Academia de Matemáticas - fcca.umich.mx de Matematicas/Gu… · Distribución Muestral de Proporciones ... Distribución Muestral de Diferencias y Sumas. .....58 2.5.- Otros Ejercicios

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE

SAN NICOLS DE HIDALGO

Facultad de Contadura y

Ciencias Administrativas

Academia de Matemticas

Apuntes para la Materia de Estadstica II

Gua Bsica para el Estudio de la Estadstica Inferencial

Elabor:

M.A. Jos Rafael Agui lera Agui lera Asesor en Estrategias de Inversin

(Certificacin reconocida por la Bolsa Mexicana de Valores)

Morelia Mich., Diciembre de 2009

Estadstica II

1 de 110

Jos Rafael Aguilera Aguilera F.C.C.A. - U.M.S.N.H.

NDICE

TEMA 1: Fundamentos de Estadstica Inferencial ..... 4

1.1.- Conceptos Bsicos. .......................................................... 4

1.2.- Tcnicas para Contar. ....................................................... 5

1.3.- Diagrama de la Probabilidad Estadstica. ......................... 9

TEMA 2: Teora Elemental de Muestreo ...................... 10

2.1.- Distribucin Binomial. ................................................... 10

2.2.- Distribucin Normal. ..................................................... 33

2.3.- Muestreo Aleatorio Simple. ........................................... 51

2.4.- Distribuciones Mustrales .............................................. 54

2.4.1.- Distribucin Muestral de Medias. ............................ 55

2.4.2.- Distribucin Muestral de Proporciones .................... 56

2.4.3.- Distribucin Muestral de Diferencias y Sumas. ....... 58

2.5.- Otros Ejercicios. ............................................................. 61

Estadstica II

2 de 110


TEMA 3: Teora de Estimacin Estadstica............... 73

3.1.- Estimacin de Parmetros. ............................................. 73

3.1.1.- Estimas Insesgadas. .................................................. 74

3.1.2.- Estimas Eficientes. ................................................... 75

3.2.- Estimas por Puntos y Estimas por Intervalos de Seguridad ....... 76

3.3.- Estimas por Intervalo de Confianza, de Parmetros Poblacionales. .. 77

3.3.1.- Sistemas de Medias por Intervalos de Confianza ..... 78

3.3.2.- Intervalos de Confianza para Proporciones. ............. 80

3.3.3.- Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas. . 81

3.3.4.- Intervalos de Confianza para Desviaciones Tpicas. 82

3.4.- Error Probable. ............................................................... 82

3.5.- Ejercicios ....................................................................... 83

Tema 4: Teora de la Decisin Estadstica (Paramtrica). . 90

4.1.- Conceptos y Definiciones. ............................................. 90

4.1.1.- Decisiones Estadsticas. ............................................ 90

4.1.2.- Hiptesis Estadstica, Hiptesis Nula. ...................... 90

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4.2.- Ensayos de Hiptesis y Significacin. ........................... 91

4.2.1.- Error De Tipo I Y Tipo II. ........................................ 92

4.2.2.- Nivel de Significacin. ............................................. 93

4.3.- Ensayos Referentes a la Distribucin Normal. ............... 94

4.4.-Ensayos de Una y Dos Colas. ......................................... 97

4.5.- Ensayos Especiales. ....................................................... 98

4.6.- Ejercicio de Inferencia de Medias. ............................... 100

BIBLIOGRAFA. ....................................................... 110

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MORELIA

1, 300,000

_______

EDAD

200 ____

X

TEMA 1: Fundamentos de Estadstica Inferencial

1.1.- Conceptos Bsicos.

A la estadstica inferencial la podemos definir a travs de cuatro puntos muy importantes los

cuales son los siguientes.

1. Materia de las ciencias sociales:

- licenciado en contadura - licenciado en administracin - licenciado en informtica administrativa

2. Tomar decisiones:

La estadstica: tomar decisiones de una poblacin con base de datos mustrales.

Esta se requiere para tomar decisiones estadsticas.

Tomar decisiones

Diseo experimental

Cmo voy a encontrar esos

200 datos?

Estimar

POBLACION Inferir MUESTRA DE DE

DATOS DATOS

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3. Probabilidad:

Estudia los experimentos y fenmenos aleatorios.

4. Que es un experimento o fenmeno aleatorio:

Tiene que ver con resultados que puedan ocurrir y que antes de que ocurran no sabemos cual

va a ocurrir.

1.2.- Tcnicas para Contar.

En esta ocasin utilizaremos tres tipos de tcnicas para contar las cuales son:

CASO 1: En donde: La formula de este caso seria:

- Si me importa el orden y nORr = nr

- Si se puede repetir.

Interviene el

hombre

No interviene

el hombre

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Ejemplo:

2

a,a b,a c,a d,a

a,b b,b c,b d,b = 16 resultados

a,c b,c, c,c, d,c,

a,d b,d c,d d,d

Para el caso anterior de la poblacin de Morelia tendramos que hacer lo mismo pero seria muy

difcil con esa cantidad.

En cambio si utilizamos la formula es mas rpido y sencillo,

nORr = n r

nORr = n r

nORr = 4 2

nORr = 1, 300, 000 200

nORr = 16 nORr =


- Si me importa el orden nOr = n ! - No se pueden repetir (n-r)!

a b

c d

------

------

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Ejemplo:

2

a,b b,a c,a d,a

,c b, a,c b,c c,b d,c = 12 Resultados

a,d b,d c,d d,d

Solucin con la formula:

nOr = n ! 4O2 = 4 !

(n-r)! (4-2)!

nOr = 24 ! nOr = 1

2


- No hay orden

- No se pueden repetir nCr = n! r ! (n r) !

Por lo tanto el resultado es:

nCr = n! nCr = 24! nCr = 6 r! (n r) ! 2 (2 !)

nCr = 4! nCr = 24 2! (4 2) ! 4

a b

c d

------

------

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Ejemplo 2: realizar el siguiente ejercicio por los tres casos en el que n sea 5 y r 3.

3

Caso1: FORMULA: SUSTITUCION:

nORr = n r

nORr = 5 3

nORr = 125

Caso 2:

FORMULA: SUSTITUCION:

nOr = n ! nOr = 5 ! nOr = 120

(n-r)! (5 3) ! 2 !

nOr = 120 nOr = 60

2

Caso3:

FORMULA: SUSTITUCION:

nCr = n! nCr = 5 ! nCr = 120

r! (n r) ! 3 ! (5 - 3) ! 6 ( 2 !)

nCr = 120 nCr = 120

6 (2) 12

nCr = 10

a b c

d e ------

------

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1.3.- Diagrama de la Probabilidad Estadstica.

