Embed Size (px)
Citation preview
Vektorska analiza Vektorska algebra (ponavljanje) Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Jednostavna analiza (diferenciranje)
Učenje kroz primjenu
2
Vektorska algebra (ponavljanje) Veličine koje se pojavljuju u inženjerstvu Skalarne – imaju samo intenzitet (brojčanu vrijednost)
ne zavise od izbora koordinatnog sistema masa, temperatura, vrijeme, ...
Vektorske – imaju intenzitet, pravac djelovanja i smjer zavise od izbora koordinatnog sistema pomijeranje (pomak), brzina, ubrzanje, sila, ...
Za bolje razlikovanje vektori se označavaju drugačije od skalara skalar V vektor V ili
3
v
Vektorska algebra (ponavljanje) Elementarne formule vektorskog računa Predstavljanje vektora
Intenzitet vektora
Sabiranje/oduzimanje vektora
Množenje vektora skalarom
4
x y za a i a j a k= + +
x y za a a= + +a i j k
( ) ( ) ( )x x y y z za b a b i a b j a b k± = ± + ± + ±
x y za a i a j a kα α α α= + +
( )a a aα β α β+ = +
x
z
M
y
O ax
ay
az
( )
, ,x y za a a a
i
j
k
= = + + 2 2 2
x y za a a a a
Vektorska algebra (ponavljanje) skalarni proizvod vektora
uslov okomitosti
vektorski proizvod vektora
uslov kolinearnosti
5
( )cos ,a b a b a b⋅ =
0a b a b⊥ ⇒ ⋅ =
( )× =
sin ,a b a b a b
0a b a b⇒ × =
( ) ( ) ( )x y z y z z y z x x z x y y x
x y z
i j ka b a a a a b a b i a b a b j a b a b k
b b b× = = − + − + −
x x y y z za b a b a b a b⋅ = + +
a
b
a
b
a b×
( )sin ,ab a b
Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Vektorska funkcija Neprekidna jednoznačna zavisnost određene vektorske veličine
od koordinata prostora od vremena i jednog i drugog ovakva prostorna raspodjela naziva se polje
Služi za jednoznačno određivanje vektorske veličine (intenzitet, pravac i
smjer) u zavisnosti od promjenjivih od koordinata i/ili od vremena
6
( ) ( ), ,v v x y z v r= =
( )= v v t
( ) ( )= =
, , , ,v v x y z t v r t
O
z
x
y
( )
, , ,v x y z t
Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Brzina klizača mašine koji se kreće pravolinijski po horizontalnim vođicama data je izrazom , gdje je - početna brzina (u trenutku t = 0 s) koja iznosi v0 = 1,2 m/s - konstantno ubrzanje koje iznosi a = 0,4 m/s2
t - vrijeme mjereno u sekundama. Koliku brzinu će tijelo imati nakon 1,5 s, 6 s i 35 s i 1,5 min?
7
= +
0v v at
0va
( ) ( )= = + = +
0 1,2 0,4v vi v at i t i
( )= + ⋅ =
1,5 : 1,2 0,4 1,5 1,8 m/ss v i i
( )= + ⋅ =
6 : 1,2 0,4 6 3,6 m/ss v i i
( )= + ⋅ =
35 : 1,2 0,4 35 15,2 m/ss v i i
( )= + ⋅ ⋅ =
1,5 min : 1,2 0,4 1,5 60 37,2 m/sv i i
( )= + ⋅ = =
00 : 1,2 0,4 0 1,2 m/ss v i i v
( )!Dijagram v t
Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Podizanje tereta vrši se hidrauličnim sistemom, pri čemu se klip hidrauličnog cilindra kreće vertikalno naviše pravolinijski po zakonu , gdje je vektorski parametar koji se vremenski mijenja prema izrazu i dat je u m/s, a vrijeme t dato je u sekundama. Koliko minuta je potrebno da se teret podigne na visinu 2,3 m?
8
h mt=
( ) ( )2 20,0007 0,0007 0,0007h mt k t t t k t k= = ⋅ = =
= =
20,0007h h t
= ± = ± = ±2,3 57,3 s
0,0007 0,0007ht
m
47 10m k t−= ⋅ ⋅
( )!Dijagram h t
= = = ≈57,357,3 min 0,95 min 1 min60
t s
Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) U proizvodnji dijelova od čelika potrebno je gurati rezni alat duž materijala obratka, što se ostvaruje posebnim mehanizmom. Pri tome treba savladati otpor trenja materijala obratka za koji je utvrđeno da se mijenja sa dužinom obrađene površine po izrazu . Koeficijent trenja µ opada sa dužinom prema . Izračunati potrebnu silu guranja da bi se obradio materijal dužine 3,7 m. Sila F data je u N, a koeficijent µ je u N/cm.
