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divisiones
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PROF: LUIS CABRERA GARCÍA Página 1
TEMA: DIVISIONES
ALGEBRAICAS
01. Si al dividir los polinomios:
8x5 + 6x4 + x3 + ax2 + 2x + b entre: 2x2 - x + 1, se obtiene un residuo igual a: (b + 1)x + (a - 4). Encontrar los valores “a” y “b” y dar la
solución de: 2b baa
a) 10 b) 16 c) 1
d) 18 e) 0
02. Calcular (m – p)n si el resto de la división:
8x5:es
2x52
x2
6x62
px3
nx4
mx
y
que la suma de los coeficientes del cociente
es 4.
a) 88 b) 80 c) 70
d) -68 e) 60
03. Si el residuo de la división:
2a2xa
2x2
4a3
3xa5
2a
2x6a
3x
4x6
es: -16. Hallar: “a” a) -1 b) –2 c) –3
d) 1 e) 2 04. Si al efectuar la división :
3)1)(X(X
1218X2
BX3
4X4
AX
,
se obtiene como residuo: 2x + 3; Calcular B - A. a) 49/6 b) 31/12 c) -7/12
d) 3/2 e) N.A. 05. Se tiene que: a4n + Aa2n b2n + Bb4n es
divisible entre: a2n - 2an bn + 2b2n
El valor de A + B es: a) 4 b) 2 c) 6 d) 3 e) N.A.
06. Al dividir: DC xBxA xx15234
entre 5x2–x+3 se obtiene un cociente cuyos
coeficientes van disminuyendo de uno en
uno a partir del primer término y un residuo
de 2x - 9.
Hallar: A + B – C – D
a) 15 b) 20 c) 32 d) 18 e) 6
07. Si se realiza la división:
3X2X3
DCXBXAXX6
2
234
, se obtiene un
cociente cuyos coeficientes disminuyen de
uno en uno a partir del primero y deja
como residuo: –4X + 4. Calcular: (A + B + C
+ D)/5
a) 2 b) 55 c) 81
d) 0 e) N.A.
08. En:
{(2x5+4a2x3) + (a – 2a3)x2 – 3ax – 36} entre
(x2 – ax – a2); existe un valor de “a” para el
cual la división es exacta y otro valor que
deja 12 de residuo. Hallar el producto de
los valores de “a”.
a) 12 b) 4 c) 8
d) 2 e) 15
09. ¿Qué valor debe tener “K” para que el
polinomio 5x3 – K(x2 + x – 1) tenga como
divisor a: 5x2 + 2x – 4?.
a) –8 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
PROF: LUIS CABRERA GARCÍA Página 2
10. Si se sabe que el polinomio:
P(x) = x4 + 4d x3 + 6a x2 + 4b x + c,
es divisible por: M(x) = x3 + 3d x2 + 3a x + b.
De el valor de F = ab – c d, abcd 0
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
01. Sumar los coeficientes del cociente de la
siguiente división:
(6x3 + 11x2 - 16x + 10) ÷ (3x - 2)
a) 5 b) 2 c) 6 d) 17 e) N.A.
02. Calcular el resto de :
3
2x
42
x76
x310
x5
a) 52 - 25 b) 1002 - 82
c) 75(5) + 10(8) d) 72 + 102 + 20(50)
e) N.A.
03. Si el esquema es una división por Paolo
Ruffini:
Hallar: a h + j + ad + n - g
a) -6 b) 0 c) 1 d) -9 e) 10
04. Hallar la suma de los coeficientes del
dividendo y divisor, en el esquema :
a) 1 b) 2 c) -2 d) 0 e) 3
05. Si el polinomio 4x5 + 2x3 - 5x se le divide
entre x + 1, se le obtiene un cociente de
grado “n”, término independiente “b” y
residuo “a”.
Hallar: n + a + b.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.
06. Si: ( )5,0x()15mx62
x43
x8
da de cociente un polinomio Q(x) tal que Q(1) = 56.
Calcular el resto de la división.
a) 25 b) 35 c) 16 d) 38 e) N.A.
07. El valor de “r” para que el polinomio
2x3 + 2x2y - xy + r sea divisible por: x + y es:
a) –y3 b) –y2 c) y2 d) 2y e) 4y
08. Al dividir :
81x3 + 9x2 + 9x + 29 3x - 2 el resto es R y el término independiente del cociente es M. Halle M + R.
a) 17 b) 46 c) 63 d) 80 e) 144
09. Determinar el término Independiente del
Cociente de:
ny
12yn3y)n3(y23
a) 2 b) –5 c) –12 d) 1 e) N.A.
e -d c -b a 2
-4 6 m
-n 0 0
2 -3
3 -4 -1 0 2
a 12 h
b
n
i j k
l e
f 20
-
28 c 2 p d g
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
( RUFINI )
PROF: LUIS CABRERA GARCÍA Página 3
10. Hallar el cociente de:
3x20 + x19 + 6x2 – x – 1 entre: 3x + 1 a) 3x19 + 6x2 - 3x + 2 b) 3x19 + 6x2 + 2 c) x19 - 3x + 1 d) 3x19 + 2x -1 e) 3x19 - x3 - 2
TEOREMA DEL RESTO 01. El residuo de dividir:
4x4 + 3x3 + 2x +2 entre: x2 - 2 es:
a) 8x +18 b) 6x + 4 c) 2x + 1
d) 2x – 1 e) 5x -2
02. Si “m” es el residuo de dividir:
3x3 + 2x2 - 5x + 4 entre: x + 2.
