View
1.113
Download
21
Embed Size (px)
Citation preview
VARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANGDISTRIBUSI PELUANG
Dr. Auditya Purwandini Sutarto
VariabelRandom
• Tipe Variabel
DistribusiProbabilitas
• Distribusi• Tipe VariabelRandom
• DistribusiDiskrit
• DistribusiKontinu
Topik
1. KonsepVariabel Random
2. Distribusi Probabilitas untuk VariabelRandom Diskrit
– Distribusi Binomial– Distribusi Binomial
– Distribusi Poisson
– Distribusi Hipergeometrik
3. Distribusi Probabilitas untuk VariabelRandom Kontinu
– Distribusi Normal
Topik
7. Metode Deskriptif untuk MenilaiNormalitas
8. Mengakprosimasi Distribusi Binomial dengan Distribusi Normaldengan Distribusi Normal
9. Distribusi Uniform dan Eksponensial
Tujuan Pembelajaran
1. Memahami definisi dan konsep variabel random
2. Mampu membedakan nilai pengamatan termasukvariabel random diskrit atau kontinu
3. Memahami beberapa distribusi probabilitas3. Memahami beberapa distribusi probabilitasvariabel random diskrit dan kontinu
KONSEP VARIABEL KONSEP VARIABEL RANDOM
Variabel Random
• Variabel random (acak) adalah suatu fungsi bernilai numerik yang didefinisikan untuk seluruh ruang sampel.
• Contoh: ruang sampel untuk kemungkinan hasil jika 3 spesimen diuji S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC}, Bbaik & C cacat
• Umumnya minat pada banyaknya cacat yang terjadiyang dapat bernilai 0, 1, 2, atau 3. Nilai ini kuantitas random yang ditentukan oleh hasil eksperimen.
• Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai variabel random, X, yaitu banyaknya item spesimen yang cacat dalam pengujian.
• Penggunaan huruf besar, misal X, untuk menyatakan suatu variabel random dan huruf kecil x untuk nilai-nilainya. Dalam ilustrasi diatas, variabel random Xmengasumsikan nilai 2 untuk semua elemen dalam subset
Variabel Random
subset
E = {CCB, CBC, BCC}
• dari ruang sampel S (mengandung Cacat sebanyak dua buah). Setiap kemungkinan nilai X merepresentasikan suatu kejadian yang merupakan suatu subset dari ruang sampel untuk suatu eksperimen yang diberikan.
Variabel Random
Variabel random dapat dibedakan menjadi dua
VariabelRandom Diskrit
VariabelRandom Kontinu
Variabel Random Diskrit
Variabel random yang hanya mempunyai nilai pada titiktertentu atau nilai yang dapat dibilang baik terbatas(finite) maupun tidak terbatas (infinite)
Percobaan Variabel RandomNilai yang Mungkin
Percobaan Variabel RandomNilai yang Mungkin
Terjadi
Menginspeksi 70 produk Banyaknya cacat 0, 1, 2, ... , 70
Menjawab 30 pertanyaan Banyaknya jawaban yang
benar
0, 1, 2, ..., 30
Perhitungan banyak mobil
masuk tol pukul 9.00 – 12.00
Banyaknya mobil 0, 1, 2, ... , ∞
Variabel Random Kontinu
Variabel random yang dapat mempunyai nilai-nilai yang berhubungan dengan setiap titik dalam satu atau lebihinterval (range) dimana nilai-nilai tersebut tidak terbatas(infinite) dan tidak dapat dibilang (uncountable)
Percobaan Variabel RandomNilai yang Mungkin
Terjadi
Mengukur Berat 100 orang Berat 44.5, 67, 78, …
Mengukur usia hidup suatu
part
Jam 503.9, 775, …
Mengukur Waktu antara
kedatangan pesawat
Inter-arrival Time 0, 1.3, 2.78, …
DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM DISKRIT
Distribusi Probabilitas Diskrit
Distribusi probabilitas suatu variabel random diskrit adalah suatu tabel, grafik, atau formula yang menyatakan probabilitas yang dihubungkan dengan setiap kemungkinan nilai x.
