diss.vlsu.rudiss.vlsu.ru/uploads/media/Disser_Telnova_01.pdf · Введение Актуальность темы В диссертации рассматривается задача,

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

На правах рукописи

Тельнова Мария Юрьевна

ОЦЕНКИ ПЕРВОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯЗАДАЧИ ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ

С УСЛОВИЯМИ ДИРИХЛЕИ ВЕСОВЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы иоптимальное управление

ДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степени

кандидата физико–математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:доктор физико–математических наук,профессор Асташова И. В.

ВЛАДИМИР — 2015

Оглавление

Введение 3

1. Вариационная постановка задачи 22

2. Оценки первого собственного значения снизу 282.1. Предварительные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Точные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Оценки первого собственного значения сверху 553.1. Предварительные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2. Точные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Литература 86

2

Введение

Актуальность темы

В диссертации рассматривается задача, основополагающей для ко-торой послужила задача, известная как задача Лагранжа [29] или зада-ча о наиболее прочной колонне заданного объема. Эту задачу в болееобщей постановке решали ученые разных стран мира более чем 200лет: Keller J.B. [28], [32], Tadjbakhsh I. [32], А. С. Братусь [2], [3],А. П. Сейранян [3], [19], S. J. Cox [21], [22], M. L. Overton [22],Ю. В. Егоров и В. А. Кондратьев [6], [24] и др. Для решения зада-чи Лагранжа потребовались практически все разделы вариационногоисчисления, включая современные достижения. В свою очередь эта за-дача стимулирует развитие новых математических дисциплин, такихкак теория экстремальных задач с недифференцируемыми функцио-налами. Механическая сущность задачи о колонне позволила выбратьсреди возможных экстремалей оптимальные решения, имеющие явныйфизический смысл.

В 1773 году Ж.-Л. Лагранж, развивая работы Л. Эйлера [20] обустойчивости упругих стержней, поставил задачу об оптимальной фор-ме колонны, нагруженной продольной силой P : найти форму колонны,максимизирующую критерий «прочности»

maxPc

V 2 ,

где Pc – критическая сила потери устойчивости, V – объем колонны.Колонна является телом вращения плоской кривой вокруг некоторойпрямой, расположенной в ее плоскости.

Потеря устойчивости колонны описывается уравнением изгиба тон-ких тонких стержней Бернулли – Эйлера

(EI(x)y′′)′′ + Py′′ = 0, 0 < x < L, (1)

3

где y(x) – функция прогиба, E – модуль Юнга, I(x) = πR4(x)/4 – мо-мент инерции стержня круглого сечения радиуса R.

Ж.-Л. Лагранж рассматривал условия шарнирного опирания ко-лонны на обоих концах

y(0) = (EI(x)y′′)x=0 = 0, y(L) = (EI(x)y′′)x=L = 0. (2)

Объем колонны задается интегралом

V =

∫ L

0A(x)dx, (3)

где A(x) = πR2(x) – площадь поперечного сечения.После введения безразмерных переменных x0 = x/L, y0 = y/L,

S(x0) = A(Lx0)L/V , введя обозначения λ = 4πPL4/(EV 2),Q(x) = S2(x), уравнение (1) и условия (2), (3) примут вид (нули всимволах x0 и y0 опускаем)

(Q(x)y′′)′′ + λy′′ = 0, 0 < x < 1, (4)

y(0) = (Q(x)y′′)x=0 = 0, y(1) = (Q(x)y′′)x=1 = 0. (5)∫ 1

0

√Q(x)dx = 1. (6)

Задача (4) – (5) представляет собой задачу на собственные значе-ния и сводится к максимизации первого собственного значения λ приизопериметрическом условии (6).

Приведем постановку задачи Лагранжа, рассматриваемой в работах[28], [32], [6], и связанной с ней вариационной задачи при жесткомзакреплении колонны с обоих концов:

y(0) = y′(0) = y(1) = y′(1) = 0. (7)

Потенциальная энергия колонны единичной длины выражаетсяфункционалом

T =

∫ 1

0Q(x)y′′(x)2dx− λ

∫ 1

0y′(x)2dx.

При малых значениях λ минимальное значение T в классе H20(0, 1)

равно 0. Критической нагрузкой λ0 называется максимальное значе-ние λ, при котором infy∈H2

0 (0,1) T = 0. Пусть

λ1(Q) = infy∈H2

0 (0,1)L[Q, y], где L[Q, y] =

∫ 10 Q(x)y′′(x)2dx∫ 1

0 y′(x)2dx

.

4

Задача оптимизации Лагранжа состоит в отыскании такой неотри-цательной функции поперечного сечения

√Q0(x), что λ0 = λ1(Q0) и∫ 1

0

√Q0(x)dx = 1. Уравнение (4) является уравнением Эйлера – Лаг-

ранжа для функционала L[Q, y] при условии, что выполняются гра-ничные условия (5) или (7).

Если колонна имеет сечения произвольной формы, подобные одно-му из них, и неоднородна, то есть составлена из слоев с различнымиупругими свойствами, то условие на функцию Q можно заменить усло-вием ∫ 1

0Qγ(x)dx = 1 (8)

при некотором γ ∈ (0, 1].В работах [28], [32], [6] рассматривается задача для уравнения (4),

граничных условий (7) и интегрального условия (8), которая сводит-ся к нахождению экстремальных значений функционала L[Q, y] приусловиях, что функция y принадлежит пространству H2(0, 1), удо-влетворяет граничным условиям (7), и функция Q – неотрицатель-ная ограниченная измеримая функция, удовлетворяющая условию (8)(в работах [28], [32] γ = 1/2). В работе [6] авторами используютсяпространства Соболева Wp

l(0, 1), l = 1, 2, с любыми вещественнымизначениями p 6= 0, что интересно также и вне рамок задачи Лагранжа.

В работе [6] приводится эквивалентная задаче (4) – (7) – (8) вариа-ционная задача об экстремуме функционала

F [Q, y] =

∫ 10 Q(x)y′(x)2dx∫ 1

0 y(x)2dx

при условии, что функция y ∈ H10(0, 1) удовлетворяет условию∫ 1

0 y(x)dx = 0, и функция Q удовлетворяет условию (8).Задача Лагранжа послужила источником для различных постано-

вок экстремальных задач на собственные значения, в том числе дляуравнений второго порядка с интегральным условием на потенциал.Одной из первых задач такого типа для уравнения второго порядка инулевых граничных условий

y′′ + λQ(x)y = 0, x ∈ (0, 1) , (9)

y(0) = y(1) = 0, (10)

5

была поставлена и изучена Ю. В. Егоровым и В. А. Кондратьевым[6], [24] при условии, что функция Q принадлежит множеству Rγ дей-ствительных положительных измеримых на (0, 1) функций, удовле-творяющих условию∫ 1

0Q γ(x)dx = 1, γ ∈ R, γ 6= 0. (11)

Из вариационного принципа следует, что

λ1(Q) = infy∈C∞0 (0,1)

∫ 10 y

′2dx∫ 10 Q(x)y2dx

.

Оценивались значения

mγ = infQ∈Rγ

λ1(Q), Mγ = supQ∈Rγ

λ1(Q).

Точные оценки снизу наименьшего собственного значения задачи(9) – (11) при γ = 1 были получены также и И. М. Рапопортом [18].

Среди экстремальных задач на собственные значения с интеграль-ным условием на потенциал для уравнений второго порядка выделимзадачу на нахождение оценок λ1(P,Q) задачи

y′′ −Q(x)y + λP (x)y = 0, x ∈ (0, 1) ,

y(0) = y(1) = 0,

где Q и P – такие измеримые неотрицательные функции, что выпол-няются условия∫ 1

0Qγ(x)dx = 1 и

∫ 1

0P α(x)dx <∞, α, γ ∈ R, γ 6= 0.

Одним из первых эту задачу поставил A. Ramm [30]. Его формули-ровка задачи дана в случае Q(x) ≡ 1 и α = 1. В этом частном случаезадача была решена G. Talenti [31] и M. Essen [25]. В общем случаеданная задача была решена Ю. В. Егоровым [23] и S. Karaa [23], [27].

В. А. Винокуровым и В. А. Садовничим [4] рассматривалась задача

y′′ + (λ−Q(x))y = 0, x ∈ (0, π) , y(0) = y(π) = 0, (12)

6

где Q – вещественная интегрируемая по Лебегу на (0, π) функция.Для произвольной функции Q ∈ L1(0, π) n–оe собственное значе-

ние обозначалось λ = λn(Q), для Q ≡ 0 n–oe собственное значение,равное n2 , обозначалось λn,0 :

λn(Q) = n2 = λn,0.

Исследовался вопрос: как сильно можно изменить (увеличить илиуменьшить) собственное значение, если Q меняется в пределах неко-торого множества

Up[t] ≡ {Q ∈ Lp(0, π), ‖Q‖p 6 t}, t > 0, p ∈ [1,+∞].

Рассматривались следующие величины:

λn,p(t) = supQ∈Up[t]

λn(Q), λn,p(t) = infQ∈Up[t]

λn(Q),

соответственно точная верхняя и точная нижняя грани собственногозначения на множестве Up[t];

vn,p(t) = λn,p(t)− λn,0, wn,p(t) = λn,0 − λn,p(t),

соответственно верхний сдвиг и нижний сдвиг собственного значенияна множестве Up[t].

В работе [4] приводятся оценки снизу и сверху собственных значе-ний задачи (12) при p > 1 и результат о достижимости оценок приp > 1. Отметим, что случай p < 1 в работе [4] не рассматривался.

Для сдвига vn,1(t) собственного значения в пространстве L1(0, π)приводится теорема, утверждающая, что для любых n ∈ N иt ∈ [0,+∞) верно неравенство

vn,1(t) 6 t+λn,0

2

(√1 +

4t

λn,0− 1

).

Из данной теоремы следует, что для точной верхней грани первогособственного значения задачи (12), рассмотренной на отрезке [0, 1],справедлива оценка

M1 6π2

2+ 1 +

π

2

√π2 + 4,

7

где M1 – точная верхняя грань первого собственного значения зада-чи при p = 1 и t = 1. Достижимость данной оценки была доказанаС. С. Ежак в работах [7], [8], [26].

С. С. Ежак [7], [8], [26] рассматривалась задача

y′′ + δQ(x)y + λy = 0, x ∈ (0, 1) , y(0) = y(1) = 0, (13)

где δ = ±1, Q принадлежит множеству Aγ неотрицательных ограни-ченных на [0, 1] функций, удовлетворяющих условию∫ 1

0Qγ(x)dx = 1, γ ∈ R, γ 6= 0. (14)

Рассматривался функционал

R[Q, y] =

∫ 10 y

′2dx− δ∫ 1

0 Q(x)y2dx∫ 10 y

2dx.

Согласно вариационному принципу

λ1(Q) = infy∈H1

0 (0,1)R[Q, y].

Оценивались значения

mγ = infQ∈Aγ

λ1(Q), Mγ = supQ∈Aγ

λ1(Q).

Для δ = −1 доказана следующая теорема.

Теорема (см. [8], с. 518). Пусть δ = −1. Если γ > 1, то

mγ = π2, Mγ = const <∞,

причем существуют такие функции u(x) ∈ H10(0, 1) и Q(x) ∈ Aγ ,

чтоinf

y(x)∈H10 (0,1)

R[Q, y] = R[Q, u] = Mγ.

Если γ = 1, то

m1 = π2, M1 =π2

2+ 1 +

π

2

√π2 + 4,

8


чтоinf

y(x)∈H10 (0,1)

R[Q, y] = R[Q, u] = M1.

Если 0 < γ < 1, то

mγ = π2, Mγ = ∞.

Если γ < 0, то

mγ = const > π2, Mγ = ∞,


чтоinf

y(x)∈H10 (0,1)

R[Q, y] = R[Q, u] = Mγ.

К. З. Куралбаевой [12], [13] впервые рассматривалась задача

y′′ + λQ(x)y = 0, x ∈ (0, 1) , y(0) = y(1) = 0

при условии, что функция Q принадлежит множеству Tα,β,γ действи-тельных положительных измеримых на (0, 1) функций, удовлетворя-ющих весовому интегральному условию∫ 1

0xα(1− x)βQγ(x)dx = 1, α, β, γ ∈ R, γ 6= 0, (15)

при дополнительном условии∫ 1

0x(1− x)Q(x)dx <∞. (16)

Автором [12] показано, что требование выполнения условия (16) су-щественно, поскольку существуют такие значения параметров α, β, γ ,при которых вариационный принцип не выполняется только при вы-полнении условия (15), хотя в некоторых случаях это требование ока-зывается лишним, а именно, при γ > 1, α, β < 2γ − 1 из того, чтоQ(x) удовлетворяет (15), следует, что для Q(x) выполнено (16). Од-нако введение условия (16) сужает множество значений параметровα, β, γ , при которых множество Tα,β,γ непусто.

9

Вопрос об оценках первого собственного значения задачи с услови-ями Дирихле для уравнения

y′′ −Q(x)y + λy = 0, x ∈ (0, 1) ,

при условии, что потенциал имеет разные порядки особенностей внут-ри и на концах отрезка [0, 1], оставался открытым. При этом требо-валось ввести такое функциональное пространство, чтобы получитьоценки первого собственного значения при всех значениях параметровинтегрального условия.

В диссертации рассматривается задача

y′′ −Q(x)y + λy = 0, x ∈ (0, 1) , (17)

y(0) = y(1) = 0, (18)

при условии, что Q – действительная неотрицательная локально ин-тегрируемая на интервале (0, 1) функция, для которой выполняетсяинтегральное условие∫ 1

0xα(1− x)βQγ(x)dx = 1, α, β, γ ∈ R, γ 6= 0. (19)

Множество всех таких функций Q обозначим через Tα,β,γ .

Цель работы

Получить оценки для

mα,β,γ = infQ∈Tα,β,γ

λ1(Q) и Mα,β,γ = supQ∈Tα,β,γ

λ1(Q)

при всех значениях параметров интегрального условия и доказать до-стижимость точных оценок.

Методы исследований

В диссертации используются методы качественной теории обыкно-венных дифференциальных уравнений, функционального анализа испектральной теории дифференциальных операторов, в частности, ва-риационный метод нахождения первого собственного значения крае-вой задачи.

10

Задача Штурма–Лиувилля сводится к задаче нахождения экстре-мума некоторого функционала, уравнение Эйлера–Лагранжа для ко-торого совпадает с уравнением Штурма–Лиувилля в классе функций,удовлетворяющих граничным условиям.

Научная новизна

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Ос-новные результаты состоят в следующем:

1. Для всех значений параметров α, β, γ интегрального условия по-лучены оценки сверху и снизу первого собственного значения за-дачи Штурма–Лиувилля с нулевыми граничными условиями и свесовым интегральным условием на потенциал.

2. При γ > 1 для всех значений параметров α, β интегральногоусловия получены точные оценки сверху первого собственногозначения поставленной задачи и доказана их достижимость.

3. Для всех значений параметров α, β, γ интегрального условия по-лучены точные оценки снизу первого собственного значения по-ставленной задачи.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертация носит теоретический характер и может представлятьинтерес для специалистов в области качественной теории обыкновен-ных дифференциальных уравнений и спектральной теории дифферен-циальных операторов.

Апробация работы

Результаты работы обсуждались и докладывались на следующихнаучных семинарах:

• научный семинар по качественной теории дифференциальныхуравнений кафедры дифференциальных уравнений механико-ма-тематического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руко-

11

водством проф., д.ф.м.н. И.В. Асташовой, проф., д.ф.м.н. А.В. Бо-ровских, проф., д.ф.м.н. Н.Х. Розова, проф., д.ф.м.н. И.Н. Серге-ева (2012, 2014 гг.);

• научный семинар по проблемам механики сплошной среды Ин-ститута проблем механики РАН под руководством проф., д.ф.м.н.Д.В. Георгиевского, проф., д.ф.м.н. С.В. Нестерова (2015 г.);

• межвузовский научный семинар по качественной теории диффе-ренциальных уравнений МЭСИ, МГУ им. М.В. Ломоносова,МГТУ им. Н.Э. Баумана под руководством проф., д.ф.м.н.И.В. Асташовой, проф., д.ф.м.н. А.В. Филиновского, проф.,к.ф.м.н. В.А. Никишкина (неоднократно, 2007–2015 гг.).

Результаты диссертации докладывались на следующих конферен-циях:

• 14-ая Саратовская зимняя школа ”Современные проблемы теориифункций и их приложения”, 2008 г.

• Международная миниконференция ”Качественная теория диффе-ренциальных уравнений и приложения” Москва, МЭСИ, 2008,2010, 2011, 2013, 2014 гг.

• Международная конференция ”Дифференциальные уравнения итопология”, Математический институт имени В.А. СтекловаРАН, Московский государственный университет имени М.В. Ло-моносова, 2008 г.

• Международный Российско–Абхазский симпозиум ”Уравнениясмешанного типа и родственные проблемы анализа и информа-тики”, Нальчик–Эльбрус, 2009 г.

• ”Equadiff 12” – Международная конференция по дифференциаль-ным уравнениям и их приложениям, Брно, Чехия, 2009 г.

• Международная конференция по дифференциальным и разност-ным уравнениям и их приложениям, Азорский университет, ПонтаДельгада, Португалия, 2011 г.

12

• Международная конференция ”Современные проблемы приклад-ной математики, теории управления и математического модели-рования”, Воронеж, 2011, 2012 гг.

• Всероссийская научная конференция с международным участи-ем ”Спектральная теория операторов и ее приложения”, г. Архан-гельск, Институт математики и компьютерных наук САФУ имениМ.В. Ломоносова, 2012 г.

• Международная научная конференция ”Теоретические и прик-ладные аспекты математики, информатики и образования”, Ар-хангельск, САФУ, 2014 г.

