DİNAMİK - selcuk.edu.tr · Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Dinamik ΣF = ΣFx = m ax a ΣF Behcet DAĞHAN Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme

Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ

Behcet DAĞHAN

www.makina.selcuk.edu.tr

DİNAMİK


İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ

- Konum, Hız ve İvme - Newton Kanunları

2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ

- Doğrusal Hareket - Düzlemde Eğrisel Hareket - Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde) - Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi

3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ

- Kuvvet, Kütle ve İvme - İş ve Enerji - İmpuls ve Momentum

Behcet DAĞHAN



DİNAMİK


KİNETİK

Behcet DAĞHAN



DİNAMİK

3


Kuvvet, Kütle ve İvme

Behcet DAĞHAN


MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ

DİNAMİK

3.1



Bir maddesel noktanın ivmesi, ona etki eden bileşke kuvvet ile doğru orantılıdır ve aynı yöndedir.

Dinamik

ΣF = m aYön : ΣF // a

Şiddet : | ΣF | = m aa

ΣF

m aa


Behcet DAĞHAN

Newton'un ikinci kanunuNewton'un ikinci kanunu

Maddesel Noktaların Kinetiği

Kinetik problemlerini çözerken Newton prensiplerinden faydalanılır. Bunu yaparken 3 temel yaklaşım vardır:

1. Newton'un ikinci kanununun direk uygulanması (kuvvet, kütle ve ivme yöntemi),

2. İş ve enerji prensibi,

3. İmpuls ve momentum yöntemi.

Kuvvet, Kütle ve İvmeKuvvet, Kütle ve İvme

3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 1

Σ Fi = ΣFi=1

n

F1 + F2 + F3 + ··· + Fn = ΣF = m a→ → → → → →→ →

→ →

→ →

→

→

→

→→

m

ΣF ≠ m a

F1 + F2 + F3 + ··· + Fn = ΣF ≠ | ΣF |= m a→

!

Bütün kuvvetler birbirine paralel ise ancak o zaman ΣF = m a olur.

Behcet DAĞHAN


Dinamik

ΣF = ΣFx = m ax

aΣF


Behcet DAĞHAN

3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 2Maddesel Noktaların Kinetiği

Doğrusal hareketDoğrusal hareket

Yörünge

aΣF

A

xy

→→

→→ → → →

ΣFx = m ax

ΣFy = m ay = 0a = ax + ay

ΣF = m aa

ΣF

x

y→

→→ →

ΣFx = m ax

ΣFy = m ay

→ → →0→

ΣF = ΣFx + ΣFy

→ → →0→

a = ax + ay→ → →

ΣF = ΣFx + ΣFy

→ → →

Doğrusal hareket incelenirken çoğunlukla kartezyen koordinatlar kullanılır.

A

F1x + F2x + F3x + ··· + Fnx = m ax

F1y + F2y + F3y + ··· + Fny = m ay

Eksenlerden birisi genellikle yörünge ile çakıştırılır.

ΣF = m a→ →

Behcet DAĞHAN

Yörünge

Yörünge

A

Bu işaretler daima + dır.

↑ ↑ ↑ ↑

!

Bütün kuvvetlerin x-bileşenleribirbirine paralel olduğu içinbu eşitlik skaler olarak da geçerlidir.

ΣFx = m ax

→ →

ΣFy = m ay

→ →

Çelik bir bilya ivmelenmekte olan bir çerçeveye şekildeki gibi A ve B kabloları ile asılmıştır.A kablosundaki çekme kuvvetinin B dekinin 2 katı olması için çerçevenin ivmesi a ne olmalıdır?

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Dinamik

Örnek Problem 3/1Örnek Problem 3/1

ÇözümÇözüm

Verilenler:Verilenler:

İstenenler:İstenenler:

Behcet DAĞHAN


Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 3

A = 2 B

a = ?

x

y

a

W

AB

60o60o

ΣFx = m ax

ΣFy = m ay = 0

m

A cos60o – B cos60o + 0 = m a

A sin60o + B sin60o – W = 0

W = m g

A = 2 B }(A – B) cos60o = m a

(A + B) sin60o = m g

→

→

a = –––––––g

6 sin60o

Yörünge

Ax + Bx + Wx = m ax

Ay + By + Wy = 0 a = 1.89 m/s2

ΣF ≠ m a

!

ΣF = m a→ →

ΣF = A + B + W

ΣF = R→ → R = m a}

ΣF ≠ R }

Bu işaretler daima + dır. !

