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Matemáticas Grado1
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3. Regla de tres.
La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre
tres valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad
y proporcionalidad entre los valores.
La regla de tres simple es una herramienta matemática que sirve para resolver rápidamente
problemas que involucran una relación de proporcionalidad directa entre dos variables.
Para plantear de manera correcta una regla de tres simple se deben conocer tres datos, y
solo uno es el que opera como incógnita: si A (valor conocido) mantiene con B (valor
conocido) cierta relación, y se sabe que C (valor conocido) con D (valor desconocido y
llamado por tal razón “incógnita”) guardan igual relación, es posible calcular el valor
incógnita D usando los valores A, B y C.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Jaime, por hacer sus tareas 3 días seguidos, recibió 5 caramelos cada día, es decir, que
obtuvo 15 caramelos. ¿Cuántos caramelos tendría si hiciera sus tareas durante cinco días?
Sacamos los datos que necesitamos con la siguiente fórmula:
250 min.
Qué vamos a aprender: El alumno comprenderá y usará la regla de tres en problemas
diversos.
Materiales: libreta, lápiz, borrador, hojas.
Te explico
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Los datos son los siguientes:
A: Días en los que se hacen las tareas (3).
B: Cantidad de caramelos obtenidos (15).
C: Días de la pregunta (5).
?: Cantidad de caramelos obtenidos que queremos saber.
Reemplazamos y tendríamos:
? = 15 x 5 / 3
? = 75 / 3
? = 25
Por lo tanto, nuestro resultado es 25. Jaime tendría 25 caramelos si llega a realizar sus
actividades durante cinco días, pues le darían 5 caramelos cada día.
La fórmula siempre es la misma, los valores son los que varían.
Se sugiere revisar los siguientes videos:
https://www.youtube.com/watch?v=N1vI94ySy94
https://www.youtube.com/watch?v=WzcLzSY9JLA
https://www.youtube.com/watch?v=WzcLzSY9JLA
1. lee la situación y haz lo que se te pide.
I. Por cada 5 páginas que Joaquín puede leer, su hija Tania puede leer 3.
¿Cuántas paginas leerá Tania en el mismo tiempo que Joaquín lee un libro de 112
paginas? ______________________
II. Julio y su abuelo construyen casas para pájaros. En 5 horas pueden armar 7 casas.
¿Cuánto se tardarán en construir 10 casas? _____________
¿Y 15 casas? _________________
III. En el salón de clases de Mario organizaron un viaje al zoológico y pagaron $1260 por los
boletos de entrada para 35 alumnos. ¿Cuánto tendrán que pagar por los boletos en el salón
de Jimena, si son 38 alumnos? _____________________
IV. ¿Para qué sirve la regla de tres? Explica con tus propias palabras este procedimiento
Manos a la obra
Para aprender más
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Analiza la información y realiza lo que se solicita.
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.
1.- Susana descarga canciones por internet. En promedio, descarga 15 cada mes y el mes
pasado pagó $ 217.50.
a) Si este medio pagó $261, ¿Cuántas canciones descargó? __________
b) En otra compañía le ofrecen descargar 12 canciones por $168 al mes. Si hubiera cambiado
de compañía, ¿Cuánto pagaría por las canciones que descargo este mes? __________
c) ¿Cuál compañía le conviene más? Justifica tu respuesta. ______________________________
2.- En la central de abastos se venden la caja de fresas de 9 kg en $165 y la caja de 25 kg en
$450. Si un supermercado quiere 65 kg de fresas, ¿Cuántas cajas de cada tipo le conviene
comprar? ________________
Explica como aplicaste la regla de tres.
________________________________________________________________________________
Rellene los cuadros si observa que su hijo(a) logró lo siguiente:
Identificar y comprender el procedimiento para aplicar la regla de tres.
Aplicar la regla de tres a situaciones cotidianas.
Resolver correctamente los ejercicios con la regla de tres.
Repaso y practico
Lo que aprendí
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4. Porcentaje como proporcionalidad.
En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción
que tiene el número 100 como denominador. Se representa con el símbolo %.
El porcentaje representa una razón entre dos cantidades, en la que una de ellas siempre
es 100, por ejemplo, si se dice que el 65 % de los niños de una escuela tiene un perro como
mascota, esto quiere decir que, por cada 100 niños en la escuela , 65 tiene un perro.
