Embed Size (px)
Citation preview
Linearna algebra Sistemi linearnih algebarskih jednačina Metoda supstitucije Gaussova metoda eliminacije Učenje kroz primjenu
2
Sistemi linearnih algebarskih jednačina Za izračunavanje jedne nepoznate inženjerske veličine
potrebna je jedna matematička jednačina (izraz) Npr. kojim ubrzanjem se kreće tijelo čija je masa 100 kg, ako se na
njega djeluje silom od 543,6 N? Drugi Newtonov zakon
Inženjerski problem je jednoznačno određen i rješiv pomoću jedne
jednačine 3
F ma=
543,6100
Fam
= =
25,436 m/sa = masa m, kg Sila F, N ubrzanje a, m/s2
100 543,6 5,436
Sistemi linearnih algebarskih jednačina Ako problem sadrži više od jedne nepoznate, ne može se
pronaći rješenje iz samo jedne jednačine Npr. kojim ubrzanjem se kreće tijelo čija je masa 100 kg?
Drugi Newtonov zakon
Inženjerski problem nije jednoznačno određen i nije rješiv pomoću jedne jednačine
4
F ma=
masa m, kg Sila F, N ubrzanje a, m/s2
100 100 1
100 200 2
100 345 3,45
100 ... ... ?
?100
Fam
= =
2? m/sa =
Sistemi linearnih algebarskih jednačina Ako se u opisu inženjerskog problema pojavljuju 2, 3, ili
više nepoznatih veličina Mora se imati isti broj jednačina koji te nepoznate povezuju Te jednačine moraju se simultano (istovremeno) rješavati Takve jednačine nazivaju se sistemi jednačina
Npr. kojim ubrzanjem se kreće tijelo mase 100 kg, ako je mjerenjima na modelu mase m0=35 kg utvrđen izraz za silu u obliku ?
5
( )0 12F m a= +
( ) ( ) ( ) 00 0 0
0 0
1212 1212
F ma mma m a a m m m aF m a m m=
⇒ = + ⇒ − = ⇒ == + −
12 35100 35
a ⋅=
−
26,46 m/sa =
Sistemi linearnih algebarskih jednačina Sistem linearnih algebarskih jednačina Sve jednačine su algebarske
Algebarski izrazi, nisu diferencijalne, integralne, ...
Sve nepoznate su u linearnoj zavisnosti
Predstavljaju linearne funkcije
Metode za analitičko rješavanje Metoda zamjene (supstitucije) Gaussova metoda eliminacije
6
d3, 2 3 4,d
xx y x y x yy
+ = − = + =d, 3d
y x yx= −∫
23, 2 3 4, 5 0x y x y xy x+ = − = + − = 2, 2 lnx y xy− =
Metoda supstitucije Za sistem od 2 jednačine sa 2 nepoznate
i. Prva nepoznata se izrazi preko druge iz jedne od jednačina ii. Dobiveni izraz se zamijeni u drugu jednačinu i izračuna druga
nepoznata iii. Prva nepoznata se izračuna iz bilo koje od jednačina
Opšti oblik
7
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
0ili
0a x b y c a x b y ca x b y c a x b y c
+ = + − =+ = + − =
1 2 1 2 1 2gdje su , , , , , koeficijenti uz neopoznatea a b b c c