EXPERIMENTOS:

(Influyen personas)

Tienen que ver con resul-

LA PROBABILIDA tados que puedan ocurrir y

ESTADISTICA ALEATORIOS que antes de que ocurran

No sabemos cual va a ocurrir.

FENMENOS:

(No influyen personas)

Para estudiarlos se

Construyen.

Modelo probabilstica

Que representa el compor- MODELOS

DEVIDO tamiento de un fenmeno (Distribuciones)

o experimento aleatorio.

Existen en el universo millones

de experimentos y fenomenos

aleatorios.

PERO Muchos se parecen POR LO QUE

entre ellos.

SE LE PONE Estos modelos Toman el mismo modelo

NOMBRE PROPIO o distribuciones de

EJEMPLO: distribucin de probabilidad

Binomial o Bernoulli Principal 1 experimento con 2 resul-

Caracterstica tados se repite n veces.

Normal Ejemplo:

Poisson 1 4

2 3

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TEMA 2: Teora Elemental de Muestreo

2.1.- Distribucin Binomial.

La distribucin Binomial:

Si p es la probabilidad de ocurrencia de un suceso en un solo ensayo (llamada probabilidad de

xito) y q = 1 P es la probabilidad de que el suceso no ocurra en un solo ensayo (llamada

probabilidad de fallo), entonces la probabilidad de que el suceso se presente exactamente X

veces en N ensayos, (es decir, X xitos y N X fallos) viene dada por:

p(X) = NCXpxq

N-X = N !

X! (N X) ! pXqN

X

Algunas propiedades de la distribucin binomial son dadas en la siguiente tabla.

Media

M = Np

Varianza 2 = Npq

Desviacin tpica

= Npq

Coeficiente de sesgo q - p

3 =

Npq

Coeficiente de curtosis 1 6pq

4 = 3 + Npq

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EJEMPLOS:

1. Hallar la probabilidad de que lanzando una moneda 6 veces aparezcan (a) 0, (b) 1, (c) 2, (d) 3, (e) 4, (f) 5, (g) 6 caras.

Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.

R= lanzar una moneda 6 veces

Paso 2: Construir El Espacio Muestral.

R= S = (s,s,s,s,s,s) (s,s,s,s,s,a) (s,s,s,s,a,a,)

NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es:

R= nORr = nr

nORr = 26

nORr = 64

Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.

R= X = numero de caras

Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.

R= Sx = { 0,1,2,3,4,5,6 }

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Paso 5: Construir El Modelo O Distribucin De Probabilidad Del Experimento.

R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea fracaso o xito.

P = posible xito. 1/2

q = probable fracaso. 1-P = 1-1/2 = 1/2

N= 6

FORMULA: P(x) = N!

X! (N-X) ! (PX) (q n-x)

SOLUCION:

(A) P (0) = 6!

0! (6-0) ! [(1/2)0] [(1/2)

6-0]

P (0) = 720

1 (6) ! (1/1) [(1/2) 6]

P (0) = 720

1 (720) (1/1) [(1/64)]

P (0) = 720

720 (1/1) [(1/64)]

P (0) = (1) (1/1) (1/64)

P (0) = 1/64

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(B) P (1) = 6!

1! (6-1) ! [(1/2)1] [(1/2)

6-1]

P (1) = 720

1 (5)! (1/2) [(1/2) 5]

P (1) = 720

1 (120) (1/2) (1/32)

P (1) = 720

120 (1/2) (1/32)

P (1) = (6) (1/2) (1/32)

P (1) = 6/64

(C) P (2) = 6!

2! (6-2) ! [(1/2)2] [(1/2)

6-2]

P (2) = 720

2 (4) ! (1/4) [(1/2) 4]

P (2) = 720

2 (24) (1/4) [(1/2) 4]

P (2) = 720

48 (1/4) (1/16)

P (2) = (15) (1/4) (1/16)

P (2) = 15/64

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(D) P (3) = 6!

3! (6-3) ! [(1/2)3] [(1/2)

6-3]

P (3) = 720

6 (4) ! (1/8) [(1/2) 3]

P (3) = 720

(6) (6) (1/8) (1/8)

P (3) = 720

36 (1/8) (1/8)

P (3) = (20) (1/8) (1/8)

P (3) = 20/64

(E) P (4) = 6!

4! (6-4) ! [(1/2)4] [(1/2)

6-4]

P (4) = 720

24 (2) ! (1/16) [(1/2) 2]

P (4) = 720

(24) (2) (1/16) (1/4)

P (4) = 720

48 (1/16) (1/4)

P (4) = (15) (1/16) (1/4)

P (4) = 15/64

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(F) P (5) = 6!

5! (6-5) ! [(1/2)5] [(1/2)

6-5]

P (5) = 720

120 (1) ! (1/32) [(1/2) 1]

P (5) = 720

(120) (1) (1/32) (1/2)

P (5) = 720

120 (1/32) (1/2)

P (5) = (6) (1/32) (1/2)

P (5) = 6/64

(G) P (6) = 6!

6! (6-6) ! [(1/2)6] [(1/2)

6-6]

P (6) = 720

720 (0) ! (1/64) [(1/2) 0]

P (6) = 720

(120) (1) (1/64) (1/1)

P (6) = 720

720 (1/64) (1/1)

P (6) = (1) (1/64) (1/1)

P (6) = 1/64

TABLA DEL EJERCICIO:

Caras X 0 1 2 3 4 5 6

P(x) 1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1/64

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2. Hallar la probabilidad de (a) 2 o ms caras (b) menos de 4 caras en un lanzamiento de 6 monedas.

(A) Hallar la probabilidad de 2 o mas caras:

R= 15/16 + 20/64 + 15/64 + 6/64 + 1/64 = 57/64

(B) Menos de 4 caras:

R= 20/64 + 15/64 + 6/64 + 1/64 = 42 2 = 21

64 2 32

3. Si X denota el numero de caras en un solo lanzamiento de 4 monedas, hallar (a) p{X = 3}, (b) p{X 2}, (c) p{X 2}, (d) p{ 1 X 3}.


R= lanzar 4 monedas


R= S = (c,c,c,c,) (a,a,a,a) (c,c,a,a,) (c,c,c,a) (a,a,a,c) (c,a,a,a)


R= nORr = nr

nORr = 24

nORr = 16

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R= Sx = { 0,1,2,3,4 } Caras


R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea fracaso o xito.

P = xito (1/2)

q = fracaso (1/2)

N = Cuantas monedas 4

FORMULA: P(x) = N!

X! (N-X) ! (PX) (q n-x)

SOLUCION:

(A) P (3) = 4!