Cuando se quiere calcular un porcentaje sobre alguna cantidad se tienen dos razones
iguales y por tanto se establece una relación de proporcionalidad. Esto nos indica que se
puede utilizar las propiedades de la proporcionalidad para encontrar porcentajes. Entonces,
tenemos si el porcentaje aumenta el doble, la cantidad correspondiente también aumenta
el doble. Por ejemplo, si el 30% de una cantidad es 1200, entonces el 60% será 2400.
Otro ejemplo:
Tere compró un vestido que tenía 40% de descuento. Le dijeron que el descuento fue de
$350 y para verificar que le cobraron la cantidad correcta, Tere hizo una tabla.
Considera que el porcentaje es una relación de proporcionalidad.
El procedimiento que utilizamos para completar a tabla fue la utilización de la regla de tres.
Es decir que el 100 % representa el costo inicial del vestido.
Porcentaje
%
Equivalencia en
pesos
40 350
60 525
100 875
250 min. Materiales: libreta, lápiz, borrador, hojas.
Te explico
Qué vamos a aprender: El alumno identificará el porcentaje como un caso particular de
proporcionalidad.
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Se sugiere revisar los siguientes videos:
https://www.youtube.com/watch?v=AV4gOnF3tWo
https://www.youtube.com/watch?v=jboHWe4_6D8&list=PLeySRPnY35dFMDdrmFcPT6zD
KXADrjiVd&index=4
https://www.youtube.com/watch?v=PsKMu7QzCw4
1. lee la situación y haz lo que se pide.
Unos pantalones tienen el 30% de descuento en una tienda y 20% en otra. ¿Cuánto
habrá que pagar por ellos en cada tienda si su precio en ambas es de $685?
__________________________________
El 70 % de los alumnos en el salón de Mario practica algún deporte; 35% realiza un
deporte de equipo. Si 28 entrenan algún deporte, ¿Cuántos participan en un deporte
de equipo? __________________
¿Cuántos estudiantes hay en el salón? ______________
Analiza la información y haz lo que se pide.
1. Resuelve los siguientes problemas.
a) Si ahorraste $35 al comprar un producto que costaba menos de $60, ¿podrías haber
ahorrado el 50%? Justifica __________________________________________________
b) La población de conejos en un lugar de Australia aumentó 200% en 2 años. Si la población
inicial era de 135 conejos, ¿Cuál es la población de conejos ahora? _______
c) Si conoces el 20% de una cantidad, ¿Cómo calculas el 10% de la misma cantidad?
___________ ¿y el 15%? __________
d) Si en un bosque la población de lobos disminuyó 20% en 5 años y ahora solo quedan
1268 lobos, ¿cuántos lobos había al principio? _____________________
Manos a la obra
Repaso y practico
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e) Utiliza la regla de tres para completar la tabla.
Rellene los cuadros si observa que su hijo(a) logró lo siguiente:
Resolver de manera correcta los ejercicios de porcentajes mediante la regla de tres.
Encontrar los porcentajes en las situaciones planteadas.
Identificar el porcentaje como caso particular de la proporcionalidad.
Porcentaje
% Número de lobos
20
80 1 268
100
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5. Problemas de Porcentaje.
Un porcentaje representa una fracción de un entero dividido en 100 partes iguales. Esto
quiere decir que los porcentajes son fracciones con denominador igual a 100, aunque a
veces se simplifican en fracciones equivalentes con otros denominadores.
Por ejemplo,
50% representa la fracción 50/100, que se puede simplificar en 1/2. Dado que los
porcentajes representan fracciones con denominador igual a 100, pueden también
expresarse como decimal: 50% = 50/100 = 0.5.
Observa que el cálculo de porcentaje siempre depende de la cantidad base, es decir, de la
cantidad con respecto a la cual obtendrás el porcentaje. Si la cantidad base cambia, la
cantidad que representa el porcentaje también cambiara.
250 min. Materiales: libreta, lápiz, borrador, hojas.
Te explico
Qué vamos a aprender: El alumno aprenderá a calcular el porcentaje, el tanto por ciento o la
cantidad base.
