Materiales: Libreta, lapiceros, l piz y borrador. DEL AL

MATEMÁTICAS 2DO TRIMESTRE

3º S

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IA 1.- Mutuamente excluyentes y de

eventos complementarios (Regla de la Suma).

Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles.

Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.

Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros resultados posibles (3, 4, 5, ó 6).

Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son eventos complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).

Los eventos mutuamente excluyentes son dos resultados de un evento que no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Sacar una carta de un mazo estándar y que salga un as y un rey son eventos mutuamente excluyentes, ya que no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo.

Sin embargo, sacar una carta roja y rey no son eventos mutuamente excluyentes, ya que puedes sacar perfectamente un rey rojo.

Todos los eventos complementarios son mutuamente excluyentes, pero todos los eventos mutuamente excluyentes no son necesariamente complementarios.

Qué vamos a aprender: Qué los alumnos expliquen la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes y Independientes.

Materiales: Libreta, lapiceros, lápiz y borrador.

Te explico

SEMANA 1 DEL 17 AL 20 DE NOVIEMBRE


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IA

Un caso genérico muy útil para comprender este tipo de eventos es lanzar un dado: Al definir el espacio muestral se nombran todos los posibles casos que el experimento ofrece. A este conjunto se le conoce como universo. Espacio muestral (S): S : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Las opciones no estipuladas en el espacio muestral, no forman parte de las posibilidades del experimento. Por ejemplo {que salga el número siete} Tiene una probabilidad de cero. Según el objetivo de la experimentación, se definen conjuntos y subconjuntos de ser necesario. La notación de conjunto a utilizar también se determina según el objetivo o parámetro a estudiar: A : {Salga un número par} = { 2 , 4 , 6 } B : {Salga un número impar} = { 1 , 3 , 5 } En este caso A y B son Eventos Complementarios. Debido a que ambos conjuntos son mutuamente excluyentes (No puede salir un número par que sea impar a su vez) y la unión de dichos conjuntos abarca la totalidad del espacio muestral. Otros sub conjuntos posibles en el ejemplo anterior son: C : {Salga un número primo} = { 2 , 3 , 5 }

D : { x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3 } = { 4 , 5 , 6 }

Los conjuntos A, B y C están escritos en notación Descriptiva y Analítica respectivamente. Para el conjunto D se utilizó notación algebraica, describiéndose luego los posibles resultados correspondientes al experimento en notación Analítica. Se observa en el primer ejemplo que al ser A y B eventos complementarios A : {Salga un número par} = { 2 , 4 , 6 } B : {Salga un número impar} = { 1 , 3 , 5 } Se cumplen los siguientes axiomas:

1. A U B = S ; La unión de dos eventos complementarios es igual al espacio muestral

2. A ∩B = ∅; La intersección de dos eventos complementarios es igual al conjunto vacío.


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3. A’ = B ᴧ B’ = A ; Cada subconjunto es igual al complemento de su homólogo

4. A’ ∩ A = B’ ∩ B = ∅ ; Intersectar un conjunto con su complemento es igual a vacío

5. A’ U A = B’ U B = S ; Unir un conjunto con su complemento es igual al espacio muestral.

En la estadística y estudios probabilísticos, los eventos complementarios forman parte de la teoría de conjunto, siendo muy comunes entre las operaciones que en esta área se realizan. Ejemplo 1

Sea S el conjunto universo definido por todos los números naturales menores o iguales a diez. S : { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } Se definen los siguientes subconjuntos de S H : { Números naturales menores a cuatro } = { 0 , 1 , 2 , 3 } J : { Múltiplos de tres } = { 3, 6, 9 } K : { Múltiplos de cinco } = { 5 y 10} L : { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } M : { 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } N : {Números naturales mayores o iguales a cuatro} = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } Determinar: ¿Cuántos eventos complementarios se pueden formar al relacionar pares de subconjuntos de S? Según la definición de eventos complementarios se identifican los pares que cumplen los requerimientos (Mutuamente excluyentes y cubrir el espacio muestral al unirse). Son eventos complementarios los siguientes pares de subconjuntos:

H y N P(H o N) = P(N<4) + P(N≥4) = 4/11 + 7/11 = 11/11 = 1 J y M P(J o M) = P(múltiplos de 3) + P(múltiplos de 5) = 3/11

+ 2/11 = 5/11 L y K P(L o K) = P(cualquier N) + P(múltiplos de 5) = 11/11 +

2/11 = 13/11


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Ejemplo 2

Demostrar que: ( M ∩ K )’ = L

{ 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 } ∩ { 5 } = { 5 } ; La intersección entre conjuntos arroja como resultado los elementos comunes entre ambos conjuntos operantes. De esta manera el 5 es el único elemento común entre M y K. { 5 }’ = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } = L ; Debido a que L y K son complementarios, se cumple el tercer axioma descrito anteriormente (Cada subconjunto es igual al complemento de su homólogo).

EJEMPLOS DE EVENTOS COMPLEMENTARIOS: Considerando la jaula de leones de un zoológico, el evento es “leones que están acostados”, su complementario será “leones que No están acostados”.

Fórmula de la probabilidad de un evento Complementario es: Probabilidad del complemento es:

q = 1 – P

P(P) = 4/7 q = 1- 4/7 = 7/7 – 4/7 = 3/7 q = 3/7

Para aprender más

P

q


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EJEMPLOS DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Considerando que en una urna hay 5 arañas verdes y 5 arañas azules, y se irán sacando una por una, al “sacar una araña verde en la segunda oportunidad”. La probabilidad puede ser 5/9 0 4/9

Fórmula para calcular un evento mutuamente excluyente:

P (a U b) = P(a) + P(b) En una urna tenemos 4 pelotas azules, 3 pelotas verdes y 2 pelotas rojas.

o Sacar una pelota verde o roja.

P (v) = 3/9 P (r) = 2/9 P(v o r)= 3/9 + 2/9 = 5/9 P(v o r) = 5/9 = 0.55

1 2 3 4

1 2 3

1 2


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Para poder comprender mejor el tema, te sugiero que observes los siguientes videos. https://www.youtube.com/watch?v=YiSq-8L-zYs https://www.youtube.com/watch?v=sd133RlDLBA https://www.youtube.com/watch?v=vW87Z2EPsUo

Recuerda: *Escribe tus operaciones de manera clara por cada uno de los problemas planteados, *Responder con lápiz legible, *Escribir tu nombre completo, grado y grupo en la hoja de resolución. *Envía tus evidencias con fotos claras y fáciles de evaluar (no borrosas, no lejanas, con las imágenes de frente, no de lado, volteadas o acostadas). ACTIVIDAD 1

RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. 1.-Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes y la probabilidad de A es 0,2 y la de B es 0,5. Entonces, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es: Solución: 2.-Se tienen cinco libros de distintas materias: Matemática, Biología, Química, Física y Lenguaje. Si se toma uno de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que este sea de matemática o de física? Solución: 3.- En la tabla adjunta, X representa el número de hijos por familia en un grupo de 20 familias seleccionadas al azar. Si de este grupo se elige al azar una familia, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga uno o dos hijos? Solución:

Manos a la obra

https://www.youtube.com/watch?v=YiSq-8L-zYs

https://www.youtube.com/watch?v=sd133RlDLBA

https://www.youtube.com/watch?v=vW87Z2EPsUo


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4.-En una bolsa se tienen 3 bolitas verdes, 2 amarillas y 4 naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar una bolita esta sea naranja o verde? Solución: 5.-En una bolsa se tienen 3 bolitas rojas, 2 blancas y 4 azules. Se saca una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja o azul? Solución: 6.-En una caja hay tarjetas numeradas correlativamente del 10 al 30 (es decir 10, 11, 12, 27, 28, 29, 30). La probabilidad de que, al sacar una tarjeta al azar, la suma de los dígitos sea 3 ó 4 es: Solución: 7.-Una caja contiene 8 bolitas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar. La probabilidad de que la bolita extraída sea roja o verde es. Solución: 8.-Si escojo una carta de un mazo de 52, ¿cuál es la probabilidad de escoger un corazón o un diamante? Solución: 9.-En una bolsa hay 5 bolas azules, 7 blancas, 3 rojas. Se mete la mano una sola vez. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una azul o una blanca? Solución:


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10.-Se tiene una tómbola con bolitas numeradas del 10 al 25. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolitas, sin reposición, de modo que la suma de los números obtenidos sea par? Solución:

Recuerda: *Escribe tus operaciones de manera clara por cada uno de los problemas planteados, *Responder con lápiz legible, *Escribir tu nombre completo, grado y grupo en la hoja de resolución. *Envía tus evidencias con fotos claras y fáciles de evaluar (no borrosas, no lejanas, con las imágenes de frente, no de lado, volteadas o acostadas) ACTIVIDAD 2

Resuelve los ejercicios de la página 112 del libro de texto.