3! (4-3) ! [(1/2)3] [(1/2)

4-3]

P (3) = 24

6 (1) ! (1/8) [(1/2) 1]

P (3) = 24

(6) (1) (1/8) (1/2)

P (3) = 24

6 (1/8) (1/2)

P (3) = (4) (1/8) (1/2)

P (3) = 4/16 4 =

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(B) 1.- P (0) = 4!

0! (4-0) ! [(1/2)0] [(1/2)

4-0]

P (0) = 24

1 (4) ! (1/1) [(1/2) 4]

P (0) = 24

1 (24) (1/1) [(1/16) ]

P (0) = 24

24 (1/1) [(1/16) ]

P (0) = (1) (1) (1/16)

P (0) = 1/16

2. - P (1) = 4!

1! (4-1) ! [(1/2)1] [(1/2)

4-1]

P (1) = 24

1 (3) ! (1/2) [(1/2) 3]

P (1) = 24

1 (6) (1/2) (1/8)

P (1) = 24

6 (1/2) (1/8)

P (1) = (4) (1/2) (1/8)

P (1) = 4/16

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(C) 3. - P (2) = 4!

2! (4-2) ! [(1/2)2] [(1/2)

4-2]

P (2) = 24

2 (2) ! (1/4) [(1/2) 2]

P (2) = 24

2 (2) (1/4) (1/4)

P (2) = 24

4 (1/4) (1/4)

P (2) = (4) (1/2) (1/8)

P (2) = 4/16


Caras X 0 1 2 3 4

P(x) 1/16 4/16 6/16 1/4 5/8

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4. De un total de 800 familias con 5 hijos cada una, cuantas cabe esperar que tengan (a) 3 nios (b) 5 nias (c) 2 o 3 nios. Suponer iguales la probabilidad de nio o Nina


R= Que nazcan 5 criaturas


R= nORr = nr

nORr = 25

nORr = 32


R= X = numero de nios que nazcan


R= Sx = { 0,1,2,3,4,5 } nios

P = xito (1/2/)

q = fracaso (1/2)

N = 5 nios requeridos

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FORMULA: P(x) = N!

X! (N-X) ! (PX) (q n-x)

SOLUCION:

P (0) = 5!

0! (5-0) ! [(1/2)0] [(1/2)

5-0]

P (0) = 120

1 (5) ! (1/1) [(1/2) 5]

P (0) = 120

1 (120) (1/1) [(1/32)]

P (0) = 120

120 (1/1) [(1/32)]

P (0) = (1) (1/1) (1/32)

P (0) = 1/32 = 0.03125 x 800 = 25

P (1) = 5!

1! (5-1) ! [(1/2)1] [(1/2)

5-1]

P (1) = 120

1 (4) ! (1/2) [(1/2) 4]

P (1) = 120

1 (24) (1/2) (1/16)

P (1) = 120

24 (1/2) (1/16)

P (1) = (5) (1/2) (1/16)

P (1) = 5/32 = 0.15625 x 800 = 125

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P (2) = 5!

2! (5-2) ! [(1/2)2] [(1/2)

5-2]

P (2) = 120

2 (3) ! (1/4) [(1/2) 3]

P (2) = 120

2 (6) (1/4) [(1/8)]

P (2) = 120

12 (1/4) (1/8)

P (2) = (10) (1/4) (1/8)

P (2) = 10/32 = 0.3125 x 800 = 250

(A) P (3) = 5!

3! (5-3) ! [(1/2)3] [(1/2)

5-3]

P (3) = 120

6 (2) ! (1/8) [(1/2) 2]

P (3) = 120

(6) (2) (1/8) (1/4)

P (3) = 120

12 (1/8) (1/4)

P (3) = (20) (1/8) (1/8)

P (3) = 10/32 = 0.3125 x 800 = 25

P (4) = 5!

4! (5-4) ! [(1/2)4] [(1/2)

5-4]

P (4) = 120

24 (1) ! (1/16) [(1/2) 1]

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P (4) = 120

(24) (1) (1/16) (1/2)

P (4) = 120

24 (1/16) (1/2)

P (4) = (5) (1/16) (1/2)

P (4) = 5/32 = 0.15625 X 800 = 125

(B) P (5) = 5!

5! (5-5) ! [(1/2)5] [(1/2)

5-5]

P (5) = 120

120 (0) ! (1/32) [(1/2) 0]

P (5) = 120

(120) (1) (1/32) (1/1)

P (5) = 120

120 (1/32) (1/1)

P (5) = (1) (1/32) (1/1)

P (5) = 1/32 = 0.03125 x 800 = 25


Caras X 0 1 2 3 4 5

P(x) 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32

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5. Cul es la probabilidad de obtener 9 una vez en 3 lanzamientos de un por de dados?


R= Lanzar un par de dados 3 veces


R= nORr = nr

nORr = 113

nORr = 1331




R= Sx = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9, }


P = xito (1/2/)

q = fracaso (1/2)

N = 5 nios requeridos

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FORMULA: P(x) = N!

X! (N-X) ! (PX) (q n-x)

SOLUCION:

P (9) = 9!

9! (9-9) ! [(1/2)9] [(1/2)

9-9]

P (9) = 362880

362880 (0) ! (1/1) [(1/2) 0]

P (9) = 362880

362880 (1) (1/512) (1)

P (9) = 362880

362880 (1/512) (1)

P (9) = (1) (1/512) (1)

P (9) = 1/512

6. Hallar la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10 preguntas de un examen falso-verdadero.


R= Contestar correctamente 6 preguntas

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R= nORr = nr

nORr = 210

nORr = 1024




R= Sx = { 6,7,8,9,10 } Contestar 6 respuestas por lo menos


R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea verdadero y falso.

P = xito (1/2)

q = fracaso (1/2)

N = Cuantas monedas 10

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FORMULA: P(x) = N!

X! (N-X) ! (PX) (q n-x)

P (6) = 10!

6! (10-6) ! [(1/2)6] [(1/2)

10-6]

P (6) = 3628800

720 (4) ! (1/64) [(1/2) 4]

P (6) = 3628800

(720) (24) (1/64) (1/16)

P (6) = 3628800

17280 (1/64) (1/16)

P (6) = (210) (1/64) (1/16)

P (6) = 210/1024 = 105/512

P (7) = 10!

7! (10-7) ! [(1/2)7] [(1/2)

10-7]

P (7) = 3628800

5040 (3) ! (1/128) [(1/2) 3]

P (7) = 3628800

(5040) (6) (1/128) (1/8)

P (7) = 3628800

30240 (1/128) (1/8)

P (7) = (120) (1/128) (1/8)

P (7) = 120/1024 = 15/128

Estadstica II

28 de 110


P (8) = 10!

