Distribuciones de Probabilidad2013

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN HIDROLOGIA

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN HIDROLOGIA

El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ayuda de Distribuciones de Probabilidad.

La variable se designa por mayscula y un valor especifico de ella por minscula.

Por P(x = a) se denota la probabilidad de que un evento asuma el valor a; similarmente P(a ( x ( b) denota la probabilidad de que un evento se encuentre en el intervalo (a,b). Si conocemos la probabilidad P(a ( x ( b) para todos los valores de a y b, se dice que conocemos la Distribucin de Probabilidades de la variable x.

Si x es un nmero dado y consideramos la probabilidad P(X ( x):

)

(

)

(

x

X

P

x

F

=

y llamamos F(x) la funcin de distribucin acumulada

Ejemplo:

Se tienen las probabilidades de que haya 0,1, 2, 3, ...,7, das nublados por semana en un determinado lugar, con ellos calcule la distribucin de probabilidades

x

P(x)

F(x)

0

0.05

0.05

1

0.15

0.20

2

0.25

0.45

3

0.20

0.65

4

0.15

0.80

5

0.10

0.90

6

0.08

0.98

7

0.02

1.00

Total

1.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

01234567

# dias nublados

f(x)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

02468

# dias nublados

F(x)

Si se tiene una variable aleatoria continua, la figura presenta el histograma de 85 aos de registro de caudales de crecientes (mximos instantneos) en el ro Magdalena, agrupados en 9 intervalos de clase.

x

P(x)

F(x)

1

0.05

0.05

2

0.10

0.15

3

0.15

0.30

4

0.20

0.50

5

0.10

0.60

6

0.10

0.70

7

0.15

0.85

8

0.10

0.95

9

0.05

1.00

Total

1.00

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

123456789

Qmx instntaneo *10 (m/s)

f(x)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0246810


F(x)

Cuando el nmero de observaciones se incrementa, el tamao de los intervalos decrece y se puede tener algo s

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

12345678910


f(x)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

051015


F(x)

Donde f(x) es la llamada funcin de densidad de probabilidades y tiene las siguientes caractersticas

i)

-

=

1

)

(

dx

x

f

ii)

=

b

a

dx

x

f

b

x

a

P

)

(

)

(

iii)

0

)

(

=

b

b

dx

x

f

Lo que implica que las probabilidades se definen solo como AREAS bajo la funcin de densidad de probabilidad (FDP) entre lmites finitos.

MOMENTOS DE LAS DISTRIBUCIONES

Las propiedades de las distribuciones pueden ser definidas completamente en trminos de los momentos. Los momentos en estadstica son similares a los momentos en fsica (rotacin respecto al origen)

-

=

dx

x

f

x

M

r

r

)

(

Para la variable continua

=

=

n

j

r

r

x

f

x

M

1

)

(

Para la variable discreta

O respecto a la media (eje de rotacin diferente al origen)

-

-

=

dx

x

f

x

M

r

r

)

(

)

(

m

Para la variable continua

=

-

=

n

j

r

r

x

f

x

M

1

)

(

)

(

m

Para la variable discreta

PARMETROS ESTADISTICOS

Los estadsticos extraen informacin de una muestra, indicando las caractersticas de la poblacin. Los principales estadsticos son los momentos de primer, segundo y tercer orden correspondiente a la media, varianza, y asimetra respectivamente.

Media (:

Es el valor esperado de la variable misma. Primer momento respecto al origen. Muestra la tendencia central de la distribucin

-

=

dx

x

f

x

)

(

m

el valor estimado de la media a partir de la muestra es

=

=

n

i

i

x

n

x

1

1

Varianza (:

Mide la variabilidad de los datos. Es el segundo momento respecto a la media.

-

-

=

dx

x

f

x

)

(

)

(

2

2

m

s

El valor estimado de la varianza a partir de la muestra es

=

-

-

=

n

i

i

x

x

n

S

1

2

2

)

(

1

1

en la cual el divisor es n-1 en lugar de n, es para asegurar que la estadstica de la muestra no sea sesgada, es decir, que no tenga tendencia, en promedio, a ser mayor o menor que el valor verdadero.

