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MATAGRIA

Primi passi nella

modellizzazione matematica

UNIVERSITÀUNIVERSITÀUNIVERSITÀUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIADEGLI STUDI DI PERUGIADEGLI STUDI DI PERUGIADEGLI STUDI DI PERUGIA

FACOLTÀ DI AGRARIA

Dispense integrative dei corsi di Matematica

con esercizi svolti e proposti

a.a. 2010-2011

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MATAGRIA

Primi passi nella modellizzazione matematica

Rita Ceppitelli

Introduzione. Queste dispense vogliono accompagnare gli studenti durante la

preparazione del corso di Matematica, facilitandoli nella comprensione dei concetti fondamentali e fornendo loro un ricco materiale su cui esercitarsi.

In linea con lo stile delle lezioni, si tende a sottolineare come la matematica possa interagire con tutte le altre discipline scientifiche fornendo brillanti risposte. Si parla di modello matematico e ormai questa espressione è di uso corrente, usata sempre più spesso dai mass media. L’evoluzione dell’Informatica, la disponibilità di computers sempre più potenti e la consapevolezza di poter meglio risolvere i problemi ha dato un forte impulso alla ricerca e allo studio della modellizzazione matematica.

Un modello matematico è l’interpretazione in termini matematici di un fenomeno reale e serve a comprendere meglio il fenomeno stesso e a fornire previsioni sul suo andamento futuro. La rappresentazione grafica ha, in questo contesto, un ruolo importante. Si pensi, ad esempio, al tracciato di un elettrocardiogramma che dà immediatamente al cardiologo informazioni preziose sullo stato di salute del paziente.

I concetti matematici sono introdotti a partire da semplici problematiche reali che sono prima riformulate in termini matematici con il linguaggio appropriato (modello matematico) e quindi risolte con i metodi matematici opportunamente sviluppati. Il linguaggio usato è snello e di facile lettura, ma rigoroso nei contenuti. Questa impostazione dell’insegnamento cerca di dare allo studente una conoscenza della matematica che non sia fine a se stessa (o con il solo scopo di superare l’esame di profitto), ma risulti proficua e valida nello studio delle successive discipline professionalizzanti e più tardi nel mondo del lavoro. La prima parte delle dispense è tratta da Primo Brandi, Rita Ceppitelli, Anna Salvadori, Introduzione elementare alla modellizzazione matematica, Innovazione didattica & matematica, Progetto 2000, Università degli Studi di Perugia, redatto nell’ambito del vasto progetto Innovamatica relativo alla formazione universitaria di base e secondaria superiore. La seconda parte è un vero patrimonio di esercizi, molti dei quali rappresentano semplici modelli matematici, raccolti negli anni di insegnamento in questa facoltà. Ringrazio la dott.ssa Lucia Marinacci, che con tanto entusiasmo e competenza ha curato la parte degli esercizi svolti e la dott.ssa Francesca Maccarino che ha collaborato alla revisione di questa edizione.

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CAPITOLO I

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA REALTÀ : ALCUNI ESEMPI I.1. Una situazione climatica critica Nell’estate del 1990 le temperature nel Sud-Ovest degli Stati Uniti raggiunsero livelli da record, al punto che alcune compagnie aeree dirottarono i loro voli, ritenendo non fosse prudente atterrare negli aeroporti della zona. Nella tabella seguente sono riportate le temperature a Phoenix, Arizona, dal 19 al 29 Giugno 1990.

GIUGNO 1990 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Temp. (°C) 43 45 46 45 45 45 49 50 48 48 42

4

La temperatura è funzione della data: ad ogni giorno infatti corrisponde uno ed un solo valore della temperatura. Anche se non siamo in grado di determinare una relazione algebrica (formula) che esprima il legame tra la variabile indipendente (input) e quella dipendente (output), riportando i dati della tabella su un grafico possiamo avere un’idea più chiara di come si comporta il fenomeno.

38

40

42

44

46

48

50

52

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29t

°C

38

40

42

44

46

48

50

52

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

t

°C

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I.2. Grafici a confronto Abbina le azioni descritte nei numeri seguenti ai rispettivi grafici in figura (completando il numero 4). 1) Dopo essere partito, mi sono accorto di aver lasciato a casa il libro di matematica e

sono tornato indietro. 2) Mi sono incamminato lentamente, poi ho corso per arrivare in tempo. 3) Sono partito di corsa, ma dopo un po’ ero già stanco ed ho dovuto rallentare. 4) ……………………………..

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I.3. La domanda e l’offerta nella produzione indus triale Gli esperti di marketing sanno bene che le vendite di un certo prodotto dipendono dal prezzo imposto. Si tratta di pensare alla quantità q di manufatto venduta come funzione del prezzo unitario p. Poiché la reazione del produttore e quella del consumatore alle variazioni di prezzo sono differenti, si hanno in generale due diverse rappresentazioni grafiche della relazione tra p e q. Adottando la convenzione degli economisti1, la variabile indipendente (prezzo) è rappresentato sull’asse verticale e quella dipendente (quantità) in quello orizzontale. Entrambi i grafici seguenti descrivono la dipendenza della produzione industriale dal prezzo di vendita. Figura a Figura b La figura (a) mostra la curva dell’offerta che descrive il fenomeno con l’ottica del produttore:

1 Per ragioni storiche gli economisti adottano una rappresentazione grafica in cui la variabile indipendente è situata sull’asse verticale. I matematici (e tutti gli altri scienziati), invece, rappresentano la variabile indipendente sull’asse orizzontale.

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- po è il prezzo minimo di vendita; esso ingloba le spese fisse di produzione e rappresenta la soglia sotto la quale il produttore non è interessato a produrre,

- al crescere del prezzo di vendita la produzione aumenta (FUNZIONE CRESCENTE) in quanto il produttore è interessato ad incrementare la produzione per aumentare i guadagni.

La figura (b) rappresenta la curva della domanda che descrive la richiesta del prodotto da parte del consumatore : - al crescere del prezzo di vendita la richiesta diminuisce (FUNZIONE

DECRESCENTE), p1 rappresenta il prezzo massimo che i consumatori sono disposti a pagare per il prodotto.

La figura mostra i due grafici sovrapposti: il punto di intersezione rappresenta una posizione di equilibrio tra la domanda e l’offerta.

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I.4. La catena di montaggio

La rappresentazione seguente mostra la produttività di una linea di assemblaggio industriale (es. auto, computer, ....) in funzione del numero di operai impiegati contemporaneamente.

Come si vede la produzione aumenta con il crescere del numero degli operai fino ad un certo valore ñ al di là del quale aumentare il numero degli operai è addirittura controproducente. Si osservi che la crescita della produzione da 0 ad ñ non è costante, infatti essa è più rapida all’inizio e man mano diminuisce. Si consideri, ad esempio, l’aumento tra 10n0 ≤≤ e tra

40n30 ≤≤ (FUNZIONE CONCAVA).

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CAPITOLO II

MODELLIZZAZIONE DEL MONDO REALE: LE FUNZIONI ELEMENTARI

II.1. Funzioni lineari II.1.1. Il record olimpionico del salto con l’ast a Nei primi anni delle olimpiadi dell’era moderna il record del salto con l’asta è cresciuto, approssimativamente, secondo la tabella seguente:

ANNI 1900 1904 1908 1912 ALTEZZA(metri) 3.33 3.53 3.73 3.93

Stabilire se c’è una legge matematica che descrive il processo e, in caso affermativo, determinarla.

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Costruzione del modello. I dati evidenziano che in ogni olimpiade dal 1900 al 1912 il record è migliorato di 20 cm

Come si vede i punti del grafico si dispongono lungo una retta. Il rapporto, infatti, tra l’aumento del record e l’intervallo di tempo tra due olimpiadi successive è costante e dà una misura dell’inclinazione della retta.

Inclinazione 0.054

0.2

intervalloampiezza

incremento ===

E’ facile quindi individuare la legge di tale processo:

3.33x0.05y +⋅= L’intercetta sull’asse delle y, pari a 3.33, dà il valore del record all’istante iniziale 0t = (nel caso particolare l’anno 1900).

II.1.1. Approfondimento. Ipotizzando che l’andamento lineare rappresenti il fenomeno nel corso dell’intero millennio, determinare i valori del record del salto con l’asta previsti fino al 2000 e confrontarli con i valori reali fino al 1996. Trarre le conclusioni del caso.

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II.1.2. Gestori telefonici a confronto In un settimanale è stata recentemente riportata la seguente tabella Individuare un modello matematico che descriva la situazione e che permetta di stabilire quale sia l’offerta più conveniente. Costruzione del modello. Innanzi tutto denotiamo (per semplicità) con A, B e C i tre gestori. Se x rappresenta il tempo di durata di una telefonata, la spesa relativa, a seconda che si scelga A, B o C, sarà

x66)x(s

x34120)x(s

x37120)x(s

C

B

A

=+=+=

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Si tratta quindi di tre funzioni lineari, cioè di tre rette. Denotiamole rispettivamente con Ar ,

Br ed Cr . Per confrontare le tre spese, riportiamo i grafici delle tre rette nello stesso sistema

di riferimento cartesiano, ove sull’asse delle ascisse è riportata la durata della telefonata, in quello delle ordinate la spesa.

Risposta alla domanda (soluzione del modello). Dal grafico si deduce immediatamente che - per telefonate di durata inferiore ad x è più conveniente il gestore C - se la durata della telefonata è pari ad x è indifferente scegliere i gestori C o B - se la telefonata supera x il gestore più conveniente è B. Inoltre si “vede” anche che - il gestore C continua ad essere più conveniente rispetto al gestore A per telefonate di

durata compresa tra x ed x - per telefonate di durata pari ad x è indifferente scegliere tra C o A - se la telefonata supera la durata x il gestore C è più conveniente degli altri due - il gestore B è sempre più conveniente di A. I punti x e x sono anche detti punti di indifferenza .

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Per calcolare i punti di indifferenza, individuiamo le ascisse dei punti di intersezione delle rette

Br , Cr ed Ar , Cr .

