Diskretne matematičke Diskretne matematičke struktrurestruktrure

Prof. Dr. Esad JakupovićProf. Dr. Esad Jakupović

Stefan Dragičević

46-12/RPI

Hamiltonov put Hamiltonov put u grafu (ili digrafu) je put koji prolazi kroz svaki čvor grafa u grafu (ili digrafu) je put koji prolazi kroz svaki čvor grafa tačno jedanput.tačno jedanput.

Egzistencija Hamiltonovog puta u nekim digrafima obezbeđena je na Egzistencija Hamiltonovog puta u nekim digrafima obezbeđena je na osnovu sledeće teoreme Rédeia.osnovu sledeće teoreme Rédeia.

Teorema 1.Teorema 1. U digrafu, u kojem između proizvoljna dva čvora xU digrafu, u kojem između proizvoljna dva čvora x ii,, xxjj postoji bar jedna postoji bar jedna

od grana (xod grana (xii, x, xjj), (x), (xjj, x, xii), postoji Hamiltonov put.), postoji Hamiltonov put.

Dokaz.Dokaz. Dokazaćemo teoremu za digrafove kod kojih između proizvoljna dva Dokazaćemo teoremu za digrafove kod kojih između proizvoljna dva

čvora čvora xxii, x, xjj postoji samo jedna od grana postoji samo jedna od grana (x(xii, x, xjj), (x), (xjj, x, xii). ).

Za ostale digrafove koji su obu hvaćeni uslovom teoreme teorema će Za ostale digrafove koji su obu hvaćeni uslovom teoreme teorema će onda automatski biti u važnosti.onda automatski biti u važnosti.

Dokaz ćemo izvesti indukcijom po broju čvorova Dokaz ćemo izvesti indukcijom po broju čvorova n. n.

Za Za n=2 n=2 teorema je očigledno tačna. teorema je očigledno tačna. Pretpostavimo da je teorema tačna za digrafove sa Pretpostavimo da je teorema tačna za digrafove sa n n čvorova i po-čvorova i po-

smatrajmo jedan digraf smatrajmo jedan digraf G G sa sa n+1n+1 čvorova, koji ispunjava uslove čvorova, koji ispunjava uslove teoreme.teoreme.

Uočimo u Uočimo u G G proizvoljan čvor proizvoljan čvor x. x. Po induktivnoj pretpostavci podgraf digrafa Po induktivnoj pretpostavci podgraf digrafa G, G, indukovan ostalim indukovan ostalim

čvorovima iz čvorovima iz G, G, poseduje Hamiltonov put. poseduje Hamiltonov put. Neka se duž Hamiltonovog puta nalaze redom čvorovi Neka se duž Hamiltonovog puta nalaze redom čvorovi xx11. . ., x. . ., xnn. .

Tada u digrafu Tada u digrafu G G mogu nastupiti sljedeći slučajevi.mogu nastupiti sljedeći slučajevi.

1° Grana između čvorova 1° Grana između čvorova x, xx, xnn, , je orijentisana ka čvoru je orijentisana ka čvoru x. x. Tada u Tada u G G

postoji Hamiltonov put obrazovan čvorovima postoji Hamiltonov put obrazovan čvorovima xx11,.. . ,x,.. . ,xnn,x.,x.

2° Grana između čvorova 2° Grana između čvorova x, xx, x1 1 je orijentisana od je orijentisana od x x ka čvoru ka čvoru xx11. .

Hamiltonov put u Hamiltonov put u G G je sada oblika je sada oblika x, xx, x11, , ... ... , , xxnn..

3° Ako ne nastupi ni 1° ni 2°, grana 3° Ako ne nastupi ni 1° ni 2°, grana (x, x(x, x11) ) je orijentisana od je orijentisana od xx11 ka ka x, x, a a

grana grana (x,.x(x,.xnn) ) od od x x ka ka x„. x„.

Teorema 2.Teorema 2. Neka je A matrica susjedstva proizvoljnog digrafa čiji su čvorovi xNeka je A matrica susjedstva proizvoljnog digrafa čiji su čvorovi x11, . . . , . . . , ,

xxnn. .

Element iz i-te vrste i j-te kolone matrice AElement iz i-te vrste i j-te kolone matrice Akk je jednak broju puteva je jednak broju puteva dužine k koji iz čvora xdužine k koji iz čvora xii vode u čvor x vode u čvor xjj..

