Dispense di Matematica Generale ed Economia

Principi di Matematica ed Economia1

Erio Castagnoli Massimo Marinacci Elena Vigna

1 Dicembre 2011

1Appunti per uso esclusivo degli studenti del corso di Matematica generale dellUniversitBocconi. Queste note servono per integrare gli appunti presi a lezione e non sostituiscono inalcun modo il libro di testo. Si tratta di appunti e in quanto tali saranno via via aggiornati ecorretti (invitiamo gli studenti a segnalarci ogni sErio errore). Ringraziamo Simone Cerreia-Vioglio, Margherita Cigola, Fabio Maccheroni e Fabio Tonoli per i loro preziosi commenti.

Indice

I Strutture 15

1 Insiemi e numeri 171.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.1 Sottoinsiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.2 Operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.3 Propriet delle operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 Numeri: introduzione intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3 Struttura degli interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3.1 Divisori e algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.2 Numeri primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4 Struttura dordine di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.1 Massimi e minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.4.2 Estremi superiore e inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.4.3 Densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.5 Potenze e logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.5.1 Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.5.2 Potenze con esponente reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.5.3 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.6 Numeri, dita e circuiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.7 La retta reale estesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Struttura cartesiana e Rn 572.1 Prodotti cartesiani e Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 Operazioni in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3 Struttura dordine in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4.1 Incertezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.4.2 Scelte statiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.4.3 Scelte intertemporali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.5 Ottimi secondo Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.1 Scatola di Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3

4 INDICE

3 Struttura lineare 773.1 Sottospazi vettoriali di Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2 Indipendenza e dipendenza lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3 Combinazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.4 Sottospazi generati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5 Basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.6 Basi di sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.7 Titoli nanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 Struttura euclidea 974.1 Valore assoluto e norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.1.1 Prodotto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.1.2 Valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.1.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2 Ortogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5 Struttura topologica 1075.1 Distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2 Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.3 Tassonomia dei punti di Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.1 Punti interni e di frontiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3.2 Punti di accumulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4 Insiemi aperti e chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.5 Stabilit insiemistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.6 Insiemi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.7 Chiusura e convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6 Far di conto: Analisi combinatoria 1296.1 Generalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.3 Disposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.4 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.5 Binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

II Funzioni 139

7 Funzioni 1417.1 Il concetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.2 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.2.1 Incertezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.2.2 Scelte statiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.2.3 Scelte intertemporali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.3 Propriet generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

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7.3.1 Controimmagini e curve di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.3.2 Algebra delle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.3.3 Composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.4 Classi di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.4.1 Funzioni iniettive, suriettive e biiettive . . . . . . . . . . . . . . 1637.4.2 Funzioni inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.4.3 Funzioni limitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.4.4 Funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.4.5 Funzioni separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.5 Funzioni elementari su R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5.1 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.5.3 Funzioni trigonometriche e periodiche . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.6 Domini e restrizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.7 Funzioni biiettive e cardinalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.7.1 Cardinalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.7.2 Un vaso di Pandora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8 Applicazione: funzioni di insieme e probabilit 1958.1 Misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.2 Probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.3 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.4 Probabilit semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.5 Utilit attesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2048.6 Lotterie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.7 Atti o lotterie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

9 Successioni 2139.1 Il concetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.2 Lo spazio delle successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.3 Applicazione: scelte intertemporali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.4 Immagini e classi di successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.5 Limiti: esempi introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.6 Limiti e comportamento asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.6.1 Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.6.2 Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.6.3 Limiti per eccesso e per difetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2269.6.4 Topologia di R e denizione generale di limite . . . . . . . . . . 226

9.7 Propriet dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.7.1 Monotonia e convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.7.2 Algoritmo di Erone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.7.3 Il Teorema di Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

9.8 Algebra dei limiti e limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

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9.8.1 Le (molte) certezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2369.8.2 Alcuni limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.8.3 Forme di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.8.4 Tabelle riassuntive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439.8.5 Ma quante sono le forme di indeterminazione? . . . . . . . . . . 244

9.9 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.10 La condizione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2509.11 Il numero di Nepero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2519.12 Ordini di convergenza e di divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

9.12.1 Equivalenza asintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2589.12.2 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2629.12.3 Scale di inniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2629.12.4 La formula di De Moivre-Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . 2639.12.5 Distribuzione dei numeri primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.12.6 Termine di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

9.13 Successioni in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.14 Valori limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

10 Applicazione: prezzi e aspettative 27710.1 Un mercato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27710.2 Ritardi nella produzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27910.3 Formazione delle aspettative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28010.4 Pigre, ma corrette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28110.5 Aspettative razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28310.6 Convergenza dei prezzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28510.7 Aspettative adattive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

11 Serie numeriche 29311.1 Il concetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

11.1.1 Tre classiche serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29511.1.2 Utilit intertemporale con orizzonte innito . . . . . . . . . . . 297

11.2 Propriet elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29711.3 Serie con termini positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

11.3.1 Criterio di convergenza del confronto . . . . . . . . . . . . . . . 29811.3.2 Criteri di convergenza del rapporto: preludio . . . . . . . . . . . 30411.3.3 Criteri di convergenza del rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . 30511.3.4 Criteri di convergenza della radice . . . . . . . . . . . . . . . . . 30911.3.5 Potenza del criterio della radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31111.3.6 Un primo sviluppo in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

11.4 Serie con termini di segno qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31511.4.1 Convergenza assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31511.4.2 Rivisitazione dei criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . 31811.4.3 Serie con i segni alternati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

INDICE 7

11.4.4 Il criterio di condensazione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 32111.5 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32311.6 Propriet associativa e commutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

11.6.1 Incidenti storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32611.6.2 La retta via . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

11.7 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33211.7.1 Rappresentazione dei numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33211.7.2 Applicazione alla teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . 334

12 Limiti di funzioni 33712.1 Esempi introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33712.2 Funzioni scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

12.2.1 Limiti bilaterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34212.2.2 Limiti unilaterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34812.2.3 Relazioni tra limiti unilaterali e bilaterali . . . . . . . . . . . . . 35012.2.4 Gran nale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

12.3 Funzioni di vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35212.4 Propriet dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35412.5 Algebra dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

12.5.1 Forme di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35912.6 Limiti elementari e limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

12.6.1 Limiti elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36112.6.2 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

12.7 Ordini di convergenza e di divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36412.7.1 Equivalenza asintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36612.7.2 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36812.7.3 Il solito bestiario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

13 Funzioni continue 37113.1 Discontinuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37513.2 Operazioni e composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37813.3 Zeri ed equilibri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

13.3.1 Zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37913.3.2 Equilibri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

13.4 Teorema dei valori intermedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38313.5 Monotonia e continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38413.6 Limiti e continuit delle applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38513.7 Continuit uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

III Analisi lineare e non lineare 391

14 Funzioni e applicazioni lineari 39314.1 Funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

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14.1.1 Denizione e prime propriet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39314.1.2 Rappresentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39514.1.3 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

14.2 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39714.2.1 Operazioni tra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39914.2.2 Prodotto tra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40214.2.3 Applicazione: matrice di Leontie . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

14.3 Applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40714.3.1 Denizione e prime propriet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40714.3.2 Rappresentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41014.3.3 Matrici e operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

14.4 Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41314.4.1 Applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41314.4.2 Rango di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41714.4.3 Propriet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42014.4.4 Procedimento gaussiano di eliminazione . . . . . . . . . . . . . . 422

14.5 Applicazioni invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42614.5.1 Invertibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42614.5.2 Matrici inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

14.6 Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42914.6.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42914.6.2 Propriet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43214.6.3 Teorema di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43614.6.4 Inverse e determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44114.6.5 Procedimento di Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

14.7 Sistemi lineari quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44614.8 Sistemi lineari generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45014.9 Risoluzione di sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

14.9.1 Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45414.9.2 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

14.10Il Teorema fondamentale della Finanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45914.10.1Portafogli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45914.10.2 Intermezzo: Il Teorema di Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . 46114.10.3Valore di mercato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46314.10.4Legge del prezzo unico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46414.10.5Arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46714.10.6Teorema di rappresentazione dellarbitraggio . . . . . . . . . . . 47014.10.7Calcolo dei prezzi di non arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . 47214.10.8Rendimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

INDICE 9

15 Funzioni concave 47715.1 Insiemi convessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

15.1.1 Politopi e poligoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47915.1.2 Coni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

15.2 Funzioni concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48515.3 Propriet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

15.3.1 Funzioni concave e insiemi convessi . . . . . . . . . . . . . . . . 49015.3.2 Disuguaglianza di Jensen e continuit . . . . . . . . . . . . . . . 494

15.4 Funzioni quasi concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49715.5 Principio di diversicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50115.6 Rischio e concavit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

15.6.1 Unicit e cardinalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50515.6.2 Avversione al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50715.6.3 Premio al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

15.7 Gran nale: lequazione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51215.7.1 Varianti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51315.7.2 Capitalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

16 Funzioni omogenee 51916.1 Omogeneit e rendimenti di scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51916.2 Omotetia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52416.3 Omogeneit e quasi concavit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

17 Problemi di ottimo 52917.1 Generalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

17.1.1 La fortuna del principiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53317.1.2 Propriet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53517.1.3 Consumo e produzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

17.2 Esistenza: Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54217.3 Esistenza: Teorema di Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

17.3.1 Coercivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54517.3.2 Supercoercivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

