TEMA: DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

Objetivo.Diseñar de forma práctica una distribución muestral para la media de la población explicando la relación que guardan estadísticos y parámetros, es decir las relaciones entre las medidas calculadas en la población y las calculadas en las muestras.

DEFINICIÓN DISTRIBUCION MUESTRALDISTRIBUCION MUESTRAL: Es el conjunto de estadísticos (valores que resultan del análisis de muestreo), que pueden obtenerse de las diferentes muestras de igual tamaño que conforman una población determinada.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS

•Es una distribución de probabilidades de todas las medias posibles de las muestras de igual tamaño que se pueden extraer de poblaciones dadas.

Para realizar una distribución muestral de medias es necesario seguir los siguientes pasos:

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS.1.Determinar el # de muestras

2. Listar todas las muestras3. Calcular la media para cada muestra.4. Agrupación de media y calculo de la media de medias . Completar la siguiente tabla.

5. Cálculo de la media poblacional (la media de la población dada)

6. Confirmar que 7. Calculo del error típico

8. Confirmar que

Muestreo con reposición: Muestreo sin reposición

Para: Muestreo con reposiciónError típico para muestra

Error típico para población

Tabla para encontrar la desviación

Donde: n: son los elementos que se toman de la poblaciónN: son el total de elementos de la población

Para: Muestreo sin reposiciónError típico para muestra

Error típico para población

se determina de la misma manera que para muestreo con reposición.

f

( )x

( )X

x .f X 2( )f X X−

( )x

x

( )σ

( )σ

2( )f x xx

fσ ∑ −=

∑

2( )f x xx

fσ ∑ −=

∑

2( )X X−

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIASCómo determinar el número de muestras y como listar las muestras.

1.Se tiene la siguiente población: N= A,B,C,D. (N= 4 elementos)Determine cuántas muestras de dos elementos (n=2) se pueden obtener y haga un listado de esas muestras.Utilice los dos métodos: muestreo con reposición y sin reposición.

Muestreo con reposiciónNúmero de muestras que se obtienen al seleccionar dos elementos de cuatro. N=4 n=2

Habrán 16 muestras de 2 elementosN= A,B,C,D.Listar muestras: cada elemento de la población se relaciona con todos los elementos.

24 16nN = =

AA BA CA DA

AB BB CB DB

AC BC CC DC

AD BD CD DD

Muestreo sin reposición

Número de muestras que se obtienen al seleccionar dos elementos de cuatro.N=4 n=2

Se tendrán 6 muestras de 2 elementos

Listar muestras: como no se permite repetición; El primer elemento de la población se relaciona con todos los elementos que aparecen después de él. El segundo elemento se relaciona, con todos los elementos que están después de él. El tercer elemento se relaciona con todos los que están después de él. Y así sucesivamente. N= A,B,C,D.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS

24 6N nC C= =

AB BC CD

AC BD

AD

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (CON REPOSICIÓN)

1. Para la siguiente población: haga una distribución muestral de medias para una selección de 2 elementos.N= 1,3,5,7 Solución:DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS.1.Determinar el # de muestras (muestreo con reposición)N= 4 elementos n= 2 elementos2. Listar todas las muestras N= 1,3,5,7

3. Calcular la media para cada muestra.

24 16nN = =1,1 3,1 5,1 7,1

1,3 3,3 5,3 7,3

1,5 3,5 5,5 7,5

1,7 3,7 5,7 7,7

muestras muestras muestras muestras

1,1 (1+1)/2= 1 3,1 (3+1)/2= 2 5,1 (5+1)/2= 3 7,1 (7+1)/2= 4

1,3 (1+3)/2= 2 3,3 (3+3)/2= 3 5,3 (5+3)/2= 4 7,3 (7+3)/2= 5

1,5 (1+5)/2= 3 3,5 (3+5)/2= 4 5,5 (5+5)/2= 5 7,5 (7+5)/2= 6

1,7 (1+7)/2= 4 3,7 (3+7)/2= 5 5,7 (5+7)/2= 6 7,7 (7+7)/2= 7

x

x x x x

4. Agrupación de media y calculo de la media de medias . Completar la siguiente tabla.

5. Cálculo de la media poblacional (la media de la población dada). N= 1,3,5,7

6. Comprobar que

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (CON REPOSICIÓN)

x x

f Prob.