Dokaz.Dokaz. Dokaz ćemo izvesti indukcijom po Dokaz ćemo izvesti indukcijom po k. k. Za Za k=lk=l teorema je tačna na osnovu definicije matrice teorema je tačna na osnovu definicije matrice A. A. Pretpostavimo da teorema važi za Pretpostavimo da teorema važi za k=s k=s 1. 1. PP o definiciji mat ričnog množenja element na mjestu o definiciji mat ričnog množenja element na mjestu (i,j) (i,j) u matrici u matrici AAs+1s+1=A =A ∙ ∙

AAss je jednakje jednak

kija

2

11 1 2 ... .

j

S S S Sij i j i in nja a a a a a a

Neka su Neka su xxl1l1, ... , , ... , xxlklk čvorovi do kojih se može doći iz čvorovi do kojih se može doći iz xx11 putem putem

dužine 1.,dužine 1., Tada jeTada je

Za svaki od čvorova Za svaki od čvorova xl, ... , xxl, ... , xlklk (recimo (recimo xxipip), a), ailpilp predsavlja broj predsavlja broj

puteva dužine 1 od čvora puteva dužine 1 od čvora xxii do čvora do čvora xxlplp. .

Po induktivnoj pretpostavci Po induktivnoj pretpostavci predstavlja broj puteva dužine predstavlja broj puteva dužine ss koji iz koji iz xxlplp vode u vode u xxjj. .

Broj puteva dužine Broj puteva dužine s+1 s+1 koji iz koji iz xxii vode u vode u xxjj preko preko xxlplp je onda je onda aailpilp

. . Sumiranjem ovakvih izraza za svako Sumiranjem ovakvih izraza za svako llpp dobija se za broj svih dobija se za broj svih

puteva dužine puteva dužine s+1 s+1 koji iz koji iz xxii vode u vode u xxjj izraz (1). izraz (1).

Ovim je dokaz teoreme završen.Ovim je dokaz teoreme završen.

1 1 2 2

1 ... .j k k

S S S Sij il l j il l il l ja a a a a a a

l jp

Sa

l jp

Sa

1° Jednu klasu valjanih formula predstavljaju formule izvedene iz tautologija iskazne algebre.

Ako se u jednoj tautologiji svako iskazno slovo zamjeni nekom formulom kvantifikatorskog računa, dobijena formula kvantifikatorskog računa je valjana jer pri svakoj interpretaciji ona ima vrijednost 1. Očigledno su interesantnije one valjane formule koje se ne mogu izvesti iz tautologija.

2° Na osnovu definicije 5 iz odjeljka 5.3. očigledno su valjane sljedeće formule

(1)

gdje je A(x) formula koja sadrži slobodnu promjenljivu x. Ove formule pokazuju kako se mjenja karakter kvantifikatora kada on zamjeni redoslijed sa znakom negacije. Na osnovu toga negacija rečenice glasi .

,

,

x A x x A x

x A x x A x

21 ,x y R x y 2

1 ,x y R x y

Navedene formule predstavljaju u suštini generalizovane De Morganove formule iz iskazne algebre (videti odjeljak 3.2.). U stvari, ako je domen interpretacije D formula (1) konačan, one se i svode na De Morganove formule. Zaista, ako je onda u interpretaciji znači isto što i konjukcija a, ima značenje kao disjunkcija .

Stoga se formula (1) svede na

- a to su De Morganove formule.Redoslijed navođenja istorodnih kvantifikatora očigledno nema posebaa značaj. Na primjer, formula znači isto što i formula pa je formula <=> valjana. Nasuprot tome, redoslijed navođenja raznorodnih kvantifikatora je bitan.Posmatrajmo formule

1 2, ,..., nD x x x x A x

11

n

iA x

x A x

1

n

iiA x

1 2 1 2

1 2 1 2

... ...

... ...

n n

n n

A x A x A x A x A x A x

A x A x A x A x A x A x

21 ,x y R x y 2

1 ,y x R x y 2

1 ,y x R x y 21 ,x y R x y

2 21 1, i y ,x y R x y x R x y

Interpretirajmo ove formule na skupu prirodnih brojeva N i neka označava relaciju <. Tada prva formula znači: »Za svaki prirodan broj x postoji prirodan broj y takav da je y veće od x«, a druga: »Postoji prirodan broj y takav daje svaki prirodan broj x manji od y«. Prvi sud je tačan a drugi nije, jer bi to značilo da postoji najveći prirodan broj.Na osnovu ovog primjera interesantno je ispitati da li su sledeće formule valjane

Formula (2) nije valjana jer ako za svako x postoji y lako da važi (x,y) to ne znači da postoji jedinstveno y tako da za svako x važi (x, y). Formula (3) je pak valjana jer ako postoji y tako da za svako x važi (x,y) onda sigurno za svako x postoji y (i to jedno te isto) tako da važi (x, y). U ovom slučaju uspjeva da jedinstvenim razmatranjem obuhvatimo sve interpretacije formule!