9
µ= = = = =
63 63 63otpF F x x xi xix x
= = ⋅ ⋅63 63 3,7 100F x
µ=
otpF x
( )!Dijagram F x
µ = 63/ x
= =1211N 1,211 kNF
=
1,211 kNF i
Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Vektorska funkcija se obično definiše tako da Zavisi od skalarne promjenjive
Na primjer brzina pravolinijskog kretanja pređeni put (pomak) u prostoru
Zavisi od vektorske promjenjive Na primjer brzina kretanja zavisi od koordinata vektora položaja
10
( ) ( )= =
ilia a x a a t
= + +
22s ti t j k=
lnv xi
( )= a a r
= + +
r xi yj zk
= = + ++ + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x xv v v
r x y zv i j kr x y z x y z x y z
Jednostavna analiza (diferenciranje) Vektor položaja Definiše položaj tačke u prostoru u odnosu na koordinatni sistem
koordinate x, y, z su projekcije vektora položaja
Može se definisati položaj u prostoru (3D) u ravni (2D) po liniji (1D)
Omogućava praćenje položaja tačke
11
x
z
M
y
O rx
ry
rz
( )
, ,x y zr r r r
i
j
k
= + + = + +
x y zr r i r j r k xi yj zk
= + +
r xi yj zk= +
r xi yj
=
r xi
( ) ( ) ( ) ( )= + + =
r x t i y t j z t k r t
Jednostavna analiza (diferenciranje) Diferenciranje vektora Izračunavanje promjene vektora u odnosu na zavisno promjenjivu
Npr. za vektor potrebno je odrediti njegovu promjenu sa t
Razlika između dva susjedna vektora (priraštaj)
Količnik te razlike (priraštaja) i razlike ∆t
Granična vrijednost količnika je prvi izvod vektora po t
12
( )= r r t
( )r t( )+ ∆r t t
∆r( ) ( )∆ = + ∆ −
r r t t r t
( ) ( )+ ∆ −∆=
∆ ∆
r t t r trt t
( ) ( )∆ → ∆ →
+ ∆ −∆= =
∆ ∆
0 0
d lim limd t t
r t t r tr rt t t
r
Jednostavna analiza (diferenciranje) Osnovna pravila diferenciranja
Izračunavanje izvoda
Izvodi jednostavnijih funkcija
13
( )= + ⇒ = + = +
d d d dzad d d dc a bc a b a bt t t t
( )⇒ = +
d d dza skalar ,d d d
a ss sa s at t t
= ⇒ =
dza 0daa constt
( ) =2d 2d
t tt ( ) =3 2d 3
dt t
t ( ) −= 1dd
n nt ntt
( ) =d 1lnd
tt t
( ) =d sin cosd
t tt
( ) = −d cos sind
t tt
= ⇒ =dza 0dss constt
Jednostavna analiza (diferenciranje) Jedinični vektori Vektori koji imaju intenzitet jednak jedinici
Npr. jedinični vektori koordinatnog sistema
Za svaki vektor može se odrediti odgovarajući jedinični vektor Ima intenzitet jednak jedinici i određuje pravac djelovanja vektora Dobija se dijeljenjem vektora sa svojim intenzitetom
14
r
n
= = + ++ + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
r x y zn i j kr x y z x y z x y z
, ,i j k
+ += = =
+ +
2 2 2
2 2 21
r x y zn
r x y z
Jednostavna analiza (diferenciranje) Pomijeranje (položaj), brzina i ubrzanje Ako je vektor položaja, tada izvod daje brzinu
kretanja (promjenu položaja sa vremenom)
Ako je brzina kretanja, tada izvod daje ubrzanje (promjenu brzine sa vremenom)
15
( )= r r t
d /dr t
= = + +
d d d dd d d dr x y zv i j kt t t t
= + +
r xi yj zk
( ) ( ) ( )= = =, ,x x t y y t z z t( )r t
v
a
( )= v v t
d /dv t
= = + +
dd ddd d d d
yx zvv vva i j k
t t t t
= + +
x y zv v i v j v k
Jednostavna analiza (diferenciranje) Sile u mehanici Ako su brzina kretanja i ubrzanje, tada se prema