17.4 Estremi locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55117.5 Concavit e quasi concavit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55317.6 Consumo e produzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

17.6.1 Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55617.6.2 Produzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

17.7 Assicurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55817.8 Minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

17.8.1 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56017.8.2 Statistica descrittiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

17.9 Proiezioni e approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56517.9.1 Teorema della proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

10 INDICE

17.9.2 Proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56717.9.3 Minimi quadrati e proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

17.10Approfondimento semicontinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

IV Calcolo dierenziale 577

18 Derivate 57918.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

18.1.1 Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58218.2 Interpretazione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58218.3 Funzione derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58618.4 Derivate unilaterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58618.5 Derivabilit e continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58818.6 Derivate delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58918.7 Algebra delle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59118.8 La regola della catena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59518.9 Derivata di funzioni inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59618.10Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59918.11Dierenziabilit e linearit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

18.11.1Dierenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60218.11.2Dierenziabilit e derivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60418.11.3Dierenziabilit e continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

18.12Derivate di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

19 Derivazione parziale 60919.1 Generalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

19.1.1 Ceteris paribus: utilit e produttivit marginali . . . . . . . . . 61619.2 Dierenziale totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61719.3 Regola della catena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62019.4 Derivate parziali di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62119.5 Funzioni implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

19.5.1 Teorema di Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62519.5.2 Saggi marginali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63019.5.3 Estensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

20 Propriet dierenziali 63720.1 Estremi e punti critici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

20.1.1 Preambolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63720.1.2 Teorema di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63820.1.3 Punti stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64020.1.4 Problemi di ottimo libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

20.2 Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64220.3 Monotonia e derivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

INDICE 11

20.3.1 Monotonia scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64620.3.2 Monotonia vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

20.4 Una condizione su ciente per estremi locali . . . . . . . . . . . . . . . 65120.4.1 Ricerca di estremi locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65420.4.2 Ottimi liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656

20.5 Teorema e regola di de lHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65720.5.1 Forme di indeterminazione 0=0 e 1=1 . . . . . . . . . . . . . . 65720.5.2 Altre forme di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66020.5.3 Dimostrazione del Teorema di de lHospital . . . . . . . . . . . . 662

21 Approssimazione 66521.1 Approssimazione polinomiale di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66521.2 Proposizione omnibus per estremi locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67321.3 Procedura omnibus di ricerca di estremi locali . . . . . . . . . . . . . . 675

21.3.1 Caso di funzioni due volte derivabili . . . . . . . . . . . . . . . . 67521.3.2 Caso di funzioni derivabili innite volte . . . . . . . . . . . . . . 67621.3.3 Caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67721.3.4 Commenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

21.4 Formula di Taylor: caso vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67921.4.1 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67921.4.2 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68321.4.3 Condizioni del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684

22 Concavit e dierenziabilit 68722.1 Caso scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

22.1.1 Corde e tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69522.2 Caso vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

23 Complementi 70123.1 Studio di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

23.1.1 Flessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70123.1.2 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70323.1.3 Studio di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70623.1.4 Versiera di Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

23.2 Calcolo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71323.2.1 Dierenze nite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71423.2.2 Un teorema di Cesro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71723.2.3 Convergenza in media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72023.2.4 Innita pazienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722

12 INDICE

V Calcolo integrale 725

24 Integrale secondo Riemann 72724.0.5 Plurirettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

24.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73024.1.1 Funzioni positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73024.1.2 Funzioni di segno qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73424.1.3 Tutto si tiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737

24.2 Criteri di integrabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74024.3 Classi di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743

24.3.1 Funzioni a scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74424.3.2 Approccio analitico e approccio geometrico . . . . . . . . . . . . 74724.3.3 Integrabilit delle funzioni continue e delle funzioni monotone . 750

24.4 Propriet dellintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75124.5 Teorema fondamentale del Calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . 755

24.5.1 Funzioni primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75624.5.2 Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75924.5.3 Il Primo Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . 76024.5.4 Il Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . 762

24.6 Propriet dellintegrale indenito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76524.7 Cambiamento di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76724.8 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770

24.8.1 Intervalli illimitati dintegrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 77024.8.2 Funzioni illimitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781

24.9 Criterio integrale di convergenza per le serie . . . . . . . . . . . . . . . 78224.10Gran nale: Riemann e i numeri primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

VI Ottimizzazione 791

25 Anteprima 793

26 Ottimizzazione locale vincolata 79726.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79726.2 Il problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79726.3 Un vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79826.4 Metodo di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80226.5 Problema del consumatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80726.6 Pi vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

27 Programmazione matematica 82127.1 Programmazione dierenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821

27.1.1 Anatomia di C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82227.2 Metodo di eliminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

INDICE 13

27.2.1 Primo caso: interno non vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82327.2.2 Ubi maior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82627.2.3 Secondo caso: vincoli di uguaglianza . . . . . . . . . . . . . . . 826

27.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83327.3.1 Problema del consumatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83327.3.2 Problema del produttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835

27.4 Programmazione dierenziale concava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83727.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839

27.5.1 Problema del produttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83927.5.2 Minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84027.5.3 Assicurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841

28 Applicazione: investimento 84528.1 Scelta intertemporale aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84528.2 Carpe diem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84628.3 Il Problema dellinvestitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84828.4 Risoluzione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84928.5 Prezzi dei titoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852

VII Appendici 855

A Richiami di trigonometria 857A.1 Generalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857A.2 Concerto darchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859A.3 Perpendicolarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861

B Elementi di logica 863

C Cenni sulle coniche 869C.1 I classici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870C.2 Le coniche in generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873

D DizionErio biograco 875

14 INDICE

Parte I

Strutture

15

Capitolo 1

Insiemi e numeri

1.1 Insiemi

Un insieme (o aggregato) una collezione qualsiasi di oggetti (qualsiasi). Vi sono duemodi per descrivere un insieme: elencarne direttamente gli elementi, oppure speci-carne una propriet che li accomuna. Il secondo modo pi usuale del primo; peresempio,

f11; 13; 17; 19; 23; 29g (1.1)si pu descrivere come linsieme dei numeri primi tra 10 e 30. Le sedie della vostracucina formano un insieme di oggetti, le sedie appunto, accumunati dalla proprietdi far parte della vostra cucina. Le sedie della vostra camera da letto formano unaltro insieme, cos come le lettere dellalfabeto latino formano un insieme, distintodallinsieme delle lettere dellalfabeto greco (e dalle sedie o dai numeri di poco fa).

Gli insiemi si indicano abitualmente con lettere maiuscole: A, B, C, e cos via; iloro elementi si indicano invece con lettere minuscole: a, b, c, e cos via. Per indicareche un elemento a appartiene allinsieme A si scrive

a 2 Adove 2 il simbolo di appartenenza. Al contrario, per indicare che un elemento a nonappartiene allinsieme A si scrive a =2 A.Osservazione fuori busta. Il concetto di insieme, apparentemente introdotto nel1847 da Bernhard Bolzano, per noi un concetto primitivo, cio non pu essere denitoricorrendo a nozioni pi semplici. La situazione simile a quella della geometriaEuclidea, in cui punti e linee sono concetti primitivi di signicato intuitivo che sisuppone noto al lettore. H

1.1.1 Sottoinsiemi

Le sedie della vostra camera da letto sono un sottoinsieme delle sedie della vostra casa:una sedia che appartiene alla vostra camera da letto appartiene anche alla vostra casa.

17

18 CAPITOLO 1. INSIEMI E NUMERI

In generale, un insieme A sottoinsieme di un insieme B quando tutti gli elementi diA sono anche elementi di B. In questo caso si scrive A B. Formalmente,

Denizione 1 Dati due insiemi A e B, si dice che A sottoinsieme di B, in simboliA B, se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, ossia se x 2 A implicax 2 B.

Per esempio, si indichi con A linsieme (1.1) e sia

B = f11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29g (1.2)linsieme dei numeri dispari tra 10 e 30. Si ha A B.

Gracamente, la relazione A B si pu illustrare come

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

A

B

A B

Inclusione di insiemi

usando i cosiddetti diagrammi di Venn per rappresentare gracamente gli insiemi A eB: si tratta di una maniera ingenua, ma e cace, di visualizzare insiemi.

Quando si ha sia A B sia B A, ossia x 2 A se e solo se x 2 B, i due insiemi Ae B sono uguali; in simboli A = B. Per esempio, consideriamo lequazione di secondogrado x2 3x + 2 = 0. Sia A linsieme delle sue soluzioni e sia B linsieme formatodai numeri 1 e 2. facile vedere che1 A = B.Quando A B ma non A = B si scrive A B e si dice che A sottoinsieme

proprio di B.Gli insiemi costituiti da un unico elemento sono detti singoletti.

Nota Bene. Sebbene i due simboli 2 e siano concettualmente ben distinti e nondebbano essere quindi confusi, esiste tra loro uninteressante relazione. Si consideri

1Si rimanda a G. Osimo et al. (2009) per richiami sulle equazioni di secondo grado.