( )( )

=+=

x66xs

x34120xs

C

B⇒ 75.3xx66x34120 =⇒=+

1.4xx66x37120x66)x(s

x37120)x(s

C

A =⇒=+⇒

=+=

Pertanto risulta 1.4x,75.3x == In conclusione: per telefonate di durata fino a tre minuti conviene il gestore C, per telefonate più lunghe conviene il gestore B. II.1.3. Tariffario Enel a scaglioni Sul retro della bolletta dell’energia elettrica si legge (indirizzato all’utente): Costo dell’energia elettrica In Italia le tariffe dell’energia elettrica sono decise dalla Autorità per l’energia e il gas e sono legalmente vincolanti.

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La somma che lei paga è composta da:

• una quota fissa che le garantisce la disponibilità dell’energia elettrica;

• una quota variabile che corrisponde ai suoi consumi; • una parte di imposte statali e locali, che sono stabilite in base alla legge.

Consultando il sito dell’Enel si possono trovare le seguenti informazioni. L’energia elettrica è fatturata per scaglioni in relazione al consumo mensile. L’utente (se residente nell’abitazione oggetto della fornitura) deve pagare una quota

fissa mensile di £ 3.280 e un importo variabile a seconda dei consumi, in base alla seguente tabella

Tipo di contratto (kW impiegati)

Consumi mensili (kWh) Lire/ kWh

fino a 75 96.4 da 76 a 150 133.3 da 151 a 225 230.3

da 1.5 a 3

oltre 225 263.3 Concorrono all’importo della fattura imposte locali e regionali (che qui trascuriamo). L’importo totale è soggetto ad IVA del 10%. Individuare un modello matematico che permetta di stabilire l’importo dovuto dall’utente in funzione del consumo mensile. Costruzione del modello Denotiamo con x la quantità di kW consumati in un mese. Dalla tabella si deduce immediatamente la legge della funzione “costo unitario”:

<≤<

≤<≤≤

=

x2253.263

225x1513.230

150x753.133

75x04.96

)x(c

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Se, per semplicità in un primo tempo trascuriamo l’IVA, la spesa mensile è data da

)x(cx280.3)x(s += e, tenuto conto dell’espressione di c(x), si ha:

<−+≤<−+

≤<−+≤≤+

=

x225)225x(3.263)225(s

225x150)150x(3.230)150(s

150x75)75x(3.133)75(s

75x0x4.96280.3

)x(s

Riassumendo si ha quindi

<+−≤<+−

≤<+≤≤+

=

x225x3.2632.41324

225x150x3.2302.33899

150x75x3.1335.512

75x0x4.96280.3

)x(s

il cui grafico è rappresentato in figura

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Se ora teniamo conto dell’IVA al 10%, la spesa mensile diventa

)x(s1.1)x(s100

10)x(s)x(s~ =+=

cioè

<+−≤<+−≤<+≤≤+

=

x225x63.28962.45456

225x150x33.25312.37289

150x75x63.14675.563

75x0x04.106608.3

)x(s~

il cui grafico è il seguente

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Sovrapponendo i due grafici si ha un’idea precisa di quanto influisca l’IVA sull’importo mensile.

II.1.4. Rent a car An auto rental firm offers cars at $40 at day and 15 cents per kilometer. Its competitor’s cars are $50 a day and 10 cents per kilometer.

II.1.2. Approfondimento.

a) For each company, write a formula giving the cost of renting a car for a day as a function of the distance traveled.

b) On the same axes, sketch graphs of both function. c) How should you decide which company is cheaper?

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II.2. Funzione esponenziale II.2.1. Le note musicali La tonalità di una nota musicale è determinata dalla frequenza della vibrazione che la origina. Ad esempio, il DO centrale nel pianoforte corrisponde ad una vibrazione di 263 Hz (hertz). La nota, un’ottava superiore il DO centrale, corrisponde a 526 Hz; e la nota, due ottave superiore, corrisponde a 1052 Hz.

Tabella 2.1

Numero di ottave rispetto al DO centrale

Numero di hertz ( )nfV = n2263⋅=

-3 875.322263 3 =⋅ − -2 75.652263 2 =⋅ − -1 5,1312263 1 =⋅ − 0 2632263 0 =⋅ 1 5262263 1 =⋅ 2 10522263 2 =⋅ 3 21042263 3 =⋅ 4 42082263 4 =⋅

In questo caso si ha anche una relazione funzionale (della tonalità in funzione dell’altezza)

( )nfV = , che è espressa dalla formula: n2263V ⋅=

Si tratta di una FUNZIONE ESPONENZIALE di base 2, che esprime il fatto che quando si cresce di un’ottava, la frequenza delle vibrazioni raddoppia. In un pianoforte n varia da -3 a 4, ma gli esseri umani possono udire note corrispondenti a valori di n compresi tra -4 e 7.

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Sebbene in termini musicali la relazione

( ) n2263nfV ⋅== ha senso solo per alcuni valori interi di n, la funzione

( ) x2263xf ⋅=

può essere valutata in corrispondenza ad ogni valore reale x.

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II.2.2. Mitosi cellullare La cellula, come ogni entità vivente, tende a svilupparsi, ad invecchiarsi e ad essere sostituita da cellule più giovani. Tale rinnovo avviene mediante complessi processi di suddivisione cellulare. La MITOSI è il processo mediante il quale, per fasi successive, da una cellula diploide se ne formano due con lo stesso patrimonio cromosomico. Ciò è possibile in quanto nella prima fase di mitosi il DNA raddoppia e ogni cromosoma si duplica. Individuiamo il modello matematico che descrive il numero di cellule presenti nel fenomeno della mitosi, partendo da una sola cellula madre. Sarà forse sorprendente osservare che il modello matematico della mitosi e quello che governa la tonalità delle note musicali sono identici. Costruzione del modello. Denotato con N0 il numero cellule allo stadio zero, si ha N0=1 N1=2 N0 N2=2 N1= 22 N0 N3=2 N2 =23 N0 pertanto il numero Nn di cellule presenti alla generazione n-esima è dato da

Nn=2 Nn-1=2n N0

Si tratta ancora di una crescita esponenziale in base 2.

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II.3. Funzioni polinomiali II.3.1. Stopping Distance According to the April 1991 issue of Car and Driver, an Alfa Romeo going at 112 km/h requires 54 metres to stop.

II.3.1. Approfondimento. Assuming that the stopping distance is proportional to the square of velocity, find the stopping distances required by an Alfa Romeo going at 56 km/h and at 224 km/h (its top speed). Suggerimento Seguendo la direttiva del Ministero dei Trasporti, si assuma pari ad un secondo il tempo di reazione e si calcoli lo spazio di frenata (proporzionale al quadrato della velocità v) con la formula

f

vs

250

2

=

ove il coefficiente di aderenza f, dipendente dalle condizioni del fondo stradale, è fornito dalla tabella seguente.

Coefficienti di aderenza f Strada asfaltata asciutta con fondo granuloso 0.8

Strada asfaltata ruvida 0.6

Strada asfaltata liscia 0.5

Strada asfaltata bagnata 0.4

Strada con fanghiglia 0.3

Strada ghiacciata 0.1

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II.3.2. Caduta libera dei gravi Sono famosi gli esperimenti eseguiti da Galileo Galilei dalla torre pendente di Pisa per formulare un modello matematico che descriva la legge di caduta di un grave.

II.3.2. Approfondimento. Dai seguenti dati sperimentali dedurre la legge Galileiana.

Tabella 1

Altezza di caduta (metri)

0 10 20 30 50

Tempo (s) 0 1.4 2.0 2.5 3.2

. Supposto che la velocità di caduta sia proporzionale al tempo dedurre la relazione tra altezza di caduta e velocità.

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Capitolo III

Problemi di ottimizzazione In diverse situazioni della vita reale ci si trova ad affrontare problemi di ottimizzazione. Si tratta cioè di individuare opportune strategie che permettano di minimizzare costi, sprechi, …, etc … o di massimizzare risorse, profitti,…, etc, oppure di ottenere la forma “ottimale” di una struttura. Presentiamo qui alcuni esempi di problemi elementari di ottimizzazione.

III.1. Scelta dell’alloggio . a) Lucia la mattina va a lezione al Dipartimento di Matematica e il pomeriggio va a studiare da Maria. Pranza e

cena a casa. Dopo cena si ferma al Pub per incontrare gli amici.

E’ alla ricerca di un nuovo alloggio e vorrebbe sceglierlo in modo da ottimizzare i suoi spostamenti giornalieri. Dove deve cercarlo?

b) Clara, la sua compagna di stanza, occupa la giornata allo stesso modo, ma la mattina prima di colazione, che consuma a casa, si reca a fare jogging nel parco. Se anche lei cercasse un alloggio che ottimizzasse i suoi spostamenti, le converrebbe cercarsi un’altra compagna?

Costruzione del modello.

a) Considerato un sistema di riferimento con origine in O, denotiamo con x la coordinata del punto A, nuovo alloggio di Lucia. E’ intuitivo (e può essere facilmente dimostrato) che il nuovo alloggio di Lucia deve trovarsi fra l’Università e la casa di Maria, cioè 22x0 ≤< , con 8x ≠ .

8 Km 14 Km

Tenuto conto degli spostamenti di Lucia, il suo percorso giornaliero tipo è il seguente: mattino: casa-università-casa lunghezza del percorso: x2 ⋅

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pomeriggio: casa-Maria-casa

lunghezza del percorso: ( )x222 −⋅

sera: casa-Pub-casa

lunghezza del percorso:

( )

( )

≤≤−⋅

≤<−⋅=−⋅

8x0sex82

22x8se8x2

8x2

Si osservi infatti che a priori non sappiamo se il punto A è posto a destra o a sinistra di P. Pertanto la lunghezza totale del percorso è data da

≤≤+

≤≤−=−⋅+=

22x8se28x2

8x0sex260

8x244)x(L

Soluzione del modello (risposta alla domanda). La funzione L assume il valore minimo nel punto 8x 0 = .