Responda correctamente lo que tu hijo(a) puede realizar: ¿Logra comprender que es la probabilidad de un evento? ¿Logra comprender que es la probabilidad de un evento mutuamente excluyente? ¿Logra comprender que es la probabilidad de un evento complementario?

Nota importante: Los correos deben ser enviados de la siguiente manera: En asunto deben escribir:

Repaso y practico

Lo que aprendí


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Tu Grado y Grupo, dejas un espacio y Escribes tu nombre completo como te muestra el ejemplo 3”B” Arceo Castillo Jesús Abraham Envía al maestro que te corresponda:

Elaboró:

Mtra. Laura Guadalupe Balán Salazar. Correo Electrónico: [email protected]

Mtra. Karla Vanessa Couoh Galera. Correo Electrónico: [email protected]

Mtro. Jesús Abraham Arceo Castillo. Correo Electrónico: [email protected]

mailto:[email protected]




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IA 2.- Uso de ecuaciones cuadráticas.

Aplicación de la fórmula general.

En lecciones anteriores se han mencionado algunas técnicas para resolver ecuaciones de segundo grado, las cuales van desde el tanteo hasta la factorización. Sin embargo, existen ecuaciones cuadráticas que no pueden resolverse con dichas técnicas. Existe una técnica llamada fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de segundo grado que funciona con cualquier ecuación. Puedes resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, reescribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Si completas el cuadrado de una ecuación genérica ax2

+ bx + c = 0 y luego resuelves x, encuentras que: -b ± √b

2 – 4ac

2a Ésta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática. Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax2

+ bx + c = 0. Recuerda que una raíz cuadrada posee siempre dos valores, uno positivo y uno negativo. De manera que cuando utilices la fórmula general debes completar ambos signos por separado.

Qué vamos a aprender: Qué los alumnos formulen Ecuaciones Cuadráticas de la forma

ax2 + bx + c = 0. Y que las resuelvan por la fórmula general.


Te explico

SEMANA 2

DEL 23 AL 27 DE NOVIEMBRE

= X


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IA

Para poder resolver una ecuación cuadrática sea completa e incompleta por la fórmula general lo primero que hay que hacer es encontrar los valores de a, b y c; que son los coeficientes numéricos del término cuadrático (a), del término lineal (b) y el término independiente (c). Segundo paso es sustituir esos valores en la fórmula general, y por último resolver las operaciones básicas que se encuentran en la formula general y encontrar las dos raíces o las dos soluciones a esa ecuación. Ejemplos: 2x

2 + 3x – 9 = 0

a=2, b=3, c= -9 asigno los valores a: a, b y c x = - (3) ± √(3)

2 – 4(2)(-9) sustituyo en la fórmula general

2(3) x = -3 ± √9 + 72 elimino paréntesis en toda la fórmula 6 x = - 3 ± √81 suma de lo que está adentro de la raíz 6 x = - 3 ± 9 extraemos la raíz cuadrada de esa cantidad 6 X1 = - 3 + 9 Primera solución escojo la raíz positiva 6 y resuelvo. X1 = 6 En este caso resto 9 – 3 = 6 6 Por último divido entre 6 X1 = 1 Solución 1

Para aprender más


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X2 = - 3 – 9 Segunda solución escojo la raíz negativa 6 y resuelvo. X2 = - 12 En este caso sumo (-3) + (-9) = -12 6 por último divido entre 6 X2 = - 2 Solución 2 Transforma las siguientes ecuaciones algebraicas a la fórmula general para ecuaciones de segundo grado y localicen los coeficientes a, b y c.

EXPRESIÓN

a

b

c

FÓRMULA GENERAL

SOLUCIONES

X2= - 15X – 56

1

15

56

X = -(15)±√(15)

2 – 4(1)(56)

2(1) X = --15)±√225 – 224 2 X = -15±√1 2 X = --15± 1

2 X1= -15 + 1 -14 2 2 X2=-15 – 1 -16 2 2

X1 = - 7

X2 = - 8

X(X +3) = 5X + 3

X1 =

X2 =

(X – 9)(X + 7)=0

X1 =

X2 =

3X2 – 2X(X – 4) = X – 12

X1 =

X2 =


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EL DISCRIMINANTE EN LA FÓRMULA GENERAL El discriminante es la expresión dentro de la raíz en la fórmula cuadrática: X = - b ± √b

2 – 4ac

2a Discriminante= b

2 - 4ac.

De su valor dependen las raíces de la ecuación cuadrática. Si es negativo, la ecuación tiene como soluciones números complejos conjugados, si es igual a 0 tiene dos soluciones reales iguales y si es positivo las soluciones son reales y distintas. En una ecuación cuadrática a x

2 + b x + c = 0

Definimos el discriminante D = b

2 - 4ac

Si D > 0 ; tenemos 2 soluciones reales Si D = 0 ; tenemos 1 solución doble Si D < 0 ; no hay raíces reales. Ejemplos:

a) x2

+ 11x + 24 = 0 a = 1, b = 11, c = 24 D = (11)

2 – 4(1)(24)

D = 121 – 96 D = 25, por lo tanto, esta ecuación tiene dos soluciones reales.

b) 9x2

-12x+4=0

a = 9, b = -12, c = 4

D = (-12)2 – 4(9)(4)

D = 144 – 144

D = 0, por lo tanto, esta ecuación sólo tiene una solución doble.

c) 6x2

= - x - 1 a = 6, b = 1, c = 1 D = (1)

2 – 4(6)(1)

D = 1 – 24 D = - 23, por lo tanto, esta ecuación no tiene raíces reales.


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Para poder comprender mejor el tema, te sugiero que observes los siguientes videos: https://www.youtube.com/watch?v=V25yjfcC5P0 https://www.youtube.com/watch?v=47ke-C_pUug

Recuerda:

Escribe tus operaciones de manera clara por cada uno de los problemas planteados,

Responder con lápiz legible,

Escribir tu nombre completo, grado y grupo en la hoja de resolución.

Envía tus evidencias con fotos claras y fáciles de evaluar (no borrosas, no lejanas, con las imágenes de frente, no de lado, volteadas o acostadas).

ACTIVIDAD 1: Encuentra las raíces de las ecuaciones cuadráticas que se presentan a continuación aplicando la fórmula general. Y calcula la discriminante.

EXPRESIÓN a b c Valor del Discriminante

b2 – 4ac

FÓRMULA GENERAL

Soluciones

X2 - 7X = 2

X1= X2=

X(X +3) = 5X + 3

X1= X2=

(X – 9)(X + 7)=0

X1= X2=

3X

2 – 2X(X – 4) = X

– 12

X1= X2=

Manos a la obra

Repaso y practico

https://www.youtube.com/watch?v=V25yjfcC5P0

https://www.youtube.com/watch?v=47ke-C_pUug


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Recuerda:





ACTIVIDAD 2 Resuelve los ejercicios de las páginas 122 Y 125 ejercicio 6 inciso a del libro de texto.

Responda correctamente lo que tu hijo(a) puede realizar: ¿Logró comprender que es una ecuación cuadrática? ¿Logró comprender cuáles son los componentes de una ecuación cuadrática? ¿Logró comprender la fórmula general? ¿Logró comprender el discriminante en una ecuación cuadrática?

Nota importante: Los correos deben ser enviados de la siguiente manera: En asunto deben escribir: Tu Grado y Grupo, dejas un espacio y Escribes tu nombre completo como te muestra el ejemplo 3”B” Arceo Castillo Jesús Abraham

Lo que aprendí


3º S

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Envía al maestro que te corresponda:

Elaboró:








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IA 3.- Congruencia y semejanza de

triángulos.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS.

Qué vamos a aprender: Qué los alumnos usen los criterios de Congruencia y semejanza de triángulos al resolver problemas.