1.1. INSIEMI 19

infatti linsieme formato da un unico elemento a, ossia linsieme fag. Si tratta di uninsieme particolare, ma del tutto legittimo2. Tramite i singoletti, possiamo stabilire larelazione

a 2 A se e solo se fag Atra 2 e . OOfB. In queste note di solito deniremo gli insiemi tramite propriet dei loro oggetti.Per i nostri ni tale nozione ingenuadi insieme su ciente. Lingenuit dellapproc-cio evidenziata dai classici paradossi che, tra la ne Ottocento e linizio Novecento,furono scoperti da Cesare Burali Forti (1861-1931) e Bertrand Russell (1872-1970). Sitratta di paradossi che nascono dal considerare insiemi di insiemi, cio insiemi i cuielementi sono a lora volta insiemi. Come Burali Forti, usando la nozione ingenua diinsieme deniamo linsieme di tutti gli insiemi, cio linsieme i cui elementi sonoaccumunati dalla propriet di essere insiemi. Se esistesse questo insieme universaleU , potremmo per formare anche linsieme fB : B Ug formato da U e da tutti i suoisottoinsiemi. Ma, come mostrer il Teorema 89 di Cantor, questo ulteriore insiemenon appartiene a U , il che contraddice luniversalit di U .Tra le varie caratteristiche bizzarre di un insieme universale vi di appartenere a

s stesso, cio U 2 U , caratteristica del tutto controintuitiva (come osserv Russell,il genere umano, per esempio, non un uomo). Con Russell, consideriamo quindilinsieme A costituito dagli insiemi con la propriet di non appartenere a s stessi. SeA =2 A, cio se A non appartiene a s stesso, allora A appartiene a s stesso perch uninsieme che soddisfa la propriet di non contenere s stesso. Daltra parte, se A 2 A,cio se A contiene s stesso, allora A =2 A, e cadiamo di nuovo in contraddizione. lacelebre antinomia di Russell.Questi paradossi si possono arontare e risolvere con una teoria non ingenua degli

insiemi, in particolare nella teoria di Zermelo-Fraenkel. Per fortuna, nella praticamatematica, e a maggior ragione in queste note introduttive, si possono ignoraregli aspetti fondazionali senza correre troppi pericoli (tanto pi che il loro studiorichiederebbe un corso, e per nulla banale, a s). H

1.1.2 Operazioni

Vi sono tre operazioni di base tra insiemi: unione, intersezione e dierenza. Comevedremo, esse considerano due assegnati insiemi e, a partire da essi, formano un nuovoinsieme.

La prima operazione che consideriamo lintersezione di due insiemi A e B. Comesuggerisce il termine intersezione, con essa si selezionano tutti gli elementi cheappartengono simultaneamente a entrambi gli insiemi A e B.

2Si badi che a e fag non sono aatto la stessa cosa; a un elemento e fag un insieme, seppurcostituito da un solo elemento. Per esempio, linsieme A dei paesi della Terra con la bandiera di unsolo colore aveva (sino al 2011) un solo elemento, la Libia, ma non la Libia: Tripoli non lacapitale di A.


Denizione 2 Dati due insiemi A e B, la loro intersezione A\B linsieme di tuttigli elementi che appartengono sia ad A sia a B, ossia x 2 A \B se x 2 A e x 2 B.

Loperazione si pu illustrare gracamente nel seguente modo:

Intersezione di insiemi.

Per esempio, sia A linsieme dei mancini e B linsieme dei destrimani in Italia. Lin-tersezione A \ B linsieme degli italiani ambidestri. Se, invece, A linsieme delleauto a benzina e B delle auto a metano, la loro intersezione A \ B linsieme delleauto bifuel, a benzina e a metano.

Pu accadere che due insiemi non abbiano alcun elemento in comune. Per esempio,sia

C = f10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26; 28; 30g (1.3)linsieme dei numeri pari tra 10 e 30. Esso non ha alcun elemento in comune conlinsieme B in (1.2). In questo caso si parla di insiemi disgiunti, ossia che non hannoalcun elemento in comune. Tale nozione ci d loccasione per introdurre un insiememolto particolare, ma fondamentale.

Denizione 3 Linsieme vuoto, indicato con ;, linsieme privo di elementi3.

Come primo uso della nozione, osserviamo che due insiemi A e B sono disgiuntiquando hanno intersezione vuota, cio A \B = ;. Per esempio, per gli insiemi B e Cin (1.2) e (1.3), si ha B \ C = ;.La scrittura A 6= ; sta ad indicare che linsieme A non vuoto, ovvero che contiene

almeno un elemento.3C chi pensa che gli insiemi vuoti non esistano. Egli deve ammettere allora che linsieme di tali

insiemi vuoto.

1.1. INSIEMI 21

Linsieme vuoto si considera convenzionalmente sottoinsieme di qualsiasi insieme,ossia ; A per ogni insieme A.

immediato mostrare che A \ B A e che A \ B B. Il prossimo risultato pi sottile e stabilisce unutile propriet che lega e \.

Proposizione 1 Si ha A \B = A se e solo se A B.

Dim. Se: sia A B. Vogliamo dimostrare che A \ B = A. Quando si devemostrare unuguaglianza di due insiemi, bisogna sempre considerare separatamente ledue opposte inclusioni, in questo caso A \B A e A A \B.La prima inclusione A \ B A banalmente vera. Infatti, se x 2 A \ B, per

denizione x appartiene sia ad A sia a B. In particolare x 2 A e ci basta perconcludere che A \B A.Dimostriamo la seconda inclusione: A A \ B. Sia x 2 A. Poich, per ipotesi,

A B, ogni elemento di A appartiene anche a B. Da x 2 A segue quindi che x 2 B,ossia che x appartiene sia ad A sia a B: dunque x 2 A\B e ci prova che A A\B.Abbiamo mostrato che valgono entrambe le inclusioni A \ B A e A A \ B;

possiamo quindi concludere che A\B = A, il che completa la dimostrazione del Se.

Solo se: sia A \ B = A. Vogliamo dimostrare che A B, ossia che, se x 2 A,allora x 2 B. Sia x 2 A. Poich per ipotesi A \ B = A, ne segue che x 2 A \ B. Inparticolare ci signica che x appartiene a B, che quanto dovevamo provare.

La prossima operazione che consideriamo lunione. Anche qui il termine unionegi suggerisce come in questa operazione siano riuniti assieme tutti gli elementi dientrambi gli insiemi.

Denizione 4 Dati due insiemi A e B, la loro unione A [ B linsieme di tutti glielementi che appartengono a A oppure4 a B, ossia x 2 A[B se x 2 A oppure x 2 B.

Si noti che un elemento pu appartenere ad entrambi gli insiemi (a meno che gliinsiemi siano disgiunti). Per esempio, se come prima A linsieme dei mancini e B quello dei destrimani in Italia, linsieme unione contiene tutti gli italiani con almenouna mano, e vi sono individui (gli ambidestri) che appartengono ad entrambi gli insiemi. immediato mostrare che A A [ B e che B A [ B. Ne consegue che

A \B A [B.

Gracamente lunione si rappresenta nel seguente modo:

4La congiunzione oppure intesa nel senso debole del vel latino, e non dellaut (cio xappartiene ad A o x appartiene a B o entrambe le cose).


-2 0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6

AB

A B

Unione di insiemi

Lultima operazione che consideriamo la dierenza.

Denizione 5 Dati due insiemi A e B, la loro dierenza A B linsieme di tuttigli elementi che appartengono a A ma non a B, ossia x 2 A B se sia x 2 A siax =2 B.

Linsieme dierenza5 AB si forma quindi eliminando da A tutti gli elementi cheappartengono (anche) a B. Gracamente:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

AB

A - B

Dierenza di insiemi.

5La dierenza insiemistica AB si indica spesso con la scrittura AnB.

1.1. INSIEMI 23

Per esempio, torniamo agli insiemi A e B individuati in (1.1) e (1.2). In tal caso,

B A = f15; 21; 25; 27g ;ossia B A linsieme dei numeri dispari non primi tra 10 e 30. Si noti che: (i)quando A e B sono disgiunti, si ha A B = A e B A = B, (ii) A B equivalea A B = ; poich togliendo da A tutti gli elementi che appartengono anche a B sipriva A di tutti i suoi elementi, ossia si rimane con linsieme vuoto.

In molti casi vi un insieme generale di riferimento del quale si considerano vari sot-toinsiemi. Per esempio, per un demografo tale insieme pu essere lintera popolazioneitaliana della quale si possono considerare vari sottoinsiemi secondo le propriet de-mograche che interessano: per esempio, let una classica variabile demograca conla quale suddividere la popolazione in sottoinsiemi.Linsieme generale di riferimento chiamato insieme universale o, pi comune-

mente, spazio. Non esiste una notazione consolidata per tale insieme (che quasisempre sottinteso), che temporaneamente indichiamo come S. In questo caso, presoun suo sottoinsieme A qualsiasi, la dierenza SA si indica con Ac ed detta insiemecomplementare di A.Per esempio, se S linsieme di tutti gli italiani e A linsieme di tutti gli italiani

che hanno almeno 65 anni det, linsieme complementare Ac costituito da tutti gliitaliani con meno di 65 anni det.

immediato vericare che, per ogni A, si ha A[Ac = S e A\Ac = ;. Vale inoltrela

Proposizione 2 Se A un sottoinsieme di uno spazio S si ha (Ac)c = A.

Dim. Poich dobbiamo vericare unuguaglianza tra insiemi, al pari di quanto fattonella dimostrazione della Proposizione 1, occorre considerare separatemente le dueinclusioni (Ac)c A e A (Ac)c.Se a 2 (Ac)c, allora a =2 Ac e quindi a 2 A. Ne segue che (Ac)c A.Viceversa, se a 2 A allora a =2 Ac e quindi a 2 (Ac)c; dunque A (Ac)c. Da ultimo, si prova senza di colt che AB = A\Bc. Infatti x 2 AB signica

che x 2 A e x =2 B, cio che x 2 A e x 2 Bc.