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Se sugiere revisar los siguientes videos:
https://www.youtube.com/watch?v=ETvdnLWIFhU
https://www.youtube.com/watch?v=jjyJ4p3E4KM
1. Lee la situación y realiza lo que se solicita.
I. En una librería hay una oferta que dice “30% de descuento y 15% adicional sobre lo
ya rebajado”.
a) ¿Cuánto hay que pagar por un libro cuyo precio original es de $240? ___________
b) ¿se rebajará el 45%? ___________
II. La quinta parte de los alumnos en el salón de Samuel faltó a clases por varicela. Si
hay 35 alumnos en el salón ¿Cuántos se ausentaron? _______________
III. Enrique dice que, de acuerdo con una encuesta que realizó, la cuarta parte de los
alumnos de su escuela lee más de diez libros al año, mientras que 50% lee menos de
cinco libros al año.
a) Si en la escuela hay 372 alumnos, ¿cuántos leen más de diez libros? ____________
b) ¿cuántos leen menos de 5 libros al año? ___________
c) Cada una de las siguientes figuras representa el total de alumnos que hay en la
escuela de Enrique. Sombrea en una figura la parte correspondiente a los estudiantes
que leen menos de 5 libros al año y, en la otra, la parte que representa a los que leen
más de diez libros al año.
Manos a la obra
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Analiza la información y haz lo que se pide.
1. Carlos compró por $5000 un refrigerador cuyo precio original era de $7500.
a) ¿Qué porcentaje le rebajaron? ____________
b) ¿Cuánto ahorró Carlos? ____________
c) Utiliza la regla de tres para encontrar el porcentaje que le descontaron. Completa la
tabla.
2. Una tienda tiene 20% de descuento en sus televisores durante una seman. Al finalizar la
semana, el encargado quiere regresar los precios a los originales, pero no encuentra la lista
de precios.
a) ¿Cómo puede el encargado encontrar el precio original de las televisiones?
______________________________________________________________________________
b) ¿Sería correcto añadir 20% a los precios con descuento? Explica.
______________________________________________________________________________
c) Para saber cómo encontrar el precio original, supón que el precio con descuento, que
conoce el empleado es de $4000. Completa la tabla para encontrar el precio original.
Puedes utilizar la regla de tres.
Rellene los cuadros si observa que su hijo(a) logró lo siguiente:
Calcular la cantidad base en ejercicios con porcentajes.
Resolver correctamente los ejercicios de cálculo del tanto por ciento.
Entender y calcular el porcentaje en ejercicios con situaciones cotidianas.
Costo ($) Porcentaje (%)
100
Costo ($) Porcentaje
100%
4 000 80%
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6. Perímetros.
Para representar valores indeterminados, es decir que no se conocen, se utilizan letras o
literales. Para representar cantidades iguales con literales se usa la misma letra. Para
representar cantidades diferentes se emplean literales diferentes. En geometría, con
frecuencia, se utiliza como literal la letra inicial de lo que se quiere representar, por ejemplo,
base (b), radio (r); sin embargo, se puede usar cualquier letra del alfabeto.
La expresión 4f es equivalente a 4 x f; es decir, si no se escribe un signo de suma, resta,
multiplicación. La expresión 4 (f) también representa una multiplicación.
El perímetro de una figura geométrica es la medida de su contorno, observemos el siguiente
ejemplo:
El área o superficie de una figura plana hace referencia a la cantidad de espacio que se
encuentra delimitado dentro de una figura plana. Sin embargo a diferencia del perímetro
en donde para calcularlo solo necesitábamos sumar sus lados en este caso se utilizan
diversas fórmulas y procesos para poder encontrar el área de una figura plana.
250 min. Materiales: libreta, lápiz, borrador, hojas.
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Qué vamos a aprender: El alumno aplicará fórmulas para calcular perímetros de polígonos y
de círculos, y áreas de triángulos y cuadriláteros.
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El área o superficie además es una magnitud de dos dimensiones, es decir involucra siempre
el largo y el ancho de una figura por lo que la unidad de medida que utilicemos debe ser
expresada siempre al cuadrado. Ejemplo cm2, m2, Km2, etc.
Para calcular el área de algunas figuras geométricas, se deben aplicar las siguientes fórmulas:
Circunferencia se le llama al contorno del círculo, por tanto, el perímetro del círculo es igual
a la longitud de la circunferencia.
Al dividir el valor de la longitud de una circunferencia de cualquier círculo entre la longitud
de su diámetro se obtiene un mismo valor. Este número se conoce como pi y se representa
con la letra griega
Longitud de la circunferencia
= ------------------------------------------------
Longitud del diámetro
El valor de no se puede representar con un número natural ni con una fracción, ya que
tiene una cantidad infinita de decimales y no tiene periodo. Para realizar operaciones y
calcular la longitud de la circunferencia, es suficiente redondear a 4 cifras decimales o sea
3.1416.