Las unidades de la varianza son la media al cuadrado, la desviacin estndar ( es una medida de la variabilidad que tiene las mismas dimensiones que la media y simplemente es la raz cuadrada de la varianza, se estima por S.

El significado de la desviacin estndar se ilustra en la siguiente figura

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0246810

x

f(x)

0.501.001.302.00

Efectos de la funcin de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviacin estndar.

Coeficiente de Variacin

Coeficiente de variacin

m

s

=

Cv

es una medida adimensional de la variabilidad su estimado es

x

S

Cv

=

Coeficiente de asimetra (

La distribucin de los valores de una distribucin alrededor de la media se mide por la asimetra. Se obtiene a partir del tercer momento alrededor de la media, dividindolo por el cubo de la desviacin estndar para que sea adimensional.

-

-

=

-

dx

x

f

x

x

E

)

(

)

(

]

)

[(

3

3

m

m

Tercer momento respecto a la media

]

)

`[(

1

3

3

m

s

g

-

=

x

E

Un estimativo del coeficiente de asimetra est dado por

3

1

3

*

)

2

)(

1

(

)

(

S

n

n

x

x

n

C

n

i

s

-

-

-

=

=

Ejemplo

Encontrar el valor medio de la precipitacin si se tiene

xi medioFrecuenciaFrecuencia x f(x)

Absoluta

Relativa

(fx)

100110105100.110.5

110120115160.1618.4

12013012590.0911.25

130140135100.113.5

140150145200.229

150160155150.1523.25

160170165200.233

Total =

100

= 138.9

Intervalo

(mm)

x

ANALISIS DE FRECUENCIA

El anlisis de frecuencia es una herramienta utilizada para, predecir el comportamiento futuro de una variable aleatoria (P,Q,T), por ejemplo, los caudales en un sitio de inters, a partir de la informacin histrica de caudales. Es un mtodo basado en procedimientos estadsticos que permite calcular la magnitud del caudal asociado a un perodo de retorno.

Su confiabilidad depende de la longitud y calidad de la serie histrica, adems de la incertidumbre propia de la distribucin de probabilidades seleccionada.

Cuando se pretende realizar extrapolaciones, perodo de retorno mayor que la longitud de la serie disponible, el error relativo asociado a la distribucin de probabilidades utilizada es ms importante, mientras que en interpolaciones la incertidumbre est asociada principalmente a la calidad de los datos a modelar; en ambos casos la incertidumbre es alta dependiendo de la cantidad de datos disponibles (Ashkar, et al. 1994).

La extrapolacin de frecuencias extremas en una distribucin emprica de crecientes es extremadamente riesgosa (Garcon, 1994).

Para determinar la magnitud de eventos extremos cuando la distribucin de probabilidades no es una funcin fcilmente invertible se requiere conocer la variacin de la variable respecto a la media. Chow en 1951 propuso determinar esta variacin a partir de un factor de frecuencia

T

K

que puede ser expresado:

s

m

T

T

K

X

+

=

y se puede estimar a partir de los datos

s

K

x

X

T

T

+

=

Para una distribucin dada, puede determinarse una relacin entre K y el perodo de retorno T.

Esta relacin puede expresarse en trminos matemticos o por medio del uso de una tabla.

El anlisis de frecuencia consiste en determinar los parmetros de las distribuciones de probabilidad y determinar con el factor de frecuencia la magnitud del evento para un perodo de retorno dado.

A continuacin se describen las principales distribuciones de probabilidad utilizadas en hidrologa, la forma de estimar sus parmetros, el factor de frecuencia y los lmites de confianza. Estos ltimos son indicadores de incertidumbre de las extrapolaciones.

Los Lmites de confianza, determinan el rango de valores de las variables, si el rango es grande la incertidumbre es alta y si es pequeo, habr ms confiabilidad en el valor estimado.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES CONTINUAS

DISTRIBUCION NORMAL

La distribucin normal es una distribucin simtrica en forma de campana, tambin conocida como Campana de Gauss. Aunque muchas veces no se ajusta a los datos hidrolgicos tiene amplia aplicacin por ejemplo a los datos transformados que siguen la distribucin normal.