1.1.3 Propriet delle operazioni

Proposizione 3 Le operazioni di unione e intersezione sono:

(i) commutative, ossia, per ogni coppia di insiemi A e B, si ha A \ B = B \ A eA [B = B [ A;

(ii) associative, ossia, per ogni terna di insiemi A, B e C, si ha A [ (B [ C) =(A [B) [ C e A \ (B \ C) = (A \B) \ C.


Lasciamo al lettore la semplice dimostrazione del risultato. La propriet (ii) per-mette di scrivere A [ B [ C e A \ B \ C e quindi di estendere senza ambiguit leoperazioni di unione e di intersezione a un arbitrario numero (nito) di insiemi:[n

i=1Ai e

\ni=1

Ai:

possibile estendere tali operazioni anche a inniti insiemi. Se A1; A2; ; An; sono inniti insiemi, la loro unione [1

n=1An

linsieme degli elementi che appartengono ad almeno uno degli An, cio

1[n=1

An = fa : a 2 An per almeno un indice ng

La loro intersezione \1n=1

An

linsieme degli elementi che appartengono a ogni An, cio

1\n=1

An = fa : a 2 An per ogni indice ng :

Esempio 1 Sia An linsieme dei numeri pari n. Si ha1Tn=1

An = f0g poich 0

lunico pari tale che 0 2 An per ogni n 1. Inoltre,1Sn=1

An = f2n : n intero positivog,

ossia1Sn=1

An linsieme di tutti i numeri pari. N

Volgiamo lattenzione alle relazioni tra le operazioni di intersezione e unione. Sinoter la simmetria tra le propriet (1.4) e (1.5), nelle quali \ e [ sono scambiate traloro.

Proposizione 4 Le operazioni di unione e intersezione sono tra loro distributive,ossia, dati tre insiemi A, B e C, si ha

A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C) (1.4)

eA [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C) : (1.5)

1.2. NUMERI: INTRODUZIONE INTUITIVA 25

Dim. Mostriamo solo la (1.4). Occorre considerare separatemente le due inclusioniA \ (B [ C) (A \B) [ (A \ C) e (A \B) [ (A \ C) A \ (B [ C).Se x 2 A \ (B [ C), allora x 2 A e x 2 B [ C, cio (i) x 2 A e (ii) x 2 B oppure

x 2 C. Ne segue che x 2 A \ B oppure x 2 A \ C, cio x 2 (A \B) [ (A \ C), eperci A \ (B [ C) (A \B) [ (A \ C).Viceversa, se x 2 (A \B) [ (A \ C), allora x 2 A \ B oppure x 2 A \ C, cio x

appartiene ad A e ad almeno uno tra B e C e quindi x 2 A \ (B [ C). Ne segue che(A \B) [ (A \ C) A \ (B [ C). Diamo un concetto che si rivela importante in molte applicazioni.

Denizione 6 Una famiglia

fA1; A2; : : : ; Ang = fAigni=1di sottoinsiemi di un insieme A detta partizione di A se i sottoinsiemi sono a duea due disgiunti, ossia Ai \ Aj = ; per ogni i 6= j, e se la loro unione coincide con A,ossia

Sni=1Ai = A.

Esempio 2 Sia A linsieme di tutti gli italiani in un dato giorno, per esempio oggi.I suoi sottoinsiemi A1, A2 e A3 costituiti rispettivamente dai cittadini in et scolareo prescolare (da 0 a 17 anni), dei cittadini in et lavorativa (da 18 a 64 anni) e daglianziani (dai 65 anni in poi) ne costituiscono una partizione. N

Concludiamo con le cosiddette leggi di de Morgan per la complementazione.

Proposizione 5 Dati due sottoinsiemi A e B di uno spazio S, si ha (A [B)c =Ac \Bc e (A \B)c = Ac [Bc.Dim. Dimostriamo soltanto la prima. Al solito, per dimostrare un uguaglianza trainsiemi, occorre considerare separatamente le due inclusioni che la compongono. (i)(A [B)c Ac \ Bc. Se x 2 (A [B)c, allora x =2 A [ B, cio x non appartiene n adA n a B. Ne segue che x appartiene simultaneamente ad Ac e a Bc e quindi alla lorointersezione. (ii) Ac \Bc (A [B)c. Se x 2 Ac \Bc allora x =2 A e x =2 B e perci xnon appartiene nemmeno alla loro unione.

Le leggi di de Morgan mostrano che, prendendo i complementi, [ e \ si scambianotra loro. Spesso tali leggi sono scritte nella forma equivalente A [ B = (Ac \Bc)c eA \B = (Ac [Bc)c.

1.2 Numeri: introduzione intuitiva

Per quanticare le grandezze di interesse nelle applicazioni economiche (quali, peresempio, le quantit scambiate di beni e i loro prezzi) abbiamo bisogno di un adeguatoinsieme di numeri. Di ci ci occupiamo nella presente sezione.


I numeri naturali0; 1; 2; 3;

non hanno bisogno di presentazione; il loro insieme sar indicato con il simbolo N.Linsieme N dei naturali chiuso rispetto alle operazioni fondamentali di addizione

e moltiplicazione:

(i) m+ n 2 N tutte le volte che m;n 2 N;

(ii) m n 2 N tutte le volte che m;n 2 N.

Non invece chiuso rispetto alle operazioni fondamentali di sottrazione e di di-visione: per esempio, n 5 6 n 5=6 sono numeri naturali. quindi chiaro che N inadeguato come insieme di numeri per quanticare grandezze economiche: la con-tabilit di unazienda un primo ovvio esempio nel quale la chiusura rispetto allasottrazione cruciale (altrimenti, come si potrebbero quanticare le perdite?).

I numeri interi (o interi relativi)6

;3;2;1; 0; 1; 2; 3;

costituiscono un primo allargamento, indicato col simbolo Z, dellinsieme N. Essoporta a un insieme chiuso rispetto sia alle operazioni di addizione e di moltiplicazionesia alloperazione di sottrazione. Infatti, ponendo m n = m+ (n),7 si ha

(i) m n 2 Z tutte le volte che m;n 2 Z;

(ii) m n 2 Z tutte le volte che m;n 2 Z.

Formalmente, linsieme Z si pu scrivere a partire da N come

Z = fm n : m;n 2 Ng

Proposizione 6 N Z.

Dim. Sia m 2 N. Si ha m = m 0 2 Z poich 0 2 N.

Rimane unoperazione fondamentale rispetto alla quale Z non chiuso: la divi-sione. Infatti, per esempio, 1=3 non un numero intero. Per porre rimedio a tale

6Ci piace ricordare come nellIndia antica si distinguessero i numeri positivi dai negativi scrivendolirispettivamente in rosso e in nero. La convenzione seguita era opposta allattuale prassi bancariasecondo la quale un conto corrente con saldo negativo in rosso.

7La sottrazione mn non altro che la somma di m col negativo n di n. Al riguardo, si ricordila nozione di somma algebrica.


importante carenza degli interi (se vogliamo dividere 1 torta tra 3 invitati, come possi-amo quanticare le loro porzioni se abbiamo a disposizione solo Z?), si ha un ulterioreallargamento allinsieme dei numeri razionali, indicato col simbolo Q, e dato da

Q =nmn: m;n 2 Z con n 6= 0

o:

In altre parole linsieme dei razionali costituito da tutte le frazioni con numeri interisia a numeratore sia a denominatore (non nullo).

OfB. Ogni razionale non periodico (cio con un numero nito di decimali) ammettedue rappresentazioni decimali. Per esempio, 1 = 0; 9 poich 10; 9 = 0; 0 = 0, oppure,se si preferisce, perch

0; 9 = 3 0; 3 = 3 13= 1:

In modo analogo, 2; 5 = 2; 49, 51; 2 = 51; 19, e cos via. In breve il periodico di 9non ha una sua autonomia. I razionali periodici e gli irrazionali hanno invece una solarappresentazione decimale (che innita).La cosa non una mera curiosit: se 0; 9 non fosse uguale a 1, si potrebbe aermare

che 0; 9 il numero che immediatamente precede 1 (senza che ve ne siano altri inmezzo), il che violerebbe una notevole propriet che discuteremo tra breve. H

Proposizione 7 Z Q.Dim. Sia m 2 Z. Si ha m = m=1 2 Q poich 1 2 Z. Linsieme dei razionali chiuso rispetto a tutte le quattro operazioni fondamentali:

(i) m n 2 Q tutte le volte che m;n 2 Q;(ii) m n 2 Q tutte le volte che m;n 2 Q;(iii) m=n 2 Q tutte le volte che m;n 2 Q con n 6= 0:Linsieme dei razionali sembra dunque attrezzato con tutto quanto possa servire.

Ma alcune semplici considerazioni sulla moltiplicazione ci porteranno a inaspettatescoperte. Se q un razionale, come ben noto, la scrittura qn con n 1 intero signica

q q q| {z }n volte

:

Si conviene che q0 = 1 per ogni q 6= 0. Di per s la scrittura qn, detta potenza di baseq ed esponente n, un mero articio di notazione per scrivere in modo pi compatto lamoltiplicazione ripetuta di un medesimo fattore. Tuttavia, preso un razionale q > 0, naturale considerare il percorso inverso, ossia determinare il numeropositivo indicatocon q

1n o, equivalentemente, con n

pq, e chiamato radice di ordine n di q, tale che

q1n

n= q.