Syarat-Syarat untuk Suatu Distribusi Probabilitas Diskrit x
1. p(x) ≥ 0 untuk semua nilai x
. p(x) = 1 untuk semua nilai x
Distribusi probabilitas diskrit dalam literatur asing sering disebut dengan pmf(probability mass function) atau fungsi massa peluang
Contoh Distribusi ProbabilitasDiskrit
Distribusi Probabilitas
Nilai, Probabilitas, ( )
Percobaan: Melempar dua koin. Menghitungbanyaknya kemunculan ekor (tail).
Nilai, x Probabilitas, p(x)
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
© 1984-1994 T/Maker Co.
Visualisasi DistribusiProbabilitas Diskrit
Mendaftar Tabel
# Tailsf(x)
Countp(x)
0 1 .251 2 .50
Grafik
{ (0, .25), (1, .50), (2, .25) }
# = Banyaknya
Formula
1 2 .502 1 .25
p xn
x!(n – x)!( )
!= px(1 – p)n – x
Grafik
.00
.25
.50
0 1 2x
p(x)
Ringkasan Ukuran padaDistribusi Probabilitas Diskrit
1. Nilai Harapan (Rataan/Mean Distribusi Probabilitas)
• Rata-rata tertimbang untuk semua nilai yang mungkin
• m = E(x) = x p(x)• m = E(x) = x p(x)
2. Variansi
• Rata-rata tertimbang dari deviasi kuadrat di sekitarrataan
• s2 = E[(x m) = (x m) p(x)
3. Standard Deviation
2s s=●
Nilai Harapan & Variansi
0 .25 –1.00 1.000
x p(x) x p(x) x – m (x – m) (x – m) p(x)
.250 .25 –1.00 1.00
1 .50 0 0
2 .25 1.00 1.00
0
.50
.50
m = 1.0
.25
0
.25
s = .50
s = .71
Contoh
• Pengiriman 20 tipe laptop yang sama ke satu toko ritel tertentu berisikan 3 buah produk cacat. Jika suatu sekolah membeli 2 laptop dari toko ini, carikah distribusi probabilitas untuk banyaknya laptop yang cacat.cacat.
• Misalkan X adalah variabel random yang nilai-nilai x-nya merupakan kemungkinan banyaknya laptop cacat yang dibeli sekolah tersebut. Nilai x yang mungkin adalah 0, 1, dan 2.
) )95
68
2
20
2
17
0
3
00 =
=== XPf ) )190
51
2
20
1
17
1
3
11 =
=== XPf
) )190
3
2
20
0
17
2
3
22 =
=== XPf
• Distribusi Probabilitas X diberikan sebagai berikut:
x 0 1 2
f(x)95
68
190
51190
3
Distribusi Kumulatif Diskrit
• Berapa probabilitas nilai pengamatan suatu variabel random X kurang dari atau sama dengan beberapa bilangan riil x. F(x) = P(X ≤ x) untuk setiap bilangan x, F(x) dapat didefinisikan sebagai fungsi distribusi kumulatif variabel random X. distribusi kumulatif variabel random X.
• Distribusi kumulatif F(x) dari variable random diskrit X dengan distribusi peluang f(x) adalah:
untuk - ∞ < x < ∞ ) ) )
==xt
tfxXPxF
Contoh
• Seorang penjaga penyimpanan barang mengembalikan tiga helm yang telah diberi nama pemilik pada tiga karyawan secara acak. Jika Smith (S), Jones(J), dan Brown(B), menerima satu dari tiga topi, daftarlah ruang sampel untuk berbagai kemungkinan urutan helm yang sampel untuk berbagai kemungkinan urutan helm yang dikembalikan.
• Carilah ruang sampel dan nilai m untuk variabel random M yang menyatakan kesesuaian dengan pemiliknya.
• Buatlah tabel distribusi peluangnya.