Funcin de densidad:

La funcin de densidad est dada por

=

-

-

x

x

x

f

Y

Y

y

s

m

p

s

Lnx

y

=

Donde, (y : media de los logaritmos de la poblacin (parmetro escalar), estimado

y

(y : Desviacin estndar de los logaritmos de la poblacin, estimado

Y

S

.

Estimacin de parmetros:

=

=

n

i

i

x

n

y

1

)

ln(

1

2

1

2

1

)

)

(ln(

1

1

-

-

=

=

n

i

i

y

y

x

n

s

Factor de frecuencia:

Puede trabajarse en el campo original y en el campo transformado.

2. Campo transformado: Si se trabaja en el campo transformado se trabaja con la media y la desviacin estndar de los logaritmos, as:

Y

TR

kS

y

X

+

=

)

ln(

)

(

y

Ln

TR

e

X

=

De donde, con

k

variable normal estandarizada para el

R

T

dado,

y

media de los logaritmos y

Y

S

es la desviacin estndar de los logaritmos.

3. Campo original: Si se trabaja con los X sin transformar

T

K

se calcula como:

V

V

V

T

C

C

Ln

C

Ln

k

Exp

K

1

2

)

1

(

))

1

(

(

*

2

2

1

2

-

+

-

+

=

k

es la variable normal estandarizada para el

R

T

dado,

x

S

C

V

=

es el coeficiente de variacin,

x

media de los datos originales y

S

desviacin estndar de los datos originales.

Limites de confianza:

En el campo transformado.

T

Tr

S

t

X

Ln

)

1

(

)

(

a

-

2

1

2

2

1

)

(

+

=

=

T

y

E

K

n

S

S

d

d

En donde, n numero de datos,

S

es el error estndar,

T

K

variable normal estandarizada.

EJEMPLO: En un ro se tienen 30 aos de registros de Q mximos instantneos anuales con

x

=15 m3/s,

S

=5 m3/s (media y desviacin estndar para los datos originales).

Y

x

=2.655,

Y

S

=0.324 (media y desviacin estndar de los datos transformados). Encontrar el caudal para un periodo de retorno de 100 aos y los limites de confianza para un ( = 5%. Calcular la probabilidad de que un caudal de 42.5 m3/s no sea igualado o excedido P (Q( 42,5).

Solucin:

n = 30

x

= 15 m3/s

Y

x

=2.655

S

= 5 m3/s

Y

S

= 0.324

En el campo original

V

V

V

C

C

C

Ln

k

Exp

Kt

1

2

)

1

ln(

))

1

(

(

*

2

2

1

2

-

+

-

+

=

33

.

0

15

5

=

=

=

x

S

C

V

)

99

.

0

(

)

100

1

1

(

1

1

1

1

1

-

-

-

=

-

=

-

=

F

F

T

F

k

R

De la tabla de factores de Frecuencia de la distribucin Log-normal con una significacin

01

.

0

=

a

se obtiene

33

.

2

=

k

33

.

0

1

2

)

33

.

0

1

ln(

))

33

.

0

1

(

(

*

33

.

2

2

2

1

2

-

+

-

+

=

Ln

Exp

K

T

KT = 3.056

s

m

Q

/

_

30

.

30

056

.

3

*

5

15

3

100

=

+

=

s

m

Q

/

_

30

.

30

3

100

=

En el campo transformado se tiene que:

324

.

*

33

.

2

655

.

2

)

ln(

100

+

=

+

=

Y

TR

kS

X

Q

40992

.

3

100

)

(

Exp

Q

=

s

m

Q

/

_

26

.

30

)

(

3

100

=

Limites de confianza

E

TR

S

t

Q

Ln

)

1

(

)

(

a

-

2

1

2

2

1

_____

)

(

+

=

=

k

n

S

S

y

E

d

d

2

1

2

2

33

.