Per esempio8,p25 = 5 poich 52 = 25. Per rendersi conto dellimportanza delle radici,

si consideri la seguente semplicissima gura geometrica:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Per il Teorema di Pitagora, la lunghezza dellipotenusa p2. Per quanticare enti

geometrici del tutto elementari abbiamo quindi bisogno delle radici. Ecco la, per alcunitragica, sorpresa9.

Teorema 8p2 =2 Q.

Dim. Si supponga, per assurdo, chep2 2 Q. Esistono allora m;n 2 Z tali che

m=n =p2, e quindi m

n

2= 2: (1.6)

Supponiamo che m=n sia gi ridotta ai minimi termini, ossia che m e n non ab-biano fattori in comune10. Ci signica che m e n non possano essere entrambi pari(diversamente, 2 sarebbe un loro fattore comune).La (1.6) implica

m2 = 2n2 (1.7)

e quindi m2 pari. Siccome il quadrato di un dispari dispari, anche m pari(diversamente, se m fosse dispari, anche m2 lo sarebbe). Quindi, esiste un interok 6= 0 tale che

m = 2k (1.8)

Dalla (1.7) e (1.8) segue chen2 = 2k2:

8La radice quadrata 2pq si indica pi semplicemente con

pq, omettendo lindice 2.

9Per la losoa pitagorica, in cui le proporzioni (ossia, i numeri razionali) erano centrali, la scopertadella non razionalit delle radici fu un evento traumatico. Rimandiamo il lettore curioso a K. vonFritz, The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, Annals of Mathematics,46, 242-264, 1945.10Per esempio, 14=10 non ridotta ai minimi termini perch numeratore e denominatore hanno in

comune il fattore 2. Invece, 7=5 ridotta ai minimi termini.


Dunque n2 pari, e quindi n pari. In conclusione, sia m sia n sono pari, il che,come prima osservato, contraddice lipotesi che m=n sia ridotta ai minimi termini. Lacontraddizione mostra che

p2 =2 Q.

questo uno dei grandi teoremi della matematica greca e la sua dimostrazioneda parte della scuola pitagorica, tra il VI e il V secolo a. C., fu un punto di svoltanella storia della Matematica. Lasciando da parte gli aspetti losoci, dal punto divista matematico esso mostra la necessit di un ulteriore allargamento dellinsieme deinumeri necessari a quanticare gli enti geometrici (nonch le grandezze economiche,come risulter chiaro nel seguito).Per introdurre a livello intuitivo questultimo allargamento11, consideriamo la clas-

sica retta reale:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

facile vedere come su di essa si possano rappresentare i numeri razionali:

-4 -2 0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

I numeri razionali non esauriscono per la retta reale. Per esempio, anche radici

11Per una trattazione rigorosa si rimanda al primo capitolo di W. Rudin, Principles of mathematicalanalysis, McGraw-Hill, 1976.


comep2 o altri numeri non razionali, come , devono trovare una loro rappresentazione

sulla retta reale12:

-4 -2 0 2 4 6 8-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Indichiamo con R linsieme di tutti i numeri rappresentabili sulla retta reale, i cuielementi sono detti numeri reali .Naturalmente Q R: vi sono molti numeri reali, detti irrazionali, che non sono

razionali. Moltissime radici, , il numero e sono esempi di numeri irrazionali. In realtsi pu mostrare che la maggior dei numeri reali irrazionale. Sebbene una trattazionerigorosa dellargomento ci porterebbe troppo lontano, il prossimo semplice risultato gi una chiara indicazione della numerosit degli irrazionali.

Proposizione 9 Dati due reali qualsiasi a < b, esiste un irrazionale c 2 R tale chea < c < b.

Dim.13 Per ogni naturale n 2 N si ponga

cn = a+

p2

n

Si ha cn > a per ogni n, ed facile vericare che ogni cn irrazionale. Inoltre

cn < b() n >p2

b aSia dunque n 2 N qualsiasi naturale tale che n > p2= (b a) (tale n esiste per lapropriet archimedea dei reali che vedremo tra breve nella Proposizione 17). Poicha < cn < b, la dimostrazione completa.

In conclusione, R sar linsieme di numeri che considereremo nel resto del corso, esi rivela adeguato per la gran parte delle applicazioni economiche14.12In realt, pur essendo la cosa piuttosto intuitiva, si tratta di un postulato, detto di continuit

della retta.13Suggerita da Simone Cerreia-Vioglio.14Un importante ulteriore allargamento, del quale non ci occuperemo, linsieme C dei numeri

complessi.

1.3. STRUTTURA DEGLI INTERI 31

1.3 Struttura degli interi

In questa e nelle prossima sezione studiamo alcune elementari, ma non banali, pro-priet dei numeri interi. Il risultato principale che presenteremo il Teorema Fonda-mentale dellAritmetica, che mostra il ruolo centrale dei numeri primi nella strutturadellinsieme degli interi.

1.3.1 Divisori e algoritmi

In questa prima sottosezione presenteremo alcune nozioni necessarie alla sottosezionesuccessiva sui numeri primi. Nel far ci incontreremo e cominceremo a conoscere lanozione di algoritmo, di grande importanza nelle applicazioni.Cominciamo con lintrodurre in modo rigoroso alcune nozioni che, nella loro essen-

za, ci sono note forse n dalle scuole elementari. Un numero intero n divisibile perun numero intero p 6= 0 se esiste un terzo numero intero q tale che n = pq. In simboli,si scrive p j n e si legge p divide n.

Esempio 3 Il numero intero 6 divisibile per il numero intero 2, cio 2 j 6, perch ilnumero intero 3 tale che 6 = 2 3. Daltra parte, 6 anche divisibile per 3, cio3 j 6, perch il numero intero 2 tale che 6 = 2 3. N

Sempre dalle scuole elementari sappiamo come dividere tra loro due numeri interi,usando resti e quozienti. Per esempio, se n = 7 e m = 2, si ha n = 3 2 + 1, conquoziente 3 e resto 1. Il prossimo semplice risultato formalizza questa procedura emostra che essa vale per ogni coppia di interi (cosa che alle elementari davamo perscontata, ma ora siamo grandi e non dobbiamo dare pi nulla per scontato).

Proposizione 10 Dati due numeri interi qualsiasi m e n, con m positivo15, esisteuna e una sola coppia di interi q e r tali che

n = qm+ r

con 0 r < m.

Dim. Nellenunciato si aermano due distinte propriet: lesistenza della coppia(q; r) e la sua unicit. Cominciamo col dimostrare lesistenza. Consideriamo soloil caso n 0 (per n < 0 basta cambiare di segno). Consideriamo linsieme A =fp 2 N : p n=mg. Poich n 0, linsieme A non vuoto perch contiene, almeno, ilnumero zero. Sia q il pi grande elemento di A. Per denizione, qm n < (q + 1)m.Posto r = n qm, si ha quindi

0 n qm = r < (q + 1)m qm = m:Abbiamo quindi dimostrato lesistenza della coppia q e r desiderata.

15Un numero intero m si dice positivo se m 1.


Mostriamo ora lunicit. Per contraddizione, siano (q0; r0) e (q00; r00) due coppiedistinte tali che

n = q0m+ r0 = q00m+ r00; (1.9)

con 0 r0; r00 < m. Poich q0 6= q00, senza perdita di generalit supponiamo che q0 < q00;ossia,

q0 + 1 q00 (1.10)poich q0 e q00 sono numeri interi. Da (1.9) segue che (q00 q0)m = r0 r00. Siccome(q00 q0)m 0, si ha 0 r00 r0 < m. Quindi,

(q00 q0)m = r0 r00 < m;il che implica q00 q0 < 1, ossia q00 < q0 + 1. Ma ci contraddice la (1.10). Lacontraddizione mostra che lassunzione di coppie (q0; r0) e (q00; r00) distinte falsa.

Massimo comune divisore

Dati due numeri interi positivi m e n, il loro massimo comune divisore, indicatomcd (m;n), il pi grande divisore comune a entrambi i numeri. Il prossimo risultato,dimostrato da Euclide nei suoi Elementi, mostra quel che nelle scuole elementari sidava per scontato, ossia che ogni coppia di interi possiede un unico massimo comunedivisore.

Teorema 11 (Euclide) Ogni coppia di numeri interi positivi ha uno e un solo mas-simo comune divisore.

Dim. Come la Proposizione 10, anche questo un risultato di esistenza e unicit. Lu-nicit ovvia; mostriamo quindi lesistenza. Siano m e n due interi positivi qualsiasi.Grazie alla Proposizione 10, esiste ununica coppia (q1; r1) tale che

n = q1m+ r1, (1.11)

dove 0 r1 < m. Se r1 = 0, si ha mcd (m;n) = m e la dimostrazione si conclude. Ser1 > 0, si itera la procedura applicando a m la Proposizione 10. Si ha quindi ununicacoppia (q2; r2) tale che

m = q2r1 + r2, (1.12)

dove 0 r2 < r1. Se r2 = 0, allora mcd (m;n) = r1. Infatti, la (1.12) implica r1 j m.Inoltre, grazie alla (1.11) e (1.12), si ha

n

r1=q1m+ r1

r1=q1q2r1 + r1

r1= q1q2 + 1;

e perci r1 j n. Quindi r1 divisore sia di n sia di m. Rimane da mostrare che il pigrande di tali divisori. Supponiamo p sia un intero positivo tale che p j m e p j n. Perdenizione, esistono due interi positivi a e b tali che n = ap e m = bp. Si ha

0 0, si itera la procedura applicando al resto r2 la Proposizione 10. Si ha

quindi ununica coppia (q3; r3) tale che

r1 = q3r2 + r3,

dove 0 r3 < r2. Se r3 = 0, procedendo come sopra si mostra che mcd (m;n) = r2,e la dimostrazione si conclude. Se r3 > 0, si itera la procedura. Di iterazione initerazione, si costruisce una successione di interi positivi r1 > r2 > > rk. Poichuna successione decrescente di interi positivi non pu che essere nita: esiste un k 1tale che rk = 0. Procedendo come sopra si mostra che mcd (m;n) = rk1, il checompleta la dimostrazione dellesistenza di mcd (m;n).