Questa soluzione, però non è accettabile in quanto non si può trovare alloggio nel Pub. Pertanto il problema non ammette soluzione. Cosa potrà fare Lucia? Dovrà accontentarsi di una soluzione approssimata, cioè dovrà scegliere la casa più vicina al Pub che riesce a trovare.

b) Il percorso di Clara differisce da quello di Lucia per l’aggiunta del tragitto casa-parco-casa,

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8 Km 12 Km 2 Km quindi la lunghezza del percorso complessivo è data da

≤≤−<≤<≤−

=−⋅+=22x2012x4

20x868

8x0x2100

x202)x(L)x(C

Soluzione del modello (risposta alla domanda).

In questo caso il problema ammette infinite soluzioni: tutti i valori di ] [20,8x ∈ .

La soluzione ottimale per Clara e Lucia è scegliere fra le case disponibili a destra del Pub, quella più vicina al Pub.

III.2. Un problema di “optimal shape”. Una gronda è costituita da una striscia di rame di larghezza L, la cui sezione trasversale è rappresentata in figura. Determinare la lunghezza del tratto orizzontale AB che rende massima la capacità della gronda. Costruzione del modello.

Posto xAB = , il problema consiste nel determinare i valori di x (e quindi i valori di r) tali che la superficie tratteggiata abbia area massima. E’ facile vedere che tale superficie è data da

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1x0r4

2xrS 2 ≤≤⋅π+=

Osserviamo che le dimensioni x ed r sono collegate dal vincolo della larghezza della striscia di rame

π−=⇔=π+ xL

rLrx

Pertanto, sostituendo questo valore nell’espressione di S, si ha

π−=2

xL)x(S

22

27

Soluzione del modello (risposta alla domanda). La funzione S assume valore massimo nel punto x = 0, cioè la gronda ha la massima capacità quando è piegata nel modo seguente

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III.3. Una decisione difficile. La Sig.ra Rossi sta andando a fare acquisti in un mercato che dista 20 Km da casa. A metà strada si ricorda di aver lasciato aperto il rubinetto dell’acqua calda.

Supposto che il costo dell’acqua versata sia 600 L/h, il costo dell’auto sia ( )v1.032+ L/Km ed il tempo

previsto per la spesa sia di 30 minuti, determinare qual è la velocità minima alla quale la Sig.ra Rossi deve viaggiare affinché le convenga non tornare subito indietro. [Si supponga, per semplicità, che la velocità sia costante.]

Costruzione del modello .

10 Km 10 Km Valutiamo le spese che la Sig.ra Rossi dovrà sostenere in ciascuna delle due possibili scelte. Se la Sig.ra Rossi torna subito indietro dovrà sostenere:

1) la spesa dell’auto per il tragitto CM2RC+ ;

2) la spesa dell’acqua versata nel tragitto RC ; Se la Sig.ra Rossi prosegue verso il mercato dovrà sostenere:

1) la spesa dell’auto per il tragitto MCRM + ;

2) la spesa dell’acqua versata nel tragitto MCRM + , più la spesa dell’acqua nel tempo della spesa.

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Soluzione del modello (risposta alla domanda). Confrontando le due spese, si vede facilmente che

- se torna subito indietro ha in più la spesa dell’auto per il tragitto RC2 , cioè

( ) 20v1.032S1 ⋅+=

- se prosegue ha in più la spesa dell’acqua per il tempo impiegato a percorrere il tratto RM2 e per il tempo della spesa, cioè

+⋅= 30v

20600S2

Alla Sig.ra Rossi non conviene tornare subito indietro se e solo se

12 SS ≤

e quindi se e solo se

( ) 20v1.03230v

20600 ⋅+≤

+⋅

Con semplici calcoli si ottiene

06000v170v2 ≥−⋅+ Poiché ha senso considerare solo valori positivi di v, le soluzioni del problema sono tutti i valori 30v ≥ . Pertanto la velocità minima richiesta è 30 Km/h.

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III.4. Linea di trasmissione telematica. In una linea di trasmissione telematica i valori possibili della velocità di trasmissione sono

INn,48n1,2400nv ∈≤≤⋅=

Si determini la velocità ottimale supposto che

• ogni carattere corretto in output dia un ricavo di q lire ed ogni carattere errato paghi una penalità di 19q lire;

• il numero medio al secondo di caratteri errati in output sia pari a 26 v10 ⋅− ;

• il costo del collegamento sia proporzionale al tempo di trasmissione.

Costruzione del modello . Ogni secondo passano attraverso la linea di trasmissione 2400n ⋅ caratteri di cui sono errati

( ) 22626 n240010v10 ⋅⋅=⋅ −− , per cui il ricavo è dato da

( )[ ] ( )( ) kn240010q19qn2400102400nR 226226 +⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅= −−

ove k denota il costo unitario del collegamento. Con semplici calcoli si ottiene

knn10

48R 2

3++⋅−=

Soluzione del modello (risposta alla domanda). La velocità ottimale è pertanto

scaratteri24000v =∗ .

ottenuta per n = 10.

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CAPITOLO IV

PROCESSI ITERATIVI

IV.1. Processo Iterativo Idea intuitiva. Un processo iterativo consiste nell’applicare più volte e ripetutamente una stessa trasformazione. Anche se la trasformazione ha un effetto trascurabile, applicata iterativamente può produrre effetti notevoli. Si consideri il seguente esempio.

Un primo esempio . Un segnale sinusoidale 0i entra in un dispositivo che somma un rumore

bianco (cfr. figura 1) al segnale in ingresso. Con una operazione di retroazione il segnale di uscita viene ripetutamente immesso nel dispositivo.

La figura successiva mostra il segnale di uscita dopo 10, 50, 250, 1250 cicli iterativi. Si noti come all’aumentare del numero dei cicli, il segnale risulta completamente corrupted.

2.5 5 7.5 10 12.5 15

-1

-0.5

0.5

1

2.5 5 7.5 10 12.5 15

-100

-50

50

100

figura 1

32

-6000

-4000

-2000

2000

4000

6000

-1000

-500

500

1000

-300

-200

-100

100

200

300

-150

-100

-50

50

100

150

figura 2

33

Rappresentazione grafica. Consideriamo una trasformazione T che, in corrispondenza ad un input (ingresso) i produca un output (uscita) u = u(i). Partendo da uno start i per effetto della trasformazione si ottiene un’uscita u. Se si immette il valore u come nuovo ingresso della trasformazione, si ottiene in corrispondenza una nuova uscita. Così procedendo iterativamente si realizza un processo che può essere visualizzato dal grafico

Un’altra rappresentazione grafica del processo è la seguente

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IV.2. Successione delle iterate. Formalizzazione. Un processo iterativo produce un’uscita corrispondente ad ogni ingresso, precisamente l’uscita del passo n - corrispondente all’ n-esimo ingresso – è la trasformata dell’uscita del passo precedente. Si ottiene cioè una successione di uscite (o di ingressi) che è detta successione delle iterate. Il processo, e quindi la successione delle iterate, sono univocamente individuati dalla trasformazione T

e dallo start 0i:i = .

S può infatti descrivere formalmente il processo nel seguente modo:

==

=

+

,...2,1,0:n

u:i

)i(T:u

Starti

n1n

nn

0

n passo o stadio

Start

0i:i =

n:=0,1,2,…,nmax

u:=T(i)

i:=u

Print u

Stop

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IV.3. Processi Iterativi associati a trasformazioni reali di variabile reale

Sia RR:T → una trasformazione assegnata e sia nn )x( la successione delle iterate associate a T ,

generate a partire da uno start 0x .

IV.3.1. Processo isometrico Supponiamo esista un intero Nn ∈ tale che per ogni nn ≥ si abbia

1nn1nn xx)x(T)x(T −− −=−

In altre parole la distanza )x(T)x(T 1nn −− delle trasformate di due iterate consecutive sia uguale

alla distanza 1nn xx −− delle iterate considerate.

La trasformazione T conserva le distanze e il processo associato dicesi processo isometrico.

IV.3.2. Processo di contrazione

Supponiamo esista un intero Nn_

∈ tale che per ogni _

nn≥ si abbia

1nn1nn xx)x(T)x(T −− −<−

In altre parole la distanza )x(T)x(T 1nn −− delle trasformate di due iterate consecutive sia

inferiore alla distanza 1nn xx −− delle iterate considerate.

La trasformazione T contrae le distanze e il processo associato dicesi processo di contrazione. I processi di contrazione hanno maggior rilievo nell’ambito della geometria frattale (oggetto del capitolo XI). Per tali processi il matematico napoletano Renato Caccioppoli (1904-1959) ha dimostrato il seguente risultato.

36

Teorema IV.3.1. (contrazioni)

Ogni contrazione IRIR:T → ammette un unico punto x tale che

( )xTx =

Inoltre, fissato comunque un punto start 0x , la successione delle iterate

( )

==+ K,1,0nxTx

startx

n1n

0

costituisce una approssimazione(1) di x , che migliora ad ogni passo, risulta cioè

K,1,0nxxxx n1n =−<−+

Il punto x è detto punto fisso della trasformazione T ed attrattore del processo.

IV.3.3. Processo di espansione

Supponiamo esista un intero Nn_

∈ tale che per ogni _

nn≥ si abbia

1nn1nn xx)x(T)x(T −− −>−

In altre parole la distanza )x(T)x(T 1nn −− delle trasformate di due iterate consecutive sia

superiore alla distanza 1nn xx −− delle iterate considerate.

La trasformazione T dilata le distanze e il processo associato dicesi processo di espansione. Osservazione. Le definizioni introdotte in questo paragrafo si estendono in modo naturale al piano

2R o allo spazio 3R muniti della distanza Euclidea.

Precisamente le definizioni si estendono a trasformazioni qp RR:T → con p,q=1,2,3.

Ricordiamo che lo spazio 2R denota l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali )x,x(x 21= munito della distanza Euclidea:

222

211 )yx()yx(yx −+−=−

ove )y,y(y 21= .

Analogamente lo spazio 3R denota l’insieme delle terne ordinate di numeri reali )x,x,x(x 321=

munito della distanza Euclidea.

(1) La successione ( ) INnnx ∈ converge ad x.