• Всероссийская научная конференция ”Понтрягинские чтения” врамках Воронежской весенней математической школы ”Современ-ные методы теории краевых задач”, Воронеж, 2013, 2014 гг.

• International Conference on Applied Mathematics and ScientificComputing, Sibenik, Croatia, 2013 г.

• Международная конференция по дифференциальным и разност-ным уравнениям и приложениям, Ясна, Словакия, 2014 г.

• Международная конференция по дифференциальным уравнени-ям и динамическим системам, Суздаль, 2014 г.

• European Advanced Studies Conference 2014, Symposium onDifferential and Difference Equations 2014, Homburg/Saar, Germany,2014.

Публикации автора

Результаты диссертации опубликованы в 25 работах, 3 из которыхопубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК, в том числе 7 ста-тей, 14 тезисов докладов, 1 глава в монографии. Их список приведенв конце диссертации. Работ в соавторстве нет.

13

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы,содержащего 57 наименований, включая работы автора. Объем дис-сертации составляет 93 страницы. Диссертация содержит 6 рисункови 6 таблиц.

Краткое изложение содержания работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, прово-димых в данной диссертационной работе, приводится краткий обзорработ по данной проблеме, формулируется цель исследования, приво-дятся основные результаты исследований.

В первой главе диссертации приводится постановка задачи, опре-деляется, какая функция называется решением задачи, какая функцияназывается обобщенным решением рассматриваемой задачи.

Для получения оценок для mα,β,γ и Mα,β,γ вводится следующеефункциональное пространство. Для произвольной функции Q ∈ Tα,β,γ

через HQ обозначается замыкание множества C∞0 (0, 1) по норме

‖y‖HQ=

(∫ 1

0y′

2dx+

∫ 1

0Q(x)y2dx

) 12

.

В первой главе через Γ1 обозначается множество таких функций y изHQ , что ∫ 1

0y2dx = 1.

Доказывается, что

λ1(Q) = infy∈HQ\{0}

R[Q, y] = infy∈Γ1

F [Q, y],

где

R[Q, y] =

∫ 10 y

′2dx+∫ 1

0 Q(x)y2dx∫ 10 y

2dx, F [Q, y] =

∫ 1

0y′

2dx+

∫ 1

0Q(x)y2dx.

Результатом первой главы являются следующие теоремы:

Теорема 1.1. Пусть Q ∈ Tα,β,γ и m = infy∈Γ1

F [Q, y]. Тогда суще-

ствует такая функция y ∈ Γ1 , что F [Q, y] = m.

14

Теорема 1.2. Пусть функция y удовлетворяет условиям теоре-мы 1.1. Тогда y является решением уравнения

−y′′ +Q(x)y − λy = 0,

где λ = m – минимальное собственное значение задачи (17), (18).

Во второй главе диссертации получены оценки для mα,β,γ . Резуль-татом первого параграфа второй главы является

Теорема 2.1. Для mα,β,γ имеют место следующие оценки.

1. Если γ > 0, то mα,β,γ = π2 .

2. Если γ < 0, то π2 6 mα,β,γ <∞, причем

1) если γ < 0, α, β > 0, то справедливо неравенство

mα,β,γ 6

min{π2 + 1,

(1 + 4(α− 2γ + 1)

1γ

)π2,(1 + 4(β− 2γ + 1)

1γ

)π2}

;

2) если γ < 0, 2γ−1 < α < 0 6 β, то справедливо неравенство

mα,β,γ 6(1 + 4(α− 2γ + 1)

1γ

)π2;

3) если γ < 0, 2γ−1 < β < 0 6 α, то справедливо неравенство

mα,β,γ 6(1 + 4(β − 2γ + 1)

1γ

)π2;

4) если γ 6 α, β < 0 или 2γ − 1 < β < γ 6 α < 0 или2γ − 1 < α < γ 6 β < 0, то справедливо неравенство

mα,β,γ 6(1 + θ

1γ · 2

θ+4γ−2γ

)π2,

где θ = min {α, β} − 2γ + 1;5) если γ < 0 и 2γ − 1 < α, β < γ , то справедливо неравенство

mα,β,γ 6 min

{(1 + θ

1γ · 2

θ+4γ−2γ

)π2, R

[1

y21, y1

]},

где y1(x) = xα2γ (1− x)

β2γ и θ = min {α, β} − 2γ + 1;

15

6) если γ < 0 и α 6 2γ − 1, то

а) при β > γ справедливо неравенство mα,β,γ 6 R[Qα,β,γ, yθ],

б) при β < γ справедливо неравенство

mα,β,γ 6 min

{R[Qα,β,γ, yθ], R

[1

y21, y1

]},

гдеy1(x) = x

α2γ (1− x)

β2γ ,

Qα,β,γ(x) = Ax−αγ (1− x)−

βγx

Aγ−1γ ,

yθ(x) =

xθ , 0 6 x 6

1

2;

(1− x)θ,1

2< x 6 1,

и θ – некоторое действительное число, при некоторомA>0 удовлетворяющее неравенству θ > α−|β|−γ−Aγ+1

2γ ;

7) если γ < 0 и β 6 2γ − 1, то имеют место результатыпункта 6, где α и β меняются местами иQα,β,γ(x) = Ax−

αγ (1− x)−

βγ (1− x)

Aγ−1γ .

Замечание. Отметим, что если рассмотреть при γ > 0 обобщенноерешение задачи (17) – (19) с потенциалом Q∗(x) = x−

αγ (1−x)−

βγ δ(x−1)

(или с потенциалом Q∗(x) = x−αγ (1− x)−

βγ δ(x)) в виде δ – функции с

носителем в точке 1 (0), то

mα,β,γ = π2 = λ1(Q∗).

Результаты теоремы 2.1 представлены с помощью рисунков 1, 2, 3и таблиц 1, 2, 3.

В третьей главе получены оценки для Mα,β,γ . Результатом пер-вого параграфа третьей главы является

Теорема 3.1. Для Mα,β,γ имеют место следующие оценки.

1. Если γ < 0 или 0 < γ < 1, то Mα,β,γ = ∞.

2. Если γ > 1, то Mα,β,γ <∞, причем

16

1) если γ > 1 и 0 < α, β 6 2γ− 1, то справедливо неравенство

Mα,β,γ 6

(1 + 2

3γ−2γ

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ

)π2;

2) если γ > 1 и β 6 0 < α 6 2γ − 1 или α 6 0 < β 6 2γ − 1,то справедливо неравенство

Mα,β,γ 6

(1 +

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ

)π2;

3) если γ > 1 и α, β 6 0, то Mα,β,γ 6 2π2 ;

4) если γ > 1 и α, β > γ , то Mα,β,γ 6 R[

1y21, y1

], где

y1(x) = xα2γ (1− x)

β2γ ;

5) если γ > 1, то

а) при β 6 γ < α и y2(x) = xα2γ sin π(1 − x) справедливо

неравенство

Mα,β,γ 6

∫ 10 y

′22dx+ π2

(γ−1

3γ−β−1

)γ−1γ∫ 1

0 y22dx

при γ > 1,

Mα,β,γ 6

∫ 10 y

′22dx+ π2∫ 1

0 y22dx

при γ = 1;

б) при α 6 γ < β имеют место результаты пункта 5. а),где в формулах для Mα,β,γ вместо функции y2 стоитфункция

y3(x) = (1− x)β2γ sin πx;


а) при α > γ , β 6 0 и y2(x) = xα2γ sin π(1 − x) справедливо


Mα,β,γ 6 R

[1

y22, y2

];

17

б) при β > γ , α 6 0 имеет место результат пункта6. а), где в формуле для Mα,β,γ вместо функции y2 стоитфункция


7) если γ = 1 > α > 0 > β или γ = 1 > β > 0 > α, то

Mα,β,γ 6 2π2;

8) если γ = 1 > α, β > 0, то Mα,β,γ 6 3π2 ;

9) если γ = 1, α, β 6 0, то Mα,β,γ 6 54π

2 .

Результаты теоремы 3.1 представлены с помощью рисунков 4, 5, 6и таблиц 4, 5, 6.

Во втором параграфе второй главы получены точные оценкиmα,β,γ при γ < 0 (при γ > 0 в теореме 2.1 доказано, что mα,β,γ = π2).

Во втором параграфе третьей главы получены точные оценкиMα,β,γ при γ > 1 (при γ < 0 и при 0 < γ < 1 в теореме 3.1 доказано,что Mα,β,γ = ∞), доказывается их достижимость.

В случае γ = 1 достижимость точных оценок Mα,β,γ доказанаА. А. Владимировым [5]. Достижимость точной оценки M0,0,1 дока-зана С. С. Ежак [7], [8], [26].

Для получения точных оценок для mα,β,γ при γ < 0 и точныхоценок для Mα,β,γ при γ > 1 рассматривается функционал

G[y] =

∫ 10 y

′2dx+(∫ 1

0 xα

1−γ (1− x)β

1−γ |y|2γ

γ−1dx)γ−1

γ∫ 10 y

2 dx

и вводится новое пространство Bα,β,γ функций из H10(0, 1) с конечной

нормой

‖y‖Bα,β,γ=

(∫ 1

0y′

2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

) 12

.

18

Пусть Γ2 = {y | y ∈ Bα,β,γ,∫ 1

0 xα

1−γ (1− x)β

1−γ |y|2γ

γ−1dx = 1},

m = infy∈Bα,β,γ\{0}

G[y].

Результатом второго параграфа второй главы являются следующиетеоремы.

Теорема 2.2. Пусть γ < 0; тогда существует такая неотрица-тельная на интервале (0, 1) функция u ∈ Γ2 , что G[u] = m, причемпри γ < −1 функция u является слабым решением уравнения

u′′ +mu = xα

1−γ (1− x)β

1−γ uγ+1γ−1 .

Теорема 2.3. Пусть γ < 0 и функция u удовлетворяет условиямтеоремы 2.2. Тогда существует такая последовательность функцийQn(x) ∈ Tα,β,γ , что R[Qn, u] → G[u] = m при n→∞, и mα,β,γ = m.

Результатом второго параграфа третьей главы является

Теорема 3.2. Пусть γ > 1; тогда существуют такая функцияQ∗ ∈ Tα,β,γ и такая положительная на (0, 1) функция u ∈ HQ∗ , чтоR[Q∗, u] = G[u] = m, и Mα,β,γ = m, при этом функция u удовлетво-ряет уравнению

u′′ +mu = xα

1−γ (1− x)β

1−γ uγ+1γ−1

и условию ∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ u

2γγ−1 dx = 1.

Замечание. При γ > 1 справедливо неравенство Mα,β,γ > π2 .

В заключение автор выражает глубокую признательность научномуруководителю И. В. Асташовой за постановку задачи, руководство ипостоянное внимание к работе. Автор благодарен А. В. Филиновскомуза обсуждение результатов работы и полезные советы.

19

Список обозначений

1. AC[0, 1] – пространство функций, абсолютно непрерывных наотрезке [0, 1].

2. C∞0 (0, 1) – пространство бесконечно дифференцируемых на ин-

тервале (0, 1) функций с компактными носителями.

3. W11(0, 1) – пространство функций, принадлежащих пространству

L1(0, 1), имеющих обобщенную производную первого порядка,принадлежащую пространству L1(0, 1), с конечной нормой

‖y‖W11(0,1) =

∫ 1

0|y′|dx+

∫ 1

0|y|dx.

4. H10(0, 1) – пространство функций, определенных на [0, 1], удо-

влетворяющих нулевым граничным условиям и имеющих обоб-щенную производную первого порядка, с конечной нормой

‖y‖H10 (0,1) =

(∫ 1

0y′

2dx+

∫ 1

0y2dx

) 12

.

5. H20(0, 1) – пространство функций, определенных на [0, 1], удо-

влетворяющих граничным условиям

y(0) = y′(0) = y(1) = y′(1) = 0

и имеющих обобщенные производные первого и второго порядков,с конечной нормой

‖y‖H20 (0,1) =

(∫ 1

0y′′

2dx+

∫ 1

0y′

2dx+

∫ 1

0y2dx

) 12

.

20

6. Tα,β,γ – множество всех действительных неотрицательных ло-кально интегрируемых на интервале (0, 1) функций Q, для кото-рых выполняется интегральное условие∫ 1

0xα(1− x)βQγ(x)dx = 1, α, β, γ ∈ R, γ 6= 0.

7. HQ – замыкание множества C∞0 (0, 1) по норме

‖y‖HQ=

(∫ 1

0y′

2dx+

∫ 1

0Q(x)y2dx

) 12

,

где Q – произвольная функция из множества Tα,β,γ.

8. Bα,β,γ – пространство функций из H10(0, 1) с конечной нормой

‖y‖Bα,β,γ=

(∫ 1

0y′

2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

)12

.

21

Глава 1.

Вариационная постановка задачи

Рассматривается задача

y′′ −Q(x)y + λy = 0, x ∈ (0, 1) , (1.1)

y(0) = y(1) = 0, (1.2)

при условии, что Q – действительная неотрицательная локально ин-тегрируемая на интервале (0, 1) функция, для которой выполняетсяинтегральное условие∫ 1

0xα(1− x)βQγ(x)dx = 1, α, β, γ ∈ R, γ 6= 0. (1.3)

Множество всех таких функций Q обозначим через Tα,β,γ .Под решением задачи (1.1), (1.2) понимается функция y , абсолютно

непрерывная на [0, 1], удовлетворяющая условиям (1.2), имеющая аб-солютно непрерывную производную на любом отрезке, содержащемсяв интервале (0, 1), и удовлетворяющая уравнению (1.1) почти всюдуна интервале (0, 1).

Для любой функции Q ∈ Tα,β,γ функция y ∈ H10(0, 1) называется

обобщенным решением задачи (1.1), (1.2), если для любой функцииψ ∈ C∞

0 (0, 1) выполняется равенство∫ 1

0(y′ψ′ +Q(x)yψ)dx = λ

∫ 1

0yψdx.

Изучается зависимость первого собственного значения λ1 задачи(1.1) – (1.3) от потенциала Q при различных значениях параметровα, β, γ, γ 6= 0.

22

Пусть Γ1 – множество таких функций y из HQ , что∫ 1

0y2dx = 1.

Рассмотрим функционалы

R[Q, y] =

∫ 10 y

′2dx+∫ 1

0 Q(x)y2dx∫ 10 y

2dx, F [Q, y] =

∫ 1

0y′

2dx+

∫ 1

0Q(x)y2dx.

Заметим, что множества значений R и F ограничены снизу. Пока-жем, что первое собственное значение λ1(Q) задачи (1.1), (1.2) опре-деляется равенствами


R[Q, y] = infy∈Γ1

F [Q, y].

Докажем для этого две теоремы.

Теорема 1.1. Пусть Q ∈ Tα,β,γ и m = infy∈Γ1

F [Q, y]. Тогда суще-

ствует такая функция y ∈ Γ1 , что F [Q, y] = m.

Доказательство теоремы 1.1

Для любых функций Q ∈ Tα,β,γ и y ∈ Γ1 имеем

F [Q, y] =

∫ 1

0y′

2dx+

∫ 1

0Q(x)y2dx = ‖y‖2

HQ.

Для любой функции Q ∈ Tα,β,γ пусть {yk} – минимизирующаяпоследовательность функционала F [Q, y] в Γ1 . Тогда для всех доста-точно больших значений k

F [Q, yk] = ‖yk‖2HQ

6 m+ 1.

Поскольку {yk} – ограниченная последовательность в сепарабель-ном гильбертовом пространстве HQ , она содержит подпоследователь-ность {zk}, которая слабо сходится в пространстве HQ к функции y ,и ‖y‖2

HQ6 m+ 1.

23

Докажем, что пространство HQ компактно вкладывается в про-странство C[0, 1]. Сначала установим ограниченность соответствую-щего оператора вложения.

Заметим, что неравенство

‖u‖C[0,1] 6 ‖u′‖L1(0,1) + ‖u‖L1(0,1) (1.4)

выполняется для любой функции u ∈ W11(0, 1) (см. [17], с. 18).

Поскольку u ∈ AC[0, 1], в силу леммы 4.4. (см. [17], с. 21) функцияu принадлежит пространству W1

1(0, 1), и на [0, 1] для нее выполняетсянеравенство (1.4).

Если u ∈ AC[0, 1] и u(0) = u(1) = 0, то

‖u‖L1(0,1) =

∫ 1

0|u|dx =

∫ 1

0

∣∣∣∫ x

0u′dx

∣∣∣dx 6∫ 1

0

(∫ 1

0|u′|dx

)dx =

=

∫ 1

0|u′|dx = ‖u′‖L1(0,1).

Таким образом,

‖u‖L1(0,1) 6 ‖u′‖L1(0,1). (1.5)

В силу неравенств (1.4), (1.5) и в силу неравенства Гёльдера

‖u‖C[0,1] 6 ‖u′‖L1(0,1) + ‖u‖L1(0,1) 6 2‖u′‖L1(0,1) 6

6 2‖u′‖L2(0,1) 6 2‖u‖HQ. (1.6)

Ограниченность оператора вложения доказана.Докажем теперь компактность оператора вложения. Пусть M ∈ HQ

– ограниченное множество, то есть существует такое действительноечисло R, что ‖u‖HQ

6 R для всех u ∈M . Необходимо доказать пред-компактность M в C[0, 1]. По теореме Арцела – Асколи для этогодостаточно доказать, что множество M равномерно ограничено и рав-ностепенно непрерывно.

Множество M называется равномерно ограниченным, если суще-ствует такое действительное число R1 , что |u(x)| 6 R1 для всех u ∈Mи x ∈ [0, 1]. В силу неравенств (1.6) имеем |u(x)| 6 ‖u‖C[0,1] 6 2R = R1

для всех u ∈M и x ∈ [0, 1].