• Carilah distribusi probabilitas kumulatifnya
a. Ruang sampel untuk semua pengaturan yang mungkin dan banyaknya kesesuaian helm dengan pemiliknya adalah sebagai berikut
Ruang Sampel m
SJB 3
SBJ 1
JSB 1
b. Tabel Distribusi peluangnya adalah sebagai berikut
JBS 0
BSJ 0
BJS 1
m 0 1 3
P (M = m)3
1
2
1
6
1
c. Untuk mencari distribusi probabilitas kumulatifnya, terlebih dahulu hitung,
selanjutnya ) ) ) )
6
5
2
1
3
11022 ==== ffMPF
)
=
31untuk 5
10untuk 3
1
0untuk 0
m
m
m
mF
3untuk 1
31untuk 6
5
m
m
Latihan Soal
Dalam pelemparan dua
koin, kita tertarik
menghitung banyaknya ekor
(tails). Berapakah nilai
harapan, variansi, dan
deviasi standar dari
variabel random X, yaitu
banyaknya ekor?© 1984-1994 T/Maker Co.
DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM KONTINU
Distribusi Probabilitas Kontinu
• Suatu variabel random kontinu X memiliki tiga sifat berikut
1. X merupakan bilangan yang bernilai tidak terhingga tidak terhitung (uncountably infinite number of
tidak terhitung (uncountably infinite number of values) dalam interval (-,)
2. Fungsi distribusi kumulatif, F(x), kontinu.
3. Probabilitas X sama dengan sembarang nilai yang khusus adalah 0
• Karena probabilitas variabel random kontinu sama dengan suatu sembarang nilai sama dengan nol. Jika Xadalah variabel random kontinu, maka
• Dan dapat dihitung sebagai berikut
) ) ) )bXaPbXPbXaPbXaP ===
) )=b
dxxfbXaP
• Tidak masalah apakah titik akhir suatu selang diikutkan atau tidak. Hal ini berbeda dengan variabel random diskrit. Distribusi variabel random kontinu dapat dinyatakan dalam bentuk formula
) )=a
dxxfbXaP
Definisi
• Fungsi f(x) adalah fungsi densitas probabilitas untuk
variabel random kontinu X, didefinisikan pada bilang
real , jika
) xxf semuauntuk ,01. .
2. .
3. .
) ,1
=dxxf
) =b
a
xfbXaP )(
) xxf semuauntuk ,0
Contoh
• Kesalahan pengukuran temperatur dinyatakan dengan variabel random X dengan fungsi densitas yang didefinisikan sebagai berikut
)
21 2
xx
1. Periksa syarat 2 dari definisi 4.3. diatas
2. Hitunglah
)
=
lain yang untuk 0
21 3
x
xx
xf
)10 XP
• Jawab
1. .
2. .
) 19
1
9
8
3
2
1
2
===
xdxxf
) 110
12
== x
XP2. . )9
1
310
1
0==
xXP
Distribusi Kumulatif Kontinu
• Distribusi kumulatif F(x) dari variabel random kontinu X dengan fungsi densitas peluang f(x) adalah
) ) ) ,untuk
==x
xdttfxXPxF
• Sebagai akibat dari definisi diatas dapat dituliskan
• Dan jika turunannya ada
) ) ) aFbFbxaP =
) )dx
xdFxf =
Contoh
• Dari contoh sebelumnya tentukan F(x) kemudian gunakan untuk menghitung
• Jawab
Untuk -1 < x < 2
sehingga
)10 XP
) )9
1
3
32 ===
xdt
tdttfxF
xx
1 0 xsehingga
Untuk menghitung
)
=
2 1
21 9
1
1 03
x
xx
x
xF
) ) )9
1
9
1
9
20110 === FFXP
)10 XP
DISTRIBUSI GABUNGAN
Distribusi Gabungan VariabelRandom Diskrit
• Jika X dan Y dua variabel random diskrit, maka distribusi peluang untuk kejadian simultan dapat direpresentasikan dengan fungsi f (x,y) untuk setiap pasangan (x,y). Fungsi ini disebut dengan distribusi peluang gabungan dari variabel random X dan Y. Untuk kasus diskrit dituliskan:
) )yYxXPyxf === ,,
Definisi
• Fungsi f (x, y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang dari dua variabel random diskrit X dan Y jika
1. . untuk semua (x, y) ) 0, yxf
2. .