37

IV.3.4. Processi iterativi elementari Diamo alcuni esempi di processi iterativi. a) Processo SHIFT Fissato un numero reale non nullo q , sia T la trasformazione numerica che ad ogni numero x in ingresso associa il numero qx + in uscita, i.e.

qx)x(T += .

La trasformazione T è detta trasformazione SHIFT e il processo associato è detto processo SHIFT. Provare che ogni processo SHIFT è una isometria. Esempio IV.3.1. Il tasto della tastiera di un PC è un processo SHIFT: infatti sottrae una

quantità fissa q =32 al codice decimale ASCII del carattere pigiato.

DIAGRAMMA WEB DI UN PROCESSO SHIFT

Esempio IV.3.2. Processo di capitalizzazione semp lice

SHIFT

38

Un risparmiatore legge il seguente annuncio nell’atrio di un istituto di credito:

depositi bancari al tasso di interesse annuo 3.5% (lordo) ritenute erariali sulle competenze 12%

Si reca allo sportello e dice all’impiegato che l’indomani intende depositare una somma di denaro ed intende ritirare gli interessi maturati allo scadere di ogni anno. Nonostante le ripetute richieste non riesce a farsi stampare le cifre che accumulerà nel corso degli anni. Sei in grado di aiutarlo? Modella il processo ed esaudisci la richiesta del risparmiatore.

Svolgimento. Indicata con 0C la somma iniziale depositata, l’interesse annuo lordo I ammonta a

0lordo C1000

35I =

così l’interesse netto è

00 C2500

77C

100

88

1000

35I ==

Indicato con nM il montante (capitale depositato + interesse netto complessivo) allo scadere dell’n-

esimo anno, risulta

ICM 01 += IMM 12 += .….. IMM 1nn += −

Il processo è pertanto un processo SHIFT con Iq = . Per rendere più semplice al risparmiatore la lettura del piano di risparmio, si avrà cura di evitare cifre decimali stampando la seguente tabella.

Deposito iniziale L. 10.000 Interesse netto annuo L. 308

Montante alla scadenza del

1 anno 2 anno 3 anno 4 anno …….. 10.308 10.616 10.924 11.232 ……..

Esercizio IV.3.3. Determinare un processo SHIFT con q<0. Esercizio IV.3.4. Provare che ogni progressione aritmetica è un processo SHIFT.

b) Processi OMOTETICI Fissato un numero reale m non nullo, sia T la trasformazione che ad ogni numero x in ingresso associa il prodotto xm ⋅ in uscita, i.e.

xm)x(T = .

Osserviamo che :

39

se 1m < , la trasformazione T contrae le distanze e il processo associato è una contrazione;

se 1m > , la trasformazione T dilata le distanze e il processo associato è una espansione;

se 1m = , la trasformazione T conserva le distanze e il processo associato è una isometria.

In quest’ultimo caso :

se 1m = , la trasformazione T si riduce all’identità e il processo associato è stazionario; se 1m −= , la trasformazione T è una simmetria rispetto all’origine e il processo associato è

oscillante.

Esempio IV.3.5. Sia 43m = e sia T(x):=f(x)=(3/4) x= x-(1/4)x.

Successione delle iterate

0n

nf

02

2f

0f

0f

0 x4

3)........x

4

3(

4

3)x

4

3(

4

3)x

4

3(x →→→→

Il processo è una contrazione e il punto 0x_

= è l’attrattore.

Esempio IV.3.6. Sia 34m = e sia T(x):=f(x)=(4/3) x= x+(1/4)x.

Successione delle iterate

0n

nf

02

2f

0f

0f

0 x3

4)........x

3

4(

3

4)x

3

4(

3

4)x

3

4(x →→→→

40

Il processo è una espansione ed è privo di attrattori. Esercizio IV.3.7. Provare che ogni progressione geometrica è un processo omotetico.

41

Esempio IV.3.8. Sia 0m1 <<− e sia T(x):=f(x)=m x.

Il processo è una contrazione e il punto 0x = è l’attrattore

42

Esempio IV.3.9. Processo di capitalizzazione compo sta Il risparmiatore dell’Esempio V.3.2., visto il piano di risparmio che gli è stato prospettato, non è soddisfatto e decide di rivolgersi ad un consulente finanziario. Questi gli consiglia di non ritirare gli interessi alla scadenza annuale, ma di lasciarli capitalizzare. Il modello del nuovo tipo di investimento evidenzierà quanto quest’ultimo sia più conveniente di quello precedente. Costruzione del modello

Denotato con C0 il capitale iniziale, con i il tasso annuo di interesse e con Mn il montante allo scadere dell’n-esimo anno, il processo di capitalizzazione composta è il seguente:

C0

M1 = C0 + i C0 = C0 (1+ i )

M2 = M1 + i M1 = M1 (1+ i ) = C0 (1+ i )2

M3 = M2 + i M2 = M2 (1+ i ) = C0 (1+ i )3

…………

Mn = Mn-1 + i Mn-1 = Mn-1 (1+ i ) = C0 (1+ i )n

Si tratta di un processo omotetico con costante di espansione m = 1+ i. Deposito iniziale L. 10.000

Montante alla scadenza del

1 anno 2 anno 3 anno 4 anno ……… 10.308 10.625 10.952 11.289 ………

IV.3.10. Approfondimento. Confrontare i due piani di risparmio, quello a capitalizzazione semplice e quello a capitalizzazione composta, relativi ad un capitale unitario e ad un stesso tasso di interesse. Si osservi in particolare, che il primo è a crescita lineare e il secondo a crescita esponenziale, (per verificare quest’ultima affermazione, rappresentare il montante utilizzando un’opportuna scala logaritmica). Esercizio IV.3.11. L’interesse su una somma investita può essere capitalizzato in modi diversi (per esempio, una volta all’anno o più volte in un anno). Le banche infatti, offrono delle possibilità di investimento che differiscono sia nel tasso di interesse che nel periodo di calcolo dell’interesse (annuale, trimestrale, giornaliero). Nel caso del montante a capitalizzazione composta che differenza c’è tra due banche che offrono un interesse dell’8 %, ma capitalizzato annualmente o trimestralmente?

43

c) Processi LINEARI Fissati due numeri reali ,q,m sia

qmx)x(T +=

La trasformazione T è composizione di una omotetia e di una trasformazione SHIFT.

IV.3.12. Approfondimento. Classificare, al variare dei parametri Rq,m ∈ , il processo

associato alla trasformazione ,T in altre parole stabilire quando il processo è stazionario, oscillante, espansivo o di contrazione. Tracciare il diagramma di Web ed osservare che, in quest’ultimo caso, l’attrattore del processo è l’ascissa (coincidente con l’ordinata) del punto di intersezione delle rette di equazione y = x e y = mx + q.

IV.3.13. Approfondimento. Implementare un software che genera in modo dinamico il diagramma di Web del processo associato alla trasformazione T(x) = mx + q.

44

CAPITOLO V

MODELLIZZAZIONE DEL MONDO REALE

In questo paragrafo presentiamo alcuni problemi della vita reale che si possono modellizzare e

risolvere utilizzando gli strumenti introdotti nei paragrafi precedenti.

V.1. Mitosi cellulare

La cellula è l’unità fondamentale costituente i tessuti degli organismi viventi. Nel nostro corpo ad esempio, ce ne sono circa 600.000 miliardi, ciascuna delle quali rientra in gruppi specializzati che assolvono funzioni proprie (ad es. cellule ghiandolari per la secrezione, cellule germinali per la riproduzione, cellule nervose per la trasmissione degli stimoli). La cellula non è un elemento stabile: come ogni entità tende a svilupparsi, ad invecchiarsi e ad essere sostituita da cellule più giovani. Tale rinnovo avviene mediante complessi processi di suddivisione cellulare, che possono avvenire secondo due modalità:

a) la MEIOSI, nella quale da una cellula femminile e da una cellula maschile dotate solo della metà dei cromosomi (aploidi) si sviluppano cellule con un patrimonio di cromosomi completo (e quindi diploidi);

b) la MITOSI, processo mediante il quale, per fasi successive, da una cellula diploide se ne formano due con lo stesso patrimonio cromosomico. Ciò è possibile in quanto nella prima fase di mitosi il DNA raddoppia e ogni cromosoma si duplica.

Individuiamo il modello matematico che descrive il numero di cellule presenti nel fenomeno della mitosi, partendo da una sola cellula madre. Saremo così in grado di rispondere ai seguenti quesiti: 1. Quante cellule sono presenti dopo n generazioni? 2. Dopo quante generazioni il numero di cellule avrà superato una fissata soglia k>1 ?

Costruzione del modello Denotato con N0 il numero cellule allo stadio zero, si ha N0 :=1 N1:=2 N0 N2:=2 N1= 22 N0 N3:=2 N2 =23 N0 pertanto il numero Nn di cellule presenti alla generazione n-esima è dato da

Nn:=2 Nn-1=2n N0

45

Risposta alle domande (soluzione del modello) Abbiamo già risposto alla prima domanda, occupiamoci della seconda.

Per stabilire quale sia la prima generazione nella quale il numero delle cellule supera la soglia k>1, si

deve risolvere la disequazione:

2n > k

e si ottiene quindi

klogn 2> .

La generazione cercata è il primo intero soluzione della disequazione.

V.2. Crescita di una popolazione

Si considerino i seguenti dati relativi alla popolazione del Messico agli inizi degli anni ottanta.

Come si vede, la popolazione è cresciuta (come era naturale aspettarsi) e l’incremento annuale non è stato costante, ma è andato aumentando di anno in anno. Proviamo a costruire, sulla base di questi dati, un modello che descriva il fenomeno della crescita della popolazione Messicana. In questo modo potremo per esempio: 1) prevedere la popolazione del Messico nell’anno 2000 2) in quanti anni la popolazione diventa il doppio (cioè il tempo di duplicazione).

