ESTADÍSTICA I

ING. VICTOR SALAZAR POLANCO

ESPECIALISTA EN LOGISTICA

Facultad de Ingeniería

Universidad del Magdalena

Santa Marta - 2011

La reglas aditiva o de adición es un método que facilita

el cálculo de la probabilidad de un evento de acuerdo a

las características del mismo o del resultado a esperar.

Entre estas reglas o leyes se deben presentan alguno de

los siguientes casos:

a) Sucesos mutuamente excluyentes

b) Sucesos compatibles

PROBABILIDAD

REGLAS ADITIVAS

a) Sucesos Mutuamente Excluyentes: Se dice que dos omás eventos son mutuamente excluyentes, si cuandouno de los eventos ocurre, ninguno de los otros puedeocurrir al mismo tiempo, y para este caso se debeaplicar la regla de adición.

Ilustración: Supongamos que al realizar elexperimento del lanzamiento de un dado, se quierehallar la probabilidad de que aparezca el dos o elcuatro. Se sabe que al hacer un solo lanzamiento deun dado, se espera deba aparecer el dos o el cuatro,pero nunca ambos, es decir, la aparición de uno deellos excluye la aparición del otro, y en este caso, sedice que los eventos son mutuamente excluyentes.

PROBABILIDAD

REGLAS ADITIVAS

• Origen de la Fórmula: Si dos o más sucesos son tales que sólo uno deellos puede ocurrir en un solo ensayo, se dice que son mutuamenteexcluyentes. Se denomina probabilidad aditiva y será igual a la sumade las probabilidades de cada suceso.

P = p1 + p2 + p3 + ………+…. Pn

Consideremos que p1 + p2 + p3 + ………+…. Pn son las distintasprobabilidades de n sucesos mutuamente excluyentes. Laprobabilidad (P) de que uno de estos sucesos se presente en un soloensayo, estará dada por la suma de las probabilidades para cadasuceso: P = p1 + p2 + p3 + ………+…. Pn

La fórmula anterior la podemos expresar así:

P(A o B) = P(A) + P(B) P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C)

PROBABILIDAD

REGLAS ADITIVASSUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Ejemplo 12: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un As o

un Rey, sacando una sola carta en una baraja española

de 40 cartas? R/: Si uno de los casos aparece, sabemos

que queda excluido el otro, por lo tanto, debemos aplicar

el primer caso de la regla de adición.

P(A) = 4/40 = 1/10 = 0.1 x 100 = 10% De obtener un As.

P(B) = 4/40 = 1/10 = 0.1 x 100 = 10% De obtener un Rey.

P(A o B) = P(A) + P(B) = (4/40) + 4/40) = 8/40 = 1/5 = 0.20 x 100 = 20%.

PROBABILIDAD

REGLAS ADITIVASSUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

b) Sucesos Compatibles: Se dice que dos eventos soncompatibles, o que no son mutuamente excluyentes, cuando laprobabilidad de que ocurra un suceso no impide la ocurrenciadel otro.

Ilustración: Al extraer un carta de un baraja de Blackjack(suponiendo que juegan con un solo mazo), es decir, 52 cartas,y se quiere hallar la probabilidad de obtener J o trébol, estapuede resultar siendo sólo J, sólo trébol o ambas a la vez. Paraeste caso la probabilidad se halla así:

P(A) = 4/52 Probabilidad de que aparezca J.

P(B) = 13/52 Probabilidad de que aparezca Trébol.

P(A y B) = 1/52 Probabilidad de que sea un J de Trébol.

PROBABILIDAD

REGLAS ADITIVAS

Origen de la Fórmula: Teniendo en cuenta lo anterior,la probabilidad de un suceso compatible se halla con laprobabilidad de que suceda un evento, más laprobabilidad de que suceda el otro, menos laprobabilidad de que ocurran ambos a la vez.