3. .
Untuk daerah sembarang A dalam bidang xy,
) =y x
yxf 1,
) )yxfyYxXP ,, ===
) )=y x
yxfAyxP ,,
Contoh
• Dua isi ulang bolpoin diambil dari kotak yang berisi 3 warna biru, 2 warna merah, dan 3 warna hijau. Jika X menyatakan banyaknya warna biru yang terpilih dan Y banyaknya warna merah terpilih, tentukan
1. Fungsi peluang gabungan f(x, y)
2. dimana A adalah daerah ) 1|, yxyx ) AYXP ,
Jawab
Nilai pasangan yang mungkin dari (x, y) adalah (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), dan (0, 2).
1. Misalkan f (0,1) menggambarkan probabilitas sebuah bolpoin hijau, dan merah yang terpilih. Banyaknya semua kemungkinan memilih 2 dari total 8 bolpoin adalah
Banyaknya cara memilih 1 merah dari 2 bolpoin merah dan 1 hijau dari 3 bolpoin hijau .
Oleh karena itu
282
8=
61
3
1
2=
) 1432861,0 ==f
• Perhitungan yang sama untuk pasangan hasil lain yang mungkin dapat dilihat dalam tabel berikut
x Total
baris0 1 2
0
1
)yxf ,
28
9
28
3
14
5
28
15
28
3
• .
y1
0
20 0
Total Kolom128
15
14
314
3
7
3
28
1
28
1
28
3
14
5
• Jika dinyatakan dalam bentuk formula, distribusi probabilitas gabungan dalam tabel tadi adalah sebagai berikut
Untuk x = 0, 1, 2; y = 0, 1, 2; dan 0 ≤ x + y ≤ 2
)
=8
2
3
2
23
yxxf
dan 0 ≤ x + y ≤ 2
2. Probabilitas (X, Y) berada dalam daerah A adalah
2
) ) ) ) )
14
9
28
9
14
3
28
3
0,11,00,01,
==
== fffYXPAYXP
LATIHAN SOAL
• Misalkan W adalah suatu variabel random yang menyatakan banyaknya kepala (K) dikurangibanyaknya ekor (E) dalam 3 kali pelemparan suatukoin. Daftarlah elemen-elemen dalam ruang sampel S untuk ketiga pelemparan tersebut. Untuk setiap titiksampel, berikan nilai w yang bersesuaiansampel, berikan nilai w yang bersesuaian
• Banyaknya jam (diukur dalam unit per 100 jam) suatuvacum cleaner digunakan dalam suatu RT selama 1 tahun merupakan variabel random kontinu X yang memiliki fungsi densitas peluang
)
=
lain yanguntuk 0
21 2
10
xx
xx
xf
Temukan probabilitas dalam 1 tahun, keluargatersebut menggunakan vacum cleaner mereka
a. Kurang dari 120 jam
b. Antara 50 – 100 jam.