2

1

+

=

d

93

.

1

=

d

11

.

0

30

324

.

0

93

.

1

=

=

E

S

65

.

1

95

.

0

)

1

(

=

=

-

t

t

a

Ledo en una tabla de Probabilidad acumulada de la Distribucin Normal Estndar.

)

11

.

0

(

65

.

1

41

.

3

)

11

.

0

(

65

.

1

)

28

.

30

(

=

Ln

EMBED Equation.3

1815

.

0

41

.

3

[3.2285 3.5915]

[e3.2285 e3.5915]

[25.24 36.29]Intervalos de confianza para

100

TR

Q

b) Calcular la probabilidad de 42.5 m3/s no se igualado o excedido P(Q( 42.5).

749

.

3

)

5

.

42

(

=

Ln

378

.

3

324

.

0

)

655

.

2

749

.

3

(

=

-

=

=

z

t

F(3.378) = 0.9996 Ledo de la tabla de la normal

P(Q( 42.5) = 99.9%

DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMO TIPO I

Una familia importante de distribuciones usadas en el anlisis de frecuencia hidrolgico es la distribucin general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada para representar el comportamiento de crecientes y sequas (mximos y mnimos).

Funcin de densidad:

-

-

-

-

-

=

a

b

a

b

a

)

(

exp

)

(

exp

1

)

(

x

x

x

f

En donde ( y ( son los parmetros de la distribucin.

-

-

-

=

=

a

b

)

(

exp

exp

)

(

)

(

x

dx

x

f

x

F

Estimacin de parmetros

a

b

p

a

5772

.

0

6

-

=

=

x

S

Donde

S

y

x

son la media y la desviacin estndar estimadas con la muestra.


-

+

-

=

1

ln

ln

5772

.

0

6

R

R

T

T

T

K

p

Donde

R

T

es el periodo de retorno. Para la distribucin Gumbel se tiene que el caudal para un perodo de retorno de 2.33 aos es igual a la media de los caudales mximos.

Limites de confianza

E

Tr

S

t

X

)

1

(

a

-

n

S

S

E

=

d

2

1

2

]

1

.

1

1396

.

1

1

[

T

T

K

K

+

+

=

d

KT es el factor de frecuencia y

)

1

(

a

-

t

es la variable normal estandarizada para una probabilidad de no excedencia de 1-(.

EJEMPLO: Para el ejemplo anterior encontrar el Q de 100 aos de periodo de retorno y los intervalos de confianza. x= 15 m3/s, s = 5 m3/s

S

K

X

Q

T

TR

+

=

100

{

}

)]

99

ln(

100

ln[ln

577

.

0

6

-

+

-

=

p

T

K

14

.

3

=

T

K

s

m

Q

TR

/

_

7

.

30

5

*

14

.

3

15

3

100

=

+

=

Intervalos de confianza

65

.

1

95

.

0

)

1

(

=

=

-

t

t

a

Ledo en una tabla de Probabilidad acumulada de la Distribucin Normal Estndar.

d

=

+

+

[

.

(

.

)

.

(

.

)

]

1

1

1396

3

14

1

1

3

14

2

1

2

93

.

3

=

d

s

m

S

S

E

E

/

58

.

3

30

)

5

(

)

93

.

3

(

3

=

=

E

Tr

S

t

X

)

1

(

a

-

(

)

58

.

3

64

.

1

7

.

30

[24.83 m3/s 36.58 m3/s]Intervalo de confianza para

100

TR

Q

DISTRIBUCION GAMA DE TRES PARAMETROS O PEARSON TIPO 3

Esta distribucin ha sido una de las ms utilizadas en hidrologa. Como la mayora de las variables hidrolgicas son sesgadas, la funcin Gamma se utiliza para ajustar la distribucin de frecuencia de variables tales como crecientes mximas anuales, Caudales mnimos, Volmenes de flujo anuales y estacionales, valores de precipitaciones extremas y volmenes de lluvia de corta duracin. La funcin de distribucin Gamma tiene dos o tres parmetros.

