DISTRIBUCION BINOMIAL

1) Sea X=número de preguntas contestadas correctamente en la encuesta sobre la innovación de un producto lácteo siendo un total de 10 preguntas. Calcular las probabilidades de contestar: a) cinco preguntas favorable

b) entre 3 y 6 preguntas favorable

Solución:

n=10

p=p(éxito)=p(pregunta contestada favorables)=0.5, por tanto p permanece constante. Asumiendo independencia entre las contestaciones de las preguntas, obtenemos que X~ b(10,0.5). Entonces:

a) P(x=5)=b(x=5,n=10,p=0.5)

b) P(3≤x≤6)= B(x≤6;n=10,p=0.5)-B(x≤2;n=10,p=0.5)

Usando las tablas binomiales, obtenemos los resultados siguientes:

a) b(x=5,n=10,p=0.5)= 0.2461

b) B(x≤6;n=10,p=0.5)-B(x≤2;n=10,p=0.5)=0.2051+0.2461+0.2051+0.1172=0.7735

2) Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa de embutidos, inspecciona una muestra al azar de 10 subproductos de un lote. Si el 20% de los subproductos del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra,

a) ninguno esté defectuoso,

b) uno salga defectuoso,

c) no más de tres estén con defectos.

Solución usando tablas binomiales:

a) P(x=0)=b(x=0;n=10,p=0.20)= 0.1074

b) P(x=1)=b(x=1;n=10,p=0.20)= 0.2684

c) P(x≤3)= B(x≤3;n=10,p=0.20)= 0.1074 + 0.2684 + 0.3020 + 0.2013=0.8791

3) La probabilidad de que un lustrador de páprika dure al menos un año sin que falle es de 0.90, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15,

a) 12 duren al menos un año,

b) a lo más 5 duren al menos un año,

c) al menos 2 duren al menos un año.

Solución:

a) P(x=12)=b(x=12;n=15,p=0.90)= = B(n-x;n,1-p) – B(n-x-1;n,1-p)

b) P(x≤5)=B(x≤5;n=15,p=0.90)= = 1- B(n-x-1;n,1-p)

c) P(x≥2)=1-P(x≤1)=1-B(x≤1;n=15,p=0.90)=1-[1-B(n-x-1;n=15,1-p)]=B(n-x-1;n=15,1-p)

Solución usando tablas binomiales:

a) B(3;n=15,0.10) – B(2;n=15,p=0.10)= b(x=3;n=15,0.10)=0.1285

b) 1-B(9;n=15,0.10)=1-[0.2059+0.3432+0.2669+0.1285+0.0428+ 0.0105+ 0.0019+

0.0003+ 0.0000+ 0.0000]=1-1=0

c) B(15-2-1;15,0.10)=B(12;15;0.10)=0.0.2059++0.3432+0.2669+0.1285+0.0428+ 0.0105+

0.0019+ 0.0003+ 0.0000+ 0.0000+0.0000+0.0000+0.0000=1

4) Un agente de Camposol vende productos de espárragos a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones consuma el producto 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, consumirían:

a) Las cinco personasb) Al menos tres personasc) Exactamente dos personas

Solución:

a) Las cinco personas

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

b) Al menos tres personas

c) Exactamente dos personas

5) La última producción de arroz ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los pobladores de Piura ya lo han consumido. Un grupo de 4 amigos son degustadores:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan probado el arroz 2 personas?

b) ¿Y cómo máximo 2?

SOLUCIONES

a) B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

b)

EJERCICIOS POISSON

1) Una empresa láctea observa que el número de máquinas que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho, a) ¿cuál es la probabilidad de que falle una máquina en 25 horas? b) ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?

Solución:

Usando las tablas estadística de Poisson

Sea la variable aleatoria X , con distribución de Poisson con parámetro λ = [X] = 8, que

determina el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.

a) Considerando que se cumplen ciertas condiciones de regularidad, podemos asumir que una variable Z que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una distribución de Poisson con parámetro λZ = 2. Por lo tanto, la probabilidad deseada es la siguiente:

P(Z=1;λ=2)= 0.2707

b) De la misma forma, definiendo una variable aleatoria V con distribución de Poisson de parámetro λV=10 se obtiene:

P(V≥10;λ=10)=1 – P(V<10; λ=10)=1 - [0.0000+ 0.0005 + 0.0023 + 0.0076 + 0.0189 +

0.0378 + 0.0631+ 0.0901 + 0.1126 + 0.1251]=1-0.4580=0.5420

2) Supongamos que el número de imperfecciones en un subproducto de la caña de azúcar sigue una distribución Poisson con una media de 2.4 imperfecciones por Kg.

a) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 kg de subproductob) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2 kg de

subproducto.

Solución:

Usando las tablas estadísticas de Poisson

a) Sea que X denote el número de imperfecciones en 5 kg de subproducto..

Entonces, X tiene una distribución Poisson con λ=5kgx2.4 imperfecciones/kg

λ = 12.0 imperfecciones. Entonces P(x=10;λ=12.0)=0.1048.

b) Sea que x denote el número de imperfecciones en 2 kg de subproducto.

Entonces, X tiene una distribución de Poisson con λ=2kgx2.4 imperfecciones

xkg =λ=4.8 imperfecciones.

Entonces P(x≥1;λ=4.8)=1-P(x<1;λ=4.8)=1- 0.0082=0.9918.

3) La contaminación constituye un problema en las fábricas de harina de pescado de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurren en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por kg es 0.1. El volumen de un saco de harina de pescado bajo estudio es 100 kg.

a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el volumen de saco de harina bajo estudio

b) Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el en el volumen de saco de harina bajo estudio

Solución:

λ =np = 100 m2 (0.1) partículas/m3 =10 partículas

Usando las tablas estadística de Poisson

a) P(x=12;λ=10)= 0.0948 b) P(x≤12; λ=10)=0.0000+0.0005+ …+ 0.0948= 0.7916

4) La concentración de partículas en suspensión es 2 por ml. Se agita por completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 ml. Sea X el numero de partículas que son obtenidas. Determine

a) P (X=5)b) P (X˂2)c) P (X˃1)d) μx

Solución:

a) P (X=5) e−3 (3 °÷5 ! )=0.100818813b) P (X˂2) e−3 (32÷2! )=0.22404187c) P (X˃1) e−3 (3´ ÷1! )=0.149361205d) μx= 0.149361205

5) El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?b) ¿Cuál es la probabilidad de se reciban diez mensajes en 1.5 hora?c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 1 ½

hora?

Solución

a) P (X=5)e−5 (85÷5 !)=0.091603661b) P (X=10)e−5 (8 ´o÷10 !)=0.1048c) P (X=3) e−5 (83÷3 !)=0.2381