Te explico

SEMANA 3

DEL 30 DE NOV. AL 4 DE DICIEMBRE


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CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

EJEMPLOS:

1. Sea ABCD un cuadrilátero, ¿qué condiciones debe cumplir para que

al trazar una de sus diagonales resulten dos triángulos congruentes?

A B

R= Un cuadrado

C D

Para aprender más


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2. Se tienen dos triángulos con el mismo perímetro; los lados del LMN

miden LM=5x+3, LN=2x+2 y MN=8X-1; y los lados del RST miden

RS=3x+13, RT=4x-8, y, ST=6x+9.

N

L

EL LMN es congruente con el RST. Dónde: MN= 8X – 1; NL= 2X + 2; LM= 5X + 3; RS= 3X +13; ST= 6X + 9, y TR= 4X - 8 MN + NL + LM = RS + ST + TR 8x – 1 + 2x + 2 + 5x + 3 = 3x + 13 + 6x + 9 + 4x – 8 15x + 4 = 13x + 14 15x – 13x = 14 – 4 2x = 10 X = 10/2 X = 5 ¿Los triángulos LMN y RST son congruentes? __si__ ¿Por qué? _porque sus lados miden exactamente lo mismo. Analicen los siguientes casos y determinen si se trata o no de triángulos semejantes, argumenten sus respuestas: 3. El siguiente dibujo representa una parte lateral de una piscina, la cual tiene 2.3 m de ancho. Con base en la información de la figura, contesten lo que se pide.

5x + 3

2x + 2

4x –

8

3x + 13 S R

T M


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IA

¿Qué profundidad (x) tiene la piscina? ¿Cuál es la distancia que hay desde el punto G hasta H? El triángulo CFH es semejante con el triángulo CDG, entonces sus lados correspondientes son proporcionales esto es: CF = FH = HC CD DG CG 2.3 = x 1.76 1.74 X = (2.3)(1.74) 1.76 X = 4.002 1.76 X = 2.2

Recuerda:





Manos a la obra


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ACTIVIDAD 1: RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1. Encuentra el valor de x en los siguientes triángulos semejantes. A L X 12

B C M N 13 5

2. Los triángulos PQR y DEF son semejantes por las medidas de sus ángulos y sus lados.

R F 8 5 21 X Q 7 P E 15 D

Recuerda:





ACTIVIDAD 2 Resuelve los ejercicios de las páginas 130 y 131del libro de texto.

Responda correctamente lo que tu hijo(a) puede realizar:

Repaso y practico

Lo que aprendí


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¿Logró comprender que es una figura congruente? ¿Logró comprender que es una figura semejante? ¿Logró comprender los criterios de semejanza aplicando figuras semejantes? ¿Logró obtener el aprendizaje?

Nota importante: Los correos deben ser enviados de la siguiente manera: En asunto deben escribir: Tu Grado y Grupo, dejas un espacio y Escribes tu nombre completo como te muestra el ejemplo 3”B” Arceo Castillo Jesús Abraham Envía al maestro que te corresponda:

Elaboró:








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IA 4.-Resolución de problemas geométricos

mediante el Teorema de Tales.

Teorema de Tales.

EL teorema de Tales se considera el teorema fundamental de la semejanza de triángulos y establece lo siguiente: Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros dos lados o con sus prolongaciones otro triángulo que es semejante al triángulo dado.

Teorema de Tales: Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.

Qué vamos a aprender: Qué los alumnos determinen el Teorema de Tales mediante el análisis de las relaciones entre segmentos.


Te explico

SEMANA 4

DEL 7 AL 11 DE DICIEMBRE.


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DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES.

Divide cada uno de los segmentos en partes iguales como se indica en cada caso.

a) AB en cuatro partes iguales.

A B

Paso 1.- Se traza una recta auxiliar en cualquiera de los extremos ya sea A o B

Recta Auxiliar

A B

Paso 2.- Con el compás vas a trazar arcos en la recta auxiliar con una medida pequeña dividiendo la recta en cuatro partes y le pondrás x, y, z y w a los arcos trazados.

w

A B

Para aprender más


3º S

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Paso 3.- El último punto marcado con la letra w se une con el extremo B, y a partir de esto se trazan paralelas a z, y y x

w

A B

1 2 3 4

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA.

El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.

La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene en la otra.

Observación: en geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de rectas dirigidos.

Consideremos como el proceso de “dividir un segmento en una razón dada” aquel el cual consiste en determinar una posición (P) del elemento en cual se encuentra el suso dicho ( segmento) dado entre dos puntos (A) y (B), de tal manera que el segmento (AP) dividido entre el segmento (PB) da como resultado la razón.

Ahora, para poder obtener las coordenadas de un punto “P”, que divida a un segmento en una razón dada, se sigue las siguientes fórmulas:


3º S

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El valor de X2 se multiplica por la razón y se divide entre la suma de 1 más la razón. Así, se obtiene la abscisa del punto “P”. La ordenada se obtiene de manera análoga.

Para buscar la razón dados dos puntos en las coordenadas se usan las fórmulas siguientes:

X – X1 Y – Y1 X2 – X Y2 - Y

EJEMPLO 1:

Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por A(8,2) y B(-5,7) en la razón 3/4.

r = r =


3º S

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EJEMPLO 2:

Divide el segmento en partes iguales a razón de 2/5 como se indica en este ejemplo.

a) AB en partes iguales R = 2/5.

Al trabajar con proporciones, encontramos que cada término es cuarta proporcional de los otros tres. También geométricamente, podemos encontrar la cuarta proporcional.

A B

Paso 1.- Se traza una recta auxiliar desde cualquier extremo del segmento AB.

A B


3º S

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Paso 2.- Dada la razón 2/5 se suman 2 + 5 = 7 este es el número de partes en que se va a dividir el segmento.

P

A B

Paso 3.- Se trazan líneas paralelas al punto x con B

P

A B 3 4 EJEMPLO 3:

Hallar las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento AB, cuyos extremos son A(-4, 6) y B(5, - 2) en la razón 3/5.

A (-4,6)

6

5

R 4

(-5/8, 3) 3

2

1

-4 -3 -2 -1 0

1 2 3 4 5

-1 B

-2 (5,-2)


3º S

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IA

Busco las coordenadas de la razón: X = -4 + 5(3/5) Y = 6 – 2(3/5) 1 + 3/5 1 + 3/5 -4 + 15 6 - 6 ___5___ __5___ 5 + 3 5 + 3 5 5 -20 + 15 30 – 6 ___5__ __5 _ 5 + 3 5 + 3 5 5 - 5 24 5 5 8 8 5 5 - 25 120 40 40 -5 Y = 3 8 P (-5/8, 3) Para poder comprender mejor el tema, te sugiero que observes los siguientes videos. https://www.youtube.com/watch?v=vSu8nTCSAMI https://www.youtube.com/watch?v=lrDY5A34m_I

X =

X =

X =

X =

Y =

Y =

Y =

Y = X =

https://www.youtube.com/watch?v=vSu8nTCSAMI

https://www.youtube.com/watch?v=lrDY5A34m_I


3º S

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IA

Recuerda:





ACTIVIDAD 1: ANALIZA Y RESUELVE EL SIGUIENTE PROBLEMA.

A) En la imagen se muestra una pared en la que hemos trazado rectas perpendiculares a su base indicando la distancia entre ellas. En la parte superior hemos colocado los puntos A, B y C.

Indica la opción correcta para las siguientes cuestiones.

I. ¿Qué distancia hay entre los puntos A y B?

a) 2m b) 2.5m c) 2.25m

Manos a la obra


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II. ¿Qué distancia hay entre los puntos B y C?

a) 4.5m b) 3.75m c) 4.25m

III. ¿Qué distancia hay entre los puntos A y C?

a) 600cm b) 550cm c) 625cm

IV. Las rectas a y b del dibujo son paralelas. Comprueba utilizando el teorema de Tales si también lo es la recta c.

V. ¿Cuánto mide el segmento x en este dibujo?


3º S

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IA

Recuerda:





ACTIVIDAD 2: Analiza, resuelve y grafica los siguientes problemas. A) Indica que razón divide el punto P (2, 0) al segmento de recta AB, cuyos extremos son A (-4, 2) y B(5, -1). B) Dividir el segmento dada la razón de r = ½ , A (10, 6) y B(-5, 12). C) Localiza el punto P(x, y) de acuerdo a una razón dada, r = ¾ , A(- 2, 3) y B(6, - 1).