Metoda supstitucije Za sistem od 3 jednačine sa 3 nepoznate
i. Prva nepoznata se izrazi preko druge dvije iz jedne od jednačina ii. Druga nepoznata se izrazi preko druge dvije iz druge od
jednačina iii. Dobiveni izrazi se zamijene u treću jednačinu i izračuna se treća
nepoznata iv. Prva i druga nepoznata se izračunaju iz prve dvije jednačine
Opšti oblik
8
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
00ili0
+ + = + + − =+ + = + + − =
+ + = + + − =
a x b y c z d a x b y c z da x b y c z d a x b y c z da x b y c z d a x b y c z d
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3gdje su , , , , , , , , , , , koeficijenti uz neopoznatea a a b b b c c c d d d
Metoda supstitucije Riješiti sistem jednačina po nepoznatim x i y. Iz jednačine (1) izrazi se prva nepoznata: Dobiveni izraz se zamijeni u jednačinu (2) umjesto x i izračuna se druga nepoznata y: Prva nepoznata se izračuna iz bilo koje od jednačina: Rješenje sistema:
9
( )( )
2 4 1
5 2
x y
x y
− =
+ =4
2yx +
=
4 65 4 2 10 3 6 22 3x
y y y y y y+ + = ⇒ + + = ⇒ = ⇒ = =
( )
( )
4 2 4iz 1 : 2 4 32 2
iz 2 : 5 5 5 2 3
yx y x x
x y x y x
+ +− = ⇒ = = ⇒ =
+ = ⇒ = − = − ⇒ =3, 2x y= = !Provjera
Metoda supstitucije Grafička interpretacija Rješenje sistema:
10
3, 2= =x y
2 45
− =+ =x y
x y
Metoda supstitucije Riješiti sistem jednačina po nepoznatim x, y z. Iz jednačine (1) izrazi se prva nepoznata: Iz jednačine (2) izrazi se druga nepoznata: Dobiveni izrazi se zamijene u jednačinu (3) umjesto x i y i izračuna se treća nepoznata z:
11
( )( )( )
2 3 4 1
2 3 2
2 2 6 3
x y z
x y z
x y z
+ − = −
− + =
− + + =
2 3 4x y z= − + −
7 11 7 11 7 11 7 112 2 3 4 2 6 4 6 8 2 65 5 5 5y y
x
z z z zz z z z
− − − − − − + − + + = ⇒ − + + + =
( ) 7 112 3 2 2 3 4 3 5 7 115
zy x z y y z z y z y −= + − ⇒ = − + − + − ⇒ = − ⇒ =
Metoda supstitucije Prva i druga nepoznata se izračunaju iz druge dvije jednačine: Rješenje sistema:
12
7 115 4 2 7 11 4 2 3 9 35
z z z z z z− ⇒ − = − ⇒ − − = − ⇒ = ⇒ =
7 11 7 3 11 10 25 5 5
zy y− ⋅ −= = = ⇒ =
2 2 3 3 4 1x x= − ⋅ + ⋅ − ⇒ =
1, 2, 3x y z= = = !Provjera
Metoda supstitucije Izraz koji povezuje silu trenja i normalno opterećenje je oblika , gdje su a i b konstante. Poznato je da kod opterećenja L=8 N sila trenja iznosi F=5,6 N, a kod opterećenja L=2 N sila trenja je F=4,4 N. Odrediti nepoznate koeficijente a i b, a zatim izračunati kolika će biti sila trenja, ako je opterećenje L=6,5 N.