8! (10-8) ! [(1/2)8] [(1/2)

10-8]

P (8) = 3628800

40320 (2) ! (1/256) [(1/2) 2]

P (8) = 3628800

(40320) (2) (1/256) (1/4)

P (8) = 3628800

80640 (1/256) (1/4)

P (8) = (45) (1/256) (1/4)

P (8) = 45/1024

P (9) = 10!

9! (10-9) ! [(1/2)9] [(1/2)

10-9]

P (9) = 3628800

362880 (2) ! (1/256) [(1/2) 1]

P (9) = 3628800

(362880) (2) (1/256) (1/2)

P (9) = 3628800

725760 (1/256) (1/2)

P (9) = (5) (1/256) (1/2)

P (9) = 5/512

Estadstica II

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P (10) = 10!

10! (10-9) ! [(1/2)10

] [(1/2) 10-10

]

P (10) = 3628800

3628800 (1) ! (1/1024) [(1/1) 0]

P (10) = 3628800

(362880) (1) (1/1024) (1/1)

P (10) = 3628800

3628800 (1/1024) (1/1)

P (10) = (1) (1/1024) (1/1)

P (10) = 1/1024

Caras X 6 7 8 9 10

P(x) 105/512 15/128 45/1024 5/512 1/1024 = 193/512

Muestra de Dos Elementos con Reemplazo:

PARAMETRO

UNIVERSO

6 4

2 3

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R= Sacar muestras de 2 elementos con reemplazo.


R= S = 2,2 3,2 4,2 6,2 (estadstico)

2,3 3,3 4,3 6,3 = 16

2,4 3,4 4,4 6,4

2,6 3,6 4,6 6,6


R= nORr = nr

nORr = 42

nORr = 16


R= X = La media de cada muestra


R= Sx = { 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6 }

Estadstica II

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Paso 6: Calcular la media de la distribucin muestral de media.

2 (1/16) + 2.5 (2/16) + 3 (3/16) + 3.5 (2/16) + 4 (3/16) + 4.5 (2/16) + 5 (2/16) + 6

(1/16) =

2/16 + 5/16 + 9/16 + 7/16 + 12/16 + 9/16 + 10/16 + 6/16 = 60/16 = 3.75

Comprobacin:

6 + 4 + 2 + 3 = 15/4 = 3.75

Distribucin Muestral de Medias:

Media: Mx = M

Con Reemplazo:

Q

D. Estndar: Qx =

N

X 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 SUMA

Px(x) 1/16 2/16 3/16 2/16 3/16 2/16 2/16 1/16 16/16 = 1

Estadstica II

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Formula De La Desviacin Estndar:

n

(X )2

i = 1

n

X X- (X- )

2 3.75 - 1.75 3.0625

3 3.75 0.75 0.5625

4 3.75 0.25 0.0625

6 3.75 2.25 5.0625

8.75

= 3.75 4

Q = 1.4790

= 2.1875

Q = 1.4790

Q 1.4790

Qx = Qx =

N 2

1.4790

Qx = Qx = 1.04581

1.414213

Estadstica II

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X X- (X- )2 Px(X) (Px(x))((x- )

2)

2 3.75 -1.75 3.0625 1/16 0.191406

2.5 3.75 -1.25 1.5625 2/16 0.1953

3 3.75 -0.75 0.5625 3/16 0.1054

3.5 3.75 -0.75 0.0625 2/16 0.0078

4 3.75 0.25 0.0625 3/16 0.0116

4.5 3.75 0.75 0.5625 2/16 0.0703

5 3.75 1.25 1.5625 2/16 0.1953

6 3.75 2.25 5.0625 1/16 0.3169

Q2 = 1.0939

Q = 1.0939

Q = 1.0458

2.2.- Distribucin Normal.

CONTINUAS

SON NORMALES SIMETRICAMENTE VALOR MAS COMUN-MEDIA DISTRIBUCIN

NORMAL. NO SON NORMALES PERO SE COMPORTAN

DE MANERANORMAL

.

1

Y = e -1/2

(x ) 2/ 2

2

= Media

= Desviacin estndar o desviacin tpica

Estadstica II

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= 0 Z X

= 1

Por lo tanto la formula para resolver problemas de distribucin normal es:

Uno de los mas importantes ejemplos de una distribucin de probabilidad continua es la

distribucin normal, curva normal o distribucin de gauss dada por la ecuacin.

1 2 / 2

Y = e -1/2 (X M )

2

TRANSFORMAR

X -

Z =

Estadstica II

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Algunas propiedades de la distribucin normal se indican en la siguiente tabla:

Media

Varianza 2

Desviacin Tpica

Coeficiente de sesgo 3 = 0

Coeficiente de curtosis 4 = 3

Desviacin Media

2 / = 0.7979

EJEMPLOS:

1. En un examen de estadstica la media fue 7.8 y la desviacin tpica 10 (a) Determinar las referencias tipificadas de dos estudiantes cuyas puntuaciones fueron

93 y 62, respectivamente, (b) Determinar las puntuaciones de dos estudiantes cuyas

referencias tipificadas fueron -0.6 y 1.2 respectivamente.

X = + Z

x 2= 62 = 78 x1= 93 z2= -1.6 = 0 z1= 1.5

= 10 - 0.6 = 1

FORMULAS: x -

Z =

Estadstica II

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X = + Z PROCEDIMIENTO:

(A) Z= 93 78 (B) Z= 62 78

10 10

Z= 15 Z= -16

10 10

Z = 1.5 Z = -1.6

(X1) X1 = + Z (X2) X2 = + Z X1 = 78 + (-0.6) (10) X2 = 78 + (1.2) (10)

X1 = 78 - 6 X2 = 78 - 12

X1 = 72 X2 = 92

2. Hallar (a) la media y (b) la desviacin tpica de un examen en e que as puntuaciones de 70 y 88 tienen una referencias tipificadas de -0.6 y 1.4 respectivamente.

DATOS: FORMULA: X1 = 70

Z1 = -0.6 = X - Z X2 = 88

Z2 = 1.4

SUSTITUCIN:

= X1 - Z1 = X2 - Z2 70 + 0.6 = 88 1.4

= 70 (-0.6) = 88 1.4 = 0.6 + 1.4 = 88 - 70

= 70 + 0.6 2 = 18

= 18/2

= 9

Estadstica II

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= X1 - Z1 = X2 - Z2

= 70 + 0.6 (9) = 88 1.4 (9)

= 70 + 5.4 = 88 12.6

= 75.4 = 75.4

3. Hallar el rea bajo la curva normal entre (a) z = -1.20 y z = 2.40, (b) z = 1.23 y z = 1.87, (c) z = -2.35 y z -0.50.

RESULTADOS:

(A)

x z1 = -1.20 Z= 0 z2 = 2.40 Z1 = - 1.20 Tabla = 0.3849

Z2 = 2.40 Tabla = 0.4918

R = 0.8767

NOTA: Los porcentajes se sacan de la tabla de reas bajo la curva normal tipificada de 0 a Z.