¿Logra comprender que es el Teorema de Tales? ¿Logra resolver problemas aplicando el teorema de tales? ¿Logra obtener el aprendizaje?

Repaso y practico

Lo que aprendí


3º S

ECU

ND

AR

IA

Nota importante: Los correos deben ser enviados de la siguiente manera: En asunto deben escribir: Tu Grado y Grupo, dejas un espacio y Escribes tu nombre completo como te muestra el ejemplo 3B Arceo Castillo Jesús Abraham


Elaboró:

Mtra. Laura Guadalupe Balán Salazar. Correo Electrónico: [email protected] Mtra. Karla Vanessa Couoh Galera. Correo Electrónico: [email protected] Mtro. Jesús Abraham Arceo Castillo. Correo Electrónico: [email protected]





3º S

ECU

ND

AR

IA 5.- Aplicación de la Semejanza en la

construcción de figuras homotética.

La Homotecia es una transformación geométrica plana, en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan homotéticos, y cumplen las siguientes condiciones: ... La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k).

Los puntos homotéticos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Homotecia (O).

La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k).

Qué vamos a aprender: Qué los alumnos identifiquen y sepan calcular la razón de homotecia y construir figuras homotéticas.


Te explico

SEMANA 5

DEL 14 AL 18 DE DICIEMBRE


3º S

ECU

ND

AR

IA

Propiedades

Dos figuras homotéticas guardan relación de semejanza.

El centro de la Homotecia es invariante, y las rectas que pasan por el centro de la Homotecia también lo son, aunque no lo son por puntos (los puntos no son dobles).

En una Homotecia pueden darse los siguientes casos: Si la constante k es mayor que 0, la Homotecia se denomina directa, y

en ella los puntos homotéticos están ambos al mismo lado del centro de la Homotecia.

Si la constate k es menor que 0, la Homotecia se denomina inversa, y en ella los puntos homotéticos están en lados diferentes con respecto al centro de la Homotecia.

Si la constante k es 1, la figura homotética coincide con la original, y la transformación se denomina Función Identidad.

Si la constante k es -1, la Homotecia se convierte en una Simetría Central (ver capítulo 2.4).

Si el valor absoluto de la constante k es mayor que 1, la Homotecia produce un aumento de tamaño (la figura final es mayor que la original).

Si el valor absoluto de la constante k es menor que 1, la Homotecia produce una disminución de tamaño (la figura final es menor que la original). Para poder comprender mejor el tema, te sugiero que observes los siguientes videos. https://www.youtube.com/watch?v=w4Akj3mzTwM https://www.youtube.com/watch?v=1nAmTyNSZqE https://www.youtube.com/watch?v=lbyRNUXSGyM

Para aprender más

https://www.youtube.com/watch?v=w4Akj3mzTwM

https://www.youtube.com/watch?v=1nAmTyNSZqE

https://www.youtube.com/watch?v=lbyRNUXSGyM


3º S

ECU

ND

AR

IA

Recuerda:





ACTIVIDAD 1: Dibuja y traza la figura homotética en los siguientes problemas. I. Tomen el punto O como centro de homotecia y únanlo con el punto A, prolónguenlo una distancia igual a OA para ubicar el punto A’; hagan lo mismo con los puntos: B, C, y D para encontrar los puntos B’, C’ y D’, Después, unan los cuatro puntos obtenidos para formar el polígono A’B’C’D’ y contesten las preguntas.

II. Tomen como centro de homotecia el punto O, tracen los segmentos AO, BO, CO y prolónguenlos hacia la izquierda la misma distancia. Ubiquen los puntos A’, B’, C’ y únanlos para formar un nuevo triángulo.

Manos a la obra

A

B

C

D

2cm

3 cm

5 cm

O

A

B

C

8

10

6


3º S

ECU

ND

AR

IA

Recuerda:





ACTIVIDAD 2: Resuelve los siguientes problemas. I. Sean A=(0, 2) ; B=(2, 1) y C=(1, 4) tres puntos en el plano. Hallar las coordenadas del 4 ABC mediante la homotecia: (a) de centro (4, 4) y razón -2 (b) de centro (1, 3) y razón 3. II. ¿Cuál es el centro y la razón de homotecia que transforma el 4 ABC, del ejercicio anterior, en el 4 A'B'C' con A'=(1, 1) ; B'=(5, -1) y C'=(5, 6)?

III. Un triángulo en el plano tiene sus vértices en A(-3, 2); B(1, 1) y C(2, 5). Si se realiza una homotecia de razón -2, el vértice homólogo A', B' y C' queda ubicado en las coordenadas: IV. A un cuadrado de vértices A (2,2) ; B(2,-2) ; C(-2,-2) y D(-2,2) se le aplica una homotecia cuyo factor de homotecia (o razón de homotecia) es 3, con centro en el origen. Entonces, explique si es Verdadero o Falso que la figura resultante:

(a) Es un cuadrado. (b) Es una ampliación de la original. (c) Contiene el vértice A'(3,3)

Repaso y practico


3º S

ECU

ND

AR

IA

V. Dado el triángulo ABC al cual se le aplica una homotecia con centro P y razón k=− 1 2 y se obtiene el triángulo A'B'C'. La figura que mejor representa o esta transformación corresponde a


¿Logró comprender que es homotecia?

¿Logró comprender que es la razón de homotecia?

¿Logró construir figuras homotéticas?

¿Logró obtener el aprendizaje?



Elaboró:

Lo que aprendí


3º S

ECU

ND

AR

IA






3º S

ECU

ND

AR

IA 6.- Gráficas de funciones cuadráticas.

Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma

siendo a≠0a≠0. Esta forma de escribir la función se denomina forma general. La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola Ejemplo

Las parábolas tienen forma de ∪ (si a>0) o de ∩ (si a<0).

Además de la orientación, el coeficiente a es la causa de la amplitud de la función: cuanto mayor es |a|, más rápido crece (o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.

Qué vamos a aprender: Qué los alumnos analicen y construyan gráficas de funciones cuadráticas.


Te explico

Para aprender más

SEMANA 6

DEL 11 AL 15 DE ENERO 2021


3º S

ECU

ND

AR

IA

El vértice.

Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si a<0) o un mínimo (si a>0). Este punto es el vértice de la parábola. La primera coordenada del vértice es

Y la segunda coordenada es su imagen:

Ejemplo:

Calculamos el vértice de la función

Identificamos los coeficientes:

Como a es negativo, la parábola tiene forma de ∩. El vértice es un máximo.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:


3º S

ECU

ND

AR

IA

Por tanto, el vértice es el punto:

Gráfica:

Puntos de corte con los ejes

Una parábola siempre corta el eje de ordenadas (eje Y) en un punto. Como esto ocurre cuando x=0, se trata del punto (0, c) puesto que f(0)=c.

Una función corta al eje de abscisas cuando y=0. Por tanto, para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación cuadrática:

Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X.


3º S

ECU

ND

AR

IA

Recordamos la fórmula que necesitamos:

Ejemplo:

Calculamos los puntos de corte de la función

Los coeficientes de la ecuación son a=1, b=0 y c=−1.

Eje Y: El punto de corte con el eje Y es (0,−1).

Eje X: Resolvemos la ecuación de segundo grado:

Hay dos soluciones: x=1 y x=−1. La segunda coordenada es 0.

Por tanto, tenemos los puntos de corte

Gráfica:


3º S

ECU

ND

AR

IA

Para poder comprender mejor el tema, te sugiero que observes los siguientes videos.

https://www.youtube.com/watch?v=_jrCrKy8ooo

https://www.youtube.com/watch?v=DIcM6xODixw

https://www.youtube.com/watch?v=ira6fc3zuRg

https://www.youtube.com/watch?v=gnAdna_tLK0

Recuerda:





ACTIVIDAD 1: Realiza las siguientes graficas dadas las funciones: I. Calcular el vértice de la siguiente función parabólica:

II. Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función:

III. Escribir la siguiente función en las formas factorizada y canónica:

Manos a la obra

https://www.youtube.com/watch?v=_jrCrKy8ooo

https://www.youtube.com/watch?v=DIcM6xODixw

https://www.youtube.com/watch?v=ira6fc3zuRg

https://www.youtube.com/watch?v=gnAdna_tLK0


3º S

ECU

ND

AR

IA

Recuerda:





ACTIVIDAD 2: Resuelve los ejercicios de la página 153, el 6 sólo el inciso a.

