Distribuciones Continuasde Probabilidad

Contenido Distribución uniforme de probabilidad Distribución Normal de probabilidad Aproximación normal a la distribución

binomial Distribución exponencial de probabilidad

Distribución Uniforme de Probabilidad En las distribuciones discretas la función de

probabilidad toma valores específicos, sin embargo, cuando es continua se habla de una función de densidad que entrega sólo un valor evaluado

Es el área bajo la curva, definida por un intervalo, la que determina la probabilidad de una variable aleatoria continua.

Una distribución uniforme de probabilidad es una distribución continua en la que la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor en cualquier intervalo es igual para todo intervalo de igual longitud

Distribución uniforme Siempre que la probabilidad sea

proporcional a la longitud del intervalo, la variable tiene distribución uniforme

( )f x 1

0b a

a x b

x

ba

( )f x

-

1)df( xx

ejemplo Ejemplo: el precio medio del litro de gasolina durante el próximo

año se estima que puede oscilar entre 140 y 160 ptas. Podría ser, por tanto, de 143 ptas., o de 143,4 ptas., o de 143,45 ptas., o de 143,455 ptas, etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

Su función de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del intervalo, viene definida por: f(x) = 1/(b-a)

Donde: b: es el extremo superior (en el ejemplo, 160 ptas.) a: es el extremo inferior (en el ejemplo, 140 ptas.) Por lo tanto, la función de distribución del ejemplo sería: F(x)= 1/(160-140) = 0.05

ejemplo El valor medio de esta distribución se calcula: E(x)= (a+b)/2 En el ejemplo: E(x) = (140 +160) /2 = 150 Por lo tanto, el precio medio esperado de la gasolina para el

próximo año es de 150 ptas. Veamos otro ejemplo: El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en

la ciudad de Sevilla va a oscilar entre 400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la función de distribución y la precipitación media esperada:

F(x)= 0.01 Es decir, que el volumen de precipitaciones esté entre 400 y 401 litros tiene un 1% de probabilidades; que esté entre 401 y 402 litros, otro 1%, etc.

E(x)=450 Es decir, la precipitación media estimada en Sevilla para el próximo año es de 450 litros.

De acuerdo a lo anterior se presentan 2 diferencias principales entre el manejo de variables aleatorias discretas y continuas: Ya no se habla de un valor dado, en su lugar aparece

el término un valor dentro de un intervalo La probabilidad de que una variable aleatoria tome

un valor dentro del intervalo se definen como área bajo la curva. Esto implica que la probabilidad de que esta variable asuma exactamente un valor es 0.

Para este tipo de distribución se define las siguientes medidas descriptivas:

2

( )2

( )( )

12

a bE x

b aVar x

Ejercicio Se sabe que x es una variable aleatoria

uniformemente distribuida entre 10 y 20. Trace la gráfica de la función de

probabilidad Determine P(x<15) Determine P(12x 18) Determine E(x) Calcule la desviación estándar

Distribución Normal de Probabilidad Abraham de Moivre publicó en 1733 la

Doctrina de las Probabilidades y dedujo la distribución normal de probabilidad

Es la distribución continua más importante de probabilidad.

En casos puntuales se puede aplicar como una aproximación en el empleo de variables discretas

La función de densidad normal de probabilidad se expresa como:

2 2( ) / 21( )

2xf x e

PromedioDesviación estándar

x

Características de esta distribución: Hay familias de distribuciones normales. Cada una se

identifica por su media y su desviación estándar El punto más alto es la media La media puede ser cualquier valor numérico La distribución de probabilidad normal es simétrica.

Las colas se prolongan hasta el infinito (nunca tocan el eje de las x)

Las desviaciones estándares determinan el ancho de la curva

El área total es 1

Regla empírica

x

68.26%

95.44%

99.72%

La altura de una distribución normal varía por lo cual en el cálculo del área se debe recurrir al cálculo infinitesimal

Cuando tenemos una distribución normal con media 0 y desviación estándar 1 se habla de una distribución normal estándar

El valor de z indica la variable aleatoria normal

(.00 1.00) .3413

( 1.00 1.00) .6826

P z

P z

xz

Ejemplo Determine la probabilidad de que

neumáticos fabricados por Goodyear puedan superar las 40.000 millas, si se tiene un promedio de 36.500 millas y una desv. estándar de 5.000.

40000 365000.7 0.2580

5000z

P(x40000)=?

Aproximación Normal a distribución Binomial La distribución binomial consiste en la sucesión de

n intentos independientes idénticos que tienen 2 posibilidades:éxito o fracaso.

Cuando tenemos n mayores de 20, np5, y n(1-p) 5 la distribución normal da como resultado una aproximación a la distribución binomial

En este caso se iguala en la definición de la curva normal:

Sin embargo, se debe aplicar un factor de continuidad de ±0.5 ya que la evaluación de un valor en una distribución normal es 0.

(1 )

np

np p

En una empresa se ha visto que en un 10% de sus facturas se cometen errores y se desea calcular la probabilidad que de 100 facturas, 12 de ellas los contengan

1

2

100(.10) 10

(1 ) 3

12.5 10.00.83 0.2967

311.5 10

0.5 0.19153

(12) 0.2967 0.1915 0.1052

np p

z

z

P

z2

z1

Distribución exponencial de probabilidad Es una distribución continua de probabilidad

que se aplica para determinar las probabilidades de ocurrencias de un evento en el tiempo y espacio

La función de densidad de esta distribución es:

De acuerdo a ésta la distribución exponencial de probabilidad (área bajo la curva) corresponde a:

/1( ) xf x e

/( ) 1 oxoP x x e

0, 0x

Función Distribución

Tiempo Tiempo

( )f x( )f x

Ejemplo Determinar la probabilidad de que un camión

que llega a un puerto sea cargado en 6 minutos o menos. Se sabe que en promedio se demoran 15 minutos

( )f x

6 Tiempo(min)0

6 /15( 6) 1 0.3297P x e

Se puede llegar a establecer una relación entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson considerando que ambas incluyen intervalos de tiempo

( )!

1( ) p

p

x

e e pp

ef x

x

f x e

Ejercicios El tiempo necesario para terminar

una operación de ensamblaje se distribuye uniformemente entre 30 y 40 minutos Calcule la ecuación de la función de

densidad de probabilidad Calcule la probabilidad de que la

operación requiera más de 38 minutos Determine el valor esperado y la

varianza

Una máquina llena recipientes con determinado producto. Se sabe que la desviación estándar de pesos de llenado, de acuerdo a datos históricos, es de 0.6 onzas. Si sólo el 2% de los recipientes contienen menos de 18 onzas, ¿Cuál es el peso promedio de llenado de la máquina?. Suponga distribución uniforme.

El tiempo, en minutos, que tarda cada llamada telefónica en entrar a una oficina de corredores de seguros tiene la siguiente distribución:

¿Cuál es la media del tiempo entre llamadas? ¿Cuál es la probabilidad de tener 30 segundos o

menos entre llamadas telefónicas? ¿Cuál es la probabilidad de tener 5 minutos o más

sin una llamada?

0.50( ) 0.50 0xf x e x