiento
de esta propiedad.
Debido a que este producto es un polvo sólido y seco, no se tendrán en cuenta propiedades como el
pH, concentración del principio activo o la duración de la exposición, dado que se trabajara con largos
periodos de tiempo. Este tipo de variables se analizan con frecuencia en el estudio de desinfectantes
líquidos y su modelamiento.
Los microorganismos que se consideran son bacterias y ácaros presentes en la superficie del suelo.
Plagas como el moho u hongos en general no se considerarán debido a que, al estar estáticos, la
interacción de estos con las partículas de ácido bórico es mínima.
Para modelar este fenómeno se plantean en primer lugar las características del sistema y las
suposiciones.
Característica del sistema:
Las partículas de ácido bórico son distribuidas de forma totalmente aleatoria por el
consumidor para una determinada área.
Los microorganismos mueren instantáneamente al entrar en contacto con las partículas de
ácido bórico.
Cada partícula de ácido bórico sigue siendo activa después de haber eliminado
microorganismos.
Suposiciones del modelo:
El movimiento de los microorganismos es completamente aleatorio y no depende de las
condiciones de su ambiente. Esta suposición es plausible, debido a que las condiciones
percibidas por los microorganismos no varían significantemente en el área analizada, excepto
por casos específicos como por ejemplo un derrame de líquidos que aumentara la humedad
presente en algún sector del suelo.
La cantidad de microorganismos en el área analizada solo varía por la acción desinfectante
del producto.
La velocidad promedio de los microorganismos es igual en todos los sectores del suelo. Este
valor es tomado de la literatura [15].
De acuerdo a la información proporcionada anteriormente se decide modelar la acción desinfectante
del producto con base en la densidad de partículas de ácido bórico para un área determinada y el
movimiento en el tiempo de los microorganismos. Se discretiza un metro cuadrado de suelo, en celdas
del tamaño de una partícula de ácido bórico. En cada celda se supuso la existencia de un grupo de
microorganismos que se mueven de forma conjunta y solo son eliminados al entrar en contacto con
una partícula de ácido bórico.
Este análisis se realizó por medio de la simulación de una marcha aleatoria, con el objetivo de predecir
el porcentaje de microorganismos eliminados en el tiempo para un intervalo de tiempo de un día. El
desplazamiento de los grupos de microorganismos asociado a cada celda se modelo por medio de un
número entero aleatorio de probabilidad uniforme entre 1 y 8, el cual representa la celda a la que se
desplazara cada conjunto de microorganismos. Es importante destacar que el movimiento de cada
15
conjunto de microorganismos se supone como independiente de los otros, y en este sentido puede
haber más de un grupo en una sola celda. En cada paso de tiempo se registra el número de
microorganismos eliminados respecto al número de microorganismos iniciales. Es importante aclarar
también, que las partículas de ácido bórico son distribuidas de forma aleatoria en el metro cuadrado
de área.
Al correr la simulación en el software matemático Matlab® se obtienen los siguientes resultados, ver
figura 8. En el anexo 4 se puede observar una descripción más detallada de la simulación:
Figura 8, Porcentaje de microorganismos eliminados en función del tiempo, para diferentes cantidades de ácido bórico
distribuidos aleatoriamente en un metro cuadrado de área.
También se realizó una simulación para conocer la variación en la eliminación de microorganismos
respecto a los gramos de ácido bórico usados, con el objetivo de obtener un polinomio que describa
la relación entre ambos, como se observa en la figura 9:
Figura 9, Porcentaje de microorganismos eliminados en función de los gramos de ácido bórico.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 5 10 15 20 25 30
% d
e m
icro
org
anis
mo
s el
imin
ado
s
Tiempo en horas
5 g ácido bórico
4 g ácido bórico
3 g ácido bórico
2 g ácido bórico
1 g ácido bórico
0,9 g ácido bórico
0,8 g ácido bórico
0,7 g ácido bórico
0,6 g ácido bórico
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2
Mic
roo
rgan
ism
os
elim
inad
os
%
g ácido bórico
16
4.3 Capacidad del producto para la eliminación de olores
Los gases que producen los olores indeseables en el aire, pueden clasificarse aproximadamente en
tres diferentes categorías: tioles (moléculas que contienen grupos funcionales formados por azufre e
hidrógeno), aminas (moléculas con grupos funcionales de nitrógeno) y moléculas con grupos
funcionales de oxígeno. Una de las técnicas más utilizadas en la industria y en general para la
eliminación de estos compuestos en el aire es la adsorción física, por medio de materiales porosos
con áreas de superficie relativamente grandes y una capacidad de absorción considerable.