(B)

Z= 0 z1 = z2 = 1. 23 1. 87

Z1 = 1.23 Tabla = 0.3907

Z2 = 1.87 Tabla = 0.4693

Estadstica II

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R = 0.0786

(C)

z1 = z2 = Z= 0 -2. 35 - 0.50

Z1 = - 2.35 Tabla = 0.4906

Z2 = - 0.50 Tabla = 0.1915

R = 0.2991

4. Hallar el rea bajo la curva normal (a) a la izquierda de z = -1.78 (b) a la izquierda de z = 0.56 (c) a la derecha de z = -1.45 (d) correspondiente a z > 2.16, (e)

correspondiente a 0.80 < z < 1.53, (f) a la izquierda de z = -2.52 y a la derecha de

z = 1.83. RESULTADOS:

(A) 50% 50%

z1 = -1.78 Z= 0

Z1 = - 1.78 Tabla = 0.4625 0.5000

0.4625

0.0375

NOTA: Los porcentajes se sacan de la tabla de reas bajo la curva normal tipificada de 0 a Z.

Estadstica II

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(B) 50% 50%

Z= 0 z1 = 0. 56

Z1 = 0.56 Tabla = 0.2123 0.5000

0.2123

0.7123

(C) 50% 50%

z1 = -1. 45 Z= 0

Z1 = -1.45 Tabla = 0.4265 0.5000

+ 0.4265

0.9265

Estadstica II

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(D) 50% 50%

Z= 0 z1 = 2.16

Z1 = 2.16 Tabla = 0.4846 0.5000

0.4846

0.0154

(E) 50% 50%

z1 = - 0. 8 Z= 0 z2 = 1. 53

Z1 = - 0.8 Tabla = 0.2881 0.2881

Z1 = 1.53 Tabla = 0.4370 + 0.4370

0.7251

Estadstica II

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(E) 50% 50%

z1 = - 2. 52 Z= 0 z2 = 1. 83

Z1 = - 2.52 Tabla = 0.4941 0.5000 0.5000

Z2 = 1.83 Tabla = 0.4664 - 0.4941 - 0.4664

0.0059 0.0336

R = 0.0059 + 0.0336 = 0.0395

5. Si la altura de 300 estudiantes se distribuyen normalmente con media 68.0 pulgadas y desviacin tpica 3.0 pulgadas, cuantos estudiantes tienen alturas (a) mayor de 72

pulgadas, (b) menor o igual a 64 pulgadas, (c) entre 65 y 71 pulgadas inclusive, (d)

igual a 68 pulgadas. Supngase las medidas, registradas con aproximacin de

pulgada.

1 pulgada = 2.54cm x 1.30 pulg. = 3.302 cm. = 3.30 mts.


R= Seleccionar uno de los 300 estudiantes aleatoriamente y medirlo.


R= S = {e / 0 < e < 130}

Estadstica II

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R= X= estatura de los estudiantes


R= Sx = {X / 0 < X < 130}

La estatura de cualquier estudiante que mida de 0 a 130.


R= Calcular la probabilidad de inters.

(A) Mayor de 72 pulgadas.

50% 50%

=68. 0 72. 5 = 0 z = 1. 5

= 3.0

FORMULA: X -

Z =

Estadstica II

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SUSTITUCION:

Z = 72.5 68.0 Z = 1.5 Tabla = 0.4332

3.0

Z = 0.5000

Z = 4.5 - 0.4332

3.0 0.0668

x 300

Z = 1.5 20.04 = 20

(B) Menor o igual a 64. 50% 50%

64.5 =68. 0 z = -1. 17 = 0

= 3.0

FORMULA: X -

Z =

SUSTITUCION:

Z = 64.5 68.0 Z = -1.17 Tabla = 0.3790

3.0

Z = 0.5000

Z = 3.5 - 0.3790

3.0 0.121

x 300

Z = -1.17 36.3 = 36

Estadstica II

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(C) Entre 65 y 71 pulgadas inclusive. 50% 50%

64.5 =68. 0 71. .5 z = -1. 17 = 0

= 3.0 X = 68

FORMULA: X -

Z =

SUSTITUCION:

Z = 64.5 68.0 Z = 68 71.5 1.17 0.3790

3.0 3.0

Z = - 3.5 1.17 0.3790

Z = 3.5 3.0 0.7580

3.0 Z = - 1.17

Z = -1.17 P (65 < X < 71) = 0.7580 = 75%

N. de estudiantes = 300 (0.7580)

= 227 %

Estadstica II

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(D) Igual a 68 pulgadas.

67.5 =68. 0 68. 5 = 0

= 3.0 X = 68

FORMULA: X -

Z =

SUSTITUCION:

Z = 67.5 68.0 Z = 68 68 0.17 0.0675

3.0 3.0

Z = 0.5 0.17 0.0675

Z = - 0.5 3.0 0.1350

3.0 Z = 0.17

Z = -1.17 P (x = 68) = 0.1350 = 13.5

N. de estudiantes = 300 (0.1350)

= 40.5

Estadstica II

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6. Si los dimetros de cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media 0.6140 pulgadas y desviacin tpica 0.0025 pulgadas, determinar el porcentaje de cojinetes

de bolas con dimetros (a) entre 0.610 y 0.618 pulgadas inclusive (b) mayor de 0.617

pulgadas, (c) menor de 0.608 pulgadas, (d) igual a 0.615 pulgadas.

(A) Entre 0.610 y 0.018.

0. 6095 =68. 0 0. 6185 = 0

= 3.0

FORMULA: X -

Z =

SUSTITUCION:

Z1 = 0.6095 0.6140 Z2 = 0.6185 0.6140 0.17 0.4641

0.0025 0.0025

Z2 = 0.0045 0.17 0.4641

Z1 = - 0.0045 0.0045 0.9282

0.0025 Z2 = 1.8

Z1 = -1.8 92.82% = 93%

Estadstica II

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(B) Mayor de 0.617.

0.6175

= 0. 6140 = 0

= 3.0 X = 1.4

FORMULA: X -

Z =

SUSTITUCION:

Z = 0.6175 0.6140 - 0.5000

0.0025 0.4192

Z = 0.0035 0.0808 x 100 = 8.08 = 8.1

0.0025

Z = 1.4

Estadstica II

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(C) Menor de 0.608 pulg.