Costruzione del modello Proviamo a calcolare il rapporto della popolazione messicana tra due anni consecutivi:

anno popolazione (in milioni) aumento (in milioni) 1980 67.38 1981 69.13 1.75 1982 70.93 1.80 1983 72.77 1.84 1984 74.66 1.89 1985 76.60 1.94 1986 78.59 1.99

46

026.138.67

13.69

1980

1981≅=

nelePopolazion

nelePopolazion

026.113.69

93.70

1981

1982≅=

nelePopolazion

nelePopolazion

questo calcolo prova che tra il 1980 ed il 1981 la popolazione è cresciuta del 2.6 % circa ed lo stesso si è verificato tra il 1981 ed 1982. Ripetendo questo calcolo negli anni successivi, si prova che il fattore di crescita è rimasto circa il 2.6 %. Posto come anno iniziale il 1980, si ha Anni popolazione t0=1980 P0=67.38 = 67.38 (1.026)0

t1 =1981 P1=69.13 = 67.38 (1.026)1

t2 =1982 P2=70.93 = 69.13 (1.026) = 67.38 (1.026)2

t3 =1983 P3=67.38 = 70.93 (1.026) = 67.38 (1.026)3

t4 =1984 P4=67.38 = 70.93 (1.026) = 67.38 (1.026)4

se supponiamo che il fattore di crescita costante si avrà tn =1980 + n Pn= 67.38 (1.026)n

Si tratta quindi di un processo iterativo omotetico associato alla trasformazione T(x) = 1.026x. Risposta alle domande (soluzione del modello). 1) Poiché 2000=1980+20 la popolazione corrispondente (secondo il modello) sarà

P20 =67.38 (1.026)20 = 67.38 (1.67) = 112.58 milioni. 2) Il tempo di raddoppio è (se esiste) il valore T tale che PT= 2 P0 o equivalentemente la

soluzione della equazione

67.38 (1.026)T = 2 x 67.38 cioè

T= log(2) / log(1.026) ≅ 27.

Pertanto la popolazione Messicana si raddoppia ogni 27 anni. Quindi un messicano di 54 anni vive in un paese la cui popolazione è diventata 4 volte quella che era quando lui è nato.

47

N.B. Nel 1994 il tempo di raddoppio della popolazione mondiale era stimato in soli 38 anni.In base a questa stima, un bambino nato quest’anno al raggiungimento del 38 anno (nel 2037) vivrà in un pianeta popolato da 12.000.000.000 di persone e, se vivrà fino a 76 anni sarà uno dei 24.000.000.000 terrestri.

Verifica della validità del modello.

Si può verificare la validità del modello controllando, ad esempio, che gli ultimi dati reali sulla consistenza della popolazione Messicana coincidano con quelli previsti dal modello.

V.3. Removal of pollutants from jet fuel Before kerosene can be used as jet fuel, federal regulation require that the pollutants in it be removed by passing the kerosene through clay. We will suppose the clay is in a pipe and that each metre of the pipe removes 20% of the pollutants that enter it. Therefore each metre leaves 80% of the pollution.

If the pollutants level must be reduced of the 75%, how long must be the clay?

Modelling If P0 is the initial quantity of pollutants and Pn is the quantity left after n metres of pipe, we have:

P0 P1 = (0.8) P0

P2 = (0.8) P1 = (0.8)(0.8) P0 = (0.8)2 P0 P3 = (0.8) P2 = (0.8)(0.8)2 P0 = (0.8)3 P0

And so, after n metres,

Pn = (0.8) Pn-1 = (0.8)n P0.

Note that each downward step is smaller than the one before since

P0 – P1 = P0 – (0.8) P0 = (0.2) P0

P1 – P2 = P1 – (0.8) P1 = (0.2) P1 = (0.2) (0.8) P0 < P0 – P1

P2 – P3 = (0.2) P2 = (0.2)(0.8) P1 < P1 – P2

…………………

Pn – Pn+1 = (0.2) Pn = (0.2)(0.8) Pn-1 < Pn-1 – Pn

This is because as the kerosene gets cleaner, there’s less dirt to remove, and so each metre of clay takes out

less pollutant than the previous one. Answer to the question

48

We must solve the inequality:

4

PP 0

n < .

Try by yourself!

V.4. Decadimento radioattivo L’atomo è la più piccola parte di un elemento che mantiene le caratteristiche dell’elemento stesso e nel contempo è la principale sorgente di radiazioni sia elettromagnetiche che corpuscolari. Esso è composto da un nucleo e da particelle più leggere, gli elettroni, di carica elettrica negativa che gli ruotano intorno in orbite con livelli energetici ben definiti. A sua volta il nucleo è costituito da protoni aventi carica elettrica positiva e neutroni, elettricamente neutri. Il numero di protoni determina l’elemento cui l’atomo appartiene: un atomo di idrogeno ha un solo protone, un atomo di ossigeno ne ha 8, un atomo di uranio ne ha 92. Alcuni atomi di uno stesso elemento possono avere diverso numero di neutroni, dando origine a diversi “isotopi”. Ad esempio, l’uranio (U) ha vari isotopi: U-238, U-235, U-233: l’uranio-238 ha 92 protoni e (238 – 92) = 146 neutroni; l’uranio-235 ha 92 protoni e (235 – 92) = 143 neutroni; l’uranio 233 ha 92 protoni e 141 neutroni. L’elemento più semplice esistente in natura, l’idrogeno (H-1) ha due isotopi: il deuterio (H-2) e il tritio (H-3), che hanno rispettivamente 1 e 2 neutroni. Quest’ultimo è radioattivo. Oltre agli isotopi naturali, vi sono isotopi artificiali prodotti attraverso opportune reazioni nucleari. Gli isotopi di un elemento possono essere radioattivi o stabili. Un isotopo radioattivo è detto radionuclide. Il fenomeno dell’emissione di radiazione da parte di isotopi radioattivi è regolato dalla cosiddetta

legge del decadimento radioattivo.

Rutherford ha mostrato che

1) i radionuclidi sono instabili, cioè dopo un dato periodo di tempo una porzione costante di essi si

disintegra spontaneamente formando atomi di un nuovo elemento;

49

2) in ogni istante il numero dei radionuclidi che decadono è direttamente proporzionale a quello

dei radionuclidi attivi.

Indicata con λ la percentuale di radionuclidi che decadono in un secondo, costruiamo il modello matematico che descrive il fenomeno del decadimento. Sulla base di questo modello, si può stabilire ad esempio: Il tempo T necessario affinché la metà dei nuclidi abbia subito decadimento. Tale tempo è detto periodo di dimezzamento o emi-vita della sostanza ed è considerato, insieme a λ , un parametro fondamentale del fenomeno.

Costruzione del modello Posto N0 il numero dei radionuclidi allo stadio zero Nn il numero dei radionuclidi non decaduti allo stadio n si ha:

)1(NNNN 0001 λ−⋅=λ−= 201112 )1(N)1(NNNN λ−⋅=λ−⋅=λ−=

30

202223 )1(N)1()1(N)1(NNNN λ−⋅=λ−⋅λ−⋅=λ−⋅=λ−=

…………. n

01nn )1(N)1(NN λ−⋅=λ−⋅= −

Il processo è una omotetia, associata alla trasformazione x)1()x(T ⋅λ−= . Risposta alla domanda Si tratta di risolvere la disequazione:

2N)1(N 0n

0 ≤λ−⋅

)2log()1log()1log(n −≤λ−⋅

.10,0)1log(

)2log(n <λ<>

λ−−≥

Il primo intero n soddisfacente la disequazione esprime il tempo T di dimezzamento in secondi. Il periodo T non dipende da N0. OSSERVAZIONE

50

Gli isotopi radioattivi puri (o in opportune miscele) trovano numerose applicazioni in diversi settori della ricerca scientifica e vengono largamente impiegati nell’industria. Nel campo della medicina gli isotopi sono utili per una serie di procedure di tipo terapeutico, diagnostico e di ricerca. Si possono usare per localizzare il cancro (poiché alcuni isotopi sono assorbiti preferenzialmente dai tessuti cancerosi), ma anche come sorgenti di radiazioni per distruggere tali tessuti. Lo iodio-131 viene utilizzato in medicina per valutare la funzionalità della tiroide. Si ritiene infatti che il grado di funzionalità della ghiandola sia correlato alla sua capacità di assorbimento dello iodio-131. Dopo aver fatto assumere iodio-131 al paziente, operando successive misurazioni della radioattività della tiroide, i medici sono in grado di stabilire la quantità di iodio assorbito. Lo iodio-131 ha una emi-vita di 8 giorni. Questo significa che un grammo di iodio dopo 8 giorni si riduce a 0.5 grammi e dopo altri 8 giorni a 0.25 grammi, e così via. Nella seguente tabella sono riportati i tempi di dimezzamento di alcune sostanze radioattive: isotopo tempo di dimezzamento radio-223 11.7 giorni radio-226 1620 anni cobalto-60 5.3 anni uranio-238 4.5 x 109 anni Esercizio V.4.1. Completare la tabella seguente: Isotopo Percentuale di decadimento Tempo di dimezzamento Torio-C′ λ = 3⋅10-6 s-1 T = ……… Uranio-235 λ = ……… T = 7.1⋅108 anni Uranio-238 λ = 4.88⋅10-12 s-1 T = ………

51

V.5. Datazione di rocce, fossili e reperti archeol ogici Il fenomeno del decadimento radioattivo è alla base di tutti i metodi di datazione delle rocce, dei

fossili e dei reperti archeologici.

Tra i metodi di datazione più famosi, citiamo quello che fa uso del dell’isotopo carbonio 14C .

Da misurazioni effettuate su numerosi campioni, si è ipotizzato che la quantità di carbonio 14C in un tessuto vivente è costante nel tempo ed è una caratteristica del tessuto. Ad esempio si suppone che una quercia vivente oggi ha la stessa quantità di tale isotopo di una in vita milioni di anni fa. Un organismo vivente accumula, attraverso l’interazione con l’ambiente piccole quantità di carbonio

14C che va a compensare quello che via via decade, creando uno stato di equilibrio. Quando l’organismo muore tale equilibrio cessa, venendo meno l’assorbimento. Da quel momento, la

quantità di carbonio 14C presente nel tessuto diminuisce col passare del tempo, seguendo la legge del decadimento.