El carbón activado resulta ser excepcionalmente bueno para este tipo de procesos, debido a que
cumple con todas las características macroscópicas necesarias. En este sentido se han realizado
numerosas investigaciones en la literatura para determinar su capacidad de absorción, según las
diferentes variaciones del material.
Debido a que no se encontraran concentraciones muy altas de VOC´S (compuestos volátiles
orgánicos, por sus siglas en ingles), no se consideraran configuraciones muy especializadas del carbón
activado, si no que se utilizará la configuración estándar de WWP3 (nombre comercial de una especie
de carbón activado), la cual se puede encontrar fácilmente en el mercado a menores precios.
En la superficie del carbón activado pueden ocurrir distintos tipos de reacciones químicas que
catalicen la adsorción de los gases, dependiendo del compuesto en el ambiente. No obstante, para este
caso la adsorción se da principalmente debido a las fuerzas de Van der Waals entre el sólido y las
moléculas del gas, cuando estas superan las fuerzas entre soluto y solvente. Uno de los compuestos
más comunes en las viviendas es el H2S, el cual puede ser liberado por los procesos humanos naturales
o a partir de materia orgánica. Los factores ambientales que tienen una mayor influencia sobre este
proceso son la temperatura, la humedad del aire, el pH en la superficie del material, el área superficial
del material y el tamaño de partícula. Sin embargo, estos factores se mantienen en valores constantes
o sus variaciones son relativamente insignificantes. No se considerarán en el modelamiento de la
adsorción.
De acuerdo a lo dicho anteriormente y a los largos periodos de interacción entre los VOC´S y el
carbón activado, se supondrá que llegaran a su punto de saturación, y en ese sentido, que adsorberá
todo el gas posible. Para obtener los valores de capacidad del carbón activado, se tomarán valores
experimentales de la literatura [16], representados en la figura 10.
Figura 10, Adsorción de H2S en el carbón activado como función de la humedad relativa, para el WWP3 [16].
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 20 40 60 80 100
Cap
acid
ad d
e ad
sorc
ión q
(m
g/g
)
Porcentaje de humedad relativa del aire
17
Estos valores fueron obtenidos a partir de un arreglo experimental que consistía en un reactor batch,
donde el carbón activado entraba en contacto con el ácido sulfhídrico hasta que llegaba a su punto de
saturación. El material era posteriormente analizado químicamente para identificar los compuestos
presentes en sus poros, así como la cantidad de estos.
En la figura 9 se pueden observar diferentes valores para la capacidad de adsorción del carbón
activado, en función de la humedad relativa. Debido a que la humedad relativa del aire a condiciones
estándar es aproximadamente del 70% según datos históricos de la ciudad de Bogotá [17], se tomará
su capacidad correspondiente (400 mg/g).
Para retomar con el modelamiento de la capacidad de eliminación de olores del producto se
enunciarán las suposiciones pertinentes.
El carbón activado llega a un punto de saturación en el tiempo de acción del producto. Esto
se asume debido a los largos periodos de operación del producto.
La adsorción de H2S en el producto se generaliza a los demás gases olorosos presentes, debido
a que este se encuentra por lo general en mayores proporciones y se considera como el más
relevante.
Se toma como concentración de VOC´S en el aire la suficiente para que sea percibido un olor
desagradable en el ambiente y de esta forma sea pertinente la utilización del producto.
Factores como la humedad del aire y la temperatura en la vivienda se mantienen relativamente
constantes o las variaciones son relativamente insignificantes.