Funcin de densidad:

(

)

-

-

-

G

=

-

a

a

b

a

b

0

1

0

exp

1

)

(

x

x

x

x

x

f

donde,

x0 ( x ( ( para ( ( 0

( ( x ( x0 para ( ( 0

( y ( son los parmetros de escala y forma, respectivamente , y x0 es el parmetro de localizacin.


b

a

a

b

;

2

;

2

0

2

-

=

=

=

x

x

Cs

s

Cs

S

C

es el coeficiente de asimetra,

S

y

x

son la media y la desviacin estndar de la muestra respectivamente.

3

1

3

*

)

2

)(

1

(

)

(

S

n

n

x

x

n

C

n

i

s

-

-

-

=

=


5

4

3

2

2

3

2

6

3

1

6

6

)

1

(

6

)

6

(

3

1

6

)

1

(

+

+

-

-

-

+

-

+

S

S

S

S

S

T

C

C

z

C

z

C

z

z

C

z

z

K

El valor de

z

para un periodo de retorno dado puede calcularse siguiendo el procedimiento de la Distribucin normal.

Este valor de

T

K

se encuentra tabulado de acuerdo al valor de

S

C

calculado con la muestra.

Intervalos de confianza:

E

Tr

S

t

X

)

1

(

a

-

n

S

S

E

=

d

Donde S es la desviacin estndar de la muestra, n es el nmero de datos y ( se encuentra tabulado en funcin del

R

S

T

y

C

_

_

EJEMPLO: Se tiene una estacin con 30 aos de registros de caudales mximos instantneos con Media de 4144 pie3/s y desviacin estndar de 3311 pie3/s. Si el coeficiente de asimetra de los caudales es de 1.981 pie3/s cual es caudal para un periodo de retorno de 100 aos y su intervalo de confianza.

SK

Q

Q

TR

+

=

100

K es F(1.981, 100) de tablas se obtiene K=3.595(1.9,100) = 3.553 (2.0,100) = 3.605

(

)

(

)

s

pie

Q

TR

/

_

16050

3311

595

.

3

4144

3

100

=

+

=

Intervalos de confianza

E

Tr

S

t

X

)

1

(

a

-

n

S

S

E

=

d

( = F(1.981,100) de tablas se obtiene ( =8.4922(1.9,100) = 8.2196

(2.0,100) = 8.5562

Se

=

(

)

(

.

)

3311

8

4922

30

Se = 5133.56 pie3/s

t(1-() = t(0.95) = 1.645 (Ledo de la tabla de la normal)

16050 ( (5133.56) (1.645)

[7605.29 pie3/s 24494.71pie3/s]Intervalos de confianza para QTr100

DISTRIBUCION LOG GAMMA O LOGPEARSON DE 3 PARAMETROS

Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se ajustan a una distribucin Pearson tipo III, se dice que la variable aleatoria X se ajusta a una distribucin Log Pearson Tipo III. Esta distribucin es ampliamente usada en el mundo para el anlisis de frecuencia de Caudales mximos. Esta se trabaja igual que para la Pearson Tipo III pero con Xy y Sy como la media y desviacin estndar de los logaritmos de la variable original X.

Funcin de densidad:

(

)

-

-

-

G

=

-

a

a

b

a

b

0

1

0

)

ln(

exp

)

ln(

1

)

(

y

x

y

x

x

x

f

Donde,

y0 ( y ( ( para ( ( 0

( ( y ( y0 para ( ( 0

( y ( son los parmetros de escala y forma, respectivamente , y y0 es el parmetro de localizacin.


b

a

a

b

;

2

;

2

0

2

-

=

=

=

y

y

x

x

Cs

s

Cs

S

C

es el coeficiente de asimetra, ,

y

y

s

y

x

son la media y la desviacin estndar de los logaritmos de la muestra respectivamente.


y

y

Tr

S

K

x

Y

Ln

*

+

=

)

(

5

4

3

2

2

3

2

6

3

1

6

6

)

1

(

6

)

6

(

3

1

6

)

1

(

+

+

-

-

-

+

-

+

S

S

S

S

S

T

C

C

z

C

z

C

z

z

C

z

z

K

Donde z es la variable normal estandarizada

Este valor de K se encuentra tabulado de acuerdo al valor de

S

C

calculado con la muestra.