Dal punto di vista metodologico questa dimostrazione un bellesempio di di-mostrazione costruttiva, in quanto basata su un algoritmo (detto di Euclide) che conun numero nito di iterazioni determina lente matematico di cui si stabilisce lesisten-za, cio il massimo comune divisore. La nozione di algoritmo fondamentale perch,quando esiste, rende computabili gli enti matematici. Infatti, in linea di principio unalgoritmo pu essere automatizzato tramite un opportuno programma di computer(per esempio, lalgoritmo di Euclide permette di automatizzare la ricerca dei massimicomuni denominatori).Lalgoritmo di Euclide il primo algoritmo che incontriamo ed molto importante

in Teoria dei numeri. Merita di essere rivisto in dettaglio. Dati due interi positivi me n, lalgoritmo si articola nei seguenti k 1 passi:

Passo 1 n = q1m+ r1

Passo 2 m = q2r1 + r2

Passo 3 r1 = q2r2 + r3

.......

Passo k rk2 = q2rk1 (ossia, rk = 0)

Lalgoritmo si arresta al passo k tale che rk = 0. In questo caso mcd (m;n) = rk1,come si visto nella dimostrazione.

Esempio 4 Consideriamo gli interi positivi 3801 e 1708. A prima vista non ovvioquale sia il loro massimo comune divisore. Per fortuna, abbiamo a nostra disposizionelalgoritmo di Euclide per determinarlo. Si procede come segue:

Passo 1 3801 = 2 1798 + 385Passo 2 1708 = 4 385 + 168


Passo 3 385 = 2 168 + 49Passo 4 168 = 3 49 + 21Passo 5 49 = 2 21 + 7Passo 6 21 = 3 7

In sei passi abbiamo quindi scoperto che mcd (3801; 1708) = 7. N

La bont di un algoritmo dipende dal numero di passi, cio di iterazioni, che glioccorronno per giungere alla soluzione. Un algoritmo tanto pi potente quantemeno iterazioni usa. Per lalgoritmo di Euclide si ha la seguente notevole propriet,dimostrata da Gabriel Lam.

Teorema 12 (Lam) Dati due numeri interi m e n, il numero di iterazioni richi-este dallalgoritmo di Euclide minore o uguale a cinque volte il numero di cifre dimin fm;ng.

Per esempio, se torniamo ai numeri 3801 e 1708, il numero di cifre qui rilevante 4.Il Teorema di Lam ci garantisce a priori che lalgoritmo di Euclide avrebbe rischiestoal pi 20 iterazioni. Ne abbiamo usate solo 6, ma grazie al Teorema di Lam prima diiniziare gi sapevano che non ci avremmo comunque impiegato molto (e che, quindi,valeva la pena tentare, sapendo di non rischiare di rimanere impantanati in un numeroestenuante di iterazioni).

1.3.2 Numeri primi

Tra i numeri naturali un ruolo preminente svolto dai numeri primi, che il lettore hagi probabilmente incontrato nelle scuole superiori.

Denizione 7 Un numero naturale n 2 si dice primo se divisibile solo per 1 eper s stesso.

Un numero naturale non primo si dice composto. Indichiamo con P linsieme deinumeri primi. Ovviamente, P N e NP linsieme dei numeri composti. I naturali

f2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g

sono i primi dieci numeri primi, come il lettore pu facilmente vericare.Limportanza dei numeri primi comincia a emergere se osserviamo come i numeri

composti si possano esprimere come prodotto di numeri primi. Per esempio, il numerocomposto 12 si pu scrivere come

12 = 22 3;


mentre il numero composto 60 si pu scrivere come

60 = 22 3 5:

In generale, la rappresentazione primale di un numero composto n si pu scrivere come

n = pn11 pn22 pnkk (1.13)

dove pi 2 P e ni 2 N per ogni i = 1; :::; k, con

p1 < p2 < < pk e n1 > 0; :::; nk > 0.

Esempio 5 Per n = 12 si ha p1 = n1 = 2, p2 = 3 e n2 = 1; in questo caso k = 2.Per n = 60 si ha p1 = n1 = 2, p2 = 3, n2 = 1, p3 = 5 e n3 = 1; in questo caso

k = 3.Per n = 200 si ha

200 = 23 52

sicch p1 = 2, n1 = 3, p2 = 5 e n2 = 2; in questo caso k = 2.Per n = 522 si ha

522 = 2 32 29sicch p1 = 2, n1 = 1, p2 = 3, n2 = 2, p3 = 29 e n3 = 1; in questo caso k = 3. N

Quanto appena visto solleva due questioni: se ogni naturale ammetta una rappre-sentazione primale (nora abbiamo solo studiato alcuni esempi particolari) e se talerappresentazione sia unica. Il prossimo risultato, il Teorema fondamentale dellarit-metica, risolve entrambi i problemi mostrando che ogni intero ammette una e una solarappresentazione primale. In altre parole, ogni intero si pu esprime in modo univococome prodotto di numeri primi.I numeri primi sono quindi gli atomidi N: non sono scindibili (in quanto divisibili

sono per 1 e per s stessi) e attraverso di essi si pu esprimere univocamente ogni altronumero naturale. Limportanza del risultato, che mostra la centralit dei numeri primi, ben testimoniata dal suo nome. La sua prima dimostrazione si trova nelle celebriDisquisitiones Arithmeticae pubblicate nel 1801 da Carl Friederich Gauss, sebbene ilrisultato fosse nella sua essenza gi noto a Euclide.

Teorema 13 (fondamentale dellaritmetica) Ogni numero naturale n > 1 am-mette una e una sola rappresentazione primale (1.13).

Dim. Cominciamo col dimostrare lesistenza della rappresentazione. Procediamo percontraddizione. Supponiamo quindi che esistano numeri naturali che non ammettannorappresentazione primale (1.13). Sia n > 1 il pi piccolo tra essi. Ovviamente, ilnumero n composto. Esistono quindi due naturali p e q tali che n = pq con 1 1 il pipiccolo tra essi: tale n ammette almeno due diverse fattorizzazioni, sicch possiamoscrivere

n = pn11 pn22 pnkk = qn011 qn

022 qn

0ss .

Siccome q1 un divisore di n, deve essere un divisore di almeno uno dei fattori p1 < < pm. Per esempio, sia p1 un tale fattore. Essendo q1 e p1 entrambi primi, si haq1 = p1. Quindi

pn111 pn22 pnkk = qn0111 qn

022 qn

0ss < n;

il che contraddice la minimalit di n perch anche il numero pn111 pn22 pnkk ammette pifattorizzazioni. La contraddizione dimostra lunicit della rappresentazione primale.

Dal punto di vista metodologico si deve osservare che questa dimostrazione diesistenza per contraddizione e, in quanto tale, non pu essere costruttiva. Infatti,tale tipo di dimostrazioni si basa sul Principio del terzo escluso (una propriet vera se e solo se non falsa) e la verit di una asserzione stabilita mostrandonela non falsit. Ci rende spesso queste dimostrazioni brevi ed eleganti, ma, benchlogicamente ineccepibili16, dal vago carattere metasico perch non danno un modoper costruire gli enti matematici di cui stabiliscono lesistenza. In altri termini, nondanno un algoritmo con cui determinare tali enti.In conclusione, invitiamo il lettore a confrontare questa dimostrazione di esistenza

con quella, costruttiva, del Teorema 11. Il loro confronto dovrebbe chiarire le dierenzetra i due tipi fondamentali di dimostrazione di esistenza, costruttiva/diretta e noncostruttiva/indiretta.

Non un caso che la dimostrazione di esistenza del Teorema fondamentale dellar-itmetica non sia costruttiva. Infatti, costruire algoritmi che permettano di fattorizzarein numeri primi un numero naturale n (i cosiddetti test di fattorizzazione) oltremodocomplicato. Del resto, gi costruire algoritmi in grado perlomeno di stabilire se n

16A meno di riutare il Principo del terzo escluso, come alcuni illustri matematici hanno fatto (ma,si tratta di una posizione minoritaria, e comunque un aspetto metodologico molto sottile il cuistudio ora del tutto prematuro).


primo o composto (test di primalit) estremamente complesso ed tuttora un attivocampo di ricerca (tant che un risultato importante in questo ambito del 2002)17.Per intuire la di colt del problema si osservi che, se n composto, esistono due

naturali a; b > 1 tali che n = ab. Quindi, a pn oppure b pn (diversamente,ab > n), e dunque esiste un divisore di n tra i naturali compresi tra 1 e

pn. Per

vericare se n primo o composto possiamo quindi limitarci a dividere n per tutti inaturali tra 1 e

pn: se nessuno di essi risulta essere un divisore di n, concludiamo

che n primo; diversamente, che n composto. La procedura richiede al pipn

operazioni (di divisione).Forti di queste considerazioni, supponiamo di voler vericare se il numero 10100 +

1 primo o composto (si tratta di un numero di 101 cifre, quindi grande ma nongrandissimo). La procedura richiede al pi

p10100 + 1 operazioni, ossia al pi circa 1050

operazioni. Supponiamo di possedere un potentissimo calcolatore in grado di svolgere1010 (dieci miliardi) operazioni al secondo. Poich in un anno vi sono 31:536:000secondi, cio circa 3 107 secondi, il nostro calcolatore in un anno in grado di svolgerecirca 3 107 1010 = 3 1017 operazioni. Per svolgere le operazioni che la procedurapotrebbe richiedere, il nostro calcolatore ha bisogno di

1050

3 1017 =1

31033

anni. meglio cominciare subito...