Misurando oggi la percentuale di carbonio 14C presente nel fossile e paragonandola con quella presente in un analogo tessuto ancora vivente, si può valutare quanta parte del carbonio sia decaduta e quindi stimare l’età del reperto. Per la datazione di rocce si utilizzano radionuclidi con tempi di dimezzamento molto lunghi dell’ordine di miliardi di anni. In questo modo è stato possibile stimare 1) l’età della roccia più antica presente sulla terra, il granito della Groenlandia, pari a 3.7⋅109 anni; 2) l’età della terra: 4.6⋅109 anni.

V.5.1. Approfondimento. Sapendo che il tempo di dimezzamento del carbonio 14C è di 5730 anni, costruire il modello matematico che è alla base di questa tecnica di datazione.

V.5.2. Approfondimento. Nel Castello di Winchester è conservata una grande tavola rotonda di legno, del diametro di 5.5 metri, divisa in 25 settori. Alcuni studiosi hanno ipotizzato che potesse trattarsi della leggendaria tavola di re Artù.

Soltanto la datazione effettuata con il metodo del carbonio 14C ha dato la risposta. Si è trattato di una conferma o di una smentita?

52

V.6. Il triangolo di Tartaglia E’ ben noto che i coefficienti dello sviluppo delle potenze n-esime di un binomio, (a+b)n, sono ottenuti per ricorrenza. Si ottiene così il seguente triangolo:

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1

1 . . . . . . . 1

V.6.1. Approfondimento. Individuare la legge ricorsiva.

V.6.2. Approfondimento. Si osservi che ad ogni stadio non corrisponde un solo valore, ma un vettore di dimensione variabile. Stabilire la dimensione in relazione allo stadio.

V.6.3. Approfondimento. Attraverso la teoria del calcolo combinatorio è possibile individuare una formula chiusa per questo processo.

53

V.7. La successione di Fibonacci Leonardo Pisano, detto Fibonacci (figlio di Bonaccio), nel suo libro d’abbaco Liber Abbaci risolve il seguente problema ( proposto, si narra, alla corte di Federico II di Svevia dallo stesso imperatore). Quante coppie di conigli verranno generate in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa a sua volta produttiva a partire dal secondo mese? Il seguente schema aiuta a dare la risposta:

Si vede che le coppie di conigli nelle prime 4 generazioni sono rispettivamente: fib(0):=1 fib(1):=2 fib(2):=3 fib(3):=5=3+2 fib(4):=8=5+3 . . Con un po’ di … intuito si può dedurre la seguente legge di ricorrenza:

==

−+−=

1)1(fib1)0(fib

)2n(fib)1n(fib)n(fib

OSSERVAZIONE A differenza di tutti gli altri casi trattati in precedenza, quello di Fibonacci è un processo iterativo a due passi indietro.

Esercizio V.7.1. Dopo quante generazioni la successione di Fibonacci supera una soglia fissata k>1?

54

V.7.2. Approfondimento. Per secoli nessuno ha trovato una formula chiusa per il processo di Fibonacci, fin quando Binet ha provato (in modo abbastanza semplice) la seguente formula:

0n2

51

2

51

5

1)n(fib

1n1n

≥

−−

+⋅=++

Di conseguenza il termine a secondo membro è un numero naturale, per ogni n.

V.7.3. Approfondimento. Il processo di Fibonacci si può modellare come un processo vettoriale bidimensionale ad un solo passo indietro.

V.7.4. Approfondimento. La successione di Fibonacci ha una stretta connessione con la sezione aurea (golden mean) di un segmento.

V.7.5. Approfondimento. Numerose strutture in natura evidenziano collegamenti con la sezione aurea.

V.7.6. Approfondimento. I rapporti aurei sono stati e sono ampiamente utilizzati in Architettura. Il Partenone di Atene ne è una testimonianza universale.

55

V.8. Il fattoriale Si ricorda che il fattoriale di un numero naturale n, denotato con n! è definito come il prodotto dei primi numeri naturali a partire da 1; per convenzione si pone inoltre 0! = 1.

V.8.1. Approfondimento. Determinare un processo iterativo che genera n!.

V.8.2. Approfondimento. Implementare un software che genera n!.

V.9. Eco-sistema di due specie senza competizione Una popolazione è formata da due specie di individui (che per semplicità distingueremo con due colori: i rossi e i bianchi). Ad ogni stadio ciascun individuo muore, dopo aver generato un altro individuo: gli individui rossi hanno discendenti rossi, mentre quelli bianchi hanno discendenti in parte rossi, in parte bianchi secondo un rapporto costante λ . Supposto che la popolazione sia isolata, discutere l’evoluzione dell’eco-sistema.

V.9.1. Approfondimento. Modellare il processo assumendo che gli individui rossi hanno discendenti bianchi. In particolare rispondere ai seguenti quesiti: a) Stabilire se la popolazione evolve verso uno stato di equilibrio. b) Determinare l’influenza del rapporto iniziale fra le due specie sull’evoluzione della popolazione.

V.9.2. Approfondimento. Implementare una simulazione del processo rossi-bianchi.

V.9.3. Approfondimento. Osservare che il fenomeno del decadimento radioattivo può essere modellato come eco-sistema di due specie senza competizione. Determinare altri fenomeni che possono essere inquadrati in tale modello.

56

CAPITOLO VI

PROCESSI ITERATIVI DI APPROSSIMAZIONE In questo capitolo illustreremo alcuni processi iterativi utilizzati per approssimare la soluzione di un'equazione. VI.1. Algoritmo babilonese Assegnato il quadrato unitario, si vuole determinare la lunghezza della sua diagonale x.

In forza del teorema di Pitagora, si tratta di calcolare la soluzione positiva dell’equazione:

2x 2 = .

E’ noto che tale soluzione è il numero irrazionale 2 , pertanto la sua rappresentazione

decimale è illimitata e non periodica. L’algoritmo che presentiamo qui, noto come algoritmo babilonese(1), è un processo iterativo che permette di determinare un numero finito qualsiasi di cifre decimali esatte. Precisamente si definiscono due successioni monotone ( ) INnnz ∈ (crescente) ed ( ) INnny ∈

(decrescente) di numeri razionali che approssimano la soluzione cercata rispettivamente per difetto e per eccesso.

___________________________________ (1) Alcuni ritengono che l’algoritmo fosse noto ai Babilonesi, altri lo fanno risalire al matematico greco Erone di Alessandria (I-II secolo d. C.).

57

Il processo è definito nel modo seguente:

=+

==

=

−

−

K,3,2,1n2

zyy

y

2z

start2y

n1nn

1nn

0

L’algoritmo si basa su due osservazioni chiave:

• se y è una stima per eccesso di 2 , allora y

2z = , è una stima per difetto (2)

• se y e z sono rispettivamente una stima per eccesso e una per difetto di 2 , e se la loro

media aritmetica

2

zym

+=

è ancora una stima per eccesso, allora quest’ultima migliora la stima y precedente.

Precisamente, partendo dall’approssimazione per eccesso 2y0 = , si ottiene 12

2z1 == che è

una stima per difetto. Valutando la media aritmetica:

22

3

2

zyy 0

1 >=+

=

si ottiene una stima per eccesso migliore della precedente. Al passo n, avremo la stima per difetto

1nn y

2z

−

=

e la stima

2

y

2y

2

zyy 1n

1n1n

n−

−−

+=

+=

che risulta per eccesso: infatti si ha

( ) 02y2y22y2y2

1n1n2

1nn >−=+−⇔> −−−

(2) Infatti: 2y

22

y

2z1

y

22y <

⋅==⇔<⇔> .

58

VI.1.1. Approfondimento. Provare che:

z z y yn n n n< < < <+ +1 12 per ogni n≥1

Osserviamo che, in forza della stretta monotonia delle successioni approssimanti ( ) INnnz ∈ e

( ) INnny ∈ , ad ogni passo, sia la stima zn (per difetto) che la stima yn (per eccesso) sono

migliori delle rispettive stime del passo precedente. Inoltre gli errori di approssimazione di ciascuna stima (per eccesso e per difetto) sono entrambi inferiori alla differenza delle stime stesse, risulta cioè:

−<−=ε−<−=σ

nnnn

nnnn

zy2y

zyz2

Di conseguenza per individuare le prime k cifre decimali di 2 , è sufficiente arrestare il processo ad un passo n tale che:

y zn nk− < −10 .

Viceversa, se due approssimazioni zn e yn (rispettivamente per difetto ed eccesso) hanno le

prime k cifre decimali uguali, esse costituiscono un’approssimazione di 2 a meno di 10−k .

La tabella I fornisce i primi sei valori delle successioni associate all’algoritmo babilonese.

Tabell a I

59

VI.1.2. Approfondimento. Implementare l’algoritmo babilonese per generare le

prime 10 cifre decimali di 2 (in altri termini per generare la tabella I).

VI.1.3. Approfondimento. Implementare l’algoritmo babilonese per generare le

prime 1000 cifre decimali di 2 .

Si osservi che questi due approfondimenti hanno una complessità computazionale notevolmente diversa. Nel secondo caso si tratta infatti di operare con un numero di cifre elevate ed è necessario ricorrere ad algoritmi ad hoc. VI.2. Principio di esaustione E’ noto che la lunghezza della circonferenza di raggio unitario è il numero irrazionale 2π . Presentiamo qui un algoritmo di approssimazione che si basa sul principio di esaustione di Archimede. Precisamente la successione ( ) 1nnp ≥ dei perimetri dei poligoni regolari inscritti di n23⋅ lati

fornisce un’approssimazione per difetto, mentre la successione ( ) 1nnP ≥ dei perimetri dei

poligoni regolari circoscritti di n23⋅ lati fornisce un’approssimazione per eccesso. Entrambe le successioni sono monotone. Archimede, utilizzando i poligoni di 96 lati, riuscì a calcolare le prime due cifre decimali esatte di π .

60

VI.2.1. Approfondimento. Attraverso un opportuno processo iterativo, determinare le due successioni ( ) 1nnp ≥ e ( ) 1nnP ≥ .

VI.2.2. Approfondimento. Utilizzando le successioni dell’approfondimento VII.2.1, generare le prime 10 cifre decimali di π .