Responda correctamente lo que tu hijo(a) puede realizar: ¿Logra comprender qué es una función? ¿Logra comprender qué es una función cuadrática? ¿Logra graficar las funciones cuadráticas? ¿Logra resolver problemas de funciones cuadráticas por medio de gráficas?

Repaso y practico

Lo que aprendí


3º S

ECU

ND

AR

IA Nota importante:

Los correos deben ser enviados de la siguiente manera: En asunto deben escribir: Tu Grado y Grupo, dejas un espacio y Escribes tu nombre completo como te muestra el ejemplo 3B Arceo Castillo Jesús Abraham


Elaboró:






3º S

ECU

ND

AR

IA 7.- Curvas que modelan situaciones en

movimiento.

En términos generales la palabra gráfica se refiere a la representación de datos casi siempre numéricos. En este tema es necesario interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelen situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etc.

Lee y contesta: ¿Has observado lo útil que resultan los elevadores? Estando en uno de ellos se me ocurrió registrar el tiempo que se tardaba en llegar al piso superior y lo que tardaba al detenerse en cada piso. Al final tracé unas gráficas, ¿Cuál de ellas representa mejor: a) el hecho de que el elevador se detenga en cada piso? b) La altura que alcanza el elevador en función del tiempo?

Qué vamos a aprender: Qué los alumnos analicen e interpreten información contenida en una gráfica por segmento de recta.


Te explico

Para aprender más

SEMANA 7



3º S

ECU

ND

AR

IA

Para poder comprender mejor el tema, te sugiero que observes los siguientes videos. https://www.youtube.com/watch?v=N79H4gwXWV4 https://www.youtube.com/watch?v=CnL4bgyURM8 https://www.youtube.com/watch?v=tPl1PiY9wmM https://www.youtube.com/watch?v=mqhDz9mfOfA https://www.youtube.com/watch?v=KMwqfBoED_Y

https://www.youtube.com/watch?v=N79H4gwXWV4

https://www.youtube.com/watch?v=CnL4bgyURM8

https://www.youtube.com/watch?v=tPl1PiY9wmM

https://www.youtube.com/watch?v=mqhDz9mfOfA

https://www.youtube.com/watch?v=KMwqfBoED_Y


3º S

ECU

ND

AR

IA

ecuerda:





ACTIVIDAD 1 I. Analicen la siguiente gráfica que representa el recorrido que hizo Juan para realizar una compra. Posteriormente contesten las preguntas.

a) ¿A qué distancia de la casa de Juan queda la tienda?

b) ¿Cuánto tiempo tardó en hacer la compra?

c) ¿A qué velocidad se desplazó de la tienda a su casa?

Manos a la obra

600

550

500

450

400

200

0

5 0 10 15 20 25 30

0 35

Tiempo (minutos)

Dis

tan

cia

des

de l

a

cas

a (

me

tro

s)

40

350

300

250

150

100

50

●

● ●


3º S

ECU

ND

AR

IA

d) Si llegó a las 11:30 horas a la tienda, ¿a qué hora salió de su

casa?

II. Analiza la siguiente gráfica que representa la variación de la cantidad de agua en un tinaco de una casa, a partir de que se abre la llave de llenado, misma que permanece abierta y descarga 18 litros cada 2 minutos. Posteriormente contesta lo que se pregunta.

a) ¿Cuántos litros de agua tiene el tinaco al minuto 10? b) ¿Durante cuál intervalo de tiempo se utiliza agua? c) ¿Qué sucede con la cantidad de agua entre los minutos 10 y 20?

¿Por qué? d) ¿Cuántos litros de agua cayeron al tinaco entre los minutos 25 y

30?

Recuerda:




Repaso y practico

120

110

100

90

80

40

0

5 0 10 15 20 25 30

0 35

Tiempo (minutos)

Núm

ero

de litro

s d

e a

gu

a

40

70

60

50

30

20

10

● ●

●

●


3º S

ECU

ND

AR

IA


ACTIVIDAD 2 Resuelve los ejercicios de las páginas 160 y 161 ejercicios 8 y 9 incisos a, b del libro de texto.


¿Logra comprender que es una gráfica de una función?.

¿Logra comprender de qué están formada una gráfica de una función cuadrática?

¿Logra obtener el aprendizaje?



Lo que aprendí


3º S

ECU

ND

AR

IA

Elaboró:






3º S

ECU

ND

AR

IA 8.- Probabilidad de eventos

independientes.

La regla de la multiplicación o regla del producto, permite encontrar la probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B al mismo tiempo (probabilidad conjunta). Esta regla depende de si los eventos son dependientes o independientes.

La Regla de Laplace establece que:

La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.

La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1,

Es decir:

Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.

La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:

No. De Casos Favorables No. De Resultados Posibles

Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles.

Qué vamos a aprender: Que los alumnos identifiquen puntos muestrales en un espacio muestral, al tener que calcular la probabilidad eventos.


Te explico

SEMANA 8


P(A)=

https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Laplace

https://es.wikipedia.org/wiki/Cociente


3º S

ECU

ND

AR

IA

Regla de la multiplicación.

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

P(A n B) = P(A)P(B), si A y B son independientes. P(A n B) = P(A)P(B),si A y B son dependientes.

Siendo P(A/B) la probabilidad de que ocurra B habiéndose dado o verificado el evento A.

Un lote contiene "100" objetos de los cuales "20" son defectuosos. Los objetos son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos objetos son seleccionados sin reemplazo (significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos?

Solución:

Sea los eventos

A1 = primer objeto defectuoso, A2 = segundo objeto defectuoso

entonces dos objetos seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento A1 n A2 que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada se tiene que:

P(A1) = 20/100;P(A2/A1) = 19/99

así que la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos es

P(A1 n A2 ) = P(A2/A1) = 20/100 * 19/99 = 19/495 ≈ 0.038

Ahora suponga que selecciona un tercer objeto, entonces la probabilidad de que los tres objetos seleccionados sean defectuosos es

P(A1 n A2 n A3 ) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/P1 n A2) = 20/100 * 19/99 * 18/98 = 19/2695 = 0.007

Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar una moneda tres veces, esta caiga las tres veces cara?

Para aprender más

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Regla_de_la_multiplicaci%C3%B3n&action=edit&redlink=1


3º S

ECU

ND

AR

IA

En este ejercicio son sucesos independientes por lo que se ocupa la fórmula de probabilidades independientes. P(a n b n c) = P(a) * P(b) * P(c), a, b y c es la probabilidad de salir cara. P(a n b n c) = ½ * ½ * ½ P(a n b n c) = 1/8 P(a n b n c) = 0.125 * 100 P(a n b n c) = 12.5% Ejemplo 2: Si en un grupo de 10 personas se va a repartir refrescos de 10 sabores diferentes, y se sabe que hay uno de fresa y uno de piña ¿Cuál es la probabilidad que el primero en ser repartido sea de piña y el segundo de fresa? En este ejercicio son sucesos dependientes, por eso se ocupará la siguiente fórmula P(f n p) = P(a) * P(b/a) P(f n p) = 1/10 * 1/9 P(f n p) = 0.011 * 100% P(f n p) = 1.1% Ejemplo 3: En una tienda se venden osos de peluche, en existencia hay 30 de estos peluches, si entre estos hay 15 marrones y 15 blancos, y en la tienda tienen estadísticas que indican que 4 de cada diez de los clientes terminan comprando estos peluches ¿Cuál es la probabilidad que el siguiente cliente compre un oso de color blanco? c = comprar un oso, b = oso blanco Fórmula de sucesos independientes P(c n b) = P(c) * P(b) P(c n b) = 4/10 * ½ P(c n b) = 1/5 P(c n b) = 0.2 P(c n b) = 0.2 * 100% P(c n b) = 20%

Recuerda:



Manos a la obra


3º S

ECU

ND

AR

IA



ACTIVIDAD 1 I. Determinen el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar dos dados y observar los números de ambas caras, después contesten:

(A , B) 1 2 3 4 5 6

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras tengan en número

par?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 o 6?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 y que ambos números sean iguales?

f) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el número 2?