Si osservi che, se conosciamo la rappresentazione primale di due numeri naturali ne m, possiamo facilmente determinare il loro massimo comune divisore. Per esempio,da

3801 = 3 7 181 e 1708 = 22 7 61segue subito che mcd (3801; 1708) = 7, il che conferma quanto gi determinato conlalgoritmo di Euclide. Vista la grande di colt di fattorizzare i numeri naturali,losservazione per di scarsa importanza dal punto di vista computazionale. percibene tenersi caro lalgoritmo di Euclide che in grado di calcolare, con ragionevolee cienza grazie al Teorema di Lam, i massimi comuni denominatori senza doverpassare tramite alcuna fattorizzazione.

Ma quanti sono?

Vista limportanza dei numeri primi, naturale chiedersi quanti siano. Il prossimoceleberrimo risultato, dovuto a Euclide, mostra che essi sono inniti. Dopo il Teorema8, la seconda notevolissima gemma della matematica classica che abbiamo la fortunadi incontrare nel volgere di poche pagine.

17Una delle ragioni per cui lo studio di test di fattorizzazione un attivo campo di ricerca che ladi colt di fattorizzare i numeri naturali sfruttata dalla moderna crittograa per costruire codiciimpenetrabili.


Teorema 14 (Euclide) Esistono inniti numeri primi.

Dim. La dimostrazione per contraddizione. Supponiamo esista un numero nito dinumeri primi e indichiamoli con p1 < p2 < < pn. Si ponga

q = p1 p2 pn

e m = q + 1. Il numero naturale m maggiore di tutti i numeri primi, ed quindiun numero composto. Per il Teorema fondamentale dellaritmetica, esso dunquedivisibile per almeno uno dei numeri primi p1, p2, ..., pn. Indichiamo tale divisorecon p. Entrambi i numeri naturali m e q sono quindi divisibili per p. Ne segue cheanche la loro dierenza, ossia il numero naturale 1 = m q, divisibile per p , il che impossibile perch p > 1. La contraddizione mostra che lassunzione che esista unnumero nito di numeri primi falsa.

In conclusione, abbiamo visto alcune nozioni di base di Teoria dei numeri, la bran-ca della Matematica che si occupa delle propriet dei numeri interi. uno dei campipi aascinanti e di cili della Matematica, con risultati di grande profondit, spes-so relativamente facili da enunciare ma di cili da dimostrare. Lesempio classico alriguardo il famoso Ultimo Teorema di Fermat, il cui enunciato molto semplice: sen 3 non esistono tre numeri interi positivi x, y e z tali che xn + yn = zn. Grazie alTeorema di Pitagora sappiamo che per n = 2 tali terne di interi esistono (per esempio,32+42 = 52); lUltimo Teorema di Fermat aerma che n = 2 in realt lunico caso incui questa notevole propriet vale. Enunciato da Fermat, il teorema stato dimostratonel 1994 da Andrew Wiles dopo pi di tre secoli di inutili tentativi.

1.4 Struttura dordine di RVolgiamo ora la nostra attenzione allinsieme R dei numeri reali, centrale per le appli-cazioni. Unimportante propriet di R la possibilit di ordinare gli elementi tramitela disuguaglianza . Il signicato intuitivo di tale disuguaglianza chiaro: dati duereali a e b, si ha a b quando a grande almeno quanto b.Consideriamo le seguenti propriet della disuguaglianza :

(i) riessivit: a a;

(ii) antisimmetria: se a b e b a, allora a = b;

(iii) transitivit: se a b e b c, allora a c;

(iv) completezza: per ogni coppia a; b 2 R, si ha a b oppure b a (o entrambe);

(v) indipendenza additiva: se a b, allora a+ c b+ c per ogni c 2 R.

1.4. STRUTTURA DORDINE DI R 39

(vi) indipendenza moltiplicativa: sia a b; allora

ac bc se c > 0

ac = bc = 0 se c = 0

ac bc se c < 0

(vii) separazione: dati due insiemi di numeri reali A e B, se a b per ogni a 2 A eb 2 B, allora esiste c 2 R tale che a c b per ogni a 2 A e b 2 B.

Le prime tre propriet hanno unovvia interpretazione. La completezza garantisceche, dati due numeri reali qualsiasi, essi possano sempre essere ordinati. Lindipen-denza additiva fa s che lordinamento iniziale tra due reali a e b non sia alterato dalsommare a entrambi uno stesso reale c. Lindipendenza moltiplicativa considera invecela stabilit di tale ordinamento rispetto alla moltiplicazione.Inne, la separazione permette di separare due insiemi tra loro ordinati da

ossia tali che ogni elemento delluno maggiore o uguale a ogni elemento dellaltro tramite un numero reale c, detto elemento separatore18.

La forma stretta a > b della disuguaglianza debole indica che a strettamentepi grande di b. In termini di si ha a > b se e solo se b a, cio la disuguaglianzastretta si pu vedere come negazione della disuguaglianza debole (di verso opposto).In ogni caso, il lettore pu vericare che transitivit e indipendenza, additiva e molti-plicativa, valgono anche per la disuglianza stretta, sostituendo con >. Lasciamo allettore vericare che le altre propriet della disuglianza non valgono, invece, per >.

La struttura dordine, caratterizzata dalle propriet (i)-(vii), fondamentale inR. Prima di iniziarne lo studio, introduciamo grazie a e > alcuni sottoinsiemifondamentali di R:

(i) gli intervalli chiusi limitati [a; b] = fx 2 R : a x bg;

(ii) gli intervalli aperti limitati (a; b) = fx 2 R : a < x < bg;

(iii) gli intervalli semichiusi (o semiaperti) limitati (a; b] = fx 2 R : a < x bg e[a; b) = fx 2 R : a x < bg.

Sono inoltre importanti

18Si noti che la propriet vale anche per N e Z, ma non per Q. Per esempio, gli insiemi A =q 2 Q : q < p2 e B = q 2 Q : q > p2 non hanno un elemento separatore razionale, come illettore potr vericare alla luce di quanto vedremo nella Sezione 1.4.3.


(iv) gli intervalli illimitati19 [a;1) = fx 2 R : x ag e (a;1) = fx 2 R : x > ag,nonch i loro analoghi (1; a] e (1; a). In particolare, la semiretta positiva[0;1) spesso indicata con R+, mentre R++ indica (0;1), ossia la semirettapositiva privata dellorigine.

Luso degli aggettivi aperto, chiuso e illimitato diverr chiaro nel Capitolo 5. Persemplicit di notazione, nel seguito (a; b) star ad indicare sia un intervallo apertolimitato sia gli illimitati (a;1), (1; b) e (1;1) = R. Analogamente, con (a; b]e [a; b) si indicheranno sia gli intervalli semichiusi limitati sia gli illimitati (1; b] e[a;1).

1.4.1 Massimi e minimi

Denizione 8 Sia A R un insieme non vuoto di numeri reali. Un numero h 2 Rsi dice maggiorante di A se pi grande (meglio, non pi piccolo) di ogni elemento diA, ossia se20

h x 8x 2 A;mentre si dice minorante di A se pi piccolo (meglio, non pi grande) di ognielemento di A, ossia se

h x 8x 2 A:

Per esempio, se A = [0; 1], il numero 3 un maggiorante e il numero 1 un mino-rante poich 1 x 3 per ogni x 2 [0; 1]. In particolare, linsieme dei maggiorantidi A lintervallo [1;1) e linsieme dei minoranti lintervallo (1; 0].Indicheremo con A linsieme dei maggioranti di A e con A linsieme dei minoranti.

Nellesempio appena visto, A = [1;1) e A = (1; 0].Facciamo alcune semplici osservazioni:

(i) Maggioranti e minoranti possono non appartenere allinsieme A: il maggiorante3 e il minorante 1 di [0; 1] ne sono un esempio.

(ii) Maggioranti e minoranti possono non esistere. Per esempio, per linsieme deinumeri pari

f0; 2; 4; 6; g (1.14)non esiste alcun reale che sia pi grande di tutti: linsieme non ha maggioranti.Analogamente, linsieme

f0;2;4;6; g (1.15)19Quando non vi sia pericolo di equivoci, scriveremo semplicemente 1 in luogo di +1. Il simbolo

1 fu introdotto nella Matematica da John Wallis nel Seicento e richiama una curva detta lemniscatae una specie di cappello o di aureola (simbolo di forza) posto sul capo di alcune gure dei tarocchi:in ogni caso non un 8 coricato20Il quanticatore universale 8 si legge per ogni. Quindi, la scrittura 8x 2 A si legge per ogni

elemento x appartenente allinsieme A.


non ha minoranti, mentre linsieme degli interi Z un semplice esempio di insiemeche non ha n maggioranti n minoranti.