24

Теперь докажем, что множество M равностепенно непрерывно, тоeсть для любого ε > 0 можно найти такое δ > 0, что для любойфункции u ∈ M и для любых x, y ∈ (0, 1) таких, что |x − y| < δ ,имеем |u(x) − u(y)| < ε. По формуле Ньютона–Лейбница получаем:если |x− y| < δ =

(εR−1

)2 , то

|u(x)− u(y)| 6∣∣∣∣∫ y

x

|u′(ξ)|dξ∣∣∣∣ 6 |x− y|

12‖u′‖L2(0,1) 6 |x− y|

12R < ε

для всех u ∈M.

Пространство HQ компактно вкладывается в пространство C[0, 1].Следовательно, существует сходящаяся в C[0, 1] подпоследователь-ность {uk} последовательности {zk}. Поскольку C[0, 1] вкладываетсяв Lp(0, 1), где p > 1, последовательность {uk} сходится в простран-стве L2(0, 1) к функции y ∈ L2(0, 1), и∫ 1

0y2dx = 1. (1.7)

Докажем, что последовательность {uk} сходится в HQ . Для этогодостаточно доказать, что последовательность {uk} фундаментальна вHQ . Поскольку для любых функций Q ∈ Tα,β,γ и y ∈ Γ1 имеем

‖y‖2HQ

= F [Q, y],

достаточно доказать, что числовая последовательность {F [Q, yk]}фундаментальна.

Поскольку функционал F квадратичный, имеет место тождество

F

[Q,

yk − yl

2

]+ F

[Q,

yk + yl

2

]=

1

2F [Q, yk] +

1

2F [Q, yl].

Пусть ε > 0 и k и l так велики, что для uk, ul из последовательности{uk} имеем

F [Q, uk] 6 m+ ε, F [Q, ul] 6 m+ ε и∫ 1

0

(uk − ul

2

)2

dx 6 ε2.

Тогда∫ 1

0

(uk + ul

2

)2

dx =

∫ 1

0

(ul +

uk − ul

2

)2

dx >

> (1− ε)

∫ 1

0u2

l dx−1

ε

∫ 1

0

(uk − ul

2

)2

dx > (1− ε)− ε = 1− 2ε.

25

Следовательно, F [Q, uk+ul

2 ] > m(1− 2ε) и

F

[Q,

uk − ul

2

]6 m+ ε−m(1− 2ε) = ε(1 + 2m).

Это означает, что последовательность {uk} сходится в HQ . По-скольку она слабо сходится в HQ к y , то предельная функция этойпоследовательности в HQ совпадает с y . В силу равенства (1.7) функ-ция y принадлежит Γ1 . Тогда, принимая во внимание, что функционалF непрерывен в HQ , получаем F [Q, y] = m.

Теорема 1.1 доказана.

Теорема 1.2. Пусть функция y удовлетворяет условиям теоре-мы 1.1. Тогда y является решением уравнения

−y′′ +Q(x)y − λy = 0,

где λ = m – минимальное собственное значение задачи (1.1), (1.2).


Отметим, что

m = infy∈Γ1

F [Q, y] = infy∈HQ\{0}

R[Q, y].

Пусть u – элемент HQ . Рассмотрим две функции переменной t ∈ R

g(t) =

∫ 1

0

((y′ + tu′)2 +Q(x)(y + tu)2) dx, h(t) =

∫ 1

0(y + tu)2dx.

Если h(0) = 1, то g(t) > g(0) = m, то есть функция g принимаетминимальное значение в нуле при условии h(0) = 1. Следовательно,g′(0) + λ1h

′(0) = 0, где λ1 – некоторое действительное число. Пустьλ = −λ1 . Это означает, что для всех u ∈ HQ имеет место равенство∫ 1

0 (y′u′ + Q(x)yu)dx = λ∫ 1

0 yudx. В частности, если u = y , то мыполучаем λ = m. Значит,

∫ 10 (y′u′ +Q(x)yu−myu)dx = 0.

Это равенство имеет место для любой функции u ∈ C∞0 (0, 1). Из

этого следует, что существует такая обобщенная производная функцииy′ , что

−y′′ +Q(x)y −my = 0. (1.8)

26

Поскольку Q – локально интегрируемая на интервале (0, 1) функ-ция, она является интегрируемой на любом отрезке [ρ, 1 − ρ], где0 < ρ < 1

2 . Тогда в силу следствия 2.6.1 из теоремы 2.6.1 (см. [16], с. 41)функция y непрерывно дифференцируема на любом отрезке [ρ, 1−ρ],где 0 < ρ < 1

2 , и почти всюду на нем имеет классическую производнуювторого порядка

y′′ = Q(x)y −my.

При этом y′ абсолютно непрерывна на отрезке [ρ, 1− ρ].

Более того, y(0) = y(1) = 0 (выполнение граничных условий сле-дует из принадлежности функции y пространству HQ). Поскольку ρ

может быть произвольно малым числом, функция y является абсо-лютно непрерывной на отрезке [0, 1].

Таким образом, почти всюду на отрезке [ρ, 1−ρ] обобщенная произ-водная второго порядка функции y является классической производ-ной второго порядка функции y , и равенство (1.8) имеет место почтивсюду на интервале (0, 1). Следовательно, y является решением зада-чи (1.1), (1.2) с собственным значением λ = m.

Для любого решения z задачи (1.1), (1.2) имеем:∫ 1

0

(z′

2+Q(x)z2

)dx = λ

∫ 1

0z2dx.

Тогда, в силу того что m = infy∈HQ\{0}

R[Q, y], мы получаем неравен-

ство λ > m, из которого следует, что m – минимальное собственноезначение задачи (1.1), (1.2).


В диссертации приводятся оценки наименьшего собственного зна-чения задачи (1.1) – (1.3) при различных значениях α, β и γ , γ 6= 0.

27

Глава 2.

Оценки первого собственногозначения снизу

Получим некоторые оценки для


λ1(Q)

при различных значениях параметров интегрального условия.

2.1. Предварительные оценки

Теорема 2.1. Для mα,β,γ имеют место следующие оценки.

1. Если γ > 0, то mα,β,γ = π2 .

2. Если γ < 0, то π2 6 mα,β,γ <∞, причем

1) если γ < 0, α, β > 0, то справедливо неравенство

mα,β,γ 6

min{π2 + 1,

(1 + 4(α− 2γ + 1)

1γ

)π2,(1 + 4(β− 2γ + 1)

1γ

)π2}

;

2) если γ < 0, 2γ−1 < α < 0 6 β, то справедливо неравенство

mα,β,γ 6(1 + 4(α− 2γ + 1)

1γ

)π2;

3) если γ < 0, 2γ−1 < β < 0 6 α, то справедливо неравенство

mα,β,γ 6(1 + 4(β − 2γ + 1)

1γ

)π2;

28

4) если γ 6 α, β < 0 или 2γ − 1 < β < γ 6 α < 0 или2γ − 1 < α < γ 6 β < 0, то справедливо неравенство

mα,β,γ 6(1 + θ

1γ · 2

θ+4γ−2γ

)π2,

где θ = min {α, β} − 2γ + 1;

5) если γ < 0 и 2γ − 1 < α, β < γ , то справедливо неравенство

mα,β,γ 6 min

{(1 + θ

1γ · 2

θ+4γ−2γ

)π2, R

[1

y21, y1

]},

где y1(x) = xα2γ (1− x)

β2γ и θ = min {α, β} − 2γ + 1;

6) если γ < 0 и α 6 2γ − 1, то

а) при β > γ справедливо неравенство mα,β,γ 6 R[Qα,β,γ, yθ],

б) при β < γ справедливо неравенство

mα,β,γ 6 min

{R[Qα,β,γ, yθ], R

[1

y21, y1

]},

гдеy1(x) = x

α2γ (1− x)

β2γ ,


βγx

Aγ−1γ ,

yθ(x) =

xθ , 0 6 x 6

1

2;

(1− x)θ,1

2< x 6 1,

и θ – некоторое действительное число, при некоторомA>0 удовлетворяющее неравенству θ > α−|β|−γ−Aγ+1

2γ ;

7) если γ < 0 и β 6 2γ − 1, то имеют место результатыпункта 6, где α и β меняются местами иQα,β,γ(x) = Ax−

αγ (1− x)−

βγ (1− x)

Aγ−1γ .


Отметим, что в силу неравенства Фридрихса для любых α, β, γ ,γ 6= 0, и для любой функции Q ∈ Tα,β,γ выполняются следующие

29

соотношения:


∫ 10

(y′2 +Q(x)y2

)dx∫ 1

0 y2 dx

> infy∈HQ\{0}

∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2 dx>

> infy∈H1

0 (0,1)\{0}

∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2 dx= π2.

Поэтому для любых α, β, γ , γ 6= 0, выполняется неравенство

mα,β,γ > π2.

1. Пусть γ > 0, α, β – любые действительные числа. Докажем, чтоmα,β,γ = π2 .

Для 0 < θ < 1 рассмотрим функции

Qθ, α, β, γ(x) =

{0, 0 < x < θ ;

(1− θ)−1γ x−

αγ (1− x)−

βγ , θ 6 x < 1,

yθ(x) =

{sin

πx

θ, 0 6 x < θ ;

0, θ 6 x 6 1.

Тогда∫ 1

0Qθ, α, β, γ(x)y

2θdx =

∫ θ

00 · sin2 πx

θdx+

+

∫ 1

θ

(1− θ)−1γx−

αγ (1− x)−

βγ · 0 dx = 0

и для функции Qθ, α, β, γ выполняется интегральное условие:∫ 1

θ

((1− θ)−

1γx−

αγ (1− x)−

βγ

)γ

xα(1− x)βdx =

∫ 1

θ

(1− θ)−1 dx = 1.

С учетом равенств∫ 1

0y2

θ(x)dx =1

2θ,

∫ 1

0y′θ

2(x)dx =

π2

2θ

30

получаем

limθ→1−0

R[Qθ, α, β, γ, yθ] = limθ→1−0

π2

2θ1

2θ

= π2.

Тогдаmα,β,γ = inf

Q∈Tα,β,γ

λ1(Q) 6 π2.

С другой стороны, поскольку mα,β,γ > π2 , получаем mα,β,γ = π2 .

Замечание 2.1. Отметим, что если рассмотреть обобщенное реше-ние задачи (1.1) – (1.3) с потенциалом Q∗(x) = x−

αγ (1 − x)−

βγ δ(x − 1)

(или с потенциалом Q∗(x) = x−αγ (1− x)−

βγ δ(x)) в виде δ – функции с

носителем в точке 1 (0), то

mα,β,γ = π2 = λ1(Q∗).

2. Докажем теорему при условии γ < 0. Докажем сначала следую-щие леммы.

Лемма 2.1. Пусть γ < 0, α, β > 0. Тогда

mα,β,γ 6 π2 + 1.

Доказательство.Рассмотрим функцию Qα,β,γ(x) = x−

αγ (1−x)−

βγ . В силу неравенства

Фридрихса∫ 1

0Qα,β,γ(x)y

2dx =

∫ 1

0x−

αγ (1− x)−

βγ y2dx 6

∫ 1

0y2dx 6

1

π2

∫ 1

0y′2dx.

Поскольку HQα,β,γ= H1

0(0, 1), имеем

infy∈HQα,β,γ

\{0}

∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2 dx= inf

y∈H10 (0,1)\{0}

∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2 dx= π2

иmα,β,γ 6 π2 + 1.

Лемма 2.1 доказана.

31

Лемма 2.2. Если γ < 0, 2γ − 1 < α < 0 6 β , то

mα,β,γ 6(1 + 4(α− 2γ + 1)

1γ

)π2.

Если γ < 0, 2γ − 1 < β < 0 6 α, то

mα,β,γ 6(1 + 4(β − 2γ + 1)

1γ

)π2.

Доказательство.Рассмотрим функцию Qθ(x) = Cx−

α+1γ + θ

γ (1 − x)−βγ , где θ – такое

положительное число, что α > 2γ − 1 + θ . Константа C выбираетсятак, чтобы выполнялось равенство

∫ 10 Qθ(x)

γxα(1− x)βdx = 1, то естьC = θ

1γ .

Поскольку α > 2γ − 1 + θ , в силу неравенства Харди имеем:∫ 1

0Qθ(x)y

2dx = C

∫ 1

0

(1− x)−βγ y2

xα+1−θ

γ

dx 6 C

∫ 1

0x−2y2dx 6 4C

∫ 1

0y′2dx

(2.1)и ∫ 1

0

(y′2 +Qθ(x)y

2)dx∫ 1

0 y2 dx

6(1 + 4C)

∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2 dx.

Заметим, что в силу неравенства (2.1) пространства HQθи H1

0(0, 1)совпадают, и

infy∈HQθ

\{0}

∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2 dx= inf

y∈H10 (0,1)\{0}

∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2 dx= π2.

Выберем значение θ таким образом, чтобы константа 1 + 4C быланаименьшей. Поскольку C = θ

1γ и θ 6 α−2γ+1, в качестве θ возьмем

число α− 2γ + 1. Тогда имеем∫ 10

(y′2 +Qθ(x)y

2)dx∫ 1

0 y2 dx

6

(1 + 4(α− 2γ + 1)

1γ

) ∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2 dx,

иmα,β,γ 6

(1 + 4(α− 2γ + 1)

1γ

)π2. (2.2)

32

Отметим, что случай γ < 0, 2γ − 1 < β < 0 6 α симметриченслучаю γ < 0, 2γ − 1 < α < 0 6 β . Для получения соответствую-щей оценки нужно сделать замену переменных x = 1 − t и поменятьместами в приведенных рассуждениях α и β .

Таким образом, если γ < 0, 2γ − 1 < β < 0 6 α, то

mα,β,γ 6(1 + 4(β − 2γ + 1)

1γ

)π2.


Лемма 2.3. Если γ < 0, 2γ − 1 < α < 0, 2γ − 1 < β < 0, то

π2 6 mα,β,γ 6(1 + θ

1γ · 2

θ+4γ−2γ

)π2,

где θ = min {α, β} − 2γ + 1.

Доказательство.Рассмотрим функцию

Qθ, α, β, γ(x) =

Cx−

α+1γ + θ

γ (1− x)−βγ , 0 < x 6

1

2;

Cx−αγ (1− x)−

β+1γ + θ

γ ,1

2< x < 1,

где θ – такое положительное число, что α > 2γ−1+θ , β > 2γ−1+θ ,то есть θ = min {α, β} − 2γ + 1. Константа C выбирается так, чтобывыполнялось интегральное условие

∫ 10 Q

γθ, α, β, γ(x)x

α(1− x)βdx = 1, тоесть C = (θ · 2θ−1)

1γ .

Тогда∫ 1

0Qθ, α, β, γ(x)y

2dx =

= C

∫ 12

0x−

α+1γ + θ

γ (1− x)−βγ y2dx+ C

∫ 1

12

(1− x)−β+1

γ + θγx−

αγ y2dx 6

6 22γ−1

γ · C∫ 1

2

0x−

α+1γ + θ

γ y2dx+ 22γ−1

γ · C∫ 1

12

(1− x)−β+1

γ + θγ y2dx 6

6 22γ−1

γ · C

(∫ 12

0x−2y2dx+

∫ 1

12

(1− x)−2y2dx

)6

6 4C · 22γ−1

γ

∫ 1

0y′2dx = 2

4γ−1γ · C

∫ 1

0y′2dx

33

иmα,β,γ 6

(1 + 2

4γ−1γ · C

)π2.

Таким образом, если γ < 0, 2γ − 1 < α, β < 0, то

mα,β,γ 6(1 + θ

1γ · 2

θ+4γ−2γ

)π2,

где θ = min {α, β} − 2γ + 1.Лемма 2.3 доказана.

Лемма 2.4. Если γ < 0, α 6 2γ − 1, то

mα,β,γ 6 R[QA,α,β,γ, yθ],

гдеQA,α,β,γ(x) = Ax−

αγ (1− x)−

βγx

Aγ−1γ

и

yθ(x) =

xθ , 0 6 x 6

1

2;

(1− x)θ,1

2< x 6 1,

θ – некоторое действительное число, удовлетворяющее неравен-ству θ > α−|β|−γ−Aγ+1

2γ , A > 0.

Доказательство.A) Пусть сначала γ < 0, α 6 2γ − 1, β > 0.Рассмотрим функции

QA,α,β,γ(x) = Ax−αγ (1− x)−

βγx

Aγ−1γ

и

yθ(x) =

xθ , 0 6 x 6

1

2;

(1− x)θ,1

2< x 6 1,

где θ – такое число, что 2θ − αγ + Aγ−1

γ > −1 и 2θ > 1, A > 0.

Отметим, что поскольку γ < 0, α 6 2γ − 1, то αγ −

Aγ−1γ − 1 > 1, и

в качестве θ можно взять любое действительное число, удовлетворя-ющее неравенству 2θ > α

γ −Aγ−1

γ − 1.

34

Обозначим через C1 , C2 и C3 следующие интегралы:∫ 1

0yθ′2dx = C1,

∫ 1

0yθ

2dx = C2,

∫ 1

0x−

αγ x

Aγ−1γ yθ

2dx = C3.

Тогда

infQ∈Tα,β,γ

infy∈HQ\{0}

∫ 10

(y′2 +Q(x)y2

)dx∫ 1

0 y2dx

6

∫ 10

(y′θ

2 +QA,α,β,γ(x)y2θ

)dx∫ 1

0 y2θdx

=

=

∫ 10

(y′θ

2 + Ax−αγ (1− x)−

βγx

Aγ−1γ y2

θ

)dx∫ 1

0 y2θdx

6

6

∫ 10

(y′θ

2 + Ax−αγ x

Aγ−1γ y2

θ

)dx∫ 1

0 y2θdx

=C1 + AC3

C2

и


infy∈HQ\{0}

∫ 10

(y′2 +Q(x)y2

)dx∫ 1

0 y2(x)dx

6 R[QA,α,β,γ, yθ].

B) Рассмотрим теперь случай γ < 0, α 6 2γ − 1, β < 0.