Se sugiere revisar los siguientes videos:
https://www.youtube.com/watch?v=OTT8SKMdBD8
https://www.youtube.com/watch?v=BPl5ecBvsiY
https://www.youtube.com/watch?v=7iC-GAsvzcM
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Resuelve y justifica tus respuestas.
Escribe una literal en cada uno de los lados de cada figura, con esas letras propón la fórmula
que representa su perímetro.
_______________ _________ __________ ___________
Si conoces cuánto mide el diámetro de un círculo, ¿qué operación debes hacer para calcular
la longitud de una circunferencia? ________________________________________________
Si conoces cuánto mide la longitud de la circunferencia, ¿Qué operación debes hacer para
calcular el diámetro? ____________________________________________________________
Haz lo que se pide y completa la tabla.
a. indica, en cada caso, si el triángulo es equilátero, isósceles o escaleno. Anota una
literal junto a cada lado de los triángulos y escribe la fórmula que represente su
perímetro.
Triángulo
Perímetro
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b. Identifica las figuras geométricas que encuentras en el trazo de la letra A, toma las medidas
nesesarias y calcula el área total de la letra A que se presenta a continuación.
Rellene los cuadros si observa que su hijo(a) logró lo siguiente:
Resolvió correctamente los ejercicios de cálculo del perímetro.
Resolvió y aplicó correctamente las fórmulas para calcular áreas.
Identificó y aplicó fórmulas para calcular los perímetros y áreas de diversas figuras
geométricas.
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7. Números enteros.
Si n es un número natural, su opuesto será –n y se lee “menos n”.
El conjunto de los números enteros se simboliza con Z y está formado por los números
naturales (N) o enteros positivos, el cero y los enteros negativos.
Z= {…-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}
A la distancia entre un número X y el cero se le llama valor absoluto. El valor absoluto se
representa |X| y se lee “valor absoluto de x”. Por ejemplo, el valor absoluto de -7 es 7 y se
presenta: |-7|= 7. Observa que el valor absoluto de 7 también es 7.
Así como los enteros positivos, la recta numérica puede utilizarse para ordenar y comparar
enteros negativos. Los números negativos menores serán los más alejados del cero. El
signo de un número indica su sentido a partir del 0.
Cuando se tiene una suma de dos numero enteros con el mismo signo, se suman los
valores absolutos de los números y se conserva el signo en el resultado. Por ejemplo:
(-2) + (-3) = - 5
8 + 4 = 12
Cuando se tiene una suma de dos números enteros con signo diferente, se restan los
valores absolutos de los números y se agrega al resultado el signo del sumando con mayor
valor absoluto, por ejemplo-.
-5 + 3 = --(5 - 3)= - 2, Ya que se conserva el signo del 5 que es mayor a 3.
-3 + 7 = (7 - 3)= 4, ya que se conserva el signo del 7, que es mayor a 3.
2+ (-5) = -(5 -2)= - 3, ya que se conserva el signo del 5, que es mayor a 2
250 min. Materiales: libreta, lápiz, borrador, hojas.
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Qué vamos a aprender: El alumno resolverá problemas de suma y resta con números
enteros, fraccionarios y decimales positivos y negativos.
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Se sugiere revisar los siguientes videos:
https://www.youtube.com/watch?v=AjL5qOUYqMg
https://www.youtube.com/watch?v=oy_ncGgZ7h8
1. Traza en tu cuaderno una recta numérica y ubica a los animales según los datos.
a. El ganso asiático vuela a una altura de 6437m en su migración.
b. Los tiburones llegan a descender hasta 900 m en busca de alimentos.
c. Los cachalotes llegan a descender hasta 2 km en busca de calamares, su alimento
favorito.
d. Las tortugas marinas pueden descender hasta 1 km.
Analicen las escalas que utilizaron para las rectas numéricas y explique cómo las
eligieron.
Analiza la información y haz lo que se pide.
a. Traza una recta y ubica los siguientes números, -10, 8, 0, -7, 5, 2, -23, 23, 3, -5
b. Lupita y Julián quieren saber cuál es la temperatura menor del día. Lupita midió la
temperatura a las 5 a.m. y el termómetro marco -3 º C. A las 8 a.m. la temperatura ya
había aumentado 10 grados según su medición. Por otro lado, Julián registro 1 ºC a
las 3 p.m. y un descenso de 5 grados en la temperatura a las 6 p.m. ¿A qué hora hizo
más frio?
c. Tengo $310 y debo $520. ¿Cuánto debo o cuánto tengo?
d. ¿Cuántos grados hay que aumentar a -25 º C para alcanzar – 18ºC?
e. La cima del monte Everest está a 8848 m sobre el nivel del mar, y el mar muerto está
a -430 m con respecto al mar. ¿ Qué diferencia hay entre ambas alturas?