De acuerdo a lo dicho anteriormente es necesario ahora identificar la cantidad total de H2S que estará
presente en el aire o que deberá absorber el carbón activado durante su periodo de acción (15 días),
para un área de 200 metros cuadrados que es el tiempo en que se desea renovar el producto en el
suelo. Para esto se toman valores encontrados en la literatura, más específicamente del libro Air
Quality Guidelines [18]. Se encuentra que concentraciones que puedan producir olores perceptibles
e incomodos para los seres humanos oscilan alrededor de 1,6 mg de H2S por m3 de aire. En ese
sentido la cantidad necesaria de carbón activado para eliminar por completo el olor en una habitación
con 100 metros cuadrados de área, y 2,5 metros de altura sería la siguiente:
𝑔 𝑊𝑊𝑃3 = 0,0016 𝑔 𝐻2𝑆
𝑚3𝐴𝑖𝑟𝑒∙ 200 𝑚2 ∙ 2,5 𝑚 ∙ 2 𝑢𝑠𝑜𝑠 ∙
1 𝑔 𝑊𝑊𝑃3
0,400∙ 14 = 56 𝑔
Por lo cual una función que definiera la relación entre la los gramos de carbón activado y el porcentaje
de olor eliminado sería de la siguiente forma (Observar figura 11):
Figura 11, Eliminación de olores en función de la cantidad de carbón activado
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60
% P
orc
enta
je d
e o
lore
s el
imin
ado
s
Carbón activado (g)
18
Esta función se utilizará posteriormente en el proceso de optimización.
4.4 Toxicidad del producto
La toxicidad es una de las características macroscópicas que influyen sobre la percepción que tiene
el consumidor del producto. Debido a que la toxicidad del ácido bórico es considerablemente mayor
a la de los demás componentes, la toxicidad asociada a la cantidad de este compuesto en el producto
se generalizará para el producto.
Una de las medidas más utilizadas en toxicología para referirse a la toxicidad de un compuesto es el
LD50, el cual hace referencia a la cantidad necesaria de un compuesto para que el 50% de los
individuos de una población mueran al ingerirlo. A continuación, se muestran los valores de esta
medida de toxicidad para los principales compuestos del producto:
Compuesto L.D 50 (g/kg peso corporal) L.D 50 (g) peso corporal 70 kg
Ácido Bórico 3,45 241,5
Linalool 4,1 287
Carbón Activado 10 700 Tabla 3 Valores de LD50 para los diferentes compuestos del producto [19] [20] [21]
Como se puede observar en la tabla 2, el compuesto con una mayor toxicidad es el ácido bórico,
además es uno de los que se encuentra en mayor proporción, según los resultados observados en los
modelos anteriores. Este compuesto puede representar otro tipo de peligros diferentes a los asociados
a la ingestión. Si es inhalado puede causar irritación en las vías respiratorias, de igual forma puede
causar dolor y molestia al contacto con los ojos. Por el contrario, no tiene un alto grado de absorción
en la piel, por lo que los riesgos de irritación en la piel por contacto sin mínimos.
Debido a que el LD50 es una medida drástica, y no sería plausible un producto con un máximo de
toxicidad tan alto, se tomará el 10% de esta medida como el máximo de toxicidad por metro cuadrado,
lo cual para el ácido bórico sería equivalente a 24,15 g/m2 de suelo, lo que es igual a 4830 g de ácido
bórico por unidad. De esta forma la relación entre gramos de ácido bórico y toxicidad sería de la
siguiente forma (Observar figura 12):
Figura 12, Nivel de toxicidad en función de los gramos de ácido bórico presentes en el producto.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 5 10 15 20 25
Niv
el d
e to
xic
idad
(%
)
Ácido Bórico (g/m2)
19
4.5 Modelo de preferencias del consumidor.
Para relacionar la formulación del producto con un modelo de mercado es necesario el planteamiento
de un modelo de preferencias que relacione las propiedades macroscópicas del producto con la
percepción que tendría el consumidor del producto. Como es de esperarse, este tipo de planteamientos
se realizan a partir de estudios estadísticos que se basan en información obtenida de encuestas. Sin
embargo, debido a los costos que conlleva realizar un análisis de este tipo sin que se presenten sesgos
en la muestra y con una población lo suficientemente grande para que el comportamiento de la
variable sea cercano al real, se tomará un estudio realizado en la literatura para los desinfectantes
secos.