Рассмотрим функции

QA,α,β,γ(x) = Ax−αγ (1− x)−

βγx

Aγ−1γ

и

yθ(x) =

xθ , 0 6 x 6

1

2;

(1− x)θ,1

2< x 6 1,

где θ – такое действительное число, что 2θ > αγ + β

γ −Aγ−1

γ −1, 2θ > 1 и2θ > β

γ − 1, A > 0. Учитывая условия на α, β , γ , получаем, что в ка-честве θ можно взять любое действительное число, удовлетворяющеенеравенству 2θ > α

γ + βγ −

Aγ−1γ − 1.

Введем обозначения для следующих интегралов:∫ 1

0yθ′2dx = C1,

∫ 1

0yθ

2dx = C2,

∫ 1

0QA,α,β,γ(x)yθ

2dx = AC3.

35

Тогда

infQ∈Tα,β,γ

infy∈HQ\{0}

∫ 10

(y′2 +Q(x)y2

)dx∫ 1

0 y2dx

6

∫ 10

(y′θ

2 +QA,α,β,γ(x)y2θ

)dx∫ 1

0 y21dx

=

=C1 + AC3

C2= R[QA,α,β,γ, yθ]

и


infy∈HQ\{0}

∫ 10

(y′2 +Q(x)y2

)dx∫ 1

0 y2dx

6 R[QA,α,β,γ, yθ].

Объединяя результаты случаев A) и B), получим: если γ < 0,α 6 2γ−1 и β – любое действительное число, то mα,β,γ 6 R[Qα,β,γ, yθ],где


βγx

Aγ−1γ

и

yθ(x) =

xθ , 0 6 x 6

1

2;

(1− x)θ,1

2< x 6 1,

и θ – некоторое действительное число, удовлетворяющее неравенствуθ > α−|β|−γ−Aγ+1

2γ , A > 0.

Случай γ < 0, β 6 2γ − 1 симметричен случаю γ < 0, α 6 2γ − 1.Таким образом, если γ < 0, β 6 2γ − 1 и α – любое действительноечисло, то mα,β,γ 6 R[Qα,β,γ, yθ], где


βγ (1− x)

Aγ−1γ

и

yθ(x) =

xθ , 0 6 x 6

1

2;

(1− x)θ,1

2< x 6 1,

и θ – некоторое действительное число, удовлетворяющее неравенствуθ > β−|α|−γ−Aγ+1

2γ , A > 0.Лемма 2.4 доказана.

36

Лемма 2.5. Если γ < 0 и α, β < γ , то mα,β,γ 6 R[

1y21, y1

], где

y1(x) = xα2γ (1− x)

β2γ .

Доказательство.Рассмотрим функцию

y1(x) = xα2γ (1− x)

β2γ

и функцию

Q1(x) =1

y21

= x−αγ (1− x)−

βγ ,

удовлетворяющую интегральному условию (1.3).Заметим, что интеграл

∫ 10 y

′12dx сходится при α, β < γ .


∫ 10

(y′2 +Q(x)y2

)dx∫ 1

0 y2dx

6 R[Q1, y1]

и mα,β,γ = infQ∈Tα,β,γ

λ1(Q) 6 R[Q1, y1].


Результат 2.1) теоремы получается на основании лемм 2.1 и 2.2.Результат 2.2) теоремы получается на основании леммы 2.2.Результат 2.3) теоремы получается на основании леммы 2.2.Результат 2.4) теоремы получается на основании леммы 2.3.Результат 2.5) теоремы получается на основании лемм 2.3 и 2.5.Результат 2.6) теоремы при γ < 0, α 6 2γ − 1 и β > γ получается

на основании леммы 2.4, при γ < 0, α 6 2γ − 1 и β < γ – наосновании лемм 2.4 и 2.5.

Результат 2.7) теоремы при γ < 0, β 6 2γ − 1 и α > γ получаетсяна основании леммы 2.4, при γ < 0, β 6 2γ − 1 и α < γ – наосновании лемм 2.4 и 2.5.


Замечание 2.2. Заметим, что в случае γ < 0 при неограниченномувеличении параметров α или β mα,β,γ приближается к π2 .

Замечание 2.3. Результат, полученный в теореме 2.1 при γ > 0,α = β = 0, совпадает с результатом работ [7], [8], [26], при δ = −1(см., например, [8], теор. 1.1, с. 516).

37

Результаты теоремы 2.1 представлены с помощью рисунков 1, 2, 3и таблиц 1, 2, 3. В последнем столбце таблицы либо указано значениеmα,β,γ , либо номер неравенства для mα,β,γ в теореме 2.1.

При β < −1

Рисунок 1

γ α mα,β,γ

γ 6 β α 6 2γ − 1 6 а2γ − 1 < α < 0 4

α > 0 3

β < γ < β+12 α 6 2γ − 1 6 б

2γ − 1 < α < γ 5

γ 6 α < 0 4

α > 0 3β+1

2 6 γ < 0 α 6 2γ − 1 6 б, 7 б2γ − 1 < α < γ 7 б

α > γ 7 аγ > 0 −∞ < α < +∞ mα,β,γ = π2

Таблица 1

38

При −1 6 β < 0

Рисунок 2

γ α mα,β,γ

γ 6 β α 6 2γ − 1 6 а2γ − 1 < α < 0 4

α > 0 3

β < γ < 0 α 6 2γ − 1 6 б2γ − 1 < α < γ 5

γ 6 α < 0 4

α > 0 3

γ > 0 −∞ < α < +∞ mα,β,γ = π2

Таблица 2

39

При β > 0

Рисунок 3

γ α mα,β,γ

γ < 0 α 6 2γ − 1 6 а2γ − 1 < α < 0 2

α > 0 1

γ > 0 −∞ < α < +∞ mα,β,γ = π2

Таблица 3

2.2. Точные оценки

Приведем точные оценки для mα,β,γ в случае γ < 0.Рассмотрим пространство Bα,β,γ функций из H1

0(0, 1) с конечнойнормой

‖y‖Bα,β,γ=

(∫ 1

0y′

2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

) 12

. (2.3)

Покажем, что определяемая формулой (2.3) норма задана коррект-но. Проверим выполнение всех аксиом нормы.

40

Докажем, что

‖y + z‖Bα,β,γ6 ‖y‖Bα,β,γ

+ ‖z‖Bα,β,γ(2.4)

или(∫ 1

0(y′ + z′)2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|pdx

) 2p

) 12

6

6

(∫ 1

0y′

2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|pdx

) 2p

) 12

+

+

(∫ 1

0z′

2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|pdx

) 2p

) 12

,

где p = 2γγ−1 .

В силу неравенства Минковского имеем(∫ 1

0(y′ + z′)2dx

) 12

6

(∫ 1

0y′

2dx

) 12

+

(∫ 1

0z′

2dx

) 12

.

Кроме того, докажем, что(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|pdx

) 1p

6

6

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|pdx

) 1p

+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|pdx

) 1p

.

Пусть p и q – сопряженные показатели.∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|pdx 6

6∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|p−1|y|dx+

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|p−1|z|dx.

Применив неравенство Гёльдера, получим∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|p−1|y|dx 6

6

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|q(p−1)dx

) 1q(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|pdx

) 1p

.

41

Поскольку q(p− 1) = p, имеем∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|pdx 6

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|pdx

) 1q

·((∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|pdx

) 1p

+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|pdx

) 1p

).

Разделив обе части полученного неравенства на(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|pdx

) 1q

,

получим требуемое неравенство(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|pdx

) 1p

6

6

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|pdx

) 1p

+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|pdx

) 1p

.

Возведем левую и правую части неравенства (2.4) в квадрат. Оце-ним левую часть полученного неравенства.∫ 1

0(y′ + z′)2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y + z|pdx

) 2p

6

6

((∫ 1

0y′

2dx

) 12

+

(∫ 1

0z′

2dx

) 12

)2

+

+

((∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|pdx

) 1p

+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|pdx

) 1p

)2

=

=

(∫ 1

0y′

2dx+ 2

(∫ 1

0y′

2dx

) 12(∫ 1

0z′

2dx

) 12

+

∫ 1

0z′

2dx

)+

+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|pdx

) 2p

+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|pdx

) 2p

+

+ 2

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|pdx

) 1p(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|pdx

) 1p

.

42

Для доказательства неравенства (2.4) достаточно доказать, что(∫ 1

0y′

2dx

) 12(∫ 1

0z′

2dx

) 12

+

+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|pdx

) 1p(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|pdx

) 1p

6

6

(∫ 1

0y′

2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|pdx

) 2p

) 12

(∫ 1

0z′

2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|pdx

) 2p

) 12

,

что выполняется, поскольку для любых положительных чисел a, b, c, dимеет место неравенство:

√ab+

√cd 6

√(a+ c)(b+ d).

Неравенство (2.4) доказано. Выполнение двух других аксиом нормыочевидно.

В силу неравенства Гёльдера для любой положительной функцииQ ∈ Tα,β,γ и для любой функции y ∈ HQ имеет место неравенство∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx 6

6

(∫ 1

0Qγ(x)xα(1− x)βdx

) 11−γ(∫ 1

0Q(x)y2dx

) γγ−1

.

Тогда ∫ 1

0Q(x)y2dx >

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

. (2.5)

В силу неравенства (2.5) имеем

HQ ⊂ Bα,β,γ ⊂ H10(0, 1).

Заметим, что в силу неравенства (2.5) при γ < 0, α, β > 2γ − 1пространства Bα,β,γ и H1

0(0, 1) совпадают.

43

Пусть

G[y] =

∫ 10 y

′2dx+(∫ 1

0 xα

1−γ (1− x)β

1−γ |y|2γ

γ−1dx)γ−1

γ∫ 10 y

2 dx.

Заметим, что G[y] > 0 для любого y ∈ Bα,β,γ . Обозначим

m = infy∈Bα,β,γ\{0}

G[y]. (2.6)

Для любой функции Q ∈ Tα,β,γ в силу неравенства (2.5) имеем


R[Q, y] > infy∈HQ\{0}

G[y] > infy∈Bα,β,γ\{0}

G[y] = m.

Тогдаmα,β,γ = inf

Q∈Tα,β,γ

λ1(Q) > infy∈Bα,β,γ\{0}

G[y] = m,

то есть mα,β,γ > m.

Для доказательства равенства mα,β,γ = m докажем следующие дветеоремы.

Рассмотрим множество

Γ2 = {y | y ∈ Bα,β,γ,

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx = 1}.

Теорема 2.2. Пусть γ < 0; тогда существует такая неотрица-тельная на интервале (0, 1) функция u ∈ Γ2 , что G[u] = m, причемфункция u при γ < −1 является слабым решением уравнения

u′′ +mu = xα

1−γ (1− x)β

1−γ uγ+1γ−1 . (2.7)

Теорема 2.3. Пусть γ < 0 и функция u удовлетворяет условиямтеоремы 2.2. Тогда существует такая последовательность функцийQn(x) ∈ Tα,β,γ , что R[Qn, u] → G[u] = m при n→∞, и mα,β,γ = m.

44


Обозначим через

Γ∗ = {y ∈ Bα,β,γ |∫ 1

0y2dx = 1}.

Пусть

I[y] =

∫ 1

0y′

2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

.

Пусть {yk} – минимизирующая последовательность функционалаG[y] в Bα,β,γ , то есть G[yk] → m при k →∞.

Покажем, что последовательность yk = yk

C12k

, где Ck =∫ 1

0 y2kdx, – ми-

нимизирующая последовательность функционала I[y] в Γ∗ , то естьI[yk] → m при k →∞.

Действительно,

∫ 1

0y2

kdx =

∫ 1

0

(yk

C12

k

)2

dx =

∫ 1

0y2

kdx

Ck=Ck

Ck= 1

и

I[yk] = G[yk] = G

[yk

C12

k

]=

=

1

Ck

∫ 1

0yk

′2dx+1

Ck

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |yk|

2γγ−1dx

)γ−1γ

1

Ck

∫ 1

0y2

kdx

= G [yk] .

Тогдаm = inf

y∈Bα,β,γ\{0}G[y] = inf

y∈Γ∗I[y]. (2.8)

Лемма 2.6. Существует такая функция u∗ ∈ Γ∗ , что I[u∗] = m,где m определяется формулой (2.8).

45

Доказательство леммы 2.6.Поскольку {yk} – минимизирующая последовательность функцио-

нала I[y] в Γ∗ и m = infy∈Γ∗

I[y], то для всех достаточно больших значе-

ний k имеем I[yk] 6 m+1. Так как ‖yk‖2Bα,β,γ

= I[yk], то последователь-ность {yk} ограничена в Bα,β,γ . Рассмотрим эту последовательность всепарабельном гильбертовом пространстве H1

0(0, 1).Поскольку она ограничена в H1

0(0, 1), то она содержит подпоследо-вательность {zk}, слабо сходящуюся в H1

0(0, 1) к некоторой функцииu∗ , причем

‖u∗‖2H1

0 (0,1) 6 m+ 1.

Пространство H10(0, 1) компактно вкладывается в пространcтво

C[0, 1], следовательно, существует подпоследовательность {sk} после-довательности {zk}, сильно сходящаяся в C[0, 1].

Поскольку пространство C[0, 1] вкладывается в L2(0, 1), то после-довательность {sk} сильно сходится в L2(0, 1) к функции u∗ . Следо-вательно, для функционала G[sk] имеем∫ 1

0s2kdx→

∫ 1

0u2∗dx при k →∞

и ∫ 1

0u2∗dx = 1. (2.9)

Рассмотрим последовательность значений функционала I на функ-циях из последовательности {sk} :

I[sk] =

∫ 1

0sk

′2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |sk|

2γγ−1dx

)γ−1γ

.

Поскольку последовательность {sk} ограничена в H10(0, 1), в силу

определения нормы ‖sk‖H10 (0,1) последовательность {s′k} ограничена в

L2(0, 1). Тогда существует такая подпоследовательность {wk} после-довательности {sk}, что последовательность {w′

k} слабо сходится к u′∗в L2(0, 1).

Поскольку числовая последовательность {∫ 1

0 wk′2dx} ограничена,

то она имеет конечный нижний предел. Обозначим его через A. То-гда существует такая подпоследовательность {vk} последовательности{wk}, что

46

limk→∞

∫ 1

0v′k

2dx = lim

k→∞

∫ 1

0w′

k2dx = A.

Так как {v′k} слабо сходится к u′∗ в L2(0, 1), то

‖u′∗‖2L2(0,1) 6 lim

k→∞‖v′k‖2

L2(0,1) = limk→∞

‖v′k‖2L2(0,1) = A (см. [15], стр. 217).

Таким образом,‖u′∗‖2

L2(0,1) 6 A. (2.10)

Поскольку последовательность {I[yk]} имеет предел m, вторая по-следовательность{(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |sk|

2γγ−1dx

)γ−1γ

}имеет частичный предел m−A. Тогда существует такая подпоследова-тельность {tk} последовательности {vk}, что для любого ε найдетсятакой номер K , что для всех k > K выполняется неравенство(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |tk|

2γγ−1dx

)γ−1γ

< m− A+ ε.

Тогда ∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |tk|

2γγ−1dx < (m− A+ ε)

γγ−1 .

Поскольку последовательность {tk} сильно сходится в C[0, 1] кфункции u∗ , последовательность {x

α1−γ (1−x)

β1−γ |tk|

2γγ−1} сходится почти

всюду на [0, 1]. Тогда по теореме Фату (см. [17], с. 5)

xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u∗|2γ

γ−1 ∈ L1(0, 1)

и ∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u∗|

2γγ−1dx 6 (m− A+ ε)

γγ−1 .

Возведем левую и правую части этого неравенства в степень γ−1γ .

Получим (∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u∗|

2γγ−1dx

)γ−1γ

6 m− A+ ε.

47

Поскольку ε может быть произвольно малым числом,(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u∗|

2γγ−1dx

)γ−1γ

6 m− A. (2.11)

Учитывая неравенства (2.10) и (2.11), получаем

I[u∗] 6 m. (2.12)

Поскольку m = infy∈Γ∗

I[y], то I[u∗] = m.

Из условий (2.9) и (2.12) следует принадлежность функции u∗ мно-жеству Γ∗ .


Рассмотрим функцию u = Cu∗ , где константа C выбирается так,чтобы функция u принадлежала Γ2 и была неотрицательной на от-резке [0, 1], то есть

C =

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u∗|

2γγ−1dx

) 1−γ2γ

.

Тогда G[u] = G[u∗] = I[u∗] = m.

Покажем, что при γ < −1 функция u ∈ Γ2 является слабым реше-нием уравнения (2.7) (см. [17], c. 32).

Зафиксируем аргумент u функционала G[y], зафиксируем некото-рую вариацию z ∈ Bα,β,γ аргумента u и рассмотрим семейство кривыхu+ tz , где t – произвольный параметр. На кривых u+ tz функционалG[y] превращается в функцию параметра t ∈ R:

g(t) =

∫ 10 (u′(x)+ tz′(x))2dx+

(∫ 10 x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u(x)+ tz(x)|

2γγ−1dx

)γ−1γ∫ 1

0 (u(x) + tz(x))2dx.

Поскольку функционал G[y] достигает экстремума при y = u и функ-ция g(t) при γ < −1 дифференцируема в нуле, то g′(0) = 0. Таким

48

образом,∫ 10 u

′z′dx∫ 10 u

2dx+

+

(∫ 10 x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

2γγ−1dx

)− 1γ ∫ 1

0 xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u|γ+1γ−1 sgnuzdx∫ 1

0 u2dx

=

=

(∫ 10 u

′2dx+(∫ 1

0 xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u|2γ

γ−1dx)γ−1

γ

)∫ 10 uzdx

(∫ 1

0 u2dx)2

.