VI.2.3. Approfondimento. Utilizzando le successioni dell’approfondimento VII.2.1, generare le prime 1000 cifre decimali di π .

Si osservi che questi due approfondimenti hanno una complessità computazionale notevolmente diversa. Nel secondo caso si tratta infatti di operare con un numero di cifre elevate ed è necessario ricorrere ad algoritmi ad hoc.

VI.2.4. Approfondimento. Il calcolo del rapporto fra la circonferenza e il suo diametro accompagna la storia della matematica sin dai suoi albori. Il numero delle cifre esatte di π è andato crescendo, attraverso i secoli, di pari passo allo sviluppo delle conoscenze matematiche e degli strumenti di calcolo: da due cifre esatte calcolate da Archimede nel III sec. a.C. ai quattro miliardi attuali. Operare una ricerca sull’argomento.

61

CAPITOLO VII

PROCESSI ITERATIVI DI APPROSSIMAZIONE DELLE SOLUZIONI DI UNA EQUAZIONE

Le equazioni sono uno strumento basilare della modellizzazione matematica. Un’equazione è una relazione del tipo (*) 0)x(f = ove IRIR:f → è una funzione assegnata. La risoluzione di un’equazione consiste nel determinare l’insieme S degli zeri della funzione f e si articola in tre fasi principali: 1) ESISTENZA della soluzione ( ≠S ∅) 2) UNICITA’ ( S contiene un solo elemento)

3) CALCOLO

TOAPPROSSIMA

ESATTO

In questo paragrafo affronteremo il calcolo approssimato delle soluzioni, illustrando alcuni algoritmi iterativi. In genere si affronta lo studio di soluzioni approssimate quando non si è in grado di calcolare la soluzione esatta. Contrariamente a quanto si possa pensare, questo accade di frequente, in particolare nei modelli di fenomeni reali. Ne vedremo alcuni esempi nei paragrafi successivi. Prima di implementare un qualunque algoritmo di approssimazione è necessario aver stabilito l’esistenza di almeno una soluzione ed averla localizzata (∅ [ ]baS ,⊂≠ ). Inoltre la maggior parte degli algoritmi di approssimazione agisce in ipotesi di unicità della soluzione.

62

VII.1. Metodo di bisezione (o dicotomico) Supponiamo che:

i) [ ] IRb,a:f → sia una funzione continua; ii) ( ) ( ) 0bfaf <⋅ cioè la funzione f assuma valori di segno discorde agli estremi

del dominio. ESISTENZA DELLA SOLUZIONE È assicurata dal noto teorema degli zeri. DESCRIZIONE DEL METODO DI APPROSSIMAZIONE Attraverso il metodo dicotomico si genera una successione di intervalli [ ]( ) INnnn b,a ∈

ciascuno dei quali contiene una radice dell’equazione. Inoltre gli intervalli sono inclusi uno nell’altro

[ ] [ ] INnbaba nnnn ∈⊃ ++ 11,,

e gli estremi ( ) INnna ∈ e ( ) INnnb ∈ approssimano rispettivamente per difetto e per eccesso una

radice dell’equazione. La trasformazione T che genera il processo opera su sottointervalli di [ ]b,a , cioè

[ ] [ ]δγ →βα ,T,

63

Descriviamola in modo qualitativo.

• Fissato un sottointervallo [ ]βα, ove la funzione f assume valori di segno discorde agli estremi

( ) ( ) 0ff <β⋅α

si valuta il valore della funzione nel punto medio

β+α2

f

• supposto(1) che 02

f ≠

β+α, si hanno due possibilità:

� se ( ) 02

ff <

β+α⋅α allora si pone:

[ ]( )

β+αα=βα2

,,T

(1) Se 02

f =β+α

, allora il punto medio è soluzione dell’equazione e l’algoritmo si arresta.

64

� se ( ) 02

ff <

β+α⋅β allora si pone:

[ ]( )

ββ+α=βα ,2

,T

In altri termini, suddiviso l’intervallo [ ]βα, in due sottointervalli (mediante il punto medio) la trasformazione T seleziona quello ove la funzione assume valori di segno discorde agli estremi. Di conseguenza T associa all’intervallo [ ]βα, , (che contiene una soluzione dell’equazione) il sottointervallo dicotomico che contiene ancora una soluzione. Il processo generato dalla trasformazione T è il seguente:

[ ] [ ]

[ ] [ ]( )

==

=

−− K,3,2,1nb,aTb,a

startb,ab,a

1n1nnn

00

Si dimostra che la trasformazione T è una contrazione ed il processo ammette come attrattore una soluzione x dell’equazione.

65

Inoltre, essendo gli intervalli dicotomici, le successioni degli estremi ( ) INnna ∈ e ( ) INnnb ∈

sono monotone (la prima non decrescente, la seconda non crescente) e costituiscono approssimazioni rispettivamente per difetto e per eccesso di x .

In forza della dicotomia, che è la chiave del processo, è facile stimare l’ampiezza di ciascun intervallo

n00

nn2

abab

−=− .

Si ottiene così una stima esplicita dell’errore di approssimazione in funzione del passo:

n00

nnnn

n00

nnnn

2

ababxb

2

ababax

−=−≤−=ε

−=−≤−=σ

Il metodo dicotomico ha una convergenza “lenta”, nel senso che occorrono 3 o 4 passi per guadagnare una cifra decimale. Nei prossimi paragrafi presenteremo metodi più veloci, che però sussistono sotto ipotesi più restrittive.

66

ESEMPIO VII.1.1. Discutiamo esistenza, unicità e calcolo della soluzione dell’equazione:

0110x x =−⋅ ESISTENZA e LOCALIZZAZIONE Posto 110x)x(f x −⋅= , risulta ( ) 0x,0xf ≤∀< ed 09)1(f >= , di conseguenza per il

teorema degli zeri l’equazione ammette almeno una soluzione nell’intervallo ] [1,0 . UNICITA’ La soluzione è unica perché f è crescente in +IR . CALCOLO APPROSSIMATO Utilizzando il metodo dicotomico determiniamo una stima di tale soluzione.

67

Start: ( ) ( ) 0100 >< ff 1,0 00 == ba ;

Step 1: ( ) ( ) ( ) 05.0005.0 <⋅⇒> fff 5.0,0 11 == ba ;

Step 2: ( ) ( ) ( ) 05.025.0025.02

5.00 <⋅⇒<=

+ffff 5.0,25.0 22 == ba ;

M M

Step n: ................................... 3994.0,397994.0 == nn ba .

Possiamo perciò assumere il valore 0.39 come approssimazione della soluzione, esatta fino alla seconda cifra decimale.

VII.1.2. Approfondimento. A quale passo n l’algoritmo è stato arrestato? Quanti passi occorrono per ottenere otto cifre decimali esatte?

68

VII.2. Metodi di linearizzazione I metodi iterativi di linearizzazione consistono nell’approssimare le soluzioni dell’equazione (VII.2.1) 0)x(f = con quelle di un’opportuna classe di equazioni lineari

0qmx =+ Precisamente, l’idea base è la seguente: al passo n si approssima la funzione f con una funzione lineare ng e si risolve l’equazione:

(VII.2.2) ( ) 0xgn =

che ammette un’unica soluzione nx .

Gli elementi ( ) INnnx ∈ così determinati formano una successione di approssimanti della

soluzione dell’equazione (VIII.2.1) con la proprietà che l’approssimazione migliora ad ogni passo(2). __________________________________ (2) Questo implica che ( ) INnnx ∈ converge alla soluzione di (VIII.2.1).

69

SCHEMA DEL PROCESSO ITERATIVO Le trasformazioni T che generano i vari processi di linearizzazione sono tutte dello stesso tipo, ne diamo qui una descrizione in termini geometrici. Fissato un punto [ ]ba,∈α , si considera il punto ( )( )αα=α f,P sul grafico di f

ed il fascio di rette di centro αP .

Si seleziona quindi (secondo una legge che varia in funzione del metodo) una retta di tale fascio:

( ) ( )α+α−⋅= fxmy e si considera l’intersezione αx di tale retta con l’asse delle x.

La trasformazione T associa ad α il punto αx

α →α xT

Il processo iterativo generato da T è il seguente:

( )

== − K,3,2,1nxTx

startx

1nn

0

70

Sotto opportune ipotesi sulla funzione f (che differiscono da metodo a metodo) si prova che:

1) la trasformazione T è una contrazione, ammette pertanto un unico punto fisso(3)

( )xTx =

che è l’attrattore del processo. 2) tale attrattore (indipendente dallo start 0x ) è soluzione dell’equazione (VIII.2.1).

3) l’errore di approssimazione:

xxnn −=ε

diminuisce ad ogni passo. Per individuare ciascun metodo è sufficiente assegnare i suoi elementi caratteristici: lo start e la legge che seleziona la retta del fascio. VII.2.1. Regula Falsi Supponiamo che:

i) [ ] IRb,a:f → è una funzione derivabile fino al secondo ordine, con derivata seconda di segno costante

ii) ( ) ( ) 0bfaf <⋅

ESISTENZA ed UNICITA’ Le ipotesi assunte assicurano l’esistenza di un’unica soluzione in [ ]b,a dell’equazione: 0)x(f = . (*) Precisamente l’esistenza è conseguenza del teorema degli zeri (ogni funzione derivabile è continua!) e l’unicità discende dalla monotonia di f (conseguenza questa dell’ipotesi i) e del teorema di Lagrange). ________________________ (3) cfr. Paragrafo 3.

71

ELEMENTI CARATTERIZZANTI IL METODO • start: Si assegnano due punti 0x e 1x coincidenti con gli estremi dell’intervallo [ ]b,a

• step n: ( ) ( )

2nxx

xfxfm

01n

01nn ≥

−−

=−

−

la retta selezionata (al passo n) è quella che congiunge il punto ( )( )00 xf,x con il punto

( )( )1n1n xf,x −− individuato al passo precedente.

Le ipotesi assunte assicurano che la trasformazione T è una contrazione e la successione delle iterate ( ) INnnx ∈ è monotona. L’approssimazione così migliora ad ogni passo.