drugom Newtonovom zakonu sila koja dovodi do kretanja neke mase m računa kao Ako je masa konstantna, m = const (tj. ne mijenja se s vremenom)
16
( ) ( )= =
iv v t a a t
( )=
ddmv
Ft
( )= =
d dd dmv mFt t
+ =
ddvv m mat
=d 0dmt
=
F ma
Jednostavna analiza (diferenciranje) Dokazati da je izvod vektora položaja jednak
17
= = + +
d d d dd d d dr x y zv i j kt t t t
( ) ( )∆ → ∆ →
+ ∆ −∆= = =
∆ ∆
0 0
d lim limd t t
r t t r tr rt t t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∆ →
+ ∆ + + ∆ + + ∆ − + + = =∆
0limt
x t t i y t t j z t t k x t i y t j z t k
t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∆ →
+ ∆ − + + ∆ − + + ∆ − = =∆
0limt
x t t x t i y t t y t j z t t z t kt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∆ →
+ ∆ − + ∆ − + ∆ −= + + = ∆ ∆ ∆
0limt
x t t x t y t t y t z t t z ti j k
t t t
= + + d d d
d d dx y zi j kt t t
Jednostavna analiza (diferenciranje) Vrh alata kojim se vrši rezbarenje na horizintalnoj ploči nekog materijala kreće se po zakonu , m. Odrediti vektore brzine kretanja i ubrzanja alata kao vektorske funkcije vremena t, zatim intenzitet brzine i ubrzanja kao funkcije vremena i izračunati vrijednost brzine i ubrzanja u vremenskom trenutku t = 2 s.
18
= +
sin cosr ti tj
( ) ( )= = + = + = −
d d d d dsin cos cos sind d d d dr x yv i j t i t j ti tjt t t t t
( ) ( )= = + = + − = − −
ddd d dcos sin sin cosd d d d d
yx vvva i j t i t j ti tjt t t t t
( )= = + = + − = + 22 2 2 2 2cos sin cos sinx yv v v v t t t t
( ) ( )= = + = − + − = + 2 22 2 2 2sin cos sin cosx ya a a a t t t t t t
== + = =2 2
2cos sin 1 1 m/s
tv t t
== + = =2 2 2
2sin cos 1 1 m/s
ta t t
Jednostavna analiza (diferenciranje) Ako je brzina rotacionog kretanja vrha poluge mašine po kružnici konstantna, dokazati da je vektor ubrzanja okomit na vektor brzine. Pošto je skalarni proizvod vektora brzine i ubrzanja jednak nuli, znači da su vektori brzine i ubrzanja okomiti kod rotacionog kretanja sa konstantnom brzinom
19
v const=
⋅ = v v const
( )⋅= ⋅ + ⋅ = ⋅ =
d d d d2 0
d d d dv v v v vv v v
t t t t
⋅ =
d 0dvvt
⊥ ⇒ ⋅ =
0v a v a
⋅ =
0v a
v
a
Jednostavna analiza (diferenciranje) Automobil se kreće pravolinijski pri čemu stalno ubrzava. Brzina se mjeri u zavisnosti od pređenog puta i utvrđeno je da se mijenja prema izrazu , gdje je v u m/s, a x je u m. Odrediti ubrzanje automobila kao funkciju pređenog puta i izračunati vrijednost ubrzanja u momentu kada je automobil prešao 100 m.
20
( ) ( ) ( )= = + = ⋅ + = +
2d d 0,001 0,08 0,001 2 0,08 0,002 0,08d d
va x x i x i x ix x
( )= +
20,001 0,08v x x i
( ) 2100
0,002 100 0,08 0,28 m/sx
a i i=
= ⋅ + =
Jednostavna analiza (diferenciranje) Brzina pravolinijskog klizača na probnom modelu jednog uređaja mijenja se sa vremenom po zakonu . Odrediti izraz za silu kao vektorsku funkciju vremena koja je potrebna za ostvarivanje tog kretanja. Ako je masa klizača m = 4 kg i sve ostale veličine imaju jedinice iz SI sistema, izračunati vrijednost sile koja djeluje na klizač u trenutku t = 5 s.
21
= =
ddvF ma mt
( )= +
2lnv t t i
( ) = = + = +
2d d 1ln 2d dva t t i t it t t
= = +
1 2F ma m t it
=
= ⋅ + ⋅ =
5
14 2 5 40,8 N5t
F i i