1 1 1x1=1 9 9 1/16

2 2 2x2=4 4 8 2/16

3 3 3x3=9 1 3 3/16

4 4 4x4=16 0 0 4/16

5 3 5x3=15 1 3 3/16

6 2 6x2=12 4 8 2/16

7 1 7x1=7 9 9 1/16

Total : ∑

16 64 40 16/16

x f X 2( )f X X−2( )X X− En la primer columna escribimos todas las medias que resultaron , y en la segunda, el número de veces que se repite cada una de ellas.

Media de medias

644

16

f XX

f

∑= = =∑

1 3 5 74

4

x

Nµ ∑ + + += = =

4x µ= =

Para: Muestreo con reposiciónError típico para muestra

Error típico para población

Tabla para encontrar la desviación

Donde: n: son los elementos que se toman de la poblaciónN: son el total de elementos de la población

x

( )σ

7. Calculo del error típico (usar formulas para muestreo con reposición) N= 1,3,5,7

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (CON REPOSICIÓN)

Error típico para la muestra: N=4 elementos n=2 elementos

Error típico para la población:

2( ) 401.58

16

f x xx

fσ ∑ −= = =

∑

2( )x

N

µσ ∑ −=

xn

σσ =

x

1 (1-4)2= 9

3 (3-4)2=1

5 (5-4)2=1

7 (7-4)2=9

∑ 20

2( )x µ−

4µ =

2( ) 205

4

x

N

µσ ∑ −= = =

51.58

2x

n

σσ = = =

8. Comprobar que x xσ σ=

1.58x xσ σ= =

2( )f x xx

fσ ∑ −=

∑

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (SIN REPOSICIÓN)1. Para la siguiente población: haga una distribución muestral de medias para una selección de 2 elementos.N= 2,4,6,8Solución:DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS. 1.Determinar el # de muestras (SIN REPOSICIÓNN= 4 elementos n= 2 elementos

2. Listar todas las muestras N= 2,4,6,8

3. Calcular la media para cada muestra.

4 2 6N nC C= =

2,4 4,6 6,8

2,6 4,8

2,8

x

muestras muestras

2,4 (2+4)/2= 3 4,6 (4+6)/2= 5

2,6 (2+6)/2= 4 4,8 (4+8)/2= 6

2,8 (2+8)/2= 5 6,8 (6+8)/2= 7

x x

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (SIN REPOSICIÓN)

4. Agrupación de media y calculo de la media de medias . Completar la siguiente tabla.

5. Cálculo de la media poblacional (la media de la población dada). N= 2,4,6,8

6. Comprobar que

x x

f Prob.

3 1 3x1=3 4 4 1/6

4 1 4x1=4 1 1 1/6

5 2 5x2=10 0 0 2/6

6 1 6x1=6 1 1 1/6

7 1 7x1=7 4 4 1/6

Total : ∑

6 30 10 6/6

x f x 2( )f x x−2( )x x−

En la primer columna escribimos todas las medias que resultaron , y en la segunda, el numero de veces que se repite cada una de ellas.

Media de medias

305

6

f xx

f

∑= = =∑

2 4 6 85

4

x

Nµ ∑ + + += = =

5x µ= =

EJEMPLOS DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (SIN REPOSICIÓN)

Para: Muestreo sin reposiciónError típico para muestra

Error típico para población

Tabla para encontrar la desviación

Donde: n: son los elementos que se toman de la poblaciónN: son el total de elementos de la población

x

( )σ

7. Calculo del error típico (usar formulas para muestreo sin reposición) N= 2,4,6,8

Error típico para la muestra: N=4 elementos n=2 elementos

Error típico para la población:

2( ) 101.29

6

f x xx

fσ ∑ −= = =

∑

2( )x

N

µσ ∑ −=

.1

N nx

Nn

σσ −=−

x

2 9

4 1

6 1

8 9

∑ 20

2( )x µ−

5µ =

2( ) 205

4

x

N

µσ ∑ −= = =

5 4 2. . 1.29

1 4 12

N nx

Nn

σσ − −= = =− −

8. Comprobar que x xσ σ=

1.29x xσ σ= =

2( )f x xx

fσ ∑ −=

∑

Ejercicio. Sea la población de 5 calificaciones: 4,5,6,7 y 8. Construya la distribución de medias respectivas con y sin reposición para una muestra de tamaño 2 y sin reposición para una muestra de tamaño 3.