Il metodo della regula falsi è un algoritmo iterativo semplice da implementare, con velocità di convergenza analoga al metodo di bisezione (convergenza “lenta”).

72

VII.2.2. Metodo delle secanti Supponiamo che siano verificate le ipotesi i) ed ii) del paragrafo precedente. E’ assicurata quindi ESISTENZA ed UNICITA’ della soluzione in [ ]b,a . ELEMENTI CARATTERIZZANTI IL METODO • start: Si assegnano due punti 0x e 1x coincidenti con gli estremi dell’intervallo [ ]b,a .

• step n: ( ) ( )

2nxx

xfxfm

2n1n

2n1nn ≥

−−=

−−

−−

la retta selezionata (al passo n) è la secante passante per i punti ( )( )1n1n xf,x −−

( )( )2n2n xf,x −− calcolati nei due passi precedenti.

A differenza della regula falsi, entrambi i punti che individuano la retta si aggiornano con il procedere del passo. Le ipotesi assunte assicurano che la trasformazione T è una contrazione. La successione ( ) INnnx ∈ delle iterate non è in generale monotona, tuttavia anche in questo

caso, l’approssimazione migliora ad ogni passo. Il metodo delle secanti è un algoritmo con velocità di convergenza più alta rispetto a quella della bisezione (cfr. Paragrafo VIII.1).

73

VII.2.3. Metodo delle tangenti o di Newton-Fourier -Raphson Supponiamo che:

i) [ ] IRb,a:f → sia una funzione derivabile fino al secondo ordine, con derivata seconda continua;

ii) ( ) [ ]b,ax0xf ∈∀≠′ ;

iii) ( )xf ′′ sia di segno costante;

iv) ( ) ( ) 0bfaf <⋅ ;

v) ( )( )

( )( ) abbf

bf,ab

af

af −<′

−<′

.

Le ipotesi(4) assicurano (come abbiamo già osservato nel paragrafo VIII.2.1) ESISTENZA ed UNICITA’ della soluzione in [ ]b,a . ELEMENTI CARATTERIZZANTI IL METODO • start: Si assegna il punto 0x coincidente con uno degli estremi dell’intervallo [ ]b,a

• step n: ( ) 1nxfm 1nn ≥′= − la retta selezionata (al passo n) è la tangente al grafico di f nel punto ( )( )1n1n xf,x −−

individuato al passo precedente. (4) Le ipotesi i)-v) sono più restrittive di quelle assunte ai numeri precedenti.

74

Le ipotesi assicurano che T è una contrazione e la successione delle iterate è monotona. Il metodo delle tangenti è un algoritmo con velocità di convergenza doppia rispetto al metodo della bisezione (cfr. Paragrafo VIII.1).

VII.2.1. Approfondimento. Siano

<−−≥=

0xx

0xx)x(f1

<−≥=

0xx

0xx)x(f

3 2

3 2

2

<−≥=

0xx

0xx)x(f

3

3

3

tre funzioni assegnate. Verificare che ciascuna funzione ,3i1,f i ≤≤ non soddisfa almeno una delle ipotesi i)-v) assunte in questo paragrafo. Di conseguenza la trasformazione T, individuata con il metodo delle tangenti, non è detto sia una contrazione , né che la successione delle iterate sia monotona. Studiare il comportamento delle iterate ottenute scegliendo la start .0x 0 ≠

VII.2.2. Approfondimento. La successione nn )y( determinata mediante l’algoritmo

babilonese coincide con la successione delle iterate (con start 2x 0 = ) associata al metodo

delle tangenti applicato all’equazione

02x 2 =− in +IR .

VII.2.3. Approfondimento. Newton illustrò il suo metodo attraverso l’equazione

05x2x 3 =−− .

Quali risultati avrà trovato?

75

CAPITOLO VIII METODI ITERATIVI DI APPROSSIMAZIONE A CONFRONTO Proponiamo alcuni esempi per illustrare i metodi iterativi di approssimazione. VIII.1. ESEMPIO Riprendiamo l’equazione dell’esempio VII.1.1.

0110x x =−⋅ Si può controllare che i quattro metodi del capitolo VIII sono applicabili nell’intervallo [ ]2,0 . La tabella seguente sintetizza le approssimazioni ottenute con i quattro metodi descritti nel capitolo VIII. I dati della tabella evidenziano che la velocità di convergenza del metodo di Newton è superiore a tutte le altre.

76

VIII.2. Equazioni di Abel-Ruffini I Babilonesi conoscevano una formula “empirica” per valutare le radici di un’equazione di secondo grado, in funzione dei suoi coefficienti. Bisogna attendere però il XIII secolo per trovare in testi arabi la formula risolutiva esatta. Nel 1515 Scipione Dal Ferro trovò la formula risolutiva(1) per le equazioni (algebriche) di terzo grado a coefficienti reali

0dxcxbxa 23 =+++ .

L’idea geniale di Dal Ferro consiste nel “ridurre” l’equazione ad un sistema simmetrico del tipo

=⋅

=+

pvu

svu

33

33

(facilmente risolvibile attraverso un’equazione di secondo grado associata). Appena trenta anni dopo L. Ferrari determinò la formula risolutiva delle equazioni di quarto grado a coefficienti reali

0exdxcxbxa 234 =++++

Egli risolse il problema, decomponendo un polinomio di quarto grado nel prodotto di due polinomi di secondo grado. I coefficienti incogniti della decomposizione vennero determinati risolvendo un’equazione di terzo grado. Le formule di Dal ferro e Ferrari determinano le soluzioni (in campo complesso) in funzione dei coefficienti delle equazioni attraverso espressioni contenenti radicali. Per questa ragione le equazioni di secondo, terzo, quarto grado si dicono “risolubili per radicali”. _________________________ (1) Nota anche come formula di Cardano-Tartaglia. Fu quest’ultimo a pubblicarla per primo nel 1545 nel trattato

“Ars Magna”. Le formule di secondo e terzo grado sono, oggi, implementate in gran parte nei C.A.S. (Computer Algebra System) quali Mathematica, MapleV, Derive. Questi due successi diedero un forte impulso alla ricerca di formule risolutive per le equazioni di quinto grado. Questa ricerca (fatto salvo per alcune formule in casi particolari) fu infruttuosa fino al 1824. In quell’anno, infatti, il matematico norvegese N. H. Abel pubblicò un risultato sull’argomento che è sintetizzato nel teorema seguente.

77

Teorema (Abel-Ruffini(2)). Esiste una equazione di quinto grado non risolubile per radicali. L’equazione in oggetto (che è nota sotto il nome di equazione di Abel-Ruffini) è

02x4x5 =+−

Appena sette anni più tardi il matematico francese E. Galois caratterizzò la classe di tutte e sole le equazioni risolubili per radicali. Da tale risultato discende immediatamente la seguente preposizione. Teorema (E. Galois). Per ogni fissato 5n ≥ esiste una equazione di grado n non

risolubile per radicali. In altre parole il risultato di Galois infrange il sogno (dei matematici) di determinare una formula risolutiva (per radicali) per le equazioni di grado superiore al quarto. VIII.2.1 Approfondimento. Seguendo l’idea di Scipione Dal ferro, trovare la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. VIII.2.2. Approfondimento. Seguendo il procedimento di L. Ferrari, trovare la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. VIII.2.3. Approfondimento. Dopo aver discusso esistenza, unicità e localizzazione delle soluzioni reali dell’equazione di Abel, determinare, utilizzando i metodi di linearizzazione, le prime 6 cifre decimali esatte di tali soluzioni.

__________________________ (2) P. Ruffini, matematico italiano, apportò con le sue ricerche notevoli contributi sull’argomento; in

particolare nel 1799 egli propose una dimostrazione del teorema risultata poi non del tutto convincente.

VIII.3. Equazione di Keplero Il modello del moto dei pianeti, ottenuto in accordo con la legge di gravitazione universale di Newton e alle leggi di Keplero, conduce a studiare la così detta equazione di Keplero.

78

[ ]π∈ψ∈=+ψ+ψ⋅ ,0conIRb,e0bsine Studiamo per semplicità il caso particolare ove 1b −= ed 1e = , cercando soluzioni

nell’intervallo

π2

,0 .

Posto ( ) 1sinf −ψ+ψ=ψ , il grafo di f nell’intervallo

π2

,0 è riportato nella figura

seguente.

La figura “mostra” che l’equazione studiata ammette una sola soluzione in

π2

,0 .

Come prova di questa affermazione è facile verificare che sussistono le ipotesi i)-v) del paragrafo VIII.2.3.

79

La tabella seguente sintetizza le approssimazioni con i metodi descritti nel capitolo VIII.

VIII.3.1. Approfondimento. Fare una ricerca sulla equazione di Keplero.

80

VIII.4. Crescita esponenziale e crescita polinomia le a confronto Come è noto, la crescita esponenziale supera quella polinomiale, quando la variabile cresce a dismisura(3). In altri termini risulta

( ) 0xpex >−

per ogni x sufficientemente grande. Sorprendentemente però, in alcuni casi le funzioni polinomiali (quadratiche, cubiche, etc.) “sorpassano” al finito la funzione esponenziale. Precisiamo il senso dell’affermazione, limitandoci a considerare la funzione esponenziale e la cubica

( ) xexf = ( ) 3xxg = Nonostante nel punto iniziale ( )0x 0 = l’esponenziale sia sopra la cubica

( ) 0)0(10 =>= gf

dopo solo cinque unità è già avvenuto il sorpasso. È infatti

0535)5()5( 3535 <−<−=− egf Il grafo delle funzioni nell’intervallo [0,10] illustra chiaramente il reciproco comportamento delle funzioni.

(3) Tale risultato è conseguenza di un limite notevole.

81

VIII.4.1. Approfondimento. Utilizzando un metodo iterativo di approssimazione esposto nel capitolo VIII, determinare i punti di sorpasso.

VIII.4.2. Approfondimento. Discutere esistenza, unicità e calcolo dei punti di

sorpasso fra la funzione esponenziale xe e la funzione potenza kx , con k intero positivo fissato.

82

Bibliografia

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4. J. Stewart, Calcolo, Funzioni di una variabile, Apogeo, 2001.

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