lain yanguntuk 0
• Suatu pengiriman 7 set televisi terdapat 2 produkcacat. Suatu hotel membeli secara acak 3 set televisi. Jika x menyatakan banyaknya produk cacat yang dibeli pihak hotel, tentukan distribusi probabilitas Xdan gambarkan dalam bentuk histogram
• Distribusi probabilitas X, yang menyatakan banyakcacat per 10 meter dari suatu kain sintetis adalahcacat per 10 meter dari suatu kain sintetis adalahsebagai berikut
Buatlah distribusi kumulatif X
x 0 1 2 3 4
f(x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01
DISTRIBUSI BINOMIALDISTRIBUSI BINOMIAL
Distribusi Binomial
Banyaknya ‘sukses’ dalam suatu sampel daripengamatan (trial) sebanyak n
• Banyaknya item yang cacat dalam suatu batch
berisikan 5 itemberisikan 5 item
• Banyaknya jawaban yang benar dari 30
pertanyaan saat ujia
• Banyaknya pelanggan yang berbelanja dari 100
pelanggan yang masuk toko (tiap pelanggan
memiliki kesempatan sama untuk membeli)
Karakteristik Variabel Random Binomial
1. Eksperimen terdiri dari percobaan Bernoulli sebanyak n yang identik Hanya ada dua kemungkinan hasil pada setiap percobaan, yaitu S (untuk sukses) dan F(untuk gagal)(untuk gagal)
2. P(S) = p and P(F) = q tetap sama dari satu percobaan ke percobaan lain (Perhatikan bahwa p + q =1)
3. Percobaan-percobaan tersebut adalah independen4. Variabel random binomial x adalah banyaknya S
dalam n kali percobaan
Fungsi Distribusi ProbabilitasBinomial
!( ) (1 )
! ( )!x n x x n xn n
p x p q p px x n x
= =
p = probabilitas terjadinya sukses dalam percobaan tunggal tunggal
q = 1- p
n = banyaknya percobaan
x = banyaknya sukses dalam n kali percobaan
n – x = banyaknya gagal dalam n kali percobaan
Contoh Distribusi ProbabilitasBinomial
Percobaan: Melemparkan 1 koin sebanyak 5 kali. Catatbanyaknya kemunculan ekor. Berapakah probabilitasmuncul 3 ekor dari 5 pelemparan tersebut?
3 5 3
!( ) (1 )
!( )!
5!(3) .5 (1 .5)
3!(5 3)!
.3125
x n xnp x p p
x n x
p
=
=
=
© 1984-1994 T/Maker Co.
Tabel Probabilitas Binomial (contoh)
n = 5 p
k .01 … 0.50 … .99
0 .951 … .031 … .000
1 .999 … .188 … .0001 .999 … .188 … .000
2 1.000 … .500 … .000
3 1.000 … .812 … .001
4 1.000 … .969 … .049
Probabilitas Kumulatif
p(x ≤ 3) – p(x ≤ 2) = .812 – .500 = .312
Rataan & Variansi VariabelRandom Binomial
.0
.5
1.0
X
P(X)
n = 5 p = 0.1
Rataan
np=m
.0
0 1 2 3 4 5
X
.0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
n = 5 p = 0.5
Variansi
npq=2s
Contoh Soal
Diasumsikan seorang telemarketer pada suatu hari berhasil menjual 20 dari 100 panggilan (p = .20). Jika iamenelepon 12 orang hari ini, berapakah probabilitasberapakah probabilitas
A. Tidak ada penjualan?
B. Tepat 2 penjualan?
C. Paling banyak 2 penjualan?
D. Minimum 2 penjualan?
Jawab
n = 12, p = .20
A. p(0) = .0687
B. p(2) = .2835
C. p(paling banyak 2) = p(0) + p(1) + p(2)= .0687 + .2062 + .2835= .0687 + .2062 + .2835= .5584
D. p(paling tidak 2) = p(2) + p(3)...+ p(12)= 1 – [p(0) + p(1)] = 1 – .0687 – .2062= .7251
Penjumlahan Binomial (Binomial Sums)
• Terkadang kita perlu memecahkan masalahuntuk menemukan P ( x< r) atau P (a ≤ X ≤ b)
) )=r
pnxbpnrB ,;,;
Nilai tersebut dapat diperoleh melalui tabel untuk n= 1,2, …, 20 dan p = 0,1 – 0,9
) )=
=x
pnxbpnrB0
,;,;
Contoh Soal
• Probabilitas seorang pasien sembuh dari penyakitdarah langka adalah 0,4. Jika 15 orang diketahuiterkena penyakit ini, maka berapa probabilitas
- Paling sedikit 10 orang mampu bertahan- Paling sedikit 10 orang mampu bertahan
- Antara 3-8 orang survive
- Tepat 5 orang survive?