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

Es corriente utilizar símbolos, tales como A U B paraindicar la unión de A con B, y A ∩ B, la intersección de Acon B. La anterior expresión se podrá reemplazar por:

P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

PROBABILIDAD

REGLAS ADITIVASSUCESOS COMPATIBLES

Para hallar la probabilidad de obtener J o trébol, este caso

re resuelve así:

P (J o T) = P(J) + P(T) – P(J ∩ T)

P (J o T) = (4/52) + (13/52) – (1/52)

P (J o T) = 16/52 = 0.3076 x 100 = 30.76%

PROBABILIDAD

REGLAS ADITIVASSUCESOS COMPATIBLES

a) Sucesos Independientes: Se dice que dos o más sucesos

son independientes, si la probabilidad de presentación

de ninguno de ellos queda influenciada por la

presentación del otro. Para este caso se efectuará la

multiplicación de las probabilidades para cada suceso.

Si p1, p2, p3, ……… pn son las distintas probabilidades

de n sucesos independientes, la probabilidad (P) de

que ocurran todos estos sucesos en un solo ensayo,

estará dada por el producto de cada suceso.

P = p1 x p2 x p3, ………x pn

PROBABILIDAD

REGLA DE MULTIPLICACIÓN

Ejemplo 13: ¿Qué probabilidad tendremos de obtener dos Ases

sacando una carta de una baraja y la otra de una segunda baraja? R/:

El enunciado nos indica que se trata de casos independientes, ya que

nada tiene que ver una baraja con la otra.

P = (4/52) x (4/52) = 16/2.704 = 0.0059171 x 100 = 0.59%

Recordemos cuando se dice que dos o más eventos son independientes

entre sí, la ocurrencia de un evento no está relacionada con la

ocurrencia de los otros. Si hay tres eventos independientes A, B y C,

la probabilidad de que ocurran A, B y C se obtiene al multiplicar las

tres probabilidades.

P(A y B y C) = P (A) . P (B) . P (C)

PROBABILIDAD

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓNSUCESOS INDEPENDIENTES

b) Sucesos Dependientes: Se dice que los sucesos son

dependientes o eventos compuestos, si la ocurrencia o

no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta

la probabilidad de otros eventos en otras pruebas, es

decir, que la probabilidad del segundo suceso depende

del primer suceso, el del tercero de lo que haya

sucedido en el primero y segundo y así sucesivamente.

Ilustración: Si se van a sacar tres cartas de una baraja,

se debe hacer sin reposición, es decir, al extraer una

carta, ella no vuelve a formar parte del total y en vez de

tener 40 cartas, para la segunda se tendrán 39.

PROBABILIDAD

REGLA DE MULTIPLICACIÓN

Ejemplo 14: De una bajara de 52 cartas se desea extraer trescartas en forma sucesiva sin reposición, es decir, la carta quese extrae no se regresa a la baraja. ¿Cuál es la probabilidadde que en la primera extracción aparezca un As, en lasegunda un Rey de Diamantes y en la tercera un 6 deCorazones? R/: Al extraer la primera carta As, se tiene P(A) =4/52; luego, al extraer la segunda un Rey de Diamantes, sehará sobre un total de 51 cartas, por lo tanto P(B) = 1/51;luego, la tercera carta un 6 de Corazones, se tendrá que P(C) =1/50. La probabilidad de que todos estos sucesosdependientes ocurran será igual a: P(A y B y C) = P (A) . P (B) . P(C)

P(A y B y C) = (4/52).(1/51).(1/50) = (4/132.600) = 0.00003016

P(A y B y C) = 0.00003016 x 100 = 0.00301%

PROBABILIDAD

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓNSUCESOS DEPENDIENTES. ORIGEN DE LA FÓRMULA

Lo anterior se puede expresar de la siguiente manera

obteniéndose el mismo resultado:

P(A ∩ B ∩ C) = P (A) . P (B|A) . P (C|A y B)

Se denomina probabilidad conjunta de A y B; P(A) se

llama probabilidad marginal de A; P(B|A) es la

probabilidad condicional de B con respecto a A, y P (C|A y

B) es la probabilidad condicional de C con respecto a A y

B.

PROBABILIDAD

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓNSUCESOS DEPENDIENTES. ORIGEN DE LA FÓRMULA

a) En el primero se tiene un solo dado, una baraja; en el

segundo son dos o más dados o barajas.

b) En el primero se extrae una sola carta, o se obtiene

una sola carta, es decir, se espera la presentación de

un suceso; en el segundo se espera la presentación de

dos o más sucesos.

c) En el primero utilizamos la conjunción “o” y en el

segundo la conjunción “y”.