El modelo que se plantea entonces, es un modelo lineal donde se calcula un promedio ponderado, el
cual está en términos de la importancia o peso de cada característica y la percepción que tiene el
consumidor del producto para la misma. En este sentido el modelo es de la forma [3]:
𝑆𝑖𝑘 = ∑ 𝑤𝑖𝑗𝑘𝑦𝑖𝑗𝑘𝑗 (21)
Donde S representa la preferencia general que tiene el consumidor por el producto i en el mercado k,
y representa el puntaje del producto i en la característica j y w representa el peso de la característica
j.
La metodología utilizada para realizar el estudio siguió los siguientes pasos [2]:
1. Realizar una escala cualitativa para característica del producto, por ejemplo, muy eficiente,
medianamente eficiente, pobre. A partir de las encuestas asociar un puntaje de 0 a 1 para cada
una de las descripciones.
2. Relacionar cada una de las descripciones de las características a valores puntuales de la
característica macroscópica, por ejemplo, la descripción muy eficiente en términos de la
eliminación de microorganismos puede estar asociada a un 100%.
3. Asociar las características macroscópicas a variables relacionadas de la formulación del
producto, por ejemplo, la cantidad de cierta materia prima en el producto.
Los datos estadísticos que se toman de la literatura como referencia para el cálculo de la percepción
general del consumidor se presentan en los anexos debido a gran cantidad de figuras necesarias para
representarlos.
4.6 Modelo integrado de precio, demanda y preferencias del consumidor.
Definir y relacionar todas las variables asociadas a la comercialización de un producto o la realización
de un proyecto es una tarea enormemente compleja debido a la gran cantidad de información y la
aleatoriedad asociada a gran parte de sus parámetros. Sin embargo, en la literatura existen una gran
cantidad de esfuerzos por entender y modelar este tipo de problemas debido a sus posibles beneficios
o ventajas financieras. En un caso ideal un modelo completo debería ser de gran utilidad para tomar
decisiones como:
Estructura del producto/ Composición/ Funcionalidad.
Selección de mercado.
Precio del producto para cada mercado.
Método de manufactura.
Cadena de suministros, incluyendo localización de la planta y transporte.
20
Adicional a esto es importante resaltar que en la mayoría de los casos se tomarían estas decisiones
con el objetivo de maximizar las utilidades asociadas al proyecto. Una aproximación matemática
general de la función que se desea maximizar sería entonces:
𝑀𝑎𝑥: 𝑁𝑃𝑉𝑅 − 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 (22)
𝑁𝑃𝑉𝑅 = 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑢𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜
−𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑒𝑜 (23)
Es necesario resaltar que cada uno de estos factores depende de una gran cantidad de factores los
cuales varían también con el tiempo y el mercado en cuestión. Debido a que un problema de esta
magnitud sobrepasa los alcances de este proyecto de investigación, es necesario el planteamiento de
un modelo que simplifique la relación entre la utilidad del producto con su formulación (interés
principal del acercamiento) y costo. Con este objetivo se toma una simplificación del modelo de
utilidad de elasticidad de sustitución constante planteado por Miguel Bagajewicz [3], donde se
integran, algunos factores del mercado con el precio y la preferencia del consumidor.
𝑑𝑗 = 𝛽𝜌
1−𝜌 (𝑃1
𝑃𝑗)
1
1−𝜌𝑑1; 𝑗 ≠ 1 (24)
Donde 𝑑 representa la demanda de cada producto, 𝑃 representa el precio y ρ la constante de
elasticidad. Esta constante de elasticidad representa una aproximación del cambio de la demanda con
respecto al precio, y se toma como 0.7 debido a que este valor en la literatura se acopla a una gran
cantidad de mercados. Para encontrar un valor de manera experimental, a partir de datos reales se
tendría que realizar un estudio exhaustivo del mercado en cuestión y el comportamiento del producto
de interés dentro de este. El parámetro 𝛽 es la preferencia que tiene el consumidor por el producto
𝑗 sobre el producto 1, es decir (Sj/S1). Por último, el producto 1 es el producto del cual se desea
conocer la utilidad.