Tabel Binomial (Lampiran A1 Walpole, 2013)
Jawab
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRI
Karakteristik Variabel Random Hipergeometri
1. Percobaan terdiri dari penarikan n elemen secara random tanpa pengembalian dari suatu set elemen sebanyak N. Dari percobaan tersebut dapat dinyatakan r yang merupakan S (untuk sukses) dan (-dinyatakan r yang merupakan S (untuk sukses) dan (-r) yang merupakan F (untuk gagal)
2. Ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan banyaknya elemen N dalam populasi, yaitu n / N > 0,05
3. Variabel random hipergeometrik, X adalah banyaknya S yang terambil dalam n elemen.
Distribusi ProbabilitasHipergeometrik
,),,;(
=
n
N
xn
kN
n
k
knNxhnx ,,2,1,0 =
N = total banyaknya elemen
k = banyaknya sukses dalam N elemen
n = banyaknya elemen yang diambil
x = banyaknya sukses yang terambil dari n elemen
n
Rataan & Variansi Variabel Random Hipergeometrik
Rataan
N
nr=m
Variansi
N
) ) )12
2
=
NN
nNnrNrs
Contoh Soal
• Setiap lot sebanyak 40 komponen dikatakan tidak lolos jika ditemukan produk cacat sebanyak 3 atau lebih. Suatu rencana sampling dilakukan dengan memilih 5 komponen secara dilakukan dengan memilih 5 komponen secara acak dan menolak lot tersebut jika 1 produk cacat ditemukan. Berapakah peluang tepat 1 cacat ditemukan dalam sampel jika terdapat 3 produk cacat di keseluruhan lot?
Jawab
• Dengan menggunakan distribusi hipergeometri dengan n = 5, N = 40, k = 3, dan x = 1, peluang menemukan tepat 1 cacat adalah
373
• Rencana sampling tersebut tidak begitu bagus karena peluang lot dinyatakan jelek cukup besar yaitu 30%
) 3011.0
5
40
4
37
1
3
3,5,40;1 =
=h
DISTRIBUSI POISSONDISTRIBUSI POISSON
Distribusi Poisson
1. Banyaknya kejadian yang terjadi dalaminterval /selang• kejadian per unit
— Waktu, panjang, area
2. Contoh• Banyaknya pelanggan yang datang dalam 20
menit
• Banyaknya gol dalam suatu liga sepakbola per tahun.
• Banyaknya mesin pabrik yang rusak dalamsatu hari
Karakteristik VariabelRandom Poisson
1. Percobaan terdiri dari menghitung banyaknya sukses yang terjadi dari suatu kejadian khusus yang terjadi selama suatu unit waktu tertentu, atau dalam suatu area atau volume tertentu (atau berat, jarak, atau sembarang unit pengukuran)
2. Probabilitas bahwa suatu kejadian terjadi dalam suatu unit pengukuran tertentu adalah sama untuk seluruh unit
3. Banyaknya kejadian yang terjadi dalam satu unit pengukuran independen terhadap banyaknya kejadian yang terjadi dalam unit-unit lain.
4. Rataan (atau harapan) banyaknya kejadian dalam suatu unit akan dinotasikan dengan huruf Yunani,
Fungsi Distribusi ProbabilitasPoisson
)...) ,2 ,1 ,0(
!);( ==
xx
tetxp
xt
λt = rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi per satuan waktu atau daerah
x = banyaknya kejadian per unit
e = 2.71828 . . .
Rataan & Variansi VariabelRandom Poisson
.0
.2
.4
.6
.8
X
P(X)
= 0.5
Rataan
tm = .0
0 1 2 3 4 5
X
.0
.1
.2
.3
0 2 4 6 8 10
X
P(X)
= 6Variansi
tm =
ts =2
Contoh Distribusi Poisson
• Dalam sebuah eksperimen di laboratorium nuklir,rata-rata jumlah partikel radioaktif yang melewatisebuah pencacah (counter ) adalah 5 tiap milidetik.Tentukan peluang 8 partikel akan lewat dalam selangwaktu 1 milidetik.waktu 1 milidetik.