Поскольку u ∈ Γ2 и G[u] = m, получаем∫ 10 u

′z′dx+∫ 1

0 xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u|γ+1γ−1 sgnuzdx∫ 1

0 u2dx

=m∫ 1

0 uzdx∫ 10 u

2dxили∫ 1

0u′z′dx+

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

γ+1γ−1 sgnuzdx = m

∫ 1

0uzdx. (2.13)

Покажем, что равенство (2.13) выполняется для любой функцииz ∈ Bα,β,γ .

В силу неравенства Гёльдера∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

γ+1γ−1 sgnu z dx 6

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

γ+1γ−1 |z| dx =

=

∫ 1

0

(x

α1−γ (1− x)

β1−γ

) 1r(x

α1−γ (1− x)

β1−γ

) 1s |u|

γ+1γ−1 |z|dx 6

6

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ

(|u|

γ+1γ−1

)r

dx

) 1r(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|sdx

) 1s

,

где r = 2γγ+1 , s = 2γ

γ−1 , то есть∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

γ+1γ−1 sgnu z dx 6

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

γ+1γ−1 |z| dx 6

6

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

2γγ−1dx

)γ+12γ(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|

2γγ−1dx

)γ−12γ

.

49

Полагая, что z ∈ C∞0 (0, 1), получаем, что функция u′ имеет обобщен-

ную производную, равную

u′′ = xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u|γ+1γ−1 sgnu−mu.

Так как G[y] = G[|y|], то можно считать, что последовательность{yk} неотрицательна, и u > 0.

Функция y ∈ Bα,β,γ называется слабым решением уравнения (2.7),если для любой функции z ∈ C∞

0 (0, 1) выполняется равенство (2.13).Таким образом, при γ < −1 функция u ∈ Γ2 является слабым

решением уравнения (2.7).Теорема 2.2 доказана.


Рассмотрим последовательность функций

un(x) =

u(x), u(x) >1

n, x ∈ (0, 1) ;

v(x), u(x) <1

n, x ∈

(0,

1

n

)∪(

1− 1

n, 1

);

1

n, u(x) <

1

n, x ∈

(1

n, 1− 1

n

),

где n > 3 и

v(x) =

x(1− x), если α, β > 2γ − 1 ;

xα2γ (1− x)

β2γ , если α, β 6 2γ − 1 ;

x(1− x)β2γ , если α > 2γ − 1, β 6 2γ − 1 ;

xα2γ (1− x), если α 6 2γ − 1, β > 2γ − 1.

Пусть un = Cnun , где константы Cn таковы, что для любого n > 3un ∈ Γ2, то есть

Cn =

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ u

2γγ−1n dx

) 1−γ2γ

.

Рассмотрим последовательность положительных локально интегри-руемых на интервале (0, 1) функций

Qn(x) = xα

1−γ (1− x)β

1−γun2

γ−1 ,

50

для каждой из которых∫ 1

0xα(1− x)βQn

γ(x)dx =

∫ 1

0xα(1− x)βx

αγ1−γ (1− x)

βγ1−γun

2γγ−1dx =

=

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γun

2γγ−1dx = 1,

то есть Qn ∈ Tα,β,γ.

Тогда для любого n > 3 функция un принадлежит пространствуHQn

, поскольку∫ 1

0Qn(x)u

2ndx =

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γun

2γγ−1dx = 1

и

‖un‖2HQn

=

∫ 1

0

(u′n

2+Qn(x)u

2n

)dx < +∞.

Докажем, что∫ 1

0x

α1−γ (1−x)

β1−γun

2γ−1u2dx→

∫ 1

0x

α1−γ (1−x)

β1−γu

2γγ−1dx при n→ +∞.

Применим теорему Лебега (см. [11], гл. V, теор. 6).

Для последовательности {xα

1−γ (1− x)β

1−γun2

γ−1u2} имеем:

xα

1−γ (1− x)β

1−γun2

γ−1u2 → xα

1−γ (1− x)β

1−γu2γ

γ−1

при n→ +∞ почти всюду на [0, 1].Докажем, что найдется такая константа A, что для любого n > 3

xα

1−γ (1− x)β

1−γun2

γ−1u2 6 Axα

1−γ (1− x)β

1−γu2γ

γ−1 .

Пусть

Xn =

{x : x ∈

(0,

1

n

)∪(

1− 1

n, 1

), u(x) <

1

n

},

Yn =

{x : x ∈

(1

n, 1− 1

n

), u(x) <

1

n

},

Zn =

{x : x ∈ (0, 1), u(x) >

1

n

}.

51

Из условий un = Cnun и un ∈ Γ2 следует, что

Cn =

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ u

2γγ−1n dx

) 1−γ2γ

=(∫Xn

w(x)dx+

∫Yn

n2γ

1−γxα

1−γ (1− x)β

1−γdx+

∫Zn

xα

1−γ (1− x)β

1−γu2γ

γ−1dx

) 1−γ2γ

,

где w(x) = xα

1−γ (1− x)β

1−γ v(x)2γ

γ−1 .

Поскольку функция w суммируема, то по теореме об абсолютнойнепрерывности интеграла Лебега∫

Xn

w(x)dx→ 0 при n→ +∞.

Рассмотрим монотонно возрастающую последовательность интегра-лов ∫

Zn

xα

1−γ (1− x)β

1−γu2γ

γ−1dx.

Данная последовательность ограничена, поскольку для любого n > 3∫Zn

xα

1−γ (1− x)β

1−γu2γ

γ−1dx 6∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γu

2γγ−1dx = 1.

Значит, по теореме Вейерштрасса данная последовательность имеетпредел. Докажем, что этот предел равен 1. В силу абсолютной непре-рывности интеграла Лебега для любого ε > 0 найдется такое δε > 0,что для любого множества e ⊂ (0, 1) из того, что µ(e) < δε , следует,что выполняется неравенство∫

e

xα

1−γ (1− x)β

1−γu2γ

γ−1dx < ε.

Заметим, что (0, 1) = ∪nZn и Z1 ⊂ Z2 ⊂ .... Тогда для любого δ > 0,и в частности для δ = δε , найдется такой номер N , что для любогоn > N выполняется неравенство µ((0, 1) \ Zn) < δε . Следовательно,для любого n > N выполняется неравенство∫

(0,1)\Zn

xα

1−γ (1− x)β

1−γu2γ

γ−1dx < ε,

52

то есть∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γu

2γγ−1dx−

∫Zn

xα

1−γ (1− x)β

1−γu2γ

γ−1dx < ε.

Тогда

1 =

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γu

2γγ−1dx < ε+

∫Zn

xα

1−γ (1− x)β

1−γu2γ

γ−1dx 6 ε+ 1

и1− ε <

∫Zn

xα

1−γ (1− x)β

1−γu2γ

γ−1dx 6 1.

Но это означает, что

limn→∞

∫Zn

xα

1−γ (1− x)β

1−γu2γ

γ−1dx = 1.

Поскольку

limn→∞

∫Yn

n2γ

1−γxα

1−γ (1− x)β

1−γdx = 0,

получаем limn→∞Cn = 1. Так как для любого n > 3 имеем Cn > 0, тоb = infn∈N\{1,2}Cn > 0. Тогда получаем A = b

2γ−1 , так как для любого

n > 3 выполняются соотношения:

un2

γ−1u2 = C2

γ−1n u

2γ−1n u2 6 b

2γ−1 u

2γγ−1 .

Посколькуx

α1−γ (1− x)

β1−γu

2γγ−1 ∈ L1(0, 1),

то по теореме Лебега∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γun

2γ−1u2dx→

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γu

2γγ−1dx = 1

при n→ +∞ и, следовательно,

limn→+∞

R[xα

1−γ (1− x)β

1−γun2

γ−1 , u] = G[u].

Тогда


infy∈HQ\{0}

R[Q, y] 6

6 limn→+∞

infy∈HQn\{0}

R[xα

1−γ (1− x)β

1−γun2

γ−1 , y] 6

6 limn→+∞

R[xα

1−γ (1− x)β

1−γun2

γ−1 , u] = G[u] = m.

53

Таким образом, имеем mα,β,γ 6 m. Поскольку ранее было доказанонеравенство mα,β,γ > m, получаем mα,β,γ = m = G[u].


54

Глава 3.

Оценки первого собственногозначения сверху

Получим некоторые оценки для

Mα,β,γ = supQ∈Tα,β,γ

λ1(Q)

при различных значениях параметров интегрального условия и дока-жем достижимость точных оценок.

3.1. Предварительные оценки

Для получения оценок для Mα,β,γ докажем следующую лемму.

Лемма 3.1. При γ > 1, α, β 6 2γ−1 пространства HQ и H10(0, 1)

совпадают.

Доказательство леммы 3.1.

Пусть γ > 1, α, β 6 2γ − 1.В силу неравенства Гёльдера для любой функции Q ∈ Tα,β,γ и для

любой функции y ∈ HQ имеет место неравенство∫ 1

0Q(x)y2dx 6

6

(∫ 1


) 1γ(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

.

55

Покажем, что при γ > 1, α, β 6 2γ − 1 интеграл∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx (3.1)

сходится и, следовательно, пространства HQ и H10(0, 1) совпадают.

Очевидно, что при любых γ > 1, α, β 6 0 интеграл (3.1) сходится.Покажем, что при γ > 1, 0 < α, β 6 2γ − 1 интеграл (3.1) тожесходится.

В силу обобщенного неравенства Харди [1] имеем(∫ 12

0x−

2γ−1γ−1 |y|

2γγ−1dx

)γ−12γ

6

(2γ − 1

γ

) 2γ−12γ

(∫ 12

0y′

2dx

) 12

.

Тогда ∫ 12

0x−

2γ−1γ−1 |y|

2γγ−1dx 6

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ−1

(∫ 12

0y′

2dx

) γγ−1

.

Аналогично,∫ 1

12

(1− x)β

1−γ |y|2γ

γ−1dx 6∫ 1

12

(1− x)−2γ−1γ−1 |y|

2γγ−1dx 6

6

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ−1

(∫ 1

12

y′2dx

) γγ−1

.

Тогда∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx 6

6 C

∫ 12

0x

α1−γ |y|

2γγ−1dx+ C

∫ 1

12

(1− x)β

1−γ |y|2γ

γ−1dx 6

6 C

∫ 12

0x

2γ−11−γ |y|

2γγ−1dx+ C

∫ 1

12

(1− x)2γ−11−γ |y|

2γγ−1dx 6

6 2C

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ−1(∫ 1

0y′

2dx

) γγ−1

,

56

где C = 22γ−1γ−1 , и при γ > 1, 0 < α, β 6 2γ− 1 интеграл (3.1) сходится.

Таким образом,(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

6 23γ−2

γ

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ∫ 1

0y′

2dx. (3.2)

Если γ > 1, β 6 0 < α 6 2γ − 1, то в силу неравенства Гёльдера ив силу обобщенного неравенства Харди имеем∫ 1

0Q(x)y2dx 6

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

6

6

(∫ 1

0x−

2γ−1γ−1 |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

6

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ∫ 1

0y′

2dx.

Таким образом,∫ 1

0Q(x)y2dx 6

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ∫ 1

0y′

2dx. (3.3)

Отметим, что случай γ > 1, α 6 0 < β 6 2γ − 1 симметриченслучаю γ > 1, β 6 0 < α 6 2γ − 1.

Если же γ > 1, α, β 6 0, то в силу неравенства Гёльдера имеем∫ 1

0Q(x)y2dx 6

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

6

(∫ 1

0|y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

.

Докажем неравенство:(∫ 1

0|y|

2γγ−1 dx

)γ−1γ

6∫ 1

0y′

2dx. (3.4)

Пусть p = γγ−1 . Тогда

|y(x)|2p =

(∣∣∣∫ x

0y′(t)dt

∣∣∣)2p

6

(∫ 1

0|y′(t)|dt

)2p

;

∫ 1

0|y(x)|2pdx 6

∫ 1

0

(∫ 1

0|y′(t)|dt

)2p

dx =

(∫ 1

0|y′(t)|dt

)2p

;

57

(∫ 1

0|y(t)|2pdt

) 1p

6

(∫ 1

0|y′(t)|dt

)2

6∫ 1

0y′2(t)dt.

Таким образом, мы получаем∫ 1

0Q(x)y2dx 6

∫ 1

0y′

2dx. (3.5)


Теорема 3.1. Для Mα,β,γ имеют место следующие оценки.

1. Если γ < 0 или 0 < γ < 1, то Mα,β,γ = ∞.

2. Если γ > 1, то Mα,β,γ <∞, причем

1) если γ > 1 и 0 < α, β 6 2γ− 1, то справедливо неравенство

Mα,β,γ 6

(1 + 2

3γ−2γ

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ

)π2;

2) если γ > 1 и β 6 0 < α 6 2γ − 1 или α 6 0 < β 6 2γ − 1,то справедливо неравенство

Mα,β,γ 6

(1 +

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ

)π2;

3) если γ > 1 и α, β 6 0, то Mα,β,γ 6 2π2 ;

4) если γ > 1 и α, β > γ , то Mα,β,γ 6 R[

1y21, y1

], где

y1(x) = xα2γ (1− x)

β2γ ;

5) если γ > 1, тоа) при β 6 γ < α и y2(x) = x

α2γ sin π(1 − x) справедливо


Mα,β,γ 6

∫ 10 y

′22dx+ π2

(γ−1

3γ−β−1

)γ−1γ∫ 1

0 y22dx

при γ > 1,

Mα,β,γ 6

∫ 10 y

′22dx+ π2∫ 1

0 y22dx

при γ = 1;

58

б) при α 6 γ < β имеют место результаты пункта 5. а),где в формулах для Mα,β,γ вместо функции y2 стоитфункция



а) при α > γ , β 6 0 и y2(x) = xα2γ sin π(1 − x) справедливо


Mα,β,γ 6 R

[1

y22, y2

];

б) при β > γ , α 6 0 имеет место результат пункта6. а), где в формуле для Mα,β,γ вместо функции y2 стоитфункция


7) если γ = 1 > α > 0 > β или γ = 1 > β > 0 > α, то

Mα,β,γ 6 2π2;

8) если γ = 1 > α, β > 0, то Mα,β,γ 6 3π2 ;

9) если γ = 1, α, β 6 0, то Mα,β,γ 6 54π

2 .


Докажем сначала пункт 1. теоремы.

1.1) Пусть γ < 0, α, β > 0. Докажем, что Mα,β,γ = ∞.

Пусть α > β . Рассмотрим функцию

Qε,α,β,γ(x) =

(1− ε2α(1− ε)α

2ε

) 1γ

x−αγ (1− x)−

βγ , 0 < x < ε ;(

ε2α(1− ε)α

1− 2ε

) 1γ

x−αγ (1− x)−

βγ , ε 6 x 6 1− ε;(

1− ε2α(1− ε)α

2ε

) 1γ

x−αγ (1− x)−

βγ , 1− ε < x < 1,

59

где 0 < ε < 1. На отрезке [ε, 1 − ε] функцию Qε,α,β,γ можно предста-вить следующим образом:

εαγ

(1− 2ε)1γ

· x−α

γ (1− x)−αγ

ε−αγ (1− ε)−

αγ

(1− x)α−β

γ .

На отрезке [ε, 1− ε] в силу неравенства x−αγ (1− x)−

αγ > ε−

αγ (1− ε)−

αγ

имеем:

x−αγ (1− x)−

αγ

ε−αγ (1− ε)−

αγ

> 1.

Тогда∫ 1−ε

ε

y2dx 6∫ 1−ε

ε

x−αγ (1− x)−

αγ

ε−αγ (1− ε)−

αγ

(1− x)α−β

γ y2dx =

=ε−

αγ

(1− 2ε)−1γ

∫ 1−ε

ε

εαγ

(1− 2ε)1γ

· x−α

γ (1− x)−βγ

ε−αγ (1− ε)−

αγ

y2dx =

=ε−

αγ

(1− 2ε)−1γ

∫ 1−ε

ε

Qε,α,β,γ(x)y2dx.


0y2dx =

∫ ε

0y2dx+

∫ 1−ε

ε

y2dx+

∫ 1

1−ε

y2dx 6

6ε2

2

∫ ε

0y′2dx +

ε−αγ

(1− 2ε)−1γ

∫ 1−ε

ε

Qε,α,β,γ(x)y2dx+

ε2

2

∫ 1

1−ε

y′2dx 6

6 a(ε)

(∫ 1

0y′2dx+

∫ 1

0Qε,α,β,γ(x)y

2dx

),

где

a(ε) =ε2

2+

ε−αγ

(1− 2ε)−1γ

.

Тогда для любой функции y из пространства HQε,α,β,γ\ {0}

60

R[Qε,α,β,γ, y] =

∫ 10 y

′2dx+∫ 1

0 Qε,α,β,γ(x)y2dx∫ 1

0 y2dx

>

>

∫ 10 y

′2dx+∫ 1

0 Qε,α,β,γ(x)y2dx

a(ε)(∫ 1

0 y′2dx+

∫ 10 Qε,α,β,γ(x)y2dx

) =1

a(ε).

Следовательно,

infy∈HQε,α,β,γ

\{0}R[Qε,α,β,γ, y] >

1

a(ε).

Тогда для любого ε > 0 имеем


λ1(Q) > λ1(Qε,α,β,γ)= infy∈HQε,α,β,γ

\{0}R[Qε,α,β,γ, y] >

1

a(ε).

Поскольку ε может быть произвольно малым числом и a(ε) → +0при ε→ +0, то

Mα,β,γ = ∞.

1.2) Пусть γ < 0, β 6 0 < α. Докажем, что Mα,β,γ = ∞.