0.608 = 0.6075 50%

= 0. 6140 z = -2.6 = 0

= 0.0025 X = 1.4

FORMULA: X -

Z =

SUSTITUCION:

Z = 0.6075 0.6140 - 0.5000

0.0025 0.4953

Z = -0.0065 0.0047 x 100 = 0.47%

0.0025

Z = -2.6 = 0.4953

Estadstica II

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(D) Igual a 0.615 pulg.

x1 = 0.6145 x2 = 0.6155 50% z2 = -0.6

= 0. 6140 = 0 z1= -0.2

= 0.0025

FORMULA: X -

Z =

SUSTITUCION:

Z1 = 0.6140 0.6140 Z2 = 0.6140 0.6155

0.0025 0.0025

Z1 = -0.0005 Z2 = -0.0015 0.0793

0.0025 0.0025 + 0.2258

Z1 = -0.2 = 0.0793 Z2 = -0.6 = 0.2258 0.3051

Estadstica II

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7. La puntuacin media en un examen fue 72 y la desviacin tpica 9. El 10% superior de los alumnos reciben la calificacin A. Cul es la puntuacin mnima que un

estudiante debe tener para recibir una A?

DE ATRS HACIA DELANTE:

DATOS: FORMULA:

M= 72

Q= 9 X = Z1 Q + M

Z1= 1.28 Tabla

%= ?

SUSTITUCION: X = 1.28 (9) + 72

X = 11.52 + 72

X = 83.52

0.3997 10%

X = 84

AHORA DE ADELANTE HACIA ATRS:

= 72 X= 84 = 0 z = 1.28

FORMULA: X -

Z =

SUSTITUCION:

Z = 83.52 72 0.5000

9 0.3997

Z = 11.52 0.1003 x 100 = 10%

9

Z = 1.28 = 0.3997

Estadstica II

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2.3.- Muestreo Aleatorio Simple.

Teora De Muestreo

La teora de muestreo es un estudio de las relaciones existentes entre una

poblacin y muestras extradas de la misma. Tiene gran inters en muchos

aspectos de la estadstica. Por ejemplo, permite estimar cantidades

desconocidas de la poblacin (tales como la media poblacional, la

varianza, etc.), frecuentemente llamadas parmetros poblacionales o

brevemente parmetros, a partir del conocimiento de las correspondientes

cantidades mustrales (tales como la media muestral, la varianza, etc.), a

menudo llamadas estadsticos mustrales o brevemente estadsticos.

La teora de muestreo es tambin til para determinar si las diferencias

que se puedan observar entre dos muestras son debidas a la aleatoriedad

de las mismas o si por el contrario son realmente significativas. Tales

preguntas surgen, por ejemplo, al ensayar un nuevo suero para el

tratamiento de una enfermedad, o al decidir si un proceso de produccin

es mejor que otro. Estas decisiones envuelven a los llamados ensayos e

hiptesis de significacin, que tienen gran importancia en teora de la

decisin.

Estadstica II

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En general, un estudio de inferencias, realizado sobre una poblacin

mediante muestras extradas de la misma, junto con las indicaciones sobre

la exactitud de tales inferencias aplicadas a la teora de la misma, junto

con las indicaciones sobre la exactitud de tales inferencias aplicadas a la

teora de la probabilidad, se conoce como inferencia estadstica.

Muestras Al Azar. (Nmeros Aleatorios)

Para que las conclusiones de la teora del muestreo e inferencia

estadstica sean validas, las muestras deben elegirse de forma que sean

representativas de la poblacin. Un estudio sobre mtodos de muestreo y

los problemas que tales mtodos implican, se conoce como diseos de

experimentos.

El proceso mediante el cual se extrae de una poblacin una muestra

representativa de la misma se conoce como muestreo al azar, deacuerdo

con ello cada miembro de la poblacin tiene la misma posibilidad de ser

incluido en la muestra. Una tcnica para obtener una muestra al azar es

asignar nmeros a cada miembro de la poblacin, escritos estos nmeros

en pequeos papeles, se introducen en una urna y despus se extraen

nmeros de la urna, teniendo cuidado de de mezclarlos bien antes de cada

extraccin. Esto puede ser sustituido por el empleo de una tabla de

nmeros aleatorios.

Estadstica II

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Muestreo Con Y Sin Remplazamiento

Si se extrae un numero de una urna, se puede volver o no el numero a la

urna antes de realizar una segunda extraccin. En el primer caso, un

mismo nmero puede salir varias veces, mientras que en el segundo un

nmero determinado solamente puede salir una vez. El muestreo, en el

que cada miembro de la poblacin puede elegirse ms de una vez, se

llama muestreo con remplazamiento, mientras que si cada miembro no

puede ser elegido ms de una vez se tiene el muestreo sin

remplazamiento.

Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. Si, por ejemplo, se extraen

sucesivamente 10 bolas sin remplazamiento de una urna que contiene

100, se esta tomando una muestra de una poblacin finita, mientras que si

se lanza al aire una moneda 50 veces, anotndose el numero de caras, se

esta muestreando en una poblacin infinita.

Una poblacin finita, en la que se realiza un muestreo con remplazamiento,

puede tericamente ser considerada como infinita, puesto que puede

extraerse cualquier nmero de muestras sin agotar la poblacin. E muchos

casos prcticos, el muestreo de una poblacin finita que es muy grande,

pueden considerarse como muestreo de una poblacin infinita.

Estadstica II

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2.4.- Distribuciones Mustrales

Considerndose todas las posibles muestras de tamao N que pueden

extraerse de una poblacin dada (con o sin remplazamiento). Para cada

muestra se puede calcular un estadstico, tal como la media, la desviacin

tpica, etc., que variara de una muestra a otra. De esta forma se obtiene

una distribucin del estadstico que se conoce como distribucin muestral.

Si, por ejemplo, el estadstico de que se trata es la media muestral, la

distribucin se conoce como distribucin muestral de medias o distribucin

muestral de la meda. Anlogamente se obtendra las distribuciones

mustrales de las desviaciones tpicas, etc. As, pues, se puede hablar de

la media y desviacin tpica de la distribucin muestral de medias, etc.

Estadstica II

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2.4.1.- Distribucin Muestral de Medias.

Supngase que son extradas de una poblacin finita todas las

posibles muestras sin remplazamiento de tamao N, siendo el

tamao de la poblacin Np > N. Si se denota la media y la

desviacin tpica de la distribucin muestral de medias por x y

x y la media y la desviacin tpica de la poblacin por y ,

respectivamente se tiene:

Np - N

y x = N Np - 1

Si la poblacin es infinita o si el muestreo es con

remplazamiento, los resultados anteriores se convierten en:

x = y x = N

x =

Estadstica II

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Para valores grandes de N(N > 30) la distribucin muestral de medias se

aproxima a una distribucin normal con media x y desviacin tpica x

independientemente de la poblacin de que se trate (siempre que la media

y la varianza poblacional sean finitas y el tamao de la poblacin sea la

menos dos veces el tamao de la muestra ). Este resultado en una

poblacin infinita es un caso especial del teorema central del lmite de

teora de probabilidad superior, que demuestra que la aproximacin es

tanto mejor conforme N se hace mayor. Esto se indica diciendo que la

distribucin muestral es sintticamente normal. En caso de que la

distribucin se distribuya normalmente, la distribucin muestral de medias

se distribuye tambin normalmente, incluso para pequeos valores de N

(es decir, N < 30).