21R

2 21 1

2 21 1

(2) x , , ,

(3) ( y) x , , .

y R x y y x R x y

R x y x y R x y

21R

21R

21R

21R

Na sl. 1 prikazan je jednim digrafom odnos formula oblika

gdje su i K2 kvantifikatori (univerzalni ili egzistencijalni) spregnuti sa x ili y.Ovakvih formula ima 8 i one su reprezentovane čvorovima digrafa. Za dve formule ovog tipa i F2 formula Fl=>F2 je valjana ako i samo ako u digrafu sa sl. 1 postoji put iz čvora F1 u čvor F2.4° Formula , gde je t term slobodan za protmjenljivu x u formuli A{x), je valjana.

21 2 1 ,F K K R x y

x A x A t

Neka događaj A može sa vjerovatnoćom p da se pojavi kao rezultat nekog eksperimenta, koji može biti više puta ponovljen. Označimo sa n broj eksperimenata a sa fn broj eksperimenata u kojima je nastupio događaj A. Veličina fn se naziva apsolutna frekvencija, ili kratko, frekvencija događaja A.Veličina fr = je relativna frekvencija događaja A.

Ona predstavlja dio broja eksperimenata u kojima se po javio događaj A.Događaj A može da bude, na primjer, pojavljivanje grba a odgovarajući ekspe riment je bacanje novčića. U ovom slučaju je p=

Drugi primjer je pojavljivanje šestice pri bacanju kocke, pri čemu je p = Ispitivanja su pokazala da se pri uvećanju broja eksperimenata n relativnaFrekvencija fr sve više približava vjerovatnoći događaja p.

nf

n

1.

2

1.

6

Pri bacanju novčića n puta može se očekivati da će se grb pojaviti puta  tim pre što je n veće. Takođe, pri bacanju kocke šestica će se pojaviti približno u jednoj šestini od ukupnog broja eksperimenata.Bernoulli je još krajem XVII vjeka dokazao tzv. zakon velikih brojeva, koji teorijski objašnjava empirijsku činjenicu da se relativna frekvencija, pri velikom broju eksperimenata, približava vjerovatnoći događaja: “Ovaj zakon" predstavlja osnovu praktične primjene računa vjerovatnoće. Jasno je da se rezultat jednog jedinog eksperimenta ne može sa sigurnošću predvidjeti. Međutim, rezultat velikog broja eksperi menata je, na osnovu zakona velih brojeva, predvidiv. Ako je broj eksperimenata veoma velik (matematički se kaže: ako broj eksperimenata, teži beskonačnosti) rezultat može sa sigurnošću da se odredi.Ovo je jedan primjer uzajamne povezanosti nužnosti i slučajnosti.Približna jednakost p fr koja važi za dovoljno veliko n može da posluži za eksperimentalno određivanje vjerovatnoće događaja.

1

2n

Ovako određena vjerovatnoća događaja (koja je u stvari, jednaka relativnoj frekvenciji fr) naziva se vjerovatnoća »a posteriori« za razliku od vjerovatnoće date izrazom P = koja se zove vjerovatnoća »a priori«.

Pri ovakvoj terminologiji Bernoullijev zakon velikih brojeva glasi:

Pri beskonačnom uvećavanju broja eksperimenata, vjerovatnoća »a posteriori« teži vjerovatnoći »a priori«.Drugi aspekt praktične primjene računa vjerovatnoće odnosi se na događaje čija je vjerovatnoća bliska jedinici. Ovakve događaje možemo smatrati praktično nužnim.

Tako na primjer, teorijski se može pokazati da postoji izvesna mala vjerovatnoća za to da toplotno kretanje molekula vazduha dobije takav oblik da se sav vazduh iz neke sobe skoncentriše u jednoj polovini sobe a u drugoj polovini da nastane vakuum.

Ipak ovakva pojava još nije zabilježena i opravdano se smatra da se praktično ne može desiti.

p

m