3º S

ECU

ND

AR

IA

g) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 7 o que ambos números sean iguales?

h) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de

ambas caras sea 7 y que ambos números sean iguales?

i) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 4 y que ambos números sean iguales?

Recuerda:





ACTIVIDAD 2 Resuelve los ejercicios de la página 166 del libro de texto.


¿Logra comprender la fórmula para calcular la probabilidad de un evento?

¿Logra comprender cuál es la fórmula para calcular un evento independiente?

¿Logra comprender la regla de la multiplicación?

¿Logra obtener el aprendizaje?

Repaso y practico

Lo que aprendí


3º S

ECU

ND

AR

IA Nota importante:



Elaboró:






3º S

ECU

ND

AR

IA 9.- Sucesiones Cuadráticas.

Una sucesión es una correspondencia en la que cada número natural

se le asigna un número real. Es decir, para cada posición hay un

término de la sucesión. En algunas sucesiones, cuando se calculan las

diferencias entre los términos, ésta no es una constante, pero si

volvemos a calcular las diferencias de esas primeras diferencias se

obtiene un mismo resultado. Cuando esto sucede, se dice que la

sucesión es de 2° grado o cuadrática y su regla tiene la forma:

Para ilustrar lo anterior, veamos el siguiente ejemplo:

Tenemos la sucesión 2, 6, 12, 20, 30 si calculamos las primeras

diferencias obtenemos: 6-2 = 4 ; 12 -6= 6 ; 20-12=8; 30-20=10 sus

diferencias no son constantes, es decir no se repite la misma cantidad

en todas sus diferencias, entonces este sería el primer nivel. Para el

segundo nivel volvemos hacer las diferencias ahora del primer nivel: 4 ,

6, 8, 10 obteniendo: 6-4=2; 8 -6=2; 10-8= 2 . Ahora si hay una

constante que es 2. Por lo tanto, la sucesión es cuadrática.

Si queremos encontrar su regla utilizamos el siguiente procedimiento:

PASO 1: Calculamos las diferencias del 1er. nivel y del 2° nivel, para

nuestro ejemplo ya las tenemos.

PASO 2: Utilizamos la expresión 2a para calcular el valor de a, esta

expresión se iguala al valor obtenido para el 1er, término del segundo

nivel de diferencias. resolvemos la ecuación, a=2/2, a= 1

Qué vamos a aprender: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la forma ax2 + bx + c que represente el enésimo término de una sucesión usando procedimientos personales.


Te explico

SEMANA 9

DEL 1 AL 5 DE FEBRERO 2021


3º S

ECU

ND

AR

IA

PASO 3: Utilizamos la expresión 3a + b para calcular el valor de b y

sustituimos el valor obtenido para a. Esta expresión se iguala con el 1er,

término del primer nivel de diferencias. sustituimos a=1(3)(1) +

b = 4multiplicamos3 + b = 4despejamos bb= 4 -3b= 1

PASO 4: Utilizamos la expresión a +b+ c para calcular el valor de c y

sustituimos los valores obtenidos para a y b. Esta expresión se iguala

con el 1er, término de la sucesión: a +b + c = 2sustituimos a=1; b=1 y

despejamos c1 + 1 +c = 22 + c = 2c= 2 – 2c= 0 PASO 4: Sustituimos los

valores encontrados para a, b y c en la fórmula de la regla.

esta es la regla para la sucesión.

PASO 5: Comprobamos la regla para los dos primeros términos.

Una Sucesión Aritmética es un conjunto de números que tienen una

continuidad, en que se añade una diferencia constante, de un número

a otro.

Al obtener las diferencias de una sucesión numérica, en general sucede

que:

• Si en el nivel 2 de las diferencias aparece una constante diferente de

cero, la expresión general es cuadrática.

• Cuando la expresión general de la secuencia es cuadrática, la

constante que aparece en el nivel 2 de las diferencias es el doble del

coeficiente del término cuadrático de la expresión

Método de diferencias

Para determinar los coeficientes de la expresión an2 + bn + c, hay que

resolver las ecuaciones que se obtienen al considerar que:

• El doble del coeficiente a es igual a la constante de las diferencias de

nivel 2.


3º S

ECU

ND

AR

IA

• La suma 3a + b es igual al primer término de las diferencias de nivel

1. • La suma a + b + c es igual al primer término de la sucesión, se establece el siguiente modelo para explicar las Sucesiones Aritméticas: { a1, a2, a3, a4… } Es la Sucesión Aritmética en cuestión. d = Número fijo llamado “diferencia común” d = a2 – a1 a1 a1 + d = a2 a1 + d + d = a1 + 2d = a3 a1 + d + d + d = a1 + 3d = a4 Para encontrar cualquier número siguiente, se utiliza la ecuación: an = a1 + (n – 1)d Al primer término a1 se le agregan (n – 1) veces la diferencia d. La letra n representa la posición del número buscado en la Sucesión Aritmética. Se le resta 1 en la fórmula porque ya de antemano se está considerando a1, que es la primera posición.

Ejemplos de Sucesiones Aritméticas De la Sucesión Aritmética {5, 9, 13, 17,…} obtener el 20º término. an = a1 + (n – 1)d d = 9 – 5 = 4 a1 = 5 n = 20 an = (5) + (20 – 1)4 an = 81 De la Sucesión Aritmética {3, 10, 17,…} obtener el 63º término. an = a1 + (n – 1)d d = 10 – 3 = 7 a1 = 3 n = 63 an = (3) + (63 – 1)7 an = 437

Para aprender más


3º S

ECU

ND

AR

IA

De la Sucesión Aritmética {½, ¾ , 1,…} obtener el 12º término.

an = a1 + (n – 1)d d = ¾ – ½ = ¼ a1 = ½ n = 12 an = (1/2) + (12 – 1)(1/4) an = 13/4

Encuentra la regla general en la siguiente sucesión empleando el método de diferencias.

0, 3, 8, 15, 24, 35,………. A + b + c = 0

3 5 7 9 11 3a + c = 3

2 2 2 2 2a = 2

2a = 2 3a + b = 3 a + b + c = 0

a = 2/2 3(1) + b = 3 1 + 1 + c = 0

a = 1 3 + b = 3 2 + c = 0

b = 3/3 c = 0 – 2

b = 1 c = - 2

sustituyendo los valores en la formula general:

an2 + bn + c

(1)n2 + (1)n + (-2)

n2 + n – 2 ésta es la regla general.


3º S

ECU

ND

AR

IA

Encuentra la regla general en la siguiente sucesión empleando el método de diferencias.

11, 26, 51, 86, 131, 186,……………………………..R.G. =

15 25 35 45 55

10 10 10 10

a + b + c = 11

3a + b = 15

2a = 10

2a = 10 3a + b = 15 a + b + c = 11 a = 10/2 3(5) + b = 15 5 + 0 + c = 11 a = 5 15 + b = 15 5 + c = 11 b = 15 – 15 c = 11 – 5 b = 0 c = 6

sustituyendo los valores en la formula general:

an2 + bn + c

(5)n2 + (0)n + (6)

5n2 + 6 ésta es la regla general.

Para poder comprender mejor el tema, te sugiero que observes los siguientes videos. https://www.youtube.com/watch?v=Qqmpvd6FWlI https://www.youtube.com/watch?v=dWfh15wgJYE https://www.youtube.com/watch?v=FGoSqeFl5zg https://www.youtube.com/watch?v=qUEeAVqCpXY https://www.youtube.com/watch?v=FvnI4CX1C2c

https://www.youtube.com/watch?v=Qqmpvd6FWlI

https://www.youtube.com/watch?v=dWfh15wgJYE

https://www.youtube.com/watch?v=FGoSqeFl5zg

https://www.youtube.com/watch?v=qUEeAVqCpXY

https://www.youtube.com/watch?v=FvnI4CX1C2c


3º S

ECU

ND

AR

IA

Recuerda:





ACTIVIDAD 1 Encuentra la regla general y el n-Simó término de las siguientes sucesiones. I.- De la Sucesión Aritmética { 7, 10, 13,… } obtener el 9º término.

an = a1 + (n – 1)d d = a1 = n =

an = an = 31

II.- De la Sucesión Aritmética { 3, 14, 25,… } obtener el 21º término.

an = a1 + (n – 1)d d = a1 = n =

an = an = 223

III.- De la Sucesión Aritmética { -10, -6, -2,… } obtener el 80º término.

an = a1 + (n – 1)d d = a1 = n =

an = an = 306

Manos a la obra


3º S

ECU

ND

AR

IA

IV.- Dada la Sucesión siguiente 1, 3, 6, 10, 15,… obtener el 50º término y la regla general. Usando el método de diferencias.

V.- Dada la Sucesión siguiente 8, 11, 16, 23, 32,… obtener el 14º término y la regla general. Usando el método de diferencias.

Recuerda:





ACTIVIDAD 2 Resuelve los ejercicios de la página 178 ejercicios 4 incisos a, y b del libro de texto.


¿Logra comprender que es una sucesión aritmética?

¿Logra comprender que es el Método de Diferencias?

¿Logra calcular el enésimo término de una sucesión?

¿Logró obtener el aprendizaje?

Repaso y practico

Lo que aprendí


3º S

ECU

ND

AR

IA Nota importante:



Elaboró:






3º S

ECU

ND

AR

IA 10.- Sólidos de Revolución.

Un cuerpo geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones: largo, ancho y alto. Sólidos de Revolución: Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo. Estas pueden o no cruzarse, dicha recta se llama Eje de Revolución. Sólidos de revolución entre ellos tenemos al Cilindro, Cono y la esfera.

Qué vamos a aprender: Que los alumnos aprenderán a generar cuerpos de revolución y a calcular sus áreas y volúmenes.


Te explico

SEMANA 10



3º S

ECU

ND

AR

IA

Analiza los siguientes ejemplos: Realicen lo siguiente. a) Recorten en cartulina las siguientes figuras geométricas. 4 cm 6 cm 4 cm 6 cm 3 cm

b) Peguen cada figura en un popote como se indica y giren lo más rápido que puedan.

c) Los cuerpos que se generan de la manera anterior reciben el nombre de sólidos de revolución porque se obtienen al hacer girar una figura geométrica alrededor de un eje. Dibujen los sólidos de revolución que obtuvieron y anoten el nombre de cada uno. d) Analicen los cuerpos que se generan y completen la siguiente tabla:

Cuerpo formado por

el…

Número de caras

curvas

Número de caras

planas Número total de caras

rectángulo

triángulo

semicírculo

4 cm 4

cm

Para aprender más


3º S

ECU

ND

AR

IA

Para poder comprender mejor el tema, te sugiero que observes los siguientes videos. https://www.youtube.com/watch?v=kD5gz2k5IZQ https://www.youtube.com/watch?v=ytoeLlvSrYo https://www.youtube.com/watch?v=YRsNxeMCQew https://www.youtube.com/watch?v=RpPFahTbEzg

Recuerda:





ACTIVIDAD 1 Que los alumnos construyan conos a partir del trazo de su desarrollo plano. I. Consigan un cono de papel de los que se usan para tomar agua. Anoten las medidas del cono.

diámetro = _______

altura = _______

generatriz = _______

Manos a la obra

https://www.youtube.com/watch?v=kD5gz2k5IZQ

https://www.youtube.com/watch?v=ytoeLlvSrYo

https://www.youtube.com/watch?v=YRsNxeMCQew

https://www.youtube.com/watch?v=RpPFahTbEzg


3º S

ECU

ND

AR

IA

II. Corten el cono por la generatriz y extiendan la figura que resulta. Recuerden que esa figura se llama sector circular. Utilicen la herramienta que consideren necesaria para medir lo que se pide y anoten las medidas.

III. Analicen las medidas que anotaron en los dos incisos anteriores y respondan:

• ¿Cuál medida del sector circular corresponde a la generatriz del cono?

• Si conocen el radio de la base y la altura del cono, ¿qué teorema pueden aplicar para calcular la generatriz?

• ¿Cuál medida del sector circular corresponde al perímetro del círculo que forma la base del cono?

• Si conocen la medida del arco de un sector circular, ¿cómo calculan la medida del ángulo central?

Ángulo central = ________

Radio del sector circular = __________

Medida del arco que abarca el ángulo central =

___________


3º S

ECU

ND

AR

IA

IV. Trabajen en equipo. Discutan la manera en que pueden trazar un molde o desarrollo plano para construir un cono con las medidas que se muestran a continuación.

Cada uno trace en cartulina el desarrollo plano y construya el cono pedido.

Recuerda:





ACTIVIDAD 2 Resuelve los ejercicios de la página 186 incisos e, f, y g del libro de texto.

9 cm

5 cm

Repaso y practico

Lo que aprendí


3º S

ECU

ND

AR

IA

Rellene los círculos si observa logro en lo siguiente:

¿Logra comprender que es un sólido?. ¿Logra comprender que es un cuerpo de revolución?. ¿Logra comprender cuales son las características de los cuerpos de revolución?. ¿Logra obtener el aprendizaje?.



Elaboró:






3º S

ECU

ND

AR

IA 11.- Pendiente de una recta.

La idea de la pendiente es algo que encuentras en la vida cotidiana. Piensa en un carrito bajando una rampa o subir las escaleras. La rampa y la escalera tienen una pendiente. Puedes describir la pendiente de la rampa o de las escaleras considerando el movimiento horizontal y vertical. En una conversación, usas las palabras “gradual” o “empinado” para describir una pendiente. En una pendiente gradual, casi todo el movimiento es horizontal. En una pendiente empinada, el movimiento vertical es mayor. Definiendo la Pendiente La definición matemática de la pendiente es muy similar a la de la vida diaria. En matemáticas, la pendiente se usa para describir la inclinación y dirección de rectas. Tan solo con mirar la gráfica de una recta, puedes saber algunas cosas sobre su pendiente, especialmente relativa a otras rectas graficadas en el mismo plano de coordenadas. Considera las gráficas de las tres rectas siguientes:

Qué vamos a aprender: Que los alumnos relacionen el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.


Te explico

SEMANA 11


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3º S

ECU

ND

AR

IA

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele estar representada por la letra m, y está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. En la siguiente ecuación se describe:

y2 – y1 x2 – x1

Dado un sistema de ejes cartesianos x y, una recta horizontal paralela o congruente con el eje x tiene pendiente igual a 0 (cero), y su representación se define por la coordenada por donde ésta atraviesa el eje y. En aquellos casos donde la recta se encuentra formando un ángulo distinto de cero, cuanto menor sea el valor de la pendiente, menor ángulo tendrá la recta con respecto al eje x; por ejemplo, una recta inclinada (que se eleve) un ángulo de 45° con respecto al eje x tendrá una pendiente positiva m = +1, y una recta declinada (que caiga) 30° tendrá una pendiente negativa m = - 1. La pendiente de una recta vertical no está definida, y su representación se indica por la coordenada donde ésta atraviesa al eje x.

El ángulo ∂ que una recta forma con el eje horizontal está relacionado con la pendiente m por medio de la siguiente relación trigonométrica:

m = tan 0 o equivalentemente: ∂ = Arc. Tan m. Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; dos o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas) si el producto de sus pendientes es igual a -1.

m =

https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa

https://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicular


3º S

ECU

ND

AR

IA

Calculando la Pendiente de una Recta en una Gráfica Puedes determinar la pendiente de una recta a partir de su gráfica examinando la elevación y el avance. Una característica de una recta es que su pendiente es constante en toda su extensión. Entonces, puedes escoger cualesquiera 2 puntos sobre la gráfica de la recta para calcular la pendiente. Veamos un ejemplo.

elevación = 2 Empieza en un punto en la recta, como (2, 1) y muévete verticalmente hasta alinearte con otro punto en la recta, como (6, 3). La elevación es de 2 unidades. Es positiva puesto que te moviste hacia arriba.

avance = 4 Luego, muévete horizontalmente al punto (6, 3). Cuenta el número de unidades. El avance es de 4 unidades. Es positivo puesto que te moviste hacia la derecha.

Pendiente = Pendiente = .

Respuesta

La pendiente es .