Рассмотрим функцию

Qε,α,β,γ(x) =

{(α+ 1)

1γ ε−

α+1γ (1− ε)

1γ (1− x)−

βγ , 0 < x 6 ε ;

(α+ 1)1γ ε

1γ (1− εα+1)−

1γ (1− x)−

βγ , ε < x < 1,

где 0 < ε < 1.


0y2dx =

∫ ε

0y2dx+

∫ 1

ε

y2dx 6ε2

2

∫ ε

0y′2dx+

+

(1

α+ 1

) 1γ

ε−1γ (1− εα+1)

1γ

∫ 1

ε

(α+ 1)1γ ε

1γ (1− εα+1)−

1γ (1− x)−

βγ y2dx =

=ε2

2

∫ ε

0y′2dx +

(1

α+ 1

) 1γ

ε−1γ (1− εα+1)

1γ

∫ 1

ε

Qε,α,γ(x)y2dx 6

6 a(ε)

(∫ 1

0y′2dx+

∫ 1

0Qε,α,β,γ(x)y

2dx

),

61

где

a(ε) =ε2

2+

(1

α+ 1

) 1γ

ε−1γ (1− εα+1)

1γ .

В силу рассуждений, аналогичным рассуждениям пункта 1.1), полу-чаем Mα,β,γ = ∞.

Отметим, что случай γ < 0, α 6 0 < β симметричен случаю γ < 0,β 6 0 < α.

1.3) Пусть γ < 0, α, β 6 0. Докажем, что Mα,β,γ = ∞.


Qε,α,β,γ(x) =

{(1− ε)

1γ ε−

1γx−

αγ (1− x)−

βγ , 0 < x 6 ε ;

(1− ε)−1γ ε

1γx−

αγ (1− x)−

βγ , ε < x < 1,

где 0 < ε < 1.


0y2dx =

∫ ε

0y2dx+

∫ 1

ε

y2dx 6

6ε2

2

∫ ε

0y′2dx + (1− ε)

1γ ε−

1γ

∫ 1

ε

(1− ε)−1γ ε

1γ y2dx 6

6ε2

2

∫ ε

0y′2dx + (1− ε)

1γ ε−

1γ

∫ 1

ε

(1− ε)−1γ ε

1γx−

αγ (1− x)−

βγ y2dx 6

6 a(ε)

(∫ 1

0y′2dx+

∫ 1

0Qε,α,β,γ(x)y

2dx

),

где

a(ε) =ε2

2+ (1− ε)

1γ ε−

1γ .

Аналогично пунктам 1.1) и 1.2) получаем Mα,β,γ = ∞.

1.4) Пусть 0 < γ < 1, α, β > 0.

Разобьем отрезок [0, 1] точками 0 = ε0 < ε1 < . . . < εn = 1 наравные отрезки длины ε. Рассмотрим функцию Qε(x), определеннуюна полуинтервале [0,1) и заданную на каждом полуинтервале [εi−1, εi)

62

(1 6 i 6 n) следующим образом:

Qε(x) =

0, εi−1 6 x < εi−1 +

ε

2− ερ

2;

ε−µx−αγ (1− x)−

βγ , εi−1 +

ε

2− ερ

26 x 6 εi−1 +

ε

2+ερ

2;

0, εi−1 +ε

2+ερ

2< x < εi,

где 0 < ε < 1, ρ = 1+γ+α1−γ , µ =

2+αγ

1−γ .

Отметим, что ρ > 1 при α > −2γ и, в частности, при α > 0. Про-верим выполнение интегрального условия. Заметим, что для любого iимеют место следующие равенства:∫ εi

εi−1

Qγε(x)x

α(1− x)βdx =

∫ εi−1+ ε2+ ερ

2

εi−1+ ε2−

ερ

2

Qγε(x)x

α(1− x)βdx =

=

∫ ε2+ ερ

2

ε2−

ερ

2

Qγε(x)x

α(1− x)βdx;

∫ 1

0Qγ

ε(x)xα(1− x)βdx = n

∫ ε2+ ερ

2

ε2−

ερ

2

ε−µγdx =1

εε−µγ ερ = ε−µγ+ρ−1 = 1.

Для любой функции y ∈ HQεрассмотрим

∫ εi

εi−1Qε(x)y

2dx (1 6 i 6 n).В силу интегральной теоремы о среднем в интервале(εi−1 + ε

2 −ερ

2 , εi−1 + ε2 + ερ

2

)найдется такая точка θi , что

∫ εi

εi−1

Qε(x)y2dx =

∫ εi−1+ ε2+ ερ

2

εi−1+ ε2−

ερ

2

ε−µ x−αγ (1− x)−

βγ y2dx =

= ε−µ ερ θ−α

γ

i (1− θi)−β

γ y2(θi) = ε−αγ−1 θ

−αγ

i (1− θi)−β

γ y2(θi).

В силу неравенства Гёльдера(∫ x

θi

y′(x)dx

)2

6 (x− θi)

∫ x

θi

y′(x)2dx.

63

Используя представление y(x) = y(θi) +∫ x

θiy′(x)dx, получаем∫ εi

εi−1

y2dx =

∫ εi

εi−1

(y(θi) +

∫ x

θi

y′dx

)2

dx 6

6∫ εi

εi−1

(2y2(θi) + 2

(∫ x

θi

y′dx

)2)dx =

= 2ε y2(θi) + 2

∫ εi

εi−1

(∫ x

θi

y′dx

)2

dx 6

6 2ε y2(θi) + 2ε2∫ εi

εi−1

y′2dx = 2ε2(y2(θi) ε

−1 +

∫ εi

εi−1

y′2dx

)=

= 2ε2(ε

αγ θ

αγ

i · (1− θi)βγ

∫ εi

εi−1

Qεi(x)y2dx+

∫ εi

εi−1

y′2dx

)6

6 2ε2(∫ εi

εi−1

Qε(x)y2dx+

∫ εi

εi−1

y′2dx

).

Тогда, в силу определения функции Qε(x), имеем∫ 1

0y2dx 6 2ε2

(∫ 1

0Qε(x)y

2dx+

∫ 1

0y′2dx

),

и Mα,β,γ = supQ∈Tα,β,γ

λ1(Q) = ∞.

1.5) Если 0 < γ < 1, α < 0 6 β , то опять разобьем отрезок [0, 1]точками 0 = ε0 < ε1 < . . . < εn = 1 на равные отрезки длины ε иопределим функцию Qε на каждом полуинтервале [εi−1, εi) (1 6 i 6 n)

следующим образом:

Qε(x) =

0, εi−1 6 x < εi−1 +

ε

2− ερ

2;


βγ , εi−1 +

ε

2− ερ

26 x 6 εi−1 +

ε

2+ερ

2;

0, εi−1 +ε

2+ερ

2< x < εi,

где 0 < ε < 1, ρ = 1+γ−α1−γ , µ =

2−αγ

1−γ .

Отметим, что ρ > 1 при α < 2γ и, в частности, при α < 0. Про-верим выполнение интегрального условия. Заметим, что для любого i

64

(1 6 i 6 n) имеют место следующие равенства:∫ εi

εi−1

Qγε(x)x

α(1− x)βdx =

∫ εi−1+ ε2+ ερ

2

εi−1+ ε2−

ερ

2

Qγε(x)x

α(1− x)βdx =

=

∫ ε2+ ερ

2

ε2−

ερ

2

Qγε(x)x

α(1− x)βdx;

∫ 1

0Qγ

ε(x)xα(1− x)βdx = n

∫ ε2+ ερ

2

ε2−

ερ

2

ε−µγdx =1

εε−µγ · ερ = ε−µγ+ρ−1 = 1.

Для любой функции y ∈ HQεрассмотрим

∫ εi

εi−1Qε(x)y

2dx (1 6 i 6 n).В силу интегральной теоремы о среднем в интервале(εi−1 + ε

2 −ερ

2 , εi−1 + ε2 + ερ

2

)найдется такая точка θi , что∫ εi

εi−1

Qε(x)y2dx =

∫ εi−1+ ε2+ ερ

2

εi−1+ ε2−

ερ

2


βγ y2dx =

= ε−µ · ερθ−α

γ

i (1− θi)−β

γ y2(θi) = εαγ−1θ

−αγ

i (1− θi)−β

γ y2(θi).

Так же, как и для случая 1.4),∫ εi

εi−1

y2dx 6 2εy2(θi) + 2ε2∫ εi

εi−1

y′2dx =

= 2εθαγ

i (1− θi)βγ ε1−α

γ

∫ εi

εi−1

Qε(x)y2dx+ 2ε2

∫ εi

εi−1

y′2dx 6

6 2ε2(θ

αγ

i ε−α

γ

∫ εi

εi−1

Qε(x)y2dx+

∫ εi

εi−1

y′2dx

).

Тогда∫ 1

0y2dx 6 2ε2

(max

i

(θ

αγ

i

)ε−

αγ

∫ 1

0Qε(x)y

2dx+

∫ 1

0y′2dx

)=

= 2ε2(θ

αγ

1 ε−α

γ

∫ 1

0Qε(x)y

2dx+

∫ 1

0y′2dx

).

Поскольку

θ1 ∈(ε

2− ερ

2,ε

2+ερ

2

), θ

αγ

1 <

(ε

2− ερ

2

)αγ

.

65

Тогда∫ 1

0y2dx = 2ε2

(θ

αγ

1 ε−α

γ

∫ 1

0Qε(x)y

2dx+

∫ 1

0y′2dx

)<

< 2ε2((ε

2

)αγ (

1− ερ−1)αγ ε−

αγ

∫ 1

0Qε(x)y

2dx+

∫ 1

0y′2dx

)6

6 21−αγ ε2(1− ερ−1)α

γ

(∫ 1

0Qε(x)y

2dx+

∫ 1

0y′2dx

).

При достаточно малом ε для любой функции y из пространстваHQε

\ {0} имеем

R[Qε, y] =

∫ 10 y

′2dx+∫ 1

0 Qε(x)y2dx∫ 1

0 y2dx

>

>

∫ 10 y

′2dx+∫ 1

0 Qε(x)y2dx

21−αγ ε2(1− ερ−1)

αγ

(∫ 10 y

′2dx+∫ 1

0 Qε(x)y2dx) =

=

(1− ερ−1

)−αγ

(∫ 10 y

′2dx+∫ 1

0 Qε(x)y2dx)

21−αγ ε2(∫ 1

0 y′2dx+

∫ 10 Qε(x)y2dx

) >

(12

)−αγ

21−αγ ε2


λ1(Q) = ∞.

Отметим, что случай 0 < γ < 1, β < 0 6 α симметричен случаю0 < γ < 1, α < 0 6 β .

1.6) Пусть 0 < γ < 1, α, β < 0.Если β > α, то рассмотрим при 0 < γ < 1, α, β < 0 функцию Qε(x)

пункта 1.5). Если β < α, то можно провести аналогичные рассужде-ния, поменяв в определении функции Qε(x) и далее α и β местами.Проверив выполнение интегрального условия, аналогично тому, как

66

это было проделано в пунктах 1.4) и 1.5), имеем:∫ εi

εi−1

y2dx 6 2εy2(θi) + 2ε2∫ εi

εi−1

y′2dx =

= 2εθαγ

i (1− θi)βγ ε1−α

γ

∫ εi

εi−1

Qε(x)y2dx+ 2ε2

∫ εi

εi−1

y′2dx =

= 2εθαγ

i (1− θi)αγ (1− θi)

β−αγ ε1−α

γ

∫ εi

εi−1

Qε(x)y2dx+ 2ε2

∫ εi

εi−1

y′2dx 6

6 2ε2(θ

αγ

i (1− θi)αγ ε−

αγ

∫ εi

εi−1

Qε(x)y2dx+

∫ εi

εi−1

y′2dx

).

Тогда∫ 1

0y2dx 6 2ε2

(max

i

(θ

αγ

i (1− θi)αγ

)ε−

αγ

∫ 1

0Qε(x)y

2dx+

∫ 1

0y′2dx

)6

6 2ε2

((ε

2− ερ

2

)αγ(

1− ε

2+ερ

2

)αγ

ε−αγ

∫ 1

0Qε(x)y

2dx+

∫ 1

0y′2dx

)=

2ε2

(ε

αγ

(1

2− ερ−1

2

)αγ(

1− ε

2+ερ

2

)αγ

ε−αγ

∫ 1

0Qε(x)y

2dx+

∫ 1

0y′2dx

)6

6 2ε2

((1

2− ερ−1

2

)αγ(

1− ε

2+ερ

2

)αγ∫ 1

0Qε(x)y

2dx+

∫ 1

0y′2dx

).

При достаточно малом ε для любой функции y из пространстваHQε

\ {0} имеем

R[Qε, y] =

∫ 10 y

′2dx+∫ 1

0 Qε(x)y2dx∫ 1

0 y2dx

>

>

∫ 10 y

′2dx+∫ 1

0 Qε(x)y2dx

21−αγ ε2(1− ερ−1)

αγ(1− ε

2 + ερ

2

)αγ

(∫ 10 y

′2dx+∫ 1

0 Qε(x)y2dx) > (1

2

)− 2αγ

21−αγ ε2


λ1(Q) = ∞.

2. Докажем, что если γ > 1, то Mα,β,γ <∞.

67

Отметим, что в силу леммы 3.1 при γ > 1, α, β 6 2γ − 1 простран-ства HQ и H1

0(0, 1) совпадают и

infy∈HQ\{0}

∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2dx= inf

y∈H10 (0,1)\{0}

∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2 dx= π2.

Тогда при γ > 1, 0 < α, β 6 2γ − 1 в силу неравенства (3.2) имеем

Mα,β,γ 6

(1 + 2

3γ−2γ

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ

)π2.

При γ > 1 и β 6 0 < α 6 2γ − 1 или α 6 0 < β 6 2γ − 1 в силунеравенства (3.3) имеем

Mα,β,γ 6

(1 +

(2γ − 1

γ

) 2γ−1γ

)π2.

При γ > 1, α, β 6 0 в силу неравенства (3.5), мы получаем

Mα,β,γ 6 2π2.

Утверждения 1) – 3) пункта 2. теоремы доказаны.

4) Пусть γ > 1 и α, β > γ .Докажем, что

Mα,β,γ 6 R

[1

y21, y1

], где y1(x) = x

α2γ (1− x)

β2γ .

Заметим, что интеграл∫ 1

0 y′12dx сходится при α, β > γ . Пусть∫ 1

0y′1

2dx = C1,

∫ 1

0y2

1dx = C2.

Тогда для любой функции Q ∈ Tα,β,γ


∫ 10

(y′2 +Q(x)y2

)dx∫ 1

0 y2dx

6

∫ 10

(y′1

2 +Q(x)y21

)dx∫ 1

0 y21dx

=

=C1 +

∫ 10 Q(x)x

αγ (1− x)

βγ dx

C26C1 +

(∫ 10 Q

γ(x)xα(1− x)βdx) 1

γ

C2=

=C1 + 1

C2

68

иMα,β,γ = sup

Q∈Tα,β,γ

λ1(Q) 6C1 + 1

C2.

5) Докажем, что если γ > 1 и β 6 γ < α, y2(x) = xα2γ sin π(1 − x),

то

Mα,β,γ 6

∫ 10 y

′22dx+ π2

(γ−1

3γ−β−1

)γ−1γ∫ 1

0 y22dx

при γ > 1,

Mα,β,γ 6

∫ 10 y

′22dx+ π2∫ 1

0 y22dx

при γ = 1.

Пусть сначала γ > 1 и β 6 γ < α.Обозначим через C1 и C2 следующие интегралы:∫ 1

0y′2

2dx = C1,

∫ 1

0y2

2dx = C2.

Для любой функции Q ∈ Tα,β,γ функция y2 ∈ HQ , поскольку∫ 1

0Q(x)y2

2dx =

∫ 1

0Q(x)x

αγ sin2 π(1− x)dx 6

6

(∫ 1


) 1γ(∫ 1

0(1− x)

β1−γ sin

2γγ−1 π(1− x)dx

)γ−1γ

6

6 π2(∫ 1

0(1− x)

β−2γ1−γ dx

)γ−1γ

= π2(

γ − 1

3γ − β − 1

)γ−1γ

.

Рассмотрим теперь случай β 6 1 = γ < α.Пусть y2(x) = x

α2 sin π(1− x) и∫ 1

0y′2

2dx = C1,

∫ 1

0y2

2dx = C2.

Для любой функции Q ∈ Tα,β,γ функция y2 ∈ HQ , поскольку приβ < 2 имеем

(1− x)2 < (1− x)β

69

и∫ 1

0Q(x)y2

2dx =

∫ 1

0Q(x)xα sin2 π(1− x)dx <

< π2∫ 1

0Q(x)xα(1− x)βdx = π2.

Тогда для любой функции Q ∈ Tα,β,γ имеем


∫ 10

(y′2+Q(x)y2

)dx∫ 1

0 y2dx

6

∫ 10

(y′2

2 +Q(x)y22

)dx∫ 1

0 y22dx

6C1+π

2

C2

иMα,β,γ = sup

Q∈Tα,β,γ

λ1(Q) 6C1 + π2

C2.

Отметим, что данные оценки имеют место не только для β 6 γ , нои для всех β < 3γ − 1.

Отметим также, что если γ > 1, α 6 γ < β (α < 3γ − 1), тоимеет место аналогичный результат, где в формулах для Mα,β,γ вместофункции y2 стоит функция y3(x) = (1− x)

β2γ sin πx.

6) Пусть γ > 1, α > γ , β 6 0. Докажем, что

Mα,β,γ 6

∫ 10 y

′22dx+ 1∫ 1

0 y22dx

,

где y2(x) = xα2γ sin π(1− x).

Пусть α > γ > 1, β 6 0 и y2(x) = xα2γ sin π(1−x). Обозначим через

C1 и C2 следующие интегралы:∫ 1

0y′2

2dx = C1,

∫ 1

0y2

2dx = C2.