13
+ =aL b F
= +F aL b
8 5,62 4,4
+ =+ =
a ba b
4,4 2= −b a1,28 5,6 8 4,4 2 5,6 6 1,2 0,26
+ = ⇒ + − = ⇒ = ⇒ = ⇒ =a b a a a a a
0,2 4 0,2 6,5 4 5,3 N+ = ⇒ = ⋅ + ⇒ =L F F F
4,4 2 0,2 4= − ⋅ ⇒ =b b
Gaussova metoda eliminacije Koristi se za rješavanje većih sistema Više od 3 jednačine sa više od 3 nepoznate
Kod sistema jednačina često se koriste operacije Množenje/dijeljenje jedne ili više jednačina nekim brojem ≠ 0 Oduzimanje/sabiranje dvije jednačine jedna od druge Zamjena mjesta jednačinama
Ove operacije su dozvoljene i često se koriste Ne mijenjaju sam sistem niti njegova rješenja
Npr. sistem čija su rješenja x=3, y=2
Rješenje svakog ekvivalentnog sistema opet je x=3, y=2 14
2 4/ 35
− = ⋅+ =x y
x y( )
6 3 125
− =−
+ =x yx y
⇔ ⇔6 3 125 4 7
− =− + = −
x yx y
Gaussova metoda eliminacije Za sistem od n jednačina sa n nepoznatih
i. Zamijene se jednačine tako da koeficijent uz x1 u prvoj jednačini bude različit od nule
ii. Prva jednačina se podijeli koeficijentom uz x1 i zatim sukcesivno množi koeficijentima uz x1 u drugoj, trećoj, ..., n-toj jednačini, nakon čega se prva jednačina sukcesivno oduzima od druge, treće, ... , n-te jednačine, čime se eliminiše x1 iz svih jednačina osim prve
iii. Prethodni korak se ponavlja za podsistem koji se sastoji od druge, treće, ..., n-te jednačine čime se eliminiše x2, te dalje sve sve dok se ne eliminišu sve nepoznate do xn
iv. Na taj način se sistem svodi na gornji trougaoni oblik, a do rješenja se dolazi zamjenom unazad
15
Gaussova metoda eliminacije Opšti oblik
16
11 1 12 2 13 3 14 4 15 11
21 1 22 2 23 3 24 4 25
31 1 32 2 33 3 34 4 35
41 1 42 2 43 3 44 4 45
/:a x a x a x a x a aa x a x a x a x aa x a x a x a x aa x a x a x a x a
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
1 12 2 13 3 14 4 15 21 31 31
21 1 22 2 23 3 24 4 25
31 1 32 2 33 3 34 4 35
41 1 42 2 43 3 44 4 45
/ , ,x b x b x b x b a a aa x a x a x a x aa x a x a x a x aa x a x a x a x a
+ + + = ⋅
+ + + =
+ + + =
+ + + =
( )−
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 12 2 13 3 14 4 15
1 1 1 122 2 23 3 24 4 25
1 1 1 132 2 33 3 34 4 35
1 1 1 142 2 43 3 44 4 45
x b x b x b x b
a x a x a x a
a x a x a x a
a x a x a x a
+ + + =
+ + =
+ + =
+ + =
1 12 2 13 3 14 4 15
2 23 3 24 4 25
3 34 4 35
4 45
x b x b x b x bx b x b x b
x b x bx b
+ + + =
+ + =
+ ==
Gaussova metoda eliminacije Riješiti sistem jednačina po nepoznatim x i y. Jednačina (1) se podijeli sa 2: Dobivena jednačina oduzima se od jednačine (2) i eliminiše se prva nepoznata: Zamjenom unazad računa se prva nepoznata: Rješenje sistema:
17
1 22
− =x y
1 1 22 2 2 32 2 2
− = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =x y x y x x
( )1 22
5
− =−
+ =
x y
x y
1 223 32
− =
=
x y
y
( )( )
2 4 1
5 2
x y
x y
− =
+ =
⇒ ⇒ 2=y
3, 2x y= =
