TEMA 13 : DISTRIBUCIONES CONTINUAS

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD ING. ROY DONALDO SILVA

UNIDAD VI: DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Una variable aleatoria continua tiene exactamente 0 de adoptar exactamente cualquiera de sus valores. La funcin f(x) es una funcin de densidad de probabilidad (fdp) para la variable aleatoria continua X , definida en el conjunto de nmeros reales si:

1) f(x) >= 0 para toda X

2) f(x) dx = 1 b

3) P(a < x 0 o tambinIntegrando por partes se tendr: (p)=(p-1)!

Dos casos particulares son: (1)=1 , (1/2)= (para p no entero pero si positivo)

Una vez que hemos definido esta funcin gamma, la vamos a aplicar para definir la distribucin de probabilidad gamma, pues son muchas las aplicaciones de esta distribucin a experimentos o fenmenos aleatorios que tienen asociadas variables aleatorias que siempre son no negativas y cuyas distribuciones son sesgadas a la derecha, es decir, el rea bajo la funcin de densidad disminuye a medida que nos alejamos del origen.

Definicin: Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigue una distribucin gamma de parmetros p y a, siendo p,a ( y p>0 y a>0, X( (p,a), si su funcin de densidad es :

Esta distribucin se aplica para representar las siguientes distribuciones:

- Intervalos de tiempo entre dos fallos de un motor.

- Intervalos de tiempo entre dos llegadas de automviles a una gasolinera.

- Tiempos de vida de sistemas electrnicos, etc.

Caractersticas:

1. Funcin de distribucin

El valor de esta expresin no es fcil de obtener, aunque cuando p es entero positivo, la integral se puede calcular por partes y las probabilidades se obtienen de forma aproximada. Con el fin de simplificar el clculo de estas probabilidades Pearson tabul la funcin gamma incompleta para diferentes valores del parmetro p, que viene dada por :

2. Media: E[X]=p/a

3. Varianza: Var(X)=p/a

4. Propiedad reproductiva

Si son n variables aleatorias independientes, distribuidas segn una (), para i=1,...,n. Entonces la variable aleatoria Y= sigue una distribucin (, a).

Ejemplo: Sea X una variable aleatoria con distribucin gamma con p=2 y a=50. Cul es la probabilidad de que X tome un valor menor al valor de la media?.

Solucin: 0,594

DISTRIBUCIN EXPONENCIAL

Definicin: Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigue una distribucin exponencial de parmetro , siendo

EMBED Equation.3 ( y >0, X(Exp(), si su funcin de densidad es

f(x)=

Esta distribucin es un caso particular de la distribucin (p,) para p=1, hecho que tendremos en cuenta para el estudio de sus caractersticas.

Esta distribucin est relacionada con la de Poisson, as pues si el nmero de sucesos que ocurren en un determinado intervalo sigue una distribucin de Poisson, entonces la variable aleatoria que representa el tiempo entre ocurrencia de sucesos sigue una distribucin exponencial. As, por ejemplo, si el nmero de ventas semanales de un cierto modelo de coche sigue una distribucin de Poisson, entonces el tiempo transcurrido entre las ventas seguir una distribucin exponencial.

Tambin se pueden modelizar mediante la distribucin exponencial las siguientes situaciones:

- la duracin de la prestacin de un servicio.

- el tiempo entre llegadas sucesivas a una cola o punto de servicio.

- el tiempo de duracin de algunos equipos, etc.

Caractersticas:

1. Funcin de distribucin

2. Media: E[X]=1/a

3. Varianza: Var(X)=1/a

Ejemplo: El tiempo transcurrido entre la llegada de dos clientes consecutivos al departamento de ventas de un concesionario de una determinada marca de automviles, es de 20 minutos. Calcular la probabilidad de que el tiempo transcurrido entre la llegada de dos clientes consecutivos no supere la media hora.

Solucin:

E[X]=1/a=20 luego a= 0,05. P(X)=0,7769.

. DISTRIBUCIN BETA

Previamente vamos a definir la funcin beta de p y q, (p,q) como :

Se verifica tambin : (p,q)=((p)(q))/(p+q)

Definicin: Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigue una distribucin beta de parmetros p y q, siendo p,q( y p>0 y q>0, X((p,q), si su funcin de densidad es:

O bien

Observemos que esta funcin de densidad est definida en el intervalo (0,1), lo cual nos indica que esta familia de distribuciones beta es muy til para representar modelos probabilsticos que representan proporciones, tales como:

- La fraccin de tiempo que un equipo est en reparacin.

- La proporcin de piezas defectuosas de un lote.

- La proporcin del gasto de una familia en alimentacin con respecto a los ingresos totales.

- La participacin de la produccin de una empresa con respecto al total de lo producido en ese sector, etc.

Caractersticas

1. Funcin de distribucin

La expresin de la funcin de distribucin es:

2. Media: E[X] = p/(p+q)

3. Varianza: Var(X) = (pq) / (p+q+1)(p+q))

Ejemplo: Una comunidad de vecinos dispone de un depsito que contiene una cantidad fija de combustible para la calefaccin central y que es rellenado cada mes. La experiencia acumulada durante muchos meses permite representar la proporcin de reserva utilizada cada mes mediante un modelo de distribucin Beta con parmetros p=4 y q=2. Calcule la probabilidad de que un mes determinado se utilice ms del 75% de la reserva de combustible.

Solucin:

Su funcin de densidad ser: f(x) = 20x3(1-x) si 0