İnişe geçmiş olan şekildeki uçağın doğrusal olan yörüngesi üzerindeki A noktasında300 km/h olan hızı, uçak B noktasına ulaştığında 200 km/h e düşmektedir.Göz önüne alınan bu aralıkta, havanın 200 Mg lık uçağa uyguladığı kuvvetinortalama şiddeti R yi bulunuz.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Dinamik


ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:


Behcet DAĞHAN



R = ?

a

WΣFx = m ax ΣFy = m ay = 0

m

W = m g

vA = 300 km/h

vB = 200 km/h

m = 200 Mg

yatayα

tanα = –––––250

2000

α = 7.13o

x

y

R

α

A

B250 m

2000 m

α

Δs = 2015 m

düşey

Yörünge

v

v dv = a ds

∫ v dv = a ∫ ds

R nin ortalama değeriistendiğine göreR sabit alınacak demektir.

Kuvvetler sabit olduğuiçin ivme de sabittir.

a (sabit)

vA

vB

sA

sB

Δs

}

a = – 0.957 m/s2

Rx + W sinα = m ax Ry – W cosα = 0

Rx = m (– g sinα + ax) Ry = m g cosα

Rx = – 434.76 kN

yön belirtir

s > 0

Ry = 1946.85 kN

R2 = Rx2 + Ry

2

R = 1994.8 kN

(sabit)

v > 0a > 0

yön belirtir

Rx + Wx = m ax Ry + Wy = 0

ax = a

Birim boyunun kütlesi ρ olan ağır bir zincir, bir kısmı sürtünmeli ve bir kısmı da sürtünmesiz olanyatay bir yüzey üzerinde sabit bir P kuvveti ile şekildeki gibi çekilmektedir. Sürtünmeli kısım ile zincirarasındaki sürtünme katsayısı μk dır. x = 0 iken zincirin tamamı sürtünmesiz kısım üzerinde sükunettedurmaktadır. x = L olunca zincirin hızı v ne olur? Zincirin daima gergin kaldığını kabul ediniz.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Dinamik




Behcet DAĞHAN



P = Pmin = ?

Sürtünmesiz Sürtünmeli

μ = μk

x = L iken v = ?

L

ρ = m/L

P (sabit)

x = 0 iken v = 0 P

x

Nx

μk Nx

NL-x

L

x

a

ΣFx = m ax

ΣFy = m ay = 0

P − μk Nx = m a

v

P − μk Wx = m a

WxWL-x

P − μk ρ x g = ρ L ––––v dvdx

∫ (P − μk ρ x g) dx = ρ L ∫ v dv0

v

0

L

(P x − μk ρ –– g | = ρ L (––– |x2

2v2

20

v

0

L

v = ––– − μk g L√ 2 Pρ

NL-x = WL-x = ρ (L − x) g

Nx = Wx = ρ x g

Yörünge v dv = a ds

a = ––––v dvdx

x = 0

Wx : Boyu x olan kısmın ağırlığı

WL-x : Boyu L-x olan kısmın ağırlığı

(W nin x-bileşeni değil)(zaten W nin x-bileşeni yoktur)

Kütlesi m olan şekildeki halka, şiddeti sabit fakat yönü değişken olan bir F kuvvetinin etkisi altında düşey olan şaftüzerinde kaymaktadır. θ = kt dir ve buradaki k bir sabittir. θ = 0 iken durgun halden harekete başlayan halkayıθ = π/2 iken tekrar durduracak olan kuvvetin şiddeti F yi bulunuz. Halka ile şaft arasındaki kinetik sürtünme katsayısı μk dır.

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Dinamik




Behcet DAĞHAN



a

W

ΣFy = m ayΣFx = m ax = 0

W = m g

F

Yörünge

v

F sinθ – N = 0 F cosθ – μk N – W = m a

θ = θ1 = 0 iken:

θ = kt

v1 = 0

θ = θ2 = π/2 iken:

v2 = 0

μk

F = ?

θ

mN

μk N

W

θ = 0v = 0

F

m

a

W

θ = π/2v = 0 F

m

Nμk N

x

y

F cosθ – μk (F sinθ) – W = m –––

F (cosθ – μk sinθ) – W = m ––––

dv

dt θ = kt

dθ = k dtdv

dθ/k

F ∫ (cosθ – μk sinθ) dθ – W ∫ dθ = k m ∫ dv

π/2

0

π/2

0

0

0

F (sinθ + μk cosθ | – W (π/2) = 0π/2

0

F = –––––––––π m g

2 (1 – μk )

dθ/k = dt←

a = ––– dv

dt

}

}

N = F sinθ←←

k = sb.

m



Dinamik

aΣF


Behcet DAĞHAN

3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 7Maddesel Noktaların Kinetiği