Jawab
• Dalam kasus ini λt =5 dan x = 8, dengan menggunakan tabel distribusi Poisson diperoleh
) ) ) 0653.08666.09319.05;5;!8
5)5;8(
7
0
8
0
85
==== ==
xx
xpxpe
p
Soal
Seorang karyawan administrasibertugas memasukkan 75 kataper menit dengan 6 error/kesalahan per jam. Berapakah probabilitas iaBerapakah probabilitas iamembuat 0 kesalahan dalam255 transaksi kata yang dibuat?
Jawab: (Menentukan * terlebih dahulu)
• 75 kata/menit = (75 kata/menit) =
= 4500 kata/jam
• 6 errors/jam= 6 errors/4500 kata• 6 errors/jam= 6 errors/4500 kata
= .00133 error/kata
• Dalam 255-transaksi kata (interval):
= (.00133 error/kata)(255 kata)
= .34 error/255-transaksi kata
Jawab: Menentukan p(0)
-
( )!
x ep x
x
=
)0 -.34
!
.34(0) .7118
0!
x
ep = =
DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM KONTINU
DISTRIBUSI UNIFORM
• Salah satu distribusi kontinu yang cukup sederhana adalah distribusi uniform. Fungsi densitas distribusi dicirikan oleh bentuknya yang datar (flat) dan seragam dalam interval tertutup, misalkan [a, b]. Fungsi densitas peluang dari variabel random uniform Fungsi densitas peluang dari variabel random uniform X pada selang [a, b] adalah
=
lain yang 0
jika 1
)(
bxaabxf
Fungsi densitas peluang suatu variabel random uniform dalam interval [a, b]
Contoh
• Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam. Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan waktu rapat, yang berdistribusi menyatakan waktu rapat, yang berdistribusi seragam.
• Tentukan fungsi densitas peluang X.
• Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih.
Jawab
)
===
lainnya,0
40,4
1
sehingga,4,0
x
xxfba
)4
1
4
3
4
4|
4
1
4
13 4
3
4
1==== =
=xxxdxXP
Contoh Distribusi Uniform
Di suatu perusahaan pembuat soft drink, suatu mesin yang disetel mengeluarkanminuman sebanyak 12 oz sesungguhnyaakan mengeluarkan antara 11.5 and 12.5 oz. Anggap banyaknya minuman12.5 oz. Anggap banyaknya minumanyang dikeluarkan berdistribusi uniform. Berapakah probabilitas minuman yang dikeluarkan kurang dari 11.8 oz?
SODA
Distribusi Uniform
f(x)1 1
12.5 11.5
11.0
1
d c=
= =
1.0
P(11.5 x 11.8) = (Base)/(Height)
= (11.8– 11.5)/(1) = .30
11.5 12.5x
11.8
1.01
= =
DISTRIBUSI NORMAL
Keutamaan Distribusi Normal
1. Distribusi normal adalah distribusi yang paling penting di antara distribusi statistik yang lain.
2. Menggambarkan banyak fenomena yang terjadi di alam, industri, dan penelitian. terjadi di alam, industri, dan penelitian.
3. Dapat digunakan untuk meng-aproksimasidistribusi probabilitas diskrit lainnya(binomial, Poisson)
4. Dasar dalam statistik inferensi klasik
Distribusi Normal
1. ‘Bell-shaped’ & simetris
2. Rataan, median, modus sama
f(x )
modus samax
RataanMedian Modus
Fungsi Densitas ProbabilitasVariabel Random Normal
)=
xexfx
- , 2
1)(
2
22
1m
s
s
µ = Rataan variabel random xs = Deviasi standarπ = 3.1415 . . .e = 2.71828 . . .
Probabilitas Distribusi Normal
Probabilitasadalah luasdaerah dibawahkurva
= )( 21 xXxP ) )
2
1
221
2
1 x
x
x dxe sm
s
• luas daerah di bawah kurva normal antara x = x1 dan x = x2 juga bergantung pada nilai rataanμ dan deviasi standar σ.
• Masalah integral fungsi padat normal dipecahkan menggunakan tabel luas untuksetiap nilai µ dan σ.
f(x)
Distribusi Normal Tidak Baku
Distribusi normal bergantungpada nilai rataan μ dan deviasistandar σ
Setiap distribusimemerlukan tabel sendiri
x
f(x)
Banyaknya tabeltak hingga!