PROBABILIDAD

DIFERENCIAS ENTRE SUCESOS MUTUAMENTE

EXCLUYENTES Y SUCESOS INDEPENDIENTES

En la regla de la multiplicación, la probabilidad conjunta

de A y B se calculaba mediante la aplicación de la

fórmula: P(A y B) = P(A) . P(B|A) = P (A∩B) de donde podemos

despejar la fórmula para la probabilidad condicional de

un evento:

P(B|A) = P(A y B) / P(A)

P(B|A) = P (A∩B) / P(A)

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Ejemplo 15: Se encuentra que en una facultad, el 70%

de los alumnos matriculados son mujeres y que el 18%

son estudiantes de economía. Si elegimos al azar un

estudiante, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y

que además esté estudiando economía? R/:

P(B|A) = P (A∩B) / P(A)

P(B|A) = 0.18/0.70

P(B|A) = 0.2571 x 100

P(B|A) = 25.71% Esta es la probabilidad de elegir una

mujer que además esté estudiando economía.

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Este teorema establece, que si sucede cierto evento, que

depende de la ocurrencia de los eventos A o B o C

correspondientes a un conjunto de sucesos

mutuamente excluyentes, la probabilidad de que E

haya ocurrido a consecuencia de A, lo cual expresamos:

P(A|E) , corresponda al producto de las probabilidades

individuales del evento A y del evento E, dividido por la

probabilidad alternativa del evento E con respecto a

cada uno de los eventos independientes de A, B y C.

P(A|E) = P(A) .P(E|A)

P(A) .P(E1|A) + P(B) . P(E2|B) + P(C) . P(E3|C)

PROBABILIDAD

TEOREMA DE BAYES

Ejemplo 16: La capacidad de producción de las

máquinas A, B, C y D, durante 1 hora viene

determinado así: A=600, B=400, C=300 y D=700

unidades, es decir, en términos porcentuales A=30%,

B=20%, C=15% y D=35%. Mediante un proceso de

observación se ha detectado que el porcentaje de

unidades defectuosas producidas por cada una de las

máquinas es del 4%, 3%, 6% y 5%, respectivamente. Si

procedemos a sacar un elemento del total, ¿cuál es la

probabilidad de que haya sido producida por la

máquina A, o por la máquina B, C o D?

PROBABILIDAD

TEOREMA DE BAYES

• Solución: Sabemos que:

P(A) = 0.30

P(B) = 0.20

P(C) = 0.15

P(D) = 0.35

Son las probabilidades independientes de A, B, C y D respectivamente.

Siendo:

P(E|A) = 0.04

P(E2|B) = 0.03

P(E3|C) = 0.06

P(E4|D) = 0.05

PROBABILIDAD

TEOREMA DE BAYES

Ahora podemos calcular:

P(A) .P(E|A) = 0.30 (0.04) = 0.012

P(B) . P(E2|B) = 0.20 (0.03) = 0.006

P(C) . P(E3|C) = 0.15 (0.06) = 0.009

P(D) . P(E4|D) = 0.35 (0.05) = 0.0175

La suma de las probabilidades será:

0.012 + 0.006 + 0.009 + 0.0175 = 0.0445

PROBABILIDAD

TEOREMA DE BAYES

Llamemos al anterior resultado P(E), con el cual

podemos aplicar la fórmula de Bayes, así podemos

calcular la probabilidad de que la unidad defectuosa

haya sido producida por una de las cuatro máquinas.

Veamos:

P(A|E) = P(A) .P(E|A) / P(E) = 0.30 x 0.04 / 0.0445 = 0.2967 x 100 = 29.67%

P(B|E) = P(B) .P(E|B) / P(E) = 0.20 x 0.03 / 0.0445 = 0.1348 x 100 = 13.48%

P(C|E) = P(C) .P(E|C) / P(E) = 0.15 x 0.06 / 0.0445 = 0.2022 x 100 = 20.22%.

P(D|E) = P(D) .P(E|D) / P(E) = 0.35 x 0.05 / 0.0445 = 0.3933 x 100 = 39.33%

PROBABILIDAD

TEOREMA DE BAYES