2.4.2.- Distribucin Muestral de Proporciones

Supngase una poblacin infinita y que la probabilidad de ocurrencia de un

suceso (conocido como su xito) es p, mientras que la probabilidad de no

ocurrencia del suceso es q = 1 p. Por ejemplo, la poblacin pueden ser

todos los posibles lanzamientos de una moneda, en la que la probabilidad

del suceso (cara) es p = .

Estadstica II

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Se consideran todas las posibles muestras de tamao N extradas de esta

poblacin y para cada muestra se determina la proporcin p de xito. En

el caso de la moneda, P seria la proporcin de caras aparecidas en los N

lanzamientos. Entonces se obtiene una distribucin muestral de

proporciones cuya media p y desviacin t6ipica p vienen dadas por:

Pq p(1 p) x = y x = N = N

Que pueden obtenerse de (2) sustituyendo por q y por pq.

Para grandes valores de N (es decir, N < 30) la distribucin muestral se

aproxima mucho a una distribucin normal. Ntese que la poblacin se

distribuye binominalmente.

Las ecuaciones (3) son igualmente validas para una poblacin finita en la

que el muestreo se hace con remplazamiento.

Para poblaciones finitas y muestreo sin remplazamiento, las ecuaciones

(3) pasan a ser como las ecuaciones (1) con = p y = pq.

Advirtase que las ecuaciones (3) se obtienen mas fcilmente dividiendo la

media y la desviacin tpica (Np y Npq) de la distribucin binominal por N.

Estadstica II

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2.4.3.- Distribucin Muestral de Diferencias y Sumas.

Supnganse que se tienen dos poblaciones. Para cada muestra de

tamao N1, extrada de la primera poblacin se calcula un estudio S1. Esto

proporciona una distribucin muestral del estadstico S1 cuya medida y

desviacin tpica vienen dadas por s1 y s1, respectivamente.

Anlogamente, para cada muestra de tamao N2, extrada de la segunda

poblacin, se calcula un estadstico S2. Esto igualmente proporciona una

distribucin muestral del estadstico S2, cuya media y desviacin tpica

vienen dadas por s2 y s2. De todas las posibles combinaciones de estas

muestras de las dos poblaciones se puede obtener una distribucin de las

diferencias, S1 S2 que se conoce como distribucin muestral de

diferencias de los estadsticos. La medida y la varianza de esta distribucin

muestral se denotan, respectivamente, por s1- S2 y s1 S2 y son

dadas por

s1 S2 = s1 s2 y s1 S2 = 2S1 + 2s2 (4)

Con tal de que las muestras no dependan de ninguna forma una de otra,

es decir, las muestras sean independientes.

Estadstica II

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Si S1 y S2 son las medidas mustrales de las dos poblaciones, las cuales

vienen dadas por X1 y X2, entonces la distribucin muestral de la

diferencias de medias para poblaciones infinitas con medidas y

desviaciones tpicas 1, 1 y 2, 2, respectivamente, tienen por media y

desviacin tpica.

x1-x2 = x1 x2 = 1 2 y x1- x2 = 2x1 + 2x2 = 2+ 2

1 2 (5)

N1 N2

Usando las ecuaciones (2). El resultado se mantiene valido para

poblaciones finitas si el muestreo es con remplazamiento.

Resultados similares pueden obtenerse para poblaciones finitas en las que

el muestreo se realiza sin remplazamiento partiendo de las ecuaciones (1).

Resultados correspondientes pueden deducirse para las distribuciones

mustrales de diferencias de proporcin de dos poblaciones distribuidas

binominalmente con parmetros p1, q1 y p2, q2, respectivamente. En este

Estadstica II

60 de 110


caso S1 y S2 corresponden a las proporciones de xito, P1 y P2, y las

ecuaciones (4) dan los resultados.

p1 p2 = p1 p2 = p1 p2 y p1-p2 = 2p1 + 2p2 = p1q1 p2q2

N1 N2 (6)

Si N1 y N2 son grandes (N1, N2 = 30), las distribuciones mustrales de

diferencia de medias o proporciones se distribuyen muy aproximadamente

como un normal.

A veces, es til hablar de la distribucin muestral de la suma de

estadsticos. La media y la desviacin tpica de esta distribucin viene

dada por

s1+s2 = s1 + s2 y s1+s2 = 2s1 + 2s2 (7)

Suponiendo que las muestras son independientes.

Estadstica II

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2.5.- Otros Ejercicios.

1) Muestra De Dos Elementos Con Reemplazo:

PARAMETRO

UNIVERSO




R= S = 2,2 3,2 4,2 6,2 (estadstico)

2,3 3,3 4,3 6,3 = 16

2,4 3,4 4,4 6,4

2,6 3,6 4,6 6,6


R= nORr = nr

nORr = 42

nORr = 16



6 4

2 3

Estadstica II

62 de 110



R= Sx = { 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6 }



2 (1/16) + 2.5 (2/16) + 3 (3/16) + 3.5 (2/16) + 4 (3/16) + 4.5 (2/16) + 5 (2/16) + 6

(1/16) =

2/16 + 5/16 + 9/16 + 7/16 + 12/16 + 9/16 + 10/16 + 6/16 = 60/16 = 3.75

Comprobacin:

6 + 4 + 2 + 3 = 15/4 = 3.75

X 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 SUMA

Px(x) 1/16 2/16 3/16 2/16 3/16 2/16 2/16 1/16 16/16 = 1

Estadstica II

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Distribucin Maestral De Medias:

Media: Mx = M

Con Reemplazo:

Q

D. Estndar: Qx =

N


n

(X )2

i = 1

n

X X- (X- )

2 3.75 - 1.75 3.0625

3 3.75 0.75 0.5625

4 3.75 0.25 0.0625

6 3.75 2.25 5.0625

Estadstica II

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8.75

= 3.75 4

Q = 1.4790

= 2.1875

Q = 1.4790

Q 1.4790

Qx = Qx =

N 2

1.4790

Qx = Qx = 1.04581

1.414213

X X- (X- )2 Px(X) (Px(x))((x- )

2)

2 3.75 -1.75 3.0625 1/16 0.191406

2.5 3.75 -1.25 1.5625 2/16 0.1953

3 3.75 -0.75 0.5625 3/16 0.1054

3.5 3.75 -0.75 0.0625 2/16 0.0078

4 3.75 0.25 0.0625 3/16 0.0116

4.5 3.75 0.75 0.5625 2/16 0.0703

5 3.75 1.25 1.5625 2/16 0.1953

6 3.75 2.25 5.0625 1/16 0.3169

Q2 = 1.0939

Q = 1.0939

Q = 1.0458

Estadstica II

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2) Muestra De Dos Elementos sin Reemplazo:

PARAMETRO

UNIVERSO


R= Sacar muestras de 2 elementos sin reemplazo.