Membawa ke bentukStandar/Baku
Distribusi Normal
s s
Distribusi Normal Baku
z =x m
s
xm
s
Butuh satu tabel saja!
m = 0
s = 1
z
Distribusi Normal Baku
Distribusi normal baku adalah distribusi normal dengan µ = 0 dan s = 1. Suatu variabel random yang berdistribusi normal baku dinotasikan dengan z = variabel random normal bakuvariabel random normal baku
Cara Membaca Tabel Normal
Mencari luas di bawah kurvadi sebelah kanan z = 1.64 P(Z ≥1.64)
• Luas daerah dibawah kurva di sebelah kanan z = 1.64 sama dengan 1 dikurangi luas area dalam tabel Normal (yaitu daerah di sebelah kiri z = 1.64) sehingga sama dengan 1 – 0.9495 = 0.0505
zz
Mencari luas di bawah kurvaP(- 1.85 < Z< 0.78)
• Luas daerah untuk z terletak di antara – 1.85 dan 0.78 sama dengan luas area di sebelah kiri z = 0.78 dikurangi luas area di sebelah kiri z = -1.85. Dari tabel luas tersebut sama dengan 0.7823 – 0.0322 = 0.7501
- 1.85 0.78
Contoh Soal
Di bagian pengendalian kualitas GE
usia bola lampu diasumsikan
berdistribusi normal dengan m = 2000
jam dan s = 200 jam. Berapakah
probabilitas suatu bola berusia
(menyala selama)
A. Antara 2000 dan 2400
jam?
B. Kurang dari 1470 jam?
Distribusi Normal Baku
Jawab: P(2000 ≤ X ≤ 2400)
Distribusi Normal z =
x m
s=
2400 2000
200= 2.0
Baku
zm = 0
s = 1
2.0xm = 2000
s = 200
2400
.4772
Distribusi Normal Standar
Jawab: P(x 1470)
Distribusi Normal z =
x m
s=
1470 2000
200= 2.65
zm = 0
s = 1
–2.65
Standar
xm = 2000
s = 200
1470
.0040 .4960
.5000
Contoh Soal
• Suatu pesanan kain tekstil dari pembeli kain katun dengan spesifikasi tiap rol kain yang diinginkan memiliki panjang 10 ± 0.01 meter. Rol kain yang tidak kategori tersebut tidak diterima pembeli. Diketahui proses produksi rol kain tersebut Diketahui proses produksi rol kain tersebut berdistribusi normal dengan rataan μ=10 dan standar deviasi σ=0.005. Secara rata-rata berapa banyak produksi rol kain yang ditolak?
Jawab
• Distribusi panjang rol kain ditunjukkan dalam gambar. Nilai z yang berpadanan untuk x1 = 9.99 dan x2 = 10.01 adalah
00.2005.0
1099.91 =
=
=
s
mxz 00.2
005.0
1001.102 =
=
=
s
mxz
005.0s
) )0.20.201.1099.9 = ZPXP
Pendekatan Normal untuk Binomial
Pendekatan Normal untukBinomial
Jika X suatu variabel random dengan rataan
dan variansi
Maka bentuk limit distribusinya adalah sebagaiMaka bentuk limit distribusinya adalah sebagai
untuk n ∞ merupakan suatu distribusi normal, n ~ (0,1)
• Probabilitas seorang pasien sembuh daripenyakit darah langka adalah 0,4. Jika 100 orang diketahui terkena penyakit ini, makaberapa probabilitas paling sedikit 30 orangyang mampu bertahan?
Continuity Correction
• Misalkan X adalah variabel random binomial dengan parameter n dan p. Untuk n yang cukup besar X mendekati distribusi normal dengan μ = np dan σ2= npq = np(1- p) dan
Pendekatan ini akan cukup baik jika np dann(1−p) lebih besar atau sama dengan 5 (beberapamenyarankan 10)