Düzlemde eğrisel hareketDüzlemde eğrisel hareket

Yörünge →→

ΣFx = m ax

ΣFy = m ay

a = ax + ay→ → →

ΣF = ΣFx + ΣFy

→ → →

m

Kartezyen koordinatlar Normal ve teğetsel eksenler Polar koordinatlar

ΣFn = m an

ΣFt = m at

ΣFr = m ar

ΣFθ = m aθ

ΣF = ΣFn + ΣFt

→ → →ΣF = ΣFr + ΣFθ

→ → →

a = an + at→ → →

a = ar + aθ→ → →

ar = r – r θ 2

aθ = r θ + 2 r θ

ax = vx = x

ay = vy = y

an = v β = ρ β 2 =v 2

ρ

at = v

a2 = ax2 + ay

2 a2 = an2 + at

2 a2 = ar2 + aθ

2

ΣF = m a→ →

Şekilde görülen uçan sandalyelerin kollarının düşey doğrultu ile yaptığı açının θ = 60o olması için sistemindevir sayısı N nin ne olması gerektiğini hesaplayınız. Sandalyelerin bağlı olduğu kolların kütlelerini ihmaledip her bir sandalyeyi bir maddesel nokta olarak göz önüne alınız.

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Dinamik




Behcet DAĞHAN



θ = 60o

N = ? (sabit)N

n

t

a

a

W

θ

z

P

ΣFz = m az

P cosθ − W = 0

ΣFn = m an

P sinθ = m an

R

an = R ω2

W = m g

R = 3 + 10 sinθ

R = 11.66 m

ω = 1.207 rad/s

P = 2 m g

P sinθ = m R ω2

(2 m g) sinθ = m R ω2

ω = N (2π/60)

N = ω (60/2π)

N = 11.53 rev/min

ω

θ

Üstten görünüş

Yörünge

Yörünge

m

m

→

an

an

P sinθ

v

m kütleli bir cisim, A noktasından, eğik düzlemden yukarıya doğru u hızı ile harekete başlamıştır.Cisme, B noktasını geçtikten hemen sonra etki eden normal kuvvet, B den öncekinin yarısına düşüyorsau yu hesaplayınız. Eğik düzlem ile cisim arasındaki sürtünme katsayısı 0.30 dur.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Dinamik




Behcet DAĞHAN



a

W ΣFx = m ax

ΣFn = m an

W = m g

R= 2 m2 m

4 mA

u

B

2 m 2 m

4 mA

u

B

μ = 0.3

Yörünge

v

Maddesel nokta, B noktasına kadar doğrusal hareket yapmakta,B den itibaren de çembersel hareket yapmaya başlamaktadır.

30o

A ile B arasında N sabittir.

mN1

μ N1

30o

30oxy

N1 − W cos30o = 0

N1 = m g cos30o u = ?

N1/N2 = 2

μ = 0.3

B den hemen sonraki durum:

Bat

W

μ N2

30o

N2

n

an

m

Yörünge

AB2 = 42 − 22

Δs = AB = 3.46 m

B noktasındaki hızı:

v dv = a ds

∫ v dv = a ∫ ds

ΣFy = m ay

− W sin30o − μ N1 = m a

a = − 7.45 m/s2

vB

(sabit)

sA

sB

u

vB

→ vB2 = u2 + 2 a Δs

W cos30o − N2 = m –––vB

2

R

2 N2 = N1 = m g cos30o

g cos30o (1 − 1/2) = –––––––––––R

u2 + 2 a Δs

u = 7.75 m/s

}

Δs

Yörünge

Küçük bir A nesnesi, iç yarıçapı R olan dönen bir silindirik kabın düşey olan cidarına merkezkaç etkisi iledayanmaktadır. Eğer cisim ile kap arasındaki statik sürtünme katsayısı μs ise cismi aşağıya kaydırmadankabın açısal hızı ω nın alabileceği minimum değeri bulunuz. ω daki değişimin azar azar olduğunu farzediniz.

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Dinamik




Behcet DAĞHAN



n

t

a

a

W

z

ΣFz = m az

F − W = 0

ΣFn = m an

N = m an

R

an = R ω2

W = m g

F = m g (sabit)

N = m R ω2 (değişken)ω

Üstten görünüş

Yörünge

Yörünge

m

m

R

μs

ωmin = ?

N

F

R

ω

ω = ωmin iken cisim tamkaymaya başlamak üzeredir.

Dolayısı ile: F = FmaxN

m g = μs m R ωmin2

Fmax = μs N dir.