El residuo de dividir:
mx4+2x3 - (m+1)x+2m entre: x – 2 es:
a) 15 b) 17 c) -18
d) 19 e) 18
03. El valor que debe tener “a” para que la
división:
(0,5 x3+0,4 x2+0,3 x+a) (0,2+0,1 x)
sea exacta, es:
a) 3 b) 2 c) 1
d) 7 e) 8
04. Hallar p . q, para que al dividir el polinomio:
x4 + qx + p entre: x2 - 1 el residuo sea: 2x +
1.
a) -1 b) 0 c) 2
d) 3 e) 4
05. Si el polinomio 4x5 + 2x3 - 5x se le divide
entre x + 1, se le obtiene un cociente de
grado “n”, término independiente “b” y
residuo “a”.
Hallar: n + a + b.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) NA.
06. Si: )5,0x()15mx6x4x8(23
da de cociente un polinomio Q(x) tal que
Q(1) = 56.
Calcular el resto de la división.
a) 25 b) 35 c) 16
d) 38 e) N.A.
07. El valor de “r” para que el polinomio
2x3 + 2x2y - xy + r sea divisible por:
x + y es:
a) –y3 b) –y2 c) y2
d) 2y e) 4y
08. Al dividir :
81x3 + 9x2 + 9x + 29 3x – 2
el resto es R y el término independiente del
cociente es M. Halle: M + R.
a) 17 b) 46 c) 63
d) 80 e) 144
09. Encontrar el resto de dividir:
1xx1xxx
2121242
a) x + 1 b) x - 1 c) x
d) 1 e) -1
10. Encontrar “m” para que la expresión:
(x + 2y)5 - x5 + my5 sea divisible entre: x + y.
a) –5 b) –4 c) –3
d) 0 e) –2
11. Calcular la suma de coeficientes del
residuo, de dividir:
P(x) = 16x4n+2+8x3n+1–54xn+2–6xn–9
entre: 2xn – 3
a) 3 b) 6 c) 9
d) 18 e) 27
PROF: LUIS CABRERA GARCÍA Página 4
12. Hallar el resto de:
2x4x2n384m640 entre:
)1x( ..... )1x)(1x)(1x)(1x(6
23
22
22
a) x23m – x2n b) x3m c) x5n
d) 1 e) 0
DIVISIONES ESPECIALES
01. Al dividir un polinomio entre los binomios (x
- 1) y (x + 2) se obtienen como restos 5 y -
7 respectivamente. Encontrar el resto de
dividir dicho polinomio entre: (x - 1) (x + 2).
a) 4x + 1 b) x + 1 c) 2x + 4
d) x + 1 e) 3x + 3
02. Un polinomio entero en “x” de tercer grado,
es divisible entre x + 1; pero al dividirlo
entre x - 1, entre x - 2, entre x + 2 y
entre x - 4 deja siempre un residuo 10.
¿Cuánto vale la suma algebraica de sus
coeficientes?
a) 10 b) -21 c) 42
d) 15 e) 6
03. En el polinomio:
P(x) = ax4 + cx3 - bx2 - cx + 2
se tiene que: (x +1) y (2x2 - 3x - 2) son dos
de sus factores. El otro factor del
mencionado polinomio es:
a) 3x -1 b) 2x c) x – 3
d) x + 4 e) x - 1
04. Indicar el residuo en la siguiente división:
)1x)(3x(]1x5
)2x(37
)2x[(
a) x + 2 b) 5x - 9 c) 2x + 3
d) 5x + 9 e) 1
05. Hallar el residuo de:
[(x + n)3 + (x - n)3] (x2 + 3n2)
a) 1 b) n c) 8n2
d) 8n3 e) 0
06. Un polinomio p(x) de tercer grado
tiene siempre el mismo valor numérico
1 para x = -2 ; - 3 ; -4, sabiendo que
al dividirlo entre x – 1 el residuo es
121. Calcular el resto de dividirlo entre
x – 2.
a) 122 b) 119 c) 239
d) 241 e) 242
07. Al dividir un polinomio p(x) x2 +
2, se obtiene un cociente Q(x) y un
resto 3x – 1, si Q(x) es divisible
entre x2 – x – 6. Hallar el resto de
dividir p(x) x + 2.
a) 6 b) 5 c) x–1 d) –7 e) x+1
08. Al dividir un polinomio p(x) x +
3 se obtuvo como residuo –5 y un
cociente cuya suma de coeficientes es
igual a 3. Encontrar el resto de dividir:
p(x) x–1.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
09. Calcular el resto de dividir p(x) x–
6, sabiendo que el término
independiente del cociente es 4 y
además el término independiente del
polinomio p(x) es 6.
a) 30 b) 25 c) 20
d) 15 e) 10
10. Un polinomio p(x) al ser dividido
por (x–1) da como resto 5 y al ser
dividido por (x–2) da como resto 6.
calcular el resto de dividir dicho
polinomio p(x) por el producto (x–1) y
(x–2).
a) x + 1 b) x + 4 c) x – 3 d) x + 3 e) x – 1