La demanda de los productos está restringida de igual forma por la capacidad total del mercado, dado
que se tienen un número limitado de posibles consumidores. En este sentido la expresión que regula
esta restricción tiene la siguiente forma:
∑ 𝑑𝑗𝑃𝑗 = 𝑌𝑗 (25)
Donde Y representa la capacidad total de mercado para este tipo de productos. Se observa finalmente
que la simplificación del modelo más general permite realizar análisis generales respecto a posibles
tendencias que se podrían encontrar al comercializar el producto. No obstante, es evidente que para
predicciones más rigurosas del comportamiento de la demanda, se tendrían que tener en cuenta una
mayor cantidad de factores y retroalimentar el modelo constantemente respecto a las variaciones que
se puedan presentar en las condiciones del mercado.
4.7 Costos materias primas.
Con el objetivo de realizar una aproximación al costo del producto, se simplificará a los costos de las
materias primas y el empaque. Debido a que no se están tomando en cuenta consideraciones de
proceso, no se calculará un precio de manufactura, ni tampoco se considerarán costos como los
asociados al transporte, propaganda, locación de planta, costo de equipos, mano de obra entre otros.
A continuación, se presentan los precios encontrados en la literatura para los componentes del
producto:
21
Compuesto USD/g
Ácido Bórico 0,00105
Carbón Activado 0,0012
Partículas PLGA 1,85
Linalool 0,294 Tabla 4 Precios materias primas [20] [21].
A partir de estos valores se estima un valor aproximado del precio del producto, teniendo en cuenta
que el producto se debe poder usar en 200 m2, dos veces. El costo asociado a las partículas de PLGA-
linalool se calcula de la siguiente forma:
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃𝐿𝐺𝐴: 4
3𝜋(𝑟2
3 − 𝑟13) ∙ 1340000 [
𝑔
𝑚3] ∙ 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 ∙ 𝐶. [𝑈𝑆𝐷
𝑔 𝑃𝐿𝐺𝐴] (26)
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑙𝑖𝑛𝑎𝑙𝑜𝑜𝑙: 4
3𝜋(𝑟1
3) ∙ 858000 [𝑔
𝑚3] ∙ 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 ∙ 𝐶. [𝑈𝑆𝐷
𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑎𝑙𝑜𝑜𝑙] (27)
5. RESULTADOS Y ANÁLISIS
De acuerdo al planteamiento general del problema de optimización y los modelos matemáticos
explicados anteriormente se procede a realizar el proceso en el software matemático Matlab®. El
método de optimización que se utilizó específicamente es el algoritmo de Punto Interior o IPM por
sus siglas en ingles. Este algoritmo se escogió debido a la naturaleza del problema (no lineal) y que
posee ventajas como un bajo uso de memoria computacional y la habilidad de solucionar problemas
con una gran cantidad de variables. Sin embargo, este algoritmo puede presentar problemas en la
exactitud de la configuración óptima para ciertos problemas. Si este hubiera sido el caso se tendrían
que haber considerado algoritmos como sqp que por lo general presentan mayores problemas para
llegar al valor óptimo de la función debido a que el número de iteraciones necesarias aumenta, pero
presentan una mejor exactitud una vez hallado el punto de interés.
Debido a la carga computacional que los modelos completos generaban, por ejemplo, la solución de
ecuaciones diferenciales o la simulación de la marcha aleatoria, se decidió realizar regresiones sobre
los datos obtenidos a partir de los modelos y utilizarlos dentro del problema de optimización, lo cual
facilitó considerablemente la solución del problema. Se tuvo en cuenta una competencia de 3
productos diferentes, con precios y percepciones del consumidor diferentes:
Producto Percepción generalizada del consumidor
[%]
Precio
[USD]
Glade Room & Carpet 62% 10
Borid 36 7,5
Arm & Hammer Baking soda 34 6 Tabla 5, Información de la competencia utilizada para un caso hipotético de mercado. [2].
Cabe resaltar que el cálculo de la percepción generalizada del consumidor para cada uno de estos
productos fue realizado a partir de los mismos criterios bajo los que se calculará la percepción del
producto de interés según la formulación planteada. Para un mercado de tamaño moderado con una
capacidad de Y = 8.000.000,00 $USD se obtuvieron los siguientes resultados.
22
Ácido Bórico [g] 80
Carbón activado [g] 10
Número de partículas PLGA-linalool [1 / m2] 500000000
Radio interno de partícula [µm] 4,9
S (percepción generalizada del consumidor) [%] 78,208 Tabla 6, Características generales del producto optimizado.