3º S

ECU

ND

AR

IA

Calculando la Pendiente de una Recta Dados Dos Puntos Hemos visto que puedes encontrar la pendiente de una recta en una gráfica midiendo la elevación y el avance. También puedes encontrar la pendiente de una recta sin necesidad de la gráfica si conoces las coordenadas de cualquier par de puntos en esa recta. Cada punto tiene un conjunto de coordenadas: un valor de x y un valor de <i>y</i>, escritos como un par ordenado (x, y). El valor de x nos dice en dónde está el punto horizontalmente. El valor de <i>y</i> nos dice en dónde está el punto verticalmente. Considera dos puntos en una recta —El punto 1 y el punto 2. El punto 1 tiene coordenadas (x1, y1) y el punto 2 tiene coordenadas (x2, y2).


3º S

ECU

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AR

IA

En el ejemplo siguiente, verás que la recta tiene dos puntos cada uno indicado como un par ordenado. El punto 1 es (0, 2), y el punto 2 es (−2, 6). Entonces ahora fas a moverte del punto 1 al punto 2. Dibujamos un triángulo sobre la recta para ayudarnos a ilustrar la elevación y el avance.

P1(0, 2) y P2(-2, 6) sustituyo en la fórmula de la pendiente m = y2 – y1

X2 – x1 m = 6 – 2 -2 – 0 m = 4 -2 m = -2 Pendiente, Ecuación de la recta es: y = - 2x + 2.


3º S

ECU

ND

AR

IA

PENDIENTE DE UNA RECTA DADOS DOS PUNTOS

y – y1 = (y2 – y1) (x – y1), P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2) x2 – x1

Gráfica y calcula la pendiente y la ecuación de la recta dados dos puntos A(- 2, 1) y B(4, 5) M = y2 – y1 Sustituyo los valores de los puntos m = 5 – 1 = 4 x2 – x1 4 + 2 6 m = 2/3 Pendiente. sustituimos en la ecuación de la recta: y – 1 = 2/3(x + 2) y - 1 = 2/3x + 4/3 y = 2/3x + 4/3 + 1 y = 2/3x + 7/3 si multiplico por 3 toda la ecuación obtengo, 3y = 2x + 7 y por último acomodo la ecuación en su forma normal. 2x – 3y + 7 = 0 Ecuación de la recta.

6 B

5

4

3

A 2

1

-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4

-2


3º S

ECU

ND

AR

IA

-3

M = tan ∂ M =2/3

Tan-1

2/3 = tan-1◦ tan ∂ se eliminan la tan y el inverso, quedando:

∂ = tan

-1 2/3

∂ = 30° Representa y grafica la ecuación de la recta dada la pendiente y la intersección al eje y. M = ¾ y b = - 2 Sustituimos en la ecuación de la recta pendiente intersección al eje y. Y = mx + b Y = ¾x + (-2) Y = 3/4x – 2 Graficando, tenemos.

y

4

3

2

1

-x -4 -3 -2 -1 -1

1 2 3 4 x

-2

-3

-y


3º S

ECU

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IA

PUNTO, PENDIENTE

a) A(1, 1) y m = 3

Sustituimos en la ecuación pendiente ordenada al origen: Y – y1 = m (x – x1) Y – 1 = 3(x – 1) Y – 1 = 3x – 3 Y = 3x – 3 + 1 Y = 3x – 2 Ec. Pendiente ordenada al origen 3x – y – 2 = 0 Ec. General.

b) A(- 1, 3) y m = -3/5 Sustituimos en la ecuación pendiente ordenada al origen: Y – y1 = m(x – x1) Y – 3 = -3/5(x + 1) Y – 3 = -3/5x – 3/5 multiplicamos toda la ecuación por 5. 5(y – 3 = -3/5x – 3/5) 5y – 15 = -3x – 3 Ordenando la ecuación en su forma general 3x – 5y – 12 = 0

PENDIENTE, ORDENADA AL ORIGEN

Encuentra la ecuación de la recta, cuya intersección con el eje y es 4 y su pendiente es – 3. Ax + By + C = 0 y = mx + b Ax + By + C = 0 P(0, 4), b = 4 sustituyo los valores m = - 3 y = - 3x + 4 ordenando la ec. 3x + y – 4 = 0


3º S

ECU

ND

AR

IA

Grafica la ecuación de la recta y = - 3x + 4

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 -1 1 2 3

-2

-3

m = tan ∂ m = tan ∂ m = - 3

Tan-1

-3 = tan-1◦ tan ∂ se eliminan la tan y el inverso, quedando:

∂ = tan

-1 -3

∂ = -71°

En un triángulo rectángulo los lados adquieren un concepto especial cuando se toma como referencia uno de los ángulos. Por ejemplo, en el triángulo ABC de la figura, tomando como referencia el ángulo ∂, el cateto opuesto es BC y el cateto adyacente es AC. Sin embargo, si el referente es el ángulo ß, entonces el cateto opuesto es AC y el cateto adyacente es BC. En ambos casos la hipotenusa es AB. Otra manera de referirse a los catetos y la hipotenusa es mediante letras minúsculas. En la figura vemos que a, b y c son los lados del triángulo, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

Para aprender más


3º S

ECU

ND

AR

IA

Para el ángulo ∂ el cateto opuesto es a y el cateto adyacente es b. B A c

C b A Para encontrar el valor de la pendiente en grados se hace los siguientes pasos en la calculadora. 1er Paso.- se teclea la palabra SHIF y a continuación la tecla tangente. Y debe a perecer la palabra tan

-1

2do. Paso.- se escribe la pendiente en decimal, se oprime la tecla igual y aparecerá el resultado en decimal. 3er. Paso.- le das a la tecla Shif y después la tecla grados y listo.

7 A

6

5

4

3 66°

2

1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-2

B -3

-4

-5

-6

-7

A(3, 6) , B(-1, -3) m = M = Y2 – Y1 m = - 3 – 6 m = - 9 m = 9 X2 - X1 - 1 – 3 - 4 4


3º S

ECU

ND

AR

IA

Calcular el valor de la pendiente en grados:

m = tan ∂

tan-1

m = tan-1

◦ tan ∂

tan-1

9/4 = tan-1

◦ tan ∂

∂ = tan-1

2.25 ∂ = 66°

Para poder comprender mejor el tema, te sugiero que observes los siguientes videos. https://www.youtube.com/watch?v=ULxjPNTiAZ8 https://www.youtube.com/watch?v=pmW_RHPRRUY https://www.youtube.com/watch?v=9Gwpz1EPzqc https://www.youtube.com/watch?v=MarxlS1l0fc https://www.youtube.com/watch?v=x32OH5SOyjg

Recuerda:





Manos a la obra

https://www.youtube.com/watch?v=ULxjPNTiAZ8

https://www.youtube.com/watch?v=pmW_RHPRRUY

https://www.youtube.com/watch?v=9Gwpz1EPzqc

https://www.youtube.com/watch?v=MarxlS1l0fc

https://www.youtube.com/watch?v=x32OH5SOyjg


3º S

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ACTIVIDAD 1 Analiza, resuelve, completa y grafica la ecuación de la recta, dado un punto, dos puntos y la pendiente. I. Dada la ecuación y = 3x + 2, calcula el valor de la pendiente en grados y grafica la pendiente. II. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3/2, 5/4) y tiene pendiente 6 y calcula el valor de la pendiente en grados.(Grafica la recta en el plano cartesiano). III. Grafica la ecuación de la recta y = -4x + 5. IV. Grafica y calcula la ecuación de la recta dada la pendiente m = 2, la intersección con el eje y, b = 6.

Recuerda:





Repaso y practico


3º S

ECU

ND

AR

IA

ACTIVIDAD 2 Observen las características de cada una de las siguientes rectas. Y completa la siguiente tabla, basándose en las rectas mostradas en la gráfica. (Realiza las operaciones).

A B

C

D

Recta Ecuación Medida del ángulo

Razón de cambio

(fracción) C. O. C. A.

Razón de cambio

(Decimal)

Pendiente

A

B

C

D


3º S

ECU

ND

AR

IA

Rellene los círculos si observa logró en lo siguiente:

o ¿Logra comprender que es una pendiente?

o ¿Logra comprender que es pendiente, ordenada al origen?

o ¿Logra resolver problemas de la ecuación pendiente ordenada al origen?

o ¿Logra obtener el aprendizaje?



Elaboró:




Lo que aprendí




Documents

Materiales: Libreta, lapiceros, l piz y borrador. DEL AL