(iii) Se h un maggiorante, lo anche ogni h0 > h, e, analogamente, se h unminorante, lo anche ogni h00 < h. Quindi, se esistono, maggioranti e minorantinon sono unici.

Usando maggioranti e minoranti, diamo una prima classicazione degli insiemi dellaretta reale.

Denizione 9 Un insieme non vuoto A R si dice:

(i) superiormente limitato se ha un maggiorante, ossia se A 6= ;;(ii) inferiormente limitato se ha un minorante, ossia se A 6= ;;(iii) limitato se sia superiormente sia inferiormente limitato.

Per esempio, lintervallo chiuso [0; 1] limitato poich sia superiormente sia infe-riormente limitato, mentre linsieme (1.14) dei pari inferiormente, ma non superior-mente, limitato (infatti, abbiamo visto come non abbia maggioranti). Analogamente,linsieme (1.15) superiormente, ma non inferiormente, limitato.Si noti che questa classicazione degli insiemi non esaustiva: esistono insiemi che

non ricadono in alcuno dei punti (i)-(iii) della precedente denizione. Per esempio,Z non ha n maggioranti n minoranti in R, e quindi non soddisfa nessuno dei punti(i)-(iii). Tali insiemi si dicono illimitati .

Introduciamo ora una fondamentale classe di maggioranti e minoranti.

Denizione 10 Dato un insieme non vuoto A R, un elemento x^ di A si dicemassimo di A se il pi grande elemento di A, ossia se

x^ x 8x 2 A;

mentre si dice minimo di A se il pi piccolo elemento di A, ossia se

x^ x 8x 2 A:

La caratteristica cruciale della denizione la richiesta che massimo e minimoappartengano allinsieme A considerato. immediato vedere come massimi e minimisiano, rispettivamente, particolari maggioranti e minoranti. In eetti, essi non sonoaltro che maggioranti e minoranti che appartengono allinsieme A.

Esempio 6 Lintervallo chiuso [0; 1] ha minimo 0 e massimo 1. N


Molte applicazioni economiche vertono sulla ricerca dei massimi o dei minimi diopportuni insiemi di possibilit alternative. Purtroppo, si tratta di nozioni piuttostofragili perch spesso gli insiemi non ammettono massimi o minimi.

Esempio 7 Lintervallo semichiuso [0; 1) ha minimo 0, ma non ha massimo. Infatti,supponiamo per contraddizione che esista un massimo x^ 2 [0; 1), ossia che valga x^ xper ogni x 2 [0; 1). Si ponga

~x =1

2 x^+ 1

2 1:

Poich x^ < 1, si ha x^ < ~x. Ma immediato vedere che ~x 2 [0; 1), il che contraddice ilfatto che x^ sia massimo di [0; 1). N

Ragionando in modo analogo si vede che:

(i) lintervallo semichiuso (0; 1] ha massimo 1 ma non ha minimo;

(ii) lintervallo aperto (0; 1) non ha n minimo n massimo.

Quando esistono, massimi e minimi sono unici:

Proposizione 15 Un insieme A R ha al pi un solo massimo e un solo minimo.

Dim. Siano x^1; x^2 2 A due massimi di A. Mostriamo che x^1 = x^2. Poich x^1 unmassimo, si ha x^1 x per ogni x 2 A. In particolare, poich x^2 2 A, si ha x^1 x^2.Analogamente, x^2 x^1 perch anche x^2 un massimo, e quindi x^1 = x^2. In modosimile si mostra lunicit del minimo.

Il massimo di un insieme A si indica con maxA, e il suo minimo con minA. Peresempio, per A = [0; 1], si ha maxA = 1 e minA = 0.

1.4.2 Estremi superiore e inferiore

Poich massimi e minimi sono essenziali nelle applicazioni (e non solo in esse), laloro fragilit un problema sostanziale. Per alleviare tale problema cerchiamo unsurrogato, cio una nozione concettualmente simile, ma meno fragile, cos da averlaa disposizione anche quando non si hanno massimi o minimi.Consideriamo prima i massimi21. Losservazione dalla quale partire che il massi-

mo, quando esiste, il pi piccolo dei maggioranti, ossia

maxA = minA: (1.16)

Sia x^ 2 A il massimo di A. Se h un maggiorante di A, si ha infatti h x^ poichx^ 2 A. Daltra parte, x^ a sua volta un maggiorante e si ha quindi luguaglianza(1.16).

21Come gi menzionato, in Economia i massimi hanno un ruolo di primaria importanza.


Esempio 8 Abbiamo visto che linsieme dei maggioranti di [0; 1] lintervallo [1;1).In questo esempio luguaglianza (1.16) prende la forma max [0; 1] = min [1;1). NQuando esiste, il massimo quindi il pi piccolo dei maggioranti. Ma, il pi

piccolo dei maggioranti, ossia minA, pu esistere anche quando il massimo non esiste.Per esempio, consideriamo A = [0; 1): il massimo non esiste, ma il pi piccolo deimaggioranti esiste ed 1, cio minA = 1.Tutto ci candida il pi piccolo dei maggioranti a essere il surrogato del massimo di

cui siamo alla ricerca. In eetti, nellesempio appena visto, il punto 1 , in mancanzadi un massimo, il valore che pi gli vicino in spirito.Ragionando in modo analogo, il pi grande dei minoranti, ossia maxA, il can-

didato naturale a surrogare il minimo, quando questi non esista. Motivati da quantoprecede, diamo la seguente denizione.

Denizione 11 Dato un insieme non vuoto A R, si dice estremo superiore di A ilpi piccolo dei maggioranti di A, ossia minA, ed estremo inferiore il pi grande deiminoranti di A, ossia maxA.

Grazie alla Proposizione 15, sia lestremo superiore sia linferiore di A, quandoesistono, sono unici. Li indichiamo con la notazione supA e inf A. Per esempio, seA = (0; 1), si ha inf A = 0 e supA = 1.Come s gi detto, se inf A 2 A, esso ne il minimo e, se supA 2 A, ne il

massimo.

Sebbene gli estremi superiore e inferiore possano esistere in assenza di massimi eminimi, anchessi non sempre esistono.

Esempio 9 Consideriamo linsieme A dei numeri pari in (1.14). In questo caso A = ;e lestremo superiore non esiste. Pi in generale, se A non superiormente limitato, siha A = ; e lestremo superiore non esiste. In modo analogo, gli insiemi che non sonoinferiormente limitati non hanno estremo inferiore22. NAbbiamo trovato un ragionevole surrogato per le nozioni sia di massimo sia di

minimo, ossia lestremo superiore e linferiore. Tuttavia, per essere utili, occorre cheessi esistano per una classe su cientemente ampia di insiemi; diversamente, se anche laloro esistenza fosse spesso problematica, sarebbero di ben poco aiuto come surrogati23.Per fortuna, il prossimo importante risultato, il Teorema di completezza dei reali,

garantisce lesistenza degli estremi per unampia classe di insiemi, mostrando che gliinsiemi del tipo visto nellultimo esempio sono in eetti gli unici per i quali non esistonogli estremi.22Qualora A non ammetta estremo superiore, si usa scrivere supA = +1 e, qualora non ammetta

estremo inferiore, inf A = 1. Si pone inoltre convenzionalmente sup ; = 1 e inf ; = +1. Ci motivato dalla circostanza che ogni numero reale da considerare simultaneamente un maggiorantee un minorante di A: naturale allora concludere che sup ; = inf ; = inf R = 1 e inf ; = sup ; =supR =+1.23Lutilit di un surrogato dipende sia da quanto bene esso approssimi loriginale sia da quanto

ampia sia la sua disponibilit.


Teorema 16 (di completezza dei reali) Ogni insieme A R non vuoto e superi-ormente limitato possiede estremo superiore; se A non vuoto e inferiormente limitatopossiede estremo inferiore.

Dim. Ci limitiamo alla prima aermazione. Dire che A superiormente limitatosignica che ammette qualche maggiorante, cio che A non vuoto. Poich a h perogni a 2 A e ogni h 2 A, per la propriet di separazione esiste un elemento separatorec 2 R tale che a c h per ogni a 2 A e ogni h 2 A. Poich c a per ogni a 2 A,si ha che c un maggiorante di A, sicch c 2 A. Ma, da c h per ogni h 2 A segueche c = minA, ossia c = supA. Ci prova lesistenza dellestremo superiore di A.

Quindi, eccetto gli insiemi non superiormente limitati, tutti gli altri insiemi in Rammettono estremo superiore. Analogamente, eccetto gli insiemi non inferiormentelimitati, tutti gli altri insiemi in R hanno estremo inferiore. Ci conferma che gliestremi superiori e inferiori sono in eetti ottimi surrogati, sulla cui esistenza possiamocontare per unamplissima classe di insiemi di R.Si osservi che, grazie al Teorema di completezza dei reali, tutti gli insiemi limitati

hanno estremo sia superiore sia inferiore.

1.4.3 Densit

La struttura dordine utile anche per chiarire i rapporti tra gli insiemi N, Z, Q e R.Come prima cosa rendiamo rigorosa una intuizione naturale: per quanto grande sia unnumero reale, esiste sempre un numero naturale pi grande. Si tratta della cosiddettapropriet archimedea dei reali.

Proposizione 17 Per ogni reale a 2 R esiste un naturale n 2 N tale che n a.Dim. Sia a 2 R. Poich linsieme N non superiormente limitato, a non un suomaggiorante. Esiste qu

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Dispense di Matematica Generale ed Economia