Es importante resaltar el hecho de que la percepción general con la que se alcanzó el valor óptimo de
ingresos menos costos, no fue del 100% si no uno inferior, por lo que se observa que no para todos
los casos un producto que sea relativamente mejor a los ojos del consumidor, conllevara una mayor
generación de valor. Para analizar esta posibilidad de una forma más clara se graficará posteriormente
los valores de ganancia para diferentes valores de percepción general.
Con esta formulación de producto y según el modelo de mercado planteado se obtendrían los
siguientes escenarios aproximados para la demanda y el precio del producto de la competencia:
Producto Demanda Hipotética [Unidades] Precio [USD]
Producto de interés 1000000 6,5677
Glade Room & Carpet 143230 10
Borid 105100 7,5
Baking Soda 193520 6 Tabla 7, Demanda y precio para los productos involucrados en el modelo.
Valor de la función objetivo
[USD]
S[%]
82703000 78,2083
30805000 98
30619000 90
65349000 80
28202000 70
23775000 60
22389000 55 Tabla 8, Valores óptimos de la función objetivo para diferentes percepciones del consumidor.
Como se puede observar en la tabla 7, la función objetivo tiende a un máximo alrededor del valor de
86% para S aproximadamente, y disminuye considerablemente hacia ambos extremos, hasta un valor
de la mitad de su valor óptimo. A partir de este tipo de casos se podría concluir que no se pueden
realizar juicios anticipados respecto a la formulación más favorable, basándose en propiedades como
la percepción del cliente, ni siquiera por medio de la maximización de la demanda, debido a que
existen una gran cantidad de variables adicionales que influyen sobre las utilidades.
23
CONCLUSIONES
La formulación del producto que maximiza la ganancia no es necesariamente la que
maximiza la percepción general del cliente respecto al producto, al contrario de lo que se
podría suponer intuitivamente.
Las características macroscópicas que tienen asociados los reactivos de mayor costo tienden
a mostrar menores valores en la percepción del cliente que las de menor costo.
Como se pudo observar en el desarrollo de este caso de estudio, el diseño de productos es un
área de investigación increíblemente variada y amplia, que se puede acoplar a cualquier tipo
de proyecto, ya sea de ingeniería o finanzas. A partir de este tipo de metodologías se puede
observar como al unificar conocimientos de diferentes áreas es posible alcanzar mayores
beneficios, y como la industria va avanzando poco a poco hacia un desarrollo más integrado
y flexible.
A partir de las diferentes metodologías de diseño de productos es posible manipular una
mayor cantidad de variables para un acercamiento más eficiente a un objetivo establecido, ya
sea maximizar ganancias, rendimiento o minimizar consecuencias secundarias como el
impacto ambiental. Se hace más evidente la utilidad de este tipo de metodologías cuando
contradicen las primeras impresiones que se podrían llegar a dar sobre un proyecto específico
a partir del sentido común, por ejemplo, que un producto con una mayor aceptación es el más
rentable o el que permite una mayor utilidad, cuando pueden existir variables más
significativas sobre el sistema.
Para un trabajo futuro se podrían considerar diferentes opciones, entre las cuales se destacan
la realimentación de los modelos para un mejoramiento en la predicción de las propiedades
macroscópicas a partir de la formulación. De igual forma, se podrían considerar una mayor
cantidad de variables asociadas a las operaciones financieras del producto, más
específicamente a las relacionadas a la logística de la comercialización y la propaganda del
producto, lo cual llevaría a aproximaciones más confiables de la configuración óptima de
producto.
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26
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ANEXO 1. NOMENCLATURA
Variable Significado Unidades
𝒓 Radio de partícula [𝑚]
𝑵𝑨𝒓 Flux de la sustancia A en la dirección de r [𝑚𝑜𝑙
𝑚2𝑠]
𝒄 Concentración molar [𝑚𝑜𝑙
𝐿]
𝑫𝑨𝑩 Coeficiente de difusión [𝑚2
𝑠]
𝒙𝑨 Fracción molar 𝑁. 𝐴.