Для любой функции Q ∈ Tα,β,γ функция y2 ∈ HQ , поскольку∫ 1

0Q(x)y2

2dx =

∫ 1

0Q(x)x

αγ sin2 π(1−x)dx 6

∫ 1

0Qγ(x)xα(1−x)βdx = 1.

70

Тогда для любой функции Q ∈ Tα,β,γ имеем


∫ 10

(y′2 +Q(x)y2

)dx∫ 1

0 y2dx

6

∫ 10

(y′2

2 +Q(x)y22

)dx∫ 1

0 y22dx

6C1 +1

C2


λ1(Q) 6 C1+1C2

.

Отметим, что при β > γ > 1, α 6 0 имеет место аналогичный ре-зультат, где в формулах для Mα,β,γ вместо функции y2 стоит функцияy3(x) = (1− x)

β2γ sin πx.

Отметим также, что для случая β 6 0, γ = 1 < α полученнаяоценка точнее, чем оценка, полученная в пункте 5) при β 6 γ = 1 < α,поэтому на рисунке 3 приводится данный результат.

7) Пусть γ = 1, β 6 0 < α 6 1. Докажем, что Mα,β,γ 6 2π2 .

Для любой функции Q ∈ Tα,β,γ имеем∫ 1

0Q(x)y2dx =

∫ 1

0Q(x)y2xαx−αdx 6

6 sup[0,1]

y2

xα

∫ 1

0Q(x)xα(1− x)βdx 6 sup

[0,1]

y2

x.

Поскольку для любого x ∈ (0, 1) в силу неравенства Гёльдера имеем

y2(x) =

(∫ x

0y′(t)dt

)2

6 x

∫ x

0y′2(t)dt 6 x

∫ 1

0y′2(t)dt,

то

sup[0,1]

y2

x6∫ 1

0y′2dx. (3.6)

Заметим, что в силу неравенства (3.6) пространства HQ и H10(0, 1)

совпадают и


∫ 10 y

′2 +∫ 1

0 Q(x)y2dx∫ 10 y

2dx6

6 infy∈HQ\{0}

2∫ 1

0 y′2dx∫ 1

0 y2dx

= infy∈H1

0 (0,1)\{0}

2∫ 1

0 y′2dx∫ 1

0 y2 dx

= 2π2

71

иMα,β,γ = sup

Q∈Tα,β,γ

λ1(Q) 6 2π2.

Отметим, что случай α 6 0 < β 6 1 = γ симметричен случаюβ 6 0 < α 6 1 = γ .

8) Пусть γ = 1, 0 < α, β 6 1. Докажем, что Mα,β,γ 6 3π2.

Для любой функции Q ∈ Tα,β,γ имеем∫ 1

0Q(x)y2dx =

∫ 1

0Q(x)y2xαx−α(1− x)β(1− x)−βdx 6

6 sup[0,1]

y2

xα(1− x)β

∫ 1

0Q(x)xα(1− x)βdx 6 sup

[0,1]

y2

x(1− x)=

= sup[0,1]

y2(

1

x+

1

1− x

)6 sup

[0,1]

y2

x+ sup

[0,1]

y2

1− x.

Для любого x ∈ (0, 1) мы имеем

y2(x) =

(∫ x

0y′(t)dt

)2

6 x

∫ x

0y′2(t)dt 6 x

∫ 1

0y′2(t)dt

и

y2(x) =

(−∫ 1

x

y′(t)dt

)2

6 (1− x)

∫ 1

x

y′2(t)dt 6 (1− x)

∫ 1

0y′2(t)dt.

Принимая во внимание неравенства

sup[0,1]

y2

x6∫ 1

0y′2dx и sup

[0,1]

y2

1− x6∫ 1

0y′2dx,

аналогично пункту 7) мы получаем

λ1(Q) 6 infy∈HQ\{0}

3∫ 1

0 y′2dx∫ 1

0 y2dx

= infy∈H1

0 (0,1)\{0}

∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2 dx= 3π2.

Следовательно,Mα,β,γ = sup

Q∈Tα,β,γ

λ1(Q) 6 3π2.

9) Пусть γ = 1, α, β 6 0. Докажем, что Mα,β,γ 6 54π

2.

72

Можно доказать [6, 24, 13], что для любой функции y ∈ H10(0, 1)

справедливо неравенство

sup[0,1]

y2 61

4

∫ 1

0y′

2dx. (3.7)

Применив неравенство (3.7), для любой функции Q ∈ Tα,β,γ и длялюбой функции y ∈ HQ получаем∫ 1

0Q(x)y2dx 6 sup

[0,1]

y2

xα

∫ 1

0Q(x)xαdx 6 sup

[0,1]

y2

xα

∫ 1

0Q(x)xα(1− x)βdx 6

6 sup[0,1]

y2

xα6 sup

[0,1]y2 6

1

4

∫ 1

0y′

2dx

и Mα,β,γ 6 54π

2.


Замечание 3.1. Результаты, полученные в теореме 3.1 при γ < 0и при 0 < γ < 1, α = β = 0, совпадают с результатами работ [7], [8],[26] при δ = −1 (см., например, [8], теор. 1.1, с. 516).

Результаты теоремы 3.1 представлены с помощью рисунков 4, 5, 6и таблиц 4, 5, 6. В последнем столбце таблицы либо указано значениеMα,β,γ , либо номер неравенства для Mα,β,γ в теореме 3.1.

73

При β > 1

Рисунок 4

γ α Mα,β,γ

γ < 0 −∞ < α < +∞ Mα,β,γ = ∞0 < γ < 1 −∞ < α < +∞ Mα,β,γ = ∞

1 6 γ < β+12 α 6 γ 5 б

α > γ 4β+1

2 6 γ < β α 6 0 5 б, 20 < α 6 γ 5 б, 1

γ < α 6 2γ − 1 4, 1α > 2γ − 1 4

γ > β α 6 0 20 < α 6 γ 1

γ < α 6 2γ − 1 5 а, 1α > 2γ − 1 5 а

Таблица 4

74

При 0 < β 6 1

Рисунок 5

γ α Mα,β,γ

γ < 0 −∞ < α < +∞ Mα,β,γ = ∞0 < γ < 1 −∞ < α < +∞ Mα,β,γ = ∞γ = 1 α 6 0 7

0 < α 6 1 8α > 1 5 а

γ > 1 α 6 0 20 < α 6 γ 1

γ < α 6 2γ − 1 5 а, 1α > 2γ − 1 5 а

Таблица 5

75

При β 6 0

Рисунок 6

γ α Mα,β,γ

γ < 0 −∞ < α < +∞ Mα,β,γ = ∞0 < γ < 1 −∞ < α < +∞ Mα,β,γ = ∞γ = 1 α 6 0 9

0 < α 6 1 7α > 1 6 а

γ > 1 α 6 0 30 < α 6 γ 2

γ < α 6 2γ − 1 5 а, 2α > 2γ − 1 5 а

Таблица 6

76

3.2. Точные оценки

Уточним полученные оценки для Mα,β,γ при γ > 1.Пусть Bα,β,γ – пространство функций из H1

0(0, 1) с конечной нор-мой

‖y‖Bα,β,γ=

(∫ 1

0y′

2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

) 12

.

В силу неравенства Гёльдера для любой функции Q ∈ Tα,β,γ и длялюбой функции y ∈ Bα,β,γ имеет место неравенство∫ 1

0Q(x)y2dx 6

6

(∫ 1


) 1γ(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

. (3.8)

В силу неравенства (3.8) имеем

Bα,β,γ ⊂ HQ ⊂ H10(0, 1).

Заметим, что в силу неравенства (3.8) при γ > 1, α, β < 2γ − 1пространства Bα,β,γ и H1

0(0, 1) совпадают.

Пусть

G[y] =

∫ 10 y

′2dx+(∫ 1

0 xα

1−γ (1− x)β

1−γ |y|2γ

γ−1dx)γ−1

γ∫ 10 y

2 dx.

Обозначимm = inf

y∈Bα,β,γ\{0}G[y].

В силу неравенства (3.8) для любой функции Q ∈ Tα,β,γ и для любойфункции y ∈ Bα,β,γ имеет место неравенство

R[Q, y] 6 G[y].

77

Тогда


R[Q, y] 6 infy∈HQ\{0}

G[y] 6 infy∈Bα,β,γ\{0}

G[y] = m

иMα,β,γ = sup

Q∈Tα,β,γ

λ1(Q) 6 infBα,β,γ\{0}

G[y] = m,

то есть Mα,β,γ 6 m.Докажем, что Mα,β,γ = m.

Теорема 3.2. Пусть γ > 1; тогда существуют такая функцияQ∗ ∈ Tα,β,γ и такая положительная на (0, 1) функция u ∈ HQ∗ , чтоR[Q∗, u] = G[u] = m, и Mα,β,γ = m, при этом функция u удовлетво-ряет уравнению

u′′ +mu = xα

1−γ (1− x)β

1−γ uγ+1γ−1 (3.9)

и условию ∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ u

2γγ−1 dx = 1. (3.10)


Обозначим через

Γ∗ = {y ∈ Bα,β,γ |∫ 1

0y2dx = 1}.

Пусть

I[y] =

∫ 1

0y′

2dx+

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx

)γ−1γ

.

Пусть {yk} – минимизирующая последовательность функционалаG[y] в Bα,β,γ , то есть G[yk] → m при k →∞. Так как G[yk] = G[|yk|],то можно считать, что последовательность {yk} неотрицательна.

Покажем, что последовательность yk = yk

C12k

, где Ck =∫ 1

0 y2kdx, – ми-

нимизирующая последовательность функционала I[y] в Γ∗ , то естьI[yk] → m при k →∞.

78

Действительно,

∫ 1

0y2

kdx =

∫ 1

0

(yk

C12

k

)2

dx =

∫ 1

0y2

kdx

Ck=Ck

Ck= 1

и

I[yk] = G[yk] = G

[yk

C12

k

]=

=

1

Ck

∫ 1

0yk

′2dx+1

Ck

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |yk|

2γγ−1dx

)γ−1γ

1

Ck

∫ 1

0y2

kdx

= G [yk] .

Тогдаm = inf

y∈Bα,β,γ\{0}G[y] = inf

y∈Γ∗I[y]. (3.11)

Лемма 3.2. Существует такая функция u∗ ∈ Γ∗ , что I[u∗] = m,где m определяется формулой (3.11).

Доказательство леммы 3.2.Поскольку {yk} – минимизирующая последовательность функцио-

нала I[y] в Γ∗ и m = infy∈Γ∗

I[y], то для всех достаточно больших значе-

ний k имеем I[yk] 6 m + 1. Так как ‖yk‖2Bα,β,γ

= I[yk], то последова-тельность {yk} ограничена в Bα,β,γ .

Рассмотрим эту последовательность в сепарабельном гильбертовомпространстве H1

0(0, 1). Поскольку она ограничена в H10(0, 1), то она

содержит подпоследовательность {zk}, слабо сходящуюся в H10(0, 1) к

некоторой функции u∗ , причем

‖u∗‖2H1

0 (0,1) 6 m+ 1.

Пространство H10(0, 1) компактно вкладывается в пространcтво

C[0, 1], следовательно, существует подпоследовательность {sk} после-довательности {zk}, сильно сходящаяся в C[0, 1].

79

Поскольку пространство C[0, 1] вкладывается в L2(0, 1), то после-довательность {sk} сильно сходится в L2(0, 1) к функции u∗ . Следо-вательно, для функционала G[sk] имеем∫ 1

0s2kdx→

∫ 1

0u2∗dx при k →∞

и ∫ 1

0u2∗dx = 1. (3.12)

Для произвольного 0 < ε < 12 рассмотрим вспомогательный функ-

ционал

Iε[y] =

∫ 1

0y′

2dx+

(∫ 1−ε

ε

xα

1−γ (1− x)β

1−γ |y|2γ

γ−1dx

)γ−1γ

.

На множестве [ε, 1− ε]× [0,+∞) рассмотрим функцию

F (x, y) = xα

1−γ (1− x)β

1−γ |y|2γ

γ−1 .

Функция F (x, y) выпукла по переменной y , поскольку для любогоx ∈ [ε, 1− ε] и для любого y ∈ [0,+∞)

Fy(x, y) =2γ

γ − 1x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

γ+1γ−1 sgn y =

2γ

γ − 1x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γ−1y,

Fyy(x, y) =2γ(γ + 1)

(γ − 1)2 xα

1−γ (1− x)β

1−γ y2

γ−1 > 0.

Тогда для любого x ∈ [ε, 1− ε] и для любых двух значений y, y измножества [0,+∞)

F (x, y)− F (x, y)− Fy(x, y)(y − y) > 0.

Тогда при y = sk и y = u∗ имеем∫ 1−ε

ε

(F (x, sk)− F (x, u∗)) dx >∫ 1−ε

ε

Fu∗(x, u∗)(sk − u∗) dx,

то есть

80

∫ 1−ε

ε

(x

α1−γ (1− x)

β1−γ |sk|

2γγ−1 − x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u∗|

2γγ−1

)dx >

>2γ

γ − 1

∫ 1−ε

ε

xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u∗|2

γ−1u∗(sk − u∗)dx.

В силу равномерной сходимости на [ε, 1 − ε] последовательности{sk} к функции u∗ интеграл в правой части неравенства стремится кнулю при k → ∞. Тогда, поскольку последовательность {sk} слабосходится в L2(0, 1) к функции u∗ , имеем (см. [14], стр. 398)

limk→∞

∫ 1−ε

ε

F (x, sk)dx >∫ 1−ε

ε

F (x, u∗)dx

или

limk→∞

∫ 1−ε

ε

xα

1−γ (1−x)β

1−γ |sk|2γ

γ−1dx >∫ 1−ε

ε

xα

1−γ (1−x)β

1−γ |u∗|2γ

γ−1dx. (3.13)

Поскольку последовательность {sk} ограничена в H10(0, 1), в силу

определения нормы ‖sk‖H10 (0,1) последовательность {s′k} ограничена в

L2(0, 1). Тогда существует такая подпоследовательность {wk} после-довательности {sk}, что последовательность {w′

k} слабо сходится к u′∗в L2(0, 1).

Рассмотрим числовую последовательность {∫ 1

0 w′k2dx}, имеющую

конечный нижний предел. Тогда существует такая подпоследователь-ность {vk} последовательности {wk}, что

limk→∞

∫ 1

0v′k

2dx = lim

k→∞

∫ 1

0w′

k2dx.

Так как {v′k} слабо сходится к u′∗ в L2(0, 1), то

‖u′∗‖2L2(0,1) 6 lim

k→∞‖v′k‖2

L2(0,1) = limk→∞

‖v′k‖2L2(0,1) (см. [15], стр. 217).

(3.14)В силу неравенств (3.13) и (3.14) для произвольного 0 < ε < 1

2имеем

Iε[u∗] 6 limk→∞

Iε[vk] 6 limk→∞

I[vk] = m.

81

Так как ε произвольно,

I[u∗] 6 limk→∞

I[vk] = m. (3.15)

Поскольку m = infy∈Γ3

I[y], то I[u∗] = m.

Из условий (3.12) и (3.15) следует принадлежность функции u∗ мно-жеству Γ∗ .


Рассмотрим множество

Γ3 = {y ∈ Bα,β,γ |∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |y|

2γγ−1dx = 1}

и функцию u = Cu∗ , где константа C выбирается так, чтобы функцияu принадлежала Γ3 и была неотрицательной на отрезке [0, 1], то есть

C =

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u∗|

2γγ−1dx

) 1−γ2γ

.

Тогда G[u] = G[u∗] = I[u∗] = m.

Лемма 3.3. Пусть u ∈ Γ3 и G[u] = m; тогда функция u поло-жительна на интервале (0, 1) и удовлетворяет уравнению (3.9).

Доказательство леммы 3.3.Зафиксируем аргумент u функционала G[y], зафиксируем некото-

рую вариацию z ∈ Bα,β,γ аргумента u и рассмотрим семейство кривыхu+ tz , где t – произвольный параметр. На кривых u+ tz функционалG[y] превращается в функцию параметра t ∈ R:

g(t) =

=

∫ 10 (u′(x) + tz′(x))2dx+

(∫ 10 x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u(x) + tz(x)|

2γγ−1dx

)γ−1γ∫ 1

0 (u(x) + tz(x))2dx.

Поскольку функционал G[y] достигает экстремума при y = u, то еговариация обращается в нуль при y = u, то есть g′(0) = 0. Таким

82

образом,∫ 10 u

′z′dx∫ 10 u

2dx+

+

(∫ 10 x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

2γγ−1dx

)− 1γ ∫ 1

0 xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u|γ+1γ−1 sgnu zdx∫ 1

0 u2dx

=

=

(∫ 10 u

′2dx+(∫ 1

0 xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u|2γ

γ−1dx)γ−1

γ

)∫ 10 uzdx

(∫ 1

0 u2dx)2

.

Поскольку u ∈ Γ3 и G[u] = m, получаем∫ 10 u

′z′dx+∫ 1

0 xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u|γ+1γ−1 sgnu zdx∫ 1

0 u2dx

=m∫ 1

0 uzdx∫ 10 u

2dx

или

∫ 1

0u′z′dx+

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

γ+1γ−1 sgnu zdx = m

∫ 1

0uzdx. (3.16)

Покажем, что равенство (3.16) выполняется для любой функцииz ∈ Bα,β,γ . В силу неравенства Гёльдера∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

γ+1γ−1 sgnuzdx 6

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

γ+1γ−1 |z|dx 6

6

(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

2γγ−1dx

)γ+12γ(∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γ |z|

2γγ−1dx

)γ−12γ

.

Полагая, что z ∈ C∞0 (0, 1), получаем, что функция u′ имеет обобщен-

ную производную

u′′ = xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u|γ+1γ−1 sgnu−mu = x

α1−γ (1− x)

β1−γ |u|

2γ−1u−mu.

Поскольку u ∈ AC[0, 1], функция xα

1−γ (1 − x)β

1−γ |u|γ+1γ−1 sgnu непре-

рывна на отрезке [ρ, 1−ρ], где 0 < ρ < 12 , и тогда u′′ ∈ Lp(ρ, 1−ρ). В си-

лу следствия 2.6.1. теоремы 2.6.1. (см. [16], с. 41), поскольку

83

u, v ∈ Lp(ρ, 1 − ρ), p > 1, где v – обобщенная производная вто-рого порядка от u, то функция u непрерывно дифференцируема наотрезке [ρ, 1− ρ] и почти всюду на нем имеет классическую производ-ную второго порядка u′′ = v . При этом u′ абсолютно непрерывна наотрезке [ρ, 1− ρ].

Таким образом,

u′′ − xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u|2

γ−1u+mu = 0, где x ∈ [ρ, 1− ρ].

Поскольку ρ может быть произвольно малым числом, имеет место ра-венство

u′′ − xα

1−γ (1− x)β

1−γ |u|2

γ−1u+mu = 0, где x ∈ (0, 1).

Так как функция u непрерывна на (0, 1), функция u′′ также непре-рывна на (0, 1) и равенство имеет место всюду на (0, 1). Посколькуu ∈ Γ3 , доказано существование неотрицательной функции u ∈ Bα,β,γ ,удовлетворяющей уравнению (3.9) и условию (3.10).

Докажем, что функция u положительна на интервале (0, 1).

Заметим, что поскольку функция u неотрицательна на интервале(0, 1), график функции не может пересечь ось Ox. Касание оси Ox

также невозможно в силу теоремы существования и единственностизадачи Коши, так как γ > 1 и γ+1

γ−1 > 1. Следовательно, функция u наинтервале (0, 1) положительна.


С помощью лемм 3.2 и 3.3 мы получили, что если m = infy∈Bα,β,γ\{0}

G[y],

то существует положительная на интервале (0, 1) функция u ∈ Bα,β,γ ,которая удовлетворяет уравнению (3.9) и условию (3.10).


Q∗(x) = xα

1−γ (1− x)β

1−γu2

γ−1 ,

удовлетворяющую интегральному условию (1.3):∫ 1

0xα(1− x)βQγ

∗(x)dx =

∫ 1

0xα(1− x)βx

αγ1−γ (1− x)

βγ1−γu

2γγ−1dx =

=

∫ 1

0x

α1−γ (1− x)

β1−γu

2γγ−1dx = 1.

84

Тогда функция u принадлежит HQ∗ .В силу леммы 3.3 функция u удовлетворяет уравнению (3.9) и усло-

виям (1.2). Таким образом, функция u удовлетворяет при Q = Q∗уравнению (1.1) и условиям (1.2). Тогда, поскольку функция u непре-рывна на отрезке [0, 1] и ее производная u′ непрерывна на интер-вале (0, 1), функция u является первой собственной функцией за-дачи (1.1) – (1.3) для Q = Q∗ с первым собственным значениемλ1(Q∗) = m.

Тогдаinf

y∈HQ∗\{0}R[Q∗, y] = R[Q∗, u] = G[u] = m

и


λ1(Q) > λ1(Q∗) =

= infy∈HQ∗\{0}

R[Q∗, y] = R[Q∗, u] = G[u] = m.

Следовательно, поскольку также Mα,β,γ 6 m, получаем Mα,β,γ = m.Теорема 3.2 доказана.

Замечание 3.2. Отметим, что поскольку u ∈ H10(0, 1) и

R[Q∗, u] =

∫ 10 u

′2dx+ 1∫ 10 u

2dx>

∫ 10 u

′2dx∫ 10 u

2dx> inf

y∈H10 (0,1)\{0}

∫ 10 y

′2dx∫ 10 y

2 dx= π2,

выполняется неравенство Mα,β,γ > π2 .

Замечание 3.3. При γ > 1, α = β = 0 результат теоремы 3.2совпадает с результатом [7], [8], [26] при δ = −1 (см., например, [8],теор. 1.1, с. 516).

Замечание 3.4. В случае γ = 1 достижимость точных оценокMα,β,γ доказана А. А. Владимировым [5]. Достижимость точной оцен-ки M0,0,1 доказана С. С. Ежак [7], [8], [26] (см. [8], теор. 1.1, с. 516).

85

Литература

[1] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные пред-ставления функций и теоремы вложения, Наука, Москва, 1996.

[2] Братусь А.С. Кратные собственные значения в задачах оптимиза-ции. Спектральные свойства систем с конечным числом степенейсвободы// Журнал Вычисл. Матем. и Мат. Физики, 1986, Т.26, с.1–7.

[3] Братусь А.С., Сейранян А.П. Бимодальные решения в задачахоптимизации собственного значения // Прикл. Мат. Мех., 1983, Т.47, с. 451–457.

[4] Винокуров В.А., Садовничий В.А. О границах изменения соб-ственного значения при изменении потенциала // Доклады Ака-демии наук, 2003, Т. 392, №5, С. 592–597.

[5] Владимиров А.А. О мажорантах собственных значений задачШтурма–Лиувилля с потенциалами из шаров весовых про-странств // arXiv:1412.7992v2 [math.SP] 19 March 2015

[6] Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. Об оценках первого собственногозначения в некоторых задачах Штурма–Лиувилля // Успехи ма-тематических наук, 1996, T. 51(3), С. 73–144.

[7] Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения зада-чи Штурма–Лиувилля с интегральным условием // Современнаяматематика и ее приложения, 2005, Т. 36, С. 56–69.

[8] Ежак С.С. Оценки первого собственного значения задачиШтурма–Лиувилля с условиями Дирихле,с. 517–559. // Часть 4 всб.: Качественные свойства решений дифференциальных уравне-ний и смежные вопросы спектрального анализа: научное издание

86

под ред. И. В. Асташовой. М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2012, 647 с. (ISBN978-5-238-02368-7)

[9] Карулина Е.С. Некоторые оценки первого собственного значениязадачи Штурма–Лиувилля с интегральными условиями на потен-циал и симметричными краевыми условиями // Дифференц. урав-нения, 2010, Т. 46, № 6, С. 901.

[10] Карулина Е.С. Оценки первого собственного значения зада-чи Штурма–Лиувилля с краевыми условиями третьего типа,с. 560–607. // Часть 4 в сб.: Качественные свойства решенийдифференциальных уравнений и смежные вопросы спектраль-ного анализа: научное издание под ред. И. В. Асташовой. М.:ЮНИТИ–ДАНА, 2012, 647 с. (ISBN 978-5-238-02368-7)

[11] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функ-ционального анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009, 572 с.

[12] Куралбаева К.З. Некоторые оптимальные оценки собственныхзначений задач Штурма–Лиувилля // Диссертация на соисканиеученой степени кандидата физико–математических наук по спе-циальности 01.01.02, 116 с., 1996.

[13] Куралбаева К.З. Об оценках первого собственного значения опера-тора Штурма–Лиувилля // Дифференциальные уравнения, 1996,T. 32(6), С. 852–853.

[14] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейныеуравнения эллиптического типа. М., Наука, 1973.

[15] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального ана-лиза, Наука, Москва, 1965.

[16] Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. Учеб.пособие для вузов. М., ”Высш. школа”, 1977.

[17] Осмоловский В.Г. Нелинейная задача Штурма–Лиувилля.Учеб. пособие. Издательство С.-Петербургского университета,Санкт-Петербург, 2003.

87

[18] Рапопорт И.М. Об одной вариационной задаче в теории обыкно-венных дифференциальных уравнений с краевыми условиями//Докл. АН СССР, 1950, Т. 73, №5, с. 889–890.

[19] Сейранян А.П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании ко-лонны // Институт механики МГУ имени М.В. Ломоносова, 2003,Т. 2, №2, С. 45-96.

[20] Эйлер Л. Об упругих кривых. В кн.: Эйлер Л. Метод нахождениякривых линий, обладающих свойствами максимума, либо мини-мума или решение изопериметрической задачи , взятой в самомшироком смысле // М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1934, С.447–572

[21] Cox S.J. The shape of ideal column // The Mathematical Intelligencer,1992, V. 14, p.16–24.

[22] Cox S.J., Overton M.L. On optimal design of columns against buckling//SIAM J. Math. Anal., 1992, Vol. 23, p. 287–325.

[23] Egorov J.V., Karaa S. Optimization of the first eigenvalue ofSturm–Liouville operator // C. R. Acad. Sci. Paris, t. 319. Serie I,1994, p. 793–798.

[24] Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. On Spectral theory of ellipticoperators // Operator theory: Advances and Applications, Birkhauser,Basel, 1996, V. 89, P. 1–325.

[25] Essen M. On estimating eigenvalues of a second order lineardifferential operator // ISNM, 80, Birkhauser, 1987, p. 347–366.

[26] Ezhak S.S. On the estimates for the minimum eigenvalue of theSturm–Liouville problem with integral condition. (English) J. Math.Sci., New York, 145, №. 5, 5205–5218 (2007); translation from Sovrem.Mat. Prilozh. 36, 56–69 (2005).

[27] Karaa S. Valeurs propres extremales dans problems deSturm–Liouville// C. R. Acad. Sci. Paris, t. 321. Serie I, 1995,p. 265–270.

88

[28] Keller J.B. The shape of the strongest column // Arch. Rat. Mech.Anal., 1960, V.5, №4, P. 275–285.

[29] Lagrange J.L. Sur la figure des colonnes // In: Ouevres de Lagrange(Publ. de M.J.-A. Serret), V.2. Paris: Gauthier–Villars, 1868, P.125–170.

[30] Ramm A.G. Question 5 (Part 2) // Notices Amer. Math. Soc., 29,1982, p. 328–329.

[31] Talenti G. Estimates for eigenvalues of Sturm–Liouville problems//General inequalities, 4, in W. Walter ed., Birkhauser, Boston, 1984,p. 341–350.

[32] Tadjbakhsh I., Keller J.B. Strongest columns and isoperimetricinequalities for eigenvalues // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1962,V. 29, №1, P. 159–164.

Публикации автора по теме диссертации

Издания из списка ВАК.

[33] Тельнова М.Ю. Оценки первого собственного значения задачиШтурма–Лиувилля с нулевыми граничными условиями и весо-вым интегральным условием на потенциал // Дифференциальныеуравнения, 2012, Т. 48, №11, C. 1570–1571.

[34] Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения однойзадачи Штурма–Лиувилля // Вестник Нижегородского универси-тета им. Н.И. Лобачевского, 2014, №1(1), C. 209–217.

[35] Тельнова М.Ю. О задаче минимизации функционала, порожден-ного задачей Штурма-Лиувилля с весовым интегральным услови-ем (Tel’nova M.Yu. Minimization problem for a functional generatedby a Sturm–Liouville problem with weighted integral condition //Differential equations, 2014, Vol. 50, №12, pp. 1688–1689) // Диф-ференциальные уравнения, 2014, Т. 50, №12, C. 1683–1684.

Монография.

89

[36] Тельнова М.Ю. Оценки первого собственного значения задачиШтурма–Лиувилля с условиями Дирихле и весовым интеграль-ным условием, с. 608–647.// Часть 4 в сб.: Качественные свойстварешений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спек-трального анализа: научное издание под ред. И. В. Асташовой. М.:ЮНИТИ–ДАНА, 2012, 647 с. (ISBN 978-5-238-02368-7)

Статьи.

[37] Telnova M.Yu. On some estimates of the first eigen-value of aSturm–Liouville problem with a weight integral condition // Materialsof International miniconference ”Qualitative theory of differentialequations and applications” (2008, 30 May), M.: MESI, 2009, p.131–145. (ISBN 978-5-7764-0563-1)

[38] Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения задачиШтурма–Лиувилля с весовым интегральным условием // Мате-риалы Международной миниконференции ”Качественная теориядифференциальных уравнений и приложения” (8,15 июня, 2010),M.: МЭСИ, 2011, с. 45–63. (ISBN 978-5-7764-0607-2)

[39] Telnova M.Yu. On estimates for the first eigenvalue of oneSturm–Liouville problem // Материалы Международной миникон-ференции ”Качественная теория дифференциальных уравнений иприложения” (3 июня, 2011), M.: МЭСИ, 2011, c. 78–87. (ISBN978-5-7764-0637-9)

[40] Telnova M.Yu. Some estimates for the first eigenvalue of theSturm–Liouville problem with a weight integral condition //Mathematica Bohemica, 2012, V. 137, № 2, P. 229–238.

[41] Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения задачиШтурма–Лиувилля с условиями Дирихле и весовым интеграль-ным условием // Материалы Международной миниконференции”Качественная теория дифференциальных уравнений и приложе-ния” (16 июня, 2012), M.: МЭСИ, 2013, c. 208–266.(ISBN 978-5-7764-0752-0)

[42] Тельнова М.Ю. Об оценке снизу первого собственного значенияодной задачи Штурма–Лиувилля с весовым интегральным усло-

90

вием на потенциал // Материалы Международной научной кон-ференции ”Теоретические и прикладные аспекты математики, ин-форматики и образования”, Архангельск, САФУ, 16–21 ноября2014, c. 204–216.

[43] Тельнова М.Ю. Об одной оценке сверху первого собственного зна-чения задачи Штурма–Лиувилля с условиями Дирихле и весовыминтегральным условием // Материалы Международной миникон-ференции ”Качественная теория дифференциальных уравненийи приложения” (22 июня и 19 декабря 2013 г., 24 мая 2014 г.),M.: МЭСИ, 2014, c. 126–140. (ISBN 978-5-7764-0983-7)

Тезисы докладов.

[44] Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения задачиШтурма–Лиувилля с весовым интегральным условием // Тезисыдокладов 14-й Саратовской зимней школы ”Современные пробле-мы теории функций и их приложения”, 28 января–4 февраля 2008года, Издательство Саратовского университета, 2008, c. 185–186.

[45] Telnova M.Yu. On some estimates of the first eigen-value of aSturm–Liouville problem with a weight integral condition // Тези-сы Международной конференции ”Дифференциальные уравненияи топология”, посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понт-рягина. Математический институт имени В.А. Стеклова РАН,Московский государственный университет имени М.В. Ломоносо-ва, 2008, с. 80–81.

[46] Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения зада-чи Штурма–Лиувилля с весовым интегральным условием печат-ный // Тезисы Международного Российско–Абхазского симпозиу-ма ”Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализаи информатики”, Нальчик–Эльбрус, 2009, с. 212–213.

[47] Telnova M.Yu. Some estimates of the first eigen-value of aSturm–Liouville problem with a weight integral condition // Abstractsof International Conference on Differential Equations and theirApplications Equadiff 12, Brno, Czech Republic, 2009, p. 136.

91

[48] Telnova M.Yu. Some estimates for the first eigenvalue of oneSturm–Liouville problem // Abstracts of International Conference onDifferential and Difference Equations and Applications, Departmentof Mathematics, Azores University, Ponta Delgada, Portugal, 2011,p. 121–122.

[49] Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения од-ной задачи Штурма–Лиувилля // Материалы IV Международнойконференции ”Современные проблемы прикладной математики,теории управления и математического моделирования” Воронеж,2011, с. 288–290.

[50] Тельнова М.Ю. Оценки первого собственного значения задачиШтурма–Лиувилля с условиями Дирихле и с весовым интеграль-ным условием нам потенциал // Материалы V Международнойконференции ”Современные проблемы прикладной математики,теории управления и математического моделирования”, 11–16 сен-тября 2012, Воронеж, с. 276–277.

[51] Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения однойзадачи Штурма–Лиувилля с весовым интегральным условием напотенциал // Материалы Всероссийской научной конференции смеждународным участием ”Спектральная теория операторов и ееприложения”, г. Архангельск, Институт математики и компьютер-ных наук САФУ имени М.В. Ломоносова, 25–29 ноября 2012, c.118–122.

[52] Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения зада-чи Штурма–Лиувилля с условиями Дирихле и весовым интеграль-ным условием // Материалы Всероссийской научной конференции”Понтрягинские чтения – XXIV” в рамках XXIV Воронежской ве-сенней математической школы ”Современные методы теории кра-евых задач”, Воронеж, 6–11 мая 2013 г., с. 190–192.

[53] Telnova M.Yu. Some estimates for the first eigenvalue of oneSturm–Liouville problem // Abstracts of International Conferenceon Applied Mathematics and Scientific Computing, Sibenik, Croatia,June 10–14, 2013, p. 61–62.

92

[54] Тельнова М.Ю. Об одной оценке минимального собственного зна-чения задачи Штурма–Лиувилля с интегральным условием //Материалы Всероссийской научной конференции ”Понтрягинскиечтения – XXV” в рамках XXV Воронежской весенней математи-ческой школы ”Современные методы теории краевых задач”, Во-ронеж, 3–8 мая 2014 г., с. 170–172.

[55] Telnova M. On some lower estimate for the first eigenvalue of aSturm–Liouville problem with a weight singular integral condition //Abstracts of International Conference on Differential and DifferenceEquations and Applications, Jasna, Slovak Republic, June 23–27,2014, p. 53–54.

[56] Тельнова М.Ю. Об одной оценке сверху первого собственного зна-чения задачи Штурма–Лиувилля с интегральным условием на по-тенциал // Материалы Международной конференции по диффе-ренциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 4–9июля 2014 г., с. 166–167.

[57] Telnova M. Estimates for the First Eigenvalue of a Sturm–LiouvilleProblem // Abstracts of European Advanced Studies Conference2014, Symposium on Differential and Difference Equations 2014,5th September 2014–8th September 2014, Homburg/Saar, Germany,p. 71.

93

Documents

diss.vlsu.rudiss.vlsu.ru/uploads/media/Disser_Telnova_01.pdf · Введение Актуальность темы В диссертации рассматривается задача,