R= S = 2,3 3,2 4,2 6,2 (estadstico)

2,4 3,4 4,3 6,3 = 12

2,6 3,6 4,6 6,4


R= nOr = 4! nOr = 24/2

(4 2) !

nOr = 12

nOr = 24

2 !

nOr = 24/2



6 4

2 3

Estadstica II

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R= Sx = { 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5 }



Mx = 2.5 (2/12) + 3 (2/12) + 3.5 (2/12) + 4 (2/12) + 4.5 (2/12) + 5 (2/12) =

Mx = 5/12 + 6/12 + 7/12 + 8/12 + 9/12 +10/12 = 3.75

COMPROBACIN:

6 + 4 + 2 + 3 = 15/4 = 3.75

Distribucin Maestral De Medias:

Media: Mx = M

Sin Reemplazo:

Q

D. Estndar: Qx = NP - N

N NP - 1

X 2.5 3 3.5 4 4.5 5 TOTAL

Px(x) 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 12/12

= 1

Estadstica II

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X X- (X- )2 Px(X) (Px(x))((x- )

2)

2.5 3.75 -1.25 1.5625 2/12 0.2604166

3 3.75 -0.75 0.5625 2/12 0.09375

3.5 3.75 -0.75 0.0625 2/12 0.0104166

4 3.75 0.25 0.0625 2/12 0.0104166

4.5 3.75 0.75 0.5625 2/12 0.09375

5 3.75 1.25 1.5625 2/12 0.2604166

Q2 = 0.7291664

Q = 0.7291664

Q = 0.8539

3) Una poblacin esta formada por los cuatro nmeros 3, 7, 11, 15. Considerar todas la s posibles muestras de tamao dos que pueden extraerse de esta poblacin con

remplazamiento. Hallar (a) la media poblacional, (b) la desviacin tpica

poblacional, (c) la media de la distribucin muestral de medias, (d) la desviacin

tpica de la distribucin muestral de medias. Encontrar (c) y (d) directamente de (a)

y (b) mediante las formulas adecuadas.

PARAMETRO

UNIVERSO



3 7

11 15

Estadstica II

68 de 110



R= S = 3,3 7,3 11,3 15,3 (estadstico)

3,7 7,7 11,7 15,7 = 16

3,11 7,11 11,11 15,11

3.15 7,15 11,15 15,15


R= nORr = nr

nORr = 42

nORr = 16




R= Sx = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}


X 3 5 7 9 11 13 15 SUMA

Px(x) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 16/16

= 1

Estadstica II

69 de 110



Mx = 3 (1/16) + 5 (2/16) + 7 (3/16) + 9 (4/16) + 11 (3/16) + 13 (2/16) + 15 (1/16) =

Mx = 13/16 + 10/16 + 21/16 + 36/16 + 33/16 + 26/16 + 15/16 = 144/16 = 9

COMPROBACIN:

3 + 7 + 11 + 15 = 36/4 = 9

X X- (X- )

3 9 - 6 36

7 9 - 2 4

11 9 2 4

15 9 6 36

36 + 4 + 4 + 36 = 80

Q = 80/4 M = 9

Q = 20 Q= 4.4721

Q= 4.472135955

Estadstica II

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X X- (X- )2 Px(X) (Px(x))((x- )

2)

2.5 3.75 -1.25 1.5625 2/12 0.2604166

3 3.75 -0.75 0.5625 2/12 0.09375

3.5 3.75 -0.75 0.0625 2/12 0.0104166

4 3.75 0.25 0.0625 2/12 0.0104166

4.5 3.75 0.75 0.5625 2/12 0.09375

5 3.75 1.25 1.5625 2/12 0.2604166

Q2 = 10

Q = 10

Q = 3.162

4) Los pesos de 1500 cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media de 22.40 onzas y desviacin tpica de 0.048 onzas. Si se extraen 300 muestras de tamao 36 de

esta poblacin, determinar la media esperada y la desviacin tpica de la

distribucin muestral de medias, si el muestreo se hace (a) con remplazamiento, (b)

sin remplazamiento.

CON REMPLAZO:

M = 22.40 Mx = M

Q = 0.048 M = 22.40 = 22.40

Muestra = 300 c.

Qx = Q Qx = 0.048/ 6

N Qx = 0.008

Qx = 0.048

36

Estadstica II

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SIN REMPLAZO:

Q

D. Estndar: Qx = NP - N

N NP - 1

0.048

Qx = 300-36

36 300 - 1

0.048

Qx = 264

6 299

Qx = 0.008 ( 0.882943144 )

Qx = 0.008 ( 0.939650543 )

Qx = 0.0075

Qx = Menor que 0.008.

5) Resolver el problema anterior si la poblacin se compone de 72 cojines.

Mx = M

Q = 0.048

22.40 = 22.40

Qx = Q Qx = 0.048/ 6

N Qx = 0.008

Estadstica II

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Qx = 0.048

36

Qx = Q

Np N

Np 1

N

Qx = 0.048

76 36

76 1

36

Qx = 0.048

36

75

6

Qx = 0.008 ( 0.507042254 )

Qx = 0.008 ( 0.712068995 )

Qx = 0.0075

Estadstica II

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TEMA 3: Teora de Estimacin Estadstica

3.1.- Estimacin de Parmetros.

En el ultimo capitulo se vio como la teora del muestreo poda emplearse

para obtener informacin acerca de muestras extradas al azar de una

poblacin conocida. Sin embargo, desde un punto de vista prctico, es

frecuentemente ms importante es el poder inferir informacin sobre una

poblacin mediante muestras extradas de ella.

Tales problemas son los tratados en la inferencia estadstica, basndose

en la teora del muestreo.

Un importante problema de la diferencia estadstica es la estimacin del

parmetro de la poblacin o brevemente parmetros (tales como la media,

varianza de la poblacin, etc.) a partir de los correspondientes estadsticos

mustrales o brevemente estadsticos (es decir, media muestral, varianza

muestral, etc.). En este capitulo se

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Academia de Matemáticas - fcca.umich.mx de Matematicas/Gu… · Distribución Muestral de Proporciones ... Distribución Muestral de Diferencias y Sumas. .....58 2.5.- Otros Ejercicios