Intervalos de confianza:

E

Tr

S

t

X

)

1

(

a

-

Se

S

n

y

=

d

Donde

Y

S

es la desviacin estndar de los logaritmos de la muestra, n es el nmero de datos y ( se encuentra tabulado en funcin de

R

S

T

y

C

_

_

.

Tambin puede calcularse como:

a

ab

K

K

K

T

T

U

T

-

+

=

2

,

a

a

ab

K

K

K

T

T

l

T

-

-

=

2

,

*

a

(

)

1

2

1

2

-

-

=

n

z

a

a

n

z

K

b

T

2

2

a

-

=

Donde

(

)

a

a

-

=

1

t

z

U

T

TR

SK

Q

Q

a

,

+

=

L

T

TR

SK

Q

Q

a

,

+

=

HIDROLOGIA 2013

_1172390230.unknown

_1172478382.unknown

_1172479889.unknown

_1172482429.unknown

_1410716350.unknown

FrecuenciaIntervalo xi medioFrecuenciaFrecuencia x f(x)(mm)AbsolutaRelativa (fx)100110105100.110.5110120115160.1618.412013012590.0911.25130140135100.113.5140150145200.229150160155150.1523.25160170165200.233Total =100 = 138.9

Hoja2

Hoja3

x

_1431447567.unknown

_1410716382.unknown

_1410716408.unknown

_1172482731.unknown

_1266731504.unknown

_1266732653.unknown

_1172482851.unknown

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_1172482511.unknown

_1172482569.unknown

_1172482441.unknown

_1172480130.unknown

_1172481318.unknown

_1172481470.unknown

_1172482382.unknown

_1172482413.unknown

_1172482326.unknown

_1172481414.unknown

_1172480284.unknown

_1172480067.unknown

_1172478924.unknown

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_1172479442.unknown

_1172479457.unknown

_1172479777.unknown

_1172479362.unknown

_1172479165.unknown

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_1172478870.unknown

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_1172477994.unknown

_1172478112.unknown

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_1172392844.unknown

_1172393105.unknown

_1172393246.unknown

_1172477972.unknown

_1172393190.unknown

_1172392869.unknown

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_1172392453.unknown

_1172392823.unknown

_1172391837.unknown

_1172391371.unknown

_1172391732.unknown

_1172391746.unknown

_1172391515.unknown

_1172391549.unknown

_1172391506.unknown

_1172390278.unknown

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_1172390676.unknown

_1172390827.unknown

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_1172340539.unknown

_1172389748.unknown

_1172389855.unknown

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_1172387557.unknown

_1172389422.unknown

_1172389711.unknown

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_1172389742.unknown

_1172389664.unknown

_1172389332.unknown

_1172389353.unknown

_1172388376.unknown

_1172388389.unknown

_1172341044.unknown

_1172386589.unknown

_1172386733.unknown

_1172342057.unknown

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_1172341212.unknown

_1172340721.unknown

_1172340988.unknown

_1172340637.unknown

_1064065502.unknown

_1064083971.unknown

_1064086210.unknown

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_1081867790.unknown

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_1064088128.unknown

_1064088980.unknown

_1081867635.unknown

_1064088840.unknown

_1064088127.unknown

_1064086367.unknown

_1064086859.unknown

_1064086249.unknown

_1064084431.unknown

_1064084676.unknown

_1064084553.unknown

_1064084330.unknown

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_1064083070.unknown

_1064081547.unknown

_1064079392.unknown

_1064080119.unknown

_1064065737.unknown

_1064065029.unknown

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_1064065443.unknown

_1064065081.unknown

_1064065276.unknown

_1064064720.unknown

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_390184675.unknown

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Documents

Distribuciones de Probabilidad2013