𝒓𝟏 Radio interno de partícula (PLGA) [𝑚]
𝒓𝟐 Radio externo de partícula (PLGA) [𝑚]
𝒙𝑨𝟏 Solubilidad de linalool en PLGA [𝑔𝑙𝑖𝑛𝑎𝑙𝑜𝑜𝑙
𝑔𝑃𝐿𝐺𝐴]
𝒙𝑨𝟐 Concentración de linalool en la interfase
líquido-gas 𝑁. 𝐴.
𝑾𝑨 Flujo molar de linalool [𝑚𝑜𝑙
ℎ]
𝒕 Tiempo [ℎ]
𝒙𝑨𝟎 Fracción molar de linalool en el punto de
saturación dentro del PLGA 𝑁. 𝐴.
𝒅𝒋 Demanda de cada producto [𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜]
𝝆 Constante de elasticidad 𝑁. 𝐴.
𝜷 Preferencia del consumidor por el producto
j sobre la de producto 1 𝑁. 𝐴.
𝒀 Capacidad total de mercado [𝑈𝑆𝐷$]
𝜶 Conocimiento del producto 𝑁. 𝐴.
Sj Percepción general del producto j (%)
wi Influencia de la característica i N.A.
yij Puntaje del producto j en la característica i N.A.
q Capacidad de absorción máxima [mg/g]
L.D 50 Dosis letal mediana. [g/kg de peso corporal]. Tabla 9, Nomenclatura.
27
ANEXO 2. DATOS ESTADÍSTICOS DE LAS PREFERENCIAS DEL CONSUMIDOR
Figura 13, Resultados del estudio estadístico para la efectividad en la eliminación de microorganismos [2].
Figura 14, Resultados del estudio estadístico para la duración del olor [2].
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Uti
lid
ad (
%)
Porcentaje de microorganismos eliminados despues de 24h
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 10 100 1000
Uti
lid
ad (
%)
Tiempo (hr)
28
Figura 15, Resultados del estudio estadístico para el nivel de toxicidad [2].
Figura 16, Resultados del estudio estadístico para la eliminación de olor [2].
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100
Uti
lid
ad (
%)
Nivel de toxicidad (%)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100
Uti
lid
ad (
%)
Eliminación de olor (%)
29
Figura 17, Resultados del estudio estadístico para la intensidad de la fragancia [2].
ANEXO 3. PARÁMETROS USADOS PARA EL MODELO DE TRANSFERENICA DE
MASA
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,1 1,0 10,0 100,0 1000,0
Uti
lid
ad %
Concentración (nM)
Parámetro Valor
numérico Referencia utilizada
Densidad linalool [kg/m3] 868 [22]
Densidad PLGA [kg/m3] 1340 [21]
Densidad aire [kg/m3] 1.185 [23]
Masa molar linalool [g/mol] 154 [22]
Masa molar PLGA [g/mol] 150 [21]
Masa molar aire [g/mol] 28.84 [23]
Presión de vapor linalool [Pa] 30 [22]
Solubilidad linalool-PLGA [%] 4,948 [24]
Difusividad linalool-PLGA [m2/s] 8.722 e-18 [25]
Difusividad linalool-aire [m2/s] 5.91 e-06 [26] Tabla 10, Parámetros utilizados en el modelo de transferencia de materia.
30
ANEXO 4. PASOS A SEGUIR, SIMULACIÓN DE LA ELIMINACIÓN DE
MICROORGANISMOS.
Inicializar valores como la velocidad de los microorganismos, cantidad de desinfectante,
diámetro de las partículas y cantidad de celdas.
Inicializar las siguientes matrices, con el número de celdas correspondiente al análisis: Matriz
que indica si el microorganismo ha sido eliminado (lenguaje binario), matriz que contiene la
posición horizontal de cada grupo de microorganismos, matriz que contiene la posición
vertical de cada grupo de microorganismos.
Aleatorizar la posición de las partículas de desinfectante.
Establecer un ciclo que modele el movimiento aleatorio de cada microorganismo con un
número aleatorio de 1 a 8, y hacerlo para los intervalos obtenidos a partir de la velocidad del
organismo y el tiempo total.
Para cada paso del ciclo hacer un reconteo de los microorganismos existentes en comparación
a los iniciales.