Manos a la obra
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Rellene los cuadros si observa que su hijo(a) logró lo siguiente:
Identificó los números positivos y negativos.
Identificó valores absolutos en números positivos y negativos.
Resolvió correctamente problemas de suma y resta con números positivos y
negativos.
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8. Fracciones y decimales positivos y negativos.
Los decimales son parte de un entero tal como lo son las fracciones. Por eso, un decimal
positivo es siempre mayor que un decimal negativo. Cuando tiene dos decimales negativos,
el más cercano a cero es el mayor. Mientras más lejano está el decimal negativo de cero,
menor es su valor.
Estas fracciones y decimales positivos y negativos no pertenecen al conjunto de los enteros.
Son números racionales
Podemos comparar decimales y fracciones negativas y positivas.
¿Cómo hacemos esto?
Estudiemos este ejemplo.
−1
2 −
3
4
Si queremos comparar el menos un medio y menos tres cuartos, debemos pensar en cual
fracción es más cercana a cero. Menos un medio es menor que menos tres cuartos. Recuerda
que cuando trabajamos con números negativos, el número negativo menor es el de mayor
valor.
-
También, podemos utilizar una recta numérica para resolver el problema.
Se sugiere revisar los siguientes videos:
https://www.youtube.com/watch?v=pOm1azhMuYM
https://www.youtube.com/watch?v=Q55Y6fWjj6k
250 min. Materiales: libreta, lápiz, borrador, hojas.
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Para aprender más
Qué vamos a aprender: El alumno resolverá problemas de suma y resta con números
enteros, fraccionarios y decimales positivos y negativos.
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2. Analiza las condiciones del juego y haz lo que se solicita.
El profesor de 1ºC propuso a los alumnos el juego “obtén más puntos” que a
continuación se describe:
Instrucciones.
Para jugar es necesario conseguir dos dados; uno rojo y uno azul, y una moneda.
Cada jugador debe preparar previamente diez preguntas sobre algún contenido
tratado en clase. Las respuestas se validan con apoyo del profesor.
Por turnos, cada alumno contestará una pregunta; después lanzará los dados y la
moneda al aire.
Si cae águila, los números serán positivos; si cae sol, serán negativos.
Los puntos se escribirán en forma de fracción; el dado rojo indicará el valor del
numerador y el azul, el del denominador.
Si el jugador respondió de manera correcta la pregunta, obtiene los puntos. En caso
contrario, se le restan.
El jugador con mayor puntuación, luego de cinco partidas, será el ganador.
Observa el ejemplo de una jugada en la que el jugador contestó correctamente.
La tabla muestra los resultados obtenidos en tres turnos del juego por los jugadores A y B
escribe los puntos que obtuvieron en cada jugada.
TURNO JUGADOR RESPUESTA DADO
ROJO
DADO
AZUL.
MONEDA PUNTOS
OBTENIDOS.
1 A CORRECTA 1 2 ÁGUILA
B INCORRECTA 5 5 SOL
2 A INCORRECTA 2 5 SOL
B INCORRECTA 3 2 ÁGUILA
3 A CORRECTA 5 6 SOL
B CORRECTA 2 3 ÁGUILA.
3. Dibuja una recta numérica y marca la puntuación acumulada por cada jugador.
4. Resuelve las operaciones.
1
4 – (-
1
5 ) = 0.1 – (- 0.01) =
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Analiza la información y haz lo que se pide.
1. La punta más alta de un árbol se encuentra a 2.75 m. la parte más baja de su raíz se
encuentra a – 0.80 m con respecto del suelo. ¿cuál es la distancia que hay desde la
parte más baja de la raíz hasta la punta del árbol?
2. Un edificio tiene 51.6 m de altura. Su longitud total, incluyendo los niveles
subterráneos, es de 68.8 m. ¿A qué altura se encuentra el nivel inferior?
Rellene los cuadros si observa que su hijo(a) logró lo siguiente:
Resolvió correctamente los problemas de suma y resta de fracciones y decimales
positivos y negativos.
Identificó los números fraccionarios y decimales positivos y negativos.
Ubicó correctamente los números fraccionarios positivos y negativos en la recta
numérica.
Repaso y practico
Lo que aprendí