} F = μs Nmin

ωmin = –––––√g

μs R

N = Nmin = m R ωmin2

Cisim tam kaymayabaşlamak üzere iken

sürtünme kuvvetimaksimum değerdedir ve

}

an

at ≈ 0A

A

3 kg lık A kızağı, kendi merkezi O etrafında ve yatay bir düzlemde dönmekte olan diskin 45o lik sürtünmesizyarığı içerisinde serbestçe kayabilmektedir. Eğer kızak B noktasına bağlanmış bir ip ile A konumunda tutuluyorsaN = 300 rev/min lik sabit bir devir sayısı için ipteki çekme kuvveti T yi bulunuz.Diskin dönme yönünün T ye bir etkisi var mıdır?

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Dinamik




Behcet DAĞHAN



N

n

t

an

R

ω

Yörüngem

Üstten görünüş

B

TN

O

m = 3 kg

μ = 0

N = 300 rev/min (sabit)

R = 150 mm

T = ?

N

ΣFy = m ay

T = m a cos45o

an = R ω2

ω = N (2π/60)

45o45o

at = 0

a

ΣFt = 0 olabilmesi içinN bu yönde olmalıdır.

ΣFt = m at

{

T = m R ω2 cos45o

ω = 31.416 rad/s

a = an

y

45o

T = 314 N

Dönme yönünün ivmeye etkisiolmadığı için T ye de bir etkisi yoktur.

{

at = 0 → ΣFt = 0

a = an

A

{

Bir C kızağı, yatay düzlemde yer alan şekildeki kılavuzun A noktasını geçerken 3 m/s şiddette bir hızasahiptir. Kızak ile kılavuz arasındaki kinetik sürtünme katsayısı μk = 0.6 dır. Kızağın, A noktasınıgeçtikten hemen sonraki teğetsel ivmesi at yi, kızağın ve kılavuzun kesit alanlarının (a) dairesel ve(b) kare olduğu durum için hesaplayınız. (b) şıkkında karenin kenarları yatay ve düşeydir.Kızak ile kılavuz arasında kaymayı kolaylaştıracak kadar bir boşluk olduğunu farzediniz.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Dinamik




Behcet DAĞHAN



v = 3 m/s

μk = 0.6

at = ?

(a)n

t

Yörünge

at

an

m

F

R

ΣFt = m at

− F = m at

A

W = m g

n

an

m N

(b)W

n

an

N1

N2

F = μk N

z z

m

W

ΣFz = m azΣFn = m an

Nn = m an Nz − W = 0

N 2 = Nn2 + Nz

2

an = –––v2

R

an = 15 m/s2

R = 0.6 m

at = − F/m

N = m (17.92)

at = − μk (17.92) → at = − 10.75 m/s2

ΣFz = m azΣFn = m an

N1 = m an N2 − W = 0

F = F1 + F2 = μk (N1 + N2)

at = − μk (24.81) → at = − 14.89 m/s2

at = − μk N/m

F1 = μk N1

F2 = μk N2

at = − μk (N1 + N2) /m

N1Nn(a) (b)

Üstten görünüş

düşeydüşey

yatay yatay

Küçük bir araç çembersel bir yörüngenin tepe noktası A dan yatay bir v0 hızı ile geçtikten sonraaşağıya doğru indikçe hız kazanmaktadır. Aracın yer ile temasının kesilip havada serbest hareketetmeye başladığı β açısı için bir bağıntı elde ediniz. v0 = 0 için β nın değerini hesaplayınız.Sürtünmeyi ihmal edip aracı bir maddesel nokta olarak göz önüne alınız.

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Dinamik




Behcet DAĞHAN



A

B

β

R N

n

θ

m

Wθ

an

at

Yörünge

vA = v0

β = ?

ΣFt = m at v dv = at ds

∫ v dv = ∫ at dsv0

v = v0

s = 0θ = 0

v = vB

s = sB

θ = β

v

0

sW sinθ = m at

at = g sinθ

ds = R dθ} v2 = v0

2 + 2 g R ∫ sinθ dθ0

θ

ΣFn = m an

v2 = v02 + 2 g R (1 − cosθ)

W cosθ − N = m –––v2

Ran = v2/R }

θ = β iken v = vB ve N = 0N = 0

m g cosβ − 0 = m –––vB

2

R

vB2 = v0

2 + 2 g R (1 − cosβ) = g R cosβ

W = m g 1 1

→ vB2 = g R cosβ

cosβ = ––– + ––––––v0

2

3 g R

2

3

v0 = 0 → β = 48.2o

→

→

→

R

R

tμ = 0

Documents

DİNAMİK - selcuk.edu.tr · Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Dinamik ΣF = ΣFx = m ax a ΣF Behcet DAĞHAN Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme