Dist Binomial y Poisson

Distribucin de Probabilidad Discretas:

Distribucin Binomial

Distribucin de Poisson

MsC. MARA T. ROJAS GARCIA

Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polgonos de frecuencias. En el caso de una variable estadstica continua consideramos el histograma de frecuencias relativas, y se comprueba que al aumentar el nmero de datos y el nmero de clases el histograma tiende a estabilizarse llegando a convertirse su perfil en la grfica de una funcin.

Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen mediante una funcin y=f(x) llamada funcin de probabilidad o funcin de densidad. As como en el histograma la frecuencia viene dada por el rea, en la funcin de densidad la probabilidad viene dada por el rea bajo la curva, por lo que: El rea encerrada bajo la totalidad de la curva es 1. Para obtener la probabilidad P(aXb) obtenemos la proporcin de rea que hay bajo la curva desde a hasta b. La probabilidad de sucesos puntuales es 0, P(X=a)=0

Distribucin de Probabilidad

Parmetros en una distribucin de probabilidadPor analoga con las variables estadsticas podemos definir tambin aqu la media m y la desviacin tpica s de la variable aleatoria.

La media m, tambin llamada esperanza matemtica, es un valor representativo de todos los valores que toma la variable aleatoria X, lo podemos imaginar como el punto sobre el eje de abscisas donde al poner una cua la figura plana definida por la funcin de densidad quedar en equilibrio. Para calcularla hemos de hacer:

La desviacin tpica s es una medida de la dispersin de los valores que toma la variable aleatoria de la media. Como ocurra con las variables estadsticas la desviacin tpica ser ms pequea o ms grande segn la grfica de la funcin de densidad sea ms estrecha o ms ancha en torno a la media. En este caso se calcula:

Probabilidad de x = Funcin de xUna distribucin de probabilidad es un modelo matemtico que asocia valores de una variable aleatoria con sus respectivas probabilidades, es decir:

Las distribuciones se caracterizan por una frmula que determina el tipo de distribucin y por un conjunto de parmetros, que son propios de cada espacio muestral. En el caso de una variable discreta , la distribucin puede describirse mediante una funcin de probabilidad, que para cada valor de x de la variable X determina la probabilidad de ser asumido:

P( X= x) = p (x)o bien por medio de una funcin de distribucin de probabilidad acumulada o simplemente funcin de distribucin, la que, para cada valor provee la probabilidad de no ser superado evidentemente, el valor de la funcin de distribucin es igual a la suma de todos los valores de la funcin de probabilidad desde el extremo inferior del dominio de la variable hasta x inclusive

Ejemplo: Al lanzar dos dados la suma de ambos puede asumir 11 valores diferentes en 36 puntos muestrales En este caso vemos que la distribucin de p(x) obtenida es simtrica.

Para el caso de 1 solo dado, donde todos los valores tienen la misma probabilidad de salir (1/6), obtendramos unadistribucin uniforme

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caractersticas:

En cada prueba del experimento slo son posibles dos resultados: el suceso A (xito) y su contrario A (fracaso). El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no vara de una prueba a otra. La probabilidad de A es 1- p y la representamos por q .

El experimento consta de un nmero n de pruebas. Distribucin BinomialTodo experimento que tenga estas caractersticas diremos que sigue el modelo de la distribucin Binomial. A la variable X que expresa el nmero de xitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.


Un experimento binomial se reconoce por las siguientes caractersticas :El numero de ensayos o pruebas es fijo y no muy grandePara cada ensayo se tiene dos posibles resultados xito o Fracaso 13. La probabilidad de xito es p y la probabilidad de fracaso es q = 1 p 4. Los sucesos son mutuamente excluyentes5. Interesa medir la probabilidad de ocurrencia de x-xitos

n

Funcin de probabilidad de la distribucin Binomialo tambin denominada funcin de la distribucin de Bernoulli (para n=1). Verificndose: 0 p 1

Distribucin BinomialLa variable binomial es una variable aleatoria discreta, slo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-xitos y (n-k) fracasos debemos calcular stas por combinaciones (nmero combinatorio n sobre k).

Se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parmetros de dicha distribucin. Probabilidad de obtener K xitos

Parmetros de la Distribucin Binomial

Distribucin BinomialFuncin de Distribucin de la variable aleatoria Binomial

Esta funcin de distribucin proporciona, para cada nmero real xi, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.

Siendo K el mayor nmero entero menor o igual a xi

Resumen Distribucin Binomial

Distribucin BinomialSea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribucin binomial.

Ejemplo 1

Si X es una variable binomial, utilice la tabla de probabilidades binomiales y encuentre las siguientes probabilidades. Grafique en cada casoa. P (X = 2) para n = 10, p = 0.3 b. P (X 5) para n = 15, p = 0.25 c. P (X> 1) para n = 5, p = 0.30 d. P (X < 10) para n = 20, p = 0.45 e. P (2 < X 6) para n = 10, p = 0.15 f. P (4 X 7) para n = 16, p = 0.10 g. P (1 X < 10) para n = 15, p = 0.20


Ejemplo 2La probabilidad de xito de un determinado saborizante en la produccin de yogurt es de 0,40. Calcula la probabilidad de a que una vez administrado en 15 muestras de yogurt: a) Ninguna muestra tuvo xito el saborizanteb) Slo en dos muestras tuvo xito el saborizantec) En ms de dos muestras tuvo xito el saborizanteSolucin :Se trata de una distribucin binomial de parmetros B(15, 0,40)

Usando la tabla Binomial se hallaran las probabilidades pedidas

Distribucin de PoissonEsta distribucin aparece en algunos procesos que tienen una dimensin temporal o espacial,es decir se miden en unidades de medida de tiempo, espacio rea, adems en fenmenos que tienen un alto nmero de experimentos n grande y una baja o pequea probabilidad de que ocurran pEjemplos: nmero de anlisis bioqumicos que realiza al da un laboratorionmero de cultivos infectados por una plaga en una cierta regin geogrfica Funcin de Probabilidad La funcin de probabilidad de una variable aleatoria de Poissn con media l > 0, que simplificamos con la notacin P(l), es

siendo su Funcin de Distribucin el sumatorio de cada uno de los valores menores. P (X < x )= - k/ k

La media y varianza de X son ambas iguales a l, E[S] = V[S] = l.

Ejercicio de prueba #1

Se sospecha que muchas muestras de agua, todas del mismo tamao y tomadas del reservorio de una cuidad, han sido contaminadas por operarios irresponsables de una planta de tratamiento de aguas. Se cont el nmero de organismos coliformes en cada muestra. El nmero medio de organismos por muestra es de 15. Suponiendo que el nmero de organismos se distribuye segn Poisson, calcular la probabilidad de que: a) la siguiente muestra tenga 12 microorganismos b) la siguiente muestra tenga exactamente 2 microorganismosc) de 3 a 9 microorganismos tenga la siguiente muestra. d) Determine el promedio y la desviacin estndar del nmero de microorganismos.


Un ingeniero agrondistrial que labora en el departamento de control de calidad, inspecciona una muestra al azar de 200 lotes de productos agrondistriales para importacin. Si el 2% de los lotes contienen productos defectuosos . Cul es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno este defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuososd) ms de tres estn con defectos


La probabilidad de que una maquina de procesamiento industrial falle despus de 5 aos es de 0.07, calcular la probabilidad de que en una muestra de 200 mquinas, a) 12 mquinas fallen despus de cinco aos b) a lo ms 8 fallen despus de cinco aos c) al menos 2 fallen despus de cinco aos d) Entre 2 y 6 fallen despus de cinco aos e) No ms de 6 fallen despus de cinco aos.


Cierto fungicida produce una reaccin alrgica en un 0.01% de personas. Si en 100 personas estuvieron en contacto con el fungicida. Encuentre la probabilidad de que: a) ninguna de las personas sufre reaccin alrgicab) no ms de 5 sufren reaccin alrgicac) solamente dos sufren reaccin alrgicad) al entre 2 y 6 sufren reaccin alrgica e) Hale el nmero esperado de personas que sufren la reaccin alrgica.

*****

Documents

Dist Binomial y Poisson