Gaussova metoda eliminacije Riješiti sistem jednačina po nepoznatim x i y. Jednačina (1) se množi koeficijentima 2 i -2, nakon čega se sukcesivno oduzima od jednačine (2) i (3), čime se eliminiše x:
18
( )( )( )
2 3 4 1
2 3 2
2 2 6 3
x y z
x y z
x y z
+ − = −
− + =
− + + =
( )2 3 4/ 2
2 32 2 6
+ − = − ⋅ −− + =
− + + =
x y zx y zx y z
( )( )
2 3 4/ 25 7 11
2 2 6
+ − = − ⋅ −
− + = −− + + =
x y zy z
x y z
⇒
2 3 4 (1')5 7 11 (2')5 4 2 (3')
+ − = −− + =
− = −
x y zy zy z
Gaussova metoda eliminacije Jednačina (2‘) se dijeli sa -5 i množi koeficijentom 5, nakon čega se oduzima od jednačine (3‘), čime se eliminiše y: Dobiven je gornji trougaoni oblik sistema, a rješenje se nalazi zamjenom unazad: Rješenje sistema:
19
⇒( )2 3 45 7 11/: 55 4 2
+ − = −
− + = −
− = −
x y zy zy z
( )
2 3 47 11/ 55 5
5 4 2
+ − = −
− = − ⋅ −− = −
x y z
y z
y z
⇒
2 3 47 115 53 9
+ − = −
− = −
=
x y z
y z
z
93 9 33
= ⇒ = ⇒ =z z z7 11 7 11 7 113 25 5 5 5 5 5
− = − ⇒ = − = ⋅ − ⇒ =y z y z z
2 3 4 2 3 4 2 2 3 3 4 1+ − = − ⇒ = − + − = − ⋅ + ⋅ − ⇒ =x y z x y z x
1, 2, 3= = =x y z
Gaussova metoda eliminacije Odrediti jačine struja I1 i I2 u električnom krugu prema slici, ako su one primjenom Kirchhoffovog zakona u elektrotehnici međusobno povezane sistemom jednačina
20
( )( )
1 1 2
2 1 2
27 1,5 8
26 2 8
= + −
− = − −
I I I
I I I
1 1 2 1 2
2 1 2 1 2
27 1,5 8 8 9,5 8 2726 2 8 8 8 10 26= + − ⇒ − =
− = − + ⇒ − + = −
I I I I II I I I I
( )1 2 1 2
1 2 1 2
9,5 8 27/ 5 47,5 40 1358 10 26/ 4 32 40 104
− = ⋅ ⇒ − = +− + = − ⋅ ⇒ − + = −
I I I II I I I
1 1 13115,5 31 2 A
15,5= ⇒ = ⇒ =I I I
2 2 2 219 279,5 2 8 27 19 8 27 1 A
8−
⋅ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = −I I I I
Gaussova metoda eliminacije Specifična toplota vode mijenja se sa temperaturom prema izrazu , gdje su a, b i c konstante. Poznato je da na temperaturi t=42°C specifična toplota iznosi cp=4179 J/(kgK), na temperaturi t=52 °C ona iznosi iznosi cp=4186 J/(kgK), a na temperaturi t=82 °C cp=4199 J/(kgK). Potrebno je odrediti kolika je specifična toplota vode na temperaturi t=61°C.
21
2
2
2
4179 42 424186 52 524199 82 82
= + +
= + +
= + +
a b ca b ca b c
2= + +pc a bt ct
( ) ( )42 1764 417952 2704 418682 6724 4199
+ + = − −+ + = + + =
a b ca b ca b c
⇒
42 1764 417910 940 7/:1040 4960 20
+ + =+ =+ =
a b cb cb c
⇒( )
42 1764 417994 0,7/ 40
40 4960 20
+ + =
+ = ⋅ −+ =
a b cb cb c
⇒42 1764 4179
94 0,71200 8
+ + =+ =
= −
a b cb c
c
Gaussova metoda eliminacije Specifična toplota vode na temperaturi t=61°C će biti:
22
42 1764 417994 0,7
1200 8
+ + =+ =
= −
a b cb c
c
( )
( )
81200 8 0,00671200
94 0,7 0,7 94 0,7 94 0,0067 1,32842 1764 4179 42 1764 4179
42 1,33 1764 0,0067 4179 4135
−= − ⇒ = ⇒ = −
+ = ⇒ = − = − ⋅ − ⇒ =
+ + = ⇒ = − − + ⇒
= − ⋅ − ⋅ − + ⇒ =
c c c
b c b c ba b c a b ca a
24135, 1,328, 0,0067 4135 1,328 0,0067= = = − ⇒ = + −pa b c c t t
( ) 261 4135 1,328 61 0,0067 61= + ⋅ − ⋅pc
( ) J